mgr Maciej Jagielski dr hab. prof. UW Ryszard Kutner Zakład Dydaktyki Fizyki, Instytut Fizyki Doświadczalnej Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski

Transkrypt

1 Rozdział i Modelowanie zamożności polskich gospodarstw domowych metodami statystycznymi mgr Maciej Jagielski dr hab. prof. UW Ryszard Kutner Zakład Dydaktyki Fizyki, Instytut Fizyki Doświadczalnej Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski Streszczenie Celem pracy jest analiza empirycznych skumulowanych rozkładów rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce w latach 2000 i Dane uzyskano z Głównego Urzędu Statystycznego. Rozważane rozkłady porównano z przewidywaniami praw Pareto, Prawa Efektów Proporcjonalnych, uogólnionego modelu Lotka Volterra oraz modeli zderzeo. Okazało się, że dochody średniozamożnych i najbogatszych polskich gospodarstw domowych opisywane są bardzo dobrze przez skumulowane rozkłady Pareto, różniące się wartością wykładnika Pareto. Z kolei dochody ubogich gospodarstw opisane są przez skumulowany rozkład log-normalny. Do opisu dochodów ubogich i średniozamożnych gospodarstw domowych można również wykorzystad uogólniony model Lotka-Volterra, który dostarcza interpretacji teoretycznej na poziomie pojedynczych gospodarstw domowych. Wstęp Obecnie żyjemy w czasach, w których do opisu złożoności otaczającego nas świata nie wystarczy posłużyd się narzędziami, jakie oferują poszczególne dyscypliny naukowe. Coraz częściej konieczne jest połączenie metod stosowanych do tej pory w zupełnie innych, czasem nawet bardzo różnych od siebie dziedzinach nauki. Jedną z takich dyscyplin badawczych jest ekonofizyka, która przy użyciu metod i modeli stosowanych w fizyce opisuje procesy ekonomiczne. Takie interdyscyplinarne podejście prowadzi do głębszego zrozumienia ich istoty, a także wzbogacenia metodologii ekonomii.

2 2 Rozdział i. Modelowanie zamożności polskich gospodarstw domowych metodami statystycznymi Rozszerzone spojrzenie na problemy dzisiejszych gospodarek wolnorynkowych daje zaskakujące rezultaty w przypadku analizy dochodów ludności w Polsce. Temat ten został szeroko omówiony w niniejszej pracy. Przedstawiono w niej analizę empirycznych skumulowanych rozkładów rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce w latach 2000 i Rozkłady te porównano z przewidywaniami praw Pareto, Prawa Efektów Proporcjonalnych, uogólnionego modelu Lotka Volterra oraz modeli zderzeo. i.. Opis bazy danych W analizie wykorzystano dane Głównego Urzędu Statystycznego dotyczące rocznych dochodów gospodarstw w latach 2000 oraz Po usunięciu rekordów (252 w 2000 r.; 23 w 2006 r.), dla których dochód był mniejszy bądź równy zero, baza danych zwierała odpowiednio 359 i obserwacji. Niedodatnie wartości dochodu uznano za obserwacje błędne, gdyż zgodnie z definicją dochód do dyspozycji to: Dochód rozporządzalny pomniejszony o pozostałe wydatki. Dochód do dyspozycji przeznaczony jest na wydatki na towary i usługi konsumpcyjne oraz przyrost oszczędności (GUS, 2009). i.2. Analiza rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce Celem niniejszego opracowania jest analiza empirycznych rozkładów skumulowanych rocznych dochodów gospodarstw domowych. Rozkłady te zostały skonstruowane zgodnie z następującą definicją: N ( m) I( m N i gdzie: m roczny dochód do dyspozycji, N liczba obserwacji w próbie, I(m i >m) - funkcja indykatorowa postaci: i m), () dla mi m I( m). (2) 0 dla mi m

3 Maciej Jagielski, Ryszard Kutner 3 A zatem dla ustalonego m zliczano gospodarstwa domowe indeksowane i ( i,2,..., N ), których dochód jest większy niż m i dzielono przez liczbę obserwacji w próbie. Z każdym zliczaniem ustaloną wartośd m zmieniano co 000 zł, poczynając od 0. W pierwszej kolejności do "ogonów" powyższych rozkładów dopasowano słabe prawo Pareto (Richmond i in., 2006) (rys. ; skala log-log) : gdzie: ) m 0 czynnik skalujący 2 ( m0 e ), wykładnik Pareto. ( m ) ( m/ m0, (3) const Rysunek i.. Dopasowanie słabego prawa Pareto (linia ciągła) do empirycznego skumulowanego rozkładu dochodów gospodarstw domowych w Polsce (punkty) z roku 2000 ( = 3,3±0.005) i 2006 ( = 2,928±0,009). W przypadku wszystkich zaprezentowanych analiz wyniki dla roku 2003 można znaleźd w pracy (Jagielski, 2009) oraz (Jagielski, Kutner, 200). 2 Dla roku 2000 m 0 wynosi 70,8±0,8 zł a dla roku 2006: 77±2 zł.

4 Dochód Dochód (m) (m) 4 Rozdział i. Modelowanie zamożności polskich gospodarstw domowych metodami statystycznymi 0, =3,30,005 Const=3,260,03 Rok , =2,9280,009 Const=2,720,05 Rok ,0 0,0 E-3 E-3 E-4 E-4 E m E m Na powyższym rysunku oznacza wykładnik Pareto. Z kolei const jest stałą, pochodzącą z dopasowanej prostej (w skali log-log). Możemy zauważyd, że słabe prawo Pareto dobrze opisuje ogony analizowanych rozkładów. Aby uzyskad tak dobre dopasowania konieczne było usunięcie ok obserwacji skrajnych, czyli gospodarstw domowych osiągających największe dochody. Usunięte obserwacje stanowiły ok. 0,06% badanej populacji. Wartośd wykładnika Pareto otrzymamy także, analizując ranking gospodarstw domowych, czyli wykres dochodów gospodarstw domowych w zależności od ich miejsca w rankingu. Odpowiednie wykresy w skali logarytmicznej znajdują się na rysunku 2. Rysunek i.2. Ranking gospodarstw domowych (linia ciągła oznacza dopasowanie, a punkty dane empiryczne) rok 2000 oraz Rok ranking =0,3244±0,0004 Const=5,7357±0,004 / Pareto =0,322±0, Ranking Rok 2006 ranking =0,3356±0,0002 Const=5,890±0,0006 / Pareto =0,345±0, Ranking Średniozamożne gospodarstwa domowe opisywane są w skali logarytmicznej prostą o nachyleniu. Okazuje się, że odwrotnośd wykładnika Pareto ranking uzyskanego w przypadku rozkładów skumulowanych rocznych dochodów go-

5 (m) (m) Maciej Jagielski, Ryszard Kutner 5 spodarstw domowych jest bardzo zbliżona do wyznaczonych wartości ranking. Wskazuje to na pełną zgodnośd obu zastosowanych metod. Do omawianych rozkładów skumulowanych dopasowano również skumulowany rozkład log-normalny, wynikający z Prawa Efektów Proporcjonalnych (Armatte, 995). Wyniki w skali logarytmicznej zostały zaprezentowane na rysunku 3 3 : ln( m m 0) ( m ) erf. (4) 2 2 Rysunek i.3. Dopasowanie skumulowanego rozkładu log-normalnego (linia ciągła) do skumulowanego rozkładu dochodów gospodarstw domowych w Polsce (punkty) z roku 2000 i Rok 2000 Rok , 0, 0,0 0,0 E-3 E-3 E-4 = 9,83±0,0 = 0,58±0,02 m0 = 0,0 E m E-4 E-5 = 0,07±0,0 = 0,59±0,02 m0 = 0, m Skumulowany rozkład log-normalny bardzo dobrze opisuje skumulowane dochody ubogich gospodarstw domowych. Fakt, że skumulowany rozkład lognormalny wykazuje tak dobrą zgodnośd z danymi empirycznymi wynika bezpośrednio z założeo Prawa Efektów Proporcjonalnych. W modelu tym zakładamy, że zmiany dochodu mogą byd niewielkie, co znajduje uzasadnienie w przypadku ubogich gospodarstw domowych (Armatte, 995). Z kolei słabe prawo Pareto jest odpowiednie do zobrazowania dochodów średniozamożnych gospodarstw domowych, ponieważ w tym wypadku zaczyna odgrywad rolę konkurencja rynkowa. Firmy konkurują miedzy sobą, a ich zyski przekładają się na zarobki pracowników jednostek tworzących gospodarstwa domowe (Yamamoto i in., 3 Parametr m 0 wynosi 0, gdyż nie wpływa on na wyniki estymacji pozostałych parametrów; w celu dopasowania krzywych posłużono się algorytmem Levenberga- Marquardta.

6 6 Rozdział i. Modelowanie zamożności polskich gospodarstw domowych metodami statystycznymi 2006). Dlatego też analiza wykresów na rysunkach oraz 3 nasuwa pytanie o wartośd dochodu w punkcie przecięcia się skumulowanego rozkładu lognormalnego i słabego prawa Pareto. Punkt ten może stanowid umowną, lecz zarazem precyzyjną (ze względu na niewielki błąd) granicę podziału między ubogimi, a średniozamożnymi gospodarstwami domowymi. Graniczna wartośd rocznego dochodu stanowiąca rozróżnienie między ubogimi, a średniozamożnymi gospodarstwami domowymi wynosi około: złotych w roku 2000, złotych w roku Do rozważanych rozkładów empirycznych dopasowano także rozkład skumulowany pochodzący z uogólnionego modelu Lotka-Volterra rys. 4 4 (Richmond, Solomon, 200), (Solomon, Richmond, 2002):, x ( x), (5) gdzie: wykładnik kształtu opisujący dopasowaną funkcję, x=m/<m> względny dochód gospodarstwa domowego (<m> - średnia wartośd dochodu gospodarstwa domowego w analizowanej próbie). Rysunek i.4. Dopasowanie uogólnionego modelu Lotka-Volterra (linia ciągła) do skumulowanego rozkładu dochodów gospodarstw domowych w Polsce (punkty) z roku 2000 ( = 3,88±0,09) i 2006 ( = 3,7±0,). 4 Skala log-log; w celu dopasowania krzywych posłużono się algorytmem Levenberga-Marquardta.

7 (x) (x) Maciej Jagielski, Ryszard Kutner 7 Rok 2000 =3,88±0,09 Rok 2006 =3,7±0, 0, 0, 0,0 0,0 E-3 E-3 E-4 E-4 E-5 0,0 0, 0 00 x=m/<m> E-5 0,0 0, 0 x=m/<m> Chod uogólniony model Lotka-Volterra nie opisuje tak dobrze skumulowanego rozkładu rocznych dochodów gospodarstw domowych jak skumulowany rozkład log-normalny i Pareto, to jednak różnice te są niewielkie. Istotną zaletą tego modelu jest możliwośd scharakteryzowania analizowanych rozkładów przy pomocy pojedynczej formy funkcyjnej. Oferuje on także cenne podejście teoretyczne na poziomie mikroskopowym, w którym dochód gospodarstwa domowego determinowany jest przez dochody dotychczas uzyskiwane oraz przez wysokośd świadczeo pomocy społecznej (ogólniej mówiąc redystrybucję dochodów w społeczeostwie) i ogólny stan gospodarki (Richmond, Solomon, 200), (Solomon, Richmond, 2002). W przypadku modelu Lotka-Volterra można wyznaczyd efektywną minimalną roczną wartośd dochodu, poniżej której prawdopodobieostwo osiągania mniejszych dochodów gwałtownie maleje: mmin. (6) m Na podstawie powyższego wzoru otrzymujemy minimalne wartości rocznego dochodu: w roku 2000; <m>=22339,35 zł; m min =383,88 zł, w roku 2006; <m>=2850,70 zł; m min =6373,32 zł. W dotychczasowych rozważaniach nie analizowano dochodów najbogatszych gospodarstw domowych, gdyż obserwacje takie były zbyt mało liczne, aby można poddad je jakiemukolwiek opisowi statystycznemu. Problem ten można

8 Bogactwo 8 Rozdział i. Modelowanie zamożności polskich gospodarstw domowych metodami statystycznymi pośrednio rozwiązad analizując wartośd majątku 00 najbogatszych Polaków w postaci rankingu 5 (rys. 5; skala logarytmiczna). Rysunek i.5. Ranking 00 najbogatszych Polaków z roku 2006 ( =,4±0,03; linia ciągła oznacza dopasowanie, a punkty dane empiryczne). Pareto E9 E8 Zgodnie z tym, co wykazano wcześniej, jeśli ranking najbogatszych można w skali logarytmicznej opisad zależnością liniową, to wówczas tzw. "krezusi" podlegają słabemu prawu Pareto o wykładniku /. Chod w tym Pareto ranking wypadku zamiast o dochodach mówimy o bogactwie, to jednak z własności rozkładu Pareto wynika, że nie wpływa to na obserwowane uniwersalności (Mandelbrot, 960). Otrzymane wartości wykładnika Pareto są bliskie jedności, co jest zgodne z wynikiem teoretycznym uzyskanym na podstawie modelu zderzeo ze zróżnicowaną między jednostkami skłonnością do oszczędzania (Bhattacharyya i in., 2005), (Chatterjee, Chakrabarti, 2007 i referencje tamże). Zatem można oczekiwad, że bogacenie się klasy średniej będzie polegało (z formalnego punktu widzenia) na maleniu wykładnika Pareto. Z kolei mechanizm zdobywania dochodów przez najbogatszych, podobnie jak w przypadku średniozamożnych gospodarstw domowych opiera się na istnieniu konkurencji rynkowej (Yamamoto i in., 2006), jednak w tym wypadku jednostki tworzące gospodarstwa domowe są przeważnie właścicielami konkurujących firm, przy czym dochody tych firm opisywane są prawem Zipfa (Okuyama i in., 999). Zakooczenie E7 Rok 2006 ranking =0,88±0,02 Const=0,05±0,3 Pareto =/ ranking =,4±0, Ranking 5 Dane o majątku 00 najbogatszych Polaków w roku 2006 zostały uzyskane ze strony internetowej tygodnika Wprost (Rankingi Wprost, 2009).

9 Maciej Jagielski, Ryszard Kutner 9 W pracy dokonano analizy empirycznych rozkładów skumulowanych dotyczących rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce w latach 2000 i Okazało się, że mogą one byd bardzo dobrze opisywane skumulowanym rozkładem log-normalnym w przypadku ubogich gospodarstw domowych, jak również słabym prawem Pareto dla gospodarstw średniozamożnych. Punkt przecięcia obu rozkładów może wyznaczad granicę podziału między ubogimi, a średniozamożnymi gospodarstwami domowymi. Fakt, że skumulowany rozkład log-normalny wykazuje tak dobrą zgodnośd z danymi empirycznymi wynika bezpośrednio z założeo Prawa Efektów Proporcjonalnych. W modelu tym zakładamy, że zmiany dochodu mogą byd niewielkie, co znajduje uzasadnienie w przypadku ubogich gospodarstw domowych. Wśród rozważanych modeli obiecujące wyniki uzyskano także dla uogólnionego modelu Lotka-Volterra. Model ten w dobrym przybliżeniu odzwierciedla analizowane rozkłady oraz oferuje cenne podejście teoretyczne na poziomie mikroskopowym, w którym dochód gospodarstwa domowego determinowany jest przez dochody dotychczas uzyskiwane oraz przez wysokośd świadczeo pomocy społecznej (ogólniej mówiąc redystrybucję dochodów w społeczeostwie) i ogólny stan gospodarki. Dzięki temu, iż wykładnik Pareto opisujący dochody średniozamożnych gospodarstw domowych można uzyskad zarówno poprzez analizę rozkładów skumulowanych jak i rankingu, udało się także wyznaczyd jego wartośd dla najbogatszych jednostek społeczeostwa polskiego. A zatem skumulowane roczne dochody gospodarstw domowych mogą byd opisane w całym zakresie za pomocą rozkładów: skumulowanego log-normalnego, w przypadku ubogich gospodarstw domowych, skumulowanego Pareto z wykładnikiem równym około 3, w przypadku średniozamożnych gospodarstw domowych, skumulowanego Pareto z wykładnikiem równym około, w przypadku najbogatszych gospodarstw domowych. Otrzymane rezultaty otworzyły drogę do dalszych badao. Przede wszystkim interesujące byłoby dokonanie analogicznej analizy w przypadku województw i porównanie jej z wynikami uzyskanymi w skali całego kraju. Cennych informacji dostarczyłyby również studia nad dochodami społeczeostw innych krajów Europy. Zebrane w ten sposób informacje mogłyby posłużyd budowie bardziej zaawansowanych modeli teoretycznych uwzględniających zróżnicowany terytorialnie charakter zamożności społeczeostw. Podziękowania

10 0 Rozdział i. Modelowanie zamożności polskich gospodarstw domowych metodami statystycznymi Składamy serdeczne podziękowania Głównemu Urzędowi Statystycznemu za udostępnienie nieidentyfikowalnych danych źródłowych dotyczących rocznych dochodów gospodarstw domowych w Polsce w latach 2000, 2003 oraz Bibliografia Armatte M. (995), Robert Gibrat la loi de l'effet proportionnel, Mathématiques et sciences humaines, nr 29. Bhattacharyya P., Chatterjee A., Chakrabarti B. K. (2005), A common mode of origin of power laws in models of market and earthquake, Physica A, nr 38. Chatterjee A., Chakrabarti B. K. (2007), Kinetic exchange models for income and wealth distributions, The European Physical Journal B, nr 60. Główny Urząd Statystyczny, Jagielski M. (2009), Badanie zamożności gospodarstw domowych w Polsce metodami egzotycznej i tradycyjnej fizyki statystycznej, praca magisterska dostępna w bibliotece IFD Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Jagielski M., Kutner R. (200), Study of households' income in Poland by using the statistical physics approach, "Acta Physica Polonica A, w druku. Mandelbrot B. (960), New Methods in Statistical Economics, The Journal of Political Economy, nr 7. Okuyama K., Takayasu M., Takayasu H. (999), Zipf's law in income distribution of companies, Physica A, nr 269. Rankingi Wprost, Richmond P., Hutzler S., Coelho R., Repetowicz P. (2006), A Review of Empirical Studies and Models of Income Distributions [w:] Chakrabarti B. K., Chakraborti A., Chatterjee A., Society in Econophysics and Sociophysics: Trends and Perspectives, WILEY-VCH, Weinheim. Richmond P., Solomon S. (200), Power laws are disguised Boltzmann laws, International Journal of Modern Physics C, nr 2. Solomon S., Richmond P. (2002), Stable power laws in variable economies; Lotka- Volterra implies Pareto-Zipf, The European Physical Journal B, nr 27. Yamamoto K., Miyazima S., Yamamoto H., Ohtsuki T., Fujihara A. (2006), The power-law exponent and the competition rule of the high income model [w:] Takayasu H., Practical Fruits of Econophysics: Proceedings of the Third Nikkei Econophysics Symposium, Springer, Tokyo.

11