Zmienne losowe i wprowadzenie do modelowania stochastycznego
|
|
- Lidia Wysocka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zmienne losowe i wprowadzenie do modelowania stochastycznego Opracował: Zbigniew Rudnicki 1 Spis treści Modele matematyczne Zmienne deterministyczne i zmienne losowe Ciąg realizacji zmiennej losowej i jego statystyki Szeregi, histogramy, rozkład doświadczalny z próby Estymacja parametrów rozkładów z populacji Wybrane rozkłady teoretyczne Proces stochastyczny 2 1
2 Modele i symulacja Praktyka inżynierska często wymaga badania układów niedostępnych lub jeszcze nie istniejących (projektowanych) bądź badania układów istniejących w zakresie niemożliwym do zrealizowania lub nieopłacalnym. W tym celu stosuje się badania symulacyjne na różnego rodzaju modelach. Najczęściej stosowane są modele matematyczne. 3 Każdy model a więc i matematyczny, jest tylko hipotetycznym oraz przybliżonym i uproszczonym odwzorowaniem wybranych cech rzeczywistego układu. 4 2
3 Modelowanie matematyczne Modelowanie matematyczne polega na opisywaniu funkcjonowania układów (mechanicznych, elektrycznych, biologicznych, ekonomicznych czy innych) językiem matematyki przy użyciu równań oraz nierówności zawierających stałe, zmienne, operatory działań oraz funkcje. Jednym z najważniejszych i najbardziej podstawowych pojęć jest zmienna. 5 DEFINICJA ZMIENNEJ Zmienna to symboliczna reprezentacja cechy, która posiada: NAZWĘ lub inny identyfikator np.: adres TYP określony przez strukturę (skalar, wektor, macierz, rekord, lista,...) rodzaj wartości (liczbowe, tekstowe, logiczne,...) dopuszczalny zakres wartości konkretną WARTOŚĆ (lub zbiór wartości) w danej chwili 6 3
4 Zmienne Model matematyczny bada zależności zmiennych wyjściowych od zmiennych wejściowych. Zmienne wejściowe Układ Zmienne wyjściowe Za zmienne wyjściowe przyjmowane są takie wielkości fizyczne, których otrzymywanie jest celem działania układu. Pozostałe mogą być uznawane za wejściowe. W maszynach i układach mechanicznych zmiennymi są np: siły. momenty, naprężenia, odkształcenia, parametry geometryczne i materiałowe, nazwy elementów, rodzaje więzów i in. 7 Zmienne c.d. Zazwyczaj wśród zmiennych wejściowych wyróżnia się: zmienne sterowalne i mierzalne zwane też zmiennymi decyzyjnymi zmienne wejściowe mierzalne lecz niesterowalne (na przykład temperatura otoczenia) zmienne mierzalne, niesterowalne i zachowujące w przybliżeniu stałe wartości w trakcie badań zmienne niesterowalne i niemierzalne uznawane za zakłócenia 8 4
5 cechy mierzalne: otoczenia Zmienne wyrażają przetwarzanych mediów (materiałów, energii, informacji) elementów układu (maszyny) a także mogą reprezentować: nazwy lub umowne wartości przypisane cechom niemierzalnym 9 Zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Zmienne DYSKRETNE (czyli skokowe) przyjmują tylko określone wartości ze skończonego lub przeliczalnego zbioru (np.: liczba zębów, liczba uszkodzeń, znormalizowana średnica) Zmienne CIĄGŁE - posiadają nieskończenie wiele wartości w każdym dowolnym skończonym przedziale Przykłady: siła, temperatura, naprężenie W praktyce - przy ograniczonej dokładności pomiaru - zmienne ciągłe ulegają dyskretyzacji 10 5
6 Niektóre TYPY zmiennych ze względu na strukturę: zmienna skalarna - jej wartość w danym momencie jest pojedynczą liczbą wektor n wymiarowy - jego wartość jest ciągiem n liczb np.: może reprezentować przebieg zmian siły macierz dwuwymiarowa (przestrzennie) np.: obraz zużytej powierzchni łożyska macierz trójwymiarowa (przestrzennie) (ciąg macierzy dwuwymiarowych) np.: film pokazujący przebieg zużycia powierzchni 11 Losowy charakter zmiennych Mimo powtarzania badania w możliwie tych samych warunkach nie uzyskujemy jednakowych wyników, bo: istnieją błędy pomiaru i błędy zadawania wartości powszechne są zakłócenia szczególnie w warunkach przemysłowych losowy charakter zmiennych może wynikać ze złożoności zjawisk np.:niestabilność, b.wiele stopni swobody,
7 Zmienne i zmienne losowe W modelu deterministycznym zmienna zwykła (deterministyczna) posiada w każdym momencie wartość określoną (zdeterminowaną): albo jako dana lub jako wynik obliczeń dla określonych danych Jednak dla większości wielkości fizycznych spotykanych w przemyśle nie jesteśmy w stanie ustalić ani przewidzieć dokładnej wartości (zakłócenia, błędy, rozrzut). Takie zmienne to ZMIENNE LOSOWE 13 Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa to zmienna dla której nie da się przewidzieć ani określić jaką konkretną przyjmie wartość a jedynie można oszacować (lub założyć) rozkład prawdopodobieństwa występowania: a) poszczególnych wartości (dla zmiennej dyskretnej), b) lub wartości z poszczególnych przedziałów (dla zmiennej ciągłej) Rozkład ten może być stały w czasie (stacjonarny) lub zmienny (niestacjonarny) 14 7
8 Badanie zmiennych losowych 1) Wielokrotny pomiar = zebranie danych statystycznych - ZBIORÓW REALIZACJI zmiennych losowych. 2) Badanie czy pewne wartości występują częściej niż inne przez sporządzenie HISTOGRAMU. 3) Jeśli histogram ma kształt zbliżony do krzywej Gauss a to: wyznaczenie parametrów (miar) tendencji centralnej wyznaczenie parametrów (miar) rozproszenia wyznaczenie parametrów (miar) odchyleń od rozkł. normalnego 4) Zastąpienie histogramu - przez dopasowaną do niego krzywą teoretyczną, na przykład: rozkład normalny, rozkład Gamma,.... inny rozkład 15 Badanie częstości występowania różnych wartości zmiennej losowej Sporządzenie HISTOGRAMU na przykład przez uporządkowanie rosnące ciągu wyników pomiarów podział zakresu zmienności na przedziały zliczenie ile wyników pomiarów mieści się w każdym przedziale przedstawienie tego na wykresie słupkowym 16 8
9 Opis zmiennej losowej - podstawowe statystyki Dla zbioru realizacji zmiennej losowej można wyznaczać podstawowe parametry statystyczne opisowe - zwane STATYSTYKAMI Ich główne kategorie to: 1) miary tendencji centralnej 2) miary rozproszenia 3) miary odchyleń od rozkładu normalnego 17 Przykład: Z dwu pól A i B zebrano po N=9 owoców borówki amerykańskiej wyniki pomiarów średnic przedstawiono w tabeli. Wartości średnie są takie same ale rozproszenie wyników inne 18 9
10 Miary tendencji centralnej Wartość oczekiwana (średnia, nadzieja matematyczna) ( X ) = E i= 1 Mediana = wartość w środku uporządkowanego rosnąco ciągu Moda = wartość najczęściej występująca n x i p i 19 Miary rozproszenia Wariancja = suma kwadratów odchyleń od średniej/n Odchylenie standardowe = pierwiastek z wariancji 20 10
11 Średnia i wariancja - przykład 21 Uogólnienie statystyk - momenty A więc: wartość oczekiwana - to moment zwykły rzędu pierwszego wariancja - to moment centralny rzędu drugiego 22 11
12 Miary odchyleń od normalności Skośność i kurtoza (eksces) histogramu Skośność określa asymetrię Eksces określa jak ostry krzywej histogramu lub łagodny kształt ma histogram 23 Miary odchyleń od normalności 24 12
13 Szeregi, histogram Mały ciąg realizacji (o liczności < 30) można uporządkować rosnąco. Powstaje w ten sposób: SZEREG POZYCYJNY Liczniejsze ciągi (>30) po uporządkowaniu dzieli się na przedziały i zlicza wartości w każdym przedziale. Powstaje w ten sposób: SZEREG ROZDZIELCZY Graficznym przedstawieniem szeregu rozdzielczego jest HISTOGRAM 25 Histogram Matematycznie - to wektor o tylu składowych ile mamy wartości lub przedziałów wartości zmiennej losowej. Każda składowa podaje częstość wystąpień wartości zmiennej losowej zawierających się w przedziale przypisanym tej składowej. Graficznie: - to słupkowy wykres częstości występowania poszczególnych wartości (lub wartości z kolejnych przedziałów) zmiennej losowej
14 Przykładowe zadanie Skontrolowano długość 1000 gwoździ, które nominalnie powinny mieć 3 cm a w praktyce długość ich wahała się w granicach: 25mm do 35mm Na podstawie danych pomiarowych sporządzić histogram o 10-ciu przedziałach 27 Przykład Histogramu oszacuj prawdopodobieństwo, że dł.< 34,99mm 28 14
15 Wyznaczanie histogramu w Mathcadzie: Dany ciąg X = {X i } oraz liczba przedziałów M 1) Wyznaczyć X min, X max 2) szerokość przedziału: Dx=(X max -X min )/M 3) wyznaczyć wektor początków przedziałów: XB k = X min + (k-1)*dx dla k = 1..M+1 Dla poszczególnych przedziałów wyznaczyć liczbę zawartych w nich X i (w Mathcadzie): H = hist(xb, X) 29 Histogram - przykład 2 Przez 12 miesięcy notowano ile razy w miesiącu nastąpiło awaryjne wyłączenie pewnej maszyny z powodu przeciążenia. Wyniki zamieszczono w tabeli poniżej. Przez W oznaczono liczbę wyłączeń. Sporządzić HISTOGRAM Wmin = 1 Wmax = 4 liczba przedziałów: m=4 Powtórzenia Histogram liczby awarii na miesiąc Liczba awarii/m-c 30 15
16 Histogram znormalizowany Po podzieleniu składowych histogramu przez liczbę wszystkich pomiarów otrzymujemy histogram znormalizowany podający względną częstość i stanowiący oszacowanie prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych wartości zmiennej losowej P rawdopodobieństwo liczby awarii / m-c 0 6/12 5/12 4/12 3/12 2/12 1/ Liczba awarii na mies iąc 31 Histogram znormalizowany czyli doświadczalnie otrzymany, szacunkowy rozkład prawdopodobieństwa Graficznie - to słupkowy wykres częstości względnej występowania wartości zmiennej losowej. Matematycznie - to wektor o tylu składowych ile mamy wartości lub przedziałów wartości zmiennej losowej. Każda składowa podaje względną częstość wystąpień: poszczególnych wartości - zmiennej losowej dyskretnej wartości w poszczególnych przedziałach - dla zmiennej losowej ciągłej 32 16
17 Histogram znormalizowany dla zmiennej losowej dyskretnej: podaje zbadaną doświadczalnie względną częstość występowania poszczególnych wartości zmiennej losowej względna częstość to ułamek (<1) który podaje ile razy wystąpiła dana wartość zm. losowej w stosunku do liczby wszystkich pomiarów 33 Histogram znormalizowany dla zmiennej losowej ciągłej: podaje zbadaną doświadczalnie względną częstość występowania wartości zmiennej losowej w przedziałach na jakie podzielono cały zakres. Względna częstość to ułamek (<1) który podaje ile razy wystąpiły wartości zm. losowej ciągłej mieszczące się w danym przedziale, w stosunku do liczby wszystkich pomiarów. Zadanie przykładowe: Skontrolowano długość 1000 gwoździ, które nominalnie powinny mieć 3 cm a praktyce długość wahała się w granicach -5mm, +5mm Mając dane pomiarowe sporządzić histogram o 10-ciu przedziałach 34 17
18 Empiryczny rozkład prawdopodobieństwa Zakładając, że zjawiska będą w przyszłości zachodziły z podobną częstością - możemy słupki histogramu znormalizowanego traktować jako: oszacowanie prawdopodobieństwa To założenie jest słuszne dla procesów stacjonarnych - czyli takich, których parametry statystyczne nie zmieniają się w czasie Histogram znormalizowany jest w takim przypadku - otrzymanym w wyniku doświadczeń czyli empirycznym - rozkładem prawdopodobieństwa 35 Od histogramu do krzywej ciągłej Gdy N jest liczbą danych to suma słupków histogramu zwykłego = N suma słupków histogramu znormalizowanego = N/N = 1 A więc - przy zwiększaniu liczby słupków histogramu znormalizowanego maleje ich wysokość, przy nieskończonej liczbie słupków wysokość = 0 dlatego ciągłą krzywą definiuje się najpierw dla ROZKŁADU SKUMULOWANEGO czyli DYSTRYBUANTY 36 18
19 ROZKŁAD SKUMULOWANY czyli DYSTRYBUANTA (ang.: CDF - Cumulative Distribution Function) : Definicja: F(x) = p(x<x) jest to wyznaczane dla poszczególnych x prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od tego x 37 Rozkład normalny f(x) = gęstość prawdopodobieństwa, F(x) = dystrybuanta Funkcja f(x) gęstości (ang.: density) rozkładu prawdopodobieństwa jest pochodną dystrybuanty F(x) Dystrybuanta F(x) czyli rozkład skumulowany jest całką funkcji f(x) gęstości rozkładu prawdopodobieństwa 38 19
20 Rozkłady teoretyczne Rozkłady teoretyczne to krzywe (funkcje) opisane wzorami, które dopasowuje się do rozkładów doświadczalnych (czyli histogramów znormalizowanych) Najbardziej znany i najczęściej stosowany jest ROZKŁAD NORMALNY wyrażony krzywą Gauss a Inne rozkłady używane w badaniach eksploatacyjnych to np.: Log-normalny Wykładniczy Weibull a Raileigh a Beta Poisson a Gama 39 Rozkład normalny (gęstości prawdopodobieństwa) Jednym z podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciągłej jest rozkład normalny. Jest on opisany symetryczną krzywą Gaussa. W przedziale: m ± 3σ mieści się 99.73% wartości zmiennej losowej = Reguła trzech sigm m ± 2σ mieści się 95,45% wartości zmiennej losowej, m ± σ mieści się 68,27% wartości zmiennej losowej
21 Reguła trzech sigm 41 Od histogramu do rozkładu Przykład 2 - obliczenia w Mathcadzie (1) W ciągu dwu miesięcy rejestrowano godziny przyjazdu autobusu a dokładniej ile minut po ósmej przyjechał autobus, który według rozkładu powinien być 10 minut po ósmej. Chcemy wykreślić HISTOGRAM czyli słupkowy wykres częstości przyjazdu dla poszczególnych minut (po ósmej).użyjemy do tego funkcji hist. 1) Najpierw z pliku dyskowego wczytamy do wektora t dane o przyjazdach autobusu: t := READPRN( AUTOBUS.PRN ) Elementy wektorów będziemy numerować od 1: ORIGIN := 1 Liczba wczytanych danych: N := length(t) N =
22 Od histogramu do rozkładu Przykład 2 - obliczenia w Mathcadzie (2) 2) wyznaczamy minimalną i maksymalną daną: tmin := min(t) tmin = 8 tmax := max(t) tmax = 16 3) ustalamy szerokość przedziału na 1 min: Dt := 1 w takim razie liczba przedziałów M będzie wynosić: M := (tmax-tmin) / Dt M = 8 Histogram H poda liczbę wystąpień wartości zmiennej losowej t w poszczególnych przedziałach zakresu (tmin.. tmax): 4) Wyznaczamy wektor T początków przedziałów: i := 1.. M+1 T i := tmin + (i-1) Dt 5) Wyznaczamy histogram przy pomocy funkcji hist: H := hist(t, t) 43 Od histogramu do rozkładu Przykład 2 - obliczenia w Mathcadzie (3) 44 22
23 Od histogramu do rozkładu c.d Do doświadczalnego wykresu histogramu znormalizowanego chcemy dopasować krzywą rozkładu teoretycznego (np. krzywą Gauss a) Pozwoli nam to uprościć dalsze obliczenia i sprowadzić działania na zmiennej losowej do szacunkowych działań arytmetycznych na parametrach tej krzywej Na przykład korzystać z reguły trzech sigm 45 Który rozkład teoretyczny wybrać? Do dyspozycji mamy wiele różnych wzorów i krzywych określających rozkłady teoretyczne np.: Wykładniczy Weibull a Raileigh a Beta Poisson a
24 Rozkład normalny 47 Rozkład Gamma 48 24
25 Kiedy spodziewać się rozkładu normalnego? Gdy zmienna teoretycznie powinna mieć stałą wartość ale wskutek zakłóceń czy błędów wykazuje losowy rozrzut to kształt histogramu może być zbliżony do krzywej Gauss'a. Wtedy można założyć (z większym czy mniejszym błędem), że jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym. Oczywiście dla histogramów wyraźnie niesymetrycznych lub wykazujących wiele maksimów założenie takie nie byłoby słuszne i popełnilibyśmy wtedy błąd. 49 Testy normalności Dla danego zbioru danych doświadczalnych można przeprowadzić testy normalności stwierdzające czy rozrzut jest zgodny z rozkładem normalnym np.: test Shapiro-Wilka i inne dostępne w programie STATISTICA 50 25
26 Dopasowanie krzywej Gauss a przy założeniu normalności rozkładu Wystarcza wyznaczenie dwu parametrów krzywej Gauss a: wartości średniej zbioru danych (położenie maksimum krzywej) odchylenia standardowego (pierwiastka z wariancji) - będącego miarą rozrzutu wokół średniej
27 Zastosowania rozkładów teoretycznych A) Do wyznaczania (szacowania) prawdopodobieństwa zjawisk na podstawie przyjętych funkcji rozkładów - są to operacje na zdeterminowanych liczbach i funkcjach B) Do symulacji zjawisk losowych przez generowanie liczb losowych zgodnie z przyjętymi rozkładami teoretycznymi - metody Monte Carlo 53 Przykłady 54 27
28 A) Wyznaczanie prawdopodobieństwa na podstawie przyjętych rozkładów 55 C.d. - prawdopodobieństwo pchnięcia skrzyni: 56 28
29 B) Obliczanie całki metodą Monte Carlo 57 Procesy stochastyczne Charakter zmiennej losowej określony jest rozkładem prawdopodobieństwa występowania jej wartości Proces stochastyczny to przebieg zmian tego rozkładu w funkcji czasu albo innych zmiennych (np.: położenia w przestrzeni) Proces stochastyczny jest więc funkcją (najczęściej czasu), której wartości są zmiennymi losowymi Przykładem procesu stochastycznego mogą być przewidywane zmiany oporów czy luzów w łożyskach w funkcji czasu eksploatacji maszyny
30 Procesy stochastyczne c.d. W praktyce dziedziną jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach
Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy
Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ
ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład I, 22.02.2016 STATYSTYKA OPISOWA, cz. I Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: strona z materiałami z przedmiotu: wne.uw.edu.pl/azylicz akson.sgh.waw.pl/~aborata
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoPozyskiwanie wiedzy z danych
Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;
STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; - badanie skuteczności nowego leku; - badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej)
Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej) 1 Podział ze względu na zakres danych użytych do wyznaczenia miary Miary opisujące
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski
Literatura STATYSTYKA OPISOWA A. Aczel, Statystyka w Zarządzaniu, PWN, 2000 A. Obecny, Statystyka opisowa w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne, Helion, 2002. A. Obecny, Statystyka matematyczna w Excelu
Bardziej szczegółowoTypy zmiennych. Zmienne i rekordy. Rodzaje zmiennych. Graficzne reprezentacje danych Statystyki opisowe
Typy zmiennych Graficzne reprezentacje danych Statystyki opisowe Jakościowe charakterystyka przyjmuje kilka możliwych wartości, które definiują klasy Porządkowe: odpowiedzi na pytania w ankiecie ; nigdy,
Bardziej szczegółowoZ poprzedniego wykładu
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoZawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41
Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 13 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca 2017 1 / 41 Na poprzednim wykładzie omówiliśmy następujace miary rozproszenia: Wariancja - to średnia arytmetyczna
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa- cd.
12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,
Bardziej szczegółowoW1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa
W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoGenerowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport
Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowo1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:
Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Adam Wosatko Magdalena Jakubek Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 4 Podstawy statystyki 4. Wstęp Statystyka nauka o metodach badań właściwości populacji (zbiorowości),
Bardziej szczegółowoWykład 5: Statystyki opisowe (część 2)
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2) Wprowadzenie Na poprzednim wykładzie wprowadzone zostały statystyki opisowe nazywane miarami położenia (średnia, mediana, kwartyle, minimum i maksimum, modalna oraz
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa PROWADZĄCY: DR LUDMIŁA ZA JĄC -LAMPARSKA
Statystyka opisowa PRZEDMIOT: PODSTAWY STATYSTYKI PROWADZĄCY: DR LUDMIŁA ZA JĄC -LAMPARSKA Statystyka opisowa = procedury statystyczne stosowane do opisu właściwości próby (rzadziej populacji) Pojęcia:
Bardziej szczegółowoW2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne.
W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. dr hab. Jerzy Nakielski Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. Etapy wnioskowania statystycznego 2. Hipotezy statystyczne,
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizycznej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczny, błąd przypadkowy,
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 19 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca / 33
Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 19 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca 2018 1 / 33 Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności (rozproszenia,
Bardziej szczegółowoMetody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2
Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Dr hab. inż. Agnieszka Wyłomańska Faculty of Pure and Applied Mathematics Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Science and
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoWykład 4: Statystyki opisowe (część 1)
Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wprowadzenie W przypadku danych mających charakter liczbowy do ich charakterystyki można wykorzystać tak zwane STATYSTYKI OPISOWE. Za pomocą statystyk opisowych można
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoSPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej
Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoInteligentna analiza danych
Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoZwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X
Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii
Plan wykładu Statystyka opisowa Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Statystyka matematyczna Podstawy estymacji Testowanie hipotez statystycznych Żródła Korzystałam z ksiażek:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY)
STATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY) Praca z danymi zaczyna się od badania rozkładu liczebności (częstości) zmiennych. Rozkład liczebności (częstości) zmiennej to jakie wartości zmienna
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3. Populacje i próby danych
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 Populacje i próby danych POPULACJA I PRÓBA DANYCH POPULACJA population Obserwacje dla wszystkich osobników danego gatunku / rasy PRÓBA DANYCH sample Obserwacje dotyczące
Bardziej szczegółowoYou created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Prezentacja materiału statystycznego Szeroko rozumiane modelowanie i prognozowanie jest zwykle kluczowym celem analizy danych. Aby zbudować model wyjaśniający relacje pomiędzy różnymi aspektami rozważanego
Bardziej szczegółowoWykład 3. Metody opisu danych (statystyki opisowe, tabele liczności, wykresy ramkowe i histogramy)
Wykład 3. Metody opisu danych (statystyki opisowe, tabele liczności, wykresy ramkowe i histogramy) Co na dzisiejszym wykładzie: definicje, sposoby wyznaczania i interpretacja STATYSTYK OPISOWYCH prezentacja
Bardziej szczegółowoCzęsto spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:
Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowo-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak
Wzory dla szeregu szczegółowego: Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) ->Średnia harmoniczna (1) ->Średnia harmoniczna (6) (2) ->Średnia
Bardziej szczegółowoStatystyka. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość statystyczna), jednostka statystyczna, próba. Cechy: ilościowe (mierzalne),
Statystyka zbiór przetworzonych i zsyntetyzowanych danych liczbowych, nauka o ilościowych metodach badania zjawisk masowych, zmienna losowa będąca funkcją próby. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoZmienne losowe zadania na sprawdzian
Zmienne losowe zadania na sprawdzian Zad. 1. Podane poniżej dane dotyczą zawartości suchej masy (w %) i sosu (w %) w 24 konserwach ze śledzia w pomidorach: Zawartość suchej masy: 12,0 13,0 14,5 14,0 12,0
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.
Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info 2 Na dziś Sprawy bieżące Przypominam, że 14.11.2015 pierwszy sprawdzian Konsultacje Sobota 9:00 10:00 pok.
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz
Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoPróba własności i parametry
Próba własności i parametry Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony
Bardziej szczegółowoTransport II stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Studia stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Metody probabilistyczne w transporcie Nazwa modułu w języku angielskim Probabilistic
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa WK Andrzej Pawlak. Intended Audience: PWR
Statystyka Opisowa WK1.2017 Andrzej Pawlak Intended Audience: PWR POJĘCIA STATYSTYKI 1. Zbiór danych liczbowych pokazujących kształtowanie się określonych zjawisk i procesów (roczniki statystyczne). 2.
Bardziej szczegółowoStatystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych
Statystyka Opisowa analiza zjawisk masowych Typy rozkładów empirycznych jednej zmiennej Rozkładem empirycznym zmiennej nazywamy przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej (x i ) odpowiadających im
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowo