12. Wykazać, że liczba podzbiorów zbioru {1, 2,..., n}, które nie zawieraja, dwu kolejnych liczb naturalnych

Transkrypt

1 !"$# % # &(' )**"+ 1 Numer telefoniczny może zaczynać sie, od dowolnej z dziesie, ciu cyfr Ile jest siedmiocyfrowych numerów telefonicznych, których wszystkie cyfry sa, : a różne; b nieparzyste 9 osób ustawia sie, w szereg Ile jest różnych ustawień, w których wybrane trzy osoby stoja, jedna obok drugiej? Na ile sposobów można podzielić 9 osób na trzy grupy trzyosobowe (kolejność grup oraz kolejność osób w grupie jest nieistotna)? 4 Na ile sposobów można podzielić grupe, z lożona, z trzech dziewczynek i trzech ch lopców na dwie grupy po troje dzieci w każdej, tak by w każdej grupie by l co najmniej jeden ch lopiec? 5 Ile par tanecznych (różnop lciowych) można utworzyć z m pan i n panów? 6 Ile rozwia, zań w liczbach ca lkowitych nieujemnych ma równanie x 1 + x + + x k = n, gdy k 1? 7 Ile jest par krawe, dzi danego sześcianu nie mieszcza, cych sie, w jednej p laszczyźnie? 8 Wykazać, że liczba podzbiorów zbioru {1,,, n}, które nie zawieraja, dwu kolejnych liczb naturalnych jest wyrazem cia, gu Fibonacciego: 1, 1,,, 5, 8, 1, Którym? 9 W sali balowej znajduje sie, k pań oraz l panów Na ile sposobów można utworzyć z nich n par tanecznych ( oczywiście ma być n min(k, l) )? 10 Ile jest p laszczyzn równoodleg lych od czterech danych punktów, które nie leża, w jednej p laszczyźnie? 11 Każda, krawe, dź sześcianu podzielono na n równych odcinków Przez każdy z punktów podzia lu poprowadzono p laszczyzne, prostopad la, do krawe, dzi, na której ten punkt leży Ile prostopad lościanów powsta lo w wyniku poprowadzenia tych p laszczyzn? 1 Wykazać, że liczba podzbiorów zbioru {1,,, n}, które nie zawieraja, dwu kolejnych liczb naturalnych jest wyrazem cia, gu Fibonacciego: 1, 1,,, 5, 8, 1, Którym? 1 Ile jest permutacji zbioru {1,,,, 1}, takich że iloczyn każdych dwu sa, siednich liczb jest parzysty? 14 Na ile sposobów można posadzić na 5 miejscowej lawie 10 panów i 15 pań, tak by mie, dzy każdymi dwoma panami siedzia la co najmniej jedna pani 15 Na okre, gu wybrano 100 różnych punktów w taki sposób, że żadne trzy odcinki, których końcami sa, wybrane punkty nie maja, wspólnego punktu wewne, trznego Ile punktów przecie, cia sie, tych odcinków leży wewna, trz okre, gu? 16 Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba wylosowana spośród liczb , , 00000,, , , be, dzie mia la sume, trzech pierwszych cyfr równa, sumie trzech cyfr ostatnich Wylosowanie każdej z liczb jest tak samo prawdopodobne 17 Jeśli w wyniku rzutu moneta, symetryczna, wypadnie orze l, Jan dostaje 1 z l, jeśli wypadnie reszka traci 1 z l Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że po każdym z n losowań Jan ma jakieś pienia, dze W chwili rozpocze, cia losowań nie ma nic 18 W urnie znajduje sie, : jedna kula oznaczona numerem 1, kule oznaczone numerem, trzy kule oznaczone numerem, itd, n kul oznaczonych numerem n Prawdopodobieństwo wycia, gnie, cia każdej kuli jest takie samo Losujemy dwie kule (bez zwracania) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwu kul oznaczonych tym samym numerem? 19 Z talii 5 kart do gry losujemy 9, z nich losujemy kolejno dwie (bez zwracania) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że druga z wylosowanych kart jest waletem? 0 Doświadczenie powtarzane n razy kończy sie, sukcesem z prawdopodobieństwem p (w jednej próbie) 1

2 Jakie jest prawdopodobienstwo uzyskanie parzystej liczby sukcesów w n próbach? 1 Jeśli w wyniku rzutu moneta, symetryczna, wypadnie orze l, Ewa dostaje 1 z l, jeśli wypadnie reszka traci 1 z l Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że po żadnym z n losowań Ewa nie jest zad lużona W chwili rozpocze, cia losowań nie ma nic W urnie znajduje sie, 10 kul bia lych, 8 kul czerwonych i 7 kul zielonych Wylosowanie dowolnej z 5 kul jest tak samo prawdopodobne Losujemy kolejno trzy kule bez zwracania Wykazać, że prawdopodobieństwo tego, że trzecia wylosowana kula be, dzie bia la jest mniejsze niż ( 7 10) Pewien koszykarz trafia do kosza z prawdopodobieństwem 4 5 z odleg lości 6 m, a z odleg lości 9 m z prawdopodobieństwem 5 Wykonuje on 10 rzutów: pie, ć z odleg lości 6 m i pie, ć z odleg lości 9 m Wyniki rzutów sa, niezależne (bo jest dobrze przygotowany psychicznie) Obliczyć: a prawdopodobieństwem tego, że chybi co najmniej dwa razy, b prawdopodobieństwo tego, że wszystkie rzuty z odleg lości 6 m by ly celne, jeśli nie trafi l dok ladnie raz 4 Na egzamin przygotowano 16 pytań: 8 latwych i 8 trudnych W czasie egzaminu student losuje trzy pytania i musi odpowiedzieć na co najmniej dwa z nich, by zdać Student zna odpowiedzi na wszystkie latwe pytania, zaś odpowiedzi na pytania trudne cze, ściowo zgaduje: prawdopodobieństwo udzielenia poprawnej odpowiedzi na każde z trudnych pytań równe jest 1 Obliczyć: a prawdopodobieństwo zdania egzaminu, c prawdopodobieństwo tego, że student wylosowa l same trudne pytanie, jeśli wiadomo, że zda l egzamin, d prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jeden z sześciu jednakowo przygotowanych studentów nie zda egzaminu zak ladaja, c, że pytania losowali niezależnie i w trakcie egzaminu nie porozumiewali sie, ze soba, 5 Sa, trzej strzelcy: dwaj kiepscy i jeden dobry Dobry trafia w cel jednym strza lem z prawdopodobieństwem 0,8, kiepski z prawdopodobieństwem 0,6 Wybieramy losowo jednego z nich (wybór każdego jest tak samo prawdopodobny) Oblicz prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strza lem Oblicz prawdopodobieństwo tego, że strzela l strzelec dobry wiedza, c, że wybrany strzelec trafi l w cel jednym strza lem Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrany strzelec trafi w cel strzelaja, c po raz drugi, jeśli uda lo mu sie, to za pierwszym razem 6 Dane sa, dwa zbiory: A = {1,,, 4, 5}, B = {1,,, 4, 5, 6} Losujemy najpierw element ze zbioru {A, B}, wylosowanie każdego z nich jest tak samo prawdopodobne Naste, pnie losujemy trzy liczby (bez zwracania) z wylosowanego zbioru Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6 7 Strzelec A trafia w cel z prawdopodobieństwem 0,9, a strzelec B z prawdopodobieństwem 0,5 Strzelili równocześnie w ten sam obiekt Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w cel trafi l strzelec B, jeśli trafi la w cel jedna kula Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w cel trafi l strzelec B, jeśli wiadomo, że w cel trafi la co najmniej jedna kula

3 8 Wydano egzemplarzy ksia, żki Prawdopodobieństwo, że wybrany egzemplarz jest wadliwy równe jest 0,0001 Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia sie, dok ladnie 5 wadliwych egzemplarzy wśród wydanych ? Wykazać, że jeśli zastosujemy wzór przybliżony 105 5! e 10 0,07, to pope lniony b la, d wzgle, dny be, dzie mniejszy od 0,01% podanej wartości 9 Rzucamy raz 4 kostkami do gry Dla każdej kostki każdy z 6 możliwych wyników uzyskiwany jest z takim samym prawdopodobieństwem Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek równa jest osoby graja, w brydża Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania przez partnerów 1 trefli w 1 rozdaniu 1 Losujemy trzy wierzcho lki danego n + 1 ka, ta foremnego Wybór każdej trójki jest tak samo prawdopodobny Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w trójka, cie, którego wierzcho lkami sa, wylosowane punkty znajduje sie, środek wieloka, ta Rzucamy n razy moneta, Liczba p k oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia w tych n rzutach dok ladnie k or lów Obliczyć n k=0 kp k przyjmuja, c, że prawdopodobieństwo uzyskania or la w jednym rzucie równe jest 1 Liczby 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ustawiamy losowo w cia, g Wszystkie ustawienia sa, jednakowo prawdopodobne Znaleźć prawdopodobieństwo, tego że liczby 1 i wysta, pia, obok siebie oraz prawdopodobieństwo tego, że liczby 1,, wysta, pia, obok siebie w kolejności wzrastania 4 Rzucamy raz pie, cioma kostkami do gry Dla każdej kostki każdy z sześciu możliwych wyników uzyskiwany jest z takim samym prawdopodobieństwem Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek na wszystkich pie, ciu kostkach jest równy Na każdej z dziesie, ciu lawek siada siedem z siedemdziesie, ciu obecnych osób Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dwie dane osoby usia, da obok siebie Wszystkie rezultaty zajmowania miejsc na tych siedmiooosobowych lawkach sa, równoprawdopodobne 6 Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dwie ostatnie cyfry (w uk ladzie dziesie, tnym) liczby n sa, jedynkami, jeśli wybór każdej liczby n jest tak samo prawdopodobny 7 Rzucamy n razy kostka, do gry W jednym rzucie każdy z 6 wyników jest uzyskiwany z prawdopodobieństwem 1 6 Liczba p k oznacza prawdopodobieństwo tego, że w dok ladnie k spośród n rzutów liczba otrzymanych oczek by la podzielna przez Obliczyć n k=0 kp k 8 Rzucamy raz 4 kostkami do gry Dla każdej kostki każdy z 6 możliwych wyników uzyskiwany jest z takim samym prawdopodobieństwem Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wyrzuconych oczek równa jest 00 9 Ustawiamy w cia, g wszystkie dodatnie liczby ca lkowite, które można przedstawić w postaci sumy czwartych pote, g dodatnich liczb ca lkowitych Wykazać, że jeden z wyrazów tego cia, gu jest równy 00 Który? 40 Co jest bardziej prawdopodobne: (a) w zapisie dziesie, tnym losowo wybranej liczby spośród liczb 1,,, n wyste, puje cyfra 7, (b) w zapisie dziesie, tnym losowo wybranej liczby spośród liczb 1,,, n NIE wyste, puje cyfra 7 Zbadać przypadki n = 10 6 oraz n = Rzucamy n razy moneta, Liczba p k oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia w tych n rzutach dok ladnie k or lów Obliczyć n k=0 k(k 1)p k przyjmuja, c, że prawdopodobieństwo uzyskania or la w 1 rzucie równe jest 1

4 4 Abonent zapomnia l ostatniej cyfry numeru telefonu i wykre, ca ja, losowo Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że be, dzie dzwonić w nie wie, cej niż trzy miejsca Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że be, dzie dzwonić w nie wie, cej niż trzy miejsca, jeśli pamie, ta, że zapomniana cyfra jest nieparzysta 4 Wykazać, że jeśli P (A) > 0, P (B) > 0 oraz P (A B) > P (A), to P (B A) > P (B) 44 Ściany czworościanu pomalowano: pierwsza na bia lo, druga, na zielono, trzecia, na czerwono, czwarta, trzema kolorami wyste, puja, cymi na poprzednich ścianach Rzucamy czworościanem Może on upaść na każda, ściane, z prawdopodobieństwem 1 4 Niech B oznacza zdarzenie : upad l na ściane,, na której wyste, puje kolor bia ly, Z upad l na ściane,, na której wyste, puje kolor zielony, C upad l na ściane,, na której wyste, puje kolor czerwony Czy zdarzenia B, Z, C sa, parami niezależne? Czy sa, niezależne jako zespó l trzech zdarzeń? 45 Losujemy bez zwracania liczby ze zbioru {1,,,, n} Wylosowanie każdej jest tak samo prawdopodobne A k oznacza zdarzenie k ta wylosowana liczba jest wie, ksza od poprzednio wylosowanej Znaleźć P (A k ) Wykazać, że zdarzenia A 1, A,, A n sa, niezależne 46 Rzucamy symetryczna, moneta, do chwili, gdy wypadnie orze l lub trzy razy Jakie jest prawdopodobieństwo wykonania trzech rzutów, jeśli za pierwszym razem wypad la reszka? 47 Dwie osoby graja, na naste, puja, cych zasadach: pierwszy wygrywa, jeśli wygra m partii, drugi jeśli wygra k partii Pierwszy gracz wygrywa partie, z prawdopodobieństwem p (0, 1), drugi z prawdopodobieństwem 1 p Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy gracz wygra mecz? 48 Dowieść, że dla dowolnych zdarzeń A, B zachodzi nierówność P (A B) 1 P (A) P (B) 49 Dowieść, że jeśli zdarzenia A, B sa, niezależne i zdarzenia A, C również sa, niezależne, i zdarzenia B i C wykluczaja, sie,, to zdarzenia A i B C sa, niezależne 50 Dowieść, że jeśli P (B A) = P (B (\A), to zdarzenia A i B sa, niezależne \A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A 51 Dowieść, że jeśli zdarzenia A i B sa, niezależne, to każda z par A, \B, B, \A, \A, \B sk lada sie, ze zdarzeń niezależnych 5 Dowieść, że jeśli P (A) = a, P (B) = b, to P (A B) a+b 1 b 5 W urnie znajduje sie, k kul bia lych i l kul czarnych Wylosowano k + l kul Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w urnie zosta lo k kul bia lych i l kul czarnych 54 Ciekawostka: Znajdziemy sume, n (n 1) Niech f(x) = 1+ x+4 x + +n (n 1)x n Mamy f(x) = ( x + x + x x n ) ( ) = x x n+1 1 x = [x (n+1)x n ](1 x)+x x n+1 (1 x) = ( ) = nx n+1 (n+1)x n x +x (1 x) = [n(n+1)x n n(n+1)x n 1 x+](1 x)+[nx n+1 (n+1)x n x +x] (1 x) = = n(n 1)xn+1 +(n 1)x n n(n+1)x n 1 + (1 x) = n(n 1)xn+1 (n 1)x n +n(n+1)x n 1 (x 1) Niech g(x) = n(n 1)x n+1 (n 1)x n + n(n + 1)x n 1 Mamy g(1) = n(n 1) (n 1) + n(n + 1) = 0 Wobec tego wielomian g(x) jest podzielny przez wielomian x 1 Mamy również g (x) = n(n 1)(n + 1)x n n(n 1)x n 1 + n(n + 1)(n 1)x n, zatem g (1) = n(n 1)(n + 1) n(n 1) + n(n + 1)(n 1) = 0 Niech g(x) = (x 1)g 1 (x) Wtedy g (x) = g 1 (x) + (x 1)g 1(x), a ponieważ 0 = g (1) = g 1 (1) + (1 1)g 1(1) = g 1 (1), wie, c wielomian g 1(x) jest podzielny przez x 1 Niech g 1 (x) = (x 1)g (x) Zachodzi równość g (x) = n (n 1)(n + 1)x n 1 n(n 1)(n 1)x n + n(n + 1)(n 1)(n )x n, zatem g (1) = n (n 1)(n + 1) n(n 1)(n 1) + n(n + 1)(n 1)(n ) = 4

5 = n(n 1)[n (n 1) + n ] = 0 Mamy też g(x) = (x 1)g 1 (x) = (x 1) g (x), zatem g (x) = g (x) + 4(x 1)g (x) + (x 1) g (x) Sta, d 0 = g (1) = g (1), zatem g (1) = 0, zatem wielomian g (x) jest podzielny przez x 1 Istnieje wie, c wielomian g (x) taki, że g (x) = (x 1)g (x) Wobec tego g(x) = (x 1) g (x) Mamy dwie równości g (x) = n (n 1) (n + 1)x n n(n 1)(n 1)(n )x n + n(n + 1)(n 1)(n )(n )x n 4 oraz g (x) = 6g (x) + 18(x 1)g (x) + 9(x 1) g (x) + (x 1) g () (x) Wynika z nich, że 6g (1) = n (n 1) (n + 1) n(n 1)(n 1)(n ) + n(n + 1)(n 1)(n )(n ) = (n n) Mamy również f(x) = Sta, d wynika, że g(x) (x 1) = (x 1) g (x) (x 1) = g (x) Wobec tego n (n 1) = f(1) = g (1) = (n n) 6 = n n ( n ) = n n = ( ) n+1 Przyk lad ten pokazuje pewna, metode, uzyskiwania wzorów na n ty wyraz cia, gu Z wyrazami cia, gu powia, zaliśmy pewna, funkcje, i po kilku przekszta lceniach otrzymaliśmy interesuja, ca, równość Oczywiście te, równość można uzyskać innymi sposobami, np z trójka, ta Pascala, ale przedstawiona metoda ma szerokie zastosowania 5