SPIS TREŚCI 2 SPIS TREŚCI REFORMA TEMAT NUMERU NAUCZANIE MATEMATYKI MATERIAŁY ZOSTATNIEJŁAWKI. Danuta Buniecka: Fizyka z plusem przetestowana...

Transkrypt

1

2 SPIS TREŚCI REFORMA Danuta Buniecka: Fizyka z plusem przetestowana... 3 TEMAT NUMERU Agnieszka Ciesielska: Cenność bryły... 4 Iwona Goslar: Figury przestrzenne w zabytkach... 6 Maria Sierocka: Cotojestlitr?... 8 Agnieszka Ciesielska: Ostrosłup na topie... 9 Elżbieta Kowalczyk: Niejedno zadanie o zwykłym sześcianie Jarosław Szydełko: Diaskop na matematyce Roman Bukurski: Jedenaście siatek sześcianu NAUCZANIE MATEMATYKI Zofia Zyzak: Równania z kredek Barbara Gniewosz: Walec i stożek w życiu codziennym Klasa patronacka Matematyki z plusem Aleksandra Grabowska: Dwa sposoby kształtowania intuicji Halina Kolak: Dowodzimy tw. Pitagorasa Anna Bołtuć: Planowanie urlopu Zadania Tomka Renata Baraniak: Poleświecznika Gabriela Chudobska: Tabliczka mnożenia Joanna Marszałek: Konkurs Zagadka Matematołka Danuta Buniecka: Energia na matematyce Agnieszka Piecewska-Łoś: Trzynaście ksiąg Gabriela Wencel: Jak oceniam słabszych uczniów Mam pomysł Jacek Lech: ListzAmeryki Listy MATERIAŁY Sprawdzian dla szóstoklasistów ZOSTATNIEJŁAWKI Matematołkowa poczta SPIS TREŚCI

3 Agnieszka Ciesielska Cenność bryły Czyli o problemach z geometrią przestrzenną. Taki sobie wzór Cenność bryły (C) obliczamy, mnożąc jej wat (w) przez liczbę krawędzi (k) i dzieląc w wypadku ostrosłupa przez 3, graniastosłupa przez 2, a innej bryły przez 7. Ile wynosi cenność graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wacie 5zł? C =5 9:2=22, 50 (zł). Tyle, że... nie mam pojęcia, co to jest wat i cenność bryły. Ale czy to w czymkolwiek przeszkadza? Obawiam się, że dla wielu uczniów, zwłaszcza w szkole podstawowej, zadania ze stereometrii niewiele się różnią od przytoczonego wyżej. Podajemy jakieś tajemnicze liczby i za ich pomocą każemy obliczyć jakąś inną liczbę, równie oderwaną od rzeczywistości. Trzeba tylko uważać, żeby nie pomylić wzorów. W gimnazjum jest troszeczkę lepiej. Uczniowie muszą nieraz samodzielnie wyliczać z twierdzenia Pitagorasa pewne długości, więc nie mogą być one zupełną abstrakcją. Dużo czy mało Nawet ci uczniowie, którzy rozumieją pojęcie wysokości, pola podstawy, objętości, otrzymują liczby, które nic im nie mówią, np. 50 cm 3. Pięćdziesiąt to spora liczba. Pięćdziesiąt centymetrów pół metra. Czy którykolwiek z uczniów ma świadomość, że 50 cm 3 to niecałe ćwierć szklanki? Gdy mówimy o polach powierzchni figur płaskich, rozpoczynamy od wypełniania figur centymetrami kwadratowymi. Następnie obliczamy pola narysowanych prostokątów czy trójkątów, niekiedy zaczynając od zmierzenia potrzebnych długości. Dopiero potem pojawiają się zadania, w których mowa o jakiejś wymyślonej figurze. Jak ważne są dla uczniów narysowane figury, widać, gdy część klasy traktuje szkic w podręczniku jak figurę, o której mowa, i chce mierzyć potrzebne długości, zamiast znaleźć je w treści zadania lub obliczyć. W geometrii przestrzennej nie ma zadań typu zmierz i oblicz. Od razu pojawia się obliczanie np. objętości bryły o podanych wymiarach, której żaden z uczniów nie widział na oczy. A przecież objętości czy pola powierzchni figur przestrzennych powinniśmy obliczać dla brył, które uczeń widzinacodzień modelizpracowni matematycznej, szafy stojącej w klasie, puszki po mące. Jeśli obliczenia są zbyt skomplikowane, to po prostu użyjmy kalkulatora. Dobrym ćwiczeniem jest również szacowanie objętości (pojemności) różnych przedmiotów. Pomiary i przybliżone obliczenia dokonywane w celu sprawdzenia dokładności szacowania mogą uczniów więcej nauczyć o obliczaniu objętości niż cała seria podręcznikowych zadań. Płasko czy przestrzennie Popatrzmy na przedstawiony na następnej stronie rysunek. Co na nim widać? Oczywiście siatkę i szkic sześcianu? A może krzyż z kwadratów i sześciokąt z dziwną plątaniną linii 4 TEMAT NUMERU

4 w środku? Czy potrafią Państwo właśnie tak spojrzeć na te rysunki? Niełatwo, prawda? Równie ciężko jest czwartoklasistom zobaczyć powyższe figury tak, jak my je widzimy. Może jeszcze widzą tę kostkę na drugim rysunku. Ale spojrzeć na pierwszy rysunek jak na potencjalny sześcian, wyobrazić sobie, które kwadraty do których będą przylegać to naprawdę dużo pracy. O dzieciach, dla których takie operacje długo stanowią problem, mówimy, że nie mają wyobraźni przestrzennej. A może po prostu miały zbyt mało okazji do operowania modelami? Modele, modele Byłoby idealnie, gdyby każdy uczeń miał na ławce zestaw brył. Słabszy uczeń powinien mieć tych brył więcej i przez dłuższy czas, aby w wypadku wątpliwości mógł dotknąć, obrócić, sprawdzić, policzyć wierzchołki i krawędzie. W praktyce oczywiście czasem dajemy modele uczniom, ale ci najsłabsi starają się być od nich jak najdalej (a nuż padnie jakieś pytanie?). I kłopoty ze stereometrią rosną... Co gorsza, im starszy uczeń, tym trudniej o dobre modele. W czwartej klasie nie ma kłopotów niemal każde pudełko to model prostopadłościanu, o sześcian też nie jest zbyt trudno. Później jest coraz gorzej. Jeszcze dość łatwo jest zrobić model graniastosłupa, przy ostrosłupie trzeba się już trochę napracować, a kulę wpisaną w stożek możemy tylko kupić w fabryce pomocy naukowych. Może więc odwrócić problem i zamiast martwić się o modele skomplikowanych brył, lepiej wykonywać wiele różnorodnych ćwiczeń na sześcianach czy prostopadłościanach? Umiejętności tak nabyte na pewno przydadzą się później. Pomysły na rozwijanie wyobraźni przestrzennej Dobrym ćwiczeniem jest na przykład rysowanie rzutów budowli złożonej z kilku prostopadłościanów albo budowanie jej na podstawie rzutów. W podręcznikach niestety nie ma zbyt wielu takich ćwiczeń, możemy jednak wykorzystać pomysłowość uczniów. Jeśli pokażemy im przykład, mogą zadawać sobie nawzajem różne pytania. Na ogół wtedy bardzo dobrze stopniują ich trudność. Lekcja może mieć formę ćwiczeń w parach lub konkursu między grupami. Takie zajęcia możemy przeprowadzać w dowolnym momencie w pierwszy dzień wiosny, w Dzień Dziecka albo gdy klasa jest po trudnej klasówce więc wiadomo, że i tak się nie skupi. Ważne jest, aby uczniowie mieli pod ręką modele, bo wtedy sami mogą sprawdzać poprawność rozwiązania. Mogą ponadto pomagać sobie modelami, gdy zadanie jest zbyt trudne do rozwiązania w wyobraźni. Takie zajęcia wciągają wszystkich, zarówno zdolnych, jak i najsłabszych. Uczniowie cieszą się, że mają luźną lekcję, a my będziemy zbierać plony, gdy przyjdzie czas na poważną stereometrię. TEMAT NUMERU 5

5 Zofia Zyzak Równania z kredek Wprowadzamy metodę przeciwnych współczynników. Do lekcji należy przygotować kilka szablonów kredek w dwóch rozmiarach i kolorach. Rozpoczynamy od prostego zadania: Szara i niebieska kredka mają razem 8 cm długości. Jedna kredka szara i dwie niebieskie mają długość 10 cm. Jaka jest długość każdej kredki? Uczniowie zapisują treść zadania w postaci układu równań, a ja przedstawiam je za pomocą szablonów na tablicy. Szablony zrobione są z kolorowych kartonów, mocuję je magnesami na metalowej tablicy. Szablony układam w ten sposób (jeden dokładnie pod drugim), aby można było od razu odczytać długość niebieskiej kredki, pod spodem natomiast rysuję kredą linię pokazującą długość. x długość szarej kredki y długość niebieskiej kredki { x + y =8 x +2y =10 y =10 8=2 x =8 2=6 Uczniowie mogą łatwo zauważyć, że jedna niebieska kredka ma 2 cm długości, a długość drugiej wynosi 6 cm. Rozwiązujemy następne zadanie: Kredka szara i niebieska mają razem 10 cm, a szara i cztery niebieskie mają razem 19 cm długości. Jaką długość ma każda kredka? Zapisujemy układ równań oraz układamy szablony: a długość szarej kredki b długość niebieskiej kredki { a + b =10 a +4b =19 3b =19 10 = 9 b =3 a =10 3=7 Skoro trzy krótsze kredki mają razem 9 cm, to jedna musi mieć 3 cm. Dłuższa kredka ma więc 7 cm. Po tych przykładach uczniowie powinni już zauważyć, że rozwiązywanie tego typu układów odpowiada odejmowaniu równań stronami. Rozwiązujemy kolejne zadanie: Szara i niebieska kredka mają razem 12 cm, trzy szare kredki i pięć niebieskich mają w sumie 40 cm. Jaka jest długość każdej kredki? 18 GRAFICZNE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ

6 Zapisujemy układ równań i układamy szablony. s długość szarej kredki n długość niebieskiej kredki { s + n =12 3s +5n =40 Uczniowie podają ( burza mózgów ) sposoby postępowania. Wspólnie ustalamy, że należy pierwsze równanie doprowadzić do takiej postaci, aby można było układ rozwiązać podobnie, jak dwa pierwsze. Osiągamy to, mnożąc je stronami przez 3, co odpowiada na rysunku zestawieniu trzech kompletów (komplet to kredka szara i kredka niebieska). { 3s +3n =36 3s +5n =40 2n =4 n =2 s =10 Uczniowie teraz już łatwo zauważą, że dwie małe niebieskie kredki mają długość 4 cm, czyli jedna ma 2 cm (szara ma 10 cm). Teraz formułujemy zasadę postępowania w takich przypadkach mnożymy obie strony jednego równania tak, aby w obu równaniach przy tej samej niewiadomej były te same współczynniki (tasamaliczbakredek). W miarę potrzeb i czasu można rozwiązać kilka takich prostych układów ułożonych przez uczniów. Rozwiążmy teraz takie zadanie: Kredka szara i trzy kredki niebieskie mają 13 cm długości. Kredka szara jest o 5 cm dłuższa od niebieskiej. Jaka jest długość każdej kredki? d długość szarej kredki k długość niebieskiej kredki d +3k =13 d k =5 3k + k =8 4k =8 k =2 Zauważamy, że skoro cztery niebieskie kredki mają długość 8 cm, to jednamadługość2cm.szaramawięc 7cm. Pokazujemy teraz uczniom, że odejmowanie stronami [3k ( k) =3k+ +k =4k], gdy współczynniki są ujemne, może być uciążliwe. Dlatego aby ułatwić sobie obliczenia, dążymy do sytuacji, w której przy jednej niewiadomej byłyby przeciwne współczynniki, wtedy odejmowanie stronami zastępujemy dodawaniem. Uczniowie na lekcji prowadzonej w ten sposób sami formułują zasady postępowania obowiązujące przy stosowaniu metody przeciwnych współczynników, rozumieją, skąd się taka metoda wzięła, uczą się wnioskowania oraz uogólniania. Nawet słabsi z nich potrafią sobie poradzić z rozwiązywaniem prostych układów równań za pomocą rysunków. GRAFICZNE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ 19

7 Konkursy W numerze trzynastym na podstawie rysunków do zagadki Matematołka należało odgadnąć pojęcia matematyczne: Figury przystające oraz Trójka pitagorejska. Spośród uczestników konkursu wylosowaliśmy dwie panie: Magdę Dąbrowską z Warszawy i Wiolettę Walichnowską z Poznania, które otrzymują Astronomię Dinah L. Moche. Gratulujemy wygranej! Niektórzy z Państwa przysyłają własne propozycje zagadek. Jedną z nich autorstwa pana Jacka Cackowskiego prezentujemy w tym numerze, za wszystkie bardzo dziękujemy. Podziękowanie Organizatorzy konkursu matematycznego dla klas IV Muszelka serdecznie dziękują firmie CASIO za ufundowanie atrakcyjnych nagród w postaci kalkulatorów. Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów Adres redakcji: Gdańsk, ul. Trzy Lipy 3, tel. (58) w. 180 fax (58) w. 111 Dział sprzedaży: tel Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.com.pl Redaktor naczelny: Marcin Braun Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk, ul. Trzy Lipy 3 Redaguje kolegium: Marcin Braun Agnieszka Ciesielska Aleksandra Golecka Marcin Karpiński Joanna Kniter Jacek Lech Michał Stukow Projekt graficzny, okładka, ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Zdjęcie na okładce: Magda Saja Druk i oprawa: Stella Maris Nakład: 6000 egz. 48 TEMAT NASTĘPNEGO NUMERU: PRACA W GRUPACH

8