RANSAC algorithm and elements of graph theory for automatic plane detection in 3D point clouds

Transkrypt

1 RANSAC algorithm and elements of graph theory for automatic plane detection in 3D point clouds Martyna Poreba, François Goulette To cite this version: Martyna Poreba, François Goulette. RANSAC algorithm and elements of graph theory for automatic plane detection in 3D point clouds. Symposium de PTFiT (Polish Society for Photogrammetry and Remote Sensing), Sep 01, Poland. 4, pp <hal > HAL Id: hal Submitted on 19 Jul 013 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Archiwum Fotogrametrii, Kartografii i Teledetekcji Vol. 4, 01, s ISBN AUTOMATYCZNA DETEKCJA PŁASZCZYZN W CHMURZE PUNKTÓW W OPARCIU O ALGORYTM RANSAC I ELEMENTY TEORII GRAFÓW RANSAC ALGORITHM AND ELEMENTS OF GRAPH THORY FOR AUTOMATIC PLANE DETECTION IN 3D POINT CLOUD Martyna Porba 1,, François Goulette 1 Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie, Katedra Geoinformacji, Fotogrametrii i Teledetekcji rodowiska MINES ParisTech, CAOR Centre de Robotique, Mathématiques et Systèmes SŁOWA KLUCZOWE: chmura punktów, segmentacja, RANSAC, graf, algorytm najbliszego ssiada, etykietowanie, spójny komponent STRESZCZENIE: Artykuł przedstawia metod automatycznego wyodrbniania punktów modelujcych płaszczyzny w chmurach punktów pochodzcych z mobilnego bd statycznego skaningu laserowego. Zaproponowany algorytm bazuje na odpornym estymatorze RANSAC umoliwiajcym iteracyjn detekcj płaszczyzn w zbiorze cechujcym si znacznym poziomem szumu pomiarowego i iloci punktów odstajcych. Aby zoptymalizować jego działanie, dla kadej wykrytej płaszczyzny uwzgldniono relacje ssiedztwa pomidzy punktami przynalenymi. W tym celu zastosowano podejcie oparte na teorii grafów, gdzie chmura punktów traktowana jest jako graf nieskierowany, dla którego poszukiwane s spójne składowe. Wprowadzona modyfikacja obejmuje dwa dodatkowe etapy: ustalenie najbliszych ssiadów dla kadego punktu wykrytej płaszczyzny wraz z konstrukcj listy ssiedztwa oraz etykietowanie spójnych komponentów. Rezultaty uzyskane pokazuj i algorytm poprawnie wykrywa płaszczyzny modelujce, przy czym niezbdny jest odpowiedni dobór parametrów pocztkowych. Czas przetwarzania uzaleniony jest przede wszystkim od liczby punktów w chmurze. Nadal jednak aktualny pozostaje problem wraliwoci algorytmu RANSAC na nisk gstoć chmury oraz nierównomierne rozmieszczenie punktów. 1. WPROWADZENIE Rekonstrukcja trójwymiarowych modeli budynków odgrywa w ostatnich latach znaczc rol w dziedzinie fotogrametrii i widzenia komputerowego. Rozwój technologii skaningu laserowego w aspekcie szybkoci pomiaru, precyzji punktów oraz rozdzielczoci otworzył nowe horyzonty bada, zawłaszcza w temacie modelowania zabudowy na podstawie nieuporzdkowanej chmury punktów. Istotnym etapem przetwarzania i analizy danych jest segmentacja majca na celu wyodrbnienie fragmentów o tym samym znaczeniu semantycznym. Jako kryterium jednorodnoci przyjmuje si na ogół połoenie punktów, krzywizn czy kierunek wektora normalnego. W wiecie realnym budynki w znacznej mierze formowane s jako kombinacja płaszczyzn. Segmentacja automatyczna 301

3 Martyna Porba, François Goulette ma na celu rozkład chmury punktów na podzbiory punktów reprezentujce poszczególne płaszczyzny. Istniejce metody segmentacji chmur punktów stanowi rozwinicie dobrze znanych algorytmów, dedykowanych pierwotnie cyfrowemu przetwarzaniu obrazów. Zapewniaj one minimalizacj strat informacji przestrzennej wystpujcych w przypadku koniecznoci konwersji danych 3D do postaci D. Krótki przegld metod i algorytmów moliwych do zastosowania przedstawiony przez (Vosselman et al., 004) i (Boulaassal, 010) pozwala wyrónić dwie kategorie metod segmentacji. Pierwsza rodzina obejmuje algorytmy działajce na zasadzie łczenia, takie jak metoda rosncych płaszczyzn (and. surface growing) czy algorytm dziel-łcz (ang. split - merge). Drug grup stanowi techniki umoliwiajce automatyczn rekonstrukcj form zdefiniowanych poprzez prymitywy geometryczne w postaci sfery, płaszczyzny, cylindra lub stoka. Zalicza si do nich transformat Hougha (ang. Hough Transformation) i algorytm RANSAC (ang. RANdom SAmple Consensus). Przeprowadzone badania literaturowe pokazuj i na etapie segmentacji danych dominuj metody rosncych płaszczyzn czy te te oparte o algorytm RANSAC. W swoich pracach (Bauer et al., 005) i (Boulaassal, 010) wykorzystuj algorytm RANSAC dla celów detekcji fasad budynków. Aby zoptymalizować działanie tego estymatora w procesie wyodrbniania płaszczyzn, został on poddany licznym modyfikacjom. (Awwad et al., 010) oraz (Delmerico et al., 011) proponuj uwzgldnienie kierunku wektora normalnego obliczonego w kadym punkcie chmury. Algorytm (Yang et al., 010) polega na podziale chmury punktów na małe bloki, zawierajce nie wicej ni trzy płaszczyzny. Nastpnie w kadym wokselu aproksymowane s płaszczyzny, których liczba weryfikowana jest poprzez zasad MDL (ang. Minimum Description Length). Wykryte płaszczyzny łczone s ostatecznie ze sob w oparciu o pewne parametry lokalne. Metody (Deschaud, 010), (Tuttas et al., 010) bazuj natomiast na algorytmie rosncych płaszczyzn polegajcym kolejno na identyfikacji płaszczyzny pierwotnej, a nastpnie jej ekspansji, czyli grupowaniu punktów według pewnych ustalonych parametrów okrelajcych ich wzajemne podobiestwo. Istnieje ponadto wiele wariantów metody rosncych płaszczyzn, rónicych si midzy sob sposobem wyboru płaszczyzn pocztkowych jak równie kryterium rozrostu. Liczne s równie prace porównujce rezultaty segmentacji chmur punktów przeprowadzonych z uyciem wymienionych algorytmów. (Jarzbek-Rychard, et al., 010) konfrontuje wydajnoć estymatora RANSAC z metod rosncych płaszczyzn. Przeprowadzone testy polegajce na detekcji połaci dachowych w danych z lotniczego skaningu laserowego pozwalaj stwierdzić, i RANSAC jest rozwizaniem lepszym w przypadku segmentacji modeli nieskomplikowanych geometrycznie. Z drugiej jednak strony jest on bardziej podatny na łczenie w jedn płaszczyzn matematyczn punktów przynalecych do rónych, w rzeczywistoci odrbnych obiektów. W podobnym kontekcie realizuje swoje studium porównawcze (Tarsha-Kurdi, 008) testujc algorytm RANSAC i transformat Hougha. Stwierdza on, e RANSAC jest bardziej przystosowany do przetwarzania danych przestrzennych. W niniejszej pracy poruszono problematyk segmentacji chmur punktów w pełni automatycznej detekcji płaszczyzn. Zaproponowana metoda bazuje na algorytmie RANSAC, którego działanie zostało zoptymalizowane poprzez uwzgldnienie relacji ssiedztwa pomidzy punktami tworzcymi dan powierzchni matematyczn tak, aby współpłaszczyznowym obiektom przypisać odrbne, ograniczone płaszczyzny modelujce. 30

4 Automatyczna detekcja płaszczyzn w chmurze punktów w oparciu o algorytm RANSAC i elementy teorii grafów.. ALGORYTM RANSAC Algorytm RANSAC jest iteracyjn metod stosowan w celu estymacji parametrów poszukiwanego modelu matematycznego obiektu w zbiorze danych zawierajcym znaczn iloć punktów nienalecych do modelowanej powierzchni (Fischler et al., 1981), (Zuliani, 01). Fakt ten, czyni estymator RANSAC szczególnie interesujcym dla celów przetwarzania chmur punktów obarczonych szumem i błdnymi pomiarami. Działanie algorytmu obejmuje zasadniczo dwie fazy: inicjalizacj i test, obydwie powtarzane iteracyjnie. Etap inicjalizacji polega na wyborze w sposób losowy minimalnego zbioru punktów (kworum), niezbdnego do jednoznacznego wyznaczenia parametrów estymowanego modelu geometrycznego. W przestrzeni euklidesowej płaszczyzn definiuj cztery parametry 1 4, z czego trzy s niezalene. Parametry hipotetycznego modelu M() wyznaczane s zatem w oparciu o trzy elementy losowej próbki. Nastpnie pozostałe punkty ze zbioru porównywane s z tak utworzonym modelem. W tej fazie niezbdne jest przyjcie progu () okrelajcego zakres, w którym punkt (p) pasuje do modelu. Wszystkie punkty spełniajce zadane kryterium (ang. inlieres) dodawane s do zbioru CS (ang. Consensus Set) (1), a cały etap okrelany jest mianem testu. CS { p N : em ( p, M ( )) } (1) Rónica midzy punktem a modelem obliczana jest na podstawie równania (): e M def * ( p, M ( )) min dist( p, p ) ( p p ) () gdzie p i * oznacza rzut ortogonalny punktu p na model M(). n i1 i * i Dobór odpowiedniej wartoci tolerancji () - szerokoci bufora wokół płaszczyzny redniej - odgrywa wan rol na poziomie stabilnoci algorytmu RANSAC i wpływa na jakoć wyodrbnionych płaszczyzn. Jako e skanowane obiekty nie s utworzone z idealnych powierzchni, a chmura punktów posiada pewn miszoć spowodowan szumem pomiarowym, wpasowanie modelu odbywa si z zachowaniem pewnej elastycznoci. Najczciej tolerancja () definiowana jest jako maksymalna odległoć testowanego punktu od teoretycznego modelu. Według (Hartley et al., 003) wartoć moe zostać wyznaczona przy załoeniu, e wszystkie dane obarczone s szumem gaussowskim, czyli błdem o rozkładzie normalnym ~ N(0, I) dla = p-p*. Zatem tolerancja () okrela z prawdopodobiestwem P czy dany punkt naley do strefy buforowej. Poniewa i ~ N(0,1) n n i P ( em ( p, M ( ) ) P[ ] [ ( ) ] i1 i P (3) i1 zatem zmienna losowa n i ( ) i 1 posiada rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody. Ostatecznie, rozwijajc równanie (3), przy uwzgldnieniu powyszych zalenoci, wartoć tolerancji () obliczana jest zgodnie z relacj (4): 303

5 Martyna Porba, François Goulette 1 F ( P) (4) gdzie: 1 F - wartoć krytyczna rozkładu chi-kwadrat z liczb stopni swobody równ dwa na poziomie istotnoci P. W ten sposób wyznaczenie wartoci progowej () sprowadza si do podania prawdopodobiestwa P oraz wartoci szumu pomiarowego. Proces inicjalizacji i testu powtarzany jest iteracyjnie dla nowo wylosowanej próbki zbiorów minimalnych, a liczba powtórze (Iter) wyznaczana jest zgodnie z równaniem (5) (Zuliani, 01). W przypadku gdy liczebnoć punktów card(cs) w kolejnym znalezionym zbiorze CS jest wiksza od poprzedniego, zastpuje on dotychczasowy zbiór. 3 Iter log(1 P) (1 P) (1 W ) Iter (5) 3 log(1 W ) Powysza zalenoć pokazuje, e liczba iteracji obliczana jest na postawie znajomoci prawdopodobiestwa P identyfikacji najlepszej płaszczyzny oraz prawdopodobiestwa W, e wszystkie punkty losowej próbki nale do ostatecznego modelu. Dobór tych parametrów odbywa si w sposób empiryczny, std te prawdopodobiestwo P przyjmuje wartoć z przedziału , z kolei W powinno być oszacowane w funkcji danych (6). card( CS) W (6) card( N) gdzie: card(n) liczba wszystkich punktów wejciowego zbioru danych. Z praktycznego punktu widzenia, okrelenie parametru W moe przysporzyć problemów dlatego te algorytm RANSAC w wersji bazowej inicjalizowany jest poprzez zgrubn estymacje tej wartoci. Rozwizanie zaproponowane przez (Hartley et al., 003) zmniejsza czas przetwarzania pozwalajc na dynamiczny dobór maksymalnej liczby iteracji, aktualizowanej przed rozpoczciem nastpnej sekwencji - inicjalizacji i testu. 3. PROPONOWANY ALGORYTM DETEKCJI PŁASZCZYZN W niniejszej pracy algorytm RANSAC (Zuliani, 01) z modyfikacjami wprowadzonymi przez (Hartley et al., 003) zaimplementowano sekwencyjnie, a wic punkty przynalece do kadej kolejno zidentyfikowanej płaszczyzny s wyłczane z dalszych poszukiwa. Algorytm koczy swoje działanie, gdy wykryta zostanie wstpnie załoona liczba płaszczyzn (N pl ) lub liczba punktów nie pozwala ju na poprawn estymacj modelu. Rysunek 1 ilustruje rezultat ekstrakcji trzech kolejnych płaszczyzn w chmurze punktów (N). Cech specyficzn algorytmu RANSAC jest fakt, i generuje on dwa rodzaje błdów: powierzchniowe i liniowe, formowane przez punkty ułoone w sekwencje linii lub pól rozproszonych wokół powierzchni dominujcej. Punkty te tworz jedn płaszczyzn matematyczn lecz z punktu widzenia semantycznego nie s zgodne z rzeczywistoci, gdy nale do rónych obiektów. Podstawowym wyzwaniem 304

6 Automatyczna detekcja płaszczyzn w chmurze punktów w oparciu o algorytm RANSAC i elementy teorii grafów. postawionym przed rozwijanym algorytmem, decydujcym o jego operacyjnoci, jest zdolnoć detekcji dla kadego elementu architektonicznego odrbnej płaszczyzny modelujcej. Rys. 1. Rezultat detekcji trzech płaszczyzn w chmurze punktów za pomoc algorytmu RANSAC w wersji bazowej (dany kolor odpowiada jednej płaszczynie) Aby zoptymalizować działanie algorytmu RANSAC wprowadzono dodatkowo ograniczenie dotyczce łcznoci pomidzy punktami wyodrbnionymi dla poszczególnych powierzchni. W rezultacie dla kadego podzbioru reprezentujcego pojedyncz płaszczyzn weryfikowane jest czy stanowi on jeden cigły element, czy moe zbiór rozłcznych powierzchni. Zaproponowane rozwizanie opiera si na teorii grafów traktujc tym samym chmur punktów jako graf nieskierowany, dla którego poszukiwane s spójne składowe. Takie podejcie umoliwia prac bezporednio na chmurze punktów. Rys.. Etapy ekstrakcji płaszczyzn: a) Detekcja płaszczyzny za pomoc RANSAC; b) Wyodrbnienie spójnych komponentów; c) Płaszczyzna zachowana po uwzgldnieniu kryterium łcznoci W rozwijanym algorytmie wyrónia si dwa główne etapy: sekwencyjn detekcj płaszczyzny za pomoc algorytmu RANSAC oraz analiz spójnoci sprowadzajc si do ustalenia listy ssiedztwa dla wszystkich punktów, a nastpnie etykietowania spójnych komponentów (Rys. ). Ostatecznie dla kadego wyznaczonego spójnego komponentu obliczana jest powierzchnia (S k ) jako pole otoczki wypukłej, czyli najmniejszego poligonu 305

7 Martyna Porba, François Goulette zamknitego obejmujcego zbiór. Region o najwikszym polu stanowi punkty reprezentujce najlepsz powierzchni, pozostałe punkty włczane s ponownie do pocztkowego zbioru danych i uczestnicz w dalszych poszukiwaniach. Rys. 3. Diagram czynnoci zaproponowany algorytm detekcji płaszczyzn Rysunek 3 przedstawia schemat zaproponowanego algorytmu detekcji płaszczyzn wzbogaconego o analiz spójnych komponentów. Wyodrbnienie spójnych składowych wymaga okrelenia trzech parametrów: promienia sfery R oraz maksymalnej liczby ssiadów K, których znaczenie zostanie szczegółowo omówione w nastpnym paragrafie. Ograniczenie liczby wyodrbnianych komponentów sprowadza si do zdefiniowania parametru N min okrelajcego minimaln liczebnoć Lista ssiedztwa W uproszczeniu graf to zbiór wierzchołków S, wród których niektóre połczone s za pomoc krawdzi E {{ u, v}: u, v S, u v}. Z kolei kada krawd zaczyna si i koczy w wierzchołku mogc tym samym obrazować relacje midzy obiektami jak na przykład ssiedztwo dwóch wybranych wierzchołków. Aby usystematyzować relacje pomidzy punktami chmury punktów grafu, najwygodniej jest przedstawić chmur w postaci listy ssiedztwa, która dla kadego wierzchołka przyporzdkowuje list jego najbliszych ssiadów krawdzi wychodzcych z punktu (Rys. 4). Skonstruowanie wspomnianej listy wymaga zaimplementowania algorytmu analizujcego ssiedztwo lokalne punktów. Istniej dwie najczciej wykorzystywane strategie okrelania ssiedztwa punktu. Pierwsza, polega na wyszukaniu, dla kadego punktu w zbiorze, ustalonej liczby K najbliszych ssiadów połoonych w odległoci minimalnej. Według innej definicji, s to 306

8 Automatyczna detekcja płaszczyzn w chmurze punktów w oparciu o algorytm RANSAC i elementy teorii grafów. wszystkie punkty zawarte w sferze o promieniu R (Deschaud, 010). Takie rozwizanie, w porównaniu do pierwszego, jest niezalene od rozmieszczenia punktów, przy czym dedykowane jest gstym chmurom punktów. W niniejszej pracy połczono zalety obu metod definiujc ssiedztwo lokalne punktu jako zbiór punktów zawartych w sferze o promieniu R przy jednoczesnym ograniczeniu liczby ssiadów do K. Rys. 4. Reprezentacja grafu w postaci listy ssiedztwa 3.. Ekstrakcja spójnych komponentów Wyszukanie spójnych składowych grafu sprowadza si do okrelenia jego maksymalnych podgrafów, czyli takich, które mona wydzielić z całego grafu bez usuwania krawdzi. Jedn z metod eksploracji grafów jest przeszukiwanie w głb (ang. DFS Depth-first search). Algorytm ten moe być zastosowany do wyznaczania spójnych komponentów grafu. Idea jest prosta procedura rozpoczyna działanie w wybranym wierzchołku grafu oznaczanym jako odwiedzony i nadaje mu odpowiedni etykiet. Nastpnie przechodzi wzdłu krawdzi do kolejnego, nieodwiedzonego jeszcze ssiada. Eksploracja wykonywana jest do momentu natrafienia na wierzchołek, który nie posiada ju nieodwiedzonych ssiadów. Wtedy procedura wraca do poprzedniego odwiedzonego wierzchołka i kontynuuje przeszukiwanie w głb. Po wykonaniu pełnego przejcia (wszystkie wierzchołki osigalne z wierzchołka startowego zostały odwiedzone) wybierany jest nowy wierzchołek pocztkowy, zwikszany numer etykiety, a procedura ponownie wykonuje rekurencyjne poszukiwania. W przeciwnym wypadku algorytm koczy działanie, gdy wszystkie wierzchołki grafu zostały ju odwiedzone, a badany graf jest spójny i stanowi jeden komponent. Poszukujc bardziej wydajnej metody etykietowania spójnych składowych grafu zastosowana została dekompozycja Dulmage Mendelsohn (DM) macierzy rzadkiej A zawierajcej list wszystkich par wierzchołków ssiednich. W teorii grafów umoliwia ona w unikalny sposób rozkład grafu dwudzielnego na spójne podgrafy. Z punktu widzenia praktycznego dekompozycja DM odpowiada permutacji wierszy (p) i kolumn (q) macierzy niekwadratowej A do postaci górnej blokowo trójktnej (7): 307

9 Martyna Porba, François Goulette A11 A1 A13 A A3 A4 C A( p, q) (7) A A44 Ostatecznie spójne komponenty obliczane s w oparciu o ponisze równanie: p ( r( i) : r( i 1) 1) (8) gdzie: r- lista wierzchołków przynalecych do tego samego spójnego komponentu. 4. PODSUMOWANIE Testy numeryczne wykonano na chmurach punktów o rónej rozdzielczoci, pochodzcych z mobilnego i statycznego skaningu laserowego. Uzyskane wyniki pokazuj, e algorytm RANSAC wzbogacony o analiz spójnych komponentów poprawnie rozdziela punkty odpowiadajce poszczególnym obiektom, lecym w tej samej płaszczynie matematycznej (Rys. 5). Wykorzystanie, nierozpowszechnionej dotd dekompozycji Dulmage-Mandelsohn przyniosło oczekiwane rezultaty, pozwalajc na efektywne wyodrbnienie i zaetykietowanie spójnych komponentów. Najbardziej czasochłonnym etapem metody jest analiza ssiedztwa punktu, a czas realizacji zadania uzaleniony jest od gstoci chmury punktów. Zaproponowany algorytm pozwala na automatyzacj procesu detekcji płaszczyzn, wymagajc od operatora wprowadzenie jedynie kilku parametrów wejciowych, dostosowanych do przetwarzanych danych. Algorytm jest odpowiedni dla segmentacji nieskomplikowanych modeli, w szczególnoci głównych powierzchni fasad budynków czy jezdni. Rys. 5. Rezultat detekcji płaszczyzn w chmurze pozyskanej przez system mobilny Riegl VMX-50. Ustalone parametry: =0.01m, P=0.99; R=0.m, K=5; N_min=00 Istotn wad RANSAC pozostaje cigle jego wraliwoć na nisk gstoć chmury i nieregularne rozmieszczenie punktów. Fakt ten sprawia, e RANSAC moe wyodrbniać fałszywe płaszczyzny, które nie znajduj pokrycia w rzeczywistoci. Przeprowadzone badania pokazuj, e problem ten ujawnia si głównie podczas pracy na surowych chmurach punktów pozyskanych przez systemy mobilne. Moliwe przestoje platformy pomiarowej powoduj bowiem nagromadzenie w jednym rejonie znacznej iloci punktów. 308

10 Automatyczna detekcja płaszczyzn w chmurze punktów w oparciu o algorytm RANSAC i elementy teorii grafów. Naleałoby zatem w przyszłoci przeznaczyć dodatkowy czas na ujednorodnienie i filtracje danych wejciowych. Kolejnym kierunkiem ulepszenia opisanego algorytmu bdzie optymalizacja czasu poszukiwania ssiedztwa lokalnego punktu poprzez strukturyzacj chmury punktów za pomoc np. kd-drzewa (ang. kd-tree). 5. LITERATURA Awwad T. M., Zhu Q., Du Z., Zhang Y., 010. An improved segmentation approach for planar surfaces from unstructured 3D point clouds. The Photogrammetric Record, 5(19), s Bauer J., Karner K., Schindler K., Klaus A., Zach C., 005. Segmentation of building from dense 3D point-clouds. In Proceedings of the ISPRS. Workshop Laser scanning Enschede Netherlands, September Boulaassal, H., 010. Segmentation et modélisation géométrique de façades de bâtiments à partir de relevés laser terrestres. PhD Thesis, Université de Strasbourg. Delmerico J. A., David P., Corso J. J., 011.Building Facade Detection, Segmentation, and Parameter Estimation for Mobile Robot Localization and Guidance. In Proceedings of IROS International Conference on Intelligent Robots and Systems. Deschaud, J-E., 010. Traitements de nuages de points denses et modélisation 3D d environnement par système mobile LIDAR/Caméra. PhD Thesis, MINES ParisTech. Fischler, M. A., Bolles, R. C., Random sample consensus: A paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography. Communications of the ACM, 4(6), s Hartley R., Zisserman A., 003. Multiple view geometry in computer vision. Cambrige University Press, Second edition, s Jarzbek-Rychard M., Borkowski A., 010. Porównanie algorytmów RANSAC oraz rosncych płaszczyzn w procesie segmentacji danych z lotniczego skaningu laserowego. Archiwum Fotogrametrii, Kartografii i Teledetecji, vol. 1, s Tarsha Kurdi, F., 008. Extraction et reconstruction de bâtiments en 3D à partir de relevés lidar aéroportés. PhD Thesis, Université de Strasbourg. Tuttas S., Stilla U., 011. Window Detection In Sparse Point Clouds Using Indoor Points. International Archives of Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, vol. 38 (3/W), s Vosselman G., Gorte B.G.H., Sithole G., Rabbani T., 004. Recognising structure in laser scanner point clouds. The International Archives of the Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences, Vol. XXXVI, s Yang M.Y., Forstner W., 010. Plane Detection in Point Cloud Data, Technical Report Nr.1, Department of Photogrammetry, University of Bonn. Zuliani M., 01. RANSAC for Dummies, Technical Report

11 Martyna Porba, François Goulette RANSAC ALGORITHM AND ELEMENTS OF GRAPH THEORY FOR AUTOMATIC PLANE DETECTION IN 3D POINT CLOUD KEY WORDS: point cloud, segmentation, RANSAC, graph, k-nearest neighbour algorithm, labelling, connected component Summary Laser scanning techniques play very important role in acquiring of spatial data. Once the point cloud is available, the data processing must be performed to achieve the final products. The segmentation is an inseparable step in point cloud analysis in order to separate the fragments of the same semantic meaning. Existing methods of 3D segmentation are divided into two categories. The first family contains algorithms functioning on principle of fusion, such as surface growing approach or split-merge algorithm. The second group consists of techniques making possible the extraction of features defined by geometric primitives i.e.: sphere, cone or cylinder. Hough transform and RANSAC algorithm (RANdom SAmple Consensus) are classified to the last of aforementioned groups. This paper studies techniques of point cloud segmentation such as fully automatic plane detection. Proposed method is based on RANSAC algorithm providing an iterative plane modelling in point cloud affected by considerable noise. The algorithm is implemented sequentially, therefore each successive plane represented by the largest number of points is separated. Despite all advantages of RANSAC, it sometimes gives erroneous results. The algorithm looks for the best plane without taking into account the particularity of the object. Consequently, RANSAC may combine points belonging to different objects into one single plane. Hence, RANSAC algorithm is optimized by analysing the adjacency relationships of neighbouring points for each plane. The approach based on graph theory is thus proposed, where the point cloud is treated as undirected graph for which connected components are extracted. Introduced method consists of three main steps: identification of k-nearest neighbours for each point of detected plane, construction of adjacency list and finally connected component labelling. Described algorithm was tested with raw point clouds, unprocessed in sense of filtration. All the numerical tests have been performed on real data, characterized by different resolutions and derived from both mobile and static laser scanning techniques. Obtained results show that proposed algorithm properly separates points for particular planes, whereas processing time is strictly dependent on number of points within the point cloud. Nevertheless, susceptibility of RANSAC algorithm to low point cloud density as well as irregular points distribution is still an important problem. This paper contains literature review in subject of existing methods for plane detection in data set. Moreover, the description for proposed algorithm based on RANSAC, its principle, as well as the results is also presented. Dane autorów: Mgr in. Martyna Porba telefon: Prof. dr hab. in. François Goulette francois.goulette@mines-paristech.fr telefon: (+33)