Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka. Metody Komputerowe w Technice

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka. Metody Komputerowe w Technice"

Transkrypt

1 Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka Metody Komputerowe w Technice Temat: Generatory liczb losowych algorytmy z wykorzystaniem S-funkcji w programie MATLAB Autor: Dawid Najgiebauer Informatyka w elektroenergetyce, rok 2006/07, sem. VII, (Śr. g ) Prowadzący: dr inż. R. Stanisławski Ocena:... Uwagi:... O P O L E

2 Spisy 2 1. Spisy 1.1. Spis treści 1. Spisy Spis treści Spis tabel Spis równań Spis rysunków Spis zawartości załączonej płyty CD Opis tematu Założenia Znaczenie liczb losowych Opis badanych generatorów liczb losowych Generator liniowy i afiniczny Generator inwersyjny Generator reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji Generator afiniczny Generator inwersyjny Generator reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Badanie i testowanie generatorów Generator afiniczny Generator inwersyjny Generator reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Wnioski z testowania generatorów Bibliografia Spis tabel Tabela 3.1. Przykładowy wynik działania generatora afinicznego z parametrami a=5, b=1 i M= Tabela 3.2. Przykładowy ciąg generatora inwersyjnego dla a=5, b=1 i M= Tabela 3.3. Przykładowy ciąg uzyskany z generatora BBS, dla p=11 i q=11 oraz s= Tabela 3.4. Przykładowy ciąg po zastosowaniu filtra von Neumanna Tabela 4.1. Zdefiniowane funkcje rozkładu generatora Neumanna Tabela 5.1. Tabela zależności długości okresu generatora inwersyjnego od parametrów równania... 21

3 Spisy Spis równań Równanie 3.1. Równanie generatora liniowego... 6 Równanie 3.2. Równanie generatora afinicznego Równanie 3.3. Równanie generatora inwersyjnego Równanie 3.4. Równanie inwersyjnego dzielenia modulo... 7 Równanie 3.5. Wzór generatora BBS Równanie 3.6. Uogólniony wzór generatora potęgowego reszt Spis rysunków Rysunek 3.1. Porównanie histogramu otrzymanych liczb losowych z wykresem zadanej funkcji w zależności od liczby losowań Rysunek 3.2. Histogram rozkładu liczb losowych uzyskanych algorytmem Neumanna Rysunek 4.1. Wygląd okna "S-Funtion Builder" oraz jego parametry Rysunek 4.2. Schemat oraz przykładowe parametry i wyniki dla generatora afinicznego Rysunek 4.3. Schemat oraz przykładowe wyniki generatora inwersyjnego Rysunek 4.4. Schemat oraz wyniki symulacji generatora reszt potęgowych Rysunek 4.5. Schemat i przykładowe wyniki wykorzystywany w badaniu generatora Neumanna Rysunek 5.1. Wykres zależności kolejnych liczb ciągu generatora afinicznego dla a=5, b=1, M= Rysunek 5.2. Wykres zależności długości okresu od parametrów a i b przy stałym M= Rysunek 5.3. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=5, b=1, M= Rysunek 5.4. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=3, b-3, M=16 (nie maksymalny okres) Rysunek 5.5. Wykres zależności kolejnych liczb pseudolosowego ciągu dla generatora inwersyjnego przy parametrach a=3, b=7 i M= Rysunek 5.6. Wykres zależności długości okresu od parametrów generatora inwersyjnego Rysunek 5.7. Histogram ciągu pseudolosowego uzyskanego generatorem inwersyjnym przy parametrach a=3, b=4, M= Rysunek 5.8. Histogram ciągu pseudolosowego uzyskanego generatorem inwersyjnym przy parametrach a=3, b=5, M=17 (nie maksymalny okres) Rysunek 5.9. Histogram liczb ciągu pseudolosowego uzyskanego z generatora potęgowego reszt przy parametrach p=11, q=11, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniej cyfry dziesiętnej Rysunek Histogram liczb ciągu pseudolosowego uzyskanego z generatora potęgowego reszt przy parametrach p=11, q=11, s=25 oraz w=2, przy analizie reszt z dzielenia przez Rysunek Histogram liczb ciągu pseudolosowego uzyskanego z generatora potęgowego reszt przy parametrach p=307, q=311, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniej cyfry dziesiętnej Rysunek Zależność kolejnych liczb pseudolosowych w generatorze potęgowym reszt przy parametrach p=307, q=311, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniego bitu (reszta z dzielenia przez 2) Rysunek Histogram otrzymanych wyników generatora potęgowego reszt przy parametrach p=307, q=311, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniego bitu (reszta z dzielenia przez 2) Rysunek Wykres kolejnych liczb pseudolosowych uzyskiwanych po zastosowaniu filtra Neumanna Rysunek Histogram otrzymanych liczb pseudolosowych w wyniku zastosowania filtru von Neumanna dla 40 liczb wyjściowych Rysunek Histogram otrzymanych liczb pseudolosowych w wyniku zastosowania filtru von Neumanna dla liczb wyjściowych... 26

4 Spisy Spis zawartości załączonej płyty CD Katalog/plik docs\generatory liczb losowych.doc docs\generatory liczb losowych.pdf matlab\inwersyjny.mdl matlab\liniowy.mdl matlab\neumann.mdl matlab\potegowy.mdl matlab\src\ Opis Dokumentacja projektu w formacie MS Word Dokumentacja projektu w formacie Adobe Acrobat (PDF) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora inwersyjnego (p. 4.2) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora afinicznego (p. 4.1) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora z wykorzystaniem filtru Neumanna (p. 4.4) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora potęgowego reszt (p. 4.3) Katalog z kompletnymi źródłami oraz skompilowanymi przez program MATLAB 6.5 R13 plikami wykorzystanymi w badaniach nad generatorami; nazwy z kodami źródłowymi w C wykorzystanych S-Funkcji znajdują się w plikach gen_<nazwa>.c, gdzie <nazwa> wskazuje na rodzaj generatora.

5 Opis tematu 5 2. Opis tematu Przedmiotem pracy jest scharakteryzowanie, analiza i implementacja za pomocą S-funkcji w programie MATLAB czterech algorytmów generatorów liczb losowych: - generator liniowy, - generator inwersyjny, - potęgowy generator reszt, - metoda eliminacji von Neumanna 2.1. Założenia Należy opracować algorytmy realizujące zadane generatory przy użyciu języka programowania C/C++ z wykorzystaniem programu do analizy matematycznej MATLAB. Program ten pozwala na złożone i sekwencyjne obliczenia zadanych wzorów z wykorzystaniem czytelnych schematów blokowych przy użyciu modułu SIMULINK. Można w nim realizować m.in. układy dyskretne, jakimi są generatory liczb losowych. Ponadto program MATLAB umożliwia badania statystyczne rozkładów i generowanie wykresów, dzięki którym będzie można zbadać poprawność działania oraz skuteczność opracowanych generatorów. Choć program posiada własne wbudowane komponenty generatorów liczb losowych a także przekształceń matematycznych układów dyskretnych, to jednak ze względu na temat pracy należy skorzystać z możliwości wykorzystania zewnętrznych funkcji napisanych w języku C/C++, które mogą współpracować z modułem SIMULINK Znaczenie liczb losowych W otaczającym nas świecie wiele zjawisk zachodzi w sposób zupełnie, lub w znacznym stopniu, losowy. Czasami Przebieg danego procesu jest uzależniony od tak wielu parametrów, że w uproszczeniu można przyjąć, iż zachodzi od w sposób przypadkowy. W celu ułatwienia obserwacji i analizy takich procesów powstał dział matematyki, zajmujący się statystyką i pozwalający próbować opisać dane zjawisko przy użyciu prawdopodobieństwa. Zjawiska takie zachodzą m.in. w fizyce (np. zderzanie się i rozchodzenie cząstek gazu lub cieczy), przyrodzie a także matematyce (np. rozkład liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych, który do dziś dnia nie udało opisać się przy użyciu żadnego deterministycznego równania). W celu ułatwienia modelowania lub symulacji zjawisk, które zachodzą stochastycznie, podjęto próby matematycznego opisu generowania liczb losowych, przy minimalnym nakładzie obliczeń. Choć natura matematyki sprawia, że nie można przy użyciu stałych wzorów uzyskać liczb całkowicie losowych, dlatego mówi się o losowości wtedy, gdy ciąg liczb jest niemożliwy do zapisania za pomocą algorytmu w postaci krótszej od niego samego. Na podstawie takiego ciągu nie można stworzyć żadnych reguł, które pozwalałyby odtworzyć ten ciąg bez znajomości wszystkich jego wyrazów. Wadą jest przy użyciu tych samych założeń i parametrów otrzymywanie za każdym razem identycznego ciągu, którego wszystkie wyrazy są powiązane ze sobą. Dlatego mówimy o tzw. ciągach pseudolosowych, które jednak w wielu sytuacjach można traktować jako ciąg liczb losowych. Własności te w świecie techniki i komputerów są szeroko wykorzystywane, poza wspomnianymi wcześniej sytuacjami, w dziedzinie kryptografii. Poza tym, liczby losowe przydają się także do badań statystycznych (losowanie próby), w tym ekonomicznych, społecznych, marketingowych, medycznych, naukowych itp. Można przy ich użyciu modelować zjawiska, które wyłącznie obciążone elementem losowości mogą pomóc w analizie skomplikowanego procesu. Liczby losowe stosowane są także przy kreowaniu sztucznej inteligencji oraz wirtualnych światów w grach stwarzając w ten sposób wrażenie realizmu.

6 Opis badanych generatorów liczb losowych 6 3. Opis badanych generatorów liczb losowych Już w przeszłości zauważono potrzebę istnienia liczb losowych. Pierwszym sposobem uzyskania liczby losowej była tablica z zapisanymi liczbami losowymi. Tablice takie tworzono w oparciu o obserwowane zjawiska lub przeprowadzane badania statystyczne. Następnie generowano takie liczby wykorzystując np. tablice logarytmiczne, które poddawano przekształceniom. Współcześnie bada się metody algorytmiczne, które wykorzystują wzory matematyczne oraz zależności pomiędzy kolejnymi liczbami. Wadą tej metody jest powtarzalność, a w przypadku prostych algorytmów pewna przewidywalność. Dlatego wciąż trwają badania nad zmniejszeniem przewidywalności wyników, dzięki czemu możemy otrzymywać ciągi pseudolosowe znacznie lepiej imitujące losowość Generator liniowy i afiniczny Otrzymywanie liczb o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa jest ważnym elementem generatorów liczb losowych. Dzięki takim liczbom możliwe jest otrzymywanie kolejnych ciągów liczb także o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Celem takiego generatora jest uzyskanie ciągu liczb całkowitych z przedziału [0;M] w taki sposób, by wszystkie liczby występowały z jednakowym prawdopodobieństwem oraz by częstotliwość występowania liczb z każdego z podprzedziałów tego przedziału była w przybliżeniu jednakowa w czasie. Do osiągnięcia tych celów do dziś najczęściej wykorzystywanym jest generator liniowy. Kolejne liczby losowe są obliczane przy wykorzystaniu wzoru rekurencyjnego: Równanie 3.1. Równanie generatora liniowego. X n+ 1 = ( a X ) mod M n 1 Potrzebnymi parametrami jest określenie warunku początkowego (X 0 ) oraz współczynnika a a także M, które definiuje zakres maksymalny uzyskiwanych liczb. Zarówno X 0 jak i a muszą być z przedziału [1;M-1]. We wzorze 3.1 można zauważyć pewną niepożądaną cechę w przypadku, gdy któryś z wyrazów osiągnie wartość 0 (czyli wynikiem iloczynu wyrazu poprzedniego i wartości a będzie wartość równa wartości M), generator przestanie tworzyć kolejne liczby. Z tego względu stworzono pewne uogólnienie generatora liniowego jest generator afiniczny, który opisany jest wzorem: Równanie 3.2. Równanie generatora afinicznego. X n+ 1 = ( a X n + b) mod M, gdzie 0 < a, b < M Okres obu przedstawionych generatorów zależy od wartości parametrów równania i opisują twierdzenia: 1. Jeżeli M = 2 m, dla m 3, to maksymalny okres generatora liniowego wynosi N = 2 m-2, gdy a 3 mod 8 lub a 5 mod Jeżeli M jest liczbą pierwszą, to generator liniowy posiada okres maksymalny równy M, gdy a jest pierwiastkiem pierwotnym M. 2 Przykładowymi parametrami generatora afinicznego, który wygeneruje wszystkie liczby z zakresu, niech będą M=16, a=5 i b=1. Wyrazem początkowym niech będzie dowolna liczba. Dla takich parametrów uzyskujemy ciąg: 1 Wyrażenie x mod y oznacza uzyskiwanie reszty z dzielenia liczby x przez liczbę y. 2 Każda liczba m taka, że m mod N jest generatorem grupy cyklicznej G(N) (zbiór wszystkich reszt mod N, jest pierwiastkiem pierwotnym liczby N.

7 Opis badanych generatorów liczb losowych 7 Tabela 3.1. Przykładowy wynik działania generatora afinicznego z parametrami a=5, b=1 i M=16. X 0 = 0 X 1 = (5 X 0 +1) mod 16 = 1 mod 16 = 1 X 2 = (5 X 1 +1) mod 16 = 6 mod 16 = 6 X 3 = (5 X 2 +1) mod 16 = 31 mod 16 = 15 X 4 = (5 X 3 +1) mod 16 = 76 mod 16 = 12 X 5 = (5 X 4 +1) mod 16 = 61 mod 16 = 13 X 6 = (5 X 5 +1) mod 16 = 66 mod 16 = 2 X 7 = (5 X 6 +1) mod 16 = 11 mod 16 = 11 X 8 = (5 X 7 +1) mod 16 = 56 mod 16 = 8 X 9 = (5 X 8 +1) mod 16 = 41 mod 16 = 9 X 10 = (5 X 9 +1) mod 16 = 46 mod 16 = 14 X 11 = (5 X 10 +1) mod 16 = 71 mod 16 = 7 X 12 = (5 X 11 +1) mod 16 = 36 mod 16 = 4 X 13 = (5 X 12 +1) mod 16 = 21 mod 16 = 5 X 14 = (5 X 13 +1) mod 16 = 26 mod 16 = 10 X 15 = (5 X 14 +1) mod 16 = 51 mod 16 = 3 X 16 = (5 X 15 +1) mod 16 = 16 mod 16 = Generator inwersyjny Generator inwersyjny także zalicza się do grupy generatorów o rozkładzie równomiernym, lecz w przeciwieństwie do liniowego, otrzymywane liczby są nieliniowe. Kolejne liczby ciągu uzyskuje się ze wzoru: Równanie 3.3. Równanie generatora inwersyjnego. X n+ 1 ( ax = b 1 n + b)mod M dla X dla X n n > 0, = 0 Gdzie X -1 oznacza inwersję dzielenia modulo, którą liczy się ze wzoru: Równanie 3.4. Równanie inwersyjnego dzielenia modulo. X 1 = c, gdzie : ( c X )mod M = 1 Liczba M musi być liczbą pierwsza. Maksymalny okres takiego generatora, przy odpowiednim doborze współczynników a i b może być równy M-1. Przeanalizujmy przykładowy ciąg z parametrami M=17, a=5 i b=1. Wyrazem początkowym niech będzie dowolna liczba.

8 Opis badanych generatorów liczb losowych 8 Tabela 3.2. Przykładowy ciąg generatora inwersyjnego dla a=5, b=1 i M=17. X 0 = 0 X 1 = b = 1 X 2 = (5 1+1) mod 17 = 6 mod 17 = 6 X 3 = (5 3+1) mod 17 = 16 mod 17 = 16 X 4 = (5 16+1) mod 17 = 81 mod 17 = 13 X 5 = (5 4+1) mod 17 = 21 mod 17 = 4 X 6 = (5 13+1) mod 17 = 66 mod 17 = 15 X 7 = (5 8+1) mod 17 = 41 mod 17 = 7 X 8 = (5 5+1) mod 17 = 26 mod 17 = 9 X 9 = (5 2+1) mod 17 = 11 mod 17 = 11 X 10 = (5 14+1) mod 17 = 71 mod 17 = 3 X 11 = (5 6+1) mod 17 = 31 mod 17 = 14 X 12 = (5 11+1) mod 17 = 56 mod 17 = 5 X 13 = (5 7+1) mod 17 = 36 mod 17 = 2 X 14 = (5 9+1) mod 17 = 46 mod 17 = 12 X 15 = (5 10+1) mod 17 = 51 mod 17 = Generator reszt potęgowych Przedstawione do tej pory generatory ze względu na przewidywalność eliminują ich wykorzystanie w niektórych zastosowaniach, jak na przykład w kryptografii. Pierwszym generatorem liczb losowych, który nie posiadał tej cechy, był generator BBS, który swoją nazwę zawdzięcza trzem autorom: Blum, Blum, Shub. Generowanie liczby losowej następuje w wyniku obliczania reszty kwadratowej według wzoru: Równanie 3.5. Wzór generatora BBS. X i = X 2 i 1 mod M Siła algorytmu polega na odpowiednim doborze liczby M oraz punktu startowego. Do wyliczenia wartości M w pierwszym kroku znajdujemy dwie liczby pierwsze p i q. Ze względu na swą charakterystykę (bardzo krótkie okresy) liczby te powinny być odpowiednio duże. Następnie obliczamy M mnożąc obie liczby. Punktem startowym jest liczba s taka, że jej pierwiastek kwadratowy jest liczbą względnie pierwszą 1 z M. Jeżeli liczby p i q w wyniku dzielenia przez 4 dają resztę 3, to okres generatora jest maksymalny. Jednak generatory te nie uzyskują wszystkich liczb z zadanego przedziału, stąd istotne są wyłącznie końcówki uzyskanych liczb (w założeniu ostatni bit, lecz można także przyjąć ostatnią cyfrę dziesiętną, lub przy większych wynikach więcej takich liczb). Przy takich założeniach, odróżnienie jego wyników od szumu jest bardzo trudne. Przykładowy ciąg generatora BBS pokazano poniżej. W ostatniej kolumnie znajduje się cyfra jedności uzyskanej liczby, która jest uznawana za losową. 1 Liczba względnie pierwsza z inną to taka para liczb, dla których NWD wynosi 1 (nie posiadają wspólnych dzielników poza jednością).

9 Opis badanych generatorów liczb losowych 9 Tabela 3.3. Przykładowy ciąg uzyskany z generatora BBS, dla p=11 i q=11 oraz s=5. X 0 = s X 1 = 25 2 mod 121 = 20 0 X 2 = 20 2 mod 121 = 37 7 X 3 = 37 2 mod 121 = 38 8 X 4 = 38 2 mod 121 = X 5 = mod 121 = 64 4 X 6 = 64 2 mod 121 = X 7 = mod 121 = 82 2 X 8 = 82 2 mod 121 = 69 9 X 9 = 69 2 mod 121 = 42 2 X 10 = 42 2 mod 121 = 70 0 X 11 = 70 2 mod 121 = 60 0 X 12 = 91 2 mod 121 = 91 1 X 13 = 25 2 mod 121 = 53 3 X 14 = 53 2 mod 121 = 26 6 X 15 = 26 2 mod 121 = 71 1 X 16 = 71 2 mod 121 = 80 0 X 17 = 80 2 mod 121 = X 18 = mod 121 = 48 8 X 19 = 48 2 mod 121 = 5 5 X 20 = 5 2 mod 121 = 25 5 Jak widać w ostatniej kolumnie rozkład liczb z przedziału 0-9 nie jest równomierny, co może świadczyć o doborze zbyt dużej reszty względem wybranych parametrów. Pewnym uogólnieniem algorytmu BBS jest wykorzystywany m.in. w tworzeniu kodu RSA generator o dowolnej potędze: Równanie 3.6. Uogólniony wzór generatora potęgowego reszt. X i = X ω i 1 mod M Choć w przypadku generatora RSA istnieją ściśle określone zasady doboru parametrów, by odtworzenie klucza było jak najtrudniejsze, to jednak nawet bez spełnienia tychże wytycznych, algorytm spełnia swoje zadanie Metoda eliminacji von Neumanna Dotychczas przestawiono generatory tworzące ciągi liczb losowych o rozkładzie równomiernym. Jednak często w badaniach statystycznych konieczne jest uzyskanie ściśle określonego rozkładu prawdopodobieństwa. Algorytmem umożliwiającym uzyskanie liczb losowych o zadanym rozkładzie jest metoda eliminacji von Neumanna. Warto zaznaczyć, że algorytm ten nie jest sam w sobie generatorem, a jedynie filtrem korzystającym z liczb losowych wygenerowanych przy użyciu innych generatorów o rozkładzie równomiernym. Schemat filtracji wyników przedstawia się w następujący sposób: 1. Generujemy dwie liczby losowe R 1 i R 2 o rozkładzie równomiernym, które odpowiednio: a. R 1 należące do przedziału, w jakim chcemy uzyskać liczby losowe, b. R 2 należące do przedziału [0,1] 1 f ( R1 ) 2. Sprawdzamy, czy R2, gdzie f oznacza funkcję, wobec kształtu której chcemy otrzymać rozkład fmax prawdopodobieństwa, zaś f max jej maksymalną wartość na zadanym przedziale. 1 Przedział taki można uzyskać losując liczby z zakresu [0,N] a następnie dzieląc wynik przez N.

10 Opis badanych generatorów liczb losowych Jeśli warunek w punkcie 2 jest spełniony, to przyjmujemy, że otrzymaliśmy liczbę losową X = R 1. W przeciwnym wypadku odrzucamy wynik i wracamy do punktu 1. Realizując powyższy algorytm warto, aby długości ciągów pseudolosowych dla R 1 i R 2 były różne. Algorytm ten jest prosty, lecz dla niektórych rozkładów bywa kosztowy pod względem wydajności z powodu możliwej dużej liczby odrzuceń. Warto także zaznaczyć, że im więcej losujemy liczb przy użyciu filtra von Neumanna, tym histogram coraz bardziej zbliża się do zadanego kształtu. Rysunek 3.1. Porównanie histogramu otrzymanych liczb losowych z wykresem zadanej funkcji w zależności od liczby losowań. a) wylosowanych liczb z czego zaakceptowanych; b) wylosowanych liczb z czego zaakceptowanych. Prześledźmy pokrótce działanie algorytmu Neumanna opierając się na wynikach dwóch przedstawionych już generatorów afinicznego (p. tabela 3.1) jako R 1 oraz inwersyjnego (p. tabela 3.2) dla funkcji 2sin 2 (x/2) na przedziale [0,15].

11 Opis badanych generatorów liczb losowych 11 Tabela 3.4. Przykładowy ciąg po zastosowaniu filtra von Neumanna. R 1 R 2 R 2 /16 f (R 1 )/2 X ,0625 0, ,375 0, , ,8125 0, ,25 0, ,9375 0, ,4375 0, ,5625 0, ,6875 0, ,1875 0, ,875 0, ,3125 0, ,125 0, ,75 0, , , ,375 0, , ,8125 0, ,25 0, ,9375 0, ,4375 0, ,5625 0, ,6875 0, ,1875 0, ,875 0, ,3125 0, ,125 0, ,75 0, , ,0625 0, , , ,8125 0, ,25 0, ,9375 0, ,4375 0, ,5625 0, ,6875 0, ,1875 0, ,875 0, ,3125 0, ,125 0, ,75 0, Jak można zauważyć na 45 kroków, algorytm zwrócił jedynie 22 liczby losowe, przy czym najczęściej odrzucał liczby znajdujące się przy minimach funkcji, a więc w okolicy wartości 0-1, 6-7 i Histogram powyższej tabeli wraz z wykresem funkcji przedstawiono na poniższym rysunku:

12 Opis badanych generatorów liczb losowych 12 Rysunek 3.2. Histogram rozkładu liczb losowych uzyskanych algorytmem Neumanna.

13 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji Wszystkie generatory zrealizowano w oparciu o blok S-Function Builder modułu SIMULINK wykorzystując język C/C++ oraz kompilator zewnętrzny MS Visual C++ (przy użyciu polecenia mbuild setup w programie MATLAB). Każdy z generatorów wykorzystuje model próbkowania dyskretny. Do zmiany kolejnych stanów wykorzystywana jest funkcja Discrete Update zaś do wyprowadzania wyników na wyjście funkcja Outputs. Rysunek 4.1. Wygląd okna "S-Funtion Builder" oraz jego parametry. Większość schematów do badania generatorów składa się z bloku S-Funtion Builder oraz oscyloskopu (Scope) służącego do wyświetlania stanów i wyjścia To Workspace, dzięki któremu program tworzy tablicę o wskazanej nazwie w programie MATLAB z wynikami uzyskanymi z generatora. Dzięki temu możliwe jest dalsze badanie i analizowanie otrzymanych wyników Generator afiniczny Kluczem do generacji wyników w tym generatorze, jest linijka kodu odpowiedzialna za aktualizację stanu dyskretnego: xd[0]=fmod((*b)+xd[0]*(*a),*m); Realizuje ona dokładnie założenia algorytm generatora afinicznego (por. wzór 3.2). W funkcji wykorzystano 3 parametry pierwszy odpowiedzialny za współczynnik a, drugi odpowiedzialny za współczynnik b oraz trzeci odpowiedzialny za współczynnik M. Wyprowadzenie wartości na wyjście sprowadza się do przekazania nań stanu zmiennej xd[0].

14 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 14 Rysunek 4.2. Schemat oraz przykładowe parametry i wyniki dla generatora afinicznego. Na rysunku 4.2 przedstawiono schemat oraz przykładowe wyniki z zaznaczonym okresem przy zadanych parametrach dla generatora Generator inwersyjny W generatorze tego typu za wyniki odpowiadają dwie funkcje w zależności od stanu poprzedniego. Oddzielnym problemem jest także poszukiwanie odwrotności modulo (czyli liczby, która przy dzieleniu przez wskazaną da w wyniku resztę równą jeden). Ten problem zrealizowano przy użyciu pętli podstawiającej kolejne wartości zmiennej i sprawdzającej resztę z dzielenia (por. wzór 3.4): for(c=1;fmod(c*xd[0],*m)!=1;c++); Pętla ta podstawia tak długo kolejne wartości zmiennej c, do czasu, aż reszta z dzielenia iloczynu stanu poprzedniego i tejże zmiennej przez zmienną M nie będzie wynosić 1. Z własności matematycznych liczba taka istnieje, dlatego nie należy obawiać się, że pętla nie osiągnie końca. Problem wyboru spośród dwóch funkcji (por. wzór 3.3) zrealizowano przy użyciu funkcji warunkowej if. Cała funkcja obliczająca kolejne pseudolosowe wartości przedstawia się następująco: if (xd[0]==0) xd[0]=*b; else { unsigned short int c; //szukanie odwrotności: for(c=1;fmod(c*xd[0],*m)!=1;c++); xd[0]=fmod(*b+c*(*a),*m); } Funkcja wykorzystuje trzy parametry, podawane w kolejności a, b i M (por. wzór 3.3). Schemat wykorzystany do badania generatora oraz wyniki dla przykładowych parametrów przedstawiono poniżej:

15 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 15 Rysunek 4.3. Schemat oraz przykładowe wyniki generatora inwersyjnego Generator reszt potęgowych Generator ten został zbudowany w oparciu o wzór 3.6, który w zapisie w języku C przedstawia się następująco: xd[0]=fmod(pow(xd[0],*w),(*p)*(*q)); Przy realizacji tego generatora pojawił się problem inicjalizacji stanu początkowego w zależności od parametru. Dlatego dodano dodatkowe wyjście informacyjne start typu logicznego (prawda-fałsz), które wskazuje, że wynik jest poprawnym wynikiem generatora. Wyjście to jest wykorzystywane przy ustawianiu pierwszej wartości w taki sposób, że jeśli wyjście ma wartość fałsz (domyślna), to funkcja odpowiedzialna za aktualizację stanu dyskretnego inicjalizuje zmienną w następujący sposób: if (!start[0]) xd[0]=*s; Za ustawienie wyjścia start w wartość prawda odpowiedzialna jest funkcja ustawiająca stany wyjściowe. Zakłada ona, że pierwszym poprawnym stanem wyjściowym jest niezerowa wartość zmiennej stanu dyskretnego: if (xd[0]!=0) start[0]=true; Funkcja wyjściowa zwraca poza wyjściem start jeszcze dwie inne wartości: y określającą właściwą wartość pseudolosową, czyli ostatnią część obliczonej wartości (np. ostatni bit lub ostatnią wartość dziesiętną) yf pełną obliczoną wartość ciągu. Wyjście to ma charakter wyłącznie informacyjny i nie powinno być wykorzystywane jako generujące ciąg pseudolosowych liczb. Otrzymywanie reszty liczby, która to reszta pojawia się na wyjściu y, zrealizowano przy pomocy operacji dzielenia modulo: y[0]=fmod(xd[0],*r); W zależności od parametru r operacja może zwracać różne części liczby, jednocześnie określając wartość maksymalną (p. niżej). Funkcja przyjmuje 5 parametrów:

16 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 16 p i q liczby, które służą do wyznaczania wartości M (por. p. 3.3). Wartości te, zgodnie z założeniami algorytmu, powinny być odpowiednio dużymi i nie różniącymi się od siebie znacznie liczbami pierwszymi. w zmienna określająca wykładnik potęgowania (por. wzór 3.6). W celu realizacji np. algorytmu BBS, wartość powinna wynosić 2. s ziarno funkcji, czyli wartość początkowa. W przypadku realizacji algorytmu BBS wartość ta powinna być kwadratem liczby s (por. p. 3.3). r zmienna określająca jak duża część reszty ma być zwracana przez funkcję. Przykładowo, jeśli chcemy otrzymywać wyłącznie ostatni bit, wartość ta powinna wynosić 2; jeśli chcemy uzyskiwać ostatnią cyfrę dziesiętną, wartość powinna wynosić 10. Dokładnie: zmienna określająca wartość dzielenia modulo liczby. Poniżej przedstawiono schemat, przykładowe wartości oraz wynik działania symulacji generatora potęgowego, wraz z zaznaczonym okresem. Górny wykres przedstawia ciąg pseudolosowych liczb będącymi resztami obliczonych liczb; dolny generowane pełne wartości. Należy zwrócić uwagę, aby przy dalszych badaniach odrzucać pierwszą wartość zera. Rysunek 4.4. Schemat oraz wyniki symulacji generatora reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Przy implementacji tej metody stworzono blok oparty o dwa generatory afiniczne oraz filtra Neumanna. Dwa stany dyskretne odpowiadają za kolejne liczby obu tych generatorów. Podczas doboru parametrów (opisane poniżej) warto zwrócić uwagę, aby uzyskiwać w miarę możliwości ciągi o maksymalnych okresach, szczególnie dla pierwszego generatora. Filtrowanie oparte zostało na pętli do..while, która tak długo pobiera kolejne liczby z ciągów pseudolosowych, aż zostanie spełniony warunek określony przez algorytm. Poniżej przedstawiono założenia pętli w postaci pseudokodu:

17 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 17 do { xd[0]= obliczanie kolejnej wartości pierwszego ciągu pseudolosowego r1= obliczanie wartości R1 na podstawie xd[0] (testowana wartość por. p. 3.4) xd[1]= obliczanie kolejnej wartości drugiego ciągu pseudolosowego r2= przekształcenie otrzymanej wartości xd[2] na zakres [0,1] f = obliczenie wartości funkcji w punkcie r1 } while (f<r2); Gdy pętla przerwie swoje działanie (warunek zostanie spełniony), to wartość xd[0] (po odpowiednich przekształceniach) jest przekazywana do wyjścia, jako liczba pseudolosowa o zadanym rozkładzie. Funkcja przyjmuje następujące parametry: a1, b1 współczynniki pierwszego generatora afinicznego (por. wzór 3.2), a2, b2, M2 współczynniki drugiego generatora afinicznego (por. wzór 3.2), from_val, to_val zakres dolny i górny przedziału, w którym chcemy uzyskać liczby losowe (wartości te mają wpływ na współczynnik M pierwszego generatora afinicznego w sposób następujący: M1 = to_val - from_val + 1; por. wzór 3.2), func_no pozwala na wybór jednej z odgórnie zdefiniowanych funkcji rozkładu. Podanie niezdefiniowanej wartości spowoduje zastosowanie rozkładu równomiernego, a więc zwrócenie wszystkich wylosowanych przez pierwszy generator liczb. Poniżej przedstawiono wartości, jakie może przyjąć ten parametr: Tabela 4.1. Zdefiniowane funkcje rozkładu generatora Neumanna. s, t parametry funkcji. func_no Funkcja 1 e s 2π ( x t) 1 2 2s 2 2 sin( sx) sx 2 (funkcja Gaussa) Przykładowo, jeśli chcemy otrzymać zmienne losowe wg rozkładu normalnego, to powinniśmy użyć następujących parametrów: func_no=1, s=1, t=0. Kompletny kod liczący przedstawiono poniżej: const double PI= ; double f; double r1,r2; unsigned int f_no=*func_no; do { xd[0]=fmod((*a1)*xd[0]+(*b1),(*to_val)-(*from_val)+1); r1=xd[0]+(*from_val); xd[1]=fmod((*a2)*xd[1]+(*b2),*m2); r2=(xd[1]+1)/(*m2); switch (f_no) { case 1: f=(exp(-pow(r1-(*t),2)/(2*pow(*s,2)))/ ((*s)*sqrt(2*pi)))/(exp(0)/((*s)*sqrt(2*pi))); break; case 2: if (r1==0) f=1; else f=pow(sin((*s)*r1)/((*s)*r1),2); break; default: r2=0; f=1; } } while (f<r2);

18 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 18 Poniżej przedstawiono schemat badanego generatora: Rysunek 4.5. Schemat i przykładowe wyniki wykorzystywany w badaniu generatora Neumanna.

19 Badanie i testowanie generatorów Badanie i testowanie generatorów Dobry generator to taki, który tworzy sekwencje liczb własnościach liczb prawdziwie losowych. W praktyce jednak nie można udowodnić, że dany generator jest dobry. Możliwe jest za to udowodnienie, że generator jest zły (nie spełnia któregoś z testów). Pozytywne wyniki określonej liczby testów zwiększają jedynie poziom zaufania względem generatora, ale nie gwarantują jego niezawodności. Testowanie generatorów sprowadza się do spełnienia następujących własności: Zgodność rozkładu ciągu liczb z postulowanym (równomierność rozkładu), Losowość rozkładu (brak wzorca), Wzajemna niezależność (nieprzewidywalność kolejnych liczb) Generator afiniczny Generator ten należy do grupy generatorów liniowych, stąd jego przewidywalność jest bardzo duża. Można zauważyć to na wykresie kolejnych wartości generatora: Rysunek 5.1. Wykres zależności kolejnych liczb ciągu generatora afinicznego dla a=5, b=1, M=16. Ze względu na charakter tego generatora, możliwe jest otrzymywanie wyłącznie albo rozkładu równomiernego przy maksymalnym okresie, albo rozkładu niepełnego (z brakującymi poszczególnymi elementami), jeśli okres generatora nie będzie wynosił M (por. wzór 3.2). Poniżej przedstawiono wykres zależności okresu od doboru parametrów a i b, przy stałym M. Rysunek 5.2. Wykres zależności długości okresu od parametrów a i b przy stałym M=16.

20 Badanie i testowanie generatorów 20 Z przedstawionego rysunku można zaobserwować, że właściwy dobór parametrów jest istotny oraz to, że interferują one razem. Dobór parametru a może doprowadzić do generowania wyłącznie jednej liczby (okres=0). Właściwy dobór parametru b może wydłużyć okres przy dobrze dobranym a. W badanym zakresie, generator osiągał maksymalny okres dla par (a,b) = (1,1), (1,3), (1,5), (5,1), (5,3), (5,5). Potwierdza się zatem fakt, że oba parametry powinny spełniać warunek a,b (3 mod 8 lub 5 mod 8) przy M będącym potęgą liczby 2, aby generator podawał wszystkie liczby z zakresu, tworząc idealny histogram rozkładu: Rysunek 5.3. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=5, b=1, M=16. Jeśli okres nie będzie maksymalnym, generator nie będzie losował danych liczb z całego zakresu. Liczby te są uzależnione od doboru parametrów Rysunek 5.4. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=3, b-3, M=16 (nie maksymalny okres) Generator inwersyjny Jak wcześniej zostało wspomniane, generator inwersyjny powstał, by wyeliminować przewidywalny element liniowości z ciągu pseudolosowego. Porównując rezultat polecenia plot programu MATLAB rysunek 5.5 z 5.1 można zauważyć tą różnicę.

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

do instrukcja while (wyrażenie);

do instrukcja while (wyrażenie); Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy c++ w pigułce.

1 Podstawy c++ w pigułce. 1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,

Bardziej szczegółowo

W przeciwnym wypadku wykonaj instrukcję z bloku drugiego. Ćwiczenie 1 utworzyć program dzielący przez siebie dwie liczby

W przeciwnym wypadku wykonaj instrukcję z bloku drugiego. Ćwiczenie 1 utworzyć program dzielący przez siebie dwie liczby Część XI C++ W folderze nazwisko36 program za każdym razem sprawdza oba warunki co niepotrzebnie obciąża procesor. Ten problem można rozwiązać stosując instrukcje if...else Instrukcja if wykonuje polecenie

Bardziej szczegółowo

Język ludzki kod maszynowy

Język ludzki kod maszynowy Język ludzki kod maszynowy poziom wysoki Język ludzki (mowa) Język programowania wysokiego poziomu Jeśli liczba punktów jest większa niż 50, test zostaje zaliczony; w przeciwnym razie testu nie zalicza

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Wstawienie skryptu do dokumentu HTML JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.skrypty Java- Script mogą być zagnieżdżane

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

Parametry systemów klucza publicznego

Parametry systemów klucza publicznego Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno

Podstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Instrukcja laboratoryjna 6 Podstawy programowania 2 Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Wstęp teoretyczny Rekurencja (inaczej nazywana rekursją, ang. recursion)

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Konstrukcje warunkowe Pętle

Konstrukcje warunkowe Pętle * Konstrukcje warunkowe Pętle *Instrukcja if sposób na sprawdzanie warunków *Konstrukcja: if(warunek) else { instrukcje gdy warunek spełniony} {instrukcje gdy warunek NIE spełniony} * 1. Wylicz całkowity

Bardziej szczegółowo

Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012

Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012 Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012 if (warunek) instrukcja1; if (warunek) instrukcja1; else instrukcja2; if (warunek) instrukcja1; else if (warunek2)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Platforma.NET. Laboratorium nr 1 Podstawy języka C#

Platforma.NET. Laboratorium nr 1 Podstawy języka C# Platforma.NET Laboratorium nr 1 Podstawy języka C# Ćwiczenie 1 1. Utwórz nowy projekt a. Z menu File wybierz New/Project b. W oknie dialogowym New Project określ następujące właściwości: typu projektu:

Bardziej szczegółowo

Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice.

Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice. Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice. Język PHP Język interpretowalny, a nie kompilowany Powstał w celu programowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 INFORMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 INFORMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2011 INFORMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 2011 2 Zadanie 1. a) (0 1) Egzamin maturalny z informatyki poziom podstawowy CZĘŚĆ I Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

Języki programowania zasady ich tworzenia

Języki programowania zasady ich tworzenia Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie

Bardziej szczegółowo

3 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota

3 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota Laboratorium nr 3 1/8 Język C Instrukcja laboratoryjna Temat: Instrukcje warunkowe, pętle. 3 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota 1) Instrukcje warunkowe. Instrukcje warunkowe pozwalają zdefiniować warianty

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1: Protokół ślepych podpisów cyfrowych w oparciu o algorytm RSA

Zadanie 1: Protokół ślepych podpisów cyfrowych w oparciu o algorytm RSA Informatyka, studia dzienne, inż. I st. semestr VI Podstawy Kryptografii - laboratorium 2010/2011 Prowadzący: prof. dr hab. Włodzimierz Jemec poniedziałek, 08:30 Data oddania: Ocena: Marcin Piekarski 150972

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch Język C część 2 Podejmowanie decyzji w programie if else Instrukcja warunkowa umożliwia wykonanie pewnej instrukcji w zależności od wartości wyrażenia. Wszystkie wartości różne od 0, są w języku C traktowane

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY w RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE i OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Zapis liczb binarnych ze znakiem

Zapis liczb binarnych ze znakiem Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.

Bardziej szczegółowo

Excel zadania sprawdzające 263

Excel zadania sprawdzające 263 Excel zadania sprawdzające 263 Przykładowe zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Wpisać dane i wykonać odpowiednie obliczenia. Wykorzystać wbudowane funkcje Excela: SUMA oraz ŚREDNIA. Sformatować

Bardziej szczegółowo

Definicje. Algorytm to:

Definicje. Algorytm to: Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Testowanie modeli predykcyjnych

Testowanie modeli predykcyjnych Testowanie modeli predykcyjnych Wstęp Podczas budowy modelu, którego celem jest przewidywanie pewnych wartości na podstawie zbioru danych uczących poważnym problemem jest ocena jakości uczenia i zdolności

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change Raport 4/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Generacja liczb pseudolosowych

Generacja liczb pseudolosowych Generacja liczb pseudolosowych Zapis liczb w komputerze Generatory liczb pseudolosowych Liniowe kongruentne Liniowe mutiplikatywne kongruentne Jakość generatorów Test widmowy Generowanie liczb losowych

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE PORTALU DYDAKTYCZNEGO W NAUCE JĘZYKÓW PROGRAMOWANIA

WYKORZYSTANIE PORTALU DYDAKTYCZNEGO W NAUCE JĘZYKÓW PROGRAMOWANIA WYKORZYSTANIE PORTALU DYDAKTYCZNEGO W NAUCE JĘZYKÓW PROGRAMOWANIA Plan wystąpienia Wprowadzenie Zdalne nauczanie języków programowania Cele i przyjęte rozwiązania Przykładowe elementy kursów Podsumowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Kula - wprowadzenie do Turbo Pascala i algorytmiki

Elżbieta Kula - wprowadzenie do Turbo Pascala i algorytmiki Elżbieta Kula - wprowadzenie do Turbo Pascala i algorytmiki Turbo Pascal jest językiem wysokiego poziomu, czyli nie jest rozumiany bezpośrednio dla komputera, ale jednocześnie jest wygodny dla programisty,

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy c++ w pigułce.

1 Podstawy c++ w pigułce. 1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Programowanie w C/C++ Instrukcje - konstrukcje powtórka. LABORKA Piotr Ciskowski

Programowanie w C/C++ Instrukcje - konstrukcje powtórka. LABORKA Piotr Ciskowski Programowanie w C/C++ Instrukcje - konstrukcje powtórka LABORKA Piotr Ciskowski zadanie 1. Licz się ze sobą Napisz funkcję bez argumentów i bez wyniku, która za każdym wywołaniem będzie podawała, ile razy

Bardziej szczegółowo

Wybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej

Wybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej Wybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej Spis treści Autor: Marcin Orchel Algorytmika...2 Algorytmika w gimnazjum...2 Algorytmika w liceum...2 Język programowania w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z INFORMATYKI w klasie II gimnazjum str. 1 1. Algorytmika i programowanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

... (środowisko) ... ... 60 minut

... (środowisko) ... ... 60 minut EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 INFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ARKUSZ I PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) WYBRANE:... (środowisko)... (kompilator)...

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

ZMODYFIKOWANY Szczegółowy opis przedmiotu zamówienia

ZMODYFIKOWANY Szczegółowy opis przedmiotu zamówienia ZP/ITS/11/2012 Załącznik nr 1a do SIWZ ZMODYFIKOWANY Szczegółowy opis przedmiotu zamówienia Przedmiotem zamówienia jest: Przygotowanie zajęć dydaktycznych w postaci kursów e-learningowych przeznaczonych

Bardziej szczegółowo

Matematyka z komputerem dla gimnazjum

Matematyka z komputerem dla gimnazjum IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWO CIACH ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE DODAJ DO KOSZYKA FRAGMENTY

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Przeszukiwanie z nawrotami. Wykład 8. Przeszukiwanie z nawrotami. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279

Przeszukiwanie z nawrotami. Wykład 8. Przeszukiwanie z nawrotami. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279 Wykład 8 J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 238 / 279 sformułowanie problemu przegląd drzewa poszukiwań przykłady problemów wybrane narzędzia programistyczne J. Cichoń, P. Kobylański

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia przedmiotowe

Osiągnięcia przedmiotowe 1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych przedstawione w tabelach przedstawione na przedstawiać dane w tabelach przedstawiać dane na przedstawione w tabelach przedstawione na porównywać informacje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE ŚRÓDROCZNE I ROCZNE OCENY Z MATEMATYKI PROGRAM NAUCZANIA: MATEMATYKA WOKÓŁ NAS GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE ŚRÓDROCZNE I ROCZNE OCENY Z MATEMATYKI PROGRAM NAUCZANIA: MATEMATYKA WOKÓŁ NAS GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE ŚRÓDROCZNE I ROCZNE OCENY Z MATEMATYKI PROGRAM NAUCZANIA: MATEMATYKA WOKÓŁ NAS GIMNAZJUM PODRĘCZNIK: MATEMATYKA WOKÓŁ NAS KLASA 2 NAUCZYCIEL: BARBARA MIKA Ocena dopuszczająca:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3 Matlab, zajęcia 3. Pętle c.d. Przypomnijmy sobie jak działa pętla for Możemy podać normalnie w Matlabie t=cputime; for i=1:20 v(i)=i; e=cputime-t UWAGA: Taka operacja jest bardzo czasochłonna i nieoptymalna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MIN 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I DATA: 19

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Regulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc

Regulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc Regulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc Wykład w ramach przedmiotu: Sterowniki programowalne Opracował na podstawie dokumentacji GE Fanuc dr inż. Jarosław Tarnawski Cel wykładu Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze

Bardziej szczegółowo

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU

LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU Tomasz Demski, StatSoft Polska Sp. z o.o. Wprowadzenie Jednym z elementów walidacji metod pomiarowych jest sprawdzenie liniowości

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

JAVAScript w dokumentach HTML (1)

JAVAScript w dokumentach HTML (1) JAVAScript w dokumentach HTML (1) JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania. Skrypty JavaScript mogą być zagnieżdżane w dokumentach HTML. Instrukcje JavaScript

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i schematy blokowe

Algorytmy i schematy blokowe Algorytmy i schematy blokowe Algorytm dokładny przepis podający sposób rozwiązania określonego zadania w skończonej liczbie kroków; zbiór poleceń odnoszących się do pewnych obiektów, ze wskazaniem porządku,

Bardziej szczegółowo

Projekt Planu wynikowego do programu MATEMATYKA 2001 Gimnazjum klasa 1. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Projekt Planu wynikowego do programu MATEMATYKA 2001 Gimnazjum klasa 1. Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJĄCE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach?

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Część XVIII C++ Funkcje Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Umiemy już podzielić nasz

Bardziej szczegółowo

KRYPTOGRAFIA I OCHRONA DANYCH PROJEKT

KRYPTOGRAFIA I OCHRONA DANYCH PROJEKT KRYPTOGRAFIA I OCHRONA DANYCH PROJEKT Temat: Zaimplementować system kryptografii wizualnej http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/~dstinson/visual.html Autor: Tomasz Mitręga NSMW Grupa 1 Sekcja 2 1. Temat projektu

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji opartej na programie Program nauczania informatyki w gimnazjum DKW-4014-87/99

Scenariusz lekcji opartej na programie Program nauczania informatyki w gimnazjum DKW-4014-87/99 Scenariusz lekcji opartej na programie Program nauczania informatyki w gimnazjum DKW-4014-87/99 Techniki algorytmiczne realizowane przy pomocy grafiki żółwia w programie ELI 2,0. Przedmiot: Informatyka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo