Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka. Metody Komputerowe w Technice

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka. Metody Komputerowe w Technice"

Transkrypt

1 Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka Metody Komputerowe w Technice Temat: Generatory liczb losowych algorytmy z wykorzystaniem S-funkcji w programie MATLAB Autor: Dawid Najgiebauer Informatyka w elektroenergetyce, rok 2006/07, sem. VII, (Śr. g ) Prowadzący: dr inż. R. Stanisławski Ocena:... Uwagi:... O P O L E

2 Spisy 2 1. Spisy 1.1. Spis treści 1. Spisy Spis treści Spis tabel Spis równań Spis rysunków Spis zawartości załączonej płyty CD Opis tematu Założenia Znaczenie liczb losowych Opis badanych generatorów liczb losowych Generator liniowy i afiniczny Generator inwersyjny Generator reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji Generator afiniczny Generator inwersyjny Generator reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Badanie i testowanie generatorów Generator afiniczny Generator inwersyjny Generator reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Wnioski z testowania generatorów Bibliografia Spis tabel Tabela 3.1. Przykładowy wynik działania generatora afinicznego z parametrami a=5, b=1 i M= Tabela 3.2. Przykładowy ciąg generatora inwersyjnego dla a=5, b=1 i M= Tabela 3.3. Przykładowy ciąg uzyskany z generatora BBS, dla p=11 i q=11 oraz s= Tabela 3.4. Przykładowy ciąg po zastosowaniu filtra von Neumanna Tabela 4.1. Zdefiniowane funkcje rozkładu generatora Neumanna Tabela 5.1. Tabela zależności długości okresu generatora inwersyjnego od parametrów równania... 21

3 Spisy Spis równań Równanie 3.1. Równanie generatora liniowego... 6 Równanie 3.2. Równanie generatora afinicznego Równanie 3.3. Równanie generatora inwersyjnego Równanie 3.4. Równanie inwersyjnego dzielenia modulo... 7 Równanie 3.5. Wzór generatora BBS Równanie 3.6. Uogólniony wzór generatora potęgowego reszt Spis rysunków Rysunek 3.1. Porównanie histogramu otrzymanych liczb losowych z wykresem zadanej funkcji w zależności od liczby losowań Rysunek 3.2. Histogram rozkładu liczb losowych uzyskanych algorytmem Neumanna Rysunek 4.1. Wygląd okna "S-Funtion Builder" oraz jego parametry Rysunek 4.2. Schemat oraz przykładowe parametry i wyniki dla generatora afinicznego Rysunek 4.3. Schemat oraz przykładowe wyniki generatora inwersyjnego Rysunek 4.4. Schemat oraz wyniki symulacji generatora reszt potęgowych Rysunek 4.5. Schemat i przykładowe wyniki wykorzystywany w badaniu generatora Neumanna Rysunek 5.1. Wykres zależności kolejnych liczb ciągu generatora afinicznego dla a=5, b=1, M= Rysunek 5.2. Wykres zależności długości okresu od parametrów a i b przy stałym M= Rysunek 5.3. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=5, b=1, M= Rysunek 5.4. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=3, b-3, M=16 (nie maksymalny okres) Rysunek 5.5. Wykres zależności kolejnych liczb pseudolosowego ciągu dla generatora inwersyjnego przy parametrach a=3, b=7 i M= Rysunek 5.6. Wykres zależności długości okresu od parametrów generatora inwersyjnego Rysunek 5.7. Histogram ciągu pseudolosowego uzyskanego generatorem inwersyjnym przy parametrach a=3, b=4, M= Rysunek 5.8. Histogram ciągu pseudolosowego uzyskanego generatorem inwersyjnym przy parametrach a=3, b=5, M=17 (nie maksymalny okres) Rysunek 5.9. Histogram liczb ciągu pseudolosowego uzyskanego z generatora potęgowego reszt przy parametrach p=11, q=11, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniej cyfry dziesiętnej Rysunek Histogram liczb ciągu pseudolosowego uzyskanego z generatora potęgowego reszt przy parametrach p=11, q=11, s=25 oraz w=2, przy analizie reszt z dzielenia przez Rysunek Histogram liczb ciągu pseudolosowego uzyskanego z generatora potęgowego reszt przy parametrach p=307, q=311, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniej cyfry dziesiętnej Rysunek Zależność kolejnych liczb pseudolosowych w generatorze potęgowym reszt przy parametrach p=307, q=311, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniego bitu (reszta z dzielenia przez 2) Rysunek Histogram otrzymanych wyników generatora potęgowego reszt przy parametrach p=307, q=311, s=25 oraz w=2, przy analizie ostatniego bitu (reszta z dzielenia przez 2) Rysunek Wykres kolejnych liczb pseudolosowych uzyskiwanych po zastosowaniu filtra Neumanna Rysunek Histogram otrzymanych liczb pseudolosowych w wyniku zastosowania filtru von Neumanna dla 40 liczb wyjściowych Rysunek Histogram otrzymanych liczb pseudolosowych w wyniku zastosowania filtru von Neumanna dla liczb wyjściowych... 26

4 Spisy Spis zawartości załączonej płyty CD Katalog/plik docs\generatory liczb losowych.doc docs\generatory liczb losowych.pdf matlab\inwersyjny.mdl matlab\liniowy.mdl matlab\neumann.mdl matlab\potegowy.mdl matlab\src\ Opis Dokumentacja projektu w formacie MS Word Dokumentacja projektu w formacie Adobe Acrobat (PDF) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora inwersyjnego (p. 4.2) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora afinicznego (p. 4.1) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora z wykorzystaniem filtru Neumanna (p. 4.4) Dokument modułu SIMULINK programu MATLAB 6.5 R13 zawierający wykonanie generatora potęgowego reszt (p. 4.3) Katalog z kompletnymi źródłami oraz skompilowanymi przez program MATLAB 6.5 R13 plikami wykorzystanymi w badaniach nad generatorami; nazwy z kodami źródłowymi w C wykorzystanych S-Funkcji znajdują się w plikach gen_<nazwa>.c, gdzie <nazwa> wskazuje na rodzaj generatora.

5 Opis tematu 5 2. Opis tematu Przedmiotem pracy jest scharakteryzowanie, analiza i implementacja za pomocą S-funkcji w programie MATLAB czterech algorytmów generatorów liczb losowych: - generator liniowy, - generator inwersyjny, - potęgowy generator reszt, - metoda eliminacji von Neumanna 2.1. Założenia Należy opracować algorytmy realizujące zadane generatory przy użyciu języka programowania C/C++ z wykorzystaniem programu do analizy matematycznej MATLAB. Program ten pozwala na złożone i sekwencyjne obliczenia zadanych wzorów z wykorzystaniem czytelnych schematów blokowych przy użyciu modułu SIMULINK. Można w nim realizować m.in. układy dyskretne, jakimi są generatory liczb losowych. Ponadto program MATLAB umożliwia badania statystyczne rozkładów i generowanie wykresów, dzięki którym będzie można zbadać poprawność działania oraz skuteczność opracowanych generatorów. Choć program posiada własne wbudowane komponenty generatorów liczb losowych a także przekształceń matematycznych układów dyskretnych, to jednak ze względu na temat pracy należy skorzystać z możliwości wykorzystania zewnętrznych funkcji napisanych w języku C/C++, które mogą współpracować z modułem SIMULINK Znaczenie liczb losowych W otaczającym nas świecie wiele zjawisk zachodzi w sposób zupełnie, lub w znacznym stopniu, losowy. Czasami Przebieg danego procesu jest uzależniony od tak wielu parametrów, że w uproszczeniu można przyjąć, iż zachodzi od w sposób przypadkowy. W celu ułatwienia obserwacji i analizy takich procesów powstał dział matematyki, zajmujący się statystyką i pozwalający próbować opisać dane zjawisko przy użyciu prawdopodobieństwa. Zjawiska takie zachodzą m.in. w fizyce (np. zderzanie się i rozchodzenie cząstek gazu lub cieczy), przyrodzie a także matematyce (np. rozkład liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych, który do dziś dnia nie udało opisać się przy użyciu żadnego deterministycznego równania). W celu ułatwienia modelowania lub symulacji zjawisk, które zachodzą stochastycznie, podjęto próby matematycznego opisu generowania liczb losowych, przy minimalnym nakładzie obliczeń. Choć natura matematyki sprawia, że nie można przy użyciu stałych wzorów uzyskać liczb całkowicie losowych, dlatego mówi się o losowości wtedy, gdy ciąg liczb jest niemożliwy do zapisania za pomocą algorytmu w postaci krótszej od niego samego. Na podstawie takiego ciągu nie można stworzyć żadnych reguł, które pozwalałyby odtworzyć ten ciąg bez znajomości wszystkich jego wyrazów. Wadą jest przy użyciu tych samych założeń i parametrów otrzymywanie za każdym razem identycznego ciągu, którego wszystkie wyrazy są powiązane ze sobą. Dlatego mówimy o tzw. ciągach pseudolosowych, które jednak w wielu sytuacjach można traktować jako ciąg liczb losowych. Własności te w świecie techniki i komputerów są szeroko wykorzystywane, poza wspomnianymi wcześniej sytuacjami, w dziedzinie kryptografii. Poza tym, liczby losowe przydają się także do badań statystycznych (losowanie próby), w tym ekonomicznych, społecznych, marketingowych, medycznych, naukowych itp. Można przy ich użyciu modelować zjawiska, które wyłącznie obciążone elementem losowości mogą pomóc w analizie skomplikowanego procesu. Liczby losowe stosowane są także przy kreowaniu sztucznej inteligencji oraz wirtualnych światów w grach stwarzając w ten sposób wrażenie realizmu.

6 Opis badanych generatorów liczb losowych 6 3. Opis badanych generatorów liczb losowych Już w przeszłości zauważono potrzebę istnienia liczb losowych. Pierwszym sposobem uzyskania liczby losowej była tablica z zapisanymi liczbami losowymi. Tablice takie tworzono w oparciu o obserwowane zjawiska lub przeprowadzane badania statystyczne. Następnie generowano takie liczby wykorzystując np. tablice logarytmiczne, które poddawano przekształceniom. Współcześnie bada się metody algorytmiczne, które wykorzystują wzory matematyczne oraz zależności pomiędzy kolejnymi liczbami. Wadą tej metody jest powtarzalność, a w przypadku prostych algorytmów pewna przewidywalność. Dlatego wciąż trwają badania nad zmniejszeniem przewidywalności wyników, dzięki czemu możemy otrzymywać ciągi pseudolosowe znacznie lepiej imitujące losowość Generator liniowy i afiniczny Otrzymywanie liczb o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa jest ważnym elementem generatorów liczb losowych. Dzięki takim liczbom możliwe jest otrzymywanie kolejnych ciągów liczb także o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Celem takiego generatora jest uzyskanie ciągu liczb całkowitych z przedziału [0;M] w taki sposób, by wszystkie liczby występowały z jednakowym prawdopodobieństwem oraz by częstotliwość występowania liczb z każdego z podprzedziałów tego przedziału była w przybliżeniu jednakowa w czasie. Do osiągnięcia tych celów do dziś najczęściej wykorzystywanym jest generator liniowy. Kolejne liczby losowe są obliczane przy wykorzystaniu wzoru rekurencyjnego: Równanie 3.1. Równanie generatora liniowego. X n+ 1 = ( a X ) mod M n 1 Potrzebnymi parametrami jest określenie warunku początkowego (X 0 ) oraz współczynnika a a także M, które definiuje zakres maksymalny uzyskiwanych liczb. Zarówno X 0 jak i a muszą być z przedziału [1;M-1]. We wzorze 3.1 można zauważyć pewną niepożądaną cechę w przypadku, gdy któryś z wyrazów osiągnie wartość 0 (czyli wynikiem iloczynu wyrazu poprzedniego i wartości a będzie wartość równa wartości M), generator przestanie tworzyć kolejne liczby. Z tego względu stworzono pewne uogólnienie generatora liniowego jest generator afiniczny, który opisany jest wzorem: Równanie 3.2. Równanie generatora afinicznego. X n+ 1 = ( a X n + b) mod M, gdzie 0 < a, b < M Okres obu przedstawionych generatorów zależy od wartości parametrów równania i opisują twierdzenia: 1. Jeżeli M = 2 m, dla m 3, to maksymalny okres generatora liniowego wynosi N = 2 m-2, gdy a 3 mod 8 lub a 5 mod Jeżeli M jest liczbą pierwszą, to generator liniowy posiada okres maksymalny równy M, gdy a jest pierwiastkiem pierwotnym M. 2 Przykładowymi parametrami generatora afinicznego, który wygeneruje wszystkie liczby z zakresu, niech będą M=16, a=5 i b=1. Wyrazem początkowym niech będzie dowolna liczba. Dla takich parametrów uzyskujemy ciąg: 1 Wyrażenie x mod y oznacza uzyskiwanie reszty z dzielenia liczby x przez liczbę y. 2 Każda liczba m taka, że m mod N jest generatorem grupy cyklicznej G(N) (zbiór wszystkich reszt mod N, jest pierwiastkiem pierwotnym liczby N.

7 Opis badanych generatorów liczb losowych 7 Tabela 3.1. Przykładowy wynik działania generatora afinicznego z parametrami a=5, b=1 i M=16. X 0 = 0 X 1 = (5 X 0 +1) mod 16 = 1 mod 16 = 1 X 2 = (5 X 1 +1) mod 16 = 6 mod 16 = 6 X 3 = (5 X 2 +1) mod 16 = 31 mod 16 = 15 X 4 = (5 X 3 +1) mod 16 = 76 mod 16 = 12 X 5 = (5 X 4 +1) mod 16 = 61 mod 16 = 13 X 6 = (5 X 5 +1) mod 16 = 66 mod 16 = 2 X 7 = (5 X 6 +1) mod 16 = 11 mod 16 = 11 X 8 = (5 X 7 +1) mod 16 = 56 mod 16 = 8 X 9 = (5 X 8 +1) mod 16 = 41 mod 16 = 9 X 10 = (5 X 9 +1) mod 16 = 46 mod 16 = 14 X 11 = (5 X 10 +1) mod 16 = 71 mod 16 = 7 X 12 = (5 X 11 +1) mod 16 = 36 mod 16 = 4 X 13 = (5 X 12 +1) mod 16 = 21 mod 16 = 5 X 14 = (5 X 13 +1) mod 16 = 26 mod 16 = 10 X 15 = (5 X 14 +1) mod 16 = 51 mod 16 = 3 X 16 = (5 X 15 +1) mod 16 = 16 mod 16 = Generator inwersyjny Generator inwersyjny także zalicza się do grupy generatorów o rozkładzie równomiernym, lecz w przeciwieństwie do liniowego, otrzymywane liczby są nieliniowe. Kolejne liczby ciągu uzyskuje się ze wzoru: Równanie 3.3. Równanie generatora inwersyjnego. X n+ 1 ( ax = b 1 n + b)mod M dla X dla X n n > 0, = 0 Gdzie X -1 oznacza inwersję dzielenia modulo, którą liczy się ze wzoru: Równanie 3.4. Równanie inwersyjnego dzielenia modulo. X 1 = c, gdzie : ( c X )mod M = 1 Liczba M musi być liczbą pierwsza. Maksymalny okres takiego generatora, przy odpowiednim doborze współczynników a i b może być równy M-1. Przeanalizujmy przykładowy ciąg z parametrami M=17, a=5 i b=1. Wyrazem początkowym niech będzie dowolna liczba.

8 Opis badanych generatorów liczb losowych 8 Tabela 3.2. Przykładowy ciąg generatora inwersyjnego dla a=5, b=1 i M=17. X 0 = 0 X 1 = b = 1 X 2 = (5 1+1) mod 17 = 6 mod 17 = 6 X 3 = (5 3+1) mod 17 = 16 mod 17 = 16 X 4 = (5 16+1) mod 17 = 81 mod 17 = 13 X 5 = (5 4+1) mod 17 = 21 mod 17 = 4 X 6 = (5 13+1) mod 17 = 66 mod 17 = 15 X 7 = (5 8+1) mod 17 = 41 mod 17 = 7 X 8 = (5 5+1) mod 17 = 26 mod 17 = 9 X 9 = (5 2+1) mod 17 = 11 mod 17 = 11 X 10 = (5 14+1) mod 17 = 71 mod 17 = 3 X 11 = (5 6+1) mod 17 = 31 mod 17 = 14 X 12 = (5 11+1) mod 17 = 56 mod 17 = 5 X 13 = (5 7+1) mod 17 = 36 mod 17 = 2 X 14 = (5 9+1) mod 17 = 46 mod 17 = 12 X 15 = (5 10+1) mod 17 = 51 mod 17 = Generator reszt potęgowych Przedstawione do tej pory generatory ze względu na przewidywalność eliminują ich wykorzystanie w niektórych zastosowaniach, jak na przykład w kryptografii. Pierwszym generatorem liczb losowych, który nie posiadał tej cechy, był generator BBS, który swoją nazwę zawdzięcza trzem autorom: Blum, Blum, Shub. Generowanie liczby losowej następuje w wyniku obliczania reszty kwadratowej według wzoru: Równanie 3.5. Wzór generatora BBS. X i = X 2 i 1 mod M Siła algorytmu polega na odpowiednim doborze liczby M oraz punktu startowego. Do wyliczenia wartości M w pierwszym kroku znajdujemy dwie liczby pierwsze p i q. Ze względu na swą charakterystykę (bardzo krótkie okresy) liczby te powinny być odpowiednio duże. Następnie obliczamy M mnożąc obie liczby. Punktem startowym jest liczba s taka, że jej pierwiastek kwadratowy jest liczbą względnie pierwszą 1 z M. Jeżeli liczby p i q w wyniku dzielenia przez 4 dają resztę 3, to okres generatora jest maksymalny. Jednak generatory te nie uzyskują wszystkich liczb z zadanego przedziału, stąd istotne są wyłącznie końcówki uzyskanych liczb (w założeniu ostatni bit, lecz można także przyjąć ostatnią cyfrę dziesiętną, lub przy większych wynikach więcej takich liczb). Przy takich założeniach, odróżnienie jego wyników od szumu jest bardzo trudne. Przykładowy ciąg generatora BBS pokazano poniżej. W ostatniej kolumnie znajduje się cyfra jedności uzyskanej liczby, która jest uznawana za losową. 1 Liczba względnie pierwsza z inną to taka para liczb, dla których NWD wynosi 1 (nie posiadają wspólnych dzielników poza jednością).

9 Opis badanych generatorów liczb losowych 9 Tabela 3.3. Przykładowy ciąg uzyskany z generatora BBS, dla p=11 i q=11 oraz s=5. X 0 = s X 1 = 25 2 mod 121 = 20 0 X 2 = 20 2 mod 121 = 37 7 X 3 = 37 2 mod 121 = 38 8 X 4 = 38 2 mod 121 = X 5 = mod 121 = 64 4 X 6 = 64 2 mod 121 = X 7 = mod 121 = 82 2 X 8 = 82 2 mod 121 = 69 9 X 9 = 69 2 mod 121 = 42 2 X 10 = 42 2 mod 121 = 70 0 X 11 = 70 2 mod 121 = 60 0 X 12 = 91 2 mod 121 = 91 1 X 13 = 25 2 mod 121 = 53 3 X 14 = 53 2 mod 121 = 26 6 X 15 = 26 2 mod 121 = 71 1 X 16 = 71 2 mod 121 = 80 0 X 17 = 80 2 mod 121 = X 18 = mod 121 = 48 8 X 19 = 48 2 mod 121 = 5 5 X 20 = 5 2 mod 121 = 25 5 Jak widać w ostatniej kolumnie rozkład liczb z przedziału 0-9 nie jest równomierny, co może świadczyć o doborze zbyt dużej reszty względem wybranych parametrów. Pewnym uogólnieniem algorytmu BBS jest wykorzystywany m.in. w tworzeniu kodu RSA generator o dowolnej potędze: Równanie 3.6. Uogólniony wzór generatora potęgowego reszt. X i = X ω i 1 mod M Choć w przypadku generatora RSA istnieją ściśle określone zasady doboru parametrów, by odtworzenie klucza było jak najtrudniejsze, to jednak nawet bez spełnienia tychże wytycznych, algorytm spełnia swoje zadanie Metoda eliminacji von Neumanna Dotychczas przestawiono generatory tworzące ciągi liczb losowych o rozkładzie równomiernym. Jednak często w badaniach statystycznych konieczne jest uzyskanie ściśle określonego rozkładu prawdopodobieństwa. Algorytmem umożliwiającym uzyskanie liczb losowych o zadanym rozkładzie jest metoda eliminacji von Neumanna. Warto zaznaczyć, że algorytm ten nie jest sam w sobie generatorem, a jedynie filtrem korzystającym z liczb losowych wygenerowanych przy użyciu innych generatorów o rozkładzie równomiernym. Schemat filtracji wyników przedstawia się w następujący sposób: 1. Generujemy dwie liczby losowe R 1 i R 2 o rozkładzie równomiernym, które odpowiednio: a. R 1 należące do przedziału, w jakim chcemy uzyskać liczby losowe, b. R 2 należące do przedziału [0,1] 1 f ( R1 ) 2. Sprawdzamy, czy R2, gdzie f oznacza funkcję, wobec kształtu której chcemy otrzymać rozkład fmax prawdopodobieństwa, zaś f max jej maksymalną wartość na zadanym przedziale. 1 Przedział taki można uzyskać losując liczby z zakresu [0,N] a następnie dzieląc wynik przez N.

10 Opis badanych generatorów liczb losowych Jeśli warunek w punkcie 2 jest spełniony, to przyjmujemy, że otrzymaliśmy liczbę losową X = R 1. W przeciwnym wypadku odrzucamy wynik i wracamy do punktu 1. Realizując powyższy algorytm warto, aby długości ciągów pseudolosowych dla R 1 i R 2 były różne. Algorytm ten jest prosty, lecz dla niektórych rozkładów bywa kosztowy pod względem wydajności z powodu możliwej dużej liczby odrzuceń. Warto także zaznaczyć, że im więcej losujemy liczb przy użyciu filtra von Neumanna, tym histogram coraz bardziej zbliża się do zadanego kształtu. Rysunek 3.1. Porównanie histogramu otrzymanych liczb losowych z wykresem zadanej funkcji w zależności od liczby losowań. a) wylosowanych liczb z czego zaakceptowanych; b) wylosowanych liczb z czego zaakceptowanych. Prześledźmy pokrótce działanie algorytmu Neumanna opierając się na wynikach dwóch przedstawionych już generatorów afinicznego (p. tabela 3.1) jako R 1 oraz inwersyjnego (p. tabela 3.2) dla funkcji 2sin 2 (x/2) na przedziale [0,15].

11 Opis badanych generatorów liczb losowych 11 Tabela 3.4. Przykładowy ciąg po zastosowaniu filtra von Neumanna. R 1 R 2 R 2 /16 f (R 1 )/2 X ,0625 0, ,375 0, , ,8125 0, ,25 0, ,9375 0, ,4375 0, ,5625 0, ,6875 0, ,1875 0, ,875 0, ,3125 0, ,125 0, ,75 0, , , ,375 0, , ,8125 0, ,25 0, ,9375 0, ,4375 0, ,5625 0, ,6875 0, ,1875 0, ,875 0, ,3125 0, ,125 0, ,75 0, , ,0625 0, , , ,8125 0, ,25 0, ,9375 0, ,4375 0, ,5625 0, ,6875 0, ,1875 0, ,875 0, ,3125 0, ,125 0, ,75 0, Jak można zauważyć na 45 kroków, algorytm zwrócił jedynie 22 liczby losowe, przy czym najczęściej odrzucał liczby znajdujące się przy minimach funkcji, a więc w okolicy wartości 0-1, 6-7 i Histogram powyższej tabeli wraz z wykresem funkcji przedstawiono na poniższym rysunku:

12 Opis badanych generatorów liczb losowych 12 Rysunek 3.2. Histogram rozkładu liczb losowych uzyskanych algorytmem Neumanna.

13 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji Wszystkie generatory zrealizowano w oparciu o blok S-Function Builder modułu SIMULINK wykorzystując język C/C++ oraz kompilator zewnętrzny MS Visual C++ (przy użyciu polecenia mbuild setup w programie MATLAB). Każdy z generatorów wykorzystuje model próbkowania dyskretny. Do zmiany kolejnych stanów wykorzystywana jest funkcja Discrete Update zaś do wyprowadzania wyników na wyjście funkcja Outputs. Rysunek 4.1. Wygląd okna "S-Funtion Builder" oraz jego parametry. Większość schematów do badania generatorów składa się z bloku S-Funtion Builder oraz oscyloskopu (Scope) służącego do wyświetlania stanów i wyjścia To Workspace, dzięki któremu program tworzy tablicę o wskazanej nazwie w programie MATLAB z wynikami uzyskanymi z generatora. Dzięki temu możliwe jest dalsze badanie i analizowanie otrzymanych wyników Generator afiniczny Kluczem do generacji wyników w tym generatorze, jest linijka kodu odpowiedzialna za aktualizację stanu dyskretnego: xd[0]=fmod((*b)+xd[0]*(*a),*m); Realizuje ona dokładnie założenia algorytm generatora afinicznego (por. wzór 3.2). W funkcji wykorzystano 3 parametry pierwszy odpowiedzialny za współczynnik a, drugi odpowiedzialny za współczynnik b oraz trzeci odpowiedzialny za współczynnik M. Wyprowadzenie wartości na wyjście sprowadza się do przekazania nań stanu zmiennej xd[0].

14 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 14 Rysunek 4.2. Schemat oraz przykładowe parametry i wyniki dla generatora afinicznego. Na rysunku 4.2 przedstawiono schemat oraz przykładowe wyniki z zaznaczonym okresem przy zadanych parametrach dla generatora Generator inwersyjny W generatorze tego typu za wyniki odpowiadają dwie funkcje w zależności od stanu poprzedniego. Oddzielnym problemem jest także poszukiwanie odwrotności modulo (czyli liczby, która przy dzieleniu przez wskazaną da w wyniku resztę równą jeden). Ten problem zrealizowano przy użyciu pętli podstawiającej kolejne wartości zmiennej i sprawdzającej resztę z dzielenia (por. wzór 3.4): for(c=1;fmod(c*xd[0],*m)!=1;c++); Pętla ta podstawia tak długo kolejne wartości zmiennej c, do czasu, aż reszta z dzielenia iloczynu stanu poprzedniego i tejże zmiennej przez zmienną M nie będzie wynosić 1. Z własności matematycznych liczba taka istnieje, dlatego nie należy obawiać się, że pętla nie osiągnie końca. Problem wyboru spośród dwóch funkcji (por. wzór 3.3) zrealizowano przy użyciu funkcji warunkowej if. Cała funkcja obliczająca kolejne pseudolosowe wartości przedstawia się następująco: if (xd[0]==0) xd[0]=*b; else { unsigned short int c; //szukanie odwrotności: for(c=1;fmod(c*xd[0],*m)!=1;c++); xd[0]=fmod(*b+c*(*a),*m); } Funkcja wykorzystuje trzy parametry, podawane w kolejności a, b i M (por. wzór 3.3). Schemat wykorzystany do badania generatora oraz wyniki dla przykładowych parametrów przedstawiono poniżej:

15 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 15 Rysunek 4.3. Schemat oraz przykładowe wyniki generatora inwersyjnego Generator reszt potęgowych Generator ten został zbudowany w oparciu o wzór 3.6, który w zapisie w języku C przedstawia się następująco: xd[0]=fmod(pow(xd[0],*w),(*p)*(*q)); Przy realizacji tego generatora pojawił się problem inicjalizacji stanu początkowego w zależności od parametru. Dlatego dodano dodatkowe wyjście informacyjne start typu logicznego (prawda-fałsz), które wskazuje, że wynik jest poprawnym wynikiem generatora. Wyjście to jest wykorzystywane przy ustawianiu pierwszej wartości w taki sposób, że jeśli wyjście ma wartość fałsz (domyślna), to funkcja odpowiedzialna za aktualizację stanu dyskretnego inicjalizuje zmienną w następujący sposób: if (!start[0]) xd[0]=*s; Za ustawienie wyjścia start w wartość prawda odpowiedzialna jest funkcja ustawiająca stany wyjściowe. Zakłada ona, że pierwszym poprawnym stanem wyjściowym jest niezerowa wartość zmiennej stanu dyskretnego: if (xd[0]!=0) start[0]=true; Funkcja wyjściowa zwraca poza wyjściem start jeszcze dwie inne wartości: y określającą właściwą wartość pseudolosową, czyli ostatnią część obliczonej wartości (np. ostatni bit lub ostatnią wartość dziesiętną) yf pełną obliczoną wartość ciągu. Wyjście to ma charakter wyłącznie informacyjny i nie powinno być wykorzystywane jako generujące ciąg pseudolosowych liczb. Otrzymywanie reszty liczby, która to reszta pojawia się na wyjściu y, zrealizowano przy pomocy operacji dzielenia modulo: y[0]=fmod(xd[0],*r); W zależności od parametru r operacja może zwracać różne części liczby, jednocześnie określając wartość maksymalną (p. niżej). Funkcja przyjmuje 5 parametrów:

16 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 16 p i q liczby, które służą do wyznaczania wartości M (por. p. 3.3). Wartości te, zgodnie z założeniami algorytmu, powinny być odpowiednio dużymi i nie różniącymi się od siebie znacznie liczbami pierwszymi. w zmienna określająca wykładnik potęgowania (por. wzór 3.6). W celu realizacji np. algorytmu BBS, wartość powinna wynosić 2. s ziarno funkcji, czyli wartość początkowa. W przypadku realizacji algorytmu BBS wartość ta powinna być kwadratem liczby s (por. p. 3.3). r zmienna określająca jak duża część reszty ma być zwracana przez funkcję. Przykładowo, jeśli chcemy otrzymywać wyłącznie ostatni bit, wartość ta powinna wynosić 2; jeśli chcemy uzyskiwać ostatnią cyfrę dziesiętną, wartość powinna wynosić 10. Dokładnie: zmienna określająca wartość dzielenia modulo liczby. Poniżej przedstawiono schemat, przykładowe wartości oraz wynik działania symulacji generatora potęgowego, wraz z zaznaczonym okresem. Górny wykres przedstawia ciąg pseudolosowych liczb będącymi resztami obliczonych liczb; dolny generowane pełne wartości. Należy zwrócić uwagę, aby przy dalszych badaniach odrzucać pierwszą wartość zera. Rysunek 4.4. Schemat oraz wyniki symulacji generatora reszt potęgowych Metoda eliminacji von Neumanna Przy implementacji tej metody stworzono blok oparty o dwa generatory afiniczne oraz filtra Neumanna. Dwa stany dyskretne odpowiadają za kolejne liczby obu tych generatorów. Podczas doboru parametrów (opisane poniżej) warto zwrócić uwagę, aby uzyskiwać w miarę możliwości ciągi o maksymalnych okresach, szczególnie dla pierwszego generatora. Filtrowanie oparte zostało na pętli do..while, która tak długo pobiera kolejne liczby z ciągów pseudolosowych, aż zostanie spełniony warunek określony przez algorytm. Poniżej przedstawiono założenia pętli w postaci pseudokodu:

17 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 17 do { xd[0]= obliczanie kolejnej wartości pierwszego ciągu pseudolosowego r1= obliczanie wartości R1 na podstawie xd[0] (testowana wartość por. p. 3.4) xd[1]= obliczanie kolejnej wartości drugiego ciągu pseudolosowego r2= przekształcenie otrzymanej wartości xd[2] na zakres [0,1] f = obliczenie wartości funkcji w punkcie r1 } while (f<r2); Gdy pętla przerwie swoje działanie (warunek zostanie spełniony), to wartość xd[0] (po odpowiednich przekształceniach) jest przekazywana do wyjścia, jako liczba pseudolosowa o zadanym rozkładzie. Funkcja przyjmuje następujące parametry: a1, b1 współczynniki pierwszego generatora afinicznego (por. wzór 3.2), a2, b2, M2 współczynniki drugiego generatora afinicznego (por. wzór 3.2), from_val, to_val zakres dolny i górny przedziału, w którym chcemy uzyskać liczby losowe (wartości te mają wpływ na współczynnik M pierwszego generatora afinicznego w sposób następujący: M1 = to_val - from_val + 1; por. wzór 3.2), func_no pozwala na wybór jednej z odgórnie zdefiniowanych funkcji rozkładu. Podanie niezdefiniowanej wartości spowoduje zastosowanie rozkładu równomiernego, a więc zwrócenie wszystkich wylosowanych przez pierwszy generator liczb. Poniżej przedstawiono wartości, jakie może przyjąć ten parametr: Tabela 4.1. Zdefiniowane funkcje rozkładu generatora Neumanna. s, t parametry funkcji. func_no Funkcja 1 e s 2π ( x t) 1 2 2s 2 2 sin( sx) sx 2 (funkcja Gaussa) Przykładowo, jeśli chcemy otrzymać zmienne losowe wg rozkładu normalnego, to powinniśmy użyć następujących parametrów: func_no=1, s=1, t=0. Kompletny kod liczący przedstawiono poniżej: const double PI= ; double f; double r1,r2; unsigned int f_no=*func_no; do { xd[0]=fmod((*a1)*xd[0]+(*b1),(*to_val)-(*from_val)+1); r1=xd[0]+(*from_val); xd[1]=fmod((*a2)*xd[1]+(*b2),*m2); r2=(xd[1]+1)/(*m2); switch (f_no) { case 1: f=(exp(-pow(r1-(*t),2)/(2*pow(*s,2)))/ ((*s)*sqrt(2*pi)))/(exp(0)/((*s)*sqrt(2*pi))); break; case 2: if (r1==0) f=1; else f=pow(sin((*s)*r1)/((*s)*r1),2); break; default: r2=0; f=1; } } while (f<r2);

18 Realizacja generatorów liczb losowych w module SIMULINK programu MATLAB przy użyciu S-Funkcji 18 Poniżej przedstawiono schemat badanego generatora: Rysunek 4.5. Schemat i przykładowe wyniki wykorzystywany w badaniu generatora Neumanna.

19 Badanie i testowanie generatorów Badanie i testowanie generatorów Dobry generator to taki, który tworzy sekwencje liczb własnościach liczb prawdziwie losowych. W praktyce jednak nie można udowodnić, że dany generator jest dobry. Możliwe jest za to udowodnienie, że generator jest zły (nie spełnia któregoś z testów). Pozytywne wyniki określonej liczby testów zwiększają jedynie poziom zaufania względem generatora, ale nie gwarantują jego niezawodności. Testowanie generatorów sprowadza się do spełnienia następujących własności: Zgodność rozkładu ciągu liczb z postulowanym (równomierność rozkładu), Losowość rozkładu (brak wzorca), Wzajemna niezależność (nieprzewidywalność kolejnych liczb) Generator afiniczny Generator ten należy do grupy generatorów liniowych, stąd jego przewidywalność jest bardzo duża. Można zauważyć to na wykresie kolejnych wartości generatora: Rysunek 5.1. Wykres zależności kolejnych liczb ciągu generatora afinicznego dla a=5, b=1, M=16. Ze względu na charakter tego generatora, możliwe jest otrzymywanie wyłącznie albo rozkładu równomiernego przy maksymalnym okresie, albo rozkładu niepełnego (z brakującymi poszczególnymi elementami), jeśli okres generatora nie będzie wynosił M (por. wzór 3.2). Poniżej przedstawiono wykres zależności okresu od doboru parametrów a i b, przy stałym M. Rysunek 5.2. Wykres zależności długości okresu od parametrów a i b przy stałym M=16.

20 Badanie i testowanie generatorów 20 Z przedstawionego rysunku można zaobserwować, że właściwy dobór parametrów jest istotny oraz to, że interferują one razem. Dobór parametru a może doprowadzić do generowania wyłącznie jednej liczby (okres=0). Właściwy dobór parametru b może wydłużyć okres przy dobrze dobranym a. W badanym zakresie, generator osiągał maksymalny okres dla par (a,b) = (1,1), (1,3), (1,5), (5,1), (5,3), (5,5). Potwierdza się zatem fakt, że oba parametry powinny spełniać warunek a,b (3 mod 8 lub 5 mod 8) przy M będącym potęgą liczby 2, aby generator podawał wszystkie liczby z zakresu, tworząc idealny histogram rozkładu: Rysunek 5.3. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=5, b=1, M=16. Jeśli okres nie będzie maksymalnym, generator nie będzie losował danych liczb z całego zakresu. Liczby te są uzależnione od doboru parametrów Rysunek 5.4. Histogram liczb uzyskanych z generatora afinicznego przy parametrach a=3, b-3, M=16 (nie maksymalny okres) Generator inwersyjny Jak wcześniej zostało wspomniane, generator inwersyjny powstał, by wyeliminować przewidywalny element liniowości z ciągu pseudolosowego. Porównując rezultat polecenia plot programu MATLAB rysunek 5.5 z 5.1 można zauważyć tą różnicę.

Zaawansowane algorytmy i struktury danych

Zaawansowane algorytmy i struktury danych Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy c++ w pigułce.

1 Podstawy c++ w pigułce. 1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,

Bardziej szczegółowo

do instrukcja while (wyrażenie);

do instrukcja while (wyrażenie); Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie

Bardziej szczegółowo

W przeciwnym wypadku wykonaj instrukcję z bloku drugiego. Ćwiczenie 1 utworzyć program dzielący przez siebie dwie liczby

W przeciwnym wypadku wykonaj instrukcję z bloku drugiego. Ćwiczenie 1 utworzyć program dzielący przez siebie dwie liczby Część XI C++ W folderze nazwisko36 program za każdym razem sprawdza oba warunki co niepotrzebnie obciąża procesor. Ten problem można rozwiązać stosując instrukcje if...else Instrukcja if wykonuje polecenie

Bardziej szczegółowo

Wiadomości wstępne Środowisko programistyczne Najważniejsze różnice C/C++ vs Java

Wiadomości wstępne Środowisko programistyczne Najważniejsze różnice C/C++ vs Java Wiadomości wstępne Środowisko programistyczne Najważniejsze różnice C/C++ vs Java Cechy C++ Język ogólnego przeznaczenia Można programować obiektowo i strukturalnie Bardzo wysoka wydajność kodu wynikowego

Bardziej szczegółowo

Technologie informacyjne - wykład 12 -

Technologie informacyjne - wykład 12 - Zakład Fizyki Budowli i Komputerowych Metod Projektowania Instytut Budownictwa Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechnika Wrocławska Technologie informacyjne - wykład 12 - Prowadzący: Dmochowski

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Krótka historia algorytmów

Algorytm. Krótka historia algorytmów Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III CZEŚĆ PIERWSZA I. POTĘGI Zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładniku naturalnym. Oblicza wartości

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML

Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Cw.12 JAVAScript w dokumentach HTML Wstawienie skryptu do dokumentu HTML JavaScript jest to interpretowany, zorientowany obiektowo, skryptowy język programowania.skrypty Java- Script mogą być zagnieżdżane

Bardziej szczegółowo

Język ludzki kod maszynowy

Język ludzki kod maszynowy Język ludzki kod maszynowy poziom wysoki Język ludzki (mowa) Język programowania wysokiego poziomu Jeśli liczba punktów jest większa niż 50, test zostaje zaliczony; w przeciwnym razie testu nie zalicza

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH. Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH. Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów 1. Odpowiedzi ustne. 2. Sprawdziany pisemne. 3. Kartkówki. 4. Testy.

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Nazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for. Autor: Piotr Fiorek

Nazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for. Autor: Piotr Fiorek Nazwa implementacji: Nauka języka Python pętla for Autor: Piotr Fiorek Opis implementacji: Poznanie innego rodzaju pętli, jaką jest pętla for w języku Python. Składnia pętli for jest następująca: for

Bardziej szczegółowo

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno

Podstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Instrukcja laboratoryjna 6 Podstawy programowania 2 Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Wstęp teoretyczny Rekurencja (inaczej nazywana rekursją, ang. recursion)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 INFORMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 INFORMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2011 INFORMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 2011 2 Zadanie 1. a) (0 1) Egzamin maturalny z informatyki poziom podstawowy CZĘŚĆ I Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

Zapisywanie algorytmów w języku programowania

Zapisywanie algorytmów w języku programowania Temat C5 Zapisywanie algorytmów w języku programowania Cele edukacyjne Zrozumienie, na czym polega programowanie. Poznanie sposobu zapisu algorytmu w postaci programu komputerowego. Zrozumienie, na czym

Bardziej szczegółowo

Parametry systemów klucza publicznego

Parametry systemów klucza publicznego Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego

Bardziej szczegółowo

Konstrukcje warunkowe Pętle

Konstrukcje warunkowe Pętle * Konstrukcje warunkowe Pętle *Instrukcja if sposób na sprawdzanie warunków *Konstrukcja: if(warunek) else { instrukcje gdy warunek spełniony} {instrukcje gdy warunek NIE spełniony} * 1. Wylicz całkowity

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Języki programowania zasady ich tworzenia

Języki programowania zasady ich tworzenia Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych

SCENARIUSZ LEKCJI. Wielomiany komputerowe wykresy funkcji wielomianowych Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Matlab Składnia + podstawy programowania

Matlab Składnia + podstawy programowania Matlab Składnia + podstawy programowania Matlab Matrix Laboratory środowisko stworzone z myślą o osobach rozwiązujących problemy matematyczne, w których operuje się na danych stanowiących wielowymiarowe

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1: Protokół ślepych podpisów cyfrowych w oparciu o algorytm RSA

Zadanie 1: Protokół ślepych podpisów cyfrowych w oparciu o algorytm RSA Informatyka, studia dzienne, inż. I st. semestr VI Podstawy Kryptografii - laboratorium 2010/2011 Prowadzący: prof. dr hab. Włodzimierz Jemec poniedziałek, 08:30 Data oddania: Ocena: Marcin Piekarski 150972

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania Algorytmy i programowanie

Podstawy Programowania Algorytmy i programowanie Podstawy Programowania Algorytmy i programowanie Katedra Analizy Nieliniowej, WMiI UŁ Łódź, 3 października 2013 r. Algorytm Algorytm w matematyce, informatyce, fizyce, itp. lub innej dziedzinie życia,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2011 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji.

1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji. Temat: Technologia informacyjna a informatyka 1. Informatyka - dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji. Technologia informacyjna (ang.) Information Technology, IT jedna

Bardziej szczegółowo

Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice.

Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice. Informacja o języku. Osadzanie skryptów. Instrukcje, komentarze, zmienne, typy, stałe. Operatory. Struktury kontrolne. Tablice. Język PHP Język interpretowalny, a nie kompilowany Powstał w celu programowania

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012

Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012 Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012 if (warunek) instrukcja1; if (warunek) instrukcja1; else instrukcja2; if (warunek) instrukcja1; else if (warunek2)

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy IIIa i IIIb Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ 1. FUNKCJE (11h) Uczeń: poda definicję funkcji (2)

Bardziej szczegółowo

PŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa V szkoła podstawowa 2012

PŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa V szkoła podstawowa 2012 PŁOCKA MIĘDZYSZKOLNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA klasa V szkoła podstawowa 202 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. 2 Zad. 3 Poprawna odpowiedź Zad. 4 Zad. 5 Zad.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Platforma.NET. Laboratorium nr 1 Podstawy języka C#

Platforma.NET. Laboratorium nr 1 Podstawy języka C# Platforma.NET Laboratorium nr 1 Podstawy języka C# Ćwiczenie 1 1. Utwórz nowy projekt a. Z menu File wybierz New/Project b. W oknie dialogowym New Project określ następujące właściwości: typu projektu:

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Kula - wprowadzenie do Turbo Pascala i algorytmiki

Elżbieta Kula - wprowadzenie do Turbo Pascala i algorytmiki Elżbieta Kula - wprowadzenie do Turbo Pascala i algorytmiki Turbo Pascal jest językiem wysokiego poziomu, czyli nie jest rozumiany bezpośrednio dla komputera, ale jednocześnie jest wygodny dla programisty,

Bardziej szczegółowo

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

Z nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II

Z nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II Z nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II Wymagania na poszczególne oceny szkolne Grażyna Koba Spis treści 1. Algorytmika i programowanie... 2 2. Obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym... 4 3. Bazy

Bardziej szczegółowo

3 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota

3 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota Laboratorium nr 3 1/8 Język C Instrukcja laboratoryjna Temat: Instrukcje warunkowe, pętle. 3 Przygotował: mgr inż. Maciej Lasota 1) Instrukcje warunkowe. Instrukcje warunkowe pozwalają zdefiniować warianty

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MAEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM do podręcznika MATEMATYKA 2001

PLAN WYNIKOWY Z MAEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM do podręcznika MATEMATYKA 2001 Bożena Bakiewicz, Bożena Pindral PLAN WYNIKOWY Z MAEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM do podręcznika MATEMATYKA 2001 Poziom wymagań: K - konieczny P - podstawowy R - rozszerzający D - dopełniający POTĘGI,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++

Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Podstawy Programowania Podstawowa składnia języka C++ Katedra Analizy Nieliniowej, WMiI UŁ Łódź, 3 października 2013 r. Szablon programu w C++ Najprostszy program w C++ ma postać: #include #include

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Definicje. Algorytm to:

Definicje. Algorytm to: Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: 1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. GOLOMBA I RICE'A

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. GOLOMBA I RICE'A mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. KOMPRESJA ALGORYTMEM ARYTMETYCZNYM, GOLOMBA I RICE'A Idea algorytmu arytmetycznego Przykład kodowania arytmetycznego Renormalizacja

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch Język C część 2 Podejmowanie decyzji w programie if else Instrukcja warunkowa umożliwia wykonanie pewnej instrukcji w zależności od wartości wyrażenia. Wszystkie wartości różne od 0, są w języku C traktowane

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo