Wybrane zagadnienia ekonometrii z wykorzystaniem programu Statistica. Marcin Kurpas

Transkrypt

1 Wybrane zagadnienia ekonometrii z wykorzystaniem programu Statistica Marcin Kurpas UPGOW Uniwersytet Partnerem Gospodarki Opartej na Wiedzy Uniwersytet Śląski w Katowicach, ul. Bankowa 12, Katowice, Publikacja jest współfinansowana z Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Skrypt jest dystrybuowany bezpłatnie.

2 2

3 Spis treści 1 Wstęp Czym jest ekonometria? Podstawowe pojęcia ekonometrii Zmienne modelu Parametry strukturalne Dane statystyczne Etapy badań ekonometrycznych Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny z jedną zmienną objaśniającą Wyznaczenie parametrów modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą metodą najmniejszych kwadratów Uogólnienie na model wielowymiarowy Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów - założenia Twierdzenie Gaussa-Markowa Ocena stopnia dopasowania modelu ekonometrycznego do danych empirycznych Zadania KMNK w Statistica Wykres rozrzutu Szacowanie parametrów modelu Statystyczna istotność modelu Weryfikacja założeń KMNK Wartość średnia reszt Badanie losowości Badanie normalności rozkładu składnika losowego Badanie autokorelacji Badanie homoskedastyczności Zadania Metody doboru zmiennych objaśniających do modelu Wykresy rozrzutu Korelacie Pearsona Eliminacja zmiennych kwazistałych

4 4 SPIS TREŚCI Regresja krokowa Metoda Hellwiga Zadania Szacowanie parametrów modeli w przypadku autokorelacji i heteroskedastyczności Ważona metoda najmniejszych kwadratów Metoda Cochrane a-orcutta Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego 53 7 Nieliniowe modele ekonometryczne Linearyzowalne modele ekonometryczne Funkcja produkcji Wstęp Zastosowanie funkcji produkcji Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Linearyzacja funkcji Cobba-Douglasa Ekonometryczna analiza rynku i popytu konsumpcyjnego Podstawowe pojęcia Ekonometryczne modele popytu dochodowego Dodatek 69

5 Rozdział 1 Wstęp 1.1 Czym jest ekonometria? Pierwszym pytaniem, jakie należy sobie zadać rozpoczynając przygodę z ekonometrią jest czym zajmuje się ekonometria?. Odpowiedź, w dość ogólnej postaci, jest następująca: ekonometria to nauka, która zajmuje się badaniem związków przyczynowo skutkowych między zjawiskami ekonomicznymi i społecznymi oraz ilościowym opisem tych relacji. Celem badań ekonometrycznych jest również konfrontacja teorii ekonomicznych z praktyką, a także prognozowanie, na podstawie pewnych przesłanek, o rozwoju zjawisk ekonomicznych. Powyższe sformułowanie, jak już napisaliśmy, jest dość ogólne, ponieważ metody ekonometrii znajdują zastosowanie także w badaniu zjawisk przyrodniczych, technicznych, socjalnych, medycynie lub w naukach o sporcie. Pojęcie ekonometria zostało sformułowane (tak się przynajmniej uważa) przez norweskiego uczonego Ragnara Frischa, współzałożyciela Towarzystwa ekonometrycznego, pierwszego edytora czasopisma Econometrica. W 1969 roku Frisch (wraz z Janem Tinbergenem) został uhonorowany pierwszą Nagrodą Nobla w w dziedzinie ekonomii. 1.2 Podstawowe pojęcia ekonometrii Czym jest model ekonometryczny? Podstawowym pojęciem ekonometrii (również narzędziem ekonometryka) jest model ekonometryczny. Model ekonometryczny jest uproszczoną wersją rzeczywistości, ponieważ zjawiska ekonomiczne są na ogół bardzo złożone. Jest to układ równań stochastycznych (w najprostszym przypadku jedno równanie), który z pewną dokładnością opisuje rzeczywiste zależności pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi. Pierwszym, który zwrócił uwagę na probabilistyczną istotę modelu ekonometrycznego był również Norweg, i również laureat Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii Tryvge Haavelmo. Wg niego, modele deterministyczne nie są konsystentne z obserwacjami ekonomicznymi, dlatego niewłaściwe jest stosowanie modeli deterministycznych do niedeterministycznych danych. Składnikami modelu ekonometrycznego są zmienne oraz *parametry strukturalne*. Dodatkowym składnikiem jest czynnik losowy, którego obecność wynika z przybliżonego charakteru (niedokładności) badanej zależności. 5

6 6 ROZDZIAŁ 1. WSTĘP Zmienne modelu Zmienne modelu możemy podzielić na dwie grupy: zmienne objaśniane - których zmienność (zachowanie) będziemy chcieli wyjaśnić za pomocą modelu, oraz zmienne objaśniające czyli takie, które wpływają na zachowanie się zmiennej objaśnianej - objaśniają zmienność zmiennej objaśnianej. Czasem zdarza się (np. w modelach wielorównaniowych), że zmienne objaśniane pełnią rolę również zmiennych objaśniających. Wtedy taki podział nie jest do końca jednoznaczny. Dlatego wprowadzono podział na zmienne endogeniczne - wszystkie zmienne objaśniane modelu, które mogą występować również jako zmienne objaśniające (w tym samym modelu) oraz zmienne egzogeniczne - zmienne, które w danym modelu pełnią wyłącznie rolę zmiennych objaśniających. Zakres niniejszego skryptu ogranicza się jedynie do prostych modeli, w których zmienne objaśniane nie będą pełniły roli zmiennych objaśniających. Będziemy zatem używali podziału na zmienne objaśniane i objaśniające. Innym podziałem zmiennych, o którym warto wspomnieć, jest podział na zmienne ilościowe i zmienne jakościowe. Zmienne ilościowe przyjmują wartości liczbowe (są mierzalne) np. liczba sprzedanych samochodów, liczba urodzeń, dochód na członka rodziny. Zmienne jakościowe przyjmują wartości słowne i dotyczą takich cech jak np. płeć, wykształcenie. Takie zmienne powodują pewne utrudnienia w procesie mierzenia relacji ekonomicznych, istnieją jednak metody zastąpienia ich zmiennymi ilościowymi np. poprzez wprowadzenie zmiennych zero-jedynkowych Parametry strukturalne Wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego o zależnościach ekonomicznych może mieć miejsce dopiero po oszacowaniu parametrów strukturalnych modelu. Parametry strukturalne to współczynniki, które wiążą ze sobą zmienne objaśniane i objaśniające. Dla prostych liniowych modeli ekonometrycznych, będą one współczynnikami proporcjonalności pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a objaśnianą (np. podobnie jak opór elektryczny jest współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy napięciem przyłożonym do obwodu, a prądem płynącym w tym obwodzie). Wartości parametrów strukturalnych dla danego zjawiska ekonomicznego na ogół nie są znane i wymagają wyznaczenia na podstawie danych obserwacyjnych. Dlatego też, w modelu ekonometrycznym (wyznaczanym w procesie modelowania) występują estymatory parametrów strukturalnych, a nie same parametry. Chcielibyśmy, aby wartości estymatorów parametrów strukturalnych były jak najbliższe parametrom strukturalnym tzn. aby model teoretyczny w jak największym stopniu odzwierciedlał prawdziwe zależności ekonomiczne. Jak zobaczymy nie jest to zadanie proste ze względu na złożoność zjawisk, które chcemy opisywać. Trzecim składnikiem modelu jest element losowy. Obecność składnika losowego świadczy o stochastycznym charakterze modelu. Czynnik losowy odzwierciedla wpływ drugorzędnych, jawnie niewyróżnionych czynników, niedoskonałość danych statystycznych, a także nieprzewidywalne zachowanie podmiotów ekonomicznych. Model ekonometryczny, nie precyzując jego postaci matematycznej, możemy zapisać jako związek funkcyjny pomiędzy zmiennymi Y k = f k (X k, ξ k ), (1.1)

7 1.2. PODSTAWOWE POJĘCIA EKONOMETRII 7 gdzie Y k jest k-tą obserwacją zmiennej objaśnianej, X k jest wektorem obserwacji zmiennych objaśniających, ξ k jest elementem losowym. Indeks k = 1, 2... n numeruje równania w modelu, a liczba n to ilość obserwacji danej wielkości. Modele ekonometryczne można sklasyfikować ze względu na różne cechy. Poniżej wypiszemy najczęściej spotykane podziały: ze względu na postać analityczną modelu: modele liniowe, nieliniowe (sprowadzalne do liniowych, niesprowadzalne do liniowych), ze względu na ilość równań modelu: jednorównaniowe, wielorównaniowe, ze względu na rolę czynnika czasu: modele statyczne (niezależne od czasu), modele dynamiczne (zależne od czasu np. modele trendu). Powyższy podział nie jest tylko zabiegiem formalnym, lecz ma swoje podstawy statystyczne: od typu i postaci modelu zależą metody szacowania jego parametrów Dane statystyczne Podstawową wiedzę o zjawiskach ekonomicznym uzyskuje się na podstawie zebranych danych statystycznych. Dane statystyczne to wyniki powtarzanych pomiarów danej cechy np. zarobków, wykształcenia itp.. Pomiaru danej cechy dokonuje się zwykle na pewnym podzbiorze populacji zwanym próbą. Populacja to zbiorowość obiektów (osób, przedmiotów, faktów) podobnych pod względem pewnych cech. Przykładowo, chcemy zbadać średni wzrost Polaków. Zatem populacją będą wszyscy obywatele Polski. Łatwo sobie wyobrazić, że dokonanie pomiaru ok 40 milionów ludzi byłoby bardzo czasochłonne i statystycznie nieuzasadnione. Dlatego wybiera się losowo próbę statystyczną - pewien podzbiór populacji np osób z różnych regionów kraju i na tym podzbiorze dokonuje się pomiaru oraz analizy statystycznej. Jeśli próba losowa jest dostatecznie liczna, to jest próbą reprezentatywną i wyniki badań można uogólnić na całą populację, tzn. z dużym prawdopodobieństwem można sądzić że rozkład danej cechy w populacji (w naszym przykładzie wzrostu Polaków) jest taki sam jak w wybranej próbie. Dane statystyczne również możemy podzielić na rodzaje: dane mogą dotyczyć zmienności danej cechy w zależności od chwili czasu, w którym ją mierzymy - takie dane noszą nazwę szeregów czasowych (np. kursy walut lub indeksy giełdowe); zmienności danej cechy w ustalonym czasie, ale w odniesieniu do różnych obiektów - dane przekrojowe (np. średni dochód gospodarstwa domowego w województwie Małopolskim). Dane stanowiące połączenie dwóch poprzednich rodzajów danych noszą nazwę danych panelowych i składają się z danych dla wielu obiektów, z których każdy jest obserwowany w kilku okresach czasu. Dysponując surowymi danymi trudno jest wyciągnąć wnioski o zależności pomiędzy badanymi zjawiskami ekonomicznymi. Dopiero przetworzenie tych danych z zastosowaniem narzędzi ekonometrycznych np. zbudowanie na ich podstawie modelu ekonometrycznego pozwala na określenie ilościowych związków przyczynowo-skutkowych dla danego zjawiska.

8 8 ROZDZIAŁ 1. WSTĘP Tabela 1.1: Przykład danych przekrojowych: liczba mieszkańców Polski w 2010 roku w danym województwie. Źródło: GUS. Województwo liczba mieszkańców Dolnośląskie Kujawsko-pomorskie Lubelskie Lubuskie Łódzkie Małopolskie Mazowieckie Opolskie Podkarpackie Podlaskie Pomorskie Śląskie Świętokrzyskie Warmińsko-mazurskie Wielkopolskie Zachodniopomorskie Tabela 1.2: Przykład szeregu czasowego: cena dolara amerykańskiego zarejestrowana w ciągu kilku dni. Źródło: FOREX. Data Cena w PLN za jednostkę

9 1.3. ETAPY BADAŃ EKONOMETRYCZNYCH Etapy badań ekonometrycznych Badanie procesów ekonomicznych odbywa się wieloetapowo i wymaga zarówno wiedzy statystycznej, jak i merytorycznej dotyczącej danego problemu. Pierwszym etapem badań jest zapoznanie się ze zjawiskiem ekonomicznym, którego analizę chcemy wykonać. Wiedza na temat praw rządzących danym zjawiskiem jest niezbędna na późniejszych etapach i jej brak może doprowadzić do błędnych decyzji (np. źle dobrane zmienne objaśniające lub analityczna postać modelu) lub do błędnych wniosków. Kolejnym etapem jest dobór zmiennych objaśniających do modelu. Jest to zadanie wymagające szczególnej uwagi. Może się bowiem zdarzyć, że źle dobrane zmienne nie będą w wystarczającym stopniu wyjaśniały kształtowania się zmiennej objaśnianej lub, co gorsza, ekonometryk podejmie decyzję o zmianie postaci analitycznej modelu, który dla dobrze dobranych zmiennych objaśniających dawałby poprawne wyniki. Dobór zmiennych do modelu można podzielić na dwa etapy: wybór potencjalnych zmiennych objaśniających bazujących na wiedzy merytorycznej, a następnie jego weryfikacja za pomocą narzędzi statystycznych. Następnym krokiem jest wybór postaci analitycznej modelu. To zadanie również należy do niełatwych, ponieważ dużą rolę odgrywa w nim znajomość teorii ekonometrii, modelowanego zjawiska oraz doświadczenie. Po dokonaniu wyboru zmiennych objaśniających i postaci modelu przystępuje się do estymacji parametrów strukturalnych modelu. W tym celu stosuje się rożne metody np. metodę najmniejszych kwadratów lub metodę największej wiarygodności, które są zaimplementowane w wielu pakietach statystycznych, zarówno komercyjnych (np. Statistica, STATA, SAS), jak i bezpłatnych (np. R, Gretl). Wybór metody szacowania parametrów strukturalnych nie może być przypadkowy, ponieważ zależy od postaci analitycznej modelu oraz cech charakteryzujących dane statystycznych. Jest to ściśle związane z własnościami estymatorów uzyskanych konkretną metodą estymacji.

10 10 ROZDZIAŁ 1. WSTĘP

11 Rozdział 2 Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów Uwagi wstępne W poprzednim rozdziale podaliśmy ogólną postać modelu ekonometrycznego, jako związku pomiędzy zmiennymi objaśnianymi i objaśniającymi. W następnych będziemy zajmowali się jedną postacią modelu ekonometrycznego, która jest bardzo powszechnie stosowana, mianowicie modelem liniowym. Do estymacji parametrów strukturalnych modelu będziemy stosować klasyczną metodę najmniejszych kwadratów (KMNK). Jak zobaczymy, wybór tej metody jest nieprzypadkowy. 2.1 Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny z jedną zmienną objaśniającą Jest to najprostsza wersja modelu liniowego i chociaż najczęściej nie wystarcza do poprawnego opisu zjawisk ekonomicznych, jego zaletą jest prostota zrozumienia i interpretacji. Jednorównaniowy model liniowy z jedną zmienną objaśniającą możemy zapisać w następującej postaci: y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i, i = 1, 2,..., n, (2.1) gdzie β i są nieznanymi parametrami strukturalnymi modelu, y i - i-tą obserwacją zmiennej objaśnianej, x i - i-tą obserwacją zmiennej objaśniającej, a ɛ i zmienną losową. Zmienne y i oraz x i są nam znane (ich wartości zostały zebrane np. w wyniku przeprowadzenia badania ankietowego). Wartości parametrów strukturalnych β k nie są znane, więc zadaniem ekonometryka jest wyznaczenie takich wartości estymatorów parametrów strukturalnych, które będą najbliższe tym parametrom. Konstruuje się więc model teoretyczny, w którym parametry strukturalne β zastępuje się ich estymatorami b: ŷ i = b 0 + b 1 x i, i = 1, 2,..., n, (2.2) przy czym przez ŷ i oznaczyliśmy wartość teoretyczną zmiennej objaśnianej (wyznaczoną z modelu), a b k estymatory parametrów strukturalnych β k. 11

12 12 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Rysunek 2.1: Schematyczne przedstawienie idei modelu ekonometrycznego. Punkty oznaczają dane eksperymentalne, linia oznacza model teoretyczny wyznaczony na podstawie danych eksperymentalnych. Różnice pomiędzy wartościami teoretycznymi i obserwowanymi to reszty e i. Dane umowne. Uwaga Oznaczenia ŷ i będziemy używali w celu podkreślenia, że wartość ta jest wartością teoretyczną, wyznaczoną z oszacowanego już modelu. Wartość empiryczną zmiennej objaśnianej oznaczamy y i. Ponieważ model teoretyczny z reguły nie tłumaczy w stu procentach rozpatrywanego zjawiska ekonomicznego (np. ze względu na złą jakość danych, zbyt małą próbę lub złą postać funkcyjną modelu), wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej wyznaczone z modelu mogą różnić się od wartości empirycznych. Ich różnice nazywa się resztami modelu: e i = y i ŷ i, i = 1, 2,..., n. (2.3) Widać, że reszty będą w pewien sposób odzwierciedlały dopasowanie modelu teoretycznego do danych empirycznych. Wprowadźmy wielkość, która będzie opisywała dopasowanie modelu do danych empirycznych. Zdefiniujmy ją jako sumę wszystkich reszt: n η = e i, (2.4) gdzie n jest wielkością próby (liczbą obserwacji danej cechy). Na pierwszy rzut oka wydaje się, że przypadek η = 0 oznaczać będzie idealnie dopasowany model. Niestety, jest to bardzo zła miara dopasowania, ponieważ w metodzia najmniejszych kwadratów suma n reszt jest zawsze równa zeru e i = 0. Reszty dodatnie (powyżej prostej na rysunku 2.1) są przeciwne do reszt ujemnych (poniżej prostej na rysunku 2.1) i wzajemnie się znoszą.

13 2.2. WYZNACZENIE PARAMETRÓW MODELU LINIOWEGO Z JEDNĄ ZMIENNĄ OBJAŚNIAJĄC Lepszą miarą dopasowania jest suma modułów reszt n η 1 = e i. (2.5) W tym przypadku dodatnie i ujemne reszty nie znoszą się i im większe są reszty e i, tym większa jest wartość η 1. Niestety ta funkcja nie jest ładną funkcją matematyczną, ponieważ nie jest wszędzie różniczkowalna, co powoduje pewne trudności w szukaniu jej minimum. Dlatego jako miary dopasowania używa się sumy kwadratów reszt n χ = e 2 i. (2.6) W następnym rozdziale pokażemy, że stosując miarę dopasowania (2.6), jesteśmy w stanie wyznaczyć jednoznacznie takie wartości estymatorów parametrów strukturalnych b 0 i b 1, dla których χ osiąga minimum. 2.2 Wyznaczenie parametrów modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą metodą najmniejszych kwadratów Najczęściej stosowaną metodą wyznaczenia ocen b k w parametrycznych modelach liniowych jest metoda najmniejszych kwadratów. Polega ona na wyznaczeniu takich oszacowań b 0 i b 1, dla których suma kwadratów reszt (2.6) jest najmniejsza n χ = e 2 i min. (2.7) Z równania 2.3 wynika, że przy danych wielkościach x i i y i reszty są funkcjami ocen parametrów strukturalnych: n n n χ(b 0, b 1 ) = e 2 i = (y i ŷ i ) 2 = (y i b 0 b 1 x i ) 2. (2.8) Chcemy zatem zminimalizować χ(b 0, b 1 ) ze względu na parametry b 0 i b 1. Warunkiem koniecznym, aby funkcja miała minimum w punkcie, jest znikanie jej pierwszych pochodnych cząstkowych w tym punkcie: Zatem, χ(b 0, b 1 ) = 0, b 0 (2.9) χ(b 0, b 1 ) = 0. b 1 (2.10) χ(b 0, b 1 ) = ( n (y i b 0 b 1 x i ) 2 ) = n [(y i b 1 x i ) b 0 ] 2 b 0 b 0 b 0 n n = (2b 0 2(y i b 1 x i )) = 2 (y i b 0 b 1 x i ) = 0 (2.11)

14 14 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW χ(b 0, b 1 ) = n [(y i b 0 ) b 1 x i ] 2 = b 1 b 1 n ( ) 2xi (y i b 0 ) + 2b 1 x 2 i n ( ) = 2 xi y i x i b 0 b 1 x 2 n i = 2 x i (y i b 0 b 1 x i ) = 0. (2.12) Ponieważ obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie, otrzymujemy układ równań: n 2 (y i b 0 b 1 x i ) = 0, n (2.13) 2 x i (y i b 0 b 1 x i ) = 0. Wchodząc ze znakiem sumy pod nawiasy i dzieląc obydwa równania przez (-2) otrzymujemy: n n y i b 1 x i nb 0 = 0, n n n (2.14) x i y i b 0 x i b 1 x 2 i = 0, gdzie n n b 0 = b 0 1 = b 0 n. Jeśli pierwsze równanie w (2.14) podzielimy przez n i dokonamy podstawienia gdzie x oznaczana średnią arytmetyczną z x i, to otrzymamy: 1 n n 1 n y i b 1 1 n Z tego równania możemy wyliczyć wartość parametru b 0 : n y i = ȳ, 1 n x i = x (2.15) n n x i b 0 = ȳ b 1 x b 0 = 0. (2.16) b 0 = ȳ b 1 x (2.17) i wstawić do drugiego równania w (2.14) b 0 = ȳ b 1 x, n n n x i y i (ȳ b 1 x) x i b 1 x 2 i = 0. (2.18) Analogicznie, stosując podstawienie n x i = n x

15 2.2. WYZNACZENIE PARAMETRÓW MODELU LINIOWEGO Z JEDNĄ ZMIENNĄ OBJAŚNIAJĄC otrzymujemy: b 0 = ȳ b 1 x, n x i y i n xȳ + nb 1 x 2 n b 1 x 2 i = 0. (2.19) Policzmy, czemu są równe wyrażenia n (x i x) 2 oraz n (x i x)(y i ȳ): n (x i x) 2 n = (x 2 i 2 xx i + x 2 ) (2.20) n n = x 2 i 2n x x + n x 2 = x 2 i n x 2 n n n n n (x i x)(y i ȳ) = x i y i ȳ x i x y i + xȳ 1 (2.21) n = x i y i n xȳ Wstawiając te wyrażenia do drugiego równania w (2.19) i po kilku przekształceniach otrzymujemy: b 0 = ȳ b 1 x, n (x i x)(y i ȳ) b 1 =. n (x i x) 2 (2.22) Otrzymaliśmy rozwiązanie warunku koniecznego na istnienie ekstremum funkcji χ(b 0, b 1 ). Pozostało nam sprawdzenie warunku wystarczającego na istnienie minimum. Ponieważ mamy do czynienia z funkcją dwóch zmiennych, musimy policzyć zarówno drugie pochodne po b k jak i pochodne mieszane. 2 χ(b 0, b 1 ) A = b χ(b 0, b 1 ) b 0 b 1 2 χ(b 0, b 1 ) b 0 b 1 2 χ(b 0, b 1 ) b 2 1 2n 2n x = 2n X n 2 x 2 (2.23) i Jeśli det(a) > 0, oraz pochodna 2 χ(b 0, b 1 ) > 0 to funkcja ma lokalne minimum. Ponieważ b 2 0 ( n ) ( n ) det(a) = 4n x 2 i n x 2 = 4n (x i x) 2 > 0 (2.24) oraz 2n > 0, to w b 0 i b 1 danymi przez (2.22) funkcja χ(b 0, b 1 ) ma minimum.

16 16 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Wniosek Użycie metody najmniejszych kwadratów do znalezienia wartości estymatorów b k parametrów strukturalnych β k pozwoliło na znalezienie takich wartości b k, dla których suma kwadratów reszt osiąga minimum. Oznacza to, że o ile reszty mają rozkład normalny (patrz np. [6]), inne metody estymacji mogą dać co najwyżej tak samo dobre oszacowania parametrów strukturalnych. 2.3 Uogólnienie na model wielowymiarowy W poprzednim rozdziale zdefiniowaliśmy liniowy (względem parametrów i zmiennych objaśnianych) model ekonometryczny z jedną zmienną objaśniającą. W tym rozdziale wprowadzimy ogólniejszy zapis modelu z dowolną liczbą zmiennych objaśniających. Rozważmy zatem model liniowy y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i β k x ki + ɛ i, i = 1, 2,..., n, (2.25) gdzie: y i - jest i-tą obserwacją zmiennej objaśnianej, x ki - i-tą obserwacją k tej zmiennej objaśniającej, a ɛ i zmienną losową. Obserwacje zmiennych objaśnianych dla całej próby tworzą wektor jednokolumnowy Y =. y n Dla k tej zmiennej objaśniającej jej wektor obserwacji jest postaci X k = y 1 y 2 x k1 x k2. x kn. (2.26). (2.27) Łatwo zauważyć, że wektory obserwacji dla wszystkich zmiennych objaśniających, dla całej próby o liczebności n tworzą macierz postaci 1 x 11 x x k1 1 x 12 x x k2 X =....., (2.28) 1 x 1n x 2n... x kn gdzie pierwsza kolumna (złożona z jedynek) odpowiada stałej w modelu (parametrowi β 0 ). Wektor parametrów β oraz czynników losowych ɛ i również są jednokolumnowy β 1 β 2 β =., (2.29) β k

17 2.4. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW - ZAŁOŻENIA 17 ɛ 1 ɛ 2 ɛ i =. Stosując powyższy zapis, model (2.25) możemy zapisać jako ɛ n. (2.30) Y = Xβ + ɛ. (2.31) Analogicznie jak robiliśmy to w rozdziale poprzednim, można wyprowadzić warunki na istnienie minimum funkcjonału χ(b), który ma następującą postać χ(b) = χ(b 0, b 1,..., b k ) = n e 2 i, (2.32) gdzie reszty e i = y b 0 b 1 x 1i b 2 x 2i... b k x ki. (2.33) Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu χ(b) b l = 0, l = 1, 2,..., k, (2.34) a warunkiem wystarczającym na istnienie minimum jest dodatnio określona macierz drugich pochodnych 2 χ(b) b 2 > 0. (2.35) Poniżej podamy tylko wynik obliczeń, zainteresowanych szczegółami rachunkowymi odsyłamy np. do książki [4] lub do skryptu [6]. Z powyższych warunków na minimum funkcjonału χ(b) otrzymujemy następującą postać wektora estymatorów parametrów strukturalnych: b = ( X T X ) 1 X T Y, (2.36) gdzie X T oznacza macierz transponowaną do macierzy X, a (X T X) 1 jest macierzą odwrotną do macierzy X T X. 2.4 Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów - założenia Aby powyższy formalizm szacowania wartości estymatorów parametrów strukturalnych mógł nosić nazwę klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK), muszą być spełnione pewne założenia [3, 2], co daje nam większe możliwości wnioskowania statystycznego.

18 18 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW 1. Istnieje liniowa zależność pomiędzy zmienną objaśnianą i objaśniającymi. Zmienne objaśniające x i są nielosowe, a ich wartości są traktowane jako stałe w powtarzających się próbkach (pomiarach). 2. Wartości oczekiwane składników losowych są równe zeru: E(ɛ) = Wariancje składników losowych są stałe, tzn. D 2 (ɛ) = E(ɛɛ T ) = σ 2 I, σ 2 <. 4. r(x) = k + 1 n, gdzie r() oznacza rząd macierzy. 5. Składniki losowe ɛ i, i = 1, 2,..., n mają rozkład normalny. Interpretacja założeń Pierwsze założenie o nielosowości i stałości w próbach zmiennych objaśniających oznacza, że wartości tych zmiennych są znane (założone z góry) np. chcąc zbadać wpływ intensywności stosowania środków ochrony roślin na zbiór ziemniaków wybiera się trzy gospodarstwa. Każdy z rolników stosuje ten sam środek ochrony roślin, ale z różną, lecz stałą intensywnością (pierwszy rolnik spryskuje pole raz w miesiącu, drugi dwa razy a trzeci trzy razy). Bada się ile ton ziemniaków pierwszej klasy zbierze każdy z gospodarzy. Plony ziemniaków są oczywiście zmienną losową, lecz ilość środka ochrony roślin nie, ponieważ jest z góry ustalona. Drugie założenie, o zerowej wartości oczekiwanej składnika losowego oznacza, że zakłócenia od poszczególnych składników losowych mają tendencję do wzajemnego znoszenia się. Konsekwencją tego założenia jest równość E[y i x 1i,..., x ki ] = βx, która nadaje następującą interpretację liczbową parametrom modelu: wartość parametru β l mówi o ile średnio zmieni się wartość zmiennej objaśnianej y, gdy zmienna objaśniająca x l zmieni się o jednostkę, przy niezmienionych wartościach pozostałych zmiennych. Trzecie założenie oznacza jednorodność wariancji składnika losowego (tzw. homoskedastyczność). Dodatkowo, E(ɛ i, ɛ j ) = 0 (lub cov(ɛ i, ɛ j ) = 0) dla i j co oznacza, że składniki losowe są nieskorelowane, a ich rozkład jest niezależny od zmiennych objaśniających i taki sam dla wszystkich obserwacji. Czwarte założenie mówi, że rząd macierzy zmiennych objaśniających jest mniejszy lub równy liczbie obserwacji. Jest to założenie algebraiczne, lecz niezbędne do jednoznacznego wyznaczenia wartości estymatorów parametrów strukturalnych. Ostatnie, piąte założenie nie musi być spełnione w klasycznej metodzie najmniejszych kwadratów, ale ułatwia wnioskowanie statystyczne i weryfikację modelu ekonometrycznego. Należy podkreślić, że nie jesteśmy w stanie sprawdzić założeń dotyczących składnika losowego przed oszacowaniem parametrów modelu. Procedurę tę wykonuje się za pomocą odpowiednich testów statystycznych już dla otrzymanego modelu. Dlatego też czasem zdarza się, że model trzeba poprawić (zastosować inne metody estymacji) lub nawet odrzucić, ponieważ nie są spełnione założenia KMNK. Na koniec jeszcze jedna uwaga odnośnie nazwy powyższej metody. Słowo klasyczna nie występuje tu przypadkowo i nie może być pominięte. Istnieją bowiem inne metody estymacji parametrów modelu liniowego, które różnią się od KMNK i które stosuje się, gdy któreś z założeń KMNK nie są spełnione (np. ważona metoda najmniejszych kwadratów).

19 2.5. TWIERDZENIE GAUSSA-MARKOWA Twierdzenie Gaussa-Markowa Twierdzenie Estymator parametrów strukturalnych b = ( X T X ) 1 X T y (2.37) wyznaczony klasyczną metodą najmniejszych kwadratów jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym w klasie liniowych estymatorów wektora parametrów β [4]. Wyjaśnijmy pokrótce te własności. Estymator zgodny Estymator b jest zgodny, jeśli że wraz ze wzrostem liczebności próby, tj. n jest stochastycznie zbieżny do szacowanego parametru, tzn. lim n P ( b (n) β < δ) = 1, (2.38) gdzie δ jest dowolnie małą liczbą dodatnią, a {b (n) } ciągiem estymatorów. Inaczej mówiąc, wraz ze wzrostem liczebności próby n prawdopodobieństwo, że estymator b różni się o dowolnie małą liczbę od estymowanego parametru β dąży do jedności. Stąd wynika, że zwiększenie liczebności próby prowadzi do uzyskania mniejszych błędów estymacji. Estymator nieobciążony Estymator jest nieobciążony, jeśli jego wartość oczekiwana jest równa wartości szacowanego parametru, tzn. E(b) = β. (2.39) Estymator, który nie jest nieobciążony nazywa się obciążonym, a różnicę Θ = E(b) β (2.40) nazywa się obciążeniem estymatora. Jeśli Θ > 0, to estymator b daje przeciętnie za wysokie oceny parametru strukturalnego β, jeśli Θ < 0, to estymator b daje przeciętnie za niskie oceny parametru strukturalnego β. Estymator jest asymptotycznie nieobciążony, jeśli obciążenie estymatora dąży do zera wraz ze wzrostem próby: lim n (E(b (n) β)) = 0. Estymator najefektywniejszy Niech będzie dany zbiór m estymatorów Γ l, l = 1, 2,..., m tego samego parametru β. Efektywność e (Γ l ) estymatora Γ l to stosunek wariancji estymatora odznaczającego się najmniejszą wariancją Γ min, do wariancji tego estymatora: eff (Γ l ) = σ2 (Γ min ) σ 2 (Γ l ). (2.41)

20 20 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Jak łatwo można zauważyć, dla estymatora najefektywniejszego eff ( Γ eff ) l = 1, a dla wszystkich estymatorów mających większą wariancję ef f < Ocena stopnia dopasowania modelu ekonometrycznego do danych empirycznych Oszacowanie parametrów modelu ekonometrycznego metodą najmniejszych kwadratów jest zadaniem stosunkowo prostym. Większość programów statystycznych wykonuje to zadanie prawie natychmiastowo. Jednak samo wyliczenie ocen estymatorów b nie wystarcza, aby móc formułować wnioski na podstawie otrzymanego modelu. Najpierw należy sprawdzić, czy otrzymany model w wystarczającym stopniu wyjaśnia zachowanie zmiennej objaśnianej oraz czy jest poprawny pod względem statystycznym i merytorycznym. Ekonometria dysponuje narzędziami do oceny stopnia dopasowania modelu teoretycznego do danych empirycznych. Poniżej omówimy kilka z nich. Odchylenie standardowe reszt Dopasowanie modelu do danych empirycznych moglibyśmy ocenić na podstawie wariancji składnika losowego σ 2 (ɛ). Niestety składowe wektora ɛ(ɛ 1,..., ɛ n ) nie są wielkościami obserwowanymi i wyliczenie wariancji σ 2 (ɛ) jest niemożliwe. Trzeba poszukać innej drogi. W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy pojęcie reszt modelu (2.3), jako różnicę wartości empirycznej i teoretycznej zmiennej objaśnianej. Jeśli zapiszemy to równanie nieco dokładniej zobaczymy, że reszty modelu będą odpowiednikami czynnika losowego: e = y ŷ = y = ŷ + e Xβ + ɛ = Xb + e (2.42) Twierdzenie W klasycznym modelu regresji liniowej nieobciążonym i zgodnym estymatorem wariancji składnika losowego σ 2 (ɛ) jest S 2 e = e T e n (k + 1) = 1 n k 1 n e 2 i. (2.43) Odchylenie standardowe reszt, zwane również standardowym błędem szacunku jest definiowane jako pierwiastek z wariancji reszt S e = 1 n e 2 i. (2.44) n (k + 1) We wzorach (2.43,2.44) suma kwadratów reszt nie jest dzielona przez liczebność próby n, a przez liczebność próby pomniejszoną o liczbę zmiennych objaśniających n (k + 1). Wielkość ta nazywana jest stopniami swobody równania (2.25). Warto o tym pamiętać np. podczas pisania własnych procedur do estymacji KMNK np. w programach Excel czy Matlab, gdzie domyślnie suma kwadratów reszt dzielona jest przez liczebność próby. Standardowy błąd estymacji informuje, o ile przeciętnie wartości teoretyczne odchylają się od wartości empirycznych zmiennej objaśnianej. Jest więc oczywiste, że im mniejszy jest standardowy błąd estymacji, tym lepiej model odzwierciedla rzeczywistą sytuację.

21 2.6. OCENA STOPNIA DOPASOWANIA MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO DANYCH EMPIR Macierz wariancji kowariancji estymatorów b Zanim przejdziemy do macierzy kowariacji estymatorów b, przypomnijmy definicję kowariancji. Kowariancja jest miarą jednoczesnej zmienności dwóch zmiennych (ang. co-vary). Z jednej strony, kowariancja dwóch zmiennych jest dodatnia, jeśli zmieniają się one w tym samym kierunku względem ich wartości oczekiwanej (np. obie zmienne przyjmują wartości powyżej ich wartości oczekiwanej). Z drugiej strony, kowariancja dwóch zmiennych jest ujemna, jeśli kierunek ich zmienności względem wartości oczekiwanych jest przeciwny (np. jeśli jedna zmienna przyjmuje wartości powyżej jej wartości oczekiwanej, druga przyjmuje wartości mniejsze niż wartość oczekiwana). Jeśli nie istnieje liniowa zależność pomiędzy zmiennymi, wtedy ich kowariancja jest równa zeru. Kowariancję dwóch zmiennych możemy zapisać w postaci: D 2 (X i, X j ) cov(x i, X j ) = E [(X i µ i )(X j µ j )], (2.45) gdzie µ i(j) = E(X i(j) ) jest wartością oczekiwaną zmienej X i(j). Można pokazać, że macierz wariancji-kowariancji wektora estymatorów b ma postać D 2 (b) = S 2 e ( X T X ) 1. (2.46) Elementy diagonalne d jj, j = 1,..., k macierzy kowariancji są wariancjami estymatorów b i, a ich pierwiastki kwadratowe noszą nazwę standardowych błędów szacunku S bj parametrów β j S bj = d jj. (2.47) Standardowy błąd szacunku S bj informuje nas o ile średnio wartość estymatora b j oszacowanego KMNK różni się od prawdziwej wartości parametru β j. Wynika stad, że im większy błąd szacunku, tym bardziej wynik estymacji różni się od prawdziwej wartości parametru strukturalnego. Dlatego istotne jest, aby wartość S bj była jak najmniejsza. W szczególności ważne jest, aby S bj nie było porównywalne (tego samego rzędu) z b j. W pracy [2] autorzy sugerują, że standardowy błąd szacunku nie powinien być większy niż 50% dla dużych prób (gdy liczba stopni swobody jest większa niż 20). Błędy względne estymatorów Kolejną wielkością, która niesie informację o stopniu dopasowania modelu do danych jest błąd względny estymatora b i V (b i ) = S(b i) b i Przyjmuje się, że granicą dopuszczalności błędu jest V (b i ) 50%. Współczynnik determinancji i współczynnik zbieżności 100%. (2.48) W poprzednim rozdziale zdefiniowaliśmy, jako miarę dopasowania modelu do danych, wariancję reszt. Miara ta, mimo iż jest bardzo dobra, jest dość niewygodna w użyciu ze względu na fakt, że wyrażona jest w jednostkach zmiennej objaśnianej. Dodatkowo,

22 22 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW wariancja reszt skaluje się razem ze zmiennymi, tzn. załóżmy, że zmienna objaśniana i objaśniająca wyrażone są w PLN: X[P LN], Y [P LN]. Wtedy S e również będzie wyrażone w tych jednostkach np. S e = 10PLN. Jeżeli jednak wyrazimy zmienną objaśniającą w P LN, a objaśnianą w tysp LN wtedy S e = 0.01tys PLN. To powoduje, że na pierwszy rzut oka model stał się lepiej dopasowany, co oczywiście jest nieprawdą. Dlatego lepiej stosować miary dopasowania, które nie zależą od jednostek, w których wyrażone są zmienne. Taką miarą jest współczynnik determinancji R 2. Współczynnik determinancji n R 2 = 1 e 2 i n (y i y) 2. (2.49) Zanim omówimy znaczenie R 2 wprowadźmy następujące oznaczenia: n T SS = (y i ȳ) - (Total Sum of Squares) całkowita zmienność zmiennej objaśnianej, ESS = n (ŷ i ȳ) - (Explained Sum of Squares) część zmienności zmiennej objaśnianej wytłumaczonej przez model, n RSS = - (Residual Sum of Squares) część zmienności zmiennej objaśnianej nie e 2 i wytłumaczonej przez model. Zachodzi przy tym zależność Jeśli zapiszemy równanie (2.49) w postaci T SS = ESS + RSS. (2.50) R 2 = ESS T SS, (2.51) to od razu widzimy interpretację współczynnika determinancji. Określa on, w jakim stopniu model tłumaczy zmienność zmiennej objaśniającej. Wartości R 2 należą do przedziału [0; 1]. Jeśli R 2 = 0, to model w ogóle nie opisuje zmienności zmiennej objaśnianej, jeśli R 2 = 1 - model całkowicie tłumaczy zmienność zmiennej objaśnianej. Współczynnik zbieżności Współczynnik zbieżności określa, jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej, jaka nie została wyjaśniona przez model φ 2 = n e 2 i n (y i y) 2 = RSS T SS (2.52) φ 2 przyjmuje również wartości z przedziału [0; 1], przy czym możemy go określić szybko na podstawie zależności φ 2 = 1 R 2.

23 2.6. OCENA STOPNIA DOPASOWANIA MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO DANYCH EMPIR Niescentrowany współczynnik determinancji Współczynnik determinancji określony równaniem (2.49) jest dobrą miarą jedynie dla modelu liniowego, który zawiera wyraz wolny (b 0 ). Jeśli model nie będzie zawierał wyrazu wolnego (ale jest modelem liniowym), należy zastosować jako miarę dopasowania niescentrowany współczynnik determinancji n RN 2 e 2 i = 1 n yi 2 (2.53) Skorygowany współczynnik determinancji Wyobraźmy sobie sytuację, że oszacowaliśmy KMNK model liniowy oraz sprawdziliśmy dopasowanie modelu do danych za pomocą współczynnika determinancji na poziomie R 2 = 0.6. Uważamy, że takie dopasowanie modelu jest zbyt małe i chcemy dodać do modelu nową zmienną objaśniającą. Wyznaczamy zatem nowy model wzbogacony o tą zmienną i obliczamy współczynnik determinancji. Okazuje się, że w takim przypadku, nie możemy porównać współczynników determinancji dla modeli z k oraz k + 1 zmiennymi objaśniającymi. Przyczyną tego jest fakt, że współczynnik determinancji nie jest odporny na wprowadzenie kolejnej zmiennej, tzn. nawet jeśli nowa zmienna nie wniesie żadnej informacji do modelu, R 2 może wzrosnąć dając nam błędną informację o stopniu dopasowania modelu (w populacji) do danych. Taki efekt nazywa się efektem katalizy. W przypadku, gdy chcemy porównywać modele z tą samą zmienną objaśnianą i różną liczbą zmiennych objaśniających (różną liczbą stopni swobody) powinniśmy użyć skorygowanego współczynnika determinancji R2 R 2 = R 2 k n k 1 (1 R2 ) = 1 n e 2 i /(n k 1) i 1 n (y i ȳ) 2 /(n 1), (2.54) gdzie n k 1 jest liczbą stopni swobody (n liczebność próby, k liczba zmiennych objaśniających). Skorygowany współczynnik determinancji ma jednak pewne wady: może przyjmować wartości ujemne oraz nie możemy go interpretować jako części zmienności zmiennej objaśnianej wyjaśnionej przez model. Współczynnik korelacji wielorakiej Współczynnik korelacji wielorakiej R, będący pierwiastkiem kwadratowym ze współczynnika determinancji R = R 2, interpretuje się jako siłę związku liniowego pomiędzy zmienną objaśnianą a wszystkimi zmiennymi objaśniającymi.

24 24 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Tabela 2.1: Typowe wartości przyjmowane przez współczynnik determinancji R 2. Źródło [4]. modele oparte na danych przekrojowych (np.dane dotyczące przedsiębiorstw lub gospodarstw domowych) modele oparte na zagregowanych danych przekrojowych (np. statystyki międzynarodowe) modele szeregów czasowych dla danych rocznych lub kwartalnych > 0.9 modele oparte na przyrostach zmiennych makroekonomicznych Zadania Zadanie 1 W tabeli 2.2 podano trzy wektory reszt modelu oszacowanego różnymi metodami. Odpowiedz na pytanie, który z modeli został oszacowany metodą najmniejszych kwadratów. Odpowiedź uzasadnj. e 1 i e 2 i e 3 i Tabela 2.2: Wektory reszt dla modelu ekonometrycznego oszacowanego trzema różnymi metodami. 2.8 KMNK w Statistica W tym rozdziale zapoznamy się z podstawowymi narzędziami dostępnymi w programie Statistica służącymi do oszacowania parametrów modelu KMNK. Posłużymy się przykładem, w którym będziemy chcieli odpowiedzieć na pytanie, jaki wpływ na sprzedaż produktu ma jego cena oraz środki przeznaczone na reklamę. Dane do analizy zamieszczone są w Tabeli 10.1 w rozdziale 10.

25 2.8. KMNK W STATISTICA Wykres rozrzutu Pierwszym krokiem, który zawsze należy zrobić przed rozpoczęciem estymacji parametrów modelu jest analiza wykresów rozrzutu wartości zmiennej objaśnianej względem zmiennych objaśniających. To bardzo proste narzędzie pozwala, na podstawie wzrokowej oceny, na wyciągnięcie wielu informacji na temat zależności pomiędzy zmiennymi np. ocenić czy istnieje widoczna zależność pomiędzy zmiennymi oraz czy zależność ta ma charakter liniowy czy nieliniowy. Wykresy rozrzutu w programie Statistica możemy zrobić wybierając z menu Wykresy Wykresy 2W Wykresy rozrzutu. Wybierając tę opcję na ekranie pojawi się okno wyboru zmiennych i opcji do wykresu (Rysunek 2.2). Rysunek 2.2: Okno kreatora wykresu rozrzutu w programie Statistica. Aby wybrać zmienne, dla których chcemy zrobić wykresy klikamy na przycisk Zmienne. Jako zmienną X wybieramy obydwie zmienne objaśniające (trzymając klawisz Ctrl) tj. Wydatki reklama i Indeks ceny (Rysunek 2.3), a jako zmienną Y sprzedaż, czyli zmienną objaśnianą. Wybierając obydwie zmienne objaśniające jednocześnie, otrzymamy dwa wykresy rozrzutu dla każdej z osobna. Rysunek 2.3: Okno kreatora wykresu rozrzutu w programie Statistica. W efekcie otrzymujemy dwa wykresy rozrzutu z automatycznie dopasowaną przez Statistica krzywą regresji. Na podstawie wykresów 2.4 i 2.5 możemy stwierdzić, że w pierwszym przypadku zależność pomiędzy zmienną Sprzedaż a Indeks ceny jest silna i ujemna (im większa cena produktu tym mniejsza jego sprzedaż), natomiast zależność liniową pomiędzy Sprzedażą

26 26 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Rysunek 2.4: Wykres rozrzutu zmiennej Sprzedaż względem zmiennej Indeks ceny wraz z dopasowaną krzywą regresji. Równanie dopasowanej krzywej znajduje się nad wykresem. a Wydatkami na reklamę jest raczej słaba. W ten sam sposób robimy wykres rozrzutu zmiennych objaśniających względem siebie. Pozwoli on nam ocenić, czy zmienne objaśniające są ze sobą w jakiś sposób związane. Wykres pokazano na Rysunku 2.6. Punkty na wykresie rozmieszczone są losowo i nie układają się w żaden szczególny wzór co oznacza, że nie ma związku liniowego (przynajmniej dokonując wzrokowej oceny) pomiędzy zmiennymi Indeks ceny i Wydatki na reklamę. Taki związek byłby oczywiście niepożądany (patrz założenia KMNK) Szacowanie parametrów modelu Oszacowania wartości parametrów modelu za pomocą metody najmniejszych kwadratów dokonuje się wybierając z menu Statystyka Regresja wieloraka. Pojawi się nam na ekranie okno wyboru zmiennych zależnych i niezależnych (Rysunek 2.7), w którym jako zmienną zależną wybieramy Sprzedaż a jako niezależne Indeks ceny oraz Wydatki na reklamę (Rysunek 2.8). Następnie wybieramy w oknie regresji OK, w wyniku czego otrzymujemy okno z wynikami regresji (Rysunek 2.9). W oknie Wyniki regresji wielorakiej pojawia się wiele wielkości, których wartości trzeba zinterpretować: współczynnik korelacji wielorakiej R współczynnik determinancji R 2

27 2.8. KMNK W STATISTICA 27 Rysunek 2.5: Wykres rozrzutu zmiennej Sprzedaż względem zmiennej Wydatki na reklamę wraz z dopasowaną krzywą regresji. Równanie dopasowanej krzywej znajduje się nad wykresem. skorygowany współczynnik determinacji P opraw.r 2 wartość statystyki F oraz p-wartość dla testu F błąd standardowy estymacji Na podstawie R oraz R 2 (0.95) możemy stwierdzić bardzo dobre dopasowanie modelu regresji do danych empirycznych. Ponadto wszystkie zmienne są statystycznie istotne (podświetlone na czerwono, patrz rozdział 2.8.3), oraz cały model jest statystycznie istotny (p-wartość dla testu F jest mniejsza od poziomu istotności α = 0.05). Wybierając opcję Podsumowanie regresji otrzymamy arkusz wyników przedstawiony na Rysunku Jak widać, wszystkie parametry modelu są statystycznie istotne (podświetlenie na czerwono), z p-wartością dla testu t-studenta (patrz rozdział 2.8.3) podaną w ostatniej kolumnie. Wyraz wolny jest również istotny statystycznie. Możemy zatem zapisać nasz model w formie matematycznej ŷ = Indeks ceny Wydatki reklama ± (2.55) Standardowe błędy szacunku parametrów są małe w przypadku zmiennej Indeks ceny ( 1.1) i zmiennej Wydatki reklama ( 0.68) i akceptowalne w przypadku wyrazu wolnego ( 6.35). Otrzymany model możemy zinterpretować następująco:

28 28 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Rysunek 2.6: Wykres rozrzutu zmiennej Indeks ceny względem zmiennej Wydatki na reklamę wraz z dopasowaną krzywą regresji. Równanie dopasowanej krzywej znajduje się nad wykresem. zwiększając (zmniejszając) indeks ceny o jednostkę, średnia sprzedaż maleje (wzrasta) o 7.91, przy pozostałych parametrach (wydatki na reklamę) nie zmienionych. Zwiększając (zmniejszając) wydatki na reklamę o jednostkę, średnia sprzedaż rośnie (maleje) o 1.86, przy niezmienionych wartościach pozostałych zmiennych. Ocena b 0 różni się średnio od parametru β 0 o 6.35, ocena b 1 różni się średnio od β 1 o 1.1, a ocena b 2 różni się średnio od β 2 o Szacując cały model, mylimy się średnio o Z powyższego modelu możemy wywnioskować, że większy wpływ na konsumpcję ma cena produktu, a nie dochody. Zwróćmy również uwagę, że ta tendencja jest już widoczna na etapie tworzenia wykresów rozrzutu (Rysunek 2.4 i 2.5), gdzie zaobserwowaliśmy silny związek liniowy pomiędzy konsumpcją i ceną, a słaby związek pomiędzy konsumpcją a dochodem Statystyczna istotność modelu Program Statistica automatycznie wykonuje testy istotności statystycznej zarówno całego modelu, jak i poszczególnych jego składników. Wyniki tych testów otrzymujemy w postaci wartości statystyki i p-wartości, która jest znacznie wygodniejsza w użyciu.

29 2.8. KMNK W STATISTICA 29 Rysunek 2.7: Okno regresji wielorakiej. Rysunek 2.8: Wybór zmiennych do modelu regresji. Rysunek 2.9: Okno z wynikami oszacowania parametrów modelu MNK.

30 30 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Rysunek 2.10: Okno podsumowania regresji wielorakiej w Statistica. Testowanie istotności całego modelu Ten test bada jednoczesną istotność statystyczną całego układu zmiennych objaśniających, a stawiane hipotezy dotyczą zestawu parametrów. Hipoteza zerowa H 0 : β 0 = β 1 = β 2 =... = β k = 0, (2.56) [czyt. wszystkie parametry strukturalne modelu są, statystycznie, równe zeru (nieistotne statystycznie różne od zera)], jest testowana wobec hipotezy alternatywnej H 1 : i {0,1,2,...,k} β i 0, (2.57) (czyt. przynajmniej jeden z parametrów strukturalnych jest różny od zera). Statystyka testowa F = n k 1 R 2 1 (2.58) k R 2 ma rozkład F Snedecora z m 1 = k i m 2 = n k 1 stopniami swobody (R 2 jest współczynnikiem determinancji). Jeśli wartość statystyki F wyznaczonej na podstawie próby, dla przyjętego poziomu istotności α, jest większa od wartości krytycznej F, czyli F F to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej. Jeśli F < F to nie ma podstaw do odrzucenia H 0. Ponieważ odczytywanie wartości krytycznych statystyki jest kłopotliwe, stosuje się p wartość jako wyznacznik do odrzucenia bądź przyjęcia hipotezy zerowej. Jeżeli: p α odrzucamy H 0, (2.59) p > α nie ma podstaw do odrzucenia H 0. W naszym przykładzie (Rysunek 2.10) p < , czyli jest mniejsze od przyjętego poziomu istotności α = 0.05 (wartość domyślnie stosowana w programie Statistica), więc odrzucamy hipotezę zerową (2.56) o wszystkich parametrach (statystycznie) równych zeru, na rzecz hipotezy alternatywnej H 1. Testowanie istotności statystycznej pojedynczej zmiennej Istotność statystyczna całego modelu nie oznacza automatycznie statystycznej istotności wszystkich jego składników. Do testowania istotności statystycznej jednej zmiennej stosuje się test t-studenta (jest to również test parametryczny). Test ma za zadanie stwierdzić,

31 2.8. KMNK W STATISTICA 31 czy dana zmienna objaśniająca ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą. Podobnie jak w poprzednim przypadku, w programie Statistica, test jest wykonywany automatycznie i prezentowane są tylko jego wyniki. Statystyka testowa: t bi = b i S bi (2.60) ma rozkład t Studenta z n k 1 stopniami swobody, gdzie b i - jest wartością estymatora, a S bi jest jego odchyleniem standardowym. Jeśli dla przyjętego poziomu istotności α t bi t α, odrzucamy H 0, zmienna jest statystycznie istotna, (2.61) t bi < t α, nie ma podstaw do odrzucenia H 0, zmienna jest statystycznie nieistotna. Analogicznie jak dla testu F, jeśli obliczona p wartość jest mniejsza od poziomu istotności p α to odrzucamy H 0, w przeciwnym razie nie ma podstaw do odrzucenia H 0.

32 32 ROZDZIAŁ 2. KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

33 Rozdział 3 Weryfikacja założeń KMNK W poprzednim rozdziale oszacowaliśmy metodą najmniejszych kwadratów parametry modelu ekonometrycznego. Jak już napisaliśmy w rozdziale 2.4, aby metoda najmniejszych kwadratów była klasyczną metodą najmniejszych kwadratów, muszą być spełnione założenia KMNK. W tym rozdziale dokonamy weryfikacji założeń KMNK bazując na modelu z poprzedniego rozdziału. Trzeba podkreślić, że analiza założeń KMNK nie jest tylko formalnym zabiegiem pozwalającym na dopisanie do nazwy Metoda Najmniejszych Kwadratów przymiotnika klasyczna. Jest ona weryfikatorem poprawności całego modelu i bez wykonania analizy składnika losowego, a konkretniej reszt modelu które są estymatorami składników losowych, wyciąganie jakichkolwiek wniosków na temat modelowanego zjawiska jest nieuzasadnione i nie ma żadnego sensu. Praktyka zawodowa powinna być taka, że po otrzymaniu końcowej wersji modelu, od razu przystępujemy do analizy reszt. Zgodnie z założeniami KMNK, musimy sprawdzić, czy reszty modelu spełniają założenia losowości,stałości wariancji, braku skorelowania i normalności rozkładu oraz czy wartość średnia reszt jest równa zeru. Analizę reszt w Statistica wykonujemy wybierając w oknie wyników regresji zakładkę Reszty,założenia,predykcja (Rysunek 3.1). Po wybraniu tej zakładki pojawi się okno, w którym wybieramy opcję wykonaj analizę reszt. W efekcie pojawia się okno z opcjami analizy reszt (Rysunek 3.2). 3.1 Wartość średnia reszt Wartość średnią reszt możemy sprawdzić wybierając w zakładce Podstawowe w oknie analizy reszt (Rysunek 3.2) opcję Podsumowanie: Reszty i przewidywane. Otrzymamy tabelę za wartościami reszt oraz wyliczoną średnią reszt (estymator wartości oczekiwanej składnika losowego) i inne statystyki opisowe. Jak widać z Rysunku 3.3, średnia z reszt jest równa zeru, więc podstawowa konsekwencja założeń KMNK jest spełniona. 33

34 34 ROZDZIAŁ 3. WERYFIKACJA ZAŁOŻEŃ KMNK Rysunek 3.1: Okno podsumowania regresji. Analiza reszt dostępna w zakładce Reszty,założenia,predykcja. Rysunek 3.2: Opcje zakładki Reszty,założenia,predykcja. 3.2 Badanie losowości Weryfikacja tego założenia ma na celu zbadanie poprawności postaci analitycznej modelu. Do tego celu możemy wykorzystać zarówno wzrokową ocenę rozkładu reszt, jak i testy statystyczne. W pierwszym przypadku, jeśli reszty modelu spełniają założenie losowości, to na wykresie reszt w funkcji wartości obserwowanych (zarówno dla zmiennych objaśniających, jak i zmiennej objaśnianej) reszty powinny układać się w miarę losowo i nie wykazywać regularności (np. kolejnych serii reszt dodatnich i ujemnych). Na Rysunku 3.4 pokazano wykres reszt modelu względem empirycznych wartości zmiennej objaśniającej. Reszty rozkładają się nieregularnie więc możemy sądzić, że założenie losowości jest spełnione. Podobnie sytuacja wygląda na wykresach reszt względem zmiennych objaśniających (Rysunek 3.5 i 3.6): nie widzimy żadnych regularności. Możemy zatem przyjąć losowy charakter reszt. Test serii Jeśli na podstawie wykresów reszt względem zmiennych obserwowanych nie potrafimy jednoznacznie stwierdzić czy ich charakter jest losowy, możemy skorzystać z testu serii.

35 3.2. BADANIE LOSOWOŚCI 35 Rysunek 3.3: Podsumowanie analizy reszt. Pod podwójną kreską znajdują się niektóre statystyki opisowe. Średnia z reszt modelu jest równa zeru. Procedura testowa jest następująca: porządkujemy reszty niemalejąco względem wybranej zmiennej objaśniającej (lub czasowej jeśli taka występuje) jeśli reszta ma wartość ujemną (dodatnią) oznaczamy ją symbolem A (B). W wyniku tej operacji otrzymamy naprzemiennie serie znaków A i B. zliczamy liczbę serii dodatnich i ujemnych, a następnie z tablic testu serii dla liczby n 1 reszt dodatnich i liczby n 2 reszt ujemnych odczytujemy wartości krytyczne S1 i S2 dla poziomu istotności odpowiednio α i 1 α (test serii jest testem dwustronnym) 2 2 stawiamy hipotezę zerową o losowym doborze jednostek do próby (o w przypadku modelu normalnego prowadzi do hipotezy o liniowej postaci modelu) wobec hipotezy alternatywnej H 0 : y i = β 0 + β 1 x 1i β k x ki + ɛ i (3.1) H 1 : y i β 0 + β 1 x 1i β k x ki + ɛ i (3.2) jeżeli całkowita liczba serii (suma serii dodatnich i ujemnych) S spełnia warunek S 1 S S 2 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy (3.1) o losowości reszt, w przeciwnym razie hipotezę zerową należy odrzucić.

36 36 ROZDZIAŁ 3. WERYFIKACJA ZAŁOŻEŃ KMNK Rysunek 3.4: Wykres reszt modelu względem obserwowanych wartości zmiennej objaśnianej. 3.3 Badanie normalności rozkładu składnika losowego Jak już wcześniej napisaliśmy, założenie o normalności rozkładu składnika losowego nie jest konieczne do stosowania KMNK. Jego niespełnienie utrudnia jednak wnioskowanie statystyczne. Dokładniej mówiąc, chodzi o test t Studenta i test F, których użyliśmy do sprawdzenia istotności całego modelu (test F ) i jego poszczególnych składników (test t). Testy te są tzw. testami parametrycznymi, które mają dużą moc testu, lecz testowana zmienna powinna mieć rozkład normalny. Co prawda testy te są odporne na małe odchylenia od normalności, lecz jeśli odchylenia są znaczne, wtedy oceny istotności współczynników regresji mogą być zaburzone. Zgodność rozkładu reszt z rozkładem normalnym możemy sprawdzić na dwa sposoby: wybierając opcję Reszty, założenia predykcja Podstawowe Wykres normalności reszt. Otrzymamy wykres z prostą normalności oraz resztami (Rysunek 3.7). Im bliżej prostej będą układały się punkty, tym rozkład reszt bardziej będzie zbliżony do normalnego. W tym przypadku trudno dopatrzeć się poważnych odstępstw od rozkładu normalnego. Drugim sposobem zbadania normalności rozkładu jest użycie testu statystycznego. Bardzo często stosowanym testem normalności (jest to tzw. test zgodności) jest test Shapiro-Wilka. Jest to test nieparametryczny i może być stosowany dla małych prób, lub dla przypadków gdy wymagania testów parametrycznych nie są spełnione. W Statistica. do badania normalności możemy użyć również nieparametrycznych testów Kołmogorowa- Smirnowa (K-S) i testu Lillieforsa. Test opiera się na porównaniu rozkładu w próbie z teoretycznym rozkładem normalnym przy założeniu, że znamy średnią i odchylenie standardowe w populacji. Jeśli ten warunek nie jest spełniony stosuje się test Lillieforsa (zwany

37 3.4. BADANIE AUTOKORELACJI 37 Rysunek 3.5: Wykres reszt modelu względem obserwowanych wartości zmiennej Wydatki na reklamę. inaczej testem K-S z poprawką Lillieforsa). Najpierw musimy jednak skopiować obliczone w procesie analizy reszt wartości reszt. Wracamy do arkusza reszt, zaznaczamy odpowiednią kolumnę i klikając prawym przyciskiem myszy, z menu podręcznego wybieramy Kopiuj z nagłówkami. Wracamy do arkusza danych i w menu Wstaw wybieramy Dodaj zmienne. Pojawi się okno specyfikacji zmiennej (Rysunek 3.8), w którym jako nazwę zmiennej wpisujemy Reszty, a w polu Wstaw po wpisujemy nazwę zmiennej Wydatki reklama. Test Shapiro-Wilka znajdziemy wybierając w menu Statystyka Statystyki podstawowe i tabele Normalność. Wybieramy zmienną Reszta, zaznaczmy opcje testy normalności K-S i Lillieforsa oraz test Shapiro-Wilka, a następnie klikamy przycisk Histogramy. W efekcie otrzymamy histogram z dopasowaną krzywą normalną (Rysunek 3.10) oraz obliczone wartości statystyk i p-wartości dla testów Kołmogorowa-Smirnowa, Lillieforsa i Shapiro-Wilka (u góry wykresu, Rysunek 3.10). Zgodnie z definicją, ponieważ p α nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o normalności rozkładu reszt. Czytelnika zainteresowanego pozostałymi opcjami okna Normalność odsyłamy do pozycji [5]. 3.4 Badanie autokorelacji Autokorelacja składnika losowego oznacza, że wartości reszt modelu nie są od siebie niezależne. Jeśli reszta e i jest skorelowana z resztą e i±1 to mówimy o autokorelacji pierwszego rzędu. Analogicznie, korelacja pomiędzy resztami e i oraz e i±k oznacza autokorelację k- tego rzędu. Występowanie autokorelacji wynika z pewnej bezwładności zjawisk ekonomicznych, dlatego często obserwowana jest dla danych w postaci szeregów czasowych i nie zawsze wynika

38 38 ROZDZIAŁ 3. WERYFIKACJA ZAŁOŻEŃ KMNK Rysunek 3.6: Wykres reszt modelu względem obserwowanych wartości zmiennej Indeks ceny. z błędów modelowania danego zjawiska. Autokorelacja składnika losowego może wynikać również z nieuwzględnienia w modelu (jako zmiennej objaśniającej) opóźnionej zmiennej objaśnianej, ze złej postaci funkcyjnej modelu lub ze złej jakości danych statystycznych [2]. Jako miarę autokorelacji składnika losowego wykorzystuje się współczynnik autokorelacji. W niniejszym podręczniku ograniczymy się jedynie do autokorelacji pierwszego rzędu. Wtedy współczynnik autokorelacji z próby ˆρ pomiędzy resztą e i a e i 1 dany jest wzorem: n e i e i 1 ˆρ = ( n ) n 1/2. (3.3) e 2 i e 2 i 1 Współczynnik ˆρ przyjmuje wartości z przedziału [ 1; 1]. Autokorelację pierwszego rzędu składnika losowego możemy zbadać za pomocą testu Durbina-Watsona. Test ten w programie Statistica jest dostępny w menu analizy reszt w zakładce Więcej Statystyka Durbina-Watsona. Po wybraniu tej opcji otrzymamy wyliczony współczynnik autokorelacji (Rysunek 3.11) oraz wartość statystyki d D-W: (e i e i 1 ) 2 d =,n e 2 i,n (3.4) Wnioskowanie na podstawie tej statystyki jest dość złożone i nie zawsze daje się rozstrzygnąć czy autokorelacja występuje. Dodatkowo, wymagane jest aby analizowany model

39 3.4. BADANIE AUTOKORELACJI 39 Rysunek 3.7: Wykres normalności reszt. Im punkty bardziej odległe od prostej, tym mniejsza zgodność rozkładu reszt modelu z rozkładem normalnym. Rysunek 3.8: Okno dodawania zmiennych do arkusza. miał wyraz wolny, składniki resztowe miały rozkład normalny, liczba obserwacji była większa niż 15 oraz aby w modelu nie występowała jawna opóźniona zmienna objaśniana w charakterze zmiennej objaśniającej. Procedura testowania wymaga odczytania z tablic górnej d U i dolnej d L wartości krytycznej, a następnie porównania ich z wartością statystyki wyznaczonej z próby (3.4). Przypadek ˆρ < 0 Jeśli ˆρ < 0, to testujemy hipotezę zerową H 0 :ρ = 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 :ρ < 0. Jeżeli: d 4 d U, nie ma podstaw do odrzucenia H 0 (brak autokorelacji) d 4 d L, odrzucamy H 0 (autokorelacja dodatnia)

40 40 ROZDZIAŁ 3. WERYFIKACJA ZAŁOŻEŃ KMNK Rysunek 3.9: Okno wyboru testu normalności. 4 d u < d < d L, test D-W nie daje rozstrzygnięcia Przypadek ˆρ > 0 Jeśli ˆρ > 0, to testujemy hipotezę zerową H 0 :ρ = 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 :ρ > 0. Jeżeli: d d U, nie ma podstaw do odrzucenia H 0 (brak autokorelacji) d d L, odrzucamy H 0 (autokorelacja dodatnia) d L < d < d U, test D-W nie daje rozstrzygnięcia W przypadku naszego modelu liczebność próby n = 75, liczba zmiennych niezależnych k = 2. Odczytane z tablic wartości krytyczne d L = 1.57 i d U = 1.68, a współczynnik autokorelacji ˆρ = Wobec powyższego, zachodzi związek d < 4 d U i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku autokorelacji. 3.5 Badanie homoskedastyczności Homoskedastyczność, inaczej stałość wariancji, jest kolejnym założeniem KMNK które musimy zweryfikować. Fakt występowania heteroskedastyczności nie zawsze oznacza zły wybór modelu lub niską jakość danych statystycznych. Zdarza się, np. w medycynie przy badaniu zależności temperatury ciała od stężenia γ-globuliny, że wariancja nie jest stała [5]. Dlatego, jak już podkreśliliśmy, niezwykle istotne jest posiadanie przynajmniej podstawowej wiedzy na temat badanego zjawiska. Bardzo często stosuje się w tym celu ocenę wzrokową rozkładu reszt względem wartości przewidywanych (teoretycznych) lub kwadratów reszt względem wartości przewidywanych. Opcja druga, jeśli występuje heteroskedastyczność (wariancja nie jest stała) powinna dodatkowo wzmocnić efekt i ułatwić jego zaobserwowanie.

41 3.5. BADANIE HOMOSKEDASTYCZNOŚCI 41 Rysunek 3.10: Histogram reszt modelu wraz z dopasowaną krzywą normalną. Nad wykresem obliczone wartości statystyk i p-wartości dla testów Kołmogorowa-Smirnowa, Lillieforsa i Shapiro-Wilka. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu reszt. Rysunek 3.11: Wartość statystyki Durbina-Watsona (D-W) oraz wyliczony współczynnik autokorelacji. Test Goldfelda - Quandt a Jest to test parametryczny, w którym przyjmuje się jako założenie, że wariancja reszt wzrasta wraz ze wzrostem kwadratu zmiennej objaśniającej, która jest źródłem heteroskedastyczności (którą podejrzewamy o jej wywołanie). Algorytm testowania jest następujący: 1. Porządkujemy niemalejąco reszty względem zmiennej objaśniającej, którą podejrzewamy o wywołanie heteroskedastyczności. 2. Tak otrzymany wektor reszt dzielimy na trzy podgrupy, z czego dwie skraje mają taką samą liczność ñ = (n c)/2, gdzie c jest licznością grupy środkowej (liczność grup skrajnych musi być większa niż liczba zmiennych objaśniających). 3. Dla każdej ze skrajnych podgrup l = 1, 2 oblicza się sumę kwadratów reszt S 2 l = 1 ñ k 1 el i.

42 42 ROZDZIAŁ 3. WERYFIKACJA ZAŁOŻEŃ KMNK Rysunek 3.12: Opcje zakładki Wykr. rozrzutu. w analizie reszt. Rysunek 3.13: Wykres reszt względem wartości przewidywanych (teoretycznych). Wzrokowa ocena sugeruje stałość wariancji. 4. Obliczamy iloraz R = S2 2, (3.5) S1 2 który ma rozkład F Snedecora z m 1 = m 2 = ñ k 1 stopniami swobody. 5. Testujemy prawdziwość hipotezy zerowej H 0 : σ 1 = σ 2 wobec alternatywnej H 1 : σ 1 σ 2 Jeśli R < F to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 - składnik losowy jest homoskedastyczny, jeśli R F odrzucamy H 0 na rzecz H 1 - występuje heteroskedastyczność składnika losowego. Przeprowadzenie testu Goldfelda-Quandt a w Statistica jest bardzo proste. Zaznaczamy kolumnę jednej zmiennej objaśniającej i kolumnę reszt. Następnie z menu Dane wybieramy opcję Sortuj po czym wybieramy obie zmienne do sortowania (w oknie sortowania)

43 3.5. BADANIE HOMOSKEDASTYCZNOŚCI 43 i opcję rosnąco. Tak posortowane reszty dzielimy na dwie grupy (opis poniżej) i wybierając Statystyka Statystyki podstawowe i tabele wybieramy Statystyki opisowe i zakładkę Więcej. Zaznaczamy opcję Wariancja (Rysunek 3.14). Rysunek 3.14: Okno statystyk podstawowych. Do wyboru przypadków dla których chcemy obliczyć statystyki służy opcja Select Cases. Aby wyliczyć wariancję dla poszczególnych podgrup, skorzystamy z opcji wyboru przypadków Select Cases. Po jej wybraniu wyświetli się okno z warunkami selekcji przypadków (Rysunek 3.15). Selekcji możemy dokonać na dwa sposoby: albo wybierając przypadki, dla których chcemy przeprowadzić obliczenia (Włącz przypadki) albo wybierając przypadki, które chcemy wykluczyć z analizy (Wyłącz przypadki). Z naszej próby wybraliśmy dwie podgrupy o liczności ñ = 30. Zaznaczamy więc opcję Włącz przypadki Określone przez i w polu Numer przypadku wpisujemy zakres pierwszej podgrupy 1 30 (Rysunek 3.15). Wyliczona w ten sposób wariancja S 2 1 = Analogicznie, dla drugiej grupy wpisujemy przypadki i otrzymujemy wariancję S 2 2 = (Rysunek 3.16). Następnie obliczamy iloraz R = S 2 2/S 2 1 = Pozostaje jeszcze wyliczenie wartości krytycznej statystyki F Snedecora. Możemy to zrobić za pomocą wbudowanego modułu Statystyka Kalkulator prawdopodobieństwa (Rysunek 3.17). Wybieramy z listy rozkład F, następnie zaznaczamy opcję Oblicz X z p oraz ustalamy poziom istotności na poziomie α = 0.05 (w kalkulatorze prawdopodobieństwa zaznaczamy opcję 1-p oraz w polu p: wpisujemy 0.05 (patrz Rysunek 3.17). W polach liczby stopni swobody df 1 i df 2 wpisujemy 27 (ñ k 1 = 27, Rysunek 3.17) dla obydwu podgrup i wybieramy Oblicz.

44 44 ROZDZIAŁ 3. WERYFIKACJA ZAŁOŻEŃ KMNK Rysunek 3.15: Okno selekcji przypadków uwzględnianych w analizie. Rysunek 3.16: Obliczone wariancje podgrup Porównując obliczoną wartość krytyczną statystyki F = z R = (R < F ) możemy stwierdzić, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o homoskedastyczności składnika losowego. 3.6 Zadania Zadanie 1 Za pomocą testu Shapiro-Wilka zbadać normalność rozkładu zmiennych z tabeli Zadanie 2 Wykonaj ponownie analizę reszt rozważanego modelu. Przejdź do okna Podsumowanie Reszty i przewidywane. Odpowiedz na pytanie co oznaczają kolumny Odległość Mahalanobisa, Odległość Cooka (patrz np. [5, 7]) oraz Usunięte reszty. Do czego mogą przydać się te wielkości?

45 3.6. ZADANIA 45 Rysunek 3.17: Kalkulator prawdopodobieństwa w Statistica

46 46 ROZDZIAŁ 3. WERYFIKACJA ZAŁOŻEŃ KMNK

47 Rozdział 4 Metody doboru zmiennych objaśniających do modelu Wprowadzenie Wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego jest zadaniem niezwykle ważnym. Po pierwsze, w modelu powinny znaleźć się tylko takie zmienne, które rzeczywiście kształtują zachowanie zmiennej objaśnianej. Ten punkt doboru zmiennych powinien być przeprowadzony zawsze jako pierwszy. Jeśli chcemy modelować wybrane zjawisko społeczne, musimy dysponować odpowiednia wiedzą merytoryczną na jego temat np. nieuzasadnionym wydaje się fakt uwzględnienia w modelowaniu zachowania rynków kursów walut, uwzględnienie jako zmiennej objaśniającej powierzchni państwa. Wiedzy tej nie musimy zdobywać sami, często zleceniodawca dostarcza zbiór zmiennych, które uważa za potencjalnie istotne w modelowaniu danego zjawiska. Po drugie, żadna zmienna objaśniające nie powinna powielać informacji wnoszonej przez inną zmienną objaśniającą (zmienne objaśniające nie powinny być ze sobą skorelowane). Po trzecie, zmienne powinny mieć odpowiednio duży zakres zmienności (jeśli wszystkie punkty leżą bardzo blisko siebie, może istnieć wiele prostych, które da się dopasować do takiej chmury punktów). Jak widać, zmienna powinna spełniać wiele kryteriów aby być dobrą zmienną objaśniającą. Poniżej podamy kilka metod statystycznych wyboru zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego Wykresy rozrzutu Najprostszym i szybkim sposobem wstępnej oceny jakie zmienne będą w głównej mierze kształtowały zmienność zmiennej niezależnej jest wykonanie wykresów rozrzutu zmiennej objaśnianej względem objaśniających oraz i-tej zmiennej objaśniającej w funkcji j-tej zmiennej objaśniającej. Wykresy rozrzutu pozwalają wzrokowo ocenić czy istnieje związek pomiędzy wartościami zmiennych i czy związek ten ma charakter liniowy (przynajmniej jeśli chodzi o zmienną objaśnianą). Pamiętamy, że założeniem KMNK jest to, aby pomiędzy zmienną objaśnianą a objaśniającymi zachodziła silna korelacja liniowa. Ponadto, zmienne objaśniające nie powinny być ze sobą skorelowane. Na Rysunkach przedstawione są wykresy rozrzutu wszystkich zmiennych względem siebie, z dopasowaną przez Statistica krzywą regresji (nie należy mylić dopasowanych do wykresu rozrzutu dwóch 47

48 48ROZDZIAŁ 4. METODY DOBORU ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU zmiennych krzywej regresji z wielowymiarową regresją wieloraką). Widzimy (Rysunek Rysunek 4.1: Wykres rozrzuty zmiennej zależnej Sprzedaż od zmiennej niezależnej Indeks ceny wraz z dopasowaną krzywą regresji. 4.1), że istnieje silny związek liniowy pomiędzy zmienną Sprzedaż a zmienną Indeks ceny. Możemy również stwierdzić, po znaku współczynnika dopasowanej prostej (patrz góra rysunku), że im niższa będzie cena, tym sprzedaż powinna rosnąć. Związek z drugą zmienną objaśniającą jest nieco słabszy oraz korelacja pomiędzy zmiennymi ma znak dodatni (im więcej wydajemy na reklamę, tym większa jest sprzedaż). Ostatni z wykresów rozrzutu (Rysunek 4.3) jest równie ważny dla dalszych rozważań. Punkty na wykresie rozłożone są przypadkowo i trudno doszukać się związku pomiędzy tymi zmiennymi. Zatem możemy uznać (na tym etapie po dokonaniu oceny wzrokowej), że zmienne objaśniające nie są ze sobą skorelowane Korelacie Pearsona Ilościowy opis siły liniowego związku pomiędzy zmiennymi oddaje współczynnik korelacji Pearsona. Stosowanie współczynnika Pearsona do opisu korelacji ma swoje ograniczenia: zmienne powinny mieć rozkład normalny, lub zbliżony do normalnego, jest czuły na obserwacje odstające, wykrywa tylko liniową zależność.

49 49 Rysunek 4.2: Wykres rozrzuty zmiennej zależnej Sprzedaż od zmiennej niezależnej Wydatki na reklamę wraz z dopasowaną krzywą regresji. Współczynnik Pearsona z próby (na podstawie obserwacji par zmiennych (x, y)) jest wyrażony wzorem: n (x i x)(y i ȳ) r ab = n n (4.1) (x i x) 2 (y i ȳ) 2 gdzie x = 1 n x i, ȳ = 1 n y i Wprowadzając oznaczenie na wariancję z próby Sx 2 i n n S 2 y oraz kowariancję cov xy S 2 x = 1 n n (x i x) 2 (4.2) Sy 2 = 1 n (y i ȳ) 2 (4.3) n otrzymujemy cov xy = 1 n (x i x)(y i ȳ) (4.4) n r xy = cov xy S x S y. (4.5) Ponieważ cov xx = Sx 2 (cov yy = Sy 2 ), r xx = cov xx =1. Własności współczynnika korelacji: S 2 x

50 50ROZDZIAŁ 4. METODY DOBORU ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU Rysunek 4.3: Wykres rozrzuty zmiennej niezależnej Indeks ceny od zmiennej niezależnej Wydatki na reklamę. Punkty rozłożone losowo, trudno zauważyć istnienie związku pomiędzy zmiennymi. r xy = r yx, r xy [ 1, 1], r xx = 1. Jeżeli r xy = 1 to mówimy o ścisłej zależności liniowej pomiędzy x i y, jeżeli r xy = 0, o braku związku liniowego. Obliczając współczynnik korelacji, możemy na podstawie wartości korelacji określić współzależność zmiennych objaśnianej z objaśniającymi oraz zmiennych objaśniających ze sobą. Pozwala to na wstępną eliminację z modelu zmiennych objaśniających nieskorelowanych ze zmienną objaśnianą, oraz na wychwycenie skorelowanych ze sobą zmiennych objaśniających. Korelacje Pearsona w programie Statistica obliczamy wybierając Statystyka Statystyki podstawowe i tabele Macierze korelacji. Otworzy się okno wybory zmiennych (Rysunek 4.4), w którym możemy wybrać jedną lub dwie listy zmiennych. Wybierając jedną listę zmiennych, Statistica obliczy współczynniki korelacji pomiędzy wszystkimi zaznaczonymi zmiennymi (wszystkimi kombinacjami zmiennych). Wybierając drugą opcję, możemy obliczyć korelacje pomiędzy wybraną zmienną (np. zmienną objaśnianą) a pozostałymi zmiennymi (np. objaśniającymi) bez uwzględniania korelacji pomiędzy tymi ostatnimi. Obliczmy korelacje Pearsona pomiędzy wszystkimi zmiennymi dla rozważanego modelu. W oknie 4.4 wybieramy Jedna lista zmiennych, a następnie zaznaczamy wszystkie

51 51 Rysunek 4.4: Okno korelacji programu Statistica. zmienne i wybieramy opcję Podsumowanie w oknie 4.4. Otrzymamy okno wyników korelacji (Rysunek 4.5). Na podstawie obliczonych korelacji widzimy, że najsilniej ze zmienną objaśnianą Sprzedaż skorelowana jest zmienna Indeks ceny i jest to korelacja ujemna (im większa wartość zmiennej tym mniejsza Sprzedaż). Możemy zatem wnioskować, że zmienna Indeks ceny w największym stopniu kształtuje zmienność zmiennej objaśnianej. Ponadto widzimy, że zmienne objaśniające (Indeks ceny i Wydatki na reklamę) są bardzo Rysunek 4.5: Wyniki obliczeń współczynnika korelacji Pearsona. Korelacje istotne statystycznie (na poziomie istotności α=0.05) są automatycznie podświetlone na czerwono. słabo skorelowane ze sobą i nie występuje pomiędzy nimi współzależność liniowa Eliminacja zmiennych kwazistałych Jednym z najprostszych kryteriów wstępnej filtracji zmiennych jest eliminacja zmiennych, których zmienność (przedział zaobserwowanych wartości) jest mała. Zwykle, im szerszy

52 52ROZDZIAŁ 4. METODY DOBORU ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU zbiór wartości przyjmuje dana zmienna, tym bardziej widoczny jest charakter jej zmienności oraz dokładniej możemy zbadać jej związek ze zmienną objaśnianą. Wprowadza się zatem miarę zmienności jako współczynnik zmienności V = S x 100%, (4.6) gdzie S jest odchyleniem standardowym z próby, a x jest średnią arytmetyczną zmiennej z próby. W odróżnieniu do odchylenia standardowego, które określa bezwzględne zróżnicowanie cechy, V jest miarą względną. Wartości współczynnika zmienności najczęściej podaje się w procentach. W procedurze doboru zmiennych na podstawie współczynnika zmienności, odrzuca się te cechy, których zmienność V jest mniejsza od pewnej wartości krytycznej V. Niestety nie ma uniwersalnej wartości V dla wszystkich zjawisk ekonomicznych i wartość tą należy przyjąć arbitralnie oraz na podstawie wiedzy na temat analizowanego zjawiska Regresja krokowa Metoda regresji krokowej polega na sekwencyjnym doborze zmiennych do modelu, w celu uzyskania najlepszego zestawu zmiennych. Istnieją dwie odmiany tej metody: regresja krokowa postępująca oraz regresja krokowa wsteczna. W obydwu odmianach tej metody decyzja o wprowadzeniu lub odrzuceniu zmiennej z modelu podejmowana jest na podstawie cząstkowego testu F Snedecora (czasami wykorzystuje się zamiast testu F Snedecora równoważny test t-studenta). Metoda regresji krokowej jest bardzo często stosowaną metodą doboru zmiennych objaśniających. Regresja krokowa postępująca W tej odmianie regresji krokowej dobór zmiennych polega na sekwencyjnym dokładaniu zmiennych do modelu. Załóżmy, że mamy M potencjalnych zmiennych objaśniających. Wtedy procedura doboru zmiennych jest następująca: w pierwszym kroku tworzymy M oddzielnych modeli z jedną zmienną objaśniającą x j. Następnie dokonujemy sprawdzenia istotności tej zmiennej x j poprzez cząstkowy test F Snedecora. Jeśli wartość statystyki F j jest większa od wartości progowej F in (w programie Statistica wartość tą nazywa się F do wprowadzania, to zmienna zostaje wprowadzona do modelu. Jeśli kilka zmiennych będzie statystycznie istotnych wprowadzana jest ta, która ma największą wartość statystyki F in. W następnych krokach z pozostałych M 1 zmiennych konstruuje się modele z dwiema zmiennymi objaśniającymi, z których jedna została wybrana w poprzednim korku. Analogicznie, wyznacza się statystyki F j, a do modelu wprowadza się zmienną, która ma największą i większą od F in wartość statystyki F. Po wprowadzaniu drugiej zmiennej, ponownie bada się istotność pierwszej zmiennej w modelu z dwoma zmiennymi. Jeśli w nowym modelu ta zmienna jest nieistotna

53 statystycznie lub F < F out (F out w programie Statistica nazywa się F do usuwania), zostaje ona odrzucona, a procedurę doboru drugiej zmiennej powtarzamy z pozostałymi M 1 zmiennymi. Procedurę powtarza się tak długo, aż nie wyczerpie się zbiór zmiennych lub żadna z pozostałych zmiennych nie będzie mogła być wprowadzona ze względu na zbyt małą wartość statystyki F. Regresja krokowa wstecz W regresji krokowej wstecz modelem wyjściowym jest model ze wszystkimi M zmiennymi. W kolejnych krokach usuwa się z modelu te zmienne, których wartość statystyki F jest najmniejsza i mniejsza od wartości progowej F out. Procedura jest powtarzana aż do uzyskania najlepszego modelu Metoda Hellwiga Metoda Hellwiga doboru zmiennych objaśniających do modelu jest metodą rodzimą i bazuje na sile wzajemnych korelacji liniowych, jakie istnieją pomiędzy zmienną objaśnianą i objaśniającą, oraz korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi. Spośród wszystkich możliwych kombinacji zmiennych objaśniających wybiera się tą, w której zmienne objaśniające są najsilniej związane ze zmienną objaśnianą a ich wzajemne korelacje są najsłabsze. Jako miarę korelacji wykorzystuje się współczynnik korelacji Pearsona r. Sposób doboru zmiennych do modelu jest następujący. 1. w pierwszym kroku tworzymy wszystkie możliwe kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających tzn. ze zbioru wszystkich potencjalnych zmiennych {x 1, x 2,..., x k } tworzymy L = 2 k 1 kombinacji K l (l = 1, 2,..., L), zaczynając od kombinacji z jedną zmienną objaśniającą, potem z dwiema zmiennymi objaśniającymi, z trzema i tak dalej (kolejność umowna), aż do wyczerpania możliwości. 2. Dla każdej kombinacji K l obliczamy tzw. pojemność indywidualną nośnika informacji: rj 2 h lj = r ij, (4.7) i {K l } gdzie indeks i przebiega po wszystkich numerach zmiennych należących do kombinacji K l, l jest numerem kombinacji, r j jest współczynnikiem korelacji Pearsona pomiędzy j-tą zmienną objaśniającą w kombinacji a zmienną objaśnianą, a r ij jest współczynnikiem korelacji Pearsona pomiędzy i-tą i j-tą zmienną objaśniającą w danej kombinacji. 3. Następnie, dla każdej kombinacji K l oblicza się integralną pojemność informacyjną zdefiniowaną jako sumę pojemności indywidualnych w danej kombinacji: H l = h lj, l = 1, 2,..., L. (4.8) j K l 53

54 54ROZDZIAŁ 4. METODY DOBORU ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU 4. Jako końcowy zestaw zmiennych objaśniających wybieramy ten, który charakteryzuje się największą wartością integralnej pojemności informacyjnej. Przykład Dla danych z tabeli 10.3 dobrać zmienne do modelu za pomocą metody Hellwiga. Pierwszym krokiem jest zbadanie normalności rozkładu zmiennych, ponieważ wsp. korelacji Pearsona jest czuły na duże odstępstwa od rozkładu normalnego. Do tego celu użyjemy testu Shapiro Wilka (patrz rozdział 3.3). Otrzymujemy następujące wartości p value (tabela 4.1), na podstawie których (na poziomie istotności α=0.05) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu dla każdej zmiennej. Następnie Tabela 4.1: Obliczone p-wartości dla testu Shapiro-Wilka dla zmiennych za tabeli zmienna p-wartość y: poziom sportowy x 1 : masa ciała x 2 : wytrzymałość x 3 : siła obliczamy współczynniki korelacje Pearsona. Wyniki przedstawia Rysunek 4.6. Teraz mu- Rysunek 4.6: Wyniki obliczeń współczynnika korelacji Pearsona dla danych z tabeli simy wypisać wszystkie możliwe kombinacje zmiennych objaśniających. Ponieważ mamy trzy potencjalne zmienne, otrzymujemy = 7 kombinacji: K 1 = {x 1 }, K 2 = {x 2 }, K 3 = {x 3 }, K 4 = {x1, x2}, K 5 = {x 1, x 3 }, K 6 = {x 2, x 3 }, K 7 = {x 1, x 2, x 3 }. Dla każdej kombinacji liczymy integralne pojemności informacyjne H l. H 1 = h 11 = r2 1 r 11 = H 2 = h 22 = r2 2 r 22 = H 3 = h 33 = r2 3 r 33 = H 4 = h 41 + h 42 = = = 0.21 = 0.37 r 2 1 r 11 + r 12 + r 2 2 r 22 + r 21 = = 0.269

55 4.1. ZADANIA 55 H 5 = h 51 + h 53 = H 6 = h 62 + h 63 = H 7 = h 71 + h 72 + h 73 h 71 = h 72 = h 73 = r 2 1 r 2 1 r 11 + r 13 + r 2 3 r 33 + r 31 = = r 2 2 r 22 + r 23 + r 2 3 r 33 + r 32 = = r 11 + r 21 + r 31 = = r2 2 r 12 + r 22 + r 32 = = r3 2 r 13 + r 23 + r 33 = = 0.23 H 7 = = Największą integralną pojemność informacyjną ma kombinacja K 6 (H 6 = 0.461), więc zgodnie z ideą metody Hellwiga, w modelu powinny znaleźć się zmienne x 2 i x 3 (wytrzymałość oraz siła). 4.1 Zadania Zadanie 1 Dla danych z tabeli 10.1 dobrać zmienne do modelu stosując metodę Hellwiga. Zadanie 2 Dla tych samych danych oszacować model stosując metodę regresji krokowej wstecz najpierw stosując domyślne ustawienia wartości statystyk F do wprowadzania i usuwania. Następnie zmienić wartość F do usuwania na 4 i porównać wyniki.

56 56ROZDZIAŁ 4. METODY DOBORU ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU

57 Rozdział 5 Szacowanie parametrów modeli w przypadku autokorelacji i heteroskedastyczności Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów Zgodnie z założeniami KMNK (patrz rozdział 2.4) wariancja składnika losowego jest stała: D 2 (ɛ) = σ 2 I, gdzie I jest macierzą jednostkową. Jeśli wariancja składnika losowego nie jest stała, powyższa równość nie zachodzi. Ponadto, z uwagi na fakt, że estymator wariancji składnika losowego Se 2 (X T X) 1 staje się obciążonym estymatorem wariancji składnika losowego D 2 (ɛ), również macierz wariancji-kowariancji estymatorów parametrów strukturalnych (2.46) nie jest równa D 2 (b) = Se 2 (X T X) 1. Niespełnienie założeń stałości wariancji lub braku autokorelacji składników losowych uniemożliwia stosowanie KMNK do szacowania parametrów strukturalnych modelu liniowego. Wiąże się to z utratą pewnych własności estymatorów: estymatory nie są już najefektywniejsze i nie mają najmniejszej wariancji. Wariancja składników losowych, a co za tym idzie standardowe błędy szacunku, bywają niedoszacowane. Skutkuje to zawyżaniem statystyki t Studenta [2], na podstawie których testowana jest istotność parametrów strukturalnych modelu (w efekcie, w rzeczywistości statystycznie nieistotne parametry modelu będą wykazywały fałszywą istotność). W takich przypadkach należy stosować tzw. Uogólnioną Metodę Najmniejszych Kwadratów (UMNK), w której macierz wariancji-kowariancji składnika losowego zapisuje się w postaci D 2 (ɛ) = σ 2 Ω, (5.1) gdzie Ω jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną (UMNK można stosować jedynie w tych przypadkach, w których macierz D 2 (ɛ) da się zapisać w postaci (5.1)). Wtedy estymator parametrów strukturalnych modelu wyraża się wzorem [2] a estymator macierzy wariancji-kowariancji b jako b = (X T Ω 1 X) 1 X T Ω 1 Y, (5.2) Ω(b) = S 2 e (X T Ω 1 X) 1, (5.3) 57

58 58ROZDZIAŁ 5. SZACOWANIE PARAMETRÓW MODELI W PRZYPADKU AUTOKORELACJI I H przy czym S 2 e = jest estymatorem wariacji składnika losowego. et Ω 1 e n k 1 (5.4) Ważona metoda najmniejszych kwadratów Metoda ta jest szczególną postacią UMNK i stosuje się ją, gdy model jest heteroskedastyczny i nie występują autokorelacje reszt lub w przypadkach, gdy w sposób zamierzony chcemy wzmocnić wpływ pewnych obserwacji na kształtowanie się zmiennej objaśnianej (patrz np. [5] str 82). Ideą tej metody jest zastosowanie dla każdej obserwacji nieujemnej wagi, której celem jest zrównoważenie wariacji czynnika losowego poprzez zmniejszenie znaczenia obserwacji z większą wariancją lub, w drugim przypadku, zwiększenie znaczenia obserwacji bardziej istotnych. Ponieważ nie występują autokorelacje, macierz Ω jest macierzą diagonalną, której elementy diagonalne (w najprostszym przypadku) są równe modułom z reszt wyjściowego modelu oszacowanego KMNK (modelu z heteroskedastycznym składnikiem losowym). Macierz do niej odwrotna Ω 1 zawiera wtedy odwrotności modułów reszt ê ê 2 1 Ω = ê ê n ê n (5.5) Procedura ważonej MNK jest następująca: w pierwszym kroku szacujemy parametry modelu KMNK. Następnie konstruuje się model pomocniczy, w którym rolę zmiennej objaśniającej pełnią moduły reszt ỹ i = e i wcześniej wyznaczonego modelu (zmienne objaśniające zostawiamy takie same). Z oszacowanych wartości teoretycznych ỹ i wyznacza się wagi w i = 1/ỹ i, które są diagonalnymi elementami macierzy (5.5). W kolejnym kroku tworzy się model ekonometryczny w i y i = β 0 w i + β 1 (w i x 1i ) β k (w i x ki ) + ɛ i, (5.6) gdzie y i są pierwotnymi obserwacjami zmiennej objaśnianej. Tak skonstruowany model szacujemy ponownie KMNK, ponieważ estymatory parametrów strukturalnych są zgodne i asymptotycznie najefektywniejsze. Główną zaletą tej metody jest możliwość wykorzystania regresji liniowej w sytuacjach gdy dane statystyczne są różniej jakości.

59 59 Ważona MNK w Statistica W programie Statistica procedurę estymacji parametrów ważoną MNK możemy przeprowadzić albo za pomocą dołączonego do pakietu programu (modułu Statistica) napisanego w języku Visual Basic, albo ręcznie korzystając z opcji regresji Metoda Cochrane a-orcutta Tą wersję UMNK stosuje się w przypadku wystąpienia autokorelacji pierwszego rzędu. Nazwa tej metody pochodzi od nazwisk dwóch statystyków: Donalda Cochrane a i Guy a Orcutt a, a jej idea opiera się na transformacji autoregresyjnej pierwszego rzędu zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających, a następnie oszacowania wartości estymatorów KMNK. Załóżmy, że test Durbina-Watsona wykazał istnienie autokorelacji pierwszego rzędu reszt modelu, oraz że współczynnik autokorelacji wynosi ρ. Transformacji pierwotnych zmiennych dokonujemy za pomocą macierzy T : T y = T βx + T ɛ (5.7) gdzie macierz T ma postać 1 ρ ρ T = 0 ρ ρ ρ 1 (5.8) gdzie ρ jest współczynnikiem autokorelacji wyznaczonym z próby. Po dokonaniu transformacji należy ponownie oszacować parametry modelu KMNK. Niestety, powyższa transformacja nie gwarantuje usunięcia autokorelacji reszt za pierwszym podejściem. Dlatego też, po oszacowaniu parametrów nowego modelu, ponownie trzeba wykonać test sprawdzający występowanie autokorelacji. W przypadku ponownego wystąpienia autokorelacji powyższą metodę należy zastosować ponownie.

60 60ROZDZIAŁ 5. SZACOWANIE PARAMETRÓW MODELI W PRZYPADKU AUTOKORELACJI I H

61 Rozdział 6 Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Wszystkie poprzednie rozdziały skryptu były poświęcone zagadnieniom związanym z tworzeniem modelu ekonometrycznego. W tym rozdziale omówimy krótko praktyczne zastosowanie modelu ekonometrycznego. Najczęstszym wykorzystaniem oszacowanego i zweryfikowanego modelu ekonometrycznego jest predykcja ekonometryczna, czyli wnioskowanie na podstawie modelu o przyszłych, nieznanych wartościach zmiennej objaśnianej. Ograniczymy się do jednorównaniowego liniowego modelu ekonometrycznego. Prognoza nie zawsze musi dotyczyć zjawisk zależnych od czasu (przyszłości), chociaż takie wykorzystanie modeli jest najczęstsze. Może również dotyczyć wartości zmiennej objaśnianej dla nieznanych, np. większych niż zaobserwowane w próbie, wartości zmiennych objaśniających. Zmienna objaśniana, dla której konstruuje się prognozę, nazywa się zmienną prognozowaną, natomiast okres (lub przedział wartości, jeśli prognoza nie dotyczy przedziału czasu) nazywa się horyzontem prognozy. Założenia teorii predykcji Podobnie, jak w przypadku modeli ekonometrycznych, aby predykcja ekonometryczna była formalnie (statystycznie) poprawna, muszą być spełnione pewne założenia: wartości estymatorów parametrów strukturalnych, w którym zmienna prognozowana jest zmienną objaśnianą, są znane (oszacowane) model ekonometryczny jest pozytywnie zweryfikowany wartości zmiennych objaśniających dla horyzontu prognozy są znane lub oszacowane rozkład składnika losowego jest stacjonarny postać analityczna modelu i jego parametry strukturalne są stabilne 61

62 62ROZDZIAŁ 6. PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO Prognoza punktowa Załóżmy, że chcemy przewidzieć wartość zmiennej objaśnianej (prognozowanej) y, dla wartości danych wektorem zmiennych objaśnianych X. Jeśli wyjściowy model ekonometryczny ma postać y = X T β + ɛ, (6.1) to prognozowana wartość y jest równa [3] y = (X ) T β + ɛ 0, (6.2) gdzie wektor zmiennych objaśniających X jest równy 1 x 1 X = x 2. (6.3). Uwaga W równaniu (6.2) występuje transponowany wektor X, wobec czego iloczyn (X ) T β jest iloczynem skalarnym dwóch wektorów. Z twierdzenia Gaussa-Markowa (rozdział 2.5) wiemy, że x k ŷ = (X) T b (6.4) jest najefektywniejszym, nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej zmiennej objaśnianej E(y X) (lub po prostu y - z własności nieobciążoności). Podobnie, prognoza ŷ p ŷ p = (X ) T b (6.5) jest najefektywniejszym, nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej prognozy E(y X ) (lub y ). Wtedy błąd prognozy możemy wyrazić jako różnicę a wariancja reszt jest równa [2] Estymatorem wariancji (6.7) jest e p = y ŷ p = (β b) T X + ɛ 0, (6.6) D 2 (e p ) = σ 2 ( 1 + (X ) T (X T X) 1 X ). (6.7) S 2 (e p ) = S 2 e ( 1 + (X ) T (X T X) 1 X ), (6.8) gdzie Se 2 jest wariancją reszt modelu. Wtedy średni błąd predykcji ex ante dany jest jako odchylenie standardowe błędu prognozy V = S 2 (e p ) = S e 1 + (X ) T (X T X) 1 X (6.9) Błąd predykcji ex ante oznacza błąd jaki możemy popełnić stosując prognozę zanim poznamy prawdziwą (zaobserwowaną) wartość zmiennej prognozowanej. Jeśli znamy prawdziwą wartość prognozowanej zmiennej, możemy ją porównać z wcześniejszą prognozą i otrzymamy błąd predykcji ex post.

63 63 Prognoza przedziałowa W poprzednim rozdziale zajmowaliśmy się tzw. prognozą punktową, czyli predykcją dokładnej wartości zmiennej prognozowanej. Innym rodzajem prognozy jest prognoza przedziałowa. Polega ona na wyznaczeniu przedziału ufności dla prognozowanej wartości zmiennej y. Wykorzystujemy w tym celu średni błąd predykcji ex ante (6.9): (ŷ p t V, ŷ p + t V ), (6.10) gdzie ŷ p jest prognozą punktową, V średnim błędem predykcji ex ante, a t jest wartością statystyki t-studenta dla n k 1 stopni swobody, dla której P (ŷ p t V < y < ŷ p + t V ) = 1 α, (6.11) α jest zadanym poziomem istotności. Przedział (6.10) nazywamy 1 α procentowym przedziałem predykcji (lub 1 α procentowym przedziałem ufności dla predykcji). Mówimy wtedy, że z prawdopodobieństwem 1 α, prawdziwa wartość zmiennej prognozowanej znajduje się w tym przedziale.

64 64ROZDZIAŁ 6. PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO

65 Rozdział 7 Nieliniowe modele ekonometryczne Wstęp W poprzednich rozdziałach do opisu zjawisk ekonomicznych, a dokładniej do ich modelowania, stosowaliśmy klasyczną metodę regresji liniowej. Jednym z założeń tej metody jest istnienie liniowego związku pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a zmienną objaśnianą. Dlatego, jak już napisaliśmy w poprzednich rozdziałach, niezwykle ważnym etapem modelowania ekonometrycznego jest określenie charakteru związku pomiędzy zmienną objaśnianą i objaśniającymi. Można to zrobić wzrokowo tworząc wykresy rozrzutu zmiennych. Na etapie stosowania KMNK wystarczy nam jedynie odpowiedź na pytanie czy związek jest liniowy czy nie. Co zrobić w przypadku, gdy związek ten nie ma charakteru liniowego? Zdarza się tak np. przy opisie relacji dochody-wydatki, czy w opisie produkcji. W tych przypadkach niestety nie możemy użyć KMNK do analizy. Są jednak (dla pewnej klasy przypadków) metody, które pozwalają na sprowadzenie modelu nieliniowego do modelu liniowego. Transformacja, która pozwala przejść z modelu nieliniowego do liniowego nosi nazwę linearyzacji. W następnym rozdziale będziemy omawiać właśnie takie modele. 7.1 Linearyzowalne modele ekonometryczne Jak już napisaliśmy, modele linearyzowalne to takie, które przy pomocy pewnej transformacji da się sprowadzić do modelu liniowego. Wtedy do estymacji parametrów modelu możemy użyć KMNK. Wydaje się więc, że problem nieliniowości jest łatwo rozwiązywalny. Niestety praktyka wygląda nieco inaczej, ponieważ aby dokonać linearyzacji modelu, musimy najpierw określić charakter związku nieliniowego tzn. określić jakiego typu funkcja (np. wielomianowa, wykładnicza czy logarytmiczna) najlepiej pasuje opisuje zależność pomiędzy zmiennymi. Po raz kolejny, bardzo pomocny jest wykres rozrzutu, z którego możemy z grubsza oszacować charakter związku. Jeśli nie ma pewności co do postaci analitycznej np. mamy dwie lub trzy możliwości, wtedy najlepiej oszacować model dla wszystkich przypadków i wybrać ten, który charakteryzuje się najlepszym dopasowaniem do danych empirycznych. W Tabeli 7.1 podaliśmy kilka typów związków nieliniowych wraz z odpowiednią transformacją i modelem po transformacji. 65

66 66 ROZDZIAŁ 7. NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE Tabela 7.1: Tabela transformacji modeli nieliniowych do modeli liniowych. Źródło [5]. Postać matematyczna Transformacja Model po transformacji Y = ax b a = log a,y = log Y,X = log X Y = a + bx Y = ab X Y = log Y, a = log a, b = log b Y = a + Xb Y = a + bx + cx 2 X 1 = X,X 2 = X 2 Y = a + bx 1 + c + X 2 Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2... a n X n X 1 = X, X 2 = X 2,... X n = X n Y = a 0 + a 1 X a n X n Y = a + b X = 1/X Y = a + bx X Y = ax Y = 1/Y, X = 1/X Y = 1 a b + X a X Y = a + b ln X X = ln X Y = a + bx Program Statistica dostarcza szereg narzędzi wspomagających pracę z nieliniowymi modelami ekonometrycznymi począwszy od możliwości dopasowania różnego typu krzywych do danych empirycznych (co ułatwia określenie postaci związku funkcyjnego) po narzędzia do transformacji zmiennych i linearyzowania modelu. Zobrazujmy to przykładem. Dane do przykładu znajdują się w Tabeli 10.2 w rozdziale 10. Zaczynamy od wykresu rozrzutu zmiennych. Z menu Wykresy wybieramy Wykres rozrzutu Rysunek 7.1: Wykres rozrzutu zmiennych z Tabeli Na pierwszy rzut oka widać, że nie jest to funkcja liniowa. 2W, po czym wybieramy zmienne do wykresu. W głównym menu wykresów rozrzutu odznaczamy opcję Dopasuj: liniowa (aby samodzielnie spróbować określić rodzaj zależności). Otrzymujemy wykres przedstawiony na Rysunku 7.1.

67 7.1. LINEARYZOWALNE MODELE EKONOMETRYCZNE 67 Rysunek 7.2: Zaawansowane opcje wykresów rozrzutu pozwalają wybrać funkcję analityczną, która ma być dopasowana do danych z wykresu. Skorzystajmy teraz z zaawansowanych opcji wykresów rozrzutu. W głównym oknie Wykres rozrzutu 2W wybieramy zakładkę Więcej i z okna Dopasuj wybieramy jedną z funkcji (Rysunek 7.2), które Statistica ma dopasować do danych empirycznych. Wyniki tej operacji dla kilku różnych funkcji zamieszczone są na rysunkach poniżej (Rysunki 7.3,7.4,7.5,7.6). Widać, że funkcja wielomianowa pasuje do danych najlepiej. W oknie wykresu możemy zobaczyć wzór analityczny dopasowanej funkcji. Ma on ogólną postać Y = ax + bx 2. Odpowiada to funkcji Funkcja kwadratowa z Tabeli 7.1. Dokonamy więc podanej w tej tabeli transformacji zmiennej X a następnie przeprowadzimy estymację parametrów modelu. Z menu Statystyka wybieramy Zaawansowane modele liniowe i nieliniowe Linearyzowana regresja nieliniowa, a następnie wybieramy zmienne do modelu (zmienną X oraz Y ) i klikamy OK. Na ekranie pojawi się okno wyboru transformacji nieliniowych, w którego zaznaczamy opcję X**2. Następnie przechodzimy do wyboru zmiennych objaśnianej i objaśniających, gdzie zaznaczamy jako objaśnianą Y, a jako zmienne objaśniające X oraz V 1 2 (Rysunek 7.7). Jak widać, po zaznaczeniu odpowiedniego typu transformacji, Statistica stworzyła nowe zmienne (przetransformowane), których kolejność jest taka sama jak kolejność oryginalnych zmiennych (V 5 2 to przetransformowana zmienne X, V 6 2 to przetransformowana zmienna Y ). W kolejnym kroku wybieramy opcję OK w oknie regresji, w wyniku czego otrzymujemy wynikowy model (Rysunek 7.8). Jak widać zarówno cały model (statystyka F) jak i wszystkie parametry modelu są istotne, model jest bardzo dobrze dopasowany (Poprawione R 2 = 0.95). Przetransformowany model możemy zapisać w postaci Y = X X 2 ± 1.17 (7.1)

68 68 ROZDZIAŁ 7. NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE Rysunek 7.3: Wykres rozrzutu z dopasowaną funkcją liniową. Model trzeba jeszcze zweryfikować pod względem normalności rozkładu reszt. W tym przypadku reszty mają rozkład normalny. a ich wartość średnia jest równa 0 (sprawdzenie pozostawiamy Czytelnikowi).

69 7.1. LINEARYZOWALNE MODELE EKONOMETRYCZNE 69 Rysunek 7.4: Wykres rozrzutu z dopasowaną funkcją logarytmiczną. Rysunek 7.5: Wykres rozrzutu z dopasowaną funkcją wykładniczą.

70 70 ROZDZIAŁ 7. NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE Rysunek 7.6: Wykres rozrzutu z dopasowaną funkcją wielomianową. Rysunek 7.7: Okno wyboru zmiennych do modelu zlinearyzowanego. Rysunek 7.8: Okno wynikowe regresji liniowej dla modelu zlinearyzowanego.

71 7.1. LINEARYZOWALNE MODELE EKONOMETRYCZNE 71 Rysunek 7.9: Okno podsumowania regresji liniowej dla modelu zlinearyzowanego.

72 72 ROZDZIAŁ 7. NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE

73 Rozdział 8 Funkcja produkcji 8.1 Wstęp Jednym z zadań ekonometrii jest analiza i modelowanie procesu produkcyjnego. W szczególności dotyczy to analizy zależności pomiędzy nakładami i zasobami produkcyjnymi a efektami (wielkością) produkcji. Głównym narzędziem ekonometrycznym stosowanym w tej analizie jest funkcja produkcji. Funkcja produkcji jest modelem ekonometrycznym (najczęściej nieliniowym), w którym zmienną objaśnianą jest wielkość produkcji, a zmiennymi objaśniającymi są nakłady poszczególnych czynników produkcji. Dwoma najważniejszymi czynnikami produkcji są: praca L - rozumiana jako siła robocza (w tym również kapitał ludzki od którego zależy jakość pracy) kapitał K - np. pieniądz, budynki, samochód itp.. Innym czynnikiem produkcji (w zależności od typu produkcji) są surowce, z których produkowane są dobra. Surowce można również klasyfikować jako kapitał produkcyjny. W ekonomii klasycznej (do początków XXw) podstawowym czynnikiem produkcji była również ziemia, lecz dziś traktowana jest jako składowa kapitału produkcyjnego. Czynniki produkcji charakteryzują się tym, że mogą być (do pewnego stopnia) wzajemnie zastępowane, oraz że w procesie produkcji wytwarzają nową wartość. Ponadto, są one wyczerpywalne tzn. w procesie produkcji następuje ich zużycie i muszą być odnawiane. Proces odnawiania czynników produkcji nazywa się inwestowaniem. W ogólnym zapisie matematycznym funkcję produkcji możemy wyrazić jako gdzie y jest wielkością produkcji. y = f(l, K), (8.1) Zastosowanie funkcji produkcji Badanie funkcji produkcji sprowadza się do wyznaczenia jej charakterystyk: 73

74 74 ROZDZIAŁ 8. FUNKCJA PRODUKCJI produktu całkowitego P C, Produkt całkowity jest to teoretyczna wartość produkcji przy ustalonych lub prognozowanych nakładach K i L P C = ŷ (8.2) produktu przeciętnego P P i Produkt przeciętny to przeciętna wielkość produkcji przypadająca na jednostkę i- tego czynnika produkcji przy ustalonych pozostałych czynnikach produkcji: P P i = ŷ x i, (8.3) gdzie P P i jest produktem przeciętnym względem i-tego czynnika produkcji, ŷ - produkt całkowity, x i - i-ty czynnik produkcji. produktu krańcowego P K i Produkt krańcowy (marginalny) to przyrost wielkości produkcji spowodowany przyrostem i-tego czynnika produkcji, przy niezmienionych pozostałych czynnikach produkcji. P K i = y x i (8.4) elastyczności produkcji E i, Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji to względna zmiana wielkości produkcji na skutek zmiany i-tego czynnika produkcji o jeden procent, przy stałych pozostałych czynnikach produkcji E i = y ŷ : x i x i = x i ŷ y x i = P K i P P i (8.5) efektu skali produkcji ESP, Efekt skali produkcji informuje o ile procent wzrośnie wielkość produkcji, jeżeli wartość wszystkich czynników produkcji wzrośnie jednocześnie o 1% ESP = k E i. (8.6) Jeżeli ESP < 1 to mówimy o malejącej wydajności czynników produkcji (produkcja wzrasta wolniej niż nakłady), jeżeli EP S = 1 to mówimy o stałej wydajności czynników produkcji (produkcja wzrasta w tym samym tempie co nakłady) jeżeli EP S > 1 to mówimy o rosnącej wydajności czynników produkcji (produkcja wzrasta szybciej niż nakłady)

75 8.2. FUNKCJA PRODUKCJI COBBA-DOUGLASA Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Jedną z ważniejszych funkcji produkcji jest funkcja Cobba-Douglasa. Sformułowana przez szwedzkiego ekonomistę Knuta Wicksel a została zweryfikowana na danych empirycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba. Oryginalna postać funkcji uwzględniała dwa główne czynniki produkcji : pracę i kapitał: y = f(k, L) = β 0 K β 1 L β 2 e ɛ, (8.7) gdzie K, L 0 oznaczają odpowiednio kapitał i pracę, a parametry β 0, β 1, β 2 mają wartości dodatnie, ɛ oznacza czynnik losowy. Funkcję Cobba-Douglasa możemy uogólnić na większą liczbę czynników kształtujących produkcję. Zapisujemy ją wtedy w postaci: f(x 1, x 2,..., x k ) = β 0 x β 1 1 x β x β k k eɛ = β 0 e ɛ Własności funkcji Cobba-Douglasa jest nieujemna, jest rosnąca ze względu na każdy x i k x β j j (8.8) j=1 Dalsza cześć rozdziału będzie poświęcona oryginalnej wersji (8.7) funkcji Cobba-Douglasa, tzn. funkcji z dwoma czynnikami produkcji Linearyzacja funkcji Cobba-Douglasa Funkcję Cobba-Douglasa można przetransformować do postaci liniowej i szacować jej parametry KMNK. Logarytmując obustronnie równanie (8.7) otrzymamy jego liniową wersję ln y = ln b 0 + b 1 ln K + b 2 ln L, (8.9) gdzie b i są estymatorami parametrów β i. Dla zlinearyzowanej funkcji Cobba-Douglasa (np. dla 8.9) elastyczność produkcji E i = b i, wobec czego efekt skali produkcji można zapisać jako ESP = b 1 + b b k. Izokwanta Jeżeli funkcja produkcji jest funkcją dwóch czynników produkcji, to relację pomiędzy wielkością produkcji a tymi czynnikami możemy przedstawić na płaszczyźnie za pomocą tzw. izokwanty. Jak już napisaliśmy, czynniki produkcji mogą się do pewnego stopnia zastępować. Z tego powodu, tę samą ilość produkcji możemy otrzymać dla różnych kombinacji pracy i kapitału. Zbiór wszystkich kombinacji pracy i kapitału, które dają taką samą wielkość produkcji jest właśnie izokwantą (Rysunek 8.1). Im dalej znajduje się krzywa od początku układu współrzędnych, tym większa jest produkcja. Izokwantę nazywa się również krzywą jednakowej produkcji.

76 76 ROZDZIAŁ 8. FUNKCJA PRODUKCJI Rysunek 8.1: Przykłady izokwant. Na osiach znajdują się czynniki produkcji, każda krzywa reprezentuje stałą wielkość produkcji dla różnych kombinacji nakładów.

77 Rozdział 9 Ekonometryczna analiza rynku i popytu konsumpcyjnego Ekonometryczna analiza rynku jest jedną z głównych analiz ekonometrycznych i jedną z ważniejszych. Pojęcie to jest bardzo szerokie. Może dotyczyć np. analizy rynków pracy, popytu i podaży, analizy rynków finansowych lub walutowych. Niniejszy rozdział jest krótkim wprowadzeniem do szerokiego tematu, jakim jest zastosowanie modeli ekonometrycznych do badania rynków. Zainteresowanym szczególnie rynkami finansowymi polecamy dwie prace dostępne na stronie w zakładce Skrypty dla studentów: Wprowadzenie do funkcjonowania rynków finansowych, Wybrane zagadnienia analizy rynków finansowych, a także pracę Komputerowe modelowanie zjawisk rynkowych (również na Podstawowe pojęcia Popyt to skłonność nabywcy do zakupu określonej ilości dobra lub usługi. Określa on, jak dużo danego dobra lub usługi nabywca (rynek) jest skłonny kupić po określonej cenie. Poziom popytu na dany towar wyznaczany jest zarówno przez czynniki rynkowe, takie jak cena towaru lub usługi, poziom dochodu nabywców oraz ich oczekiwania, ceny innych towarów, jak również przez czynniki pozarynkowe np. upodobania nabywców, poziom wykształcenia lub płeć. Matematyczny opis omawianej zależności nazywa się funkcją (krzywą) popytu. Funkcje popytu są niezwykle przydatne. Pozwalają zobrazować, i w dużym stopniu przewidzieć, jak rynek reaguje na zmianę cen i przychodów. Załóżmy, że przychód konsumenta rośnie. Czy będzie on nabywał więcej czy mniej dobra x 1? Jeśli będzie nabywał go więcej, wtedy dobro x 1 nazywa się dobrem normalnym (Rysunek 9.1, panel lewy). Jeśli będzie nabywał go mniej, wtedy takie dobro nazywamy dobrem podrzędnym (Rysunek 9.1, panel prawy). Jak zmieni się sytuacja jeśli zamiast przychodu konsumenta wzrośnie cena produktu? Musimy tu rozważyć dwa przypadki: gdy zmieni się cena dobra, które chcemy nabyć (x 1 ), oraz przypadek gdy zmieni się cena innego dobra (x 2 ). W przypadku pierwszym, gdy cena dobra x 1 rośnie a popyt na to dobro spada, to dobro takie nazywamy dobrem zwyczajnym, a gdy popyt na dobro x 1 rośnie (wraz z rosnącą ceną), dobro takie nazywamy 77

78 78ROZDZIAŁ 9. EKONOMETRYCZNA ANALIZA RYNKU I POPYTU KONSUMPCYJNEGO Rysunek 9.1: Wykres zależności popytu od dochodu. Lewy panel: popyt na dobra normalne, prawy panel: popyt na dobra podrzędne. Rysunek 9.2: Wykres zależności popytu od dochodu. Zależność przedstawia popyt na dobra normalne. dobrem Giffena (Rysunek 9.2). W przypadku drugim, jeśli popyt na dobro x 1 rośnie wraz ze wzrostem ceny innego dobra x 2, to dobra takie nazywamy substytucyjnymi. Jeśli cena jednego z nich rośnie, zastępujemy dobro x 1 je innym, tańszym (x 2 ). Badanie związków popytu z czynnikami kształtującymi popyt nazywa się badaniem elastyczności popytu, a siłę związku współczynnikiem elastyczności popytu. Ze względu na czynnik kształtujący popyt, możemy wyróżnić dwa rodzaje elastyczności popytu: dochodową i cenową. Cenowa elastyczność popytu E d(p) = Q/Q P/P (9.1) gdzie Q/Q jest procentową zmianą zapotrzebowania na dane dobro, a P/P jest procentową zmianą ceny dobra. Q ( P )- przyrost zapotrzebowania (ceny) na produkt, Q (P ) - zapotrzebowanie (cena produktu) na produkt przed zmianą. Współczynnik elastyczności E d(p) interpretujemy następująco: np. jeśli cena produktu wzrośnie o 5% a popyt na produkt zmaleje o 5%, wtedy elastyczność popytu dla początkowej ceny i popytu E d(p) = 1; jeśli cena produktu wzrośnie o 5% a popyt na produkt również wzrośnie o 5%, wtedy elastyczność popytu dla początkowej ceny i popytu E d(p) = 1.

79 9.1. PODSTAWOWE POJĘCIA 79 Wartość Interpretacja E d() = 0 popyt doskonale nieelastyczny (sztywny) 0 < E d() < 1 popyt relatywnie nieelastyczny (słabo elastyczny) E d() = 1 popyt proporcjonalny E d() > 1 popyt elastyczny Tabela 9.1: Zestawienie wartości bezwzględnych współczynników elastyczności popytu oraz ich interpretacja. Rysunek 9.3: Graficzne przedstawienie prawa Engla. Źródło: Dochodowa elastyczność popytu E d(i) = Q/Q I/I (9.2) gdzie Q/Q jest procentową zmianą zapotrzebowania na dane dobro, a I/I jest procentową zmianą dochodu nabywców, I- przyrost dochodu, I - wielkość dochodu przed zmianą. Elastyczność popytu klasyfikuje się na podstawie bezwzględnej wartości współczynników elastyczności. Ich zestawienie, wraz z interpretacją przedstawia Tabela Ekonometryczne modele popytu dochodowego W XIX wieku, niemiecki ekonomista i statystyk Ernst Engel prowadził badania dotyczące zmian wydatków na żywność pod wpływem zmian dochodów. Doszedł on do wniosku, że wraz ze zwiększaniem się dochodu, względny udział wydatków na żywność w ogólnych wydatkach maleje. Prawo to jest prawem empirycznym i nosi nazwę Prawa Engla. Krzywe stosowane do opisu zależności pomiędzy dochodem a popytem (wydatkami) nazywane są krzywymi Engla. Poniżej prezentujemy postacie funkcyjne najczęściej stosowanych krzywych [2]: postać liniowa postać potęgowa ŷ i = b 0 + b 1 x i b k x ki, (9.3) ŷ i = b 0 x b 1 1i x b 2 2i... x b k ki, (9.4)