Swobodna ekspansja kondensatu Bosego- Einsteina o skończonej temperaturze, poza reżimem Thomasa-Fermiego

Transkrypt

1 Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Instytut Fizyki Romaric Abdoul nr albumu: Praca magisterska na kierunku fizyka doświadczalna Swobodna ekspansja kondensatu Bosego- Einsteina o skończonej temperaturze, poza reżimem Thomasa-Fermiego Opiekun pracy dyplomowej Dr Michał Zawada Zakład Fizyki Atomowej, Molekularnej i Optycznej Toruń 008 Pracę przyjmuję i akceptuję Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej data i podpis opiekuna pracy data i podpis pracownika dziekanatu

2 Dziękuję dr Michałowi Zawadzie za życzliwą pomoc w trakcie pracy w laboratorium FAMO, jak i całemu zespołowi, z którym miałem kontakt: Marcinowi Witkowskiemu i Jackowi Szczepkowskiemu. Dziękuję również wszystkim profesorom i wykładowcom, u których miałem zaszczyt pobierać nauki w czasie studiów. Dzięki ich wiedzy i staraniom również i ja mogłem pogłębić swoje rozumienie otaczającego nas świata.

3 UMK zastrzega sobie prawo własności niniejszej pracy magisterskiej w celu udostępniania dla potrzeb działalności naukowo-badawczej lub dydaktycznej. 3

4 Spis treści 1. Wstęp 7. Teoria kondensatu Bosego-Einsteina Opis w ramach wielkiego zespołu kanonicznego Przypadek nieoddziałujących atomów. Obsadzenie stanu podstawowego Pułapka harmoniczna Przypadek oddziałujących atomów 16.. Równanie Grossa-Pitajewskiego Przykłady rozwiązań równania Grossa-Pitajewskiego Przybliżenie gaussowskie Przybliżenie Thomasa-Fermiego 0.4. Równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu 1 3. Aparatura i proces powstawania BEC Poziomy energetyczne rubidu Układ chłodzący Etapy otrzymywania BEC Układ próżniowy Geter MOT Transfer MOT Pułapka magnetyczna Przeładowanie Odparowanie Układ laserowy Laser pułapkujący Laser repompujący (repumper) Wiązki Przebieg eksperymentu 44 4

5 3.5. Obrazowanie Układ obrazujący Swobodny spadek i swobodna ekspansja Wyniki pomiarów Frakcja skondensowanych atomów w zależności od temperatury Zależność AR od czasu dla dużych kondensatów Zależność AR od liczby atomów w kondensacie Zależność AR od frakcji kondensatu Podsumowanie Literatura 64 Załączniki 67 Z.1. Teoria chłodzenia i pułapkowania neutralnych atomów.. 67 Z.1.1. Chłodzenie melasa optyczna. 69 Z.1.. Pułapkowanie 77 Z.1.3. Granica chłodzenia dopplerowskiego 84 Z.1.4. Chłodzenie subdopplerowskie 84 Z.1.5. Pułapka magnetyczna 85 Z.1.6. Chłodzenie przez odparowanie 87 Z.. Doppler-Free Dichroism Lock (DFDL). 90 Z.3. Właściwości rubidu 87 Rb i podstawowe stałe fizyczne 9 Z.4. Zdjęcia aparatury 94 Z.5. Spis oznaczeń 95 Z.6. Spis rysunków 98 5

6 6

7 1. Wstęp Każdy człowiek, niezależnie od tego, jak bardzo byłby przygotowany na niespodzianki niesione przez zadziwiające prawa przyrody, gdy tylko zetknie się z mechaniką kwantową, wpada w szok. Nie może pojąć reguł rządzących mikroświatem. Jego umysł nie dopuszcza nowych, niewyobrażalnych dla niego pojęć. Nic w tym dziwnego. W końcu żaden człowiek w czasie milionów lat ewolucji nie miał do czynienia z fizyką kwantową. Rozwój naszego umysłu kierowany był przez dobór naturalny. Objawiał się on tym, że szansę na przekazanie swojego materiału genetycznego miały te osobniki, które lepiej potrafiły sobie poradzić w życiu bądź też w ogóle potrafiły przeżyć. Z pewnością bardziej przydatną cechą umysłu była możliwość wyobrażenia sobie niedźwiedzia wyłaniającego się zza krzaków lub skutków spadającego z góry głazu (myślenie trójwymiarowe), niż wyobrażanie sobie czterowymiarowej czasoprzestrzeni lub cząstek wirtualnych, które są, choć ich nie ma. Ewolucja naszego mózgu kierowana była doraźnymi potrzebami, a sposób w jaki myślimy jest skutkiem nabytych w ciągu życia doświadczeń. Jak dotąd dobór naturalny nie zdążył wypromować przez np. znacznie większe zarobki, tych ludzi, którzy lepiej niż inni radzą sobie z kwantami. Również żaden człowiek o dostatecznie bujnej wyobraźni nie wzrastał w środowisku, gdzie oczywistą cechą materii byłaby chociażby zasada nieoznaczoności Heisenberga. Skutkiem tego nie mamy dziś prawdziwie kwantowo myślących umysłów. W świecie, gdzie nawet niepodważalne dowody nie są w stanie przekonać niektórych do istnienia atomów, potrzeba naprawdę dużo pokory i wiary, aby zaakceptować to, że mechanika kwantowa i stosowane przez nią pojęcia dobrze opisują nasz świat. Podstawową przyczyną sceptycyzmu ludzi w stosunku do tej dziedziny jest fakt, że nikt nigdy naocznie nie obserwował tunelowania, fal materii, ani interferencji elektronu po tym, jak przeleciał jednocześnie przez dwie szczeliny. Są jedynie doświadczenia, których wyniki udało się na razie wyjaśnić tylko tą dziwaczną teorią kwantów. Ale przecież nie musi to oznaczać, że innej, bardziej zdroworozsądkowej teorii nie ma. Problem tkwi w naszym tomaszowym niedowiarstwie Dopóki nie zobaczę, to nie uwierzę. Trudno się dziwić. Kto z nas nie wierzy własnym oczom. W końcu 80% informacji dociera do nas za pomocą zmysł wzroku. A ponieważ rzeczy odpowiednio małych i wszelkich zjawisk dziejących się w skali atomów nie da się oczami zobaczyć, dlatego w nie 7

8 wierzymy. A nawet gdyby ktoś chciał uwierzyć, to jak ma to sobie wyobrazić, skoro nigdy tego nie widział. O ile do pewnego czasu polemizować można było o racjonalności odmiennego świata kwantów, o tyle od historycznego czerwca 1995 r., gdy dał się on zobaczyć ludzkim oczom, znikły ku temu jakiekolwiek podstawy [1-3]. W owym bowiem czasie, w Kolorado, pracującym niestrudzenie kwantowym zapaleńcom udało uzyskać się KONDENSAT BOSEGO EINSTEINA okno do świata kwantów. Kondensat Bosego-Einsteina (w skrócie BEC od ang. Bose-Einstein Condensate) to obiekt makroskopowy o wymiarach nawet kilku milimetrów (takie rozmiary udało się dotychczas otrzymać). Jest to twór o tyle niezwykły, że jego zachowanie potwierdza przewidywania szacownych teraz już fizyków kwantowych. Dla przykładu, dwa takie kondensaty skierowane na siebie nie odbiją się jak kulki, nie zlepią jak plastelina, ani nie przenikną jak gaz, lecz będą ze sobą interferować! I naprawdę można to zobaczyć. Co stało za tym, że dopiero 70 lat po rozwinięciu idei kwantów znalazł się dowód jej prawdziwości? Otóż dowody znane już były wcześniej. Interferencja elektronów na siatce krystalicznej, tunelowanie cząstek alfa przy rozpadzie atomowym, stany stacjonarne atomu, cała fizyka półprzewodników i oparta na tym elektronika. Wszystko to nabrało realnych kształtów, gdy pojawił się przed oczami prosty, widzialny dowód. Ale czemu dopiero teraz stworzono BEC? Czemu nie wcześniej? A no dlatego, że w tym celu dokonać trzeba naprawdę niebanalnego przedsięwzięcia. Należy schłodzić atomy gazu, mającego stać się kondensatem, do temperatury kilkudziesięciu, czasem kilkuset nk. Do tego zaś potrzebna jest naprawdę wymyślna aparatura, u podstaw której stoją nowoczesne lasery o bardzo wąskiej linii widmowej, specjalistyczna elektronika i technologie wysokiej próżni, będące osiągnięciami końca XX wieku. Poza tym sam proces chłodzenia za pomocą laserów też trzeba było wymyśleć. Aby uzyskać BEC, trzeba nie lada wysiłku, cierpliwości, pragnienia odkrycia prawdy i oczywiście pieniędzy. Zadanie to udało się zrealizować również w Polsce, w Krajowym Laboratorium Fizyki Atomowej, Molekularnej i Optycznej (w skrócie KL FAMO) w Toruniu. Wykorzystując możliwości finansowe i intelektualne wielu ośrodków naukowych z całej Polski, w 007 roku udało się skondensować do pożądanego stanu atomy rubidu 87 Rb. Praca niniejsza ma na celu stanowić pomoc dla każdego, kto chciałby dokładnie przybliżyć sobie wiele szczegółów dotyczących aparatury służącej do uzyskiwania 8

9 kondensatu, jak również procedury do tego prowadzącej. Zawiera ona również wyniki kilku podstawowych doświadczeń przeprowadzonych na otrzymanym już kondensacie. Rozdział zawiera teorię kondensatu Bosego-Einsteina w popularnym ujęciu. Omówiona jest w nim kondensacja z termodynamicznego punktu widzenia oraz przewidywania płynące z przybliżonych rozwiązań równania Grossa-Pitajewskiego przybliżenia Gaussowskiego i przybliżenia Thomasa-Fermiego. Rozdział oparty jest na [4], ale wyprowadzenia są tu dokładniejsze. Rozdział 3 zawiera dość dokładny opis aparatury służącej do otrzymywania BEC, jak i procedury do tego prowadzącej. Zawiera on również opis procesu obrazowania produktu kondensacji. Może on też służyć pomocą w odnalezieniu się w chronologii następujących po sobie etapów dochodzenia do kondensatu. Nie zostały w nim jednak wyjaśnione zasady działania stosowanych pułapek magneto-optycznych i magnetycznych oraz procesu wymuszonego odparowania, kluczowych dla uzyskania kondensatu. Czytelnika niezaznajomionego z tymi zagadnieniami odsyłam do Załącznika Z.1., gdzie wszystko to zostało jasno opisane. Zaznaczę, że załącznik ten w znacznej mierze oparty na [5]. Rozdział 4 to wyniki przeprowadzonych przez nas doświadczeń, w skład których wchodzą: 1. Pomiar frakcji kondensatu w zależności od temperatury. Pomiar zależności AR od czasu ekspansji dla dużych kondensatów 3. Pomiar zależności AR od liczby atomów w czystym kondensacie 4. Pomiar zależności AR od frakcji kondensatu Rozdział 5 to już krótkie podsumowanie wyników i wniosków przedstawionych w rozdziale 4. Mój osobisty wkład w otrzymane wyniki polegał przede wszystkim na obsługiwaniu i regulowaniu aparatury pomiarowej. Brałem przy tym udział w projektowaniu układu optycznego służącego do obrazowania. Wykonałem również pewną część pracy przy archiwizacji i obróbce wyników pomiarów. 9

10 10

11 . Teoria kondensatu Bosego-Einsteina Kondensatem Bosego-Einsteina nazywamy układ oddziałujących ze sobą cząstek, z których makroskopowa ilość znajduje się w tym samym stanie kwantowym [4]. Różne dopuszczalne stany kwantowe takiego układu zawsze obsadzone są w pewien statystyczny sposób. Spośród wszystkich pojedynczych mikrostanów najbardziej prawdopodobne są te, które mają najniższą energię. Stąd, jeśli chcemy sprowadzić makroskopową liczbę cząstek do jednego stanu kwantowego, najodpowiedniejszym kandydatem będzie stan podstawowy układu, ponieważ to on jest najmniej energetyczny. Obsadzenie najniższych stanów, w tym stanu podstawowego układu, wzrasta wraz z obniżaniem temperatury. Domyśleć się można więc, że obniżanie temperatury będzie warunkiem koniecznym sprowadzenia dużej liczby atomów w układzie do stanu podstawowego. Jednak nawet przy niskiej temperaturze jest ogromnie dużo obsadzanych choćby w niewielkim stopniu stanów. Stąd liczba cząstek obsadzających którykolwiek stan, nawet niskoenergetyczny, jest bardzo mała. Jak się jednak przekonamy, z rozważań termodynamicznych wynika, że dla układu bozonów istnieje pewna temperatura krytyczna, przy której nieoczekiwanie duża część cząstek układu zaczyna obsadzać stan podstawowy. Taka raptowna zmiana przy określonej temperaturze nazywana jest przejściem fazowym. Dlatego właśnie mówimy, że następuje kondensacja, a produkt tej kondensacji nazywamy kondensatem Bosego-Einsteina..1. Opis w ramach wielkiego zespołu kanonicznego.1.1. Przypadek nieoddziałujących atomów. Obsadzenie stanu podstawowego Załóżmy, że w pułapce mamy układ N nieoddziałujących ze sobą bozonów. Przyjmijmy, że może on wymieniać z otoczeniem nie tylko energię, ale również cząstki. W takim razie opisującymi go parametrami kontrolnymi będą temperatura T i potencjał chemiczny µ. Prawdopodobieństwo pojedynczego mikrostanu {n 0, n 1,...} o energii całkowitej E jest równe ( E -µ N ) - / k B T e ρ =, (1) Z 11

12 gdzie Z funkcja rozdziału z warunku normalizacyjnego, E = N E i= 0 i i, N i obsadzenie i-tego satanu, a N = N i= 0 i. Każda cząstka znajdować się może w jednym z dozwolonych stanów o energii E i. Wartości tej energii zależą od rodzaju pułapki (jej potencjału). Liczba N cząstek w układzie nie jest ustalona i może być dowolna. We wszystkich kolejnych rozważaniach potencjał chemiczny µ jest mniejszy od energii stanu podstawowego, µ < E 0. Przy założeniu czysto kwantowego efektu, którym jest nierozróżnialność cząstek, otrzymać można z (1) statystykę Bosego-Einsteina, opisującą średnie obsadzenie i-tego poziomu energetycznego 1 N i = ( ), () Ei -µ / k B T e 1 a następnie średnie obsadzenie stanu podstawowego N 1 0 = ( E0 -µ) / k B T e 1. (3) Zauważmy, że gdy µ E 0, obsadzenie stanu podstawowego ogromnie rośnie. Niedługo zobaczymy, że potencjał chemiczny µ może osiągnąć wartość E 0 w skończonej temperaturze, co oznaczać będzie kondensację Bosego-Einsteina. Z termodynamicznego opisu należy wtedy wyłączyć stan podstawowy..1.. Pułapka harmoniczna Przyjmijmy, że nasz układ N cząstek znajduje się w trójwymiarowej pułapce o potencjale harmonicznym. W takim razie energia każdej cząstki przyjąć może wartość i ( ω i + ω i ω i ) E =h +, (4) x x gdzie ω x, ω y, ω z są częstościami pułapki w kierunkach x, y i z, natomiast liczby i x, i y, i z numerują poziomy energetyczne pułapki. Przyjmować one mogą wartości całkowite od 0 do nieskończoności. Dla uproszczenia rachunków zakładamy, że stan podstawowy ma energię równą zero E 0 = 0 (czyli liczby i x, i y, i z przyjmują wartości zero). Policzmy średnią liczbę cząstek w pułapce. i, i, i = 0 y y i, i, i = 0 z 1 N = N i = ( i ) (5) E -µ / kb T e 1 x y z Wskazane sumowanie należy przeprowadzić po wszystkich możliwych wartościach liczb i x, i y, i z. Odłóżmy te liczby na trzech prostopadłych osiach. W ten sposób rozpięta zostanie przez x y z z 1

13 nie pewna przestrzeń, w której każdej trójce liczb i x, i y, i z odpowiada sześcienna komórka o jednostkowej objętości i współrzędnych opisanych tymi liczbami. W takim razie konieczne sumowanie można utożsamić z sumowaniem po wszystkich komórkach rozpiętej przestrzeni. Jeżeli teraz przyjmiemy, że pomiędzy poziomami energetycznymi w pułapce różnice energii są bardzo małe, tzn. E << k B T, to funkcję dyskretną objętą sumą można zastąpić funkcją ciągłą, przejście od komórki do komórki przejściem z punktu do punktu, a sumowanie całkowaniem. W efekcie dostajemy = 0 i = 0 = ix y iz 0 dixdi di ( Ei -µ)/ e y z kbt, (6) 1 gdzie całkowanie przeprowadzić należy dla dodatnich wartości liczb i x, i y, i z. Dokonamy teraz zamiany zmiennych postaci: Daje to w wyniku Ex = hωxix, E y = hωyiy, Ez = hωziz, E i = E = Ex + E y + Ez. h 3 ω x 1 ω y ω z Ex = 0 Ey = 0 Ez = 0 dexde ( Ei -µ)/ e y kb dez, (7) T 1 gdzie jak poprzednio całkowanie przeprowadzić należy po dodatnich wartościach E x, E y i E z. Każdej wartości energii E odpowiada pewna ilość różnych trójek liczb E x, E y i E z, które spełniać muszą jedynie warunek, by E = E + E + E. W takim razie całkowanie po elemencie objętości de x de y de z zastąpić można całkowaniem po elemencie objętości d 3 E w którym wartość E byłaby taka sama, ponieważ tylko od niej zależy funkcja podcałkowa. To natomiast można zastąpić całkowaniem po de. Koniecznie jednak należy przy tym pamiętać, że na każdy element de przypada nie jeden, lecz pewna ilość elementów de x de y de z. Funkcja, która określa liczbę elementów de x de y de z przypadających na element de nazywana jest funkcją gęstości stanów g(e). Przez nią należy pomnożyć funkcję podcałkową x y z h 3 ω x 1 ω y ω z Ex = 0 Ey = 0 Ez = 0 dexde ( E -µ)/ e i de y z kb T 1 = h 3 ω x 1 ω y ω z 0 ( E) g ( E -µ e ) de / kb T. (8) 1 Aby poznać jej postać, najpierw znajdujemy liczbę G(E) wszystkich stanów, których energia znajduje się w przedziale od 0 do E G ( E) E = dex de ydez = dex de y dez = 0 E 0 E Ex 0 E Ex Ey 0 3 E. (9) 6 13

14 Granice całkowania biorą się z warunku E = E + E + E. Szukana przez nas gęstość x y z stanów wynosi ( E) W takim razie, podstawiając (10) do (8), otrzymujemy N = dg E g ( E) = =. (10) de 3 h ω 1 x ω y ω z 0 E de ( E -µ )/ e k B T, (11) 1 gdzie ω to średnia geometryczna częstości pułapki w różnych kierunkach ( ω ω ω ) 1/ 3 Rozwijając w szereg ω =. x y z dostajemy l= 1 1 l( E -µ)/ k ( ) = B T e (1) E -µ / kbt e i 1 lµ / kbt e 3 l= le / k = BT N E e de, (13) 3 h ω le a następnie stosując podstawienie x = oraz korzystając ze wzoru k T 0 x e B x otrzymujemy N = dx = Γ ( 3) = Γ( ) = ( ) 3 k T h B 3 ω 3 l= 1 e lµ / kbt l 3, (14). (15) Załóżmy, że można przeprowadzić eksperyment, w którym średnia liczba atomów N w pułapce jest stała. Przy takim założeniu obniżamy temperaturę T. Wymuszać to będzie na potencjale chemicznym zmiany, ponieważ wszystkie inne symbole we wzorze (15) to stałe. Ponieważ wyraz przed sumą maleje z trzecią potęgą temperatury, aby N pozostało niezmienione, eksponenta w sumie musi rosnąć. Zauważmy, że temperatura znajduje się również w mianowniku wykładnika. Spadek temperatury powodować będzie wzrost wykładnika, jednak ze względu na ujemną wartość potencjału chemicznego, tempo wzrastania eksponenta wraz ze spadkiem temperatury jest wolniejsze nawet od pierwszej 14

15 potęgi T. W takim razie w wykładniku eksponenta musi rosnąć potencjał chemiczny. Graniczna wartość jego wzrostu to µ E 0 = 0. W konsekwencji dla pewnej skończonej temperatury, zwanej temperaturą krytyczną T c, potencjał chemiczny osiąga wartość µ = 0. Jak wiemy, następuje wtedy ogromny wzrost obsadzenia stanu podstawowego, czyli kondensacja Bosego-Einsteina. Skoro tylko potencjał chemiczny osiągnie wartość zero, wzór (15) przyjmuje postać 3 ( k T ) 1 ( k T ) 3 B c B c N = = h ω l= 1 l h ω ζ ( 3). (16) Suma widocznego szeregu to tzw. dzeta Riemanna, czyli funkcja ζ ( x) określona wzorem (17) 1 ζ. (17) x l ( ) x = W ten sposób wzór na temperaturę krytyczną przyjmuje postać l= 1 T c 1/ 3 ω N = h k B ζ ( 3). (18) Widać, że jest ona zależna od liczby atomów N w pułapce i średniej częstości ω pułapki. Przy dalszym obniżaniu temperatury potencjał chemiczny pozostaje równy zero µ = 0, a ze względu na konieczność wyłączenia stanu podstawowego z opisu termodynamicznego, wzór (16) opisuje tylko atomy w stanach wzbudzonych N t ( k T ) 3 N t, ( 3) B = ζ. (19) 3 3 h ω Ponieważ liczba atomów w pułapce jest stała, więc liczba atomów N 0 w stanie podstawowym jest równa lub w stosunku do liczby wszystkich atomów w pułapce 3 T N 0 = N N t = N 1 (0) Tc N N 0 = 1 T T c 3. (1) Otrzymany wzór (1) opisuje liczbę skondensowanych atomów w stosunku do wszystkich atomów w pułapce (tzw. frakcja kondensatu), gdy temperatura T jest niższa od temperatury krytycznej T c. Graficznie przedstawia to rys.1 (linia przerywano-kropkowana). 15

16 Rys.1. Wykresy opisujące frakcję skondensowanych atomów w zależności od temperatury (skalowanej względem temperatury krytycznej). Linia przerywano-kropkowana prezentuje zależność opisaną równaniem (1) dla nieoddziałujących atomów. Linia ciągła przedstawia zależność opisaną równaniem (), uwzględniającą oddziaływania atomowe w kondensacie i zaniedbującą energię kinetyczną skondensowanych atomów. Linia kropkowana obrazuje jeszcze inne przybliżenie [6]. Wartość przyjętego parametru η = 0,31. Rysunek wzięty z pracy [6]. Zależność (1) wyprowadzona została w tak zwanej granicy termodynamicznej, tzn. przy założeniu, że N, ω 0 oraz N ω 3 = const Przypadek oddziałujących atomów Równanie (1) otrzymane zostało dla idealnego gazu nieoddziałujących ze sobą bozonów. W przypadku gdy to oddziaływanie zostanie jednak uwzględnione, opis frakcji kondensatu staje się nieporównywalnie bardziej skomplikowany. Jeśli jednak w naszym rozważaniu przyjmiemy: - model Hartree-Focka zaniedbujący oddziaływania atomowe w nieskondensowanej (termicznej) części chmury - przybliżenie Thomasa-Fermiego zaniedbujące energię kinetyczną skondensowanych atomów - istnienie efektów skończonych rozmiarów próbki to otrzymamy [6] zależność liczby skondensowanych atomów od temperatury postaci: 16

17 17 ( ) ( ) 5 / η 1 = N N T T T T N N c c ζ ζ, () gdzie η jest parametrem skalującym ( ) ( ) η / / / a N ζ =, (3) opisującym siłę oddziaływań atomowych w kondensacie, natomiast a jest długością dwuciałowego rozpraszania rubidu. Uwzględnienie odpychających oddziaływań atomowych w kondensacie powoduje obniżenie frakcji kondensatu i znaczącą zmianę kształtu wykresu opisującego jej zależność od temperatury (rys.1 - linia ciągła). Kolejne przybliżenie, zakładające mały wpływ ostatniego członu w równaniu () daje ( ) ( ) 5 / η 1 = c c c T T T T T T N N ζ ζ. (4) Wykres tej zależności przedstawia rys. (linia kropkowana). Rys.. Wykresy opisujące frakcję skondensowanych atomów w zależności od temperatury (skalowanej względem temperatury krytycznej). Linia ciągła przedstawia zależność opisaną równaniem () uwzględniającą oddziaływania atomowe w kondensacie i zaniedbującą energię kinetyczną skondensowanych atomów, natomiast linia kropkowana uproszczoną zależność (4). Wartość przyjętego parametru η = 0,31. Rysunek wzięty z pracy [6].

18 .. Równanie Grossa-Pitajewskiego niezależne od czasu Jeżeli wszystkie cząstki w rozważanej już pułapce harmonicznej są skondensowane (czysty kondensat) to znajdować się muszą w tym samym stanie jednocząstkowym. Oznacza to, że funkcja falowa kondensatu przyjmuje postać r r r r, K = φ Kφ. (5) ( ) ( ) ( ) ψ 1, N 1 r N Jeżeli atomy oddziałują między sobą, to taka sytuacja jest tylko przybliżeniem stanu własnego układu N cząstek. W takim wypadku można zapytać, jaki należy wybrać stan jednocząstkowy φ, aby funkcja falowa (5) była najlepszym przybliżeniem stanu podstawowego. W tym celu, używając metody wariacyjnej, minimalizuje się energię układu w przestrzeni funkcji (5). W wyniku dostaje się równanie Grossa-Pitajewskiego h m r + U ( r ) + g ( N 1) φ( r ) φ( r ) = µ φ( r ) 0 r r r, (6) gdzie m masa cząstki, U - potencjał pułapki, µ potencjał chemiczny. W równaniu tym, dla dużej liczby atomów N, zwykle zaniedbuje się -1 w nawiasie. g 0 to parametr modelowego r potencjału (pseudo potencjału g0 δ( )) oddziaływania pomiędzy atomami, zwany też długością rozpraszania i równy g 0 4πh a =. Otrzymane równanie jest bardzo podobne do m równania Schrödingera dla cząstki w pułapce, za wyjątkiem nieliniowego członu, który jest skutkiem średniopolowego oddziaływania atomu z resztą atomów. Każdy atom widzi pozostałe atomy jako dodatkowy potencjał proporcjonalny do gęstości chmury atomowej ( ) g r 0N φ odpychające.. Od znaku a zależy to, czy oddziaływanie międzyatomowe jest przyciągające czy.3. Przykłady rozwiązań równania Grossa-Pitajewskiego.3.1. Przybliżenie gaussowskie Rozważmy jak wcześniej atomy w pułapce o potencjale harmonicznym U r = mω. Dla takiego potencjału równanie Grossa-Pitajewkiego przyjmuje postać ( r ) r / h m + 1 mω r + g 0 N φ r r ( r ) φ( r ) = µ φ( r ) r. (7) 18

19 Dla przejrzystości zapisu energię wyrazimy w jednostkach h ω, a długość w jednostkach oscylatorowych h / mω potencjale harmonicznym). Dostajemy wtedy gdzie Jeżeli g 0 4πa =. h / mω (jest to tzw. rozmiar stanu podstawowego pojedynczej cząstki w r + g 0 N φ r r r ( r ) φ( r ) = µ φ( r ), (8) g 0 0, to nieliniowość w równaniu (8) znika i rozwiązaniem dla stanu podstawowego jest funkcja Gaussa -r / σ e φ( r ) =. (9) 3/4 3/ π σ Jest to rozwiązanie dla pojedynczej cząstki w potencjale harmonicznym, a stąd w przypadku braku oddziaływania międzyatomowego, również dla wszystkich cząstek w stanie podstawowym. Jeżeli natomiast g 0 0, ale niewiele różni się od zera, to używając metody wariacyjnej można poszukać rozwiązania w postaci funkcji Gaussa, przyjmując jako parametr σ. Wstawiając (9) do funkcjonału energii i przeprowadzając całkowanie dostajemy gdzie * 3 3 χ [, φ ] = E( σ) = + σ 3 E φ +, (30) 4σ 4 σ Na χ =. (31) π h/mω Pierwszy człon w (30) odpowiada energii kinetycznej, drugi energii potencjalnej pułapki, a trzeci energii oddziaływania międzyatomowego, proporcjonalnej, jak widać, do gęstości atomów w pułapce ~ 3 N /σ. Jeżeli chcemy znaleźć stan podstawowy układu, to musimy znaleźć minimum funkcji E ( σ), de ( σ ) dσ = 0, skąd σ 0 = σ 0 + χ. (3) Okazuje się wtedy, że dla a > 0 (odpychanie pomiędzy atomami), dla małej liczby atomów, czyli χ << 1 odtwarzamy rozwiązanie dla układu nieoddziałującego, tj. σ 0 = 1. Natomiast dla dużej liczby atomów, czyli χ >> 1 otrzymujemy σ 0 χ 1/5 r φ prawdopodobieństwa ( ) ~ N 1/5, czyli gęstość rozciąga się przestrzennie tym dalej, im więcej jest atomów w pułapce. Jest to skutek wzajemnego odpychania się atomów. 19

20 W omawianym wypadku energia kinetyczna zachowuje się jak ~ 1/N /5, energia potencjalna pułapki jak ~ N /5, energia oddziaływania między atomami jak ~ N /5. W takim razie dla dużych N energia kinetyczna jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z innymi rodzajami energii i stan przestrzennej równowagi kondensatu osiągnięty zostaje przez przeciwdziałające sobie potencjał pułapki i wzajemne odpychanie atomów..3.. Przybliżenie Thomasa-Fermiego Widzieliśmy, że dla układu niewielu cząstek przestrzenny rozmiar każdej cząstki znajdującej się w potencjale harmonicznym w stanie podstawowym, identyfikowany z σ 0, w jednostkach oscylatorowych wynosi σ 0 = 1, czyli σ 0 = h / mω. Natomiast dla dużej liczby cząstek przestrzenny rozmiar chmury σ 0 ~ N 1/5, co oznacza, że σ 0 >> h / mω. Ze względu na wzajemne odpychanie cząstek rozmiar chmury jest tym większy, im więcej cząstek ona zawiera. Jeżeli za jej promień R przyjmiemy σ 0, to R >> h / mω. (33) W takim wypadku stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej pułapki E E kin harm h mr mω R = h /mω R << 1. (34) h m Można zatem w równaniu Grossa-Pitajewskiego (7) zaniedbać człon φ ( r ) i otrzymujemy a stąd bez problemu dostajemy gdzie dla normalizacyjnego 1 mω r > µ/mω, ( ) = 0 r + g 0 N φ r r r ( r ) φ( r ) = µ φ( r ), (35) r µ mω r / φ ( ) =, (36) g N 0 φ r r. Potencjał chemiczny znajdujemy z warunku hω Na µ = 15 h/mω / 5. (37) r 0

21 Zastosowane przybliżenie, polegające na zaniedbaniu energii kinetycznej cząstek, nazywane jest przybliżeniem Thomasa-Fermiego dla kondensatu Bosego-Einsteina. Przypatrzmy się bliżej otrzymanej funkcji jednocząstkowej φ ( r ). Ponieważ wszystkie cząstki w kondensacie znajdują się w tym stanie, więc gęstość prawdopodobieństwa chmury w skład której wchodzi N cząstek wynosi r µ mω r / µ mω r / N φ ( ) = N =. (38) g N g 0 Jak widać gęstość chmury jest zależna od kwadratu odległości od jej środka. Przedstawia to czerwona linia na rys.3. Taki profil gęstości nazywamy profilem Thomasa-Fermiego (TF). 0 σ 0 R Rys.3. Wykres zależności gęstości chmury od odległości od jej środka. Linia czerwona przedstawia profil Thomasa-Fermiego (skondensowane atomy), natomiast linia niebieska profil gaussowski (chmura termiczna czyli nieskondensowane atomy). R to promień Thomasa-Fermiego, natomiast σ 0 to przestrzenny rozmiar cząstki w stanie podstawowym, opisanej funkcją Gaussa..4. Równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu Dla uogólnienia rozważań na przypadek zależny od czasu można przyjąć, że funkcja φ ( r ) w (5) jest zależna od czasu. Przeprowadzony wtedy zależny od czasu rachunek wariacyjny prowadzi bezpośrednio do zależnego od czasu równania Grossa-Pitajewskiego h m + 1 mω t r t ( ) r + g N φ( r ) φ( r,t) = ih φ( r,t) 0 r r (39) 1

22

23 3. Aparatura i proces powstawania BEC W tym rozdziale opisana jest aparatura służąca do otrzymywania kondensatu. Zawiera on również opis całego procesu prowadzącego do jego uzyskania. Całą aparaturę służącą do uzyskiwania kondensatu w naszym laboratorium podzielić można umownie na następujące obszary: 1. obszar I, w którym następuje cały proces chłodzenia atomów i ostatecznie otrzymywanie BEC. Zawiera on między innymi komory próżniowe i pompy, zbiornik z rubidem i cewki wytwarzające niezbędne pole magnetyczne. obszar II, w którym otrzymuje się wszystkie potrzebne wiązki światła laserowego o różnych częstotliwościach, niezbędne między innymi do procesu chłodzenia i obrazowania otrzymanego kondensatu. 3. obszar III, obejmujący elementy odpowiedzialne za zasilanie cewek magnetycznych i sterowanie prądem w nich płynących; zaliczyć można do niego również układ chłodzenia cewek. 4. obszar IV, do którego należy aparatura kontrolująca przebieg całego eksperymentu. Jako, że całe chłodzenie odbywa się w obszarze I, to właśnie przy omawianiu jego działania opisywany będzie również cały proces otrzymywania BEC (kondensatu Bosego-Einsteina) Poziomy energetyczne rubidu 87 Rb Jak to już zostało wspomniane we wstępie, w naszym laboratorium BEC otrzymuje się z atomów jednego z izotopów rubidu - 87 Rb. Ponieważ do procesu chłodzenia niezbędne jest rezonansowe oddziaływanie tych atomów ze światłem, dlatego częstotliwość wiązek laserowych musi być dostrojona do różnicy poziomów energetycznych, pomiędzy którymi zachodzi przejście. Na rys.4 przedstawione są poziomy energetyczne rubidu 87 Rb. W naszym doświadczeniu w pułapkach magneto-optycznych wykorzystuje się linię D o długości fali 780 nm. Odpowiada ona przejściu 5 S 1/ 5 P 3/. 3

24 chłodzenie, pulapkowanie i detekcja repompowanie pompowanie optyczne Rys.4. Poziomy energetyczne rubidu 87 Rb. Linie po lewej obrazują strukturę subtelną, a linie po prawej strukturę nadsubtelną. W doświadczeniu wykorzystywana jest linia D rubidu o długości 780 nm. Na rysunku oznaczone są wielkości przejść energetycznych dla różnych wykorzystywanych w doświadczeniu wiązek: wiązki pułapkującej, repompującej i pompującej. Rysunek wzięty z [7]. 3.. Układ chłodzący Etapy otrzymywania BEC Dla przejrzystości i lepszego rozeznania poniżej przedstawione zostały kolejne etapy prowadzące do otrzymania BEC: 1. w górnej pułapce magneto-optycznej (MOT 1) następuje wychwyt atomów rubidu 87 Rb z chmury termicznej o temperaturze pokojowej i naturalnym składzie izotopowym oraz wstępne chłodzenie przechwyconych atomów. dokonywany jest transfer, czyli przepchnięcie zgromadzonych atomów z górnej pułapki magneto-optycznej do dolnej komory próżniowej 3. następuje przechwycenie przepychanych atomów przez dolną pułapkę magnetooptyczną (MOT ) oraz ich dalsze chłodzenie 4. atomy przeładowywane są z MOT do pułapki magnetycznej (MT) 5. następuje chłodzenie przez wymuszone odparowanie przy użyciu oscylującego pola magnetycznego o częstości radiowej (RF) Pierwsze trzy etapy odbywają się jednocześnie (tzn. transfer odbywa się w sposób ciągły). 4

25 3... Układ próżniowy Cały proces chłodzenia atomów odbywa się w układzie próżniowym złożonym z górnej i dolnej komory próżniowej oraz łączącej te komory rurki. W górnej komorze odbywa się wstępne chłodzenie atomów, a w dolnej komorze dalsze chłodzenie i kondensacja. Schemat całego układu przedstawia poniższy rysunek (rys.5). górna komora do pomp dolna komora rurka pompowania różnicowego Rys.5. Schemat układu próżniowego: górna i dolna komora próżniowa oraz łącząca je rurka. Górna komora wykonana jest ze stali nierdzewnej i posiada sześć okienek z pyreksu, przez które wprowadza się wiązki. Dolna komora jest komórką z kwarcu. Grafitowe wnętrze rurki łączącej komory zapewnia pompowanie różnicowe. [8] Górna komora próżniowa wykonana jest ze stali nierdzewnej i posiada sześć okienek z pyreksu, umieszczonych parami wzdłuż trzech ortogonalnych kierunków. Okienka te pokryte są warstwą antyrefleksyjną, dopasowaną do długości fali 780 nm. Górna komora to ogólnie przestrzeń dla MOT 1. Niezbędnym warunkiem jego sprawnego działania jest próżnia, dzięki której chłodzone w pułapce atomy nie są podgrzewane przez swobodne, nie uchwycone atomy termiczne. Dlatego komora ta wyposażona jest w pompę jonową o szybkości pompowania 5 l/s. Dzięki temu w górnej komorze udaje się uzyskać próżnię na poziomie około 10-8 mbar. Z jednej strony jest ona wystarczająco dobra by zapewnić sprawne działanie MOT 1, z drugiej natomiast atomów rubidu jest na tyle dużo, by proces ich wychwytywania z chmury termicznej był wydajny. Rurka łącząca obie komory próżniowe również wykonana jest ze stali nierdzewnej. Ważniejsze jest jednak to, że izoluje ona od siebie dwie komory, nie pozwalając na to, by słabsza próżnia w górnej komorze pogorszyła tą w dolnej (pompowanie różnicowe). Dlatego 5

26 posiada ona wewnątrz grafitową rurkę o długości 10 mm i wewnętrznej średnicy 4,5 mm, której celem jest pochłanianie padających na nią atomów rubidu. Dolna komora próżniowa to kwarcowa komórka, niepokryta warstwą antyrefleksyjną. Do uzyskania próżni w tej komorze stosuje się pompę jonową o szybkości 55 l/s oraz pompę sublimacyjną. Skutkiem działania tych pomp i grafitowej rurki łączącej obie komory jest bardzo dobra próżnia, o trzy rzędy wielkości niższa niż w górnej komorze (10-11 mbar) Geter Do górnej komory atomy rubidu o naturalnym składzie izotopowym dostarczane są przez podgrzewany emiter rubidu (tzw. geter). Grzany jest on prądem o natężeniu 3,3 A, przy którym, jak stwierdziliśmy doświadczalnie, w MOT 1 gromadzi się najwięcej atomów. Przy podanych warunkach geter emituje około x 10 7 atomów w ciągu sekundy MOT 1 Jest to pierwsza pułapka magneto-optyczna w procesie chłodzenia. Dokonuje się w niej wychwyt atomów z par rubidu znajdujących się w górnej komorze. Do komory tej przez okienka wprowadzane są trzy wiązki kołowo spolaryzowanego światła, które po skrzyżowaniu się w środku komory wychodzą przez przeciwległe okienka. Następnie dzięki ustawionym za nimi ćwierćfalówkom i lusterkom, wracają do komory po tych samych torach, którymi przybyły, ale już z przeciwną polaryzacją. W ten sposób dostajemy sześć parami przeciwbieżnych i przeciwnie spolaryzowanych wiązek laserowych, krzyżujących się wzdłuż trzech ortogonalnych kierunków (rys.6.). Wiązka przepychająca Wiązki górnego MOTa Rys.6. Wiązki w układzie chłodzącym. Wiązki dolnego MOTa 6

27 Częstotliwość wiązek laserowych dopasowana jest do linii D rubidu, a ściślej do przejścia 5 S 1/ F = 5 P 3/ F '= 3 (rys.4). Wiązki te nazywa się wiązkami pułapkującymi. Ze względu na ich funkcję chłodzącą ich częstotliwość odstrojona jest w dół od rezonansu o Γ/π, gdzie Γ to naturalna szerokość omawianego przejścia, wynosząca Γ = π 6 MHz. Aby możliwe było oddziaływanie wiązek pułapkujących z atomami, a w konsekwencji samo chłodzenie i pułapkowanie, atomy muszą znajdować się w stanie 5 S 1/ F = Tymczasem po absorpcji fotonu z wiązki pułapkującej, istnieje niezerowe prawdopodobieństwo, że nastąpi przejście atomu do stanu 5 P 3/ F '=. Ze stanu tego atomy podczas emisji przechodzą z największym prawdopodobieństwem do stanu 5 S 1/ F = 1. Po znalezieniu się w nim przestają oddziaływać z wiązkami pułapkującymi i chłodzenie staje się niemożliwe. Dlatego wiązki pułapkujące miesza się z tzw. wiązką repompującą, o częstotliwości dostrojonej do przejścia 5 S 1/ F = 1 5 P 3/ F '= (rys.4). Moc każdej z wiązek pompujących wynosi 40 mw, a wiązki repompującej 5 mw. Średnice wszystkich wiązek wynoszą 17 mm. Można by się zastanawiać, czy w przypadku przyjętego rozwiązania z odbijaniem wiązek nie ma miejsca sytuacja, w której odbita wiązka, ta która już przeszła przez chmurę atomów, nie jest dużo słabsza niż była pierwotnie. Jednak ze względu na moc wiązek i związane z tym wysycenie chmury, osłabienie to jest niewielkie, a kształt otrzymanej chmury i tak na tym etapie nie ma znaczenia. W skład górnego MOTa wchodzi również niezbędna para cewek, ustawionych odwrotnej konfiguracji Helmholtza i tworząca kwadrupolowe pole magnetyczne z zerem w miejscu krzyżowania się wiązek laserowych. Wytwarzane przez nie pole posiada osiowy gradient o wartości 1 G/cm. Dodatkowo górny MOT, obok wspomnianej już pary cewek, posiada jeszcze trzy cewki, (w tym dwie w ustawieniu Helmholtza), których zadaniem jest umożliwienie przesuwania zera pola magnetycznego w dwóch kierunkach. Ostatecznie w MOT 1 otrzymujemy chmurę o wymiarach 5-7 mm, składającą się 10 9 atomów o temperaturze około 500 µk i gęstości cm -1. w z 7

28 3..5. Transfer Jednocześnie z działaniem MOT 1 następuje przenoszenie schłodzonych w nim atomów do dolnej komory próżniowej, gdzie zostają przechwycone przez MOT. Odległość pomiędzy tymi pułapkami wynosi 415 mm i jest do właśnie dystans, jaki muszą przebyć atomy. Transferu dokonuje się kierując na chmurę chłodzonych w MOT 1 atomów wiązkę światła laserowego zwróconą w dół (rys.6 i 7). Wiązka ta, zwana wiązką przepychającą, działa na atomy dodatkową siłą i powoduje ich ruch w dół przez grafitową rurkę do dolnej komory próżniowej. Częstotliwość wiązki odstrojona jest od rezonansu ku czerwieni o Γ/π, a jej moc wynosi 4 mw. Przy takich bowiem parametrach wiązki stwierdziliśmy najlepszą efektywność transferu atomów. Dodatkowo wiązka ta jest pozbawiona domieszki repompującej. Dlatego po tym, jak atomy zostaną wypchnięte z pułapki, przepompowywane są do stanu 5 S 1/ F = 1 i przestają oddziaływać z wiązką przepychającą. Dzięki temu nie są dalej przyspieszane (podgrzewane), lecz raz wypchnięte kierują się przez grafitową rurkę do MOT. Zadaniem wiązki przepychającej jest wypchnięcie w dół atomów z górnego MOTa. Nie powinna ona już jednak wpływać na działanie MOTa dolnego. Aby to uniemożliwić, wiązce przepychającej nadaje się odpowiedni kształt (rys.7). Mianowicie zanim trafi ona na chmurę atomów w MOT 1, skupiana jest przez znajdującą się 15 cm powyżej soczewkę. Skupiona przez nią wiązka tworzy ognisko o szerokości 50 µm, 0,5 cm powyżej chmury atomów w MOT 1. Stąd natężenie wiązki przechodzącej przez chmurę jest znaczne i dlatego działa ona na atomy z dużą siłą. Po przejściu przez ognisko wiązka zaczyna się rozbiegać i 415 mm poniżej jej natężenie jest już ponad 6 tyś. razy mniejsze. Dlatego wpływ tej wiązki na MOT jest prawie niezauważalny. Warto jeszcze wspomnieć, że wiązka przepychająca nie przechodzi centralnie przez środek chmury atomów w górnym MOT cie (rys.7). Gdyby nie to, w MOT 1 nie było by atomów prawie w ogóle. Ustawieniu wiązki przepychającej przy którym transfer jest najbardziej efektywny znowu jest wynikiem prób doświadczalnych. 8

29 soczewka Rys.7. Znajdująca się nad MOT 1 soczewka ogniskuje wiązkę przepychającą tuż nad chmurą atomów i wybija je w dół. Nie przechodzi ona centralnie przez środek chmury. Rozbiegająca się wiązka ma zaniedbywalny wpływ na MOT. MOT 1 MOT MOT Dolny MOT to druga pułapka magneto-optyczna. Przepchnięte w dół atomy po przejściu przez grafitową rurkę są przez nią wychwytywane i chłodzone we wnętrzu kwarcowej komórki. Do realizacji pułapki używa się sześciu oddzielnych, parami przeciwbieżnych i przeciwnie kołowo spolaryzowanych wiązek, skierowanych wzdłuż trzech prostopadłych kierunków i przecinających się we wnętrzu komórki. Częstotliwość wiązek, podobnie jak w MOT 1, dopasowana jest do przejścia 5 S 1/ F = 5 P 3/ F '= 3 i odstrojona w dół od rezonansu o Γ. Jednak w odróżnieniu od sytuacji, z jaką mamy do czynienia w MOT 1, w tej pułapce każda wiązka jest niezależna, tzn. żadna z nich nie powstaje przez odbicie wiązki po przejściu przez chmurę chłodzonych atomów. Dzięki temu każda z wiązek pułapkujących ma taką samą moc. Ma to na celu wyeliminowanie wszelkich nieregularności pułapki, a przez to i odkształceń powstającej w niej chmury atomów. Jest to bardzo istotne, ponieważ od kształtu tej chmury zależy efektywność przeładowywania atomów do pułapki magnetycznej. Każda z wiązek pułapkujących ma średnicę 10 mm i moc 40 mw. Dodatkowo, zanim wiązka pułapkująca zostanie rozdzielona na sześć wiązek, mieszana jest z wiązką repompującą o mocy 80 mw. Przydział mocy wiązki repompującej dla każdej z wiązek pułapkujących nie jest równy, ale nie ma to większego znaczenia, gdyż szybkość repompowania jest bardzo duża i światło z tej wiązki nie zdąży nadać atomom znaczącego pędu. MOT zawiera również niezbędne do pułapkowania dwie cewki ustawione w odwrotnej konfiguracji Helmholtza, które wytwarzają kwadrupolowe pole magnetyczne z zerem w miejscu przecięcia się wiązek. Osiowy gradient tego pola wynosi 10 G/cm. Działanie obu pułapek magneto-optycznych oraz transfer atomów pomiędzy nimi odbywa się jednocześnie i trwa przez 40 sekund. Następnie MOT 1 i wiązka przepychająca są 9

30 wyłączane, kończąc tym samym dostarczanie atomów do MOT. W tym momencie w dolnym MOT cie przeciętnie znajduje się 10 9 atomów o temperaturze 500 µk i gęstości cm -3. W kolejnym kroku włączana jest dodatkowa cewka, znajdująca się pod komórką. Jej zadaniem jest przesunięcie środka MOT o 3 mm w dół, w miejsce, gdzie rozpocznie się pułapkowanie w pułapce magnetycznej. Następnie powiększane jest odstrojenia wiązek laserowych z Γ do 6 Γ (z 1 MHz do 36 MHz). Stan taki utrzymywany jest przez 3 ms i nazywany jest fazą zimego MOTa (Cold MOT). Ma to na celu zwiększenie gęstości fazowej chmury. Potem wyłączane jest pole magnetyczne dolnego MOTa. Tym samym wiązki laserowe przestają pułapkować atomy, a tworzą jedynie melasę optyczną. Faza melasy trwa przez 1 ms. W nieobecności pola magnetycznego ujawnia się efekt chłodzenia subdopplerowskiego chłodzenie z gradientem polaryzacji. Efekt ten prowadzi do schłodzenia atomów do temperatury 40 µk Pułapka magnetyczna Pułapka magnetyczna (MT) realizowana jest również we wnętrzu kwarcowej komórki. Wokół komórki jest bardzo mało miejsca, jako że musi tam znajdować się aparatura do wytworzenia zarówno pułapki magnetycznej jak i dolnej pułapki magneto-optycznej. Stąd wiele rozwiązań konstrukcyjnych obu pułapek jest wynikiem kompromisu pomiędzy chęcią wytworzenia silnego pola magnetycznego w kuwecie przy stosunkowo małym prądzie (MT), a umożliwieniem dostępu do komórki szerokich wiązek laserowych (MOT ). Zadaniem pułapki magnetycznej jest stworzenie harmonicznego potencjału z minimum w środku pułapki. Odpowiedzialny za to jest układ trzech identycznych stożkowych cewek, pokazany na kolejnym rysunku (rys.8). Rys.8. Układ trzech identycznych stożkowych cewek wytwarzających pole magnetyczne o potencjale harmonicznym oraz dwóch cewek wytwarzających pole offsetowe. Środkowa cewka stożkowa zwana jest cewką Joffego. Jak widać stożkowe cewki mają wzdłuż swoich osi otwory, którymi do MOT doprowadzane są wiązki laserowe. Oś z zwana jest osią pułapki magnetycznej. Rysunek wzięty z [8]. r z r 30

31 Dwie przeciwległe cewki w odwrotnej konfiguracji Helmholtza odpowiedzialne są za powstanie pola kwadrupolowego, zarówno w kierunku osiowym (oś środkowej cewki) jak i kierunku radialnym (każdym prostopadłym do kierunku osiowego). Pole kwadrupolowe w tych kierunkach ma postać jak na rys.9a. Ze wzoru (85) wynika, że siła działania takiego pola na moment magnetyczny będzie miała postać jak na rys.9b. Daje to potencjał o postaci przedstawionej na rys.9c. Niestety minimum potencjału przechodzi przez zero, niezależnie od momentu magnetycznego m F. Stwarza to możliwość odwrócenia momentu magnetycznego atomu przy jego przechodzeniu przez minimum potencjału (tzw. Majorana spin flips). Dlatego używa się trzeciej cewki, zwanej cewką Joffego. Wzdłuż osi z w pobliżu środka pułapki pole tej cewki jest praktycznie stałe (powoli maleje wraz z odległością od cewki), ale w kierunku radialnym wytwarza ona potencjał harmoniczny z minimum na osi z. Nałożenie się pól wszystkich trzech cewek skutkuje powstaniem potencjału przedstawionego na rys.9d. W pobliżu środka pułapki jest on harmoniczny w każdym kierunku - radialnym i osiowym. a) B b) F r r V c) d) V r r Rys.9. Wykresy podanych wielkości w zależności od odległości od środka pułapki (kierunek radialny i osiowy); a) indukcja magnetyczna B dwóch cewek w odwrotnym ustawieniu Helmholtza; b) działająca wtedy na atomy siła F; c) odczuwany przez atomy potencjał V; d) potencjał V przy włączonej trzeciej cewce Joffego. Użycie cewki Joffego powoduje bardzo duże rozsunięcie minimów dla różnych poziomów zeemanowskich, co również jest niekorzystne, bo utrudnia wymuszone odparowanie. Dlatego omawiana pułapka magnetyczna posiada dwie dodatkowe cewki, tzw. cewki offsetowe, ustawione w kierunku osiowym i wytwarzające w tym kierunku pole 31

32 jednorodne o zwrocie przeciwnym, niż pole wytwarzane przez cewkę Joffego. Skutkuje to przesunięciem minimów potencjału pułapki magnetycznej bliżej zera, ale i ściśnięciem potencjału w kierunku radialnym. Ostatecznie pole pułapki ma postać przedstawioną na poniższym rysunku (rys.10). Rys.10. Kształt pola magnetycznego powstającego ostatecznie w naszej pułapce. Przez środek rysunku w kierunku poziomym przechodzi oś pułapki. Jak widać wzdłuż osi pułapka jest znacznie szersza niż w kierunku radialnym. Rysunek wzięty z [8]. Potencjał harmoniczny pułapki opisuje się jednym parametrem, mianowicie częstością kołową potencjału ω. Przy natężeniu prądu w stożkowych cewkach równym 39 A, dla kierunku osiowego wynosi ona w naszej pułapce = π ( 1,07 ± 0,19 ) radialnego = π ( 137 ± 3) ω Hz. r ω Hz, a dla kierunku Kształt cewek podyktowany jest chęcią umieszczenia ich jak najbliżej kwarcowej komórki, przy zachowaniu dostępu dla wiązek laserowych. Jak widać na rys.31 cewki wzdłuż swojej osi posiadają otwór umożliwiający wiązkom wymagany dostęp. Dzięki takiemu rozwiązaniu w cewkach płynie nie za duży prąd o natężeniu A. Każda ze stożkowych cewek składa się ze 161 miedzianych zwojów o średnicy 1 mm. Są one chłodzone przez wodę opływającą miedziane przewody w wnętrzu obudów cewek. Taki sposób chłodzenia umożliwia odprowadzanie 500 W ciepła wytwarzającego się na każdej cewek. Zdjęcie na rys.11 przedstawia omawiane cewki już w obudowach. z 3

33 a) b) Rys.11. a) zdjęcia cewek stożkowych w obudowach, przez które płynie woda; b) zdjęcie tych samych cewek wraz z otaczającymi je pierścieniami, służącymi jako karkasy do nawijania cewek offsetowych. Położenie cewek offsetowych pokazane zostało na rys.8. Nawinięte są one na plastykowe pierścienie otaczające cewki stożkowe (rys.11). Każda z tych cewek składa się z 31 zwojów przewodu w postaci cienkiej miedzianej rurki o zewnętrznej średnicy 3 mm, a wewnętrznej mm. Wewnątrz nich przepływa woda odbierająca wydzielane przez przepływający prąd ciepło. Po włączeniu pułapki natężenie prądu płynącego przez cewki wzrasta stopniowo tak, że potencjał początkowo jest płytki i ma kształt bliski kształtowi chmury atomów, a następnie jego ściany stają się coraz bardziej strome. Dzięki takiemu dopasowaniu unika się strat i przeładowanie atomów z MOT do MT staje się bardzo wydajne. Początkowo pole wytwarzane przez pułapkę jest dużo słabsze niż ostateczne i dlatego w momencie włączenia pułapki minimum wypadkowego potencjału pola pułapki i pola grawitacyjnego znajduje się niżej, niż przy ostatecznym natężeniu prądu. To obniżenie wynosi właśnie około 3 mm, o które poprzednio przesunięty został środek dolnego MOTa. W skład układu pułapki magnetycznej wchodzą również prostokątne cewki kompensujące niepożądane zewnętrzne pole magnetyczne. 33

34 3..8. Przeładowanie Całe omówione wyżej oprzyrządowanie służy do wytworzenia odpowiedniego pola magnetycznego. Jednak nie będzie ono w stanie pułapkować atomów, jeżeli nie zostaną one wcześniej odpowiednio przygotowane. W naszym doświadczeniu wszystkie atomy rubidu pułapkowane są w stanie F = ; mf =. Aby się w nim znaleźć przechodzą przez następujące procesy. Po zakończeniu etapu melasy optycznej wyłączone zostają wiązki pułapkujące dolnego MOTa, przy jednocześnie dalej działającym repumperze. Powoduje to przerwanie oddziaływania atomów ze światłem i zapewnia, że wszystkie atomy znajdują się w stanie F =. W dalszym ciągu jednak wszystkie stany zeemanowskie obsadzone są równomiernie. Aby spolaryzować gaz do stanu F = ; mf = dokonuje się pompowania optycznego. Cewki kompensujące wytwarzają słabe pole magnetyczne, o kierunku osiowym i wartości około 1 Gs. W jego obecności następuje zniesienie degeneracji poziomów zeemanowskich. Następnie atomy zostają oświetlone krótki impulsem spolaryzowanego kołowo światła σ +, dostrojonego do przejścia 5 S 1/ F = 5 P 3/ F '=. Impuls ten jest na tyle słaby (3,4 mw/cm ) i na tyle krótki (1 ms), że nie powoduje podgrzania atomów. Przy założeniu, że wiązka repompująca nie została wcześniej wyłączona, skutkiem impulsu jest przepompowanie optyczne wszystkich atomów do stanu F = ; mf = poniższy rysunek (rys.1), jak pokazuje Rys.1. Przejścia następujące w wyniku pompowania optycznego. Wiązka pompująca jest wiązką kołowo spolaryzowaną σ +, dostrojoną do przejścia 5 S 1/ F = > 5 P 3/ F = >. Stan do którego przepompowywane są atomy jest stanem ciemnym. W wyniku niedostrojenia mogą z niego następować jedynie rzadkie przejścia (linia przerywana), przez co słabo oddziałuje z wiązką. Przez cały czas opisanemu procesowi towarzyszy wiązka repompująca. Rysunek wzięty z [9]. 34

35 W trakcie pompowania optycznego, atom pochłaniając foton z wiązki σ +, przechodzi do stanu wzbudzonego o m F o 1 większym, a następnie emitując kwant światła wraca do stanu podstawowego F = 1 lub F =. Jednak podczas emisji fotonu atom ma możliwość wrócić do stanu o m F o 1 większym, o 1 mniejszym lub równym temu, jakie było w stanie wzbudzonym, niekoniecznie do stanu, w jakim znajdował się pierwotnie. Ostatecznie więc średnio atomy będą przechodzić do stanów o coraz wyższym m F, aż wreszcie wszystkie znajdą się w stanie F = ; mf =. Ze względu na bardzo małe prawdopodobieństwo, że w stanie tym jakikolwiek foton z impulsu pompującego zostanie pochłonięty, stan ten jest stanem ciemnym, ponieważ nie oddziałuje ze światłem. Istnieje co prawda nikłe prawdopodobieństwo, że nastąpi przejście oznaczone na rys.1 linią przerywaną, ale po powrocie atom i tak znajdzie się z powrotem w stanie F = ; mf =. Około 0,5 ms po opisanym impulsie następuje wyłączenie wiązki repompującej. Kolejność wyłączenia jest bardzo istotna, ponieważ zależy od niej, w którym ze stanów nadsubtelnych F = 1 czy F = ostatecznie znajdą się atomy. Gdy atomy znajdują się już w pożądanym stanie F = ; mf = mogą być pułapkowane. Następuje więc ich przeładowanie. Włączone zostają cewki wytwarzające pole magnetyczne pułapki. Przez stopniowe zwiększanie wartości natężenia prądu głębokość pułapki jest adiabatycznie zwiększana. Dzięki temu gęstość chmury wzrasta, przy jednoczesnym zachowaniu objętości w przestrzeni fazowej. Po tej kompresji chmura atomów ma temperaturę T = 100 µk, gęstość n = 10 1 cm 3 i liczy około N = 10 8 atomów. Wydajność przeładowania wynosi zwykle około 70 % Odparowanie Ostatnim etapem prowadzącym do otrzymania BEC jest chłodzenie atomów przez tzw. wymuszone odparowanie. Dokonuje się go przy użyciu oscylującego pola magnetycznego RF o częstotliwości radiowej. Jest ono wytwarzane przez cewkę z dwoma zwojami, nawiniętą 1,5 cm od kwarcowej komórki i podłączoną do wzmacniacza dającego sygnał RF. Moc wytwarzanego promieniowania wynosi 6,4 W. Symetrycznie po drugiej stronie komórki znajduje się jeszcze jedna taka sama cewka, obciążona opornikiem 50 Ω. W wyniku indukcji wzajemnej pomiędzy tymi cewkami skutek jest taki, jakby wzmacniacz był obciążony opornikiem 50 Ω. 35

36 Częstotliwość otrzymanego promieniowania dopasowana jest do różnicy energii pomiędzy poziomami zeemanowskimi w miejscu, z którego chcielibyśmy atomy wyrzucić. W ciągu kolejnych 57 s maleje ona od 18 MHz do 0,7 MHz. Zależność częstotliwości pola RF od czasu jest tak dopasowana, by atomy w chmurze zdążały termalizować i nazywana jest rampą. W trakcie tego procesu maleje liczba atomów N w chmurze. Maleje również temperatura i wzrasta gęstość w przestrzeni fazowej. W pewnym momencie, gdy gęstość ta będzie odpowiednio duża, a długości fal de Broglie a atomów staną się porównywalne z rozmiarami próbki, zaczyna pojawiać się BEC. Rys.13. Zależność częstotliwości oscylującego pola magnetycznego od czasu (tzw. rampa). Jej kształt jest tak dobrany, aby podczas odparowania atomy w chmurze zdążyły termalizować. Częstotliwość pola maleje od 18 MHz do 0,7 MHz. 36

37 3.3. Układ laserowy Wszystkie potrzebne w doświadczeniu wiązki laserowe wytwarzane są przez dwa przestrajalne i stabilizowane lasery diodowe o mocy 1 W każdy. Pożądane odstrojenia częstości różnych wiązek uzyskiwane są dzięki modulatorom akusto-optycznym (AOM) Laser pułapkujacy Do pułapkowania służy nam laser diodowy o mocy 1 W i długości fali 780 nm, posiadający możliwość regulacji temperatury i natężenia prądu zasilania. Za stabilizowanie pracy lasera na wybranej częstotliwości odpowiedzialny jest układ, którego schemat przedstawiony jest na rys.14. f = 00mm f = -50mm f = 100mm solenoid AOM 1 PBS Rb Laser pułapkujący D Rys.14. Schemat układu stabilizacji lasera pułapkującego. Użyte na schemacie symbole oznaczają: D - detektor, λ/ półfalówka, λ/4 ćwierćfalówka, AOM modulator akusto-optyczny, Rb komórka z rubidem, PBS polaryzująca kostka światłodzieląca, f - soczewka. W układzie tym z lasera wyprowadzana jest wiązka próbna, przemiatająca wybrany zakres częstotliwości. Na pierwszej kostce światłodzielącej rozdzielana jest ona na wiązkę próbkującą (idącą dalej prosto) i wiązkę pompującą. Ta ostatnia przechodzi następnie przez AOM 1, który zwiększa jej częstotliwość o jedną z dwóch wybranych wartości ν = 86 lub 11,5 MHz. Po odbiciu w drodze powrotnej następuje ponowne zwiększenie częstotliwości o ν. Następnie wiązka pompująca kierowana jest do komórki z rubidem Rb. Pod wpływem wiązki następuje nasycenie przejść w komórce. Jednocześnie wiązka próbkująca po przebiegnięciu przez komórkę Rb wpada do detektora. W ten sposób uzyskiwany jest 37

38 sygnał spektroskopii nasyceniowej rubidu 87 Rb, przedstawiony na poniższym rysunku (rys.15. górna linia). W wybranym przez nas zakresie odpowiada on linii D, a ściślej przejściom ze stanu podstawowego 5 S 1/ F = do stanów wzbudzonych 5 P 3/ F ' = 1,, co1 - co13 co3-3 Rys.15. Górna linia - sygnał spektroskopii nasyceniowej rubidu 87 Rb linii D, odpowiadający przejściom ze stanu podstawowego F = do stanów wzbudzonych F = 1,,3. Linia jest nieco zniekształcona polem magnetycznym w solenoidzie. Dolna linia uzyskany metodą DFDL sygnał różnicowy górnej linii. Na skutek dokonywanej przez AOM 1 zmiany częstotliwości wiązki pompującej sygnał ten jest na wykresie częstotliwości przesunięty w prawo o ν. Oznacza to, że gdy aparatura wskazuje określoną częstotliwość, laser pracuje w rzeczywistości na częstotliwości wyższej o ν. Omawiany układ stabilizacji lasera wykorzystuje tzw. Doppler Free Dichroizm Lock (DFDL) [10]. Opis tej metody zawarty jest w załączniku Z.3. W naszym układzie laser stabilizowany jest w miejscu, gdzie sygnał spektroskopii odpowiada pikowi co13. Oznacza to, że częstotliwość lasera w zależności od nastawienia AOM 1, jest o 86 MHz lub 11,5 MHz wyższa niż częstotliwość odpowiadająca pikowi co13 (rys.16). Nastawienie AOM 1 zależy od etapu chłodzenia. Podczas pracy MOT 1 i w zwykłym trybie wynosi ono 11,5 MHz, natomiast w fazie zimnego MOTa i melasy optycznej 86 MHz. 38

39 66 MHz 157 MHz 1 MHz 133 MHz -1 co1 - co13 co MHz 11,5 MHz 80 MHz Γ/π = 1 MHz 86 MHz 80 MHz. 6Γ/π = 36 MHz Rys.16. Na górnej osi częstotliwości przedstawione są odległości pomiędzy pikami, natomiast na dolnej oznaczone zostały dokonywane przy pomocy AOM-ów zmiany oraz umiejscowione otrzymane w efekcie częstotliwości. Na czerwono oznaczone są możliwe częstotliwości lasera, natomiast na zielono częstotliwości wiązek pułapkujących w dolnym MOT cie na etapie pułapki magnto-optycznej i zimnego MOTa. 39

40 3.3.. Laser repompujący (repumper) Do repompowania służy laser diodowy o mocy 1 W i długości fali 780 nm, taki sam jak laser pułapkujący. Laser stabilizowany jest dzięki układowi którego schemat przedstawia rys.17. solenoid Rb D PBS Repumper Rys.17. Schemat układu stabilizacji laserarepompującego. Użyte na schemacie symbole oznaczają: D -detektor, λ/ półfalówka, λ/4 ćwierćfalówka, Rb komórka z rubidem, PBS polaryzująca kostka światłodzieląca. Podobnie jak poprzednio układ ten wykorzystuje metodę DFDL (nieco zmodyfikowaną). Jednak w tym przypadku częstotliwości wiązek nie są w żaden sposób zmieniane i laser pracuje dokładnie na częstotliwości wybranej na wykresie sygnału różnicowego. Rys.18 przedstawia sygnał różnicowy otrzymywany przez detektor. Rys.18. Wykres sygnału różnicowego repumpera. Laser lokowany jest na przecięciu oznaczonych osi. 40

41 Wiązki Laser pułapkujący nie służy jedynie do wytwarzania wiązek pułapkujących górnego i dolnego MOTa. Pochodzą z niego również wiązka przepychająca, wiązka do pompowania optycznego i wiązka obrazująca. Każda z nich charakteryzuje się inną mocą i odstrojeniem. Do otrzymania ich wszystkich służy układ optyczny przedstawiony na rys.19. tłumik f = 500mm światłowód Repumper PBS Shut CH f = 500mm A OM 5 Do obrazowania i przepychania D f = 500mm f = 150mm A OM 4 Shut 1CH3 f = 50mm Shut CH1 Do pompowania optycznego A OM PBS filtr światłowód f = 500mm A OM 3 PBS f = 00mm f = -50mm Do górnego MOTa f = 1000mm AO M 5 D f = 500mm f = 100mm Shut CH 4 f = 50mm f = 50mm Do górnego MOTa f = 500mm Laser pułapkujący tłumik Do dolnego MOTa Rys.19. Schemat części układu optycznego służącego do wytwarzania wiązek laserowych o wymaganej częstotliwości. Użyte symbole oznaczają: λ/ półfalówka, λ/4 ćwierćfalówka, AOM modulator akustooptyczny, PBS polaryzująca kostka światłodzieląca, f soczewka, Shut - przesłona. Główna wiązka wychodząca z lasera pułapkującego przechodzi początkowo przez przesłonę, której celem jest stworzenie możliwości powstrzymania dalszego biegu wiązki. Przed przesłoną znajduje się soczewka ogniskująca wiązkę na wysokości przesłony, dzięki czemu wiązka przy jej zamknięciu może zostać odcięta w bardzo krótkim czasie. Następnie wiązka przechodząc przez kolejne kostki światło dzielące, rozdzielana jest na wiązki: pułapkującą do MOT 1, pułapkującą do MOT, do pompowania optycznego, 41

42 przepychającą i obrazującą. Każda z kostek poprzedzona jest półfalówką. Od jej ustawienia zależny jest podział natężenia wiązki przypadający na polaryzację pionową i poziomą. Tym samym reguluje ona podział wiązki na kostce światłodzielącej. Na pierwszej kostce światłodzielącej oddzielona zostaje wiązka, która posłuży do utworzenia wiązek MOT 1. Przechodzi ona przez AOM 3, gdzie zostaje odstrojona o 80 MHz (rys.16). Następnie przez układ lusterek kierowana jest na górną część stołu optycznego (rys.0). Tam zostaje rozdzielona na trzy wiązki. Jedna z nich mieszana jest z wiązką repumpera. Następnie wszystkie wiązki zostają skierowane w stronę górnej komory próżniowej, przechodząc wcześniej jeszcze przez ćwierćfalówki zmieniające ich polaryzację z liniowej na kołową. PBS f = 500mm Do obrazowania f = 500mm f = -5mm Do przepychania Shut 1CH1 Shut 1CH MOT 1 repumper f = 50mm polaryzator Rys.0. Schemat układu w górnej części stołu optycznego. Wiązka pułapkująca zostaje zmieszana z wiązką repumpera a następnie rozdzielona na trzy wiązki i skierowana do MOT 1. Użyte symbole oznaczają: λ/ półfalówka, λ/4 ćwierćfalówka, PBS polaryzująca kostka światłodzieląca, f soczewka, Shut - przesłona. 4

43 Główna wiązka biegnie dalej (rys.19) i na kolejnej kostce światłodzielącej oddzielona zostaje wiązka służąca do wytworzenia wiązek MOT. Przechodzi ona przez AOM, gdzie zostaje odstrojona o 80 MHz (rys.16), a następnie zostaje wprowadzona do światłowodu jednomodowego, zachowującego polaryzację. Ma to na celu nadanie wiązce przekroju gaussowskiego. Jest to konieczne, aby pułapkowana przez tą wiązkę w MOT chmura atomów miała pożądany regularny kształt. Następnie wyprowadzona ze światłowodu wiązka zostaje zmieszana z wiązką repumpera i skierowana na sąsiednią część stołu optycznego. Tam na kostkach światłodzielących zostaje rozdzielona na sześć oddzielnych wiązek, które służą do pułapkowania w MOT. (rys.1). wiązka do pompowania optycznego góra skos dół skos MOT poziomo góra skos dół skos PBS Rys.1. Schemat układu na drugiej części stołu optycznego. Wiązka zostaje rozdzielona na sześć identycznych wiązek, które następnie zostają skierowane do MOT. Droga jednej z wiązek pułapkujących częściowo pokrywa się z torem wiązki służącej do pompowania optycznego. Użyte symbole oznaczają: PBS polaryzująca kostka światłodzieląca, λ/ półfalówka, λ/4 ćwierćfalówka Na kolejnej kostce oddzielona zostaje z głównej wiązki wiązka, która posłuży do pompowania optycznego (rys.19). Przechodzi ona przez AOM 4, który zmniejsza jej częstotliwość o 139 MHz, dostrajając ją tym samym do częstotliwości przejścia -. 43

44 Pozostała część głównej wiązki przechodzi przez AOM 5 (rys.19). W zależności od tego, do czego używana jest akurat wiązka, zwiększa on jej częstotliwość o 80 MHz, gdy będzie to wiązka przepychająca, lub o 9 MHz, gdy ma to być wiązka obrazująca (rys.16). Jak nietrudno zauważyć wiązka obrazująca jest w rezonansie z przejściem -3. Następnie omawiana wiązka kierowana jest przy pomocy światłowodu prowadzącego ją na górną część stołu optycznego. Wiązka repumpera po wyjściu z lasera rozdzielana jest na dwie. Jedna z nich kierowana jest na górną część stołu optycznego i tam mieszana jest z wiązką pułapkującą górnego MOTa, jak to widać na rys.1. Druga wiązka mieszana jest z wiązką pułapkującą dolnego MOTa po tym, jak wyjdzie ona ze światłowodu (rys.19) Przebieg eksperymentu MOT zimny MOT melasa pompowanie optyczne pułapka magnetyczna 40 s 3 ms 1 ms ms 57 s obrazowanie laser chłodzący -3 laser repompujący 1- pompowanie opt. - obrazowanie -3 odstrojenie częstości lasera pułapkującego -1 MHz -36 MHz pole kwadrupolowe MOT pole jednorodne pompowania optycznego pole przesuwające MOT pole offsetowe pole pułapki magnetycznej 18 MHz odparowanie 700 khz Rys.. Przebieg czasowy eksperymentu (oś czasu nie jest liniowa). Na kolejnych poziomach rysunku przedstawione są: okresy działania lasera pułapkującego i repumpera, odstrojenie lasera pułapkującego, pola magnetyczne MOT, pola magnetyczne pułapki magnetycznej, częstość pola RF podczas odparowania. 44

45 3.5. Obrazowanie Układ obrazujący W naszym doświadczeniu chmura jest obrazowana przy pomocy spolaryzowanej kołowo wiązki dostrojonej do przejścia -3 [11]. Oddzielona wcześniej na górnym stole wiązka obrazująca zostaje najpierw poszerzona, a następnie wyregulowana przy użyciu przesłony (rys.3). Ma to na celu uzyskanie w przybliżeniu jednorodnego przekroju natężenia wiązki. Rys.3. Schemat układu do obrazowania wyniku kondensacji. Wiązka po wyjściu ze światłowodu jest poszerzana, a następnie regulowana przy użyciu przesłony. W kolejnym kroku ćwierćfalówka zmienia jej polaryzację na kołową. Wiązka pada na chmurę atomów, przez którą jest rozpraszana. W efekcie za komórką dostajemy cień chmury, zawierający informację o gęstości atomów. Przy użyciu układu złożonego z dwóch soczewek na kamerze CCD otrzymywany jest ostry obraz chmury atomów w dwukrotnym powiększeniu. Dalej wiązka przechodzi przez ćwierćfalówkę, nadającą jej kołową polaryzację, a następnie wpada do komórki, gdzie jest częściowo rozpraszana przez znajdujące się w niej atomy. Tym samym wiązka za komórką zawiera pewną informację o rozkładzie gęstości atomów w chmurze, ponieważ im głębszy cień za komórką, tym większa musiała być gęstość atomów. 45

46 Następnie wiązka przechodzi przez układ dwóch soczewek skupiających, odpowiedzialnych za powiększenie obrazu, a następnie rzutowana jest na kamerę CCD. (Powiększenie obrazu wynosi, i zostało wyznaczone na podstawie obserwacji swobodnego spadku chmury zimnych atomów w polu grawitacyjnym.) W ten sposób otrzymywane jest cyfrowe zdjęcie, które może zostać poddane komputerowej obróbce. Przykład takiego zdjęcia przedstawiony jest poniżej (rys.4). Rys.4. Zdjęcie kondensatu wykonane przy pomocy światła rezonansowego. Zimne kolory oznaczają głęboki cień, co oznacza dużą gęstość optyczną chmury. Należy bezwzględnie zaznaczyć, że samo zastosowanie omówionej metody obserwacji kondensatu powoduje jego zniszczenie. Światło rezonansowe padające na atomy w kondensacie wzbudza je, co prowadzi do zmiany ich stanu, a w konsekwencji do wyrzucenia z kondensatu. Dlatego w tym wypadku kondensat może być zaobserwowany tylko raz, a jakiekolwiek serie zdjęć wykonywane są na różnych kondensatach, o których możemy powiedzieć, że są takie same. Istnieją jednak metody nieinwazyjnego obserwowania kondensatu, np. tzw. obrazowanie za pomocą kontrastu fazowego i kontrastu polaryzacji [1-18] Swobodna ekspansja i swobodny spadek Obserwacja kondensatu nie następuje w monecie, gdy znajduje się on w pułapce magnetycznej, lecz po pewnym czasie t od jej nagłego wyłączenia. W naszym przypadku czas ten wynosi zazwyczaj t = 15 ms. Następuje wtedy swobodna ekspansja kondensatu, 46

47 a towarzyszy temu jednoczesny swobodny spadek w polu grawitacyjnym, jednak nie ma on wpływu na samą ekspansję. To, że zdjęcie wykonywane jest dopiero po t = 15 ms swobodnej ekspansji wymuszone jest dużą gęstością początkowego produktu kondensacji. Wykonane na początku zdjęcie nie dostarczałoby żadnej informacji na temat gęstości przestrzennej, a byłoby jedynie głębokim cieniem w wiązce obrazującej. Dodatkowo, duża gęstość przyczynia się do silnych efektów nieliniowych, a przez to do fałszowania wyników pomiarów. Tymczasem wykonanie zdjęcia po pewnym czasie pozwala na osiągnięcie wystarczająco niskiej do obserwacji gęstości kondensatu. Impuls światła rezonansowego, za pomocą którego wykonuje się zdjęcie trwa 150 µs. Gdyby rzeczywiste wykonywanie zdjęcia trwało tak długo, byłoby ono rozmazane (poruszone), ponieważ jednocześnie cały kondensat spada w polu grawitacyjnym. Tak jednak się nie dzieje. Atomy podczas obrazowania pochłaniają fotony z wiązki i przejmują tym samym ich pęd. Po pewnej liczbie takich aktów absorpcji atomy uzyskują na tyle dużą prędkość, że w wyniku efektu Dopplera przestają oddziaływać z wiązką obrazującą. Oszacujmy jak długo atomy będą oddziaływać ze światłem lasera. Ponieważ czas przebywania w stanie wzbudzonym τ można przyjąć jako średni czas życia w tym stanie, więc 1 τ =, (40) Γ gdzie Γ jest całkowitą szerokością połówkową linii przejścia -3 równą Γ = π 6MHz. Wiązka obrazująca jest na tyle silna, że atomy w chmurze nieustannie pochłaniają i emitują fotony, znajdując się średnio tak samo długo w stanie wzbudzonym jak w stanie podstawowym. W takim razie czas jednego cyklu absorpcji i emisji to τ, a całkowity czas oddziaływania atomu ze światłem lasera wyniesie t c = τ l, (41) gdzie l to liczba koniecznych do zaabsorbowania fotonów przed ustaniem oddziaływania. Aby ono nastąpiło, odstrojenie widzianej przez atom częstotliwości wiązki od częstotliwości rezonansowej musi być równe co najmniej połowie szerokości linii, czyli = ( Γ / π) / Skutkiem efektu Dopplera jest odstrojenie wyrażające się wzorem ν. v v ν = ν =, (4) c λ 47

48 gdzie v jest prędkością atomu, a λ to długość fali lasera. Konieczna do uzyskania prędkość wyniesie v = λ ν, a konieczny pęd p = m v = mλ ν, gdzie m to masa atomu. W takim razie liczba aktów absorpcji fotonów przez atom wyniesie l = p p f = mλ ν hk = mλ ν. (43) h Ostatecznie z (41), (4) i (43) czas t c po jakim atom przestanie oddziaływać z wiązką mλ ν mλ t c = τ =. (44) h πh Dla rozważanego przypadku wynosi on t = 1µs, czyli jest znacznie krótszy od czasu c naświetlania. Tłumaczy to brak dużego rozmycia, jednak jest przyczyną błędu systematycznego, którego nie można zaniedbać. 48

49 4. Wyniki pomiarów Rozdział ten zawiera wyniki czterech rodzajów pomiarów: 1. Pomiar frakcji kondensatu w zależności od temperatury. Pomiar zależności AR od czasu ekspansji, dla dużych kondensatów 3. Pomiar zależności AR od liczby atomów w czystym kondensacie 4. Pomiar zależności AR od frakcji kondensatu 4.1. Frakcja skondensowanych atomów w zależności od temperatury Pomiar ten ma na celu odtworzenie krzywej opisującej frakcję skondensowanych cząstek w zależności od temperatury. W szczególności chodzi o potwierdzenie odstępstwa wyników pomiarów od krzywej opisującej frakcję nieoddziałujących cząstek (rys.1 linia przerywano-kropkowana) i wskazanie, że model Hertree-Focka i przybliżenie Thomasa- Fermiego dla oddziałujących atomów jest bliższe prawdy (rys.). Aby odtworzyć wspomniany wykres potrzebna jest seria pomiarów, w których zmierzone zostaną parametry chłodzonej chmury atomów, takie jak: - liczba atomów w kondensacie N 0 - liczba wszystkich atomów w chmurze N = N 0 + N t - temperatura chmury atomów Pomiar tych parametrów realizowany jest w jednej procedurze, omówionej poniżej. Źródłem wszystkich informacji o produkcie kondensacji jest otrzymane zdjęcie, ponieważ obrazuje ono rozkład natężenia rozproszonej przez kondensat wiązki lasera, a przez to i rozkład gęstości samego kondensatu. Podstawą do określenia gęstości atomów w obserwowanej chmurze jest prawo Lamberta-Beera [19]. Ponieważ wielkość absorpcji promieniowania rozchodzącego się wzdłuż osi x jest proporcjonalna do grubości warstwy dx, gęstości jąder rozpraszania n (gęstości atomów w chmurze) oraz natężenia promieniowania I, więc di = Iσ 0 n, (45) dx 49

50 gdzie σ 0 jest współczynnikiem absorpcji w rezonansie. Rozwiązanie równania (45) prowadzi do wzoru gdzie ( y z) I f ln = σ 0~ n I i ( y, z), (46) I f, jest rozkładem natężenia światła po przejściu przez chmurę, I i jest wartością natężenia światła przed chmurą, a n ( y, z) ~ jest rozkładem gęstości kolumnowej chmury, czyli ( y, z) = n( x, y, z)dx Pozornie wystarczy więc znać rozkład ( y z) n ~. (47) I f, i wartość i I, aby określić n ( y, z) ~. Do tego zaś wystarczyłoby jedno zdjęcie wiązki za obrazowaną chmurą. To jednak za mało, ponieważ sama wiązka nie ma do końca jednorodnego rozkładu natężenia, a kamera CCD nawet nienaświetlana daje na wyjściu jakiś sygnał. Dlatego w celu dokonania każdego jednego pomiaru wykonuje się kolejno trzy zdjęcia. Najpierw zdjęcie obserwowanej chmury, co daje rozkład natężenia ( y z) I f,, następnie zdjęcie samej wiązki bez rozpraszającego przejścia przez chmurę, co daje rozkład ( y z) obrazującej, co daje rozkład ( y z) I i,, a na końcu zdjęcie przy wyłączonej wiązce I d,. Aby uzyskać rozkład kolumnowej gęstości chmury obserwowanego kondensatu od każdego z rozkładów natężenia I f ( y, z) i I i ( y, z) odejmujemy natężenie ( y z) I d,, a następnie dzielimy je przez siebie. Otrzymujemy tym samym ( I I ) f d ln = σ 0~ n ( I I ) i d ( y, z). (48) Powyższy wynik stanowi punkt wyjścia do wyciągania dalszych wniosków, przede n ~ y, z, a przez to i zwykłej gęstości wszystkim do określenia rozkładu gęstości kolumnowej ( ) chmury n ( x y, z),. Po wykonaniu trzech niezbędnych w każdym pomiarze zdjęć otrzymywany jest n ~ y, z. Wiadomo, że część z występujących w tym rozkład gęstości kolumnowej chmury ( ) rozkładzie atomów znajduje się w stanie skondensowanym, a część w chmurze termicznej. W takim razie otrzymany rozkład jest nałożeniem rozkładu kolumnowej gęstości atomów w jednym i drugim stanie n~ y, z = n~ y, z + n~ y z. (49) ( ) ( ) ( ) c t, 50

51 Znając przewidywaną postać kolumnowej gęstości atomów w kondensacie n c ( y, z) i w chmurze termicznej n t ( y, z) ~ można określić parametry kondensatu i chmury. Kształt profilu gęstości opisującego skondensowane atomy zależy od ich liczby. Dla niewielkiej liczby atomów jest to profil gaussowski, a dla dużej liczby profil Thomasa- Fermiego (TF). Dla chmury termicznej natomiast zawsze jest to profil gaussowski. Przewidywania te jednak dotyczą zwykłej gęstości chmury n ( x y, z) ~,. Tymczasem na podstawie pomiarów otrzymujemy nie zwykłą gęstość chmury, lecz jej gęstość kolumnową n ~ y, z. Dlatego znając przewidywaną postać zwykłej gęstości, wyprowadza się ( ) odpowiadającą jej postać gęstości kolumnowej, a następnie z tą właśnie funkcją porównuje się wyniki pomiarów. ( x, y, z) n ( x, y, z) + n ( x, y z) n = c t, (50) n( x, y, z) dx nc ( x y z) dx + nt ( x y z)dx,,, (51) n~ y, z = n~ y, z + n~ y z (5) ( ) ( ) ( ) c t, Profilowi TF odpowiada funkcja 3 / ~ ( ) = ~ y yc z zc n c ( y, z) nc 0 max 0, 1, (53) Ry Rz natomiast profilowi Gaussa odpowiada funkcja gdzie n ~ ( 0) i ~ ( 0) c t ~ ( ) = ~ 1 y yc 1 z zc n t ( y, z) nt 0 exp, (54) σ y σ z n są kolejno maksymalnymi gęstościami kolumnowymi dla kondensatu i chmury termicznej. Z dopasowania złożenia funkcji (53) i (54) do wyniku pomiaru n ( y, z) otrzymujemy następujące parametry: y c i z c położenie środka chmury, R y i R z promienie TF w kierunku radialnym i osiowym, σ y i σ z rozmiary chmury termicznej w kierunku ~ 0 n ~ 0 [19]. radialnym i osiowym oraz wartości n ( ) i ( ) c t ~ 51

52 Rys.5. Przykład dopasowania złożenia funkcji (53) i (54) do wyniku pomiaru kondensatu z chmurą termiczną. Rycina po lewej przedstawia zmodyfikowany na podstawie (48) wynik trzech zdjęć, a pozostałe dwie ryciny pokazują jakość dopasowania otrzymanej funkcji na przykładzie przekroju osiowego i poprzecznego. Na ich podstawie widać, że wnętrze chmury opisywane jest zmodyfikowanym profilem TF (53), natomiast jej krańce profilem Gaussa (54). Na osi pionowej odłożona jest gęstość optyczna (OD*1000), a na pionowej rozmiar obrazu otrzymywanego na kamerze CCD. Rys.5 obrazuje przykład omówionego dopasowania. Wnętrze chmury, na które składa się głównie kondensat, dość dobrze przybliżane jest zmodyfikowanym profilem TF (53). Jednocześnie brzegi (skrzydła) chmury, na którą składa się głównie chmura termiczna, dobrze przybliża profil Gaussa (54). W omawianym doświadczeniu niezbędne jest określenie liczby atomów w kondensacie N 0 i w chmurze termicznej podstawie wyznaczonych wartości parametrów N t. Poniższe wzory określają te liczby na 8 N 0 = n~ c ( y, z) dydz = π nc ( 0) Rz Ry, (55) 15 t ( y, z) dydz ( π) 3 / n ( 0) σ ( 0) σ ( 0) n ~ t t z y N = =. (56) Dodatkowo na podstawie parametrów chmury termicznej określana jest temperatura całej chmury (w tym kondensatu) 3 1 kbt = m ωz σ z + ωyσ y. (57) Ten sposób pomiaru temperatury wprowadza jednak pewne ograniczenie. Ponieważ jest on dokonywany na podstawie części termicznej chmury, musi być ona wyraźnie widoczna. 5

53 Tymczasem dla dużych frakcji kondensatu jest ona zbyt mała i pomiar temperatury staje się niemożliwy. W naszych doświadczeniach taką graniczną wartością frakcji, przy której można jeszcze dokonać opisanego pomiaru, jest frakcja N 0 /N = 0,6. Dla małych kondensatów opisana metoda dopasowania pozostaje skuteczna. Mimo, że niewielki kondensat, podobnie jak chmura termiczna, opisany jest profilem Gaussa, to można go od niej odróżnić, ponieważ profil kondensatu jest dużo węższy, a sam kondensat jest znacznie gęstszy niż chmura. Rysunek rys.6 przedstawia wyniki wykonanych przez nas pomiarów zależności frakcji skondensowanych atomów od temperatury. Rys.6. Wyniki 160 pomiarów zależności frakcji kondensatu N 0 /N od temperatury T/T c ze współczynnikiem rozszerzenia niepewności k=. Punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane jest to ograniczeniem pomiaru temperatury na podstawie chmury termicznej. Linia ciągła obrazuje zależność przewidywaną dla przypadku nieoddziałujących atomów (1), natomiast linia przerywana dla oddziałujących atomów w modelu Hartree-Focka i przybliżeniu Thomasa-Fermiego (4) dla parametru η=0,387. Jak widać punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane jest to opisanym wcześniej ograniczeniem pomiaru temperatury. Trudność w mierzeniu temperatury wpływa również na niewielką liczbę pomiarów przy dużej frakcji, a to skutkuje dużymi wartościami niepewności (rys.7). Rysunek rys.7 przedstawia uśrednienie otrzymanych wyników. Linia ciągła obrazuje przewidywaną zależność dla przypadku nieoddziałujących atomów (1). Natomiast linia 53

54 przerywana obrazuje zależność (4) dla oddziałujących atomów w modelu Hartree-Focka i przybliżeniu Thomasa-Fermiego. Widać stąd, że oddziaływanie pomiędzy atomami rzeczywiście obniża frakcję kondensatu, choć nie do końca w sposób opisany przez (4). To, że na wykresie wyniki pomiarów zostały porównane z zależnością (4) a nie z dokładniejszą zależnością () wynika z tego, że są to tylko jedne z wielu przybliżeń, natomiast zależność (4) jest dla nich wszystkich najbardziej w lewo wysuniętą granicą. Rys.7. Uśrednione wyniki pomiarów zależności frakcji kondensatu N 0 /N od temperatury T/T c ze współczynnikiem rozszerzenia niepewności k=. Punkty pomiarowe kończą się dla frakcji 0,6. Spowodowane jest to ograniczeniem pomiaru temperatury na podstawie chmury termicznej. Linia ciągła obrazuje zależność przewidywaną dla przypadku nieoddziałujących atomów (1), natomiast linia przerywana dla oddziałujących atomów w modelu Hartree-Focka i przybliżeniu Thomasa-Fermiego (4) dla parametru η=0, Zależność AR od czasu dla dużych kondensatów Przy badaniu właściwości kondensatu w osiowych pułapkach magnetycznych bardzo często wyznaczanym parametrem jest aspect ratio (AR), czyli stosunek promieni profilu Thomasa-Fermiego w kierunku poprzecznym R y i osiowym R z Ry AR =. (58) R Każdy proces wewnętrzny zachodzący w kondensacie i każda jego własność odbija się w jakiś sposób na dynamice kondensatu. Ta natomiast wpływa na jego rozmiary, kształt, z 54

55 oscylacje czy tempo ekspansji. Dlatego badanie zależności AR od rozmaitych czynników jest sposobem na wniknięcie w to, co dzieje się w głębi kondensatu. Przykładem takiego doświadczenia jest badanie, jak z czasem będzie ewoluować kondensat po wypuszczeniu go z pułapki magnetycznej. Jeżeli pułapka, w której pierwotnie kondensat się znajdował, jest stabilna, to nie będzie on podlegał żadnym oscylacjom, a po wyłączeniu pola pułapki nastąpi jego swobodna ekspansja. Przedstawiona poniżej seria zdjęć spadającego w polu grawitacyjnym kondensatu, obrazuje jego właściwości. Rys.8. Seria sześciu zdjęć kondensatu spadającego w polu grawitacyjnym Ziemi. Każde kolejne zdjęcie zostało wykonane po dłuższym od poprzedniego czasie t po wypuszczeniu kondensatu z pułapki. Kondensat, który pierwotnie był wydłużony w kierunku poziomym, w czasie ekspansji zmienił kształt i po pewnym czasie był już wydłużony w kierunku pionowym. 55

56 Stosowana przez nas osiowa pułapka magnetyczna nadaje kondensatowi wydłużony kształt cygara w kierunku poziomym. Dlatego też krótko po wypuszczeniu kondensatu z pułapki ma on właśnie taki kształt (rys.8 z lewej). Z czasem następuje jego ekspansja i przybranie kształtu kulistego. Nie ma w tym nic dziwnego, ponieważ tak właśnie zachowałaby się chmura termicznego gazu doskonałego. Dążyłaby ona do kształtu kuli, ponieważ ekspandowałaby tak samo w każdym kierunku i ostatecznie początkowy kształt nie miałby żadnego znaczenia. Inaczej dzieje się w przypadku kondensatu. Jak widać na rys.8 po prawej stronie, zaczyna się on wydłużać w kierunku pionowym. Za takie wydłużenie z pewnością nie jest odpowiedzialny kierunek spadania w polu grawitacyjnym. Gdyby odwrócić pułapkę tak, żeby powstający kondensat był początkowo wydłużony w kierunku pionowym, to w trakcie ekspansji przybrałby kształt wydłużony w poziomie. Można się zastanowić, skąd bierze się ta różnica w porównaniu ze zwykłym gazem. Otóż ma ona źródło m.in. w tym, że kondensat to obiekt kwantowy. Z tym natomiast wiąże się możliwość obserwowania zasady nieoznaczoności Heisenberga. h x p (59) 4 Kondensat, który początkowo miał kształt wydłużony w poziomie, ma w kierunku większą nieoznaczoność położenia x niż w pionie. W takim razie w kierunku pionowym musi mieć większą niż w poziomie nieoznaczoność pędu p. Jeżeli przyjąć, że atomy w kondensacie nie poruszały prawie wcale, to większa nieoznaczoność pędu skutkuje tym, że średnio w kierunku pionowym poruszały się szybciej niż w kierunku poziomym. To natomiast bezpośrednio, jak widać, wpłynęło na ekspansję. Zasada nieoznaczoności Heisenberga ma przeważające znaczenie w wyjaśnieniu opisywanego zjawiska w przypadku niewielkich kondensatów, w których zaniedbać można energię oddziaływania pomiędzy atomami (przybliżenie gaussowskie). Natomiast w przypadku dużych kondensatów oddziaływania wewnętrzne mają równie duży wpływ na sposób ekspansji jak zasada nieoznaczoności. Stosując do takiego kondensatu przybliżenie Thomasa-Fermiego oraz podejście hydrodynamiczne można dostać zależność AR kondensatu od czasu t swobodnej ekspansji [0]. Zależność tą przedstawia poniższy wzór gdzie. AR ( t) = ε 1+ ε 1+ ( ω t) ( ω t) ln 1 ( ω t) ωrt arctan r + r r, (60) 56

57 Przeprowadziliśmy pomiary AR dla dużych kondensatów (min. 80 tyś. atomów), aby sprawdzić zasadność stosowanych w [0] przybliżeń i założeń dotyczących wewnętrznych oddziaływań. Rys.9 przedstawia otrzymane przez nas wyniki. Rys.9. Wyniki pomiaru zależności AR od czasu ekspansji t kondensatu. Linia czerwona obrazuje zachowanie AR dla gazu doskonałego (dążącego do AR=1 linia przerywana), natomiast linia czarna obrazuje przewidzianą dla kondensatu zależność (60) [0]. Dość znaczna rozbieżność pomiarów od tej zależności dla małych czasów, prawdopodobnie spowodowana jest dużą gęstością kondensatu i związanymi z tym efektami nieliniowymi i całkowitą nieprzezroczystością. Każdy punkt pomiarowy odpowiada serii co najmniej 10 pomiarów, a zaznaczone niepewności rozszerzone są o czynnik k=. Coraz większe wartości niepewności związane są z coraz większym rozmyciem na skutek opadania kondensatu. Na wykresie linia czerwona obrazuje zachowanie AR dla nieoddziałującego gazu AR = ωz t 1+ ωzt ) [1]. Jak widać AR dąży wtedy do wartości 1 doskonałego ( ( ) (linia przerywana). Natomiast czarna linia obrazuje przewidywaną dla kondensatu zależność (60). Dla czasów ekspansji t większych od 15 ms, widać jej zgodność z otrzymanymi przez nas pomiarami. Natomiast brak tej zgodności dla krótszych czasów prawdopodobnie spowodowany jest zbyt dużą gęstością kondensatu. Przyczynia się ona bowiem do zaistnienia procesów nieliniowych w oddziaływaniu z wiązką obrazującą (np. do samo ogniskowania), a nawet całkowitej nieprzezroczystości chmury. Skutkiem tego wyniki pomiarów mogą być przekłamane. Jednocześnie coraz większe niepewności pomiarowe dla dłuższych czasów ekspansji związane są z rozmyciem obrazu na skutek coraz szybszego opadania kondensatu. 57

58 Na podstawie wyników przeprowadzonego doświadczenia można stwierdzić, że zależność AR od czasu ekspansji t (60), wyprowadzona przy założeniu przybliżenia Thomasa-Fermiego, jest słuszna dla dużych kondensatów, co jednocześnie wskazuje na poprawność stosowania tegoż przybliżenia do kondensatów o dużej liczbie atomów Zależność AR od liczby atomów w kondensacie Jak widać z (60), przewidywania teorii [0], stosującej do czystego kondensatu podejście hydrodynamiczne i przybliżenie Thomasa-Fermiego są takie, że AR kondensatu po danym czasie t swobodnej ekspansji nie powinno zależeć od liczby atomów N 0 w kondensacie. Przeprowadziliśmy więc kolejne pomiary, tym razem tylko dla t = 15 ms, mające na celu potwierdzenie lub obalenie tych przewidywań. Rys.30 przedstawia otrzymane przez nas wyniki. Rys.30. Wynik pomiaru zależności AR od liczby atomów N 0 w czystym kondensacie. Czerwona linia przedstawia przewidywania wprost z równania Grossa-Pitajewskiego. Krzyżyki określają położenia punktów pomiarowych, uzyskanych przez uśrednienie 00 pojedynczych pomiarów. Współczynnik rozszerzenia niepewności wynosi k=1. Gdyby AR nie zależało od N 0, punkty pomiarowe powinny układać się wzdłuż poziomej prostej, dla której odczyt z rys.9 dałby wartość bliską AR = 1,05. Widać jednak, że jest zupełnie inaczej. Dla małych kondensatów zależność AR od liczby atomów N 0 jest 58

59 bardzo silna i maleje wraz ze wzrostem N 0. Najprawdopodobniej ta rozbieżność w porównaniu z przewidywaniami [0] spowodowana jest zastosowaniem w nich przybliżenia TF, zakładającego dużą liczbę atomów N 0. Jednocześnie przewidywania wyprowadzone przez Janka Chwedeńczuka z Instytutu Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, wprost z numerycznego rozwiązania równania Grossa- Pitajewskiego (czerwona linia na rys.30) znakomicie zgadzają się ilościowo z otrzymanymi przez nas wynikami. Stąd wnioskujemy, że rzeczywiście przybliżenie TF słuszne jest jedynie dla dużych kondensatów. Dodatkowo z tak znakomitej bezwzględnej zgodności wnioskujemy o poprawności naszej metody określania liczby atomów w kondensacie. Przeprowadzony pomiar okazał się dla nas pouczający również z innego powodu. Mianowicie na rys.31 widać, że dla liczby atomów większej niż 40 tyś. wykres AR od N 0 jest już dość płaski, co sygnalizuje, że dla takiej liczby atomów stosunkowo dobrym przybliżeniem jest przybliżenie TF, dla którego zależność ta powinna być płaska. Dlatego podczas dopasowywania profilu gęstości dla kondensatów o wspomnianej liczbie N 0 stosowaliśmy profil TF, co dało dobre rezultaty (rys.30). Jednocześnie zastosowanie do mniejszych kondensatów profilu TF nie daje dobrych wyników, w odróżnieniu od zastosowania profilu Gaussa (rys.31) Rys.31. Porównanie wyników dopasowania dla małych kondensatów, przy użyciu profilu Gaussa (puste kółka) i profilu TF (wypełnione kółka). Widać, że zastosowanie profilu Gaussa daje lepsze rezultaty. 59

60 Rzeczywiście, jeśli podczas dopasowywania profili gęstości, dla kondensatów o liczbie atomów N 0 większej od 40 tyś. założyć profil TF, natomiast dla kondensatów mniejszych profil Gaussa, otrzymuje się najlepszą zgodność z nowymi przewidywaniami. Stąd w naszych pomiarach stosujemy jeden lub drugi profil, zależnie od liczby atomów N 0. Rysunki rys.3 i rys.33 stanowią porównanie dopasowania profili TF i Gaussa do tego samego, małego kondensatu o N 0 równym około 15 tyś. Natomiast rys.34 obrazuje efekt dopasowania profilu TF do dużego kondensatu, o liczbie atomów N 0 równym około 00 tyś. Rys.3. Wynik dopasowania profilu TF do małego kondensatu, o liczbie atomów N 0 około 15 tyś. Rys.33. Wynik dopasowania profilu Gaussa do małego kondensatu, o liczbie atomów N 0 około 15 tyś. 60

61 Rys.34. Wynik dopasowania profilu TF do dużego kondensatu, o liczbie atomów N 0 około 00 tyś Zależność AR od frakcji kondensatu Poprzedni wynik zależności AR od N 0 otrzymany został dla czystych kondensatów. Naszym kolejnym celem było sprawdzenie jak zmieniłby się ten wynik, gdyby kondensat nie był czysty, tzn. wpływałaby na niego chmura termiczna nieskondensowanych atomów. W takim przypadku na AR mają wpływ dwa czynniki: 1. liczba atomów w kondensacie N 0,. oddziaływanie z chmurą termiczną. Wpływ N 0 na AR dla czystych kondensatów jest już znany (rys.30). Rys.35 przedstawia natomiast wyniki pomiarów dla kondensatów z chmurą termiczną. Punkty pomiarowe nie zostały otrzymane dla takiej samej liczby N 0, wzrasta ona bowiem wraz z frakcją. Dlatego widoczna zależność związana jest z obydwoma wspomnianymi czynnikami. Aby oddzielić wpływ chmury termicznej na AR od wpływu N 0, dla każdego punktu pomiarowego odczytana została z rys.30 wartość AR dla czystego kondensatu. Przedstawia to linia ciągła na rys.35. Z porównania jej z wynikami pomiarów widać, że dla frakcji mniejszej niż 0,3 i liczby atomów N 0 mniejszej niż 40 tyś. decydujący wpływ na AR ma właśnie liczba N 0. Natomiast powyżej tych wartości zaczyna być widoczna rozbieżność pomiędzy czystym kondensatem, a kondensatem z chmurą termiczną. Można by więc sądzić, że od tej wartości frakcji efekt oddziaływania kondensatu z chmurą termiczną zaczyna przeważać. 61

62 Rys.35. Otrzymane wyniki zależności AR od frakcji kondensatu. Każdy punkt pomiarowy odpowiada innej liczbie N 0, która rośnie wraz z frakcją. Linia przerywana pokazuje zależność AR dla czystego kondensatu od N 0, odtworzoną na podstawie rys.31 i dopasowaną do położenia punktów pomiarowych. Otrzymane punkty są wynikiem uśrednienia 160 pomiarów, a niepewności pomiarowe zostały rozszerzone o współczynnik k=. Byłoby to jednak zupełnie naiwne, ponieważ trudno, żeby zmniejszająca się w stosunku do kondensatu chmura termiczna zwiększała swoje z nim oddziaływanie. W rzeczywistości chmura ta oddziałuje z kondensatem już dla małych frakcji, tyle tylko, że efekt ten zaczyna się uwidaczniać wraz ze wzrostem N 0. Wniosek jest taki, że zależność AR od N 0 jest różna dla kondensatu czystego i takiego z chmurą. Dla małych kondensatów zależności te pokrywają się, ale dla liczby atomów równej około N 0 = 40 tyś. zaczynają się rozbiegać wraz ze wzrostem N 0. Przyczyną tych rozbieżności jest prawdopodobnie fakt, że równanie Grossa- Pitajewskiego, którym posługujemy się w opisie kondensatu, w ogóle nie zakłada istnienia chmury termicznej. 6

63 5. Podsumowanie Przeprowadzone przez nas pomiary pozwoliły w dużym stopniu odtworzyć wykres zależności frakcji kondensatu N 0 /N od temperatury T/T c poniżej temperatury krytycznej T c (rys.7). Na tej podstawie stwierdziliśmy, że wzajemne oddziaływanie cząstek w kondensacie obniża frakcję kondensatu, w stosunku do przewidywań dla nieoddziałujących cząstek. Jednocześnie sama zależność frakcji kondensatu N 0 /N od temperatury T/T c plasuje się gdzieś pomiędzy tą przewidzianą dla nieoddziałujących cząstek (1), a tą wyprowadzoną dla przybliżenia Thomasa-Fermiego i modelu Hartree-Focka (4). Badania zależności AR (aspect ratio) od czasu t swobodnej ekspansji ukazały czysto kwantowe właściwości kondensatu. Jednocześnie pomiary wspomnianej zależności, przeprowadzone dla dużych kondensatów (w naszym układzie min. 80 tyś. atomów) i porównanie wyników tych badań z przewidywaniami [0] upewniły nas w słuszności stosowania przybliżenia Thomasa-Fermiego do dużych kondensatów. Natomiast zbadanie zależności AR od liczby atomów N 0 w kondensacie, po porównaniu z teorią [0] wyprowadzoną na podstawie przybliżenia Thomasa-Fermiego, pozwoliły określić stosowalność w naszym układzie tegoż przybliżenia dla kondensatów o liczbie atomów N 0 większej niż 40 tyś. Jednocześnie porównanie wyników pomiarów z wynikami przewidywań teoretycznych zależności AR od N 0, wyprowadzonych wprost z równania Grossa-Pitajewskiego, potwierdziło zasadność tegoż równania, jak również utwierdziło nas w przekonaniu o słuszności stosowanej przez nas metody określania liczby atomów N 0 w kondensacie. Dodatkowo porównanie wyników pomiarów z teorią dobrze odzwierciedlającą zależność AR od N 0 stworzyło możliwość ustalenia przedziałów, w których dobrym przybliżeniem kondensatu jest przybliżenie gaussowskie (do 40 tyś. atomów) lub przybliżenie TF (powyżej 40 tyś. atomów). Wyniki obu ostatnich doświadczeń są niejako niezależnym potwierdzeniem tego samego wniosku, mianowicie stosowalności przybliżenia Thomasa-Fermiego do dużych kondensatów. Natomiast badania AR w zależności od frakcji kondensatu pokazały, że dla małych kondensatów efekt istnienia chmury termicznej znacznie słabiej odbija się na AR niż zależność od N 0. Efekt oddziaływania chmury termicznej z kondensatem staje się widoczny dopiero dla N 0 większej niż 40 tyś. i wzrasta wraz z liczbą N 0. 63

64 6. Literatura [1] M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, E.A. Cornell, Science, 69, 198 (1995) [] K. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, W. Ketterle, Phys. Rev. Lett., 75, 3969 (1995) [3] M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, W. Ketterle, Phys. Rev. Lett., 77, 416 (1996) [4] Krzysztof Sacha, Kondensat Bosego-Einsteina, wydawca, Instytut Fizyki im. M. Smoluchowskiego, Kraków (004) [5] T. Palasz, Pułapka magneto-optyczna i nieliniowa spektroskopia zimnych atomów rubidu, praca doktorska, Uniwersytet Jagielloński, Kraków (1999) [6] M. Naraschewski, D.M.Stamper-Kurn, Phys. Rew. A, 58, 3 (1998). [7] K. Dieckmann, Bose-Einstein Condensation with High Atom Number in a Deep Magnetic Trap, Amsterdam (001) [8] F. Bylicki, W. Gawlik, w. Jastrzębski, A. Noga, J. Szczepkowski, M. Witkowski, J. Zachorowski, M. Zawada, Studies of the hydrodynamic properties of Bose-Einstein condensate of 87 Rb atoms in a magnetic trap [9] D. Frese, Bose-Einstein Condensation of Rubidium: Towards Ultracold Binary Bosonic Mixtures, Bonn (005) [10] G. Wąsik, W. Gawlik, J. Zachorowski, W. Zawadzki, Appl. Phys. B 75, (00) [11] W. Ketterle, D.S. Durfee, D.M. Stamper-Kurn, Making, probing and understanding Bose-Einstein condensates, arxiv: cond-mat/ v 5 Apr 1999 [1] W. Ketterle, D.S. Durfee, D.M. Stamper-Kurn, Proceedings of the International School of Physics, IOS Press (1999) [13] M.R. Andrews, Science, 73, (006) [14] C.C. Bradley, C.A. Sackett, R.G. Hulet, Phes. Rev. Lett., 78, (1997) [15] S. Kadlecek, J. Sebby, R. Newell, T.G. Walker, Opt. Lett., 6, (001) [16] M.R. Andrews, Phys. Rev. Lett., 79, 553 (1997) [17] M.R. Matthews, Two-Component Bose-Einstein Condensation, PhD thesis, JILA group at the University of Colorado (1999) 64

65 [18] J.E. Lye, Dynamic Non-destructive of Bose-Einstein and Atom Lasers, Australian National University (003) [19] M. Zawada, Collective effects In a cloud of cold, dense atoms, praca doktorska, Uniwersytet Jagieloński, Kraków (003) [0] Y. Castin, R. Dum, Phys. Rev. Lett. 77, 5315 (1996) [1] F. Gerbier, Condensats de Bose-Einstein dans un Piége Anisotrope, praca doktorska, Uniwersytet Paryż VI (003) [] M. Mączyńska, Pułapkowanie i pomiar temperatury zimnych atomów, Uniwersytet Jagieloński, Kraków (001) [3] W. Gawlik, Postępy Fizyki, 53D, (00) [4] R. Heidemann, Verdempfungskühlung Und Bose-Einstein-Kondensation von Rubidiumatomen, Uniwersytet w Stuttgartcie (00) 65

66 66

67 Załączniki Z.1. Teoria chłodzenia i pułapkowania neutralnych atomów Kondensat otrzymywany jest u nas z atomów rubidu 87 Rb. Aby powstał, konieczne jest uzyskanie odpowiednio dużej gęstości chmury atomów w przestrzeni fazowej. Jednocześnie uniknąć należy dużej zwykłej gęstości, której skutkiem są intensywnie zachodzące procesy trójciałowe prowadzące do np. krystalizacji. Stwarza to konieczność schłodzenia chmury atomów do niezwykle niskiej temperatury rzędu kilkuset nk [4]. Temperatura jest wielkością statystyczną związaną ze średnią prędkością ruchu postępowego atomów. Związek ten opisuje wzór 3k v BT śr =, (61) m gdzie v śr średnia szybkość ruchu postępowego w układzie związanym z chmurą, T temperatura, k B stała Boltzmana, m masa atomu. Wyższa temperatura oznacza, że atomy poruszają się z większymi prędkościami. W temperaturze pokojowej atomy gazu zachowują się jak kule bilardowe. Zderzają się ze sobą nawzajem, przekazując sobie energie i pęd (rys.36a). Jednak z każdym ciałem związana jest pewna fala materii, zwana falą de Broglie a. Jej długość określa poniższy wzór h λ B =, (6) mv gdzie h stała Plancka. Widać z niego, że im większa jest prędkość v atomu, tym mniejsza jest długość λ B związanej z nim fali de Broglie a. W temperaturze pokojowej jej długość jest o wiele mniejsza niż średnia odległość pomiędzy atomami w chmurze. Dlatego właściwości falowe nie są wtedy zauważalne. Wraz ze zmniejszaniem temperatury długość fal de Broglie a atomów wzrasta (rys.36b). Gdy temperatura obniży się na tyle, że długość ta stanie się porównywalne ze średnią odległością pomiędzy atomami mówi się, że osiągnięta została temperatura krytyczna T c. W temperaturze tej fale materii związane z konkretnymi 67

68 atomami zaczynają się nakładać (rys.36c). Jest to początek powstawania kondensatu Bosego- Einsteina. Ostatecznie w temperaturze 0 K fale materii tworzą jedną dużą falę (rys.36d). a) b) c) d) Temperatura pokojowa T: prędkość v w temp. T gęstość ~ d 3 Kule bilardowe Niska temperatura: Długość fal de Broglie a λdb = h/mv ~ T 1/ Paczki falowe T = T c: BEC λdb d Nakładanie fal materii T = 0: Czysty BEC Wielka fala materii Rys.36. Zachowanie atomów w różnych temperaturach: a) W temperaturze pokojowej atomy zachowują się jak odbijające się od siebie sprężyście kule bilardowe, b) W niskiej temperaturze ujawniają się cechy falowe atomów, c) Temperatura krytyczna zostaje osiągnięta, gdy długości fal materii atomów stają się porównywalne z rozmiarami próbki, d) W temperaturze zera bezwzględnego wszystkie atomy znajdują się w tym samym stanie kwantowym, a opisujące je fale materii są spójne. Rysunek wzięty z [11]. Roboczo chmurę atomów nazywa się kondensatem Bosego-Einsteina, gdy osiągnie ona odpowiednio dużą gęstość w przestrzeni fazowej i jednocześnie długości fal materii związanych z poszczególnymi atomami są porównywalne z rozmiarami chmury. Z omówionych powyżej zależności wynika, że najprościej osiągnąć kondensat jednocześnie obniżając temperaturę i zwiększając gęstość chmury atomów. Pierwsza z tych czynności przyczynia się do wydłużenia fal de Broglie a, a druga do zmniejszenia średnich odległości pomiędzy atomami. Nie da się otrzymać pożądanego stanu przez zastosowanie w stosunku do próbki z rubidem jakiegokolwiek urządzenia chłodzącego. Temperatura jaką należy osiągnąć jest na to zbyt niska. Również duża gęstość chmury atomów nie może zostać osiągnięta przez jej ściśnięcie, ponieważ każdy kontakt z innym ciałem prowadziłby do jej podgrzania. Proces spowalniania atomów nazywamy chłodzeniem, natomiast skupianie atomów nazywamy pułapkowaniem. Mamy więc do rozwiązania dwa problemy: - schłodzić chmurę atomów (spowolnić atomy) - skupić je w jednym miejscu (otrzymać dużą gęstość atomów spułapkować) 68

69 Z.1.1 Chłodzenie melasa optyczna Chłodzenia atomów, czyli ich spowalniania, można dokonać przy użyciu światła laserowego. Każdy foton posiada pewną określoną energię związaną z jego częstotliwością r E = hν = hω i pęd związany z jego wektorem falowym k r p =h. Wyobraźmy sobie spoczywający atom. Jeżeli skierujemy teraz w jego stronę foton, to wiemy, że może on zostać przez atom pochłonięty albo przeleci bez zauważalnego skutku. Pochłonięcie fotonu przez atom wiąże się z przekazaniem mu energii i pędu fotonu. Atom zostanie wzbudzony i dodatkowo zacznie się poruszać z takim pędem, jaki miał pochłonięty foton. Wynika to z zasad zachowania energii i pędu. Sytuację tę przedstawia poniższy rysunek (rys.37). Rys. 37. Przekaz pędu i energii atomowi przy absorbcji fotonu. Rysunek wzięty z [5]. Takie przekazanie atomowi pędu przez foton w akcie absorpcji lub emisji nazywamy siłą optyczną lub ciśnieniem światła. Ciśnienie światła można wykorzystać do spowolnienia już poruszających się atomów. Mianowicie wyobraźmy sobie atom poruszający się z pewną prędkością w prawo. Aby zmniejszyć jego prędkość puszczamy w przeciwnym kierunku foton (rys.38) Rys. 38. Atom pochłaniając foton biegnący z naprzeciwka zmniejsza swoją prędkość. Rysunek wzięty z []. 69

70 Pochłonięcie fotonu przez atom wiązać się będzie z przekazaniem pędu o przeciwnym zwrocie niż pęd atomu. W konsekwencji atom zacznie poruszać się wolniej niż dotychczas. Do całkowitego wyhamowania atomu w temperaturze pokojowej potrzeba bardzo wielu takich aktów absorpcji (około 50 tyś.), ponieważ pęd jednego fotonu tylko nieznacznie zmienia prędkość atomu. W krótkim czasie po zaabsorbowaniu fotonu i przejściu atomu do stanu wzbudzonego, atom z powrotem wraca do podstawowego poziomu energetycznego, emitując przy tym foton. Z tym również wiąże się przekaz pędu, a w konsekwencji także siła. Jeżeli natężenie światła w wiązce otaczającej atom nie jest zbyt duże, to emisja fotonu następuje w kierunku zupełnie przypadkowym. A ponieważ do wyhamowania atomu nastąpić musi bardzo wiele aktów absorpcji i emisji, to ze względu na przypadkowy charakter kierunku emisji skutki odrzutu uśrednią się w czasie do zera (rys.39). Rys. 39. Przypadkowy charakter kierunku emisji spontanicznej powoduje uśrednienie się w czasie jej skutków do zera. Rysunek wzięty z [3]. Ponieważ w takim procesie zachodząca emisja fotonów jest emisją spontaniczną, to działającą na atom siłę nazywamy siłą spontaniczną. Pamiętać należy, że atom nie absorbuje wszystkich padających na niego fotonów. Pochłania jedynie te, których energia E odpowiada różnicy energii E między poziomami energetycznymi, pomiędzy którymi przechodzi atom. Aby zadziałać siłą optyczną na określone atomy, trzeba tak dobrać częstotliwość światła laserowego, aby energia fotonów była odpowiednia. Energię fotonów i energię przejścia pomiędzy poziomami określać będziemy przy użyciu odpowiadających im częstości ω i ω 0, według zależności E = hω i E = hω0. Aby foton został pochłonięty przez atom, jego częstość musi spełniać warunek E = E h ω = hω ω =. (63) 0 ω 0 70

71 Czy więc chcąc spowolnić lub zatrzymać atom wystarczy przeciwnie do kierunku jego ruchu zadziałać wiązką światła laserowego i poczekać aż dostatecznie zwolni (rys.40)? k Siła optyczna wiązka lasera Rys. 40. Na atom poruszający się w polu wiązki zwróconej przeciwnie do kierunku jego ruchu działa siła hamująca. Tylko pozornie, ponieważ istnieje jeszcze efekt Dopplera. Ze względu na efekt Dopplera częstość światła dostrzegana przez obserwatora zależy od tego jak porusza się układ w którym obserwator się znajduje. Przy założeniu, że obserwator nie porusza się z prędkością bliską prędkości światła, zaniedbać można efekty relatywistyczne i w wyniku klasycznego efektu Dopplera zmieniona częstość obserwowanego światła wynosi rr ω = ω kv, (64) obs gdzie v r - prędkość obserwatora, k r - wektor falowy. W naszym przypadku takim poruszającym się obserwatorem jest atom. Dostrzeganą przez niego częstość światła oznaczymy jako ω obs. To właśnie od niej zależy, czy foton będzie mógł być pochłonięty, czy też nie. Zakładając, że wiązka ma kierunek wzdłuż osi z i zwrot w stronę ujemnych z-ów, dostajemy wzór na obserwowaną częstość ω obs = ω + kv z, (65) r gdzie v z to składowa prędkości atomu wzdłuż tej osi, a k jest dodatnie ( k = k ). Widać, że nie zależy ona od pozostałych składowych. W takim razie całe zagadnienie można sprowadzić do jednego wymiaru i uniezależnić od pozostałych. Co w naszym eksperymencie zmienia efekt Dopplera. Otóż jeżeli mamy poruszający się atom, to aby go spowolnić, należy przeciwbieżnie do jego ruchu skierować wiązkę lasera o takiej częstości, by obserwowana przez atom częstość wynosiła ω 0. Ale żeby atom widział w swoim układzie tę właśnie częstość, to w układzie laboratoryjnym częstość ω musi być mniejsza od ω 0 o kv z. 71

72 ω obs = ω 0 (66) ω 0 = ω+ kv z (67) ω = ω (68) 0 kv z Jeżeli atom porusza się początkowo tak, że jego składowa prędkości wzdłuż osi z wynosi v z i zadziałamy na niego dostrojoną odpowiednio wiązką o częstości ω = ω0 kvz, zwróconą przeciwbieżnie do jego ruchu, to po pewnym czasie atom zwolni. Oznacza to, że będzie miał inną wartość składowej prędkości v z, a to z kolei spowoduje, że obserwowana przez atom częstość wiązki lasera ω obs nie będzie już odpowiadać częstości rezonansowej ω 0. Skutkiem tego wiązka przestanie oddziaływać z atomem i zniknie działająca na niego siła. Aby zachować zdolność działania wiązką na poruszający się atom należy nieustannie dostrajać wiązkę laserową tak, by w zależności od v z doświadczana przez atom częstość światła nieustannie wynosiła ω 0. Dotychczasowe rozważania przeprowadzone zostały dla pojedynczego atomu. Tymczasem chłodzenie odbywa się na całej chmurze. Jak wiadomo ruch atomów w chmurze jest zupełnie przypadkowy, a statystykę szybkości atomów opisuje rozkład Maxwella-Boltzmana. Rozkład wartości prędkości atomów w chmurze przedstawia poniższy wykres (rys.41) C 0 C 600 C Rys. 41. Rozkład szybkości atomów w chmurze dla trzech różnych temperatur. Już chociażby ze względu na to wykorzystanie omówionej dla jednego atomu metody hamowania nie byłoby możliwe, ponieważ każdemu atomowi odpowiadałaby inna częstość. 7

73 Jak w takim razie poradzić sobie z tymi wszystkimi problemami? - konieczność szybkiego dostrajania wiązki laserowej w miarę hamowania - przyspieszanie atomu po wyhamowaniu - rozkład prędkości atomów Rozwiązanie tych problemów przynosi naturalna szerokość linii widmowej atomu. Rzecz w tym, że atom nie pochłania jedynie fotonów o pewnej ściśle określonej częstości ω 0 (o określonej energii) lecz prawdopodobieństwo P abs zaabsorbowania fotonu przez atom opisane jest przez krzywą Lorentza. Jej wzór znajduje się poniżej (69), a jej kształt przedstawia rys.4 P abs ~ ( Γ / ) ( ω ω ) + ( Γ / ) 0. (69) Rys. 4. Krzywa Lorenza opisująca zależność prawdopodobieństwa absorpcji fotonu oraz siłę działającą na atom w zależności od częstości fotonu ω. Maksimum absorpcji przypada dla częstości ω 0, a szerokość wykresu opisuje parametr Γ (tzw. całkowita szerokość połówkowa). Rysunek wzięty z [5]. Jak widać prawdopodobieństwo zaabsorbowania fotonu o częstości ω 0 jest największe, ale również fotony o innej częstości mogą zostać pochłonięte. Prawdopodobieństwo tego, że to nastąpi jest tym mniejsze im większa jest różnica pomiędzy ω 0 i ω. Działająca na atom siła F jest proporcjonalna do liczby zaabsorbowanych fotonów, ta zaś jest proporcjonalna do prawdopodobieństwa absorpcji w funkcji częstości ω fotonu. W takim razie ona również jest funkcją częstości fotonu i opisana jest wzorem (70) oraz krzywą z rys. 4. F ~ ( Γ / ) ( ω ω ) + ( Γ / ) 0 (70) 73

74 Jeśli uwzględnić teraz efekt Dopplera, to we wzorze (70) na siłę zamiast częstości ω wstawić należy obserwowaną przez atom zmienioną w skutek jego ruchu częstość ω obs. Załóżmy, że częstość lasera jest ustalona i wynosi ω. W takim wypadku wartość siły jest funkcją składowej prędkości v z atomu. Jeżeli przyjmiemy, że wiązka jest skierowana w prawo, to siła wyraża się wzorem F ~ ( Γ / ) ( ω kv ω ) + ( Γ / ) z którego widać, że maksimum przypada gdy ω kvz ω0 = 0. W takim wypadku, jeżeli przyjmiemy, że częstość lasera jest równa częstości rezonansowej ω = ω 0, to maksimum siły optycznej przypada gdy kv z = 0. Przedstawia to poniższy wykres (rys.43a). z 0 (71) dla ω = ω 0 dla ω < ω 0 a) b) Rys.43. Wykresy siły działającej na atomy w zależności od wartości ich prędkości; a) dla ω = ω 0, b) dla ω < ω 0. Siła optyczna działa w prawo (w kierunku dodatnich z), dlatego jej wykres znajduje się ponad poziomą osią. Jak widać jest on symetryczny względem punktu kv z = 0. Oznacza to, że największa siła działa na atomy nie poruszające się i maleje tak samo dla atomów poruszających się w prawo i w lewo. Nie jest to zbyt pocieszające, ponieważ pamiętamy, że naszym celem jest zahamowanie poruszających się atomów. W takim razie siła skierowana w prawo powinna raczej mocniej działać na atomy poruszające się w lewo, a nie tak jak powyższa. Wystarczy jednak, by częstość lasera ω została odstrojona trochę poniżej częstości rezonansowej ω 0, aby maksimum siły przypadało dla atomów poruszających się w lewo. Przedstawia to wykres na rys.43b. Dzieje się tak dlatego, że atomy poruszające się w lewo, w skutek efektu Dopplera, zaczynają widzieć wyższą częstość biegnącej w przeciwnym kierunku wiązki lasera. Ponieważ częstość lasera jest mniejsza od częstości rezonansowej, to w miarę tego, jak rośnie skierowana w lewo prędkość atomów, dostrzegana przez nie częstość jest coraz wyższa i zbliża się do częstości rezonansowej, co skutkuje coraz większą siłą. Maksimum tej siły 74

75 przypada, gdy w skutek efektu Dopplera częstość lasera obserwowana przez atomy dostroi się do częstości rezonansowej. ω kvz ω0 = 0 (7) z 0 kv = ω ω (73) Ostatecznie w takim wypadku większa siła działa na atomy poruszające się w lewo niż w prawo. Nie jest to jednak do końca pożądany przez nas skutek, ponieważ po wyhamowaniu atomy i tak będą przyspieszane w kierunku działania siły. Podobny eksperyment myślowy możemy przeprowadzić dla wiązki laserowej skierowanej w lewo. Siła wyraża się wtedy wzorem (74) F ~ ( Γ / ) ( ω + kv ω ) + ( Γ / ) z 0. (74) Rys.44 przedstawia analogiczne do rys.43 wykresy siły, z jaką działa na atom wiązka skierowana w lewo. a) b) dla ω = ω 0 dla ω < ω 0 Rys. 44. Wykresy siły działającej na atomy w zależności od wartości ich prędkości; a) dla ω = ω 0, b) dla ω < ω 0. Szukane przez nas rozwiązanie problemu otrzymuje się stosując dwie przeciwbieżne wiązki (rys.45). Rozwiążemy to zagadnienie przy użyciu wykresów. k k przeciwbieżne wiązki lasera Rys.45. Poruszający się atom znajduje się w polu dwóch przeciwstawnych wiązek. Wypadkowym efektem dostrojenia się do wiązki biegnącej z naprzeciwka i odstrojenia od wiązki biegnącej w tę samą stronę co atom jest siła hamująca. 75

76 Dla częstości lasera równej częstości rezonansowej ω = ω0, składamy ze sobą wykresy z rysunków rys.43a i rys.44a Po zsumowaniu działających sił okazuje się, że siła jest równa 0, ponieważ wpływ jednej i drugiej wiązki na każdy atom jest taki sam, niezależnie od jego ruchu (rys.46a). dla ω < ω 0 a) b) Rys.46. Wykresy sił, z jakimi działają wiązki na atomy w zależności od ich prędkości. a) dla ω = ω 0 siły zależą tak samo od prędkości atomów i w efekcie wypadkowa siła wynosi zero; b) dla ω < ω 0 zależność jednej i drugiej siły od prędkości jest przesunięta i w wyniku otrzymuje się wypadkową siłę hamującą przerywana linia. Rysunek wzięty z [5]. Jednak wystarczy, że odstroimy obie wiązki w dół od rezonansu, a otrzymamy przedstawioną na rys.46b zależność wypadkowej siły F wyp od prędkości atomu. Z wykresu widać, że na atomy poruszające się w lewo kv z < 0 działa wypadkowa siła optyczna F wyp skierowana w prawo (powyżej osi poziomej). Jest to skutek dostrajania się widzianej przez te atomy częstości wiązki biegnącej w prawo i odstrajania częstości wiązki biegnącej w lewo. Podobnie na atomy poruszające się w prawo kv z > 0 działa wypadkowa siła skierowana w lewo (poniżej osi poziomej). Na atomy nie poruszające się działa siła wypadkowa równa zero, ponieważ wpływy jednej i drugiej wiązki znoszą się wzajemnie. Ostatecznie sytuacja jest taka, że obie wiązki lasera są tak samo odstrojone od rezonansu. Jednak w wyniku efektu Dopplera atomy zaczynają silniej oddziaływać z tą wiązką, która jest skierowana przeciwnie do ich ruchu i w konsekwencji są hamowane. Stan ten utrzymuje się do momentu, gdy wpływ jednej i drugiej wiązki będzie taki sam, czyli do wyhamowania atomu. 76

77 Rys.47. Dostrojenie obserwowanej częstości do częstości rezonansowej dzięki efektowi Dopplera. Rysunek wzięty z []. Oczywiście w naszych rozważaniach przyjęliśmy, że atomy poruszają się tylko wzdłuż jednej prostej, określającej kierunek wiązek laserowych. W rzeczywistości poruszać się mogą w trzech wymiarach. W takim razie dwie przeciwbieżnie skierowane wiązki mogą wyhamować tylko jedną składową prędkości, np. v z. Dlatego do pełnego rozwiązania problemu używa się trzech prostopadłych do siebie par wiązek laserowych. Miejsce ich skrzyżowania nazywane jest melasą optyczną. Atomy poruszają się w niej jak kulki w lepkiej cieczy. Porównanie to jest trafne zważywszy na fakt, że w pewnym zakresie prędkości (wokół punktu v = 0 ) siła optyczna jest proporcjonalna do prędkości atomu. Z.1. Pułapkowanie Spowolnienie atomów nie zapewnia ich skupienia i otrzymania dużej gęstości chmury. Aby tego dokonać trzeba zadziałać na atomy jakąś dodatkową siłą, która zepchnęłaby je w jedno miejsce. W tym celu używa się magnetycznych właściwości atomów. Protony, neutrony i elektrony, czyli cząstki będące składnikami atomu, posiadają wewnętrzne momenty pędu, czyli tzw. spiny. Te ostatnie mają dodatkowo orbitalne momenty pędu. Dlatego też i sam atom posiada zwykle wypadkowy moment pędu J r. Jak wiemy, moment pędu jest wielkością skwantowaną i może przyjmować tylko pewne określone wartości r J = J +, (75) ( J 1) h gdzie J jest liczbą naturalną i może przyjmować wartości J = 0,1,,.... Podobnie rzut momentu pędu na pewien wybrany kierunek, np. oś z, może przyjmować tylko określone wartości J = h, (76) z m J 77

78 gdzie m J to magnetyczna liczba kwantowa. Numeruje ona i wyraża możliwe wartości rzutu wypadkowego momentu pędu J r na oś z, w jednostkach h. Liczba m J może przyjmować wartości m J = - J,..., J -1, J. W takim razie dla ustalonego J jest J + 1 możliwych wartości J z. Z momentami pędu cząstek składających się na atom związane są ich własne momenty magnetyczne. W konsekwencji i sam atom posiada zwykle jakiś wypadkowy moment magnetyczny. Przyjmijmy, że atom ma jakiś wypadkowy moment pędu J r, z którym związany jest moment magnetyczny µ r. Może on mieć zwrot taki sam jak moment pędu atomu lub może mieć zwrot do niego przeciwny. W naszych rozważaniach przyjmiemy, że jest on przeciwny, ponieważ tak właśnie jest w przypadku atomu rubidu 87 Rb. Związek pomiędzy momentem pędu J r i momentem magnetycznym atomu µ r opisuje równanie (77), a obrazuje to znajdujący się obok rysunek (rys.48). (77) r µ = g J µ B r J h µ J Rys. 48. Całkowity moment pędu J atomu i jego moment magnetyczny µ. Symbol µ B oznacza jednostkę momentu magnetycznego, zwaną magnetonem Bohra, natomiast symbol g J reprezentuje czynnik Landego, który określa stosunek momentu pędu wyrażonego w jednostkach h i momentu magnetycznego wyrażonego w jednostkach Ze wzoru (77) wynika związek pomiędzy wartościami wymienionych wielkości r r J µ = g J µ B, (78) h oraz związek pomiędzy ich rzutami na oś z µ B. J z = g J µ. (79) h µ z B Ze względu na skwantowanie momentu pędu, skwantowane są również wartość momentu magnetycznego i jego rzut na oś z. W szczególności rzut ten wyraża się równaniem µ z = g J mj. (80) W takim razie różnych wartości rzutu momentu magnetycznego na oś z również jest J + 1. Każdy moment magnetyczny oddziałuje z polem magnetycznym. Jeżeli atom zostanie umieszczony w takim polu, to działać będzie na niego moment siły wyrażający się równaniem µ B 78

79 r M r r = µ B. Dąży on do obrócenia momentu magnetycznego µ r, a razem z nim całego atomu w taki sposób, by moment magnetyczny µ r ustawił się zgodnie z wektorem indukcji B r pola. W związku z istnieniem takiego oddziaływania, z ustawieniem momentu magnetycznego w polu magnetycznym można związać pewną energię potencjalną E p. Przyjmując że zero tej energii jest wtedy, gdy moment magnetyczny jest ustawiony prostopadle do pola, otrzymujemy wzór na energię potencjalną momentu magnetycznego w polu magnetycznym r r = µ o B. (81) Na rys.49 atom po lewej stronie ma mniejszą energię niż atom po prawej. E p B J µ µ J Rys.49. Różnym ustawieniom momentu magnetycznego w polu magnetycznym odpowiada różna energia. Atom po lewej stronie ma niższą energię niż atom po prawej. z Oznacza to, że od ustawienia momentu magnetycznego atomu w polu magnetycznym zależeć będzie energia tegoż atomu. A ponieważ każdemu ustawieniu momentu magnetycznego atomu jednoznacznie przyporządkowane jest ustawienie momentu pędu, więc można powiedzieć, że dla różnych rzutów J z atom będzie miał różną energię potencjalną. Skutkuje to efektem Zeemana, czyli rozszczepieniem poziomu energetycznego na J + 1 podpoziomów. Rys.50 przedstawia przykład takiego rozszczepienia, gdy J = 1. Po lewej stronie przedstawione są poziomy atomu nie znajdującego się w polu magnetycznym, natomiast po prawej te same poziomy w obecności pola magnetycznego. energia J = 1 m J = 1 m J = 0 m J = -1 J = 0 m J = 0 Rys.50. Rozszczepienie poziomu energetycznego w wyniku efektu Zeemana. Po lewej poziomy atomu poza polem, po prawej poziomy atomu w polu magnetycznym. 79

80 Fakt, że poziom energetyczny dla m = 1 znajduje się wyżej niż pozostałe wynika jasno J z rys.49 i wzoru (81). W dalszych rozważaniach nadal będziemy posługiwali się opisanym przykładem. Przyjmijmy, że stan podstawowy atomu to ten, dla którego J = 0. Jeżeli teraz będziemy chcieli przejść do stanu wzbudzonego J = 1, to możemy to uczynić działając na atom odpowiednio dostrojoną energetycznie wiązką, której fotony w naszym układzie mają rzut momentu pędu równy 1 (σ + ) lub wiązką, której fotony mają rzut momentu pędu 1 (σ - ). Pochłonięcie przez atom fotonu z wiązki σ + spowoduje przejście do stanu o m = 1, ponieważ oprócz energii, atom przejmie również moment pędu fotonu. Podobnie zaabsorbowanie fotony z wiązki σ - spowoduje przejście do stanu o m = 1. Obrazuje to kolejny rys.51. J = 1 J J σ - σ + J = 0 Rys.51. Zaabsorbowanie fotonu z wiązki σ + lub σ powoduje przekaz momentu pędu i przejście do stanu wzbudzonego o odpowiednim m J. 80

81 Wyobraźmy sobie teraz układ dwóch cewek kwadrupolowych, czyli takich, w których prąd płynie w przeciwnych kierunkach (rys.5). cewka cewka atomy z pole magnetyczne Rys.5. Układ pozwalający chłodzić i pułapkować atomy w jednym wymiarze. W cewkach prąd płynie o przeciwnym kierunku, wytwarzając kwadrupolowe pole magnetyczne z zerem w środku. Wiązki biegnące wzdłuż osi z są kołowo i przeciwnie względem siebie spolaryzowane. Jeżeli założyć, że punkt z = 0 znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy cewkami, to pole magnetyczne przez nie wytwarzane wzdłuż osi z jest takie, jak przedstawiono na rys.53. W punkcie z = 0 wartość indukcji magnetycznej jest dokładnie równa 0. Natomiast poza tym punktem pole skierowane jest do środka tego obszaru, a jego wartość wzrasta proporcjonalnie z odległością od tego punktu. B z Rys.53. Wykres pola magnetycznego wytwarzanego przez cewki w zależności od położenia na osi z. Zależność jest liniowa. 81

82 Jeżeli umieścić teraz w takim polu nasze przykładowe atomy, to ich poziomy energetyczne rozszczepią się tak, jak pokazuje to kolejny rysunek (rys.54). energia m J = 1 m J = 0 m J = -1 m J = -1 m J = 0 m J = 1 z Rys.54. Rozszczepienie poziomów energetycznych w liniowo malejącym polu magnetycznym wytwarzanym przez cewki. Częstości wiązek σ + lub σ są odstrojone w dół od częstości ω 0, ale z powodu przesunięcia poziomów energetycznych dostrojone są do energii przejścia na lewo lub prawo od punktu z = 0. W wyniku tego silniej oddziałują z atomami znajdującymi się poza tym punktem i spychają je do niego. Przyjmijmy następnie, że oświetlamy te atomy wiązką σ - skierowaną w prawo (rys.5). Dodatkowo załóżmy, że wiązka ta jest odstrojona energetycznie w dół od rezonansu (linia przerywana na rys.54) w stosunku do nie rozszczepionego poziomu atomu znajdującego się poza polem magnetycznym. Pochłonięcie fotonu z takiej wiązki prowadzi do przejścia atomu do stanu m = 1. Jak widać na rys.54, ze względu na niejednorodność pola, częstotliwość J wiązki w większej mierze dostrojona jest do atomów znajdujących się na lewo od środka układu. Ponieważ siła optyczna omawianej wiązki działa w prawo, to atomy znajdujące się po lewej stronie przepychane będą w kierunku punktu z = 0. Podobnie jeśli skierujemy na wspomniane atomy wiązkę skierowaną w lewo (rys.5), tak samo jak poprzednio odstrojoną w dół, to przede wszystkim będzie ona przepychała w lewo atomy znajdujące na prawo od punktu z = 0. Ostatecznie dzięki odpowiedniej polaryzacji wiązek i umieszczeniu atomów w kwadrupolowym polu magnetycznym, otrzymujemy sposób zgromadzenie atomów w jednym miejscu. Opisany proces odnosi się do jednego wymiaru. Aby zrealizować skupianie atomów w trzech wymiarach można po prostu potroić ten układ wzdłuż trzech prostopadłych osi. 8

83 Nie trzeba jednak tego robić, ponieważ już jeden układ kwadrupolowych cewek wytwarza pożądane pole w trzech wymiarach (wzdłuż osi układu). Wystarczy więc wzdłuż tych osi skierować odpowiednio spolaryzowane wiązki, a otrzymamy trójwymiarowy układ pułapkujący (rys.55). Rys.55. Trójwymiarowa pułapka magneto-optyczna. Dwie cewki wytwarzają omówione wcześniej pole wzdłuż trzech prostopadłych osi. Użycie sześciu, parami przeciwbieżnych i przeciwnie kołowo spolaryzowanych wiązek zapewnia pułapkowanie i chłodzenie atomów. Rysunek wzięty z [5]. W ten sposób otrzymuje się zamierzony cel, tym bardziej, że już poprzednio posługiwaliśmy się odstrojonymi w dół od rezonansu wiązkami. Można więc oba procesy chłodzenia i pułapkowania realizować jednocześnie. Jeżeli zostaną spełnione warunki takie, jak: r 1. atomy już poruszają się powoli tak, że ko v < Γ,. magnetyczne odstrojenie częstości jest mniejsze od szerokości przejścia β z < Γ, µ z h B z B gdzie β z = ( m g m g ) J' J' to w omawianej sytuacji atomy poruszać się będą jak oscylatory harmoniczne tłumione. W ten sposób otrzymujemy pułapkę magneto-optyczną (MOT), która umożliwia zarówno schłodzenie chmury atomów, jak i jej skupienie w jednym miejscu w celu zwiększenia jej gęstości. J J, 83

84 Z.1.3 Granica chłodzenia dopplerowskiego Z przeprowadzonego dotychczas rozumowania wynika, że atom porusza się w pułapce magneto-optycznej tak, jakby doznawał sił oporu skierowanych przeciwnie do kierunku ruchu. W takim razie spodziewać się można, że po dość długim czasie, atom początkowo mający jakąś prędkość, wreszcie się zatrzyma. Tak jednak nie jest. Pamiętać bowiem należy, że siła spowalniająca atomy, to siła optyczna związana z przekazywaniem atomowi pędu fotonu podczas jego pochłonięcia i odrzutu podczas emisji. Wcześniej była mowa o tym, że pęd przekazywany atomowi podczas wielu aktów emisji spontanicznej uśrednia się do zera. Jednak po każdym takim odrzucie atom ma jakiś pęd, a stąd prędkość i związaną z tym temperaturę. Konsekwencją jest ruch dyfuzyjny atomu. W związku z tym po pewnym czasie ustali się graniczna temperatura gazu, będąca wynikiem dwóch przeciwstawnych efektów: hamującej siły optycznej i chaotycznej dyfuzji atomu. Taką minimalną temperaturę, jaką możemy osiągnąć omówioną wyżej metodą, nazywamy granicą chłodzenia dopplerowskiego. Wyraża się ona wzorem (8) T min Γ = h, (8) k gdzie k B to stała Boltzmana. Dla atomów rubidu wynosi ona T = 14 K. B min µ Z.1.4 Chłodzenie subdopplerowskie Dalsze obniżanie temperatury atomów odbywa się za pośrednictwem tzw. chłodzenia z gradientem polaryzacji (PGC). We wcześniejszych rozważaniach nie braliśmy pod uwagę wpływu struktury fali światła laserowego na atom, a nawet zakładaliśmy, że nie ma żadnego wpływu. Tak jednak nie jest. W opisanej jednowymiarowej pułapce magneto-optycznej wykorzystuje się dwie przeciwbieżne wiązki światła laserowego, spolaryzowane kołowo. Nałożenie się tych wiązek tworzy wzdłuż ich kierunku rozchodzenia się falę stojącą. W każdym punkcie polaryzacja tej fali jest ściśle określona. Zmienia się jednak przy przechodzeniu z punktu do punktu, tworząc kształt helisy. Przedstawia to kolejny rys

85 Rys.56. Gradient polaryzacji pola elektrycznego wytwarzanego przez nałożenie przeciwbieżnych kołowo spolaryzowanych wiązek σ + i σ o tej samej amplitudzie i częstości. Polaryzacja zmienia się z przejściem z punktu do punktu. Poruszający się odpowiednio wolno atom niejako widzi strukturę tej fali, czyli jej pole. Gdy porusza się on z punktu do punktu, zmienia się kierunek wektora natężenia elektrycznego pod którego wpływem znajduje się atom. Każde takie przejście wymaga pewnego wydatku, czynionego w tym wypadku kosztem energii kinetycznej atomu. W konsekwencji atomy stają się coraz zimniejsze. Aby proces ten był w ogóle możliwy, atomy muszą poruszać się na tyle wolno, by dostrzegać strukturę fali. Dlatego niezbędne jest wcześniejsze ich dopplerowskie schłodzenie, odbywające się opisaną już metodą. Aby jednak mogło nastąpić chłodzenie z gradientem polaryzacji, wyłączyć należy używane w MOT cie pole magnetyczne. Otrzymujemy wtedy na powrót stan melasy optycznej i nie działa pułapkowanie atomów. Nie stwarza to jednak żadnego dodatkowego problemu, ponieważ atomy poruszają się już na tyle wolno, że w krótkim czasie trwania melasy optycznej ekspansja chmury jest zaniedbywalna. Z.1.5. Pułapka magnetyczna Opisane wyżej metody chłodzenia dopplerowskiego i subdopplerowskiego wykorzystują siłę optyczną związaną nieodłącznie z pochłanianiem i emisją fotonów z wiązki laserowej. W konsekwencji nie jest możliwe obniżenie średniego pędu atomów poniżej wartości h k r, jaką uzyskuje każdy atom przy odrzucie, podczas emisji zaabsorbowanego fotonu. Jest to właśnie przyczyną istnienia granicy chłodzenia z użyciem opisanej metody. Granica ta określona jest wzorem (83) 85

86 T PGC h = k k, (83) m gdzie m masa atomu rubidu, k wektor falowy wiązki laserowej. W naszym przypadku wynosi ona 366 nk. Zwróćmy ponownie uwagę na fakt, że metoda ta opiera się na hamującym oddziaływaniu ze światłem, a za jej niedoskonałość odpowiedzialny jest właśnie skutek tego oddziaływania, czyli przekaz pędu przy emisji fotonu. W takim razie niezbędnym warunkiem, aby zejść poniżej wspomnianej granicy chłodzenia, jest zastosowanie metody, w której taki odrzut by nie następował. W konsekwencji metoda ta nie możne już być oparta na hamującym oddziaływaniu ze światłem. Przeciwnie, atomy należy umieścić w tak zwanym stanie ciemnym, gdzie nie odczuwałyby już grzejącego wpływu światła. Takie podejście stosuje się m.in. w pułapkach magnetycznych, których idea opisana jest poniżej. Wyobraźmy sobie, że mamy zbiór atomów o momencie magnetycznym µ r i momencie pędu F r (nie mylić z siłą). W zewnętrznym niejednorodnym polu magnetycznym na takie momenty magnetyczne µ r działa siła Sterna-Gerlacha, określona wzorem r r r F = Boµ = g µ m B = g µ m B, (84) B ( ) ( ) ( ) F gdzie w danym punkcie przyjmujemy jako oś rzutowania kierunek wektora indukcji B r. Jak wiadomo, tak określona siła będzie działać w tą stronę, w którą wartość w nawiasie maleć będzie najszybciej. W szczególności spychać będzie ona momenty magnetyczne do miejsca, gdzie znajdować się będzie minimum wartości w nawiasie, a odpychać od miejsca gdzie znajdować się będzie jej maksimum. Podobną temu, jednowymiarową sytuację przedstawia rys.57. F z = gµ B ( mf B) (85) z m F B F z F z F z F z B F F B F z Rys.57. Siła działająca na moment magnetyczny w polu magnetycznym z zależności od rzutu m F i gradientu B. 86

87 Naszym celem jest oczywiście skupienie atomów w jednym miejscu, dlatego stworzyć należy sytuację, gdzie istnieć będzie minimum wartości określonej w nawiasie. W połączeniu z faktem wynikającym z równań Maxwell a, że nie może istnieć maksimum wartości indukcji B pola magnetycznego, a jedynie jej minimum, warunki pułapkowania spełnią jedynie przypadki, dla których iloczyn czynnika Landego g i magnetycznej liczby kwantowej m F jest dodatni. Stany atomu, w których warunki te są spełnione nazywamy stanami szukającymi minimum pola magnetycznego. 5 1/ W naszym doświadczeniu atomy rubidu utrzymuje się w stanie S ; F =. W takim razie możliwe rzuty momentu pędu przyjmują wartość m F =, -1, 0, 1,. Wśród tych stanów stanami szukającymi minimum pola magnetycznego są tylko te, dla których m F = 1,, ponieważ tylko dla nich iloczyn czynnika Landego i m F przyjmuje odpowiedni znak. Atomy w stanach o m F = -, -1 są odpychane od minimum pola, a stan o m F = 0 nie oddziałuje w znaczącym stopniu z polem. Z.1.6. Chłodzenie przez odparowanie Przyjmijmy więc, że mamy pole magnetyczne z minimum wartości B. Załóżmy dodatkowo, że pole to ma taką postać, że siła z jaką działa ono na momenty magnetyczne prowadzi do powstania potencjału harmonicznego (tak jest w przypadku naszej pułapki). Jak wiemy, w takim zewnętrznym niejednorodnym polu magnetycznym wyszczególniony 5 1/ poziom S ; F = rozszczepia się na pięć poziomów zeemanowskich, odpowiednio dla każdego rzutu m F, jak to przedstawiono na rysunku poniżej (rys.58). Rys.58. Rozszczepienie poziomu energetycznego na pięć podpoziomów zeemanowskich. Kształt potencjału jest harmoniczny, ponieważ pole magnetyczne również jest takie. Krzywa gaussowska przedstawia rozkład gęstości chmury atomów w stanie m F = w zależności od odległości od środka pułapki. Rysunek wzięty z [4]. z 87

88 Załóżmy teraz arbitralnie, że wszystkie atomy znajdują się w stanie pułapkującym o m F =, 5 1/ czyli w stanie S ; F ; m = = F. Mówimy wtedy, że ich momenty magnetyczne są spolaryzowane, ponieważ wszystkie mają ten sam kierunek. Siła działająca na te atomy spycha je do naszego minimum potencjału ( z = 0 ) i dlatego mówimy, że atomy znajdują się w pułapce magnetycznej. Prędkości, a więc i energie kinetyczne naszych atomów, opisane są rozkładem Maxwell a-boltzmana. W z = 0 energia potencjalna atomów jest najmniejsza. Każde oddalenie od tego punktu wymaga od atomu zwiększenia energii potencjalnej kosztem energii kinetycznej. Wśród wszystkich atomów znajdujących się w pułapce tylko te o największej energii kinetycznej będą mogły oddalić się znacznie od środka pułapki. W takim przypadku rozkład gęstości atomów w zależności od odległości od środka pułapki przedstawia krzywa gaussowska (rys.58). Jako że znaczne oddalenie się od środka pułapki wymaga od atomu posiadania względnie dużej energii kinetycznej, dlatego daleko od jej środka znajdą się te atomy, które są najcieplejsze. Gdyby udało się je z pułapki usunąć, to spadłaby średnia energia kinetyczna atomów pozostających w pułapce, a co za tym idzie również ich temperatura. Można tego dokonać używając oscylującego z częstością radiową pola magnetycznego. Jeżeli tylko energia takiego promieniowania dopasowana będzie do różnicy energii pomiędzy poziomami zeemanowskimi o różnym m F w miejscu, gdzie chcielibyśmy dokonać odcięcia najcieplejszych atomów, to w miejscu tym nastąpi wyrównanie obsadzeń dla wszystkich poziomów zeemanowskich (rys. 59). Rys.59. Na skutek oscylującego pola magnetycznego o odpowiedniej energii następuje wyrównanie obsadzeń pomiędzy podpoziomami zeemanowskimi w konkretnej odległości od środka pułapki, a przez wyrzucenie z niej atomów najbardziej odległych czyli najcieplejszych. Rysunek wzięty z [4]. Pamiętać przy tym należy, że stany o m F = 0, -1 i - to stany nie pułapkujące. Jeśli jakiś atom znajdzie się w którymś z tych stanów, to zostanie z pułapki wypchnięty. Wyrównanie obsadzeń pomiędzy poziomami w tym przypadku będzie się więc sprowadzało do wyrzucenia 88

89 z pułapki wszystkich atomów, które w trakcie istnienia naszego tunelu ucieczkowego osiągnęłyby taką odległość od środka pułapki, w której nasz tunel się znajduje. Tym sposobem odetniemy ogon najbardziej odległych, a przez to i najcieplejszych atomów. Nasze cięcie nie tylko zmniejszy rozmiary chmury atomów w pułapce, ale i zmieni dotychczasowy rozkład energii kinetycznej. Jeśli odczekamy jakiś czas, na tyle długi, aby atomy w chmurze zdążyły na skutek oddziaływań dwuciałowych wymienić między sobą energię (stermalizować), to rozkład energii powróci do poprzedniej postaci, tyle że teraz z niższą średnią energią kinetyczną. Postępując dalej w ten sam sposób, zmieniając jedynie częstotliwość promieniowania radiowego na coraz mniejszą i zmniejszając tym samym promień odcięcia, konsekwentnie wyrzucać będziemy z pułapki najcieplejsze atomy. Tym samym stale będziemy obniżać ich temperaturę. Trzeba jednak zwrócić przy tym uwagę na fakt, że atomów w pułapce będzie coraz mniej, dlatego na początku musi się w niej dużo ich znaleźć. Ostatecznie dopasowując odpowiednio tempo obniżania częstotliwości RF (tzw. rampa) uzyskać można określoną temperaturę i gęstość atomów w chmurze. Tempo jednak nie może być zbyt duże, ponieważ w przeciwnym wypadku pozostające w pułapce atomy nie zdążą termalizować i zostaną wyrzucone z pułapki. Podczas obniżania temperatury atomów w pułapce nadchodzi moment, w którym zaczynają przechodzić one w stan kondensatu Bossego-Einsteina. 89

90 Z.. Doppler-Free Dichroism Lock (DFDL) Zarówno wiązka pompująca, jak i wiązka próbkująca (rys.13) to wiązki spolaryzowane liniowo, jednak można je traktować jak złożenie wiązek spolaryzowanych kołowo σ - i σ +. Komórka Rb, przez którą przechodzą obie wiązki, znajduje się w polu magnetycznym. Na skutek efektu Zeemana następuje rozszczepienie poziomów odpowiadających poszczególnym polaryzacjom (rys.60). σ - σ + Rys.60. Przesunięcie poziomów zeemanowskich dla polaryzacji σ - i σ +. Wiązka próbkująca po przejściu przez komórkę Rb wpada do detektora D, którego budowę przedstawia rys.61. P P Rys.61. Schemat detektora rozdzielającego sygnał σ - i σ +. Na ćwierćfalówce polaryzacje kołowe zmieniają się na prostopadłe do siebie polaryzacje liniowe, a te następnie zostają rozdzielane i skierowane do fotodiód P. Każda ze składowych σ - i σ + wiązki próbkującej, traktowanych teraz już niezależnie, zostaje na ćwierćfalówce zmieniana na odpowiadającą jej polaryzację liniową, a następnie przy użyciu kostki światłodzielącej kierowana jest do odpowiedniej fotodiody. W ten sposób dostajemy sygnał spektroskopii nasyceniowej, rozdzielony dla różnych polaryzacji σ - i σ +. W zasadzie sygnały te są prawie identyczne, tyle tylko że na skutek efektu Zeemana są względem siebie nieco przesunięte. Przedstawiona na rys.15 górna linia jest właśnie sygnałem z jednej takiej fotodiody, przesuniętym nieco w stosunku do normalnego sygnału spektroskopii nasyceniowej. Odejmując następnie od siebie sygnały z obu fotodiód dostajemy 90

91 tzw. sygnał różnicowy. Podstawową jego cechą jest to, że w miejscu, gdzie w pierwotnym sygnale spektroskopii znajdowały się piki, teraz znajdują się strome zbocza. Sygnał różnicowy otrzymywany w naszym układzie przedstawia dolna linia na rys.15. Sygnału tego używa się do stabilizacji częstotliwości lasera na wybranym zboczu. W naszym przypadku częstotliwość lasera lokowana jest na piku co13 sygnału spektroskopii, któremu w sygnale różnicowym odpowiada zbocze oznaczone kropką na rys.15. Gdy zostanie już dobrane zbocze, to dla wybranej częstotliwości (pionowa przerywana linia) określony jest pewien poziom sygnału (pozioma przerywana linia). Przyjmuje się, że wynosi on zero. Każda zmiana częstotliwości lasera powoduje przesunięcie wykresu, a to z kolei odstępstwo sygnału od przyjętego poziomu dla wybranej częstotliwości. Na podstawie wartości tego odstępstwa (zwanej sygnałem błędu) elektronika na zasadzie sprzężenia zwrotnego koryguje częstotliwość lasera. 91

92 Z.3. Właściwości rubidu 87 Rb i podstawowe stałe fizyczne chłodzenie, pulapkowanie i detekcja repompowanie pompowanie optyczne Rys.6. Poziomy energetyczne rubidu 87 Rb. W doświadczeniu wykorzystywana jest linia D rubidu o długości 780 nm. Na rysunku oznaczone są wielkości przejść energetycznych dla różnych wykorzystywanych w doświadczeniu wiązek: wiązki pułapkującej, repompującej i pompującej. 9

93 prędkość światla c = m/s przenikalność magnetyczna próżni 7 µ 0 = 4π 10 N/A przenikalność elektryczna próżni ( ) ε 0 = 1/ µ 0c stała Plancka 34 h = (5) 10 J s kreślona stała Plancka 34 h = 1, (8) 10 J s ładunek elementarny 19 e = 1, (63) 10 C magneton Bohra 4 µ B = 9, J/T atomowa jednostka masy 7 u = 1, (13) 10 kg promień Bohra 10 a 0 = 0, (19) 10 m stała Boltzmana k 3 = 1, (4) 10 J/K Tab.1. Podstawowe stałe fizyczne. B masa 5 m = 1, ( 110) 10 kg procentowy skład do rubidu naturalnego η = 7,83() % liczba atomowa Z = 37 całkowita liczba nukleonów Z + N = 87 spin jądrowy I = 3/ połówkowy czas rozpadu 10 τ n = 4,88 10 lat gęstość w temp. 5 C 3 ρ 5 = 1,53 g/cm Tab.. Proste właściwości rubidu 87 Rb. długość fali (w próżni) długość fali (w powietrzu) naturalna szerokość linii (FWHM) szerokość dopplerowska (300 K) natężenia saturacji prędkość odrzutu temperatura odrzutu rozszczepienie ze manowskie 5 S 1/, F = 1 rozszczepienie ze manowskie 5 S 1/, F = długość rozpraszania s, F = 1 długość rozpraszania s, F = λ = 780, (11) nm λ p = 780,03708 nm Γ = π * 6,065(9) MHz 516 MHz I S = 1,6 mw/cm v rec = h/mλ = 5,8845 mm/s T rec = mv /k B = 180,91 nk m F * (-1/) µ B = - m F * 700 khz/g m F * 1/ µ B = m F * 700 khz/g a -1-1 = 105 a 0 a = 98 a 0 a 11 = 94,8 a 0 a 1 = 98 a 0 Tab.3. Właściwości przejścia 87 Rb D 5 S 1/ 5 P 3/. 93

94 Z.4. Zdjęcia aparatury Fot.1. Zdjęcie odsłoniętego układu próżniowego. Widoczna jest górna komora, kwarcowa komórka, rurka łącząca komory i ujścia do pomp. Fot.. Zdjęcie aparatury służącej do wytwarzania BEC. Widoczny stół optyczny ze wszystkimi układami optycznymi i laserami, zasilacze cewek magnetycznych i system ich chłodzenia. 94