MIERNICTWO I SYSTEMY POMIAROWE. Michał Gruca, Janusz Grzelka, Michał Pyrc Stanisław Szwaja, Wojciech Tutak

Transkrypt

1 MIERNICTWO I SYSTEMY POMIAROWE Michał Gruca, Janusz Grzelka, Michał Pyrc Stanisław Szwaja, Wojciech Tutak

2 Autorzy rozdziałów: Michał Gruca -, 6, Stanisław Szwaja, 7, Michał Pyrc 3, 4, Wojciech Tutak 5, 9, Janusz Grzelka - 8, 0. Podręcznik Miernictwo i systemy pomiarowe przeznaczony jest dla studentów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Informatyki kierunek mechatronika. Będzie także przydatny dla studentów tego wydziału na kierunkach mechanika i informatyka Częstochowa 008

3 Spis treści.pomiary I ICH DOKŁADNOŚĆ...8..Podstawowe pojęcia...8..jednostki miar wielkości wzorce jednostek miar metody pomiarowe dokładność pomiaru rodzaje błędów pomiarowych źródła niepewności pomiaru model matematyczny niepewności pomiarowych....6.ocena niepewności pomiarów metoda typu A obliczania niepewności standardowej metoda typu B obliczania niepewności standardowej obliczanie niepewności standardowej estymaty wielkości wyjściowej niepewność rozszerzona pomiaru etapy opracowania końcowego wyniku pomiaru sporządzanie wykresów doświadczalne wyznaczanie zależności funkcyjnej...38 Literatura...39.WŁAŚCIWOŚCI STATYCZNE I DYNAMICZNE PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH Wstęp Własności wejściowe i wyjściowe przyrządów - członów aparatury podstawowe pojęcia dotyczące przetwornika rodzaje operacji wykonywanych przez przetwornik pomiarowy błąd dynamiczny miary błędu dynamicznego optymalizacja przetwornika pomiarowego do operacji śledzenia optymalizacja przetwornika pomiarowego ze względu na przetwarzanie nie zniekształcające sygnałów nieokresowych metodologia pomiarów wielkości statycznych własności przejściowe przyrządów ograniczenia wynikające z kształtu charakterystyki statycznej aproksymacja charakterystyki statycznej przetwornika charakterystyki dynamiczne funkcja przejścia widmowa postać transmitancji

4 .0.Modele przetworników pomiarowych przetworniku 0-rzędu Przetworniki I-go rzędu własności dynamiczne przetwornika I-go rzędu przetwornik II-go rzędu...6..dopasowanie przetworników w torze sygnałowym wiadomości wstępne własności wejściowe i wyjściowe przyrządów - członów aparatury własności przejściowe przyrządów podstawowe reguły dotyczące współpracy członów toru pomiarowego dopasowanie oporności wejściowej i wyjściowej dopasowanie amplitudy zmian sygnału dopasowanie częstotliwościowe...7 Literatura PODSTAWOWE MIERNIKI I POMIARY ELEKTRYCZNE Dokładność miernika Dokładność mierników analogowych Dokładność mierników cyfrowych Mierniki analogowe Działanie miernika analogowego Woltomierze i amperomierze magnetoelektryczne Omomierz magnetoelektryczny Mierniki cyfrowe multimetry Pomiary podstawowych wielkości elektrycznych Pomiary napięcia Pomiary prądu Pomiary rezystancji...89 Literatura POMIARY IMPEDANCJI, MOCY I ENERGII Mostki pomiarowe Mostki prądu stałego Mostki prądu przemiennego Pomiary mocy Pomiary energii Pomiary impedancji...09 Literatura POMIARY OSCYLOSKOPOWE Wstęp Zasada działania oscyloskopu i jego budowa... 4

5 5.3.Budowa lampy oscyloskopowej Ekran lampy oscyloskopowej Podstawowe parametry oscyloskopu Generator podstawy czasu Jednorazowa podstawa czasu Synchronizowana lub samobieżna podstawa czasu Wyzwalana podstawa czasu Automatyczna praca podstawy czasu Oscyloskopy z lampami wielostrumieniowymi. Przełącznik elektroniczny Modulacja jaskrawości (oś Z) Kalibratory Monitory ciekłokrystaliczne i dotykowe Ekrany dotykowe Układy pomocnicze oscyloskopu Oscyloskop cyfrowy Sondy napięciowe Przewód współosiowy - ekranowany Sonda rezystorowa Sonda RC Sonda prądowa Przykłady wykorzystania oscyloskopu w miernictwie Pomiar amplitudy sygnału Pomiar częstotliwości sygnału Pomiar przesunięcia fazowego sygnałów Pomiar częstotliwości przy pomocy figur Lissajous Pomiary sygnałów impulsowych Opis panelu sterowania oscyloskopu...43 Literatura CYFROWA TECHNIKA POMIAROWA Wprowadzenie Przetwarzanie analogowo cyfrowe Próbkowanie przebiegu Kwantowanie przebiegu Kodowanie Przetworniki analogowo-cyfrowe Przetwornik A/C równoległy Szeregowo - równoległy przetwornik A/C Przetworniki z kompensacją wagową Przetwornik A/C z podwójnym całkowaniem Przetwornik A/C typu delta-sigma (Δ - Σ) Przetwornik A/C potokowy Parametry przetworników A/C...6 5

6 6.4.Przyrządy wirtualne komputerowe karty pomiarowe Karty zbierania danych Oprogramowanie wirtualnych przyrządów pomiarowych...66 Literatura POMIAR TEMPERATURY Międzynarodowa skala termometryczna Metody pomiaru temperatury Termometry rezystancyjne Metody pomiaru rezystancji Konstrukcje metalowych przetworników rezystancyjnych Przetworniki rezystancyjne półprzewodnikowe Układy pomiarowe Termometry termoelektryczne Zjawisko termoelektryczne Termoelementy Konstrukcja termoelementów i osłon Kompensacja wpływu zmian temperatury odniesienia Układ połączeń instalacji pomiarowych Błędy statyczne stykowej metody pomiaru temperatur Własności dynamiczne prostego przetwornika termometrycznego Optyczne metody pomiaru temperatury...87 Literatura POMIARY AKUSTYCZNE Wprowadzenie Czym jest dźwięk? Miary akustyczne Percepcja dźwięku Głośność dźwięku Pomiary poziomu dźwięku Miernik poziomu dźwięku Technika pomiarowa Dodawanie poziomów dźwięku Odejmowanie poziomów dźwięku Rozchodzenie się hałasu środowiskowego Podstawowe pojęcia używane w akustyce Podsumowanie...6 Literatura...9 6

7 9.TENSOMETRIA OPOROWA Związki między odkształceniami i naprężeniami Opis zjawiska fizycznego Budowa tensometrów oporowych Konstrukcje i właściwości tensometrów Tensometryczne układy rozetowe Układy pomiarowe Kompensacja wpływu temperatury Układy aparatury tensometrycznej Układ zmiennoprądowy Układ stałoprądowy Pomiar wielkości mechanicznych Pomiar siły Pomiar ciśnienia Pomiar momentu obrotowego Pomiar niewielkich przemieszczeń Pomiar prędkości przepływu...50 Literatura PRZETWORNIKI PIEZOKWARCOWE - POMIARY DRGAŃ Przetworniki piezokwarcowe Zjawisko piezoelektryczne Zasady budowy przetworników piezoelektrycznych Czujnik piezokwarcowy w układzie pomiarowym Wzmacniacze ładunku Pomiary parametrów ruchu drgającego Typy drgań mechanicznych Zasady pomiaru parametrów ruchu drgającego Piezoelektryczne czujniki do pomiaru drgań Wzorcowanie czujników do pomiaru drgań Parametry średnie ruchu drgającego Drgania układu o jednym stopniu swobody Drgania własne Tłumienie nadkrytyczne Tłumienie krytyczne Tłumienie podkrytyczne Drgania wymuszone Pomiary drgań maszyn i urządzeń Wielkości określające stan wibracyjny obiektu Pomiar drgań łożysk i kadłubów Aparatura firmy Brüel & Kjær Pomiar drgań wirników...74 Literatura

8 . Pomiary i ich dokładność.. Podstawowe pojęcia Miernictwo jest dziedziną wiedzy zajmującą się miarami i mierzeniem. Jego podstawowym zadaniem jest umożliwienie człowiekowi dokonywania obiektywnej, ilościowej oceny występujących w świecie zjawisk. Miernictwo stosowane jest praktycznie we wszystkich dziedzinach od pomiarów wykonywanych w życiu codziennym, takich jak ważenie, odmierzanie czasu, pomiary temperatury, długości, prędkości poprzez pomiary konieczne w czasie wytwarzania różnych dóbr skończywszy na laboratoriach badawczych. Narzędziami pomiarowymi posługujemy się w celu usprawnienia wykonywanej pracy aby zrobić coś dobrze, trzeba wiedzieć ile jednostek danej wielkości ma to coś mieć i kontrolować ile tych jednostek aktualnie ma. Pomiar jest również źródłem informacji koniecznych do podejmowania trafnych decyzji technologicznych lub ekonomicznych. Coraz większa intensyfikacja procesów produkcyjnych stwarza konieczność stosowania automatyzacji nie tylko produkcji, ale również pomiarów parametrów procesów produkcyjnych. Do tego nie wystarczają już proste narzędzia pomiarowe konieczne jest stosowanie bardziej złożonych struktur w postaci systemów pomiarowych - czyli zbiorów przyrządów i przetworników pomiarowych objętych wspólnym sterowaniem, które tworzą jedną organizacyjną całość, przeznaczoną do pobrania informacji pomiarowej, jej przetworzenia, porównania, obliczeń i rejestracji wyników pomiarów w celu określenia stanu badanego obiektu. Współczesne systemy pomiarowe są niezbędne nie tylko dla zapewnienia prawidłowego sterowania przebiegiem danego procesu, ale również bezpieczeństwa jego obsługi. Rozwój nauki i techniki powoduje ciągłe poszerzanie się pola zastosowań miernictwa pojawia się potrzeba pomiaru wielkości dotychczas nie mierzonych a te, które są znane trzeba mierzyć dokładniej, szybciej i taniej. Nauką zajmującą się sposobami dokonywania pomiarów oraz zasadami interpretacji uzyskanych wyników jest metrologia. Obejmuje ona wszystkie teoretyczne i praktyczne problemy związane z pomiarami, niezależnie od rodzaju wielkości mierzonej i dokładności pomiarów. Rozróżnia się: metrologię ogólną obejmującą zagadnienia pomiarów wspólne dla wszystkich zastosowań (np. układy jednostek miar, właściwości narzędzi pomiarowych), metrologię stosowaną odnoszącą się do określonego rodzaju wielkości mierzonej lub obejmującą pomiary w określonych dziedzinach (np. metrologia warsztatowa, metrologia elektryczna), metrologię prawną zajmującą się zagadnieniami odnoszącymi się do jednostek miar, metod pomiarów i narzędzi pomiarowych z punktu widzenia urzędowo ustalonych wymagań technicznych i prawnych, 8

9 metrologię teoretyczną zajmującą się teoretycznymi zagadnieniami pomiarów (np. błędami pomiarów) oraz technikami pomiarów. Współczesna fizyka definiuje pomiar jako proces oddziaływania przyrządu pomiarowego z badanym obiektem a jego wynikiem jest uzyskanie informacji o własnościach obiektu. Oznacza to, że pomiar jest procesem poznawczym, który umożliwia odwzorowanie właściwości fizycznych obiektów w dziedzinie liczb. Sam proces pomiarowy jest ciągiem czynności podjętych w celu ustalenia miary określonej wielkości fizycznej lub umownej, jako iloczynu jednostki miary oraz liczby określającej wartość tej wielkości, czyli po prostu jest to porównywanie wartości danej wielkości z jednostką miary tej wielkości. Proces pomiarowy powinien obejmować następujące czynności: - teoretyczne i praktyczne przygotowanie pomiaru, - techniczną realizację pomiaru, - opracowanie i interpretację wyników. Wykonanie pomiaru wymaga użycia narzędzi pomiarowych, które mogą tworzyć układ pomiarowy lub system pomiarowy. Często przez pomiar rozumie się tylko jego techniczną realizację. Obecnie pojęcie pomiaru rozszerza się na doświadczenie mające na celu wyznaczenie przebiegu czasowego i rozkładu przestrzennego pewnych wielkości, a także reprezentacji przebiegów czasowych wielkości i związków funkcjonalnych między nimi. Jako pomiar traktuje się również operacje kontroli mieszczenia się wartości wielkości w określonym przedziale... Jednostki miar wielkości Cechy zjawiska lub obiektu, które potrafimy odwzorować liczbą, nazywamy wielkościami mierzalnymi, lub wielkościami fizycznymi. Wielkością może być taka właściwość zjawiska lub ciała, która jest jednoznacznie zdefiniowana i posiada ustalony wzorzec jednostki miary. Na przykład wielkościami charakteryzującymi ciało stałe mogą być jego masa, wymiary geometryczne, twardość, skład chemiczny, temperatura itd. Istnieje bardzo dużo różnych wielkości o charakterze mechanicznym, termicznym, elektrycznym, optycznym, akustycznym itd. Wielkość określona to wielkość związana z konkretnym obiektem (np. długość stołu, napięcie elektryczne ogniwa) a wielkość mierzona to taka wielkość której wartość się aktualnie określa. Wartością wielkości jest iloczyn liczby i jednostki miary, np. 4,6 m, 7 ma. Podanie samej liczby, czyli miary wielkości nie wystarcza do określenia wartości wielkości mierzonej bo ta sama wartość może być wyrażona przy pomocy różnych liczb i różnych jednostek (np. długość samochodu może być zapisana na różne sposoby 4,6 m = 460 cm = 4600 mm) Jednostka miary to wartość określonej wielkości fizycznej przyjęta umownie w danym układzie jednostek miar za wartość jednostkową. Jednostka miary danej wielkości pozwala na porównywanie różnych wartości tej wielkości. Materialne odtworzenie jednostki miary nazywa się wzorcem jednostki miary. Za jednostkę miary danej wielkości można w zasadzie przyjąć dowolną jej wartość, ale prowadziłoby to do zupełnego chaosu, dlatego od jednostek miar wymaga się aby były powszechne, jednoznaczne i łatwo odtwarzalne. Jednoznaczność jednostek miar uzyskuje się poprzez umowne stosowanie tylko kilku jednostek tzw. jednostek podstawowych, których powinno być tylko tyle, ile wystarcza do zdefiniowania za pomocą praw fizyki jednostek wielkości pozostałych. Oczywiście jednostki podstawowe powinny być wzajemnie niezależne aby nie wprowadzać niejednoznaczności. Najczęściej wybiera się na jednostki podstawowe wielkości, które mają największe znaczenie w nauce i technice i charakteryzują się łatwym odtwarzaniem ich miary. W ciągu ostatnich 00 lat zmieniały się i nadal zmieniają się opinie o tym ile, i które jednostki uznać za podstawowe. Takie zestawienie jednostek miar wielkości podstawowych i zależności fizycznych między nimi pozwalające na określanie jednostek miar wielkości pozostałych są nazywane układami jednostek miar. Obecnie w większości państw świata obowiązuje 9

10 Międzynarodowy Układ Jednostek Miar - układ SI (franc. Système International d'unités) - zatwierdzony w 960r. (wielokrotnie później modyfikowany) przez Generalną Konferencję Miar. W Polsce układ SI obowiązuje od 966r. Ostatnim aktem prawnym ustalającym jego stosowanie jest Rozporządzenie Rady Ministrów z dnia 30 listopada 006 r. w sprawie legalnych jednostek miar (Dz.U. Nr 5, poz. 638). W układzie SI przyjęto siedem wielkości podstawowych (tabela..) i odpowiadających im podstawowych jednostek miar zdefiniowanych przez opis doświadczeń pozwalających na odtworzenie ich wzorców. Tabela.. Wielkości podstawowe i ich jednostki w układzie SI Nazwa wielkości Symbol Nazwa Symbol L.p. podstawowej wielkości jednostki jednostki długość l metr m masa m kilogram kg 3 czas t sekunda s 4 natężenie prądu elektrycznego i amper A 5 temperatura termodynamiczna T kelwin K 6 światłość j kandela cd 7 ilość materii n mol mol Jednostki podstawowe SI oznaczają:. metr - długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie / sekundy;. kilogram - jednostkę masy, która jest równa masie międzynarodowego prototypu kilograma przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sèvres; 3. sekunda - czas równy okresom promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 33; 4. amper - prąd elektryczny niezmieniający się, który, płynąc w dwóch równoległych prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o przekroju kołowym znikomo małym, umieszczonych w próżni w odległości metra od siebie, wywołałby między tymi przewodami siłę 0-7 niutona na każdy metr długości; 5. kelwin - /73,6 część temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody; 6. mol - liczność materii układu zawierającego liczbę cząstek równą liczbie atomów w masie 0,0 kilograma węgla ; przy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek, którymi mogą być: atomy, cząsteczki, jony, elektrony, inne cząstki lub określone zespoły takich cząstek; 7. kandela - światłość źródła emitującego w określonym kierunku promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości herców i o natężeniu promieniowania w tym kierunku równym /683 wata na steradian. Dla wielkości fizycznych pochodnych tworzy się na podstawie ich równań definicyjnych i wynikających z nich równań wymiarowych jednostki pochodne (tabela..). Mają one postać iloczynów jednostek podstawowych układu, podniesionych do odpowiedniej potęgi. Układ SI jest spójnym układem jednostek miar. Oznacza to, że pochodne jednostki miar są wyrażone za pomocą jednostek miar podstawowych, wzorem, w którym współczynnik liczbowy jest zawsze równy jedności (np. w przypadku siły jednostką jest niuton równy: N = kg m/s ) 0

11 Tabela.. Nazwy, definicje i oznaczenia legalnych jednostek miar, będących jednostkami pochodnymi o nazwach i oznaczeniach specjalnych należącymi do międzynarodowego układu jednostek miar (SI) L.p. Wielkość Jednostka miary nazwa oznaczenie Definicja Wyrażenie za pomocą jednostek podstawowych SI Kąt płaski radian rad rad = m/ m = m m - = Kąt bryłowy steradian sr sr = m / m = m m - = l 3 Częstotliwość herc Hz Hz = / s s - 4 Siła niuton N N = kg (m/s ) kg m s - 5 Ciśnienie, naprężenie mechaniczne, ciśnienie akustyczne paskal Pa Pa = N/ m - m - kg s 6 Energia, praca, ilość ciepła dżul J J = N m - m kg s 7 Moc, strumień promieniowania wat W W = J/ s -3 m kg s 8 Ładunek elektryczny kulomb C C = A s A s 9 Potencjał elektryczny, napięcie elektryczne, siła elektromotoryczna - wolt V V = W/ A m kg s -3 A 0 Pojemność elektryczna farad F F = C/ V m - kg - s 4 A Rezystancja, (opór elektryczny) om Ω Ω = V/ A - m kg s -3 A Konduktancja (przewodność elektryczna) simens S S = Ω - m - kg - s 3 A 3 Strumień magnetyczny weber Wb Wb = V s - m kg s - A 4 Indukcja magnetyczna tesla T T = Wb/ m - kg s - A 5 Indukcyjność henr H H = V s/ A - m kg s - A 6 Temperatura Celsjusza stopień Celsjusza C C = K K 7 Strumień świetlny lumen lm lm = cd sr cd 8 Natężenie oświetlenia luks lx lx = lm/ m cd m - 9 Aktywność promieniotwórcza bekerel Bq Bq = /l s s - 0 Dawka pochłonięta, energia przekazana właściwa, kerma Równoważnik dawki, przestrzenny równoważnik dawki, kierunkowy równoważnik dawki, indywidualny równoważnik dawki, dawka równoważna - grej Gy Gy = J/ kg m s - siwert Sv Sv = J/ kg m s Aktywność katalityczna katal kat kat = mol/ s mol s - W układzie SI stosuje się oprócz jednostek głównych, czyli tych jednostek podstawowych i pochodnych, które wynikają wprost z równań definicyjnych, również jednostki wtórne (krotne), wielokrotne i podwielokrotne (ułamkowe). Są one stosowane do wygodniejszego zapisu wartości, których wyrażenie przy użyciu jednostek głównych wymaga użycia dużej liczby zer po lub przed przecinkiem. Tworzone są zazwyczaj przez dodanie przedrostka do nazwy jednostki głównej dla danej wielkości. Na przykład jeśli do nazwy jednostki podstawowej jaką jest amper dodamy przedrostek otrzymamy nazwy jednostek mniejszych i większych: pikoamper (pa), miliamper (ma), kiloamper (ka), megaamper (MA).

12 Tabela.3. Nazwy i oznaczenia przedrostków wyrażających mnożniki dziesiętne służące do tworzenia dziesiętnych wielokrotności i podwielokrotności jednostek miar. Przedrostek Oznaczenie Mnożnik Przedrostek Oznaczenie Mnożnik jotta Y 0 4 decy d 0 - zetta Z 0 centy c 0 - eksa E 0 8 mili m 0-3 peta P 0 5 mikro 0-6 tera T 0 nano n 0-9 giga G 0 9 piko p 0 - mega M 0 6 femto f 0-5 kilo k 0 3 atto a 0-8 hekto h 0 zepto z 0 - deka da 0 jokto j 0-4 Przedrostków nie stosuje się w przypadku jednostek następujących wielkości:. kąt płaski i kąt bryłowy - jedność ();. kąt płaski - obrót, grad lub gon (gon), stopień ( ), minuta ('), sekunda ("); 3. czas - minuta (min), godzina (h), doba (d); 4. zdolność skupiająca układu optycznego - dioptria; 5. masa kamieni szlachetnych - karat metryczny (ct); 6. pole powierzchni gruntów rolnych lub terenów budowlanych - ar (a), hektar (ha); 7. ciśnienie krwi oraz ciśnienie innych płynów ustrojowych - milimetr słupa rtęci (mmhg). W układzie SI dopuszcza się również stosowanie pewnych jednostek miar wyrażonych przez jednostki podstawowe SI, lecz nie będące ich dziesiętnymi wielokrotnościami lub pod wielokrotnościami (tabela.4). Tabela.4. Jednostki miar wyrażone przez jednostki podstawowe SI, lecz nie będące ich dziesiętnymi wielokrotnościami lub podwielokrotnościami L.p. nazwa Wielkość oznaczenie Jednostk miary Definicja Wartość w jednostkach SI obrót obrót = Π rad stopień = (Π/80) rad Kąt płaski minuta ' ' = (Π/0.800) rad sekunda " " = (Π/ ) rad grad lub gon gon gon = (Π/00) rad minuta min min = 60 s Czas godzina h h = s doba d d = s W dziedzinie pomiarów elektrycznych stosuje się dodatkowo kilka specjalnych jednostek miar. I tak, do określenia wielkości ładunku elektrycznego można stosować amperogodzinę ( Ah = 3600 C), mocy biernej: war ( var = W) a energii: watogodzinę ( Wh = 3600 J).

13 W przypadku pomiarów elektromagnetycznych i akustycznych używa się pojęcia poziomu wielkości mocy lub poziomu wielkości polowej. Do ich wyrażenia stosuje się jednostki oparte na logarytmie dziesiętnym (bel) lub logarytmie naturalnym (neper) zdefiniowane następująco: ) W wypadku pomiaru mocy - poziom wielkości mocy może być wyrażony: gdzie: w belach (B): w neperach (Np) : P - wartość mocy, P 0 - wartość mocy odniesienia. P L B log 0 (.) P0 P P L N ln ln (.) P0 P0 ) W przypadku pomiaru amplitud wielkości polowej - poziom wielkości polowej: w belach (B): w neperach (Np) : gdzie: A - wartość amplitudy, A 0 - wartość amplitudy odniesienia. A A K B log 0 = log0 (.3) A0 A0 A K N ln (.4) A 0 Często stosuje się jednostkę pod wielokrotną bela, decybel: db = 0, B. I tak np. wartość wzmocnienia wyrażona w decybelach obliczana jest z zależności: A A K db 0 log 0 0 log0 (.5) A0 A0 Związki między neperem i decybelem są następujące: Np = 0/ln(0) db = 8, db db = ln0/0 Np = 0,5954 Np.3. Wzorce jednostek miar Wysokiej dokładności wzorzec miary stosowany do definiowania, realizacji, zachowania lub odtwarzania jednostki miary jednej lub wielu wartości pewnej wielkości nazywany jest etalonem. Etalon wykorzystuje się do porównawczego przekazywania jednostki miary narzędziom pomiarowym lub innym wzorcom. Wzorzec jednostki miary może być przyrządem pomiarowym, materiałem odniesienia lub układem pomiarowym. Od wzorca wymaga się niezmienności w czasie, łatwości odtwarzania, łatwej porównywalności i dużej dokładności. Każdy wzorzec ma swoje charakterystyczne parametry: nominalną 3

14 miarę wzorca, niedokładność miary wzorca, okres zachowywania niedokładności miary wzorca, warunki, w których miara i dokładność są zachowane. Ze względu na dokładność wzorce zaliczane są do różnych kategorii. Najwyżej w tej hierarchii znajdują się wzorce państwowe. Państwowe wzorce jednostek miar są to wzorce jednostek miar uznane urzędowo za podstawę do przypisywania wartości innym wzorcom jednostki miary danej wielkości fizycznej, wykonanych z mniejszą dokładnością i stosowanych w pomiarach naukowych i technicznych. Do zastosowań praktycznych wykonuje się wzorce odtwarzające jednostkę miary w sposób mniej dokładny ale wystarczający do określonych zadań pomiarowych..4. Metody pomiarowe Sposób porównania wartości wielkości mierzonej z jej wartością umowną przyjętą za jednostkę - nazywamy metodą pomiarową. Do wykonywania pomiarów stosuje się różne metody w zależności od żądanej dokładności, warunków, w których pomiar jest wykonywany, przeznaczenia wyników pomiaru, charakteru wielkości mierzonej. Spośród wielu różnych klasyfikacji metod pomiarowych najważniejszy jest ich podział ze względu na sposób uzyskiwania wyniku pomiaru. Według tego podziału metody możemy zaliczyć do jednej z trzech kategorii: metod bezpośrednich, metod pośrednich i metod złożonych. Metoda jest bezpośrednia jeśli wielkość mierzona i wzorcowa są tego samego rodzaju a wynik pomiaru jest otrzymywany bezpośrednio z odczytu wskazań narzędzia pomiarowego w wartościach wielkości mierzonej. Przykłady bezpośrednich metod pomiarowych to pomiar długości linijką, masy na wadze z podziałką lub napięcia woltomierzem. Metoda jest pośrednia jeżeli wartość wielkości y mierzonej pośrednio oblicza się jako funkcję wartości innych wielkości (x, x,, x m ) zmierzonych bezpośrednio: y f ( x,, x m ) (.6) Przykłady pomiarów metodą pośrednią to pomiar gęstości ciała na podstawie pomiarów jego masy i objętości, pomiar rezystancji na podstawie pomiarów napięcia i natężenia prądu. Nieraz te same wielkości można zmierzyć również bezpośrednio, np. gęstość można zmierzyć areometrem a opór omomierzem. Rozróżnienie metod bezpośrednich i pośrednich jest szczególnie ważne ze względu na stosowane sposoby szacowania dokładności wyników pomiarów. Metoda złożona polega na bezpośrednim albo pośrednim wyznaczaniu wartości pewnej liczby wielkości związanych ze sobą układem równań algebraicznych. Na przykład taką metodę można wykorzystać do pomiaru masy poszczególnych odważników zestawu, gdy znana jest masa jednego z nich i gdy są znane wyniki porównań mas różnych możliwych kombinacji odważników. Metody pomiarowe różnicuje się również ze względu na sposób porównywania, gdzie wyróżnia się metodę podstawową i kilka odmian metod porównawczych. Metody porównawcze dzieli się na trzy grupy: metody bezpośredniego porównania, metody różnicowe i metody pośredniego porównania oraz wyodrębnia z metody porównawczej zerowej metodę kompensacyjną i metodę komparacyjną. Metoda podstawowa polega na pomiarach wielkości podstawowych wymienionych w definicji wielkości i nazywana jest też czasem metodą bezwzględną. Przykładem metody podstawowej może być pomiar wartości ciśnienia na podstawie definicji ciśnienia - jako stosunku siły normalnej do pola przekroju, na które działa siła - wykonywany za pomocą manometru obciążnikowo-tłokowego. 4

15 Metody porównawcze polegają na porównaniu wartości wielkości mierzonej ze znaną wartością tej samej wielkości zwaną wielkością wzorcową. Metoda bezpośredniego porównania polega na porównaniu całkowitej wartości wielkości mierzonej z wartością znaną tej samej wielkości, która w postaci wzorca wchodzi bezpośrednio do pomiaru. Przykładem jest pomiar długości, za pomocą przymiaru kreskowego lub pomiar objętości cieczy za pomocą pojemnika. Odmianami metody bezpośredniego porównania są metody podstawiania i przestawiania. Metoda podstawiania polega na zastąpieniu wartości wielkości mierzonej wartością znaną tej wielkości, wybraną w ten sposób, aby skutki wywołane przez te dwie wartości były takie same. Przykładem może być pomiar masy polegający na zastąpieniu wstępnie zrównoważonej na wadze mierzonej masy, odważnikami doprowadzającymi wagę do poprzedniego wskazania. Masa tych odważników określają miarę mierzonej masy. Taki sposób pomiaru masy pozwala uniezależnić wynik od długości ramion wagi w przypadku gdy podejrzewamy, że ramiona wagi nie są równe. Metoda przestawiania polega na zrównoważeniu wartości x wielkości mierzonej najpierw znaną wartością A tej wielkości, następnie na podstawieniu wielkości mierzonej na miejsce A i ponownym zrównoważeniu jej ze znaną wartością B tej samej wielkości. Jeżeli wskazania przyrządu pomiarowego są jednakowe w obu przypadkach, to wartość wielkości mierzonej jest równa: x A B (.7) Przykładem może być metoda podwójnego ważenia Gaussa, którą stosuje się do wyznaczania masy za pomocą wagi i odważników kontrolnych. Metoda różnicowa jest metodą porównawczą polegającą na porównaniu wartości wielkości mierzonej z niewiele różniącą się od niej znaną wartością tej samej wielkości i pomiarze różnicy tych wartości. Przykładem tej metody może być pomiar za pomocą czujnika różnicy długości przedmiotu mierzonego i płytki wzorcowej. Metoda zerowa jest odmianą metody różnicowej, w której sprowadza się do zera różnicę wartości wielkości mierzonej i znanej wartości tej samej wielkości z nią porównywanej. Przykładem może być pomiar oporu elektrycznego za pomocą mostka Wheatstone'a i wskaźnika równowagi. W pomiarach elektrycznych oraz pomiarach wielkości nieelektrycznych metodami elektrycznymi stosuje się również odmiany metody zerowej, a mianowicie metodę kompensacyjną i metodę komparacyjną. Metoda kompensacyjna charakteryzuje się tym, że wielkości mierzonej przeciwstawia się wzorcową wielkość kompensującą tego samego rodzaju o znanej wartości, która kompensuje fizyczne działanie wielkości mierzonej na detektor. W stanie równowagi działanie wielkości mierzonej i kompensującej są jednakowe i przeciwnie skierowane, dlatego następuje pełna kompensacja ich działania. x + - w wskaźnik zera wzorzec nastawny w Rys... Metoda kompensacyjna polegająca na takim ustawieniu wartości wzorca w, aby = 0. 5

16 W metodzie komparacyjnej sprowadza się do zera różnicę między wielkość mierzoną x i znaną krotnością k wielkości wzorcowej W. Po zrównoważeniu wartość wielkości mierzonej oblicza się jako: x = k W. Znaczenie tej metody polega na zastosowaniu wzorca odtwarzającego tylko jedną wartość W, czyli wzorca dokładniejszego od wzorców odtwarzających wiele wartości. Jeszcze jedną odmianą metody różnicowej jest metoda koincydencyjna. Polega ona na wyznaczaniu koincydencji pewnych wskazów lub sygnałów małej różnicy między wartością wielkości mierzonej i z nią porównywanej znanej wartości tej samej wielkości. Metodą tą mierzy się czas; obserwuje się koincydencję wzorcowych sygnałów czasu z sygnałami zegara porównawczego. Podobny jest pomiar ułamkowych części milimetra za pomocą noniusza suwmiarki. Bardzo często stosowaną metodą porównawczą jest metoda wychyleniowa. Jest to metoda polegająca na wyznaczaniu wartości wielkości mierzonej na podstawie zmiany wzajemnego położenia wskazówki i podziałki. Przykłady tej metody to pomiar ciśnienia za pomocą manometru z elementem sprężystym, pomiar masy za pomocą wagi uchylnej, a także pomiar napięcia woltomierzem z analogowym urządzeniem wskazującym W tym przypadku występuje niezgodność rodzaju wielkości mierzonej i wzorcowej - cała wartość wielkości mierzonej jest przetwarzana w przyrządzie na wielkość tego samego rodzaju co wzorcowa, a następnie porównywana. Zwykle metoda wychyleniowa polega na wywołaniu momentu siły, zależnego od wartości wielkości mierzonej, który jest równoważony przez przeciwnie skierowany moment wywołany odkształceniem elementu sprężystego. To odkształcenie powoduje wychylenie wskazówki pokazującej wartość wielkości mierzonej na podziałce wywzorcowanej w jednostkach wielkości mierzonej..5. Dokładność pomiaru Jak wykazuje praktyka, żaden pomiar, niezależnie od staranności jego wykonania nie daje całkowicie dokładnego wyniku. Z pomiarem nierozerwalnie związana jest niepewność uzyskanego wyniku, której nie sposób uniknąć. Zachowując większą staranność można ją jedynie próbować zmniejszyć. Analiza dowolnego pomiaru pozwala zrozumieć nieuchronność występowania niepewności w wykonywaniu pomiarów. Przykładowo można do pomiaru długości stołu użyć taśmy mierniczej z działkami rozmieszczonymi co 0,5 cm i w wyniku pomiaru stwierdzić, że stół ma długość 6,7cm z zastrzeżeniem, że rzeczywista długość znajduje się pomiędzy 6,6cm a 6,8cm, ponieważ krawędź stołu znalazła się pomiędzy oznaczeniami na taśmie i konieczne było przybliżone określenie jej położenia (w tym przypadku przyjęto, że położenia między oznaczeniami na taśmie można określić z dokładnością do /5 działki elementarnej czyli mm). Stosując lepszą taśmę z działkami co mm można zmniejszyć tę niepewność do przedziału od 67,0mm do 67,mm, ale nie da się jej całkowicie wyeliminować. Nawet wtedy gdy krawędź stołu pokryje się z odpowiednią działką na taśmie (np. 67mm) nie jesteśmy w stanie stwierdzić na podstawie tego pomiaru czy stół ma długość równą dokładnie 67,0mm czy może 67,04mm, czy też inną wartość z przedziału od 66,9mm do 67,mm. Stosując do pomiaru długości stołu interferometr laserowy, pozwalający na osiągnięcie największej możliwej technicznie dokładności, niepewność wyniku pomiaru zostanie ograniczona do wartości porównywalnych z długością fali świetlnej, ale nadal będzie ona istniała. Oznacza to, że długości stołu nie można zmierzyć z absolutną dokładnością, podobnie jak ma to miejsce w przypadku wszystkich pomiarów. Na ograniczenie dokładności pomiaru wpływ mają: niedoskonałość metod i narzędzi pomiarowych, warunki wykonywania pomiaru oraz nieumiejętności obserwatora. Stosując lep- 6

17 sze metody, instrumenty pomiarowe i zwiększając nakłady pracy można zmniejszyć istniejące niepewności ale nie można ich całkowicie usunąć. Niepewność jest parametrem związanym z pomiarem i jest nieodłączną częścią wyniku pomiaru. Wynik pomiaru, którego niepewność nie jest znana, jest wynikiem nic nie mówiącym. Wynik pomiaru powinien wskazywać przedział, wewnątrz którego znajduje się wartość wielkości mierzonej. Im dokładniejszy jest pomiar tym mniejszy jest ten przedział. Oczywiście wykonując pomiar powinno się dążyć do osiągnięcia jedynie takiej dokładności jaka jest niezbędna z punktu widzenia celu, do którego wynik pomiaru jest potrzebny. Bardzo często mamy do czynienia z sytuacją gdy obiekt i narzędzie pomiarowe są dobrze znane a wymagania co do dokładności nie są ostre wówczas opracowanie wyników i ocena dokładności nie są potrzebne, ponieważ mierzący i bez tego wie jaka jest dokładność uzyskanych wyników. Właściwym sposobem prezentacji wyników pomiarów jest podanie najlepszego oszacowania (estymaty) wyniku oraz zakresu, w którym mierzona wielkość leży, czyli w postaci: x m x x (.8) gdzie : x najlepsze oszacowanie wartości mierzonej, x - niepewność pomiaru. Ponadto ze sposobu zapisu musi wynikać prawdopodobieństwo (poziom ufności), z jakim wartość rzeczywista znajdzie się w przedziale określonym przez podaną niepewność. Ponieważ x jest szacunkową niepewnością pomiaru nie powinno się jej podawać z dokładnością większą niż do dwóch cyfr znaczących. W wyniku pomiaru powinna być zapisana jego wartość, niepewność pomiarowa i jednostka, np.: U = (3,45 ± 0,5) V. Teoretycznie wyniki mogą być obliczane do dowolnego miejsca rozwinięcia dziesiętnego, ale sens fizyczny mają najwyżej dwie cyfry znaczące niepewności. Zaokrąglanie zaczynamy od zapisu obliczonej niepewności pomiarowej z trzema cyframi znaczącymi, z których tylko pierwsza musi być różna od zera. Następnie zaokrąglamy niepewność pomiarową do dwóch miejsc znaczących. Sam wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca rozwinięcia dziesiętnego co niepewność..5.. Rodzaje błędów pomiarowych W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy określenie błędu, przez który rozumiemy rozbieżność między wynikiem pomiaru, a wartością prawdziwą. Błąd bezwzględny określony jest zależnością: = x - (.9) gdzie: x - wynik pomiaru, - wartość prawdziwa. x -x x x +x x x Rys... Ilustracja pojęcia błędu i niepewności pomiaru 7

18 Z rysunku. wynika, że błąd ma określony znak, natomiast niepewność x nie posiada określonego znaku, gdyż wyraża długość jednostronnego przedziału. Dlatego przed liczbą wyrażającą niepewność umieszcza się znak. Wartość wielkości prawdziwa (rzeczywista), jest pojęciem idealnym i oczywiście nie może być dokładnie znana. Równość wyniku pomiaru i wartości prawdziwej jest zdarzeniem wyjątkowym, i nawet jeżeli zachodzi, to fakt ten pozostaje nieznany. Przy praktycznym wyznaczaniu błędu pomiaru zastępuje się nieznaną wartość prawdziwą jej możliwie najdokładniejszym przybliżeniem nazywanym wartością poprawną. Za wartość poprawną wielkości mierzonej przyjmuje się wartość liczbową w takim stopniu przybliżoną do wartości rzeczywistej, że z punktu widzenia celu, do którego wartość jest potrzebna, różnica między nimi może być pominięta. Dlatego błędem pomiaru (uchybem pomiaru) nazywa się rozbieżność między wynikiem pomiaru, a wartością prawdziwą lub poprawną x p. Błąd bezwzględny poprawny to różnica określona zależnością: p = x - x p x - (.0) Błąd bezwzględny poprawny wzięty ze znakiem przeciwnym nazywa się poprawką: p p = x p - x (.) Dodając poprawkę do wyniku pomiaru otrzymujemy wartość poprawną. Przy porównywaniu dokładności pomiaru różnych wielkości bardziej użyteczny od błędu bezwzględnego jest błąd względny określony zależnością: x - = = (.) x p Błąd względny w odróżnieniu od błędu bezwzględnego jest wielkością bezwymiarową i wyrażany jest w najczęściej procentach lub w postaci ułamka. Surowe wyniki pomiaru, otrzymane w wyniku obserwacji wskazań przyrządów, nie mogą być traktowane jako ostateczny opis właściwości badanego obiektu. Błędy określone wzorami (.9) i (.0) są pojedynczą realizacją zmiennej losowej. W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych wielkości mierzonych i szacujemy niepewności pomiarowe wynikające ze statystycznej zmienności wyników pomiarów. Ze względu na zmienność błędu w kolejnych, surowych wynikach powtarzanego doświadczenia pomiarowego błędy zalicza się do trzech różnych kategorii: systematycznych, przypadkowych, nadmiernych (grubych). Błędy systematyczne to błędy, które przy wielu pomiarach tej samej wartości danej wielkości, wykonywanych w tych samych warunkach, pozostają stałe co do znaku i modułu, lub zmieniają się według określonego prawa wraz ze zmianą warunków odniesienia. Źródła błędów systematycznych mogą być znane lub nieznane. Cechą błędów systematycznych jest możliwość ich częściowej lub całkowitej eliminacji za pomocą poprawek, które można obliczyć teoretycznie lub wyznaczyć doświadczalnie. Doświadczalnie można stwierdzić istnienie błędów systematycznych zmieniając metodę pomiaru lub przyrządy a nieraz również powtarzając wykonanie pomiarów przez różne osoby. Błędy systematyczne są więc błędami, które można przewidzieć na podstawie znajomości danego procesu pomiarowego. Błędy systematyczne mogą również mieć nieznane źródło, ale jeśli zmieniają się wg określonego prawa można je wyeliminować poprzez kalibrację układu pomiarowego. Błędy systematyczne pochodzące z wielu różnych źródeł sumują się algebraicznie. 8

19 Błędami przypadkowymi nazywa się błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany, zarówno co do znaku jak i modułu przy wykonywaniu pomiarów tej samej wielkości w warunkach pozornie niezmiennych. W chwili pomiaru wartość błędów przypadkowych nie jest znana mierzącemu. Można jedynie wyznaczyć ich parametry statystyczne na podstawie wielu wyników pomiarów. Błędy przypadkowe i systematyczne w doświadczeniu pomiarowym występują łącznie i nakładają się dając błąd wypadkowy pomiaru. Każdy przypadek gdy wynik pomiaru tej samej wielkości znacznie różni się od pozostałych wyników wymaga dokładnego sprawdzenia. Wyniki takie pozostawia się do wyjaśnienia przyczyny, jako obarczone błędem nadmiernym. Główne przyczyny ich powstawania to nieprawidłowe wykonanie pomiaru, pomyłka w odczycie wyniku lub nieznane wcześniej rzadkie zjawiska. Ustalenie, że przyczyną błędu nadmiernego było błędne wykonanie pomiaru upoważnia do odrzucenia wyniku obarczonego takim błędem. Również wykonanie odpowiedniego testu statystycznego jest sposobem oceny, czy podejrzany wynik należy pozostawić czy odrzucić. Dobrym sposobem uniknięcia błędów grubych jest kilkukrotne powtórzenie pomiaru..5.. Źródła niepewności pomiaru Niepewność wyniku pomiaru odzwierciedla brak dokładnej znajomości wartości wielkości mierzonej. Zjawiska wpływające na niepewność, a tym samym na fakt, że wyniku pomiaru nie można wyrazić za pomocą jedynej wartości, są nazywane źródłami niepewności. W praktyce istnieje wiele możliwych źródeł niepewności pomiaru [], są to m.in.: a. niepełna definicja wielkości mierzonej, b. niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej, c. niereprezentatywne pobieranie próbek, tzn. mierzona próbka nie jest reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej, d. niepełna znajomość wpływu warunków środowiskowych na procedurę pomiarową lub niedoskonały pomiar parametrów charakteryzujących te warunki, e. subiektywne błędy w odczytywaniu wskazań przyrządów analogowych, f. skończona rozdzielczość lub próg pobudliwości przyrządu, g. niedokładnie znane wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia, h. niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów, otrzymanych ze źródeł zewnętrznych i stosowanych w procedurach przetwarzania danych, i. upraszczające przybliżenia i założenia stosowane w metodach i procedurach pomiarowych, j. rozrzut wartości wielkości mierzonej uzyskanych podczas obserwacji powtarzanych w warunkach pozornie identycznych. Wymienione źródła niepewności niekoniecznie muszą być niezależne. Niektóre ze źródeł wymienione w punktach (a) do (i) mogą składać się na źródła wymienione w punkcie (j). Rysunek.3. wyjaśnia skąd się biorą błędy pomiarowe w przypadku najprostszego pomiaru, jakim jest pomiar bezpośredni. Po pierwsze w trakcie doświadczenia pomiarowego powstają pierwotnie nie istniejące oddziaływania na obiekt, czyli zmieniają się warunki wyznaczające miarę wielkości mierzonej. Oddziaływanie przyrządu na obiekt powodujące zmianę równowagi energetycznej obiektu powoduje, że ze względu na zmianę warunków nie mierzymy tej miary wielkości, którą zamierzaliśmy zmierzyć. Jest to najważniejsza przyczyna powstania błędu metody m czyli różnicy między u i. Błąd metody może być również spowodowany niedoskonałością sprzężenia informacyjnego między obiektem a narzędziem. Istnienie błędu metody nie jest spowodowane niewłaściwym postępowaniem i niewłaściwie dobranymi narzędziami, ale 9

20 wynika z przyczyn obiektywnych, niezależnych od mierzącego. Błąd metody ma szczególne znaczenie przy pomiarach pośrednich. Błąd metody prawdziwy jest nieznany eksperymentatorowi przy opracowywaniu wyników określa się niepewność metody na podstawie danych o obiekcie, narzędziach i warunkach pomiaru. Błąd metody może mieć charakter błędu systematycznego i przypadkowego. Często można wyznaczyć poprawkę zmniejszającą systematyczny błąd metody. m i o obiekt pomiaru u przyrząd pomiarowy w obserwator x Rys..3. Tor przetwarzania informacji przy pomiarze bezpośrednim, wielkość mierzona, u wielkość mierzona przez przyrząd pomiarowy, w wskazanie przyrządu, x wartość odczytana przez obserwatora Przykład.. Błąd systematyczny metody Jednym ze technicznych sposobów pomiaru rezystancji jest metoda poprawnego pomiaru prądu (rys..4). Polega ona na zastosowaniu amperomierza połączonego szeregowo z rezystancją badaną R X do wyznaczenia wartości natężenia prądu i woltomierza włączonego równolegle z amperomierzem i rezystancją R X do wyznaczenia spadku napięcia U A A I X V U U X R X Rys..4. Schemat układu do pośredniego pomiaru rezystancji metodą poprawnego pomiaru prądu Wartość poprawna rezystancji R X : R różni się od wartości obliczonej R na podstawie wskazań woltomierza U i amperomierza I: U R I, (A) ponieważ spadek napięcia wskazywany przez woltomierz jest sumą spadków napięcia na amperomierzu i oporze R X : U U A U X. Ponieważ prąd płynący przez amperomierz jest równy prądowi płynącemu przez mierzoną rezystancję R X : I to: X U I I X X X U U X U R I I X, A 0

21 Oznacza to, że rezystancja obliczona według uproszczonego wzoru (A) jest zawyżona w stosunku do wartości prawdziwej: Poprawka popełnianego błędu systematycznego wynosi zatem: Systematyczny błąd względny tej metody: R R X U R I X X R R X. U X U I X R R R R R X A A X U I, A X R pozwala ocenić, że omawiany sposób wyznaczania rezystancji wg przybliżonej zależności (A) może być stosowany do pomiarów mniej dokładnych jeśli rezystancja mierzona jest dużo większa od rezystancji amperomierza. A Błąd instrumentalny i (rys..3) wywołany jest niedokładnością zastosowanych narzędzi pomiarowych. Błąd instrumentalny prawdziwy jest nieznany mierzącemu dlatego przy opracowywaniu wyników pomiaru określa się niepewność przyrządu na podstawie dostępnych danych o jego błędach. Uproszczenia modelu przyjęte podczas konstrukcji przyrządu i niedoskonałości jego wykonania powodują powstanie składowych systematycznych błędu podstawowego, a ich wartość zawiera się w granicach niedokładności podanej dla przyrządu. Jeżeli nie zostaną zachowane warunki znamionowe dla danego przyrządu, to pojawiają się jego błędy dodatkowe. Suma błędów podstawowych i dodatkowych może przekraczać granice dopuszczalne dla danego przyrządu. Błędy systematyczne powinny być usuwane w takim stopniu, aby ich reszty (lub one same) były pomijalne w stosunku do błędów przypadkowych gdy pomiary są dokładne. Nie usuwa się błędów systematycznych pomiarów przeciętnej dokładności szacuje się jedynie ich granice i uwzględnia w ocenie niedokładności wyniku. Źródłem błędu odczytu o (rys..3) są obserwacje wskazania przyrządu pomiarowego. Błąd odczytu wskazań cyfrowych jest zwykle równy zeru. Na błąd odczytu wskazań analogowych składają się błąd nieczułości spowodowany ograniczonym postrzeganiem zmysłów ludzkich oraz błąd interpolacyjny i błąd paralaktyczny Model matematyczny niepewności pomiarowych W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych wielkości mierzonych a jedynie dysponujemy wynikami pomiarów, które zwykle mieszczą się w pewnym przedziale wokół wartości prawdziwej. W związku z tym sam wynik pomiaru, jak również błąd bezwzględny określony wzorem (.9) może być traktowany jako pojedyncza realizacja pewnej zmiennej losowej a do szacowania niepewności pomiarowych stosuje się statystyczne prawa rozrzutu pomiarów. Do modelowania rozrzutu wyników pomiarów stosuje się funkcje statystyczne nazywane zmiennymi losowymi. Zmienna losowa to zmienna, która w wyniku pewnego doświadczenia przyjmuje z pewnym prawdopodobieństwem wartość z określonego zbioru. Rozróżniamy zmienne losowe dyskretne (skokowe) - jeżeli zbiór wartości zmiennej jest zbiorem skończonym lub nieskończonym, ale przeliczalnym, i zmienne losowe ciągłe - jeżeli zbiór wartości zmiennej można przedstawić jako przedział liczbowy. Zmienne losowe opisuje się poprzez podanie prawdopodobieństw z jakim zmienna może przyjmować poszczególne wartości. Dodatkowo zmienne losowe są charakteryzowane przy pomocy pewnych parametrów opisujących je pod względem np. rozrzutu ich wartości, wartości najbardziej prawdopodobnej, kształtu histogramu lub krzywej gęstości. Najważniejsze charakterystyki liczbowe zmiennej losowej to: wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe.

22 Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia, nadzieja matematyczna) to w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wariancja zmiennej losowej X jest wartością oczekiwaną kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości przeciętnej. Zmienne losowe dyskretne Zmienne losowe dyskretne opisuje się rozkładem zmiennej losowej (funkcją rozkładu prawdopodobieństwa) czyli funkcją prawdopodobieństwa, która każdej realizacji x i, zmiennej X przyporządkowuje określone prawdopodobieństwo p i : przy czym: p i 0 ; p i P( X x i ) p i, dla i=,,..., n (.3) n i Wartość oczekiwaną E(X) zmiennej losowej dyskretnej oblicza się ze wzoru: Wariancję D (X) zmiennej losowej dyskretnej oblicza się ze wzoru: n E( X ) x i p i (.4) i n [ xi E( X )] pi E( X ) [ E( )] (.5) i D ( X ) X Odchylenie standardowe σ zmiennej losowej X jest to pierwiastek kwadratowy z jej wariancji. Zmienne losowe ciągłe Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej nazywamy funkcję f(x): P x X x x f x lim (.6) x0 x określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, spełniającą warunki: f x 0 -, b - xdx Pa X b a f dla dowolnych a<b. - f xdx P X Wartość oczekiwaną E(X) zmiennej losowej ciągłej oblicza się ze wzoru: E ( X ) x f ( x) dx (.7) Wariancję D (X) zmiennej losowej ciągłej oblicza się ze wzoru: [ D ( X ) X E( X )] f ( x) dx (.8) W analizie statystycznej wyników najczęściej wykorzystywane zmienne losowe to rozkład normalny, jednostajny i trójkątny.

23 Rozkład normalny Rozkład normalny jest najlepszym modelem rozkładu zbioru wyników pomiaru w większości doświadczeń fizycznych, gdzie liczba czynników rozpraszających jest duża, a ponadto czynniki te oddziałują w sposób niezależny. Wówczas wartości wyników pomiaru spełniają następujące warunki: - środkiem rozproszenia wyników jest rzeczywista wartość wielkości mierzonej, - błędy małe występują częściej niż duże, - błędy dodatnie i ujemne o takiej samej wartości bezwzględnej występują jednakowo często. Z warunków tych wynika, że nieskończony zbiór wyników może być modelowany rozkładem liczb losowych, w którym częstość występowania wyników osiąga najwyższą wartość w otoczeniu wartości rzeczywistej. Dla nieskończonego zbioru wyników częstość n(x) występowania wyników staje się funkcją ciągłą a wyniki pomiaru podlegają rozkładowi normalnemu (Gaussa) opisanemu równaniem: n(x) = e -(x- ) (.9) Krzywa rozkładu normalnego ma charakterystyczny kształt dzwonowy (rys..5) a wielkości: i są parametrami tego rozkładu N(, ). n(x) Rys..5. Krzywa rozkładu normalnego (Gaussa) x Oś symetrii rozkładu gęstości prawdopodobieństwa pokrywa się z rzeczywistą wartością poszukiwanego wyniku, który jest wartością oczekiwaną: + x n(x) dx = E(x) (.0) - Miarą rozproszenia wyników jest wariancja : + ( x ) n(x)dx = D (x) (.) - Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywa się odchyleniem średnim kwadratowym lub standardowym, a w metrologii błędem średniokwadratowym lub standardowym. Im mniejsze jest, tym mniejsze jest rozproszenie, czyli tym mniejsze są błędy przypadkowe (rys..6). 3

24 n (x) < x Rys..6. Wpływ wartości odchylenia standardowego na kształt rozkładu Gaussa Obliczenie prawdopodobieństwa, że wynik pomiaru wystąpi w przedziale (x, x ) jest równoznaczne z wyznaczeniem odpowiedniej powierzchni pod krzywą rozkładu (rys..7). n(x) x x x Rys..7. Pole powierzchni zakreskowanego obszaru odpowiada prawdopodobieństwu znalezienia się wyniku pomiaru w przedziale x, x Wartości prawdopodobieństwa dla pewnych przedziałów charakterystycznych wynoszą: P( - < x < + )= 0, 68 P( - < x < + )= 0, 95 P( - 3 < x < + 3 )= 0, 9973 (.) Prawdopodobieństwo 0,9973 dla przedziału ( - 3; + 3) oznacza, że tylko 0,7% wszystkich wyników obarczonych błędami przypadkowymi wystąpi poza tym przedziałem. Tak więc wystąpienie błędu przypadkowego o module większym niż 3 jest praktycznie niemożliwe. Przedział taki, zawierający praktycznie wszystkie możliwe wartości błędu przypadkowego nazywa się graniczną niepewnością wyniku pomiaru. 4