NUMERYCZNA ANALIZA MODALNA STOJAKA FREZARKI WYKONANEGO Z WYPEŁNIONYCH PROFILI STALOWYCH

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 64, ISSN X NUMERYCZNA ANALIZA MODALNA STOJAKA FREZARKI WYKONANEGO Z WYPEŁNIONYCH PROFILI STALOWYCH Tomasz Okulik 1a, Bartosz Powałka 1b, Krzysztof Marchelek 1c, Grzegorz Byrczek 2d 1 Instytut Technologii Mechanicznej, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie 2 Andrychowska Fabryka Maszyn DEFUM S.A. a tomasz.okulik@zut.edu.pl, b bartosz.powalka@zut.edu.pl, c krzysztof.marchelek@zut.edu.pl, d gbyrczek@afm.com.pl Streszczenie Alternatywą dla elementów korpusowych wykonanych z żeliwa mogą być elementy korpusowe spawane z profili stalowych, które jednak mają gorszą zdolność tłumienia drgań. Aby poprawić parametry dyssypacyjne takiej konstrukcji, zastosowano wypełnianie zamkniętych profili stalowych materiałem o dobrych właściwościach tłumiących. W pracy przedstawione są wyniki symulacji numerycznych korpusu stojaka frezarki wykonanego z niewypełnionych i wypełnionych betonem profili stalowych. Opisane są uproszczenia modelowe dotyczące modelowania połączeń spawanych przyjęte podczas obliczeń. Model obliczeniowy stojaka frezarki uwzględnia wpływ masy i momentów bezwładności współpracujących podzespołów oddziałujących na korpus stojaka frezarki. Przedstawiony jest wpływ zastosowanego wypełnienia profili stalowych na zmianę częstotliwości rezonansowych stojaka oraz zmianę odpowiadających sobie postaci drgań. Słowa kluczowe: element korpusowy, profil stalowy, materiał wypełniający, numeryczna analiza modalna NUMERICAL MODAL ANALYSIS OF MILLING MACHINE BODY MADE WITH FILLED STEEL PROFILES Summary Alternatively, machine tool bodies can be made of welded steel profiles instead of cast iron. Unfortunately steel does not provide damping properties as good as cast iron. To improve damping performance of such structures the profiles can be filled with material with good damping properties. The paper compares simulation results of the model of the milling machine column made of unfilled and filled steel profiles. Simplifications adopted in the model are described. The paper presents the construction of the numerical model, which takes into account the impact of mass and moments of inertia of cooperating components influencing the milling body. It shows the influence of the applied load on resonance frequencies, and the corresponding vibration modes. Keywords: machine tool bodies, steel profiles, filled material, numerical modal analysis 68

2 Tomasz Okulik, Bartosz Powałka, Krzysztof Marchelek, Grzegorz Byrczek 1. WSTĘP Jednym z istotnych wyróżników dynamiczności (właści- wości dynamicznych) układów nośnych (korpusowych) obrabiarek jest ich zdolność do tłumienia drgań. Zdol- Jednym ność tę kształtować można różnymi sposobami. ze sposobów jest dobór struktury masowo-dyssypacyjno- rozpływ w sprężystej (MDS) obrabiarki gwarantujący niej energii w taki sposób, aby uzyskać minimum przemieszczeń względnych pomiędzy narzędziem a przedmiotem obrabianym (N-PO) w określonym paśmie częstotliwości. Dobór struktury MDS obrabiarki realizowany jest na etapie projektu konstrukcyjnego, kiedy możliwe jest analityczne sprawdzenie wielu wa- W pracy riantów rozwiązań konstrukcjnych obrabiarki. [3,4] opisano system komputerowy do analizy wibrostapozwala na pod- bilności konstrukcji obrabiarki, który stawie parametrów MDS maszyny określić jej wibro- konstruk- stabilność i znaleźć tak zwane słabe ogniwa cji pod względem jej odporności na powstawanie drgań. Opisana w pracy [5] metoda wyznaczania współczynni- poszcze- ków wagi odpowiadających za wibrostabilność gólnych elementów korpusowych obrabiarki i ich połąstyku narzędzia czeń transformowana do punktu z przedmiotem obrabianym pozwala na przeprowadzenie oceny konstrukcji pod względem wibrostabilności. Innym sposobem kształtowania właściwości tłumiących jest dobór odpowiednio dostrojonego eliminatora drgań (układu dodatkowego) przyłączonego do struktury MDS. Można w tym celu zastosować eliminatory drgań paaktywnie) oraz sywne lub sterowane (semiaktywnie i tłumiki drgań. Stopień eliminacji drgań przez eliminatory aktywne i semiaktywne zależy od zastosowanego algorytmu sterującego regulatora eliminatora. Analizę możliwości doboru regulatora do aktywnego eliminatora drgań przedstawiono przykładowo w pracach [8] i [9]. W pracy [7] zawarto opis doboru sztywności aktywnego eliminatora drgań, pracującego po stronie przedmiotu obrabianego w przypadku obróbki przedmiotów podatnych. Dobór sztywności eliminatora drgań zależy od sztywności przedmiotu obrabianego. Aktywny eliminator drgań powinien mieć możliwość w pewnym zakresie regulacji swojej sztywności. Odpowiednio dobrana sztywność eliminatora pozwala na obróbkę przedmiotów podatnych z największą efektywnością. Zwiększanie tłumienia wewnętrznego w elementach korpusowych tworzących układ MDS obrabiarki przy zachowaniu jego dotychczasowej sztywności pozwala na poprawę wibrostabilności [3,4]. Ten kierunek działania związany jest z doborem materiału, z którego wykonane są elementy korpusowe, charakteryzującego się dobrymi właściwościami dyssypacyjnymi energii drgań. Postulat ten z nie najgorszym efektem spełnia żeliwo, skutkiem czego zdecydowana większość układów nośnych współczesnych obrabiarek wykonana jest z tego materiału. Mimo to poszukiwane są inne rozwiązania w zakresie kształtowania zdolności tłumienia drgań w strukturze MDS, które mogłyby konkurować z zastosowaniem żeliwa na elementy korpusowe układów nośnych obrabiarek. Elementom korpusowym obrabiarek stawiane są nastę- duża zdolność pujące wymagania: duża sztywność, tłumienia drgań, relatywnie małaa masa, dobra technolo- szeroką analizę giczność. W pracy [6] przedstawiono możliwości zastosowania różnych materiałów, które mogą zastąpić żeliwo, jako materiał elementu korpusomożna uzyskać poprzez wego. Poprawę wibrostabilności zastosowanie specjalnych materiałów na elementy korpusowe na przykład betonów, polimerobetonów, materiałów o strukturze komórkowej, kompozytów czy też pian metali. Zastosowanie hybrydowego materiału na element korpusowy tokarki w postaci połączenia żeliwa z odlewem mineralnym przedstawiono w pracy [2]. W pracy [1] zaprezentowano porównanie właściwości dynamicznych dla próbek belek wykonanych z żeliwa i polimerobetonu. Analizując przedstawione prace, wydaje się celowe, aby jako materiał na element korpusowy obrabiarki zastosować kompozyt. Materiał kompozytowy, który jest połączeniem dwóch lub więcej materiałów o różnych właściwościach, może zapewnić lepsze tłumienie drgań. W pracy przedstakomputerowych badań wiono wyniki porównawczych, symulacyjnych dwóch wariantóww stojaka frezarki wyko- ze stalowych profili nanego jako konstrukcja spawana zamkniętych. Wariant I to korpus, w którym profile zamknięte są wewnątrz puste, zaś wariant II to korpus, w którym przestrzenie wewnętrzne profili zamkniętych są wypełnione materiałem, który powinien zapewnić dobre tłumienie drgań. W rozważanym przypadku jest to tani, powszechnie dostępny beton, charakteryzujący się znacznie lepszymi niż stal właściwościami tłumiącymi (rys. 1) Rys. 1. Przekrój profilu stalowego wypełnionego betonem Na tłumienie materiałowe wpływa w dużej mierze tarcie wewnątrzmateriałowe, które jest główne odpowiedzialne za dyssypację energii w proponowanym rozwiązaniu. Tarcie na styku ziaren struktury materiałowej powoduje lokalne wydzielanie się ciepła, co wydatnie przyczynia się do rozpraszania energii wewnątrz materiału. 69

3 NUMERYCZNA ANALIZAA MODALNA STOJAKA FREZARKI WYKONANEGO ( ) Postanowiono sprawdzić, w jaki sposób przyjęte rozwią- dyna- zanie może wpłynąć na poprawę właściwości micznych II wariantu elementu korpusowego w porówna- wykonanego niu do I wariantu elementu korpusowego bez dodatku materiału tłumiącego. Jako kryterium porównawcze przyjęto zgodność postaci drgań obu wariantów. Przyjęcie tak zdefiniowanego kryterium ma swoje głębokie uzasadnienie, najwyższym bowiem stopniem zgodności pragmatycznej jest zgodność strukturalna, czyli zgodność, która jest równoznaczna ze zgodnością postaci drgań. Głównym celem dokonanej symulacji komputerowej było zweryfikowanie, czy zasto- nowych, sowanie wypełnienia spowoduje powstanie innych postaci drgań niż ma to miejsce w korpusie spawanym bez wypełnienia. Profile stalowe połączone są ze sobą znaczną liczbą spoin pachwinowych przerywanych. Dzięki takiemu rozwiązaniu uzyskano sztywne połączenia między poszczególnymi profilami przy jednoczesnej minima- powstałych lizacji naprężeń spawalniczych w konstrukcji. Kolumna stojaka wykonana została z ośmiu profili połączonych za pośrednictwem po- czołowej ko- przecznych wzmocnień. Na powierzchni lumny oraz na górnej powierzchni belek górnych stojaka przyspawano elementy służące do montażu tocznych szyn prowadnicowych. 2. MODEL STOJAKA FREZARKI Stojak frezarki, będący przedmiotem symulacji, wyko- się bardzo ma- nany z profili stalowych charakteryzujee łym rozpraszaniem energii drgań (małym współczynnikiem tłumienia), co nie jest jego zaletą (rys. 2). Symula- cje komputerowe wykonano dla dwóch modeli oblicze- I) to model niowych. Model korpusu pustego (wariant stojaka składający się jedynie z profilii stalowych połą- (wa- czonych spoinami. Model korpusu wypełnionego riant II) to model z betonem wypełniającym wolne prze- jest zwięk- strzenie profili stalowych, którego zadaniem szenie tłumienia drgań w korpusie. Rys. 3. Model geometryczny stojaka frezarki W modelu stojaka wypełnionego przyjęto założenie, że wszystkie przestrzenie wewnętrzne profili stalowych tworzących stojak są w całości wypełnione materiałem tłumiącym (betonem). 2.2 MODEL OBLICZENIOWY STOJAKA FREZARKI Rys. 2. Model CAD rozpatrywanej frezarki pionowej 2.1 MODEL GEOMETRYCZNY STOJAKA FREZARKI Stojak rozpartywanej frezarki pionowej zaprojektowano z użyciem stalowych profili zamkniętych od rozmiaru 80x40x5 mm do rozmiaru 200x100x10 mm, wykonanych z materiału S235. Na rys. 3 pokazanoo widok modelu geometrycznego stojaka frezarki. Model obliczeniowy stojaka frezarki zbudowano w konwencji metody elementów skończonych na podstawie importu modelu geometrycznego stojaka do środowiska obliczeniowego midasnfx W modelu obiczeniowym profile stalowe oraz wypełnienie zamodelowano z zastosowaniem elementów skończonych czworościennych 10- węzłowych. Model stojaka frezarki podzielono w sposób równomierny na elementy skończone. W modelu wypełnionym i pustym korpusu stojaka zastosowano podział na elementy skończone o takiej samej gęstości siatki. Utwierdzenie modelu obliczeniowego zrealizowano poprzez odebranie trzech translacyjnych stopni swobody węzłom znajdującym się na dolnych powierzchniach stopek stojaka. Z uwagi na znaczną liczbę przerywanych spoin pachwinowych zastosowanych w korpusie stojaka w jego modelu obliczeniowym przyjęto uproszczenie modelowe, polegające na połączniu stykających się powierzchni profili stalowych za pomoca elementów kontaktowych 70

4 Tomasz Okulik, Bartosz Powałka, Krzysztof Marchelek, Grzegorz Byrczek typu welded. Dzięki rezygnacji z modelowania dużej liczby krótkich spoin w znacznym stopniu uproszczono model obliczeniowy. Przyjęte założenie upraszczające umożliwiło wystarczająco dokładne odwzorowanie sztywności konstrukcji. Na rys. 4 pokazano widok modelu obliczeniowego. Ponadto zamodelowano sztywne elementy skończone odpowiadające położeniu końcówki wrzeciona (N) i położenie punktu (PO) na stole frezarki (rys. 4). Tak przygotowany model obliczeniowy umożliwiał uwzględnienie wpływu parametrów masowych wspólpracujących podzespołów na rozpatrywany korpus stojaka frezarki. Tabela 1. Parametry materiałowe modelu stojaka frezarki Nazwa Jednostka Stal Beton Moduł Younga MPa 2,1e5 0,3e5 Współczynnik Poissona 0,3 0,18 Gęstość g/cm 3 7,849 2,3 Masa kg Objętość cm W tabeli 1 podano przyjęte w modelu obliczeniowym wartości parametrów materiałowych dla materiału profili stalowych oraz wypełnienia. Dodatkowo w tabeli zamieszczono masę oraz objętość materiału przypadającą na poszczególne materiały. Rys. 4. Model obliczeniowy stojaka frezarki (opis oznaczeń w tekście) W rozpatrywanej frezarce z korpusem stojaka wspólpracują podzespoły stołu oraz belki z wrzeciennikiem, których właściwości dynamiczne wywierają wpływ na dynamiczne zachowanie konstrukcji stojaka. Konieczne jest zatem uwzględnienie tego oddziaływania w modelu obliczeniowym stojaka, aby uzyskane wyniki były maksymalnie zbieżne do rzeczywistego zachowania się konstrukcji. W przypadku analizy pojedynczego elementu korpusowego nie jest uzasadnione modelowanie całej konstrukcji frezarki z uwagi na czasochłoność przygotowania takiego modelu obliczeniowego oraz znaczne wymagania dotyczące mocy obliczeniowej komputera wynikającej ze złożoności modelu. Aby uwzględnić wpływ masy i momentów bezwładności wspólpracującycych ze stojakiem podzespołów, zastosowano uproszczenie modelowe. Dla elementów wchodzących w skład belki wraz z wrzeciennikiem i stołu frezarki wyznaczono na podstawie danych modelu CAD położenie środków masy tych podzespołów (mb, ms) oraz wartości momentów bezwładności obliczone względem środków masy (Ib, Im). W modelu obliczeniowym w punkcie odpowiadającym położeniu środka masy podzespołu zamodelowano element masy skupionej ze zdefiniowanymi z modelu CAD paramertami. Oddziaływanie elementu masy skupionej na korpus stojaka frezarki zrealizowano za pośrednictwem sztywnych elementów skończonych, które łaczyły element masy skupionej z modelem korpusu w okolicy mocowania do niego wózków prowadnicowych. 3. WYNIKI ANALIZY MODALNEJ Aby dokonać oceny zgodności postaci drgań obu rozpatrywanych wariantów modeli obliczeniowych (bez i z wypełnieniem betonem profili zamkniętych), wykonano procedurę numerycznej analizy modalnej. W wyniku otrzymano wartości częstotliwości rezonansowych oraz odpowiadające im postacie drgań. W pierwszej kolejności zidentyfikowano odpowiadające sobie postaci drgań. Ponieważ skala przemieszczeń dla postaci drgań zależna jest od wartości masy elementu, przeprowadzono identyfikację postaci drgań, porównując ich animację dla obu modeli obliczeniowych, bez uwzględnienia przyjętego skalowania przemieszczeń modalnych. Zidentyfikowane postacie drgań połączono w odpowiadające sobie pary (tabela 2). Istotne jest, że zastosowanie wypełnienia profili konstrukcji betonem nie spowodowało w analizowanym zakresie częstotliwości powstania nowych (innych) postaci drgań, których nie obserwowano dla modelu bez wypełnienia. Zastosowanie wypełnienia korpusu betonem spowodowało wzrost wartości częstotliwości rezonansowych, odpowiadających sobie postaci drgań od kilku do kilkunastu herców. Dla postaci 4 i 5 oraz 8 i 9 (wyróżnionych pogrubieniem w tabeli 2) wystąpiła ich zamiana pomiędzy modelami obliczeniowymi wynikająca ze znacznej zmiany wartości częstotliwości rezonansowej. Należy zwrócić uwagę na ten fakt podczas analizy postaci drgań, gdyż, przyjmując numerację postaci opartą na kolejnych, uszeregowanych rosnąco częstotliwościach rezonansowych bez identyfikacji formy 71

5 NUMERYCZNA ANALIZA MODALNA STOJAKA FREZARKI WYKONANEGO ( ) drgań, otrzymałoby się zafałszowane wartości różnic częstotliwości rezonansowych. Tabela 2. Częstotliwości rezonansowe modeli Postać 7 (210,59 Hz) Postać 7 (265,87 Hz) (wariant I) Postać Częstotliwość [Hz] (wariant II) Postać Częstotliwość [Hz] Różnica częstotliwości 1 21, ,12 9, , ,26 7, , ,96 19, , ,06 40, , ,87 17, , ,65 8, , ,87 55, , ,44 84, , ,33 5, , ,36 229, , ,59 114,86 Na rys. 5 przedstawiono przykładowo skrajne kadry animacji odpowiadających sobie postaci drgań dla modelu z wypełnieniem i bez wypełnienia. Jak można zauważyć na przedstawionych rysunkach, jest to ta sama postać drgań, różniąca się jedynie skalą wartości przemieszczeń, wynikającą ze sposobu normowania wektora postaci drgań. Postać 4 (89,78 Hz) Postać 5 (130,06 Hz) Rys. 6. Skrajne kadry animacji postaci drgań korpusu stojaka Identyfikacja postaci drgań powyżej nr 10 na podstawie porównania ich animacji jest utrudniona z uwagi na dużą zmienność przemieszczeń występującą w poszczególnych postaciach drgań, która nie pozwala na jednoznaczne przyporządkowanie odpowiadających sobie postaci drgań. W modelu obliczeniowym dodatkowo zamodelowano sztywne elementy skończone, których końce odpowiadały położeniu końcówki wrzeciona frezarki względem stołu. Te dodatkowe elementy skończone pozwoliły na ocenę wpływu postaci drgań stojaka frezarki na powstające przemieszczenia względne między narzędziem a przedmiotem obrabianym (N-PO). Tabela 3. Ruch względny między N-PO dla odpowiadających sobie postaci drgań Odpowiadające sobie postaci drgań Ruch względny między N-PO 1 1 Brak 2 2 Brak 3 3 Znikomy 4 5 Znikomy 5 4 Brak 6 6 Bardzo duży 7 7 Duży 8 9 Bardzo duży Rys. 5. Skrajne kadry animacji postaci drgań korpusu stojaka Dla tej pary postaci drgań zastosowanie wypełnienia spowodowało wzrost częstotliwości rezonansowej o ok. 40 Hz w porównaniu do modelu korpusu stojaka bez wypełnienia. Na rys. 6 pokazano skrajne kadry postaci drgań nr 7. Dla tego przypadku zastosowanie wypełnienia spowodowało wzrost częstotliwości rezonansowej modelu korpusu wypełnionego o ok. 55 Hz w porównaniu do modelu bez wypełnienia. 9 8 Bardzo duży Mały Znikomy W tabeli 3 dokonano oceny wspomnianego ruchu względnego dla odpowiadających sobie postaci drgań. W rozpatrywanym stojaku frezarki pierwszych pięć postaci drgań do częstotliwości ok. 130 Hz ma znikomo mały wpływ na przemieszczenia względne pomiędzy N-PO. Następnie występuje kolejno po sobie grupa postaci drgań o dużym wpływie na ruch względny pomiędzy narzędziem a przedmiotem obrabianym w zakresie 72

6 Tomasz Okulik, Bartosz Powałka, Krzysztof Marchelek, Grzegorz Byrczek częstotliwości od ok. 130 do ok. 360 Hz. Ta grupa postaci drgań może mieć znaczący wpływ na dokładność obróbki i jakość powierzchni przedmiotów obrabianych na frezarce, a także na wibrostabilność procesu frezowania. Należy zauważyć, że w rozpatrywanym modelu korpusu stojaka początkowe postaci drgań, które cechują się największymi przemieszczaniami, nie mają wpływu na uprzednio wymienione wskaźniki procesu frezowania na rozpatrywanej frezarce. 4. WNIOSKI Podsumowując przedstawione wyniki obliczeniowej analizy modalnej korpusu stojaka frezarki z wypełnieniem i bez wypełnienia, można dojść do następujących wniosków. Zastosowanie wypełnienia betonem pustych przestrzeni profili stalowych wchodzą- spowodowało cych w skład korpusu stojaka frezarki w ogólnym przypadku wzrost wartości częstotliwości rezonansowych odpowiadających sobie postaci drgań. Wzrost częstotliwości rezonansowych wynosił od kilku do kilkudziesięciu herców. Zastosowanie wypełnienia konstrukcji betonem nie wpłynęło w rozpatrywanym zakresie częstotliwości rezonansowych na ujawnienie nowych (innych) postaci drgań w porównaniu do modelu bez wypełnienia. Zasto- właściwo- sowany materiał wypełniający nie modyfikuje ści dynamicznych konstrukcji w tak szerokim zakresie, aby ujawniły się w niej inne, nieobserwowane w modelu bez wypełnienia postacie drgań. Dodatkowo zamodelo- które określają wane sztywne elementy skończone, położenie końcówki wrzeciona względem stołu obra- postaci drgań, biarki, pozwoliły na zidentyfikowanie które mają duży wpływ na przemieszczenia względne między narzędziem a przedmiotem obrabianym. Istotnym wnioskiem z praktycznego punktu widzenia jest to, że w rozpatrywanym stojaku frezarki występuje po sobie grupa postaci, które mają duży wpływ na przemieszczenia względne N-PO i jednocześnie nie są to początkowe postacie drgań, cechujące się największymi przemieszczeniami dla danej konstrukcji. W dalszym etapie prac przewidziano wykonanie analizy dynamicznej obciążonego korpusu stojaka frezarki z wypełnieniem i bez wypełnienia. Dzięki uzyskanym na podstawie numerycznej analizy modalnej wynikom możliwe jest przy definiowaniu modelu dynamicznego ograniczenie zakresu częstotliwości, wymuszającego zastosowanie mniejszego kroku obliczeniowego. Będzie to miało wpływ na czasochłonność obliczeń i potrzebną przestrzeń dyskową odnośnie do analizowanych w przyszłości modeli dynamicznych. Przedstawione wyniki prac zostały sfinansowane ze środków Europejskiego Funduszuu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Inteligentny Rozwój Podziałanie "Regionalne agendy naukowo-badawcze". Projekt "Tokarka pionowa o lekkiej konstrukcji" Nr POIR /16. Literatura 1 Cortés F., Castillo G.: Comparison between the dynamical properties of polymer concrete and grey cast iron for machine tool applications. Materials & Design 2007, 28, p doi: /j.matdes Kępczak N., Pawłowski W., Kaczmarek Ł.: Cast iron and mineral cast applied for machine tool bed - dynamic behavior analysis. Archives of Metallurgy and Materials 2015, 60, p doi: /amm Marchelek K., Tomkow J.: Vibrostability of a multidimensional machine tool-workpiece-tool system, Part I: Modeling the Mechanical Structure and Cutting Process. Journal of Vibration and Control 1998, 4, p doi: / Marchelek K., Tomkow J.: Vibrostability of a multidimensional machine tool-workpiece-tool system, Part II: An Example of Vibrostability Analysis Made on a Vertical Lathe. Journal of Vibration and Control 1998, 4, p doi: / Marchelek K., Powalka B.: Determination of the global sensitivity of the vibrostability Limit for improving machine tools dynamics. Journal of Vibration and Control 2002, 8, p doi: / Möhring H.-C., Brecher C., Abele E., Fleischer J., Bleicher F.: Materials in machine tool structures. CIRP Annals - Manufacturing Technology 2015, 64, p doi: /j.cirp Okulik T., Powałka B., Parus A., Marchelek K.: Modelowanie i dobór sztywności układu aktywnej eliminacji drgań dla obróbki przedmiotów podatnych. Modelowanie Inżynierskie. 2015, 23, s Parus A., Bodnar A., Marchelek K.., Chodzko M.: Using of active clamping device for workpiece vibration suppression. Journal of Vibrational Engineering and Technologies 2015, 3, p Parus A., Chodzko M., Hoffmann M.: Eliminacja drgań samowzbudnych z zastosowaniem aktywnego uchwytu obróbkowego. Modelowanie Inżynierskie 2011, 11, s Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. 73