p s =G p=e Wykład 2 Biomechanika, biomechanika płynów Własności sprężyste ciał stałych Przykłady ciśnień Ścinanie Krzywa naprężenia

Transkrypt

1 Biomechanika Wykład 2 Biomechanika, biomechanika płynów Własności sprężyste ciał stałych Warunki równowagi bryły sztywnej Fizyczny opis płynów Biomechanika cieczy w odniesieniu do układu krążenia Biomechanika gazów w odniesieniu do układu oddechowego Własności sprężyste ciał stałych Przykłady ciśnień Naprężenie: 1. Ciśnienie atmosferyczne: 10 5 Pa = 1000 hpa 2. Buty (szpilki): p ~ Pa (F = mg, m = 60 kg, g ~ 10 m/s 2, F = 600 N, A = πd 2 /4, d ~ 5 mm, A ~ 20 mm 2 ) 3. Pineska: F ~ 10 N, d ~ 0.1 mm, p ~ Pa 4. Ciśnienie skurczowe: 120 mmhg, p ~ Pa Odkształcenie względne: Krzywa naprężenia Ścinanie AB: odkształcenie nieliniowe Naprężenie: BC: odkształcenie trwałe C: zerwanie p s =G G moduł na ścinanie 0A: zależność liniowa, Prawo Hooke a (E [Pa] moduł Younga) p=e Odkształcenie względne: 1

2 Własności sprężyste kości Tkanka kostna jest niejednorodna: 1/3 substancji organicznych i 2/3 nieorganicznych Składowa organiczna: kolagen (E ~ 1.2G Pa) odpowiada za rozciągliwość kości, ale nie daje wkładu do jej sztywności. Po usunięciu kolagenu kość jest krucha jak kreda Składowa nieorganiczna: hydroksyapatyt (E ~ 165 GPa), odpowiada za sztywność i odporność na ściskanie, bez minerału kość zachowuje się jak guma Przykłady E [ GPa ]* Polietylen 0.2 Dąb 11 Ołów 16 Beton > 27.0 Granit 52 Aluminium 71 Stal 207 Diament 1100 Kość beleczkowa Kość korowa Kość udowa 18 (* wartości przybliżone) Wytrzymałość kości korowej Rozciąganie: p ~ 100 MPa λ = 1.41% Prawo Wolffa Przebudowa kości przeciwdziała istniejącym w kościach naprężeniom Ściskanie: p ~ 180 MPa λ = 1.85% Ścinanie: p ~ 50 MPa ε = 3.2% Ciśnienie atmosferyczne ~ 0.1 MPa. Bryła sztywna Bryła sztywna idealizacja stosowana w fizyce. Oznacza ciało, którego elementy nie mogą się względem siebie przemieszczać, bez względu na to jakie zastosujemy wobec niego siły i momenty sił. Traktowanie ciała jako bryły sztywnej ułatwia opis fizyczny pewnych zjawisk, np. zagadnień związanych z równowagą. Ruch postępowy vs ruch obrotowy Opisy ruchu postępowego i obrotowego w fizyce są podobne, używamy jednak innych wielkości: Postępowy: Obrotowy: Droga: s [m] Kąt: [rad] Prędkość (liniowa): v=ds/dt [m/s] Prędkość kątowa: =d /dt [rad/s] Przyśpieszenie (lin.): a=dv/dt [m/s 2 ] Przyśp. kątowe: =d /dt [rad/s 2 ] Siła: F [N] Moment siły: M [N m] Masa: m [kg] Moment bezwładności: I [kg m 2 ] 2

3 Równowaga Ciało pozostaje w równowadze, jeśli siły i momenty sił, które na nie działają równoważą się Warunki równowagi: 1) Równowaga sił 2) Równowaga momentów sił Efektem oddziaływania na bryłę sztywną niezrównoważonych sił może być jej ruch postępowy. Efektem działania niezrównoważonych momentów sił może być obrót. Równowaga sił (x 6,y 6 ) Równowaga momentów sił Przykładem zastosowania powyższych zagadnień, może być skonstruowanie mechanicznego modelu przedramienia i rozważenie stanu równowagi w przypadku, gdy w dłoni trzymany jest ciężar o masie W Równowaga sił: F 1 + F 2 = F 3 Równowaga momentów sił: r 1 F 1 = r 2 F 2 3

4 W ciężar (10 kg = 100N) F M siła mięśnia (?) R reakcja w stawie łokciowym H ciężar przedramienia (20N) Osią obrotu jest staw łokciowy w długość ramienia (30cm) h ciężar przedramienia przyłożony w jego środku ciężkości (14cm) m odległość punktu zaczepienia mięśnia od stawu (4cm) Momenty sił: 4 F M =0 R+14 H+30 W F M = 820N Reakcja kości ramieniowej (nacisk): R = F M (H + W) = = 700 N Zrównoważenie 100 N (masa ~10 kg) wymaga działania przez biceps siłą 820 N. Model mechaniczny szczęka-żuchwa Oś obrotu: staw skroniowo-żuchwowy Odległości: Staw pierwszy przedtrzonowy = L ( - 6.5cm - 8 cm) Staw mięsień żwacz 0.4L Staw siekacz 1.2L Jeżeli żwacz działa maksymalną siłą 1500 N, to: Maksymalna siła wywierana przez siekacz wynosi ~ 500N Maksymalna siła wywierana przez pierwszy ząb przedtrzonowy wynosi ~ 600 N Naprężenia fizjologiczne na pierwszym przedtrzonowym: A ~ 10 mm 2 60 MPa Naprężenia niefizjologiczne: A ~ 0.5 mm MPa prowadzi do uszkodzenia Wniosek 1: lepiej nie próbować przegryźć pestki wiśni Wniosek 2: otwieranie piwa zębami może nie być dobrym pomysłem Biomechanika płynów Płyny, to substancje zdolne do przepływu, przyjmują kształt naczynia w którym się znajdują, zaliczamy do nich ciecze i gazy. Hydrostatyka (zachowanie się płynów w spoczynku) Płyny, jak każda substancja, posiadają pewną masę, awięc również ciężar. Wywierają przez to ciśnienie, zwane ciśnieniem hydrostatycznym p = g h -gęstość płynu, g - przyspieszenie ziemskie, h - wysokość słupa płynu 4

5 Ciśnienie hydrostatyczne Ciśnienie krwi w różnych miejscach organizmu zależy poza innymi czynnikami również od ich położenia względem serca. p lok = p + p Ciśnienie hydrostatyczne Ciśnienie hydrostatyczne może mieć znaczenie w przypadku wlewów kroplowych. Istotna jest relacja pomiędzy ciśnieniem w żyle w miejscu wkłucia (np. żyła łokciowa), a ciśnieniem hydrostatycznym płynu infuzyjnego. Ciśnienie w żyle wynosi ~ 5-7 mmhg Odpowiada to mm słupa płynu infuzyjnego. Jeśli powierzchnia płynu w zbiorniczku z płynem znajdzie się zbyt nisko, to przepływ do żyły będzie niemożliwy. Prawo Pascala Prawo Pascala - jeżeli na płyn (ciecz lub gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to (pomijając ciśnienie hydrostatyczne) ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu. Prawo Pascala V = 20 cm 3 V = 10 cm 3 = 21 mm, A = 346 mm 2 = 15 mm, A = 177 mm 2 A = 3.46 cm 2 = m 2 A = 1.77 cm 2 = m 2 Jeśli siła nacisku na tłok wynosi 30 N (nacisk 3kg cukru), to ciśnienie w strzykawce wyniesie: p 87 kpa = 0.86 atm p 170 kpa = 1.68 atm Prawo ciągłości przepływu Dla cieczy nieściśliwej płynącej w naczyniu przepływ objętościowy jest stały Q = V/t = const Q - przepływ objętościowy [ml/s, ml/min, l/s] V objętość, t czas Q = v A v prędkość przepływu [m/s] A powierzchnia przekroju Q = v 1 A 1 = v 2 A 2 = v 3 A 3 = const 5

6 Rozgałęzienie naczyń v D, v d prędkości liniowe Przykład 1 Tętnica o średnicy 10 mm na skutek zmian miażdżycowych zwęziła się w pewnym miejscu do 5 mm. Prędkość przepływu w zdrowej tętnicy wynosi 0.25 m/s. Jaka jest prędkość krwi w zwężeniu? v d = v D A D /A d = v D D 2 /d 2 = 0.25 m/s (10 mm) 2 / (5 mm) 2 = = 0.15 m/s 100 / 25 = 1 m/s Przykład 2 Tętnica o średnicy 10 mm rozgałęzia się na dwie tętnice o średnicach 5 mm. Prędkość przepływu krwi przed rozgałęzieniem wynosiła 0.25 m/s. Jaka będzie prędkość krwi w odgałęzieniach, przy założeniu, że tętnice są sztywne? v d = v D D 2 /(2 d 2 ) = 0.25 m/s (10 mm) 2 / 2 / (5 mm) 2 = = / 2 / 25 = 0.5 m/s Prawo Bernouliego p + p h +p kin =const Konsekwencje prawa Bernoulliego Paradoks hydrodynamiczny: p+ ½ v 2 = const p-ciśnienia statyczne dla poszczególnych przekrojów (wywierane przez płyn na ścianki naczynia) p h = ρgh - ciśnienie hydrostatyczne (dla h = const jest identyczne dla wszystkich przekrojów i można je przenieść na prawą stronę) p kin = ½ ρv 2 -ciśnienie dynamiczne (energia kinetyczna płynu) zależy od przekroju bo zależy od prędkości Charakter przepływu Przepływ płynu w naczyniu może być laminarny, albo turbulentny. Liczba Reynoldsa Laminarny (warstwowy) płyn przepływa w równoległych, niemieszających się warstwach Turbulentny występują zaburzenia przepływu w postaci wirów. Wartości i kierunki prędkości cząsteczek płynu zmieniają się w czasie Charakter przepływu zależy od rodzaju płynu, jego prędkości i charakterystyki naczynia, w którym przepływa. v prędkość, ρ gęstość, η lepkość, d parametr opisujący geometrię naczynia (np. średnica rury) 0 < Re < 1000 laminarny 1000 < Re < przejściowy < Re turbulentny (burzliwy) 6

7 Parametry hemodynamiczne Równanie Hagena-Poiseuille a Naczynie Średnica Przepływ Prędkość Re [mm] [ml/min] [cm/s] Aorta łuk Aorta brzuszna T. szyjna T. nerkowa T. biodrowa T. udowa T. piszczelowa Rozważamy laminarny przepływ cieczy lepkiej (η) w sztywnej rurze o długości L i promieniu R wywołany różnicą ciśnień p. Prędkość przepływu zależy od odległości od ścianki naczynia. Przepływ objętościowy natomiast wyraża się wzorem Równanie Hagena-Poiseuille a jest podobne do prawa Ohma, które dotyczy przepływu prądu elektrycznego. Istnieją tutaj analogie. Odpowiednikiem przepływu objętościowego jest natężenie prądu. Przepływ objętościowy płynu wywołany jest różnicą ciśnień, a przepływ prądu różnicą potencjałów elektrycznych. Można zatem wprowadzić pojęcie oporu naczyniowego (K) Dla prądu elektrycznego: Dla przepływu: Opór naczyniowy Opór naczyniowy 1. Jednostką oporu naczyniowego jest np. mmhg/(ml/min), Pa/(ml/s) 2. Opór naczyniowy zależy od parametrów naczynia i rodzaju płynu. 2. Rośnie z odwrotnością 4-tej potęgi R! 3. Opory naczyniowe sumują się jak opory elektryczne. 4. Opór naczyniowy mówi, jakiej należy użyć różnicy ciśnień, żeby spowodować określony przepływ. Równanie Hagena-Poiseuille a Opór naczyniowy Promień wewnętrzny: mm mm Długość: 25 mm 30 mm Opór naczyniowy: 230 kpa/(ml/s) 150 kpa/(ml/s) Żeby opróżnić strzykawkę potrzeba: 13.5 s 8.8 s Opór naczyniowy Opór naczyniowy naczyń doprowadzających krew do różnych narządów jest inny, dlatego każdy narząd otrzymuje różną część całkowitego strumienia objętości krwi. Można oszacować wartość oporu naczyniowego układu krwionośnego człowieka, przy założeniu: średni strumień objętości krwi: Q =90ml/s średnia różnicy ciśnień pomiędzy układem tętniczym i żylnym: p = 90 mmhg K= p / Q = 1 mmhg/(ml/s) Obliczenia dla wody: = 0.89 mpa s (25 C), p = 170 kpa, V = 10 ml 7

8 W przypadku połączenia równoległego dwóch naczyń opór wypadkowy K: Ciśnienie krwi W wyniku pomiarów ciśnienia krwi możemy wyznaczyć: Ciśnienie skurczowe: p s ~ 120 mmhg Ciśnienie rozkurczowe: p r ~ 80 mmhg W przypadku połączenia szeregowego: Jakie jest ciśnienie średnie? Skurcz trwa około 1/3 cyklu pracy serca, rozkurcz 2/3. Średnie ciśnienie możemy oszacować w następujący sposób: p śr =(p s +2 p r ) / 3 ~ ( ) / 3 93 mmhg Metoda sfigmomanometryczna Metoda oscylometryczna W metodzie oscylometrycznej rękaw zaopatrzony jest w czujnik ciśnienia. Bada on precyzyjnie zmiany ciśnienia w rękawie. Liniowy spadek spowodowany jest przez wypływ powietrza z rękawa. Na liniowy spadek nakładają się oscylacje związane z falą tętna przebiegającą przez badaną tętnicę. Oscylacje te obecne są tylko wtedy, gdy ciśnienie w rękawie ma wartość pomiędzy ciśnieniem skurczowym i rozkurczowym. Ciśnienia w organizmie [mmhg] Tętnice duże Kapilary Żyły małe 3 7 Żyły duże 1 Mózg 5 12 Pęcherz 5 30 Płuca Opłucna -10 Staw kolanowy ~ Oko

9 Własności sprężyste aorty Aorta sztywna Własności sprężyste aorty Aorta sprężysta Układ oddechowy Powietrze napływa do (odpływa z) płuc na skutek różnicy ciśnień pomiędzy pęcherzykami płucnymi p p i ciśnieniem atmosferycznym p atm. Podczas wdechu: p atm >p p Podczas wydechu: p atm <p p Płuca otoczone są przestrzenią zwaną opłucną, w której panuje ujemne ciśnienie. Na skutek ruchu klatki piersiowej i przepony następuje naprzemienne rozprężanie i sprężanie płuc. Ujemne ciśnienie opłucnowe rozciąga płuca, sprężystość tkanki płucnej powoduje ich sprężanie. Model układu oddechowego Wentylacja płucna 9

10 Parametry charakteryzujące UO Objętość powietrza wymieniana podczas normalnego oddychania: TV (tidal volume) ~ 500 ml Dodatkowa objętość uzyskiwana przy wytężonym wdechu: IRV (inspiratory reserve volume) ~ 2500 ml Dodatkowa objętość uzyskiwana przy wytężonym wydechu: ERV (expiratory reserve volume) ~ 1000ml Objętość płuc po wytężonym wydechu, objętość zalegająca: RV (residual volume) ~ 1200 ml Całkowita objętość płuc (IRV+TV+ERV+RV): TLC (total lung capacity) ~ 5200 ml Objętość życiowa (IRV+TV+ERV): VC (vital capacity) ~ 4000 ml Pojemność wdechowa (IVC+TV): IC (inspiratory capacity) ~ 3000 ml Funkcjonalna objętość zalegająca (ERV+RV): (functional residual capacity): ~ 2200 ml Parametry charakteryzujące UO Wentylacja płucna Spirometria Spirometria rodzaj badania medycznego, podczas którego mierzy się objętości i pojemności płuc oraz przepływy powietrza znajdującego się w płucach i oskrzelach w różnych fazach cyklu oddechowego. Spirometria ma na celu określenie rezerw wentylacyjnych układu oddechowego. Badanie wykonuje się przy pomocy urządzenia zwanego spirometrem. Zakład Biofizyki Collegium Medicum Uniwersytetu Jagiellońskiego 58 19/10/ :50:49 Spirometria Całkowanie Spirometr to rodzaj przepływomierza pozwalającego na pomiar przepływu objętościowego powietrza. Na podstawie pomiaru przepływu można określić przepływające objętości poprzez całkowanie zmian przepływu w czasie. Spirometr pozwala wyznaczyć m.in.: VC, FVC, IC, TV, ERV i IRV 10

11 Pletyzmografia Pletyzmografia to metoda badania układu oddechowego pozwalająca, w przeciwieństwie do spirometrii, na wyznaczenie TLC i RV. Wykonuje się ją najczęściej przy pomocy pletyzmografu kabinowego stałoobjętościowego. Urządzenie to zbudowane jest w formie hermetycznej kabiny, w której umieszcza się pacjenta. Pacjent oddycha przez głowicę pneumotachometryczną. W trakcie badania mierzone jest ciśnienie w kabinie i ustach pacjenta, a urządzenie steruje dodatkowym zaworem zamykającym czasowo przepływ powietrza, którym oddycha pacjent. Pletyzmografia Zmiany ciśnienia w kabinie pletyzmografu spowodowane są zmianami objętości klatki piersiowej pacjenta podczas oddychania. Chwilowe zamknięcie zaworu na początku wdechu pozwala na wykonanie bezinwazyjnego pomiaru ciśnienia pęcherzykowego na poziomie ust pacjenta, gdyż ciśnienie w płucach i w rurce przez którą oddycha pacjent wyrównuje się. Znajomość ciśnienia pęcherzykowego, objętości kabiny i zmiany ciśnienia w kabinie spowodowanego zmianą objętości klatki piersiowej pozwalają obliczyć TLC. Wykorzystuje się w tym celu prawo Boyle'a-Mariotte'a (przemiana izotermiczna pv= const) i prawo Poissona (przemiana adiabatyczna, pv κ = const). Dodatkowo aparat pozwala przeprowadzić badanie spirometryczne w celu wyznaczenia VC. Ostatecznie wyznacza się RV = TLC VC. Zakład Biofizyki Collegium Medicum Uniwersytetu Jagiellońskiego 65 19/10/ :50:49 11

12 Pletyzmografia Następny wykład Oddziaływanie prądu na organizm, pomiary bioelektryczne 12