ZASTOSOWANIE TEORII OBSERWATORÓW W NAPĘDZIE ELEKTRYCZNYM

Transkrypt

1 Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 58 Politechniki Wrocławskiej Nr 58 Studia i Materiały Nr * Teresa ORŁOWSKA-KOWALSKAF silnik prądu przemiennego, odtwarzanie zmiennych stanu, obserwator stanu, filtr Kalmana, estymator prędkości ZASTOSOWANIE TEORII OBSERWATORÓW W NAPĘDZIE ELEKTRYCZNYM W artykule przedstawiono zagadnienia związane z metodami odtwarzania niedostępnych pomiarowo zmiennych stanu w układach napędowych z silnikami prądu przemiennego, które były rozwijane w ośrodku wrocławskim w ostatnim dwudziestoleciu. Główny nacisk postawiono na metody algorytmiczne, takie jak obserwatory zmiennych stanu i filtr Kalmana. Scharakteryzowano podstawowe problemy związane ze specyfiką estymacji zmiennych stanu, a w szczególności prędkości i położenia silników prądu przemiennego, takie jak dokładność i stabilność odtwarzania oraz wrażliwość na zmiany parametrów silnika. Omówiono możliwości praktycznej realizacji przedstawionych metod odtwarzania zmiennych stanu pod kątem budowy tzw. napędów bezczujnikowych.. WPROWADZENIE W latach 80. ubiegłego wieku nastąpił gwałtowny rozwój metod sterowania momentem i prędkością silników indukcyjnych, takich jak metody wektorowe - polowo zorientowane oraz bezpośredniego sterowania momentem. W strukturach tych zaczęto również stosować sterowanie adaptacyjne, ślizgowe, sterowanie nieliniowe. Wszystkie te metody umożliwiają osiągnięcie bardzo dobrych właściwości dynamicznych układu napędowego, porównywalnych z właściwościami napędów z silnikami prądu stałego, ale odbywa się to kosztem znacznej komplikacji układu sterowania. Realizacja tych metod sterowania wymaga znajomości aktualnej wartości wektora zmiennych stanu silnika, a w szczególności wektora strumienia wirnika, który jest wielkością trudno mierzalną. Wcześniej, ze względu na trudności w realizacji inwazyjnego pomiaru strumienia skojarzonego z uzwojeniem wirnika, metody polowo wektorowego sterowania napotykały na trudności w realizacji praktycznej. Dlatego na początku lat 80. zaczęto podejmować pierwsze ba- * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, Wrocław, ul. Smoluchowskiego 9, Teresa.Orlowska-Kowalska@pwr.wroc.pl

2 dania związane z opracowaniem metod pośredniego odtwarzania strumienia wirnika na podstawie łatwo mierzalnych sygnałów elektrycznych prądów i napięć stojana silnika indukcyjnego. Również w Instytucie Układów Elektromaszynowych Politechniki Wrocławskiej, obecnym Instytucie Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, podjęto badania nad tym zagadnieniem. Zaproponowano zastosowanie teorii obserwatorów do odtwarzania niedostępnych pomiarowo zmiennych stanu silnika indukcyjnego. Prace te były jednymi z pierwszych w kraju (zajmowała się tym zagadnieniem tylko jeszcze jedna osoba w Polsce, ale bardzo krótko), jak również jednymi z niewielu spotykanych w tym czasie w literaturze światowej [3]. Prace te były finansowane przez MHiPM w ramach centralnych programów badawczych i resortowych, w ramach zadań, kierownych przez autorkę tego opracowania. Były to odpowiednio: w latach podproblem węzłowy 05.5A pt. Wybrane badania podstawowe w dziedzinie elektrotechniki, zadanie: Zagadnienia opisu matematycznego i synteza dynamiki układów elektromechanicznych ze sterowaniem częstotliwościowym, a następnie w latach centralny program CPBR 5.7 pt. Maszyny i urządzenia elektrotechniczne - zadanie: Rozwój metod syntezy układów sterowania napędami przekształtnikowymi z silnikami asynchronicznymi oraz program resortowy RRJ-04, zadanie GT4 pt. Estymacja stanu i parametrów w optymalnie sterowanych układach napędowych z silnikami asynchronicznymi. W rezultacie, do końca lat 80. opublikowano ponad 20 prac autorskich i zespołowych, w postaci artykułów i referatów konferencyjnych. Za najważniejsze należy uznać prace w czasopismach zagranicznych o uznanej renomie, takich jak Electrical Machines and Power Systems [4], [5] oraz IEE Proceedings Part D [6], wielokrotnie cytowane przez autorów zagranicznych i krajowych. Z tych zagadnień została również przygotowana rozprawa habilitacyjna autorki niniejszego artykułu pt. Obserwatory zmiennych stanu i parametrów w układach sterowania silników indukcyjnych klatkowych [7]. Prace nad optymalizacją opracowanych obserwatorów, rozszerzeniem możliwości odtwarzania innych zmiennych stanu, w tym prędkości i położenia silników indukcyjnych oraz silników z magnesami trwałymi oraz ich realizacją za pomocą procesorów sygnałowych były kontynuowane w Zakładzie Napędów Elektrycznych Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych w latach 90. i zaowocowały obroną dwóch rozpraw doktorskich [6], [2], z których pierwsza uzyskała nagrodę promocyjną Siemensa za najlepszą pracę doktorską w 2002 r. W roku 2005 została ukończona kolejna praca doktorska [] z tego zakresu i dwie następne są w trakcie przygotowywania. Za największe osiągnięcie w dziedzinie obserwatorów zmiennych stanu silników indukcyjnych można uznać opracowanie metodyki projektowania tzw. rozszerzonego obserwatora stanu zredukowanego rzędu (typu Luenbergera), do jednoczesnej estymacji wektora strumienia i stałej czasowej wirnika (co można uogólnić na dowolny inny parametr modelu silnika) [6]. Publikacja ta, w której po raz pierwszy opisano ten obserwator w języku angielskim, jest często cytowana przez różnych autorów zagranicznych zajmujących się w latach 90. zagadnieniami odtwarzania zmiennych stanu i po-

3 jawia się w bibliografiach książek (również zagranicznych) dotyczących napędów bezczujnikowych (sensorless) [7]. O ile w latach 80. realizacja praktyczna układów z obserwatorami w technice analogowej była niemożliwa, ze względu na bardzo wysokie wymagania dotyczące dokładności przetwarzania sygnałów, to od połowy lat 90. rozwój techniki mikroprocesorowej stworzył możliwości praktycznej realizacji układów napędowych z obserwatorami stanu i budowę tzw. układów bezczujnikowych. Wynikiem prac prowadzonych w tej tematyce w latach 90. było szereg publikacji w wydawnictwach zwartych i konferencyjnych, które powstały w trakcie realizacji 3 grantów badawczych KBN dotyczącym zagadnień związanych z napędami bezczujnikowymi i zastosowaniem obserwatorów stanu. Podsumowanie wyników badań teoretycznych i doświadczeń praktycznych związanych m.in. z zastosowaniem teorii obserwatorów zawarto w monograficznej książce [2] wydanej w serii Komitetu Elektrotechniki PAN pn. Postępy Napędu Elektrycznego i Energoelektroniki w 2003r. W dalszej części zostaną przedstawione najważniejsze wyniki badań nad zagadnieniem odtwarzania niedostępnych pomiarowo zmiennych stanu silników prądu przemiennego, zrealizowanych przez zespół w składzie: Krzysztof Dyrcz, Czesław Kowalski, Marek Łęc i Piotr Wojsznis, pod kierunkiem autorki tego artykułu. 2. METODY ODTWARZANIA ZMIENNYCH STANU SILNIKÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO Na obecnym etapie badań nad odtwarzaniem trudno mierzalnych zmiennych stanu silników prądu przemiennego, metody te można podzielić na trzy grupy, jak to przedstawiono na rys. [8], [2]. Podstawą metod fizykalnych są nieliniowe zjawiska związane z asymetrią maszyny prądu przemiennego. Na ich podstawie, za pomocą odpowiednich układów pomiarowych uzyskiwane są informacje, które następnie mogą być wykorzystane do detekcji np. harmonicznych prądu, których rząd zależy od aktualnej prędkości wirnika silnika indukcyjnego. W metodach algorytmicznych odtwarzania zmiennych stanu silników prądu przemiennego wykorzystuje się dwa podejścia: - z równania różniczkowego opisującego niedostępną pomiarowo zmienną stanu silnika (np. strumień wirnika), oblicza się tę zmienną na podstawie pomiaru prądów, napięć, prędkości i znajomości parametrów silnika otrzymuje się tzw. symulatory zmiennych stanu; - wykorzystując znane z teorii sterowania algorytmy estymacji zmiennych stanu obiektów dynamicznych opracowuje się modele odpowiednich estymatorów, takich jak: obserwatory stanu lub filtry Kalmana. Podstawą do opracowania algorytmicznych metod odtwarzania zmiennych stanu jest zawsze model matematyczny silnika.

4 Od kilku lat obserwuje się wzrost zainteresowania teorią sztucznych sieci neuronowych i podejmowanie prób wykorzystania sieci neuronowych nie tylko do sterowania napędami elektrycznymi, lecz również do estymacji niedostępnych pomiarowo zmiennych stanu silników elektrycznych, o czym będzie mowa w kolejnym artykule niniejszego opracowania. METODY ODTWARZANIA ZMIENNYCH STANU SILNIKÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W NAPĘDACH BEZCZUJNIKOWYCH METODY FIZYKALNE METODY ALGORYTMICZNE METODY NEURONOWE Asymetria magnetyczna maszyny Symulatory zmiennych stanu Obserwatory zmiennych stanu Filtr Kalmana Rys.. Klasyfikacja metod odtwarzania zmiennych stanu silników prądu przemiennego Fig.. Classification of the state reconstruction methods for AC motors Jak powiedziano w punkcie, podstawowe prace prowadzone w Instytucie związane były z metodami algorytmicznymi, a przede wszystkim z zastosowaniem różnego typu obserwatorów zmiennych stanu oraz filtru Kalmana. Algorytmiczne metody odtwarzania zmiennych stanu silnika indukcyjnego opierają się na obwodowym modelu matematycznym, zapisanym za pomocą wektorów przestrzennych i zmiennych stanu [2]. W pracach prowadzonych w latach 80. i 90. skupiono się przede wszystkim na obserwatorach nieliniowych, liniowych oraz tzw. obserwatorach rozszerzonych, które zostaną krótko omówione w następnych punktach. 3.WYBRANE OBSERWATORY DO ODTWARZANIA ZMIENNYCH STANU I PARAMETRÓW SILNIKÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO 3.. WPROWADZENIE Metody algorytmiczne odtwarzania zmiennych stanu silników prądu przemiennego wykorzystują znane z teorii sterowania algorytmy estymacji zmiennych stanu obiektów dynamicznych. Podstawą do opracowania tych algorytmów jest zawsze model matematyczny danego silnika. W przypadku silników prądu przemiennego, przy odpowiednich założeniach upraszczających (parametry silnika skupione i stałe, sinuso-

5 idalny rozkład indukcji magnetycznej w szczelinie, pomija się zjawiska nieliniowe) [2], model ten można zapisać w szczególnej postaci liniowego, niestacjonarnego równania stanu, przyjmując jako składowe wektora stanu dowolne zmienne elektromagnetyczne tworzące moment silnika. Tak więc równania te mają postać następującą, w jednostkach względnych: ( ω) x + B u x & e = A e () = ( me mo TM ω& ) (2) przy czym: me & θ = ω (3) ( x x ) = (4) k x e x2e sign e 2e gdzie: x e, x e, x2e - odpowiednio, przestrzenny uogólniony wektor elektromagnetycznych zmiennych stanu i jego składowe, u, B, A( ω) - odpowiednio, przestrzenny uogólniony wektor sterowania silnika, macierz sterowania, macierz stanu o elementach zależnych od aktualnej wartości prędkości silnika; ω,θ, m e, m o, T M, k - odpowiednio, prędkość i położenie kątowe, moment elektromagnetyczny i moment obciążenia, mechaniczna stała czasowa, współczynnik zależny od parametrów schematu zastępczego silnika. Model silnika prądu przemiennego w postaci ()-(4) można przedstawić za pomocą schematu blokowego jak na rys.2. u - xe me ω B x2e mo θ A(ω) Rys. 2. Schemat blokowy silnika prądu przemiennego przedstawiony za pomocą wektorów przestrzennych Fig.. Schematic diagram of AC motor using spatial vectors Taki model może służyć do wyprowadzenia równań dowolnego estymatora prędkości lub położenia wirnika, przy wykorzystaniu metod opracowanych w teorii sterowania. Wśród elektromagnetycznych zmiennych stanu silników prądu przemiennego wystę-

6 pują zarówno łatwo mierzalne wielkości, np. wektor prądu stojana silnika, jak również sygnały trudnodostępne pomiarowo a więc tym bardziej wymagające odtwarzania jak np. wektor strumienia wirnika silnika indukcyjnego lub wartość strumienia wzbudzenia w silniku synchronicznym z magnesami trwałymi, którego nieznana w zasadzie wartość wchodzi w skład tzw. stałej prądowej lub napięciowej silnika, występujących odpowiednio w równaniu na moment elektromagnetyczny i siłę elektromotoryczną. Należy więc zwrócić uwagę, że zawsze do odtworzenia prędkości silnika niezbędne jest wcześniejsze odtworzenie wybranych elektromagnetycznych zmiennych stanu silnika, co wynika z postaci równania ruchu silnika (2). Do najprostszych układów odtwarzających prędkość i/lub położenie wirnika silnika prądu przemiennego należą symulatory zmiennych stanu, czyli układy będące modelem matematycznym obiektu, zrealizowanym w technice analogowej lub cyfrowej i służącym do symulacji przebiegów tych zmiennych w czasie rzeczywistym. Wobec tego symulator stanowi układ dynamiczny o dynamice identycznej z dynamiką obiektu (te same wartości własne modelu matematycznego obiektu i symulatora). Ponadto symulator stanu charakteryzuje się taką samą wrażliwością na zmiany parametrów lub zakłóceń jak obiekt, którego jest modelem, co stanowi jego podstawową wadę [9]. Dokładność odtwarzania niedostępnych pomiarowo elektromagnetycznych zmiennych stanu można znacznie polepszyć, wprowadzając do modelu obwodów elektromagnetycznych silnika sprzężenie zwrotne o odpowiednio dobranych współczynnikach wzmocnienia, czyli stosując obserwatory stanu bazujące na teorii sterowania. Wśród obserwatorów stanu stosowanych do odtwarzania zmiennych stanu silników prądu przemiennego [], [2] można wyróżnić następujące rodzaje obserwatorów: obserwatory nieliniowe, obserwatory liniowe niestacjonarne pełnego rzędu, obserwatory liniowe niestacjonarne zredukowanego rzędu, obserwatory niestacjonarne z ruchem ślizgowym, obserwatory rozszerzone. Ze względu na prosty sposób projektowania i małą złożoność obliczeniową najszersze zastosowanie znalazły obserwatory liniowe pełnego i zredukowanego rzędu, projektowane zgodnie z teorią Luenbergera [7] OBSERWATOR NIELINIOWY PEŁNEGO RZĘDU Model matematyczny silnika prądu przemiennego ()-(4), opisujący przebiegi elektromagnetycznych i mechanicznych zmiennych stanu, można zapisać inaczej, w postaci nieliniowego układu wektorowo-macierzowych równań różniczkowych: ( x u) x & = f,, (5) y = C x, (6)

7 gdzie: = col( x x, ω ), u = col( u, u ), - mierzalna elektromagnetyczna zmienna stanu silnika (wektor prądu stoj- oraz: na), x y = x x e e, 2e e 2e e więc ogólna postać modelu matematycznego obserwatora nieliniowego pełnego rzędu dla takiego układu, zgodnie z [7] będzie następująca: gdzie: y, yˆ ( xˆ, u) + K( y yˆ ) - odpowiednio wyjście silnika i obserwatora, K macierz wzmocnień obserwatora. xˆ & = f, (7) Obserwator nieliniowy można zaprojektować na podstawie zlinearyzowanego w wybranym punkcie pracy x = x0, u = u0 modelu (5). Metoda projektowania takiego obserwatora [7], którego schemat przedstawiony jest na rys.3, jest stosunkowo prosta, łatwa do algorytmizacji i sprowadza się do wyznaczenia macierzy sprzężeń zwrotnych K na podstawie równania: przy czym: F = A KC, (8) f A = (9) x gdzie: x 0, u 0 - wartości wektorów stanu i sterowania w punkcie pracy ustalonej; oraz F - macierz stanu obserwatora taka, że spełniony jest warunek: x= x0 u= u0 { ( )} = λ < 0, i, 2 n Re λ i F =,...,. (0) Ograniczenia tego obserwatora to: stosunkowo duża liczba równań różniczkowych, konieczność stosowania dodatkowego obserwatora momentu obciążenia silnika oraz konieczność starannego doboru warunków początkowych, których bliskość w stosunku do punktu linearyzacji funkcji f determinuje stabilność pracy obserwatora. Tej ostatniej wady nie posiada obserwator nieliniowy zaprojektowany na podstawie metody linearyzacji rozszerzonej wokół rekonstruowanej trajektorii stanu i wykorzystania metod geometrii różniczkowej [7].

8 Silnik prądu przemiennego. x=f(x, u) us x y = is C. ^ ^ x = f (x, u) K x^ C e - ^ y = is Rys.3. Schemat blokowy nieliniowego obserwatora stanu silnika prądu przemiennego Fig.3. Schematic diagram of the nonlinear state observer for AC motor Zaletą obserwatorów nieliniowych jest fakt, że równocześnie z elektromagnetycznymi zmiennymi stanu odtwarzana jest prędkość, a więc i położenie wirnika, w jednym spójnym algorytmie. Jednak metodyka projektowania tego obserwatora oraz jego złożona postać w przypadku silnika prądu przemiennego, uniemożliwia jego realizację praktyczną. Znacznie prostszym rozwiązaniem jest obserwator liniowy niestacjonarny OBSERWATOR LINIOWY PEŁNEO RZĘDU Zakładając, że prędkość wirnika jest niezmienna w przedziale próbkowania elektromagnetycznych zmiennych stanu silnika (prądów, strumieni), można dokonać dekompozycji modelu matematycznego silnika indukcyjnego na dwa podukłady: elektromagnetyczny i mechaniczny, o znacznie różniącej się dynamice. Wówczas uzyskuje się liniowy opis silnika w postaci równania (), w którym prędkość występuje jako parametr w macierzy stanu A ( ω). Dla takiego układu projektuje się liniowy obserwator pełnego rzędu typu Luenbergera [2]: xˆ e = A ωi ( ) xˆ + B u + K ( i ˆi ) &, () przy czym macierz wzmocnień wyznacza się na podstawie równania (8), w którym macierz stanu A jest zastąpiona macierzą A(ω). Schemat ideowy tego obserwatora przedstawiono na rys.4. Obserwator ten również charakteryzuje się znaczną liczbą równań różniczkowych (równą rzędowi układu równań opisujących obiekt), co ma istotne znaczenie przy realizacji mikroprocesorowej. Elementy macierzy wagowej K są wyznaczane metodą przesuwania biegunów układu, z zachowaniem kompromisu pomiędzy uzyskiwaną szybkością zanikania błędów odtwarzania zmiennych stanu (szybkością obserwatora), a minimalizacją przeregulowań zmiennych stanu w procesach dynamicznych oraz minimalizacją wzmacniania szumów pomiarowych i wrażliwością na zmiany parametrów układu. Obserwator ten wymaga pomiaru lub równoczesnej estymacji aktualnej e s s

9 wartości prędkości kątowej wirnika, ponieważ elementy macierzy stanu są od niej zależne. Silnik prądu przemiennego us xe y = i s C ω B K ^ xe C - y ^ = i s A(ω) Rys.4. Schemat blokowy liniowego obserwatora stanu pełnego rzędu dla silnika prądu przemiennego Fig.4. Schematic diagram of the linear full-order state observer for AC motor Sposób wyznaczania prędkości w układzie z takim obserwatorem można przedstawić w następujący sposób [8], [], [2]: 0 J = 0 ei = i s ˆi s xˆ e gdzie:, T ω $ = k e i Jx $, (2), - odtwarzana elektromagnetyczna zmienna stanu. Inną metodą odtwarzania prędkości, stosowaną często w przypadku stosowania symulatorów lub obserwatorów zmiennych stanu zredukowanego rzędu, jest metoda bezpośredniego wyznaczania prędkości wirnika na podstawie odtworzonych składowych wektora strumienia wirnika i składowych mierzonego wektora prądu stojana. I tak, wpierw wyznacza się kąt położenia wektora wirnika: ϕ = arctg Ψr Ψ Ψ e rβ rα, (3) a następnie, obliczając pochodną tego kąta otrzymuje się pulsację strumienia wirnika: ω d d d Ψr dt Ψ α rβ Ψ rβ = = dt Ψr ϕ dt Ψr rα rβ Ψ Ψ Ψ rα T N, (4) Ostatecznie, po uwzględnieniu zależności na pulsację poślizgu silnika, uzyskuje się wzór określający prędkość kątową wirnika:

10 ω = ω x i Ψ i Ψ. (5) M sβ rα sα rβ Ψr 2 2 T r + Ψrα Ψrβ Jak wynika z powyższych zależności, jakość i dokładność odtworzenia prędkości kątowej silnika indukcyjnego (a więc i położenia wirnika), w każdej metodzie w istotny sposób zależy od dokładności odtworzenia wektora strumienia wirnika. Im dokładniej odtworzy się tę zmienną stanu, tym bardziej precyzyjne będzie odtwarzanie prędkości kątowej [0] OBSERWATOR LINIOWY ZREDUKOWANEGO RZĘDU Zmniejszenie liczby równań możliwe jest przy zastosowaniu obserwatora zredukowanego rzędu, typu Luenbergera. W [4] i [5] zaproponowano taki obserwator do estymacji wektora strumienia wirnika SI. Obserwator ten można wykorzystać do estymacji niemierzalnych elektromagnetycznych zmiennych stanu również innych silników prądu przemiennego. W obserwatorze tym współczynniki wzmocnienia w pętli sprzężenia zwrotnego ulegają automatycznej zmianie wraz z prędkością wirnika oraz wartości własne obserwatora mogą być stałe lub zmienne w funkcji prędkości kątowej. W przedziale próbkowania prądów i napięć stojana silnika T i, które stanowią wielkości wejściowe obserwatora, model matematyczny tego obserwatora może być przedstawiony w postaci następującego równania różniczkowego: ( ω ) y + H( )u z & = F z + K, (6) i ω i gdzie: z - wektor pomocniczych zmiennych stanu, y = i s - wektor przestrzenny prądu stojana, u = u s - wektor przestrzenny napięcia stojana. Macierz stanu obserwatora jest zaprojektowana w specjalnej postaci, umożliwiającej dowolne kształtowanie właściwości dynamicznych obserwatora: ( ) F = diag λ i, (7) gdzie λ i - wartości własne obserwatora, stałe lub zmienne w funkcji prędkości kątowej. Elementy macierzy wagowej obserwatora K i macierzy wejścia H dobiera się na podstawie następującej zależności: T T ( ω i ) A ( ω i ) F T ( ω i ) = K ( ω i ) ( ω ) B = H ( ω ), i gdzie ω i - wartość prędkości w przedziale próbkowania prądów stojana. Estymaty elektromagnetycznych zmiennych stanu można obliczyć następująco: i C, (8)

11 C y x ˆ e = = Py + Vz T z. (9) Szybkość odtwarzania zmiennych stanu przez ten obserwator zależy od wyboru jego wartości własnych. Jeżeli wartości własne przyjmują wartości rzeczywiste i stałe, wówczas błąd odtwarzania obserwatora dąży eksponencjalnie do zera z tą samą szybkością, niezależnie od aktualnej prędkości kątowej wirnika. Natomiast, kiedy wartości własne obserwatora są funkcją prędkości wirnika, szybkość zanikania błędu odtwarzania zmiennych stanu maleje wraz z prędkością kątową silnika. Jeżeli przewidywane jest pozycjonowanie układu, należy zmodyfikować postać wartości własnych obserwatora tak, aby przy prędkości wirnika równej zeru obserwator nie tracił stabilności [0], [6]. Obserwator jest globalnie asymptotycznie stabilny, zarówno w przypadku stałych jak i zmiennych wartości własnych [7]. Poprzez właściwy dobór wartości własnych obserwatora można zminimalizować jego wrażliwość na zmiany parametrów silnika, co znacznie poprawia jakość estymacji [6]. Ze względu na fakt, że obserwator zredukowanego rzędu zawiera w modelu matematycznym mniejszą liczbę równań różniczkowych (odtwarza tylko niemierzalne zmienne stanu), jego realizacja praktyczna jest znacznie prostsza. Obydwa rodzaje obserwatorów wymagają pomiaru lub równoczesnej estymacji aktualnej wartości prędkości kątowej wirnika, ponieważ elementy macierzy stanu A są od niej zależne. Prędkość kątową silnika można wyznaczyć na podstawie odpowiednich zależności pomiędzy elektromagnetycznymi zmiennymi stanu silnika i momentem elektromagnetycznym. Zostały jednak opracowane metody, które umożliwiają jednoczesne odtwarzanie strumienia i prędkości kątowej wirnika; są to obserwatory rozszerzone [6], [7] oraz filtry Kalmana [], [4] OBSERWATOR ROZSZERZONY DO ESTYMACJI STRUMIENIA I STAŁEJ CZASOWEJ WIRNIKA W odróżnieniu od opisanego wyżej obserwatora Luenbergera, który może być zastosowany tylko do estymacji zmiennych stanu obiektów liniowych, obserwator rozszerzony możne być zastosowany do obiektów nieliniowych, opisanych szczególną postacią równania stanu: ( x) x& = f y = Cx + B u. (20) W przypadku silnika prądu przemiennego, wektor zmiennych stanu x można zdekomponować na wektor zawierający zmienne elektromagnetyczne i wektor parametrów, które mają być estymowane. W przypadku równoczesnej estymacji prędkości, staje się

12 ona elementem wektora parametrów. Wówczas model matematyczny silnika można przedstawić w następującej postaci: przy czym: g( x ) f ( x ) R R x & R = A R x R + B R u R + g( x R ), (2) =, (22) A R x R oraz: x R = col ( x e, x2e, ω) - rozszerzony wektor stanu silnika prądu przemiennego Zgodnie z [6], [2], model matematyczny obserwatora rozszerzonego przyjmuje postać: ( ˆ )( y yˆ ) g ( xˆ ) x ˆ R = A R xˆ R + B R u R + K x R + &, (23) przy czym macierz wzmocnień K musi być wyznaczana w każdej chwili czasowej dla aktualnie obliczonych zmiennych stanu, na podstawie odpowiednich zależności wynikających z równania wiążącego macierz stanu obiektu i obserwatora (podobnie jak dla obserwatora liniowego pełnego () lub zredukowanego rzędu (6)). Metodyka projektowania obserwatorów rozszerzonych została po raz pierwszy opisana w [6]. Na rys.4 przedstawiono schemat blokowy takiego obserwatora. R R us Silnik prądu przemiennego. x C ω y=is Podukład obserwatora el.-magn. zmiennych stanu ^ xe C - ^ y=is Podukład obserwatora mechan. zmiennych stanu Obserwator rozszerzony ^xm Rys. 5. Schemat blokowy rozszerzonego obserwatora dla silnika prądu przemiennego Fig. 5. Schematic diagram of the extended observer for the AC motor W strukturze obserwatora rozszerzonego można wyróżnić dwa podukłady: elektromagnetycznych i mechanicznych zmiennych stanu. Układy te mogą pracować synchronicznie (tzn. przy takim samym kroku próbkowania sygnałów pomiarowych w silniku) lub asynchronicznie. Ma to szczególne znaczenie w przypadku, kiedy tej koncepcji obserwatora używa się do rekonstrukcji momentu obciążenia, prędkości kątowej lub wy-

13 branych parametrów silnika. Wówczas odtwarzanie wolnozmiennych parametrów można realizować w dłuższej skali czasu, co ułatwia realizację praktyczną obserwatora. Obserwator rozszerzony może być stosowany do większości układów, które można traktować jako deterministyczne. Podstawową zaletą takiego obserwatora w stosunku do takich estymatorów jak filtry Kalmana, jest możliwość zmiany jego właściwości dynamicznych za pomocą współczynników macierzy wzmocnień. Ponieważ współczynniki te dla silnika prądu przemiennego można wyznaczyć analitycznie, to realizacja numeryczna obserwatora rozszerzonego jest znacznie prostsza niż filtru Kalmana [5] FILTR KALMANA DO ESTYMACJI STRUMIENIA, PRĘDKOŚCI I STAŁEJ CZASOWEJ WIRNIKA Filtr Kalmana dla silnika prądu przemiennego tworzy się na bazie modelu matematycznego maszyny (), do którego dodaje się jeszcze jedno równanie różniczkowe dla prędkości. Nie jest to jednak równanie ruchu, lecz równanie, w którym prędkość jest traktowana jako nieznany - ale stały w przedziale próbkowania elektromagnetycznych zmiennych stanu parametr, od którego zależą elementy macierzy stanu A układu. Uzyskuje się w ten sposób jakby rozszerzony model silnika, dla którego projektuje się rozszerzony filtr Kalmana [2], [4]. Taki rozszerzony model silnika prądu przemiennego, z uwzględnieniem zakłóceń, można przedstawić w następującej postaci: x y ( k + ) = f ( x( k), k) + G( k) w( k) ( k) = H( k) x( k) + v( k), (24) gdzie: G, w i v odpowiednio: macierz współczynników wzmocnień zakłóceń, macierz zakłóceń zmiennych stanu, macierz zakłóceń sygnałów wyjściowych. Uwzględniając, że zazwyczaj wektor wyjścia silnika prądu przemiennego nie zależy bezpośrednio od wektora sterowania, układ równań stanu (24) po linearyzacji przyjmuje postać: x y ( k + ) = A( k) x( k) + B( k) u( k) + w( k) ( k) = C( k) x( k) + v( k). (25) Sygnał sprzężenia zwrotnego dla algorytmu Kalmana jest wyznaczany na podstawie predykcji rozszerzonego wektora zmiennych stanu, z uwzględnieniem szumów pomiarowych w sygnałach wejściowych i wyjściowych oraz zakłóceń parametrycznych i jest następnie wykorzystywany w równaniu filtru: xˆ y ( k) = xˆ ( k / k ) + K( k) ( y( k) C( k) xˆ ( k / k ) ) ( k) = C( k) x( k) + v( k). (26)

14 Różnica polega na innej metodzie wyznaczania macierzy wzmocnień, która jest zależna od statystycznych właściwości zakłóceń (macierzy kowariancji R(k) i Q(k)): przy czym oraz K P P ( ) T T ( k) = P( k / k ) C ( k) C( k) P( k / k ) C ( k) + Q( k) T ( k / k ) = A( k ) P( k ) A ( k ) + R( k ) ( k) = ( I K( k) C( k) ) P( k / k ), (27) gdzie: P(k/k-) i P(k) są odpowiednio kowariancją błędu predykcji i estymacji w chwili k. Algorytmy filtrów Kalmana są skomplikowane i wymagają wykonywania złożonych operacji matematycznych w każdym kroku obliczeniowym (np. odwracanie macierzy w każdym kroku obliczeniowym) tak, że ich realizacja praktyczna wymaga zaawansowanego sprzętu mikroprocesorowego. Ponadto właściwości dynamiczne filtru Kalmana mogą być kształtowane jedynie przez wybór macierzy kowariancji R i Q, co ze względu na ograniczenia nałożone na wybór tych macierzy, nie zapewnia elastyczności w kształtowaniu takich parametrów jak szybkość zbieżności estymowanych wielkości, szybkość odpowiedzi obserwatora lub odporność na zmiany parametrów silnika, na etapie projektowania filtru. Niestety, jak wykazały badania [], [4], filtr Kalmana dla silnika indukcyjnego jest również wrażliwy (chociaż w mniejszym stopniu) na niedokładności identyfikacji parametrów schematu zastępczego maszyny, podobnie jak inne algorytmiczne metody estymacji zmiennych stanu [9], [0], [4]. 4. PRZYKŁADOWE WYNIKI EKSPERYMENTALNE ODTWARZANIA ZMIENNYCH STANU SILNIKA INDUKCYJNEGO 4.. ODTWARZANIE STRUMIENIA I PRĘDKOŚCI SILNIKA INDUKCYJNEGO PRZY ZASTOSOWANIU OBSERWATORÓW STANU Opracowanie obserwatory strumienia i estymatory prędkości kątowej wirnika zostały przetestowane nie tylko w badaniach symulacyjnych, które umożliwiły ocenę ich wrażliwości na błędną identyfikację parametrów schematu zastępczego silnika indukcyjnego, lecz również przeprowadzono ich weryfikację na stanowisku badawczym w warunkach laboratoryjnych. Badania eksperymentalne wykonano dla silnika indukcyjnego o mocy 3.5 kw, zasilanego z przemiennika częstotliwości z falownikiem MSI, w układzie bezpośredniego sterowania polowo-zorientowanego (DFOC). Do realizacji algorytmów sterowania oraz odtwarzania zmiennych stanu wykorzystano kartę procesora sygnałowego DS03 firmy dspace, osadzoną na magistrali komputera PC. Schemat struktury układu przedstawiono na rys. 6.

15 IBM z kartą DSP Panel DSP Enkoder Sterowanie Wejście U, I Wzbudzenie i obciążenie Wejście U, I Przetworniki pomiarowe LEM Wejście Wyjście En Prądnica moment Silnik indukcyjny Falownik napięcia Sterowanie Zasilanie Silnik 3 Rys. 6. Schemat ideowy struktury stanowiska laboratoryjnego Fig. 6. Schematic diagram of the laboratory set-up Na kolejnych rysunkach przedstawiono przykładowe wyniki eksperymentalne bezczujnikowego układu sterowania wektorowego silnikiem indukcyjnym, przy zastosowaniu obserwatora zredukowanego rzędu opisanego w podrozdziale 3.3, o wartościach własnych λ ι = -kω - c, zmieniających się liniowo w funkcji prędkości. Prędkość Moduł Ψ r ω [p.u.] -0.5 ωm z ωm pom ωm est Ψ r 0.6 [p.u.] ω pom est m -ω m [p.u.] Błąd prędkości odtwarzanej Prąd i sx Rys. 8. Przebiegi prędkości zadanej, estymowanej i rzeczywistej, modułu odtworzonego strumienia wirnika, błędu odtwarzania prędkości oraz składowej prądu i sx dla bezczujnikowego układu sterowania z obserwatorem zredukowanego rzędu i estymatorem prędkości przy nawrocie ω mz = do - Fig. 8. Experimental transients of the reference, motor and estimated speed, rotor flux magnitude, speed estimation error and stator current component i sx for the sensorless field-oriented drive system with the reduced-order flux observer and speed estimator during reverse operation ω mz = do -

16 2 Prąd stojana: zadany i rzeczywisty i s i s z 0.8 Moduł Ψ r Ψr Ψr z i s 0 [p.u.] 0.6 Ψ r [p.u.] Hodograf Ψ r Prędkość ωm z ωm pom Ψ 0 rβ [p.u.] -0.5 ω 0 m [p.u.] Ψ rα [p.u] Rys. 9. Przebiegi składowej prądu stojana i sx i jej wartości zadanej, modułu odtworzonego strumienia wirnika i jego hodografu oraz prędkości zadanej, estymowanej i rzeczywistej, dla bezczujnikowego układu sterowania z obserwatorem zredukowanego rzędu i estymatorem prędkości przy ω m z =0 Fig. 9. Experimental transients of the stator current component i sx and its reference, rotor flux magnitude and its hodograph, motor, estimated and actual speed for the sensorless drive system with the reduced-order flux observer and speed estimator for ω m z =0 Współczynnik c zapewnia stabilność obserwatora strumienia wirnika przy wartości prędkości równej zeru. Zarówno podczas nawrotu układu (rys. 8) jak i podczas pozycjonowania, czyli przy prędkości kątowej równej zeru (rys. 9) napęd zachowuje się bardzo dobrze, co świadczy o możliwości praktycznego zastosowania takich układów odtwarzania zmiennych stanu silnika indukcyjnego w układach napędowych serwomechanizmów bez pomiaru wielkości mechanicznych. Więcej wyników badań tego i innych obserwatorów strumienia oraz estymatorów prędkości wirnika można znaleźć w publikacjach [0], [2], [6]. Obecnie są prowadzone badania dotyczące modyfikacji sposobu kształtowania zmian wartości własnej tego obserwatora w sposób nieliniowy lub z zastosowaniem modułu rozmytego [3], co umożliwia dalszą poprawę jakości i dokładności odtwarzania wektora strumienia i prędkości kątowej w stanach dynamicznych. Ponadto trwają prace nad wykorzystaniem takiego obserwatora w układzie odtwarzania prędkości z modelem odniesienia (estymator prędkości typu MRAS) ODTWARZANIE STRUMIENIA I PRĘDKOŚCI SILNIKA INDUKCYJNEGO PRZY ZASTOSOWANIU FILTRU KALMANA Opracowany i przetestowany w badaniach symulacyjnych algorytm filtru Kalmana

17 [], [4], podobnie jak w przypadku opisanych obserwatorów stanu, poddano weryfikacji w rzeczywistym układzie napędowym na stanowisku laboratoryjnym przedstawionym na rys. 6. Na rysunkach 9 i 0 przedstawiono przykładowe wyniki badań bezczujnikowego układu napędowego w różnych stanach pracy (nawrót, zmiana obciążenia). Filtr Kalmana był włączony do zamkniętej pętli sterowania strumieniem i prędkością wirnika w układzie bezpośredniego sterowania polowo zorientowanego. W przypadku strumienia wirnika pokazano jedynie przebiegi jego amplitudy lub hodograf, ze względu na brak możliwości pomiaru rzeczywistej wartości strumienia wirnika i porównania jej z odtwarzaną zmienną stanu..5 a) b) : ω 2: ω ω, ω [p.u.] Ψ r [p.u.] Rys. 9. Przebiegi prędkości rzeczywistej i odtwarzanej ω, ˆ ω (a), amplitudy strumienia Ψˆ r (b) w przypadku nawrotu silnika w układzie bezczujnikowego sterowania DFOC Fig. 9. Transients of the real and estimated rotor speedω, ˆ ω (a), magnitude the rotor flux vetor Ψˆ r (b) during reverse operation of the DFOC drive system a) b) ω, ω [p.u.] Ψ rβ [p.u.] ω 2 - ω Ψ [p.u.] rα ω, ˆ ω Ψˆ r Rys. 0. Przebiegi prędkości rzeczywistej i odtwarzanej (a), hodografu strumienia (b) w przypadku zmiany momentu obciążenia układu bezczujnikowego sterowania DFOC Fig. 0. Transients of the real and estimated rotor speedω, ˆ ω (a), hodograph of the rotor flux vetor Ψˆ r (b) during load torque changes of the sensorless DFOC system Opracowano również algorytm i zrealizowano badania rozszerzonego filtru Kalmana do równoczesnej estymacji strumienia i stałej czasowej obwodu wirnika [], [5]. Wybrane wyniki testów eksperymentalnych przedstawiono na rysunku.

18 Przestawione wyniki pomiarowe pozwoliły stwierdzić, że metoda rozszerzonego filtru Kalmana umożliwia estymację prędkości i strumienia wirnika silnika indukcyjnego w jednym, spójnym algorytmie. Z badań w eksperymentalnym układzie napędowym wynika, że algorytm filtru Kalmana pracuje prawidłowo zarówno w otwartej jak i zamkniętej pętli regulacji prędkości (układ bezczujnikowy), pod warunkiem zastosowania odpowiednio małego kroku dyskretyzacji, jak również optymalizacji programu numerycznego, napisanego w języku C : τ rn τr τ rn, τr [s] Ψr [p.u.] τ ˆ r τ r Rys.. Przebiegi rzeczywistej I odtwarzanej stałej czasowej wirnika, (a) oraz amplitudy strumienia wirnika Ψˆ (b) podczas rozruchu układu DFOC r Fig.. Transients of real and estimated rotor time constant τ r, ˆ τ (a) and magnitude of the rotor flux r vector Ψˆ (b) under start up operation of the DFOC drive system r Z doświadczeń uzyskanych podczas badań wynika, że krok dyskretyzacji, w przypadku zastosowania procesora zmiennoprzecinkowego, nie powinien przekraczać 50 μs. Dla takiego kroku dokładność obliczeń numerycznych w algorytmie filtru Kalmana jest wystarczająco wysoka, aby zapewnić poprawne odtwarzanie strumienia i prędkości wirnika, a równocześnie czas dysponowany na realizację pozostałych procedur algorytmu sterowania wektorowego (regulatory, transformacja wektorowa prądów i napięć, modulacja MSI) jest odpowiedni. Rozszerzony filtr Kalmana stanowi interesujące rozwiązanie zagadnienia estymacji elektromagnetycznych i mechanicznych zmiennych stanu silnika indukcyjnego. Jednakże algorytm ten jest znacznie bardziej złożony w porównaniu z innymi estymatorami strumienia i prędkości wirnika opartymi na metodach opracowanych w teorii sterowania. 5. PODSUMOWANIE Opracowane metody odtwarzania prędkości i położenia silników prądu przemiennego stosowanych w serwonapędach, istotnie zależą od sposobu i dokładności odtwarzania innych zmiennych stanu silnika, takich jak wektor strumienia wirnika w przy-

19 padku SI, lub wektor siły elektromotorycznej wirnika w silniku synchronicznym z magnesami trwałymi [2]. Z tej zależności wynikała konieczność opracowania metod odtwarzania elektromagnetycznych zmiennych stanu silników prądu przemiennego, jak najmniej wrażliwych na zakłócenia parametryczne a więc błędy w identyfikacji lub, zależne od warunków pracy napędu, zmiany parametrów schematu zastępczego silnika oraz na zakłócenia pomiarowe tych sygnałów elektrycznych, na podstawie których odbywa się odtwarzanie niedostępnych pomiarowo zmiennych stanu silnika. Z analizy literatury oraz badań prowadzonych w ośrodku wrocławskim nad algorytmicznymi estymatorami zmiennych stanu wynika, że najlepsze do takich zastosowań są obserwatory stanu, pełnego lub zredukowanego rzędu oraz rozszerzony filtr Kalmana. Przy odpowiednim zaprojektowaniu, uzyskuje się dużą odporność takich układów na zmiany parametrów układu napędowego i dobrą dokładność odtwarzania prędkości i położenia wirnika silnika prądu przemiennego. Nowe możliwości realizacji praktycznej takich układów i związanego z tym rozwoju elektrycznych układów napędowych bez czujników sygnałów mechanicznych pojawiły się z chwilą wprowadzenia na rynek szybkich i coraz tańszych procesorów sygnałowych. LITERATURA [] DYRCZ K.P., Estymacja zmiennych stanu i parametrów silnika indukcyjnego w układzie sterowania wektorowego z zastosowaniem filtru Kalamana, Rozprawa doktorska, Politechnika Wrocławska, Wydział Elektryczny, 2005 [2] ŁĘC M., Metody odtwarzania prędkości kątowej i położenia w układzie sterowania silnika synchronicznego z magnesami trwałymi, Rozprawa doktorska, Politechnika Wrocławska, Wydział Elektryczny, 2003 [3] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Zastosowanie obserwatora stanu w układzie napędowym z silnikiem asynchronicznym sterowanym prądowo, II Krajowe Seminarium Wybrane Zagadnienia Podstaw Optymalizacji Zautomatyzowanych Układów Napędu Elektrycznego, Sulejów, 984, s [4] ORLOWSKA-KOWALSKA T., Dynamical properties of fast state observer for current-fed induction motor, Electrical Machines and Power Systems, 988, vol.4, pp.5-62 [5] ORLOWSKA-KOWALSKA T., Induction Motor Flux Reconstruction via New Reduced Order State Observer, Electric Machines and Power Systems, 989, vol. 7, pp [6] ORLOWSKA-KOWALSKA T., Application of Extended Luenberger Observer for Flux and Rotor Time-Constant Estimation in Induction Motor Drives, IEE Proc.D, 989, vol.36, pp [7] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Obserwatory zmiennych stanu i parametrów w układach sterowania silników indukcyjnych klatkowych, Prace Naukowe Instytutu Układów Elektromaszynowych P.Wr., Nr 4, seria Monografie, Nr 9, 990, s.2 [8] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Odtwarzanie sygnałów sprzężeń zwrotnych w napędach bezczujnikowych z silnikiem indukcyjnym, Przegląd Elektrotechniczny, No.0, 998, s [9] ORLOWSKA-KOWALSKA T., WOJSZNIS P., KOWALSKI Cz., Dynamical Performances of Sensorless Induction Motor Drive with Different Flux and Speed Observers, Confer. Proc. of EPE 200, Graz, Austria, pp.l6c-5

20 [0] ORLOWSKA-KOWALSKA T., Rotor flux observers and speed estimators for sensorless induction motor drives, Proc. of 0 th Intern. Power Electronics and Motion Control Conference PEMC 2002, Dubrovnik, Croatia, September 2002 (CD) [] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Estymatory prędkości i położenia w serwonapędach prądu przemiennego, Proc. of the 20 th Intern. Conf. on Micromachines and Servodrives, Krasiczyn, Poland, September 2002, pp [2] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., Bezczujnikowe układy napędowe z silnikami indukcyjnymi, ser. Wyd. Postępy Napędu Elektrycznego i Energoelektroniki KE PAN, tom 48, Oficyna Wydawnicza PWr, Wrocław, 2003 [3] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., DYBKOWSKI M., Analiza właściwości dynamicznych bezczujnikowego napędu indukcyjnego z obserwatorem strumienia i estymatorem prędkości wirnika, Mater. XLI Symp. Maszyn Elektrycznych, Opole-Jarnołtówek, 2005, CD [4] ORLOWSKA-KOWALSKA T., DYRCZ K., Influence of Kalman Filter Parameters to the Induction Motor Speed Estimation, Acta Electrotechnica et Informatica, 2002, vol.2, No.4, pp.-6 [5] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., DYRCZ K., Estymacja zmiennych stanu i parametrów silnika indukcyjnego za pomocą rozszerzonego obserwatora stanu i filtru Kalmana, Prace Naukowe IMNIPE Nr 56, ser. Studia i Materiały Nr 24, 2004, s [6] WOJSZNIS P., Analiza estymatorów strumienia wirnika w bezczujnikowym układzie wektorowego sterowania silnika indukcyjnego, Rozprawa doktorska, Politechnika Wrocławska, Wydział Elektryczny, 200 [7] VAS P., Sensorless vector and direct torque control, Oxford University Press, New York, 998 APPLICATION OF THE STATE OBSERVERS THEORY IN ELECTRICAL DRIVE SYSTEMS Problems connected with the state variable estimation methods for the AC motor drive systems, developed in the Wroclaw University of Technology during last twenty years were presented in the paper. The main attention was focused on the algorithmic methods like state observers and Kalman filters. The specific problems connected with the state variable estimation of the speed and position of the AC motors such as the estimation accuracy, stability and sensitivity to motor parameter changes were discussed. Possibilities of the practical realization of the sensorless drive systems using the described state variable estimators were presented.