Zaokrąglanie liczb Przedmowa To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z zaokrąglaniem liczb. Oprócz wiedzy potrzebnej uczniom szkół podstawowych zamieściłem tu opis błędu bezwzględnego i względnego oraz podawanie przybliżonej wartości pierwiastków bez używania kalkulatora. Wszystko co tu zawarłem, starałem się tak pisać, by dosłownie każdy niezależnie od wieku, zrozumiał wszystko co tyczy się tego tematu. Na tyle na ile potrafiłem przedstawiłem najkrótsze i najbardziej zrozumiałe metody zaokrąglania liczb, ilustrując je rozwiązanymi zadaniami i ćwiczeniami do samodzielnego rozwiązania. Wszystkie moje opracowania cechują się zrozumiałym językiem oraz zachowaniem poprawności matematycznej. Spis tematów 1. Po co uczyć się zaokrąglania liczb?... 2 2. Co trzeba wiedzieć nim zacznie się zaokrąglać liczby?... 3 rząd liczby... 3 wielokrotność liczby... 4 3. Zaokrąglanie liczb naturalnych oraz ułamków dziesiętnych do:... 5 rzędu dziesiątek... 5 rzędu setek... 8 rzędów wyższych niż 100... 11 rzędu jedności... 12 4. Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych:... 14 do rzędu części dziesiątych... 14 do rzędu części setnych... 15 do rzędu niższego od części setnych... 16 okresowych... 17 5. Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych.... 18 6. Zaokrąglanie ułamków zwykłych i liczb mieszanych.... 20 7. Zaokrąglanie liczb z nadmiarem i niedomiarem.... 22 8. Własności zaokrąglania liczb.... 24 Zaokrąglanie liczb całkowitych ujemnych.... 27 9. Błąd zaokrąglenia.... 28 błąd bezwzględny... 28 błąd względny (procentowy)... 29 10. Podawanie przybliżeń pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia.... 30 11. Zastosowanie zaokrąglania liczb.... 33 Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 1
Temat: Po co uczyć się zaokrąglania liczb? Zacznijmy od czegoś co pozornie nie jest związane z tematem tego opracowania, a mianowicie od odległości między Ziemią a Słońcem. W różnych książkach możesz znaleźć informację o tym, że odległość ta wynosi 149 000 000 km. Moje pytanie jest takie, czy odległość ta to dokładnie 149 000 000 km czy mniej więcej 149 000 000 km? A co liczbą ludzi na Ziemi? W różnych źródłach znajdziesz, że około roku 2000 na Ziemi żyło 6 000 000 000 ludzi. Dokładnie tyle co do osoby? czy mniej więcej 6 000 000 000? Odległość z centrum Łodzi do centrum Warszawy jadąc drogą przez Rawę Mazowiecką wynosi 137 km. Dokładnie tyle i ani milimetra więcej czy mniej więcej tyle? Powierzchnia oceanów stanowi 71% powierzchni Ziemi. Idealnie tyle, czy mniej więcej tyle? Otóż na wszystkie powyższe pytania należy odpowiedzieć mniej więcej tyle. Ale co to znaczy mniej więcej tyle? Okazuje się, że to co potocznie określasz sformułowaniem mniej więcej matematycznie nazywa się zaokrągleniem liczby. Musisz tylko narzucić sobie jakąś dokładność np. do 1 miliona lub do 1 miliarda lub do 1 kilometra itp. i podać liczbę dość bliską liczbie rzeczywistej, którą łatwej będzie można zapamiętać. Co łatwiej zapamiętać: czy to że kupione produkty w sklepie spożywczym kosztowały np. 2,99 zł, 12,78 zł, 20,18 zł czy to, że kosztowały 3 zł, 13 zł, 20 zł? Wiadomo że te drugie ceny, bo nie posiadają końcówki wyrażonej w groszach. Mało tego. Rzeczywisty koszt kupienia tych 3-ch produktów to: zaś ten sam koszt liczony po cenach zaokrąglonych to: 2,99 zł + 12,78 zł + 20,18 zł = 35,95 zł 3 zł + 13 zł + 20zł = 36 zł Jak widać, nie jest to wynik dokładny (różnica wynosi w tym przypadku 0,05 zł), ale czy te 5 groszy jest takie ważne? Oczywiście że nie. Posługując się zaokrągleniami po prostu ułatwiasz sobie życie, choć na ogół nie dostajesz precyzyjnego wyniku. W tym opracowaniu pokażę Ci w jaki sposób należy zaokrąglać liczby jeśli wiesz jaką dokładność chcesz uzyskać. Na początek co nieco powtórzmy z początkowych lat nauki w szkole podstawowej. Chcesz zarobić pieniądze np. na laptopa, wymarzony rower, wakacje lub inne swoje potrzeby? Zobacz na czym polega bezpieczny i legalny zarobek poprzez internet, bez wychodzenia z domu. Wejdź w link: http://dobryzarobek.pl/index.php?id=b57fedcf66da493cb558c4d71186f51f i przeczytaj to co tam jest napisane. Kliknij Zarejestruj się na dole strony i wpłać jednorazowo tylko 5 zł na podany tam numer konta bankowego. Po pewnym czasie inni użytkownicy tej strony zaczną Tobie wpłacać po 5 zł. Nawet jeśli to nie wypali, to stracisz tylko 5 zł. Jeśli skusi się na to 1 osoba, to zwróci Ci się te 5 zł. W pozostałych przypadkach masz zysk na czysto. Podobno można zarobić ok. 500 zł po kilku miesiącach. UWAGA! Nie wchodź na stronę główną tego serwisu, bo podany tam numer konta należy do właściciela serwisu, a on nie będzie Ci pomagał w reklamowaniu Twojego konta bankowego. Chcesz zarobić? to wejdź w ten link co wyżej. Numery kont się tam znajdujące należą do użytkowników a nie do administratora. Oni pomogą Ci więcej i szybciej zarobić. Metoda jest sprawdzona i rzeczywiście działa. To nie jest piramida finansowa. Tu przelewy są realizowane jako dobrowolne darowizny. Nikt nikogo nie zmusza do zrobienia przelewu. Nie robiąc przelewu w wyznaczonym czasie ryzykujesz tylko skasowaniem założonego tam konta. Przelewy są wykonywane z prywatnych kont bankowych użytkowników, a nie z kont w serwisie. Ty przelewając komuś 5 zł robisz to z Twojego konta bankowego (nie z konta założonego w serwisie) i tak samo ktoś przelewając 5 zł Tobie robi to ze swojego konta bankowego. Serwis ten tylko pośredniczy w znajdowaniu osób chcących zrobić przelew. To ile zarobisz i jak szybko zależy tylko od Ciebie. Do im większej liczby osób trafi Twój link polecający, tym więcej osób wyrazi chęć przyłączenia się do Ciebie i tym więcej zarobisz. Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 2
Temat: Co trzeba wiedzieć nim zacznie się zaokrąglać liczby? Rząd liczby Od dawna już wiesz, że każdą liczbę zapisujesz za pomocą cyfr (w systemie rzymskim cyfry wyglądają jak litery np. I, V, X, L, C, D, M a w systemie arabskim tak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Mówiąc o zaokrągleniach będziesz mówić tylko o cyfrach arabskich i o liczbach utworzonych wyłącznie za ich pomocą. Dodatkowo będziesz rozróżniać kolejność cyfr w danej liczbie. Chodzi o to, że np. liczby 431, 143, 134, 413, 341, 314 nie są sobie równe choć każda z nich jest utworzona z jednej cyfry 1, 3, 4. By móc rozróżnić liczby musisz najpierw wiedzieć co to jest rząd liczby. Wyobraź sobie że razem ze swoją koleżanką oraz kolegą idziesz do kina na jakiś tam fajny film. Siadacie na mięciutkich wygodnych fotelach obok siebie i tak se siedzicie do końca filmu. No i co w tym szczególnego? Otóż wyobraź sobie, że Ty, Twój kolega oraz Twoja koleżanka tuż przed przyjściem na ten film byliście aktorami w teatrzyku dla 5-cioletnich dzieci i że przyszliście do tego kina w kostiumach teatralnych. Wyobraź sobie, że Twoja koleżanka była przebrana za cyfrę 5, Ty za cyfrę 7, a Twój kolega za cyfrę 0 i że siadając obok siebie do obejrzenia filmu utworzyliście liczbę 570. Matematycznie powiemy, że fotel na którym siedział Twój kolega nazywa się rząd jedności. Fotel na którym Ty siedziałaś nazywa się rząd dziesiątek, a fotel na którym siedziała Twoja koleżanka nazywa się rząd setek. Rząd liczby to nic innego jak nazwa miejsca w którym osadzona jest dana cyfra. Musisz jednak pamiętać, że jeśli masz ułamek dziesiętny, to nazywanie miejsca w które wkładasz cyfrę rozpoczynasz od przecinka a nie od ostatniej cyfry na prawo. Zobacz to na przykładzie ułamka dziesiętnego 123,45. W ułamku tym cyfra: 1 stoi w rzędzie setek 2 stoi w rzędzie dziesiątek 3 stoi w rzędzie jedności 4 stoi w rzędzie części dziesiątych (nie dziesiętnych i nie należy tego mylić ze sformułowaniem ułamek dziesiętny ) Informacja: Obecnie mówimy rząd części tysięcznych, zaś dawniej mówiono rząd części tysiącznych. Niektóre współczesne słowniki dopuszczają jeszcze stosowanie obu tych sformułowań, ale zaznaczają, że to drugie staje się co raz mniej używane. 5 stoi w rzędzie części setnych. Zatem nazwa rzędu liczby określa odległość w tejże liczbie zarówno na prawo jak i na lewo od przecinka. Jeśli w liczbie nie ma przecinka, to domyślnie jest on usytuowany za ostatnią cyfrą np. 5279 = 5279,00000. Zauważ, że mówiąc o nazwie rzędu znajdującego się za przecinkiem, używasz najpierw słowa części. Pominięcie go, zawsze oznacza nazwę rzędu przed przecinkiem. Podobnie brzmiące sformułowania: rząd setek i rząd części setnych nie oznaczają tego samego rzędu. Rząd setek zawiera trzecią cyfrę przed przecinkiem, zaś rząd części setnych zawiera drugą cyfrę po przecinku. Wróćmy się jeszcze na chwilę do naszej liczby 123,45. Mam pytanie: Gdzie się podział w tej liczbie rząd tysięcy? Nie ma go w tej liczbie, czy może jest tylko ukryty? Otóż jest. By się o tym przekonać wystarczy zrobić coś czego na ogół się nie robi, a co jest poprawne. Otóż wystarczy przed daną liczbą dopisać zera. Zapis 0000123,45 nie jest na co dzień spotykany, ale jest poprawny. Mając już taką postać widzisz już wyraźnie, że w rzędzie tysięcy jest 0 choć dostrzeżenie tego przy zapisie 123,45 nie było takie oczywiste. No dobra, a co np. z rzędem części milionowych? Też jest ukryte? Tak. By się o tym przekonać wystarczy za daną liczbą dopisać wystarczająco dużo zer by pojawił się ów rząd dopisywanie zer na końcu za przecinkiem jest przecież poprawne i sporadycznie spotykane np. w sklepach (łatwiej spotkać na półce sklepowej cenę np. 3,00 zł niż 3 zł, prawda?). Podsumujmy to co ostatnio powiedzieliśmy. Jeśli mamy liczbę 123,45 to przed cyfrą stojącą w rzędzie setek i za cyfrą stojącą w rzędzie części setnych są domyślnie same zera, więc w tej liczbie cyfrą: dziesiątek tysięcy jest 0 00123,4500 tysięcy jest 0 00123,4500 części tysięcznych jest 0 00123,4500 części dziesięciotysięcznych jest 0. 00123,4500 Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 3
Podkreśl cyfrę stojącą w rzędzie tysięcy. a) 8546,45 b) 846,015 c) 0,1566 d) 98463 e) 65465,163 Podkreśl cyfrę stojącą w rzędzie części tysięcznych. a) 8546,45 b) 846,015 c) 0,1586 d) 98463 e) 65465,163 Wielokrotność liczby Wielokrotność liczby a to liczba b otrzymana z pomnożenia liczby a przez liczbę całkowitą 1. Przykładowo wielokrotnością liczby 10 jest 0 oraz każda z liczb: 10, 20, 30, 40, 50, 60, itd. Wielokrotnością liczby np. 25 jest 0 oraz każda z liczb: 25, 50, 75, 100, 125, 150, itd. Ponieważ liczby całkowite są także ujemne, więc wielokrotności mogą być także ujemne. Zatem wielokrotnościami liczby: 10 są:, 20, 10, 0, 10, 20, 30, 40, 20 są:, 20, 0, 20, 40, 60, 80, 100, 100 są:, 300, 200, 100, 0, 100, 200, 300, 400, 0 jest tylko 0. liczba 10 została pomnożona odpowiednio przez:, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, liczba 20 została pomnożona odpowiednio przez:, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, liczba 100 została pomnożona odpowiednio przez:, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, liczba 0 została pomnożona przez dowolną liczbę całkowitą. 0 jest wielokrotnością każdej liczby oraz to, że wielokrotnością liczby a jest m.in. liczba a. Dodatkowo zauważ, że każda wielokrotność liczby: 10 jest zakończona przynajmniej jednym zerem 100 jest zakończona przynajmniej dwoma zerami 1000 jest zakończona przynajmniej trzema zerami 1 Liczbę nazywamy całkowitą jeśli da się ją zamienić na ułamek zwykły o mianowniku 1 lub 1. Liczba taka po zamianie na ułamek dziesiętny nie ma cyfr za przecinkiem (wówczas przecinka się nie pisze) lub ma za nim wyłącznie zera. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 4
Temat: Zaokrąglanie liczb naturalnych oraz ułamków dziesiętnych. Zaokrąglanie liczb do rzędu 10-tek Zaokrąglenie liczby do rzędu 10-tek polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 10. Przypuśćmy, że liczbę 46 chcesz zaokrąglić do rzędu 10-tek. W myślach znajdujesz wielokrotności liczby 10:, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, i zauważasz, że liczba 46 leży między 40 a 50. Ponieważ do 50 jest bliżej niż do 40 (mniejsza różnica), więc szukanym zaokrągleniem jest liczba 50. I ot cała filozofia z zaokrąglaniem. Symbolicznie możesz to zapisać w taki sposób: 46 50 Weź teraz inną liczbę. Niech nią będzie np. 123 i tak samo jak poprzednio spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 10-tek. Ponownie w myślach wyobraź sobie liczby:, 0, 10, 20, 30, 40,, 120, 130, 140, 150, i zauważ, że liczba 123 leży między 120 a 130. Ponieważ do 120 jest bliżej niż do 130 (mniejsza różnica), więc szukane zaokrąglenie to liczba 120. Symbolicznie możesz zapisać to w taki sposób: 123 120 Proste, prawda? No teraz spróbuj wykonać poniższe ćwiczenie i sprawdź sobie czy wyniki wyjdą Ci zgodne z odpowiedziami. Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek. a) 27 b) 4 c) 9 d) 142 e) 386 [Odp. a) 30, b) 0, c) 10, d) 140, e) 390] No dobrze, już coś umiesz, ale to dopiero początek. Zastanów się teraz ile wynosiłoby zaokrąglenie liczby np. 15 do 10-tek? Na podstawie tego co było napisane wcześniej należy w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby 10, czyli:, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, i sprawdzić czy liczba którą zaokrąglamy tj. 15 jest bliżej liczby 10 czy bliżej liczby 20. No i pojawia się tu pewien problem, bo liczba ta jest dokładnie w połowie między liczbą 10 a 20. No i co wtedy? Nie ma zaokrąglenia czy obie liczby 10 i 20 są jej zaokrągleniami? Otóż jest zaokrąglenie i jest nim liczba 20 a nie 10. W takich szczególnych przypadkach gdy zaokrąglana liczba leży dokładnie w połowie, zawsze jako wynik zaokrąglenia musisz przyjąć liczbę większą 2, czyli w tym przypadku liczbę 20. 15 20 Zobacz teraz inną liczbę np. 135 i tak jak poprzednio, spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 10-tek. W myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 10:, 0, 10, 20, 30, 40,, 120, 130, 140, 150, i zauważasz że leży ona dokładnie w połowie między 130 a 140. Oznacza to, że jej zaokrągleniem do tego rzędu 10-tek jest liczba 140 (większa z dwóch wyróżnionych kolorem niebieskim). 135 140 2 Nie dotyczy to zaokrąglania liczb mniejszych od zera. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 5
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek. a) 25 b) 5 c) 75 d) 145 e) 385 [Odp. a) 30, b) 10, c) 80, d) 150, e) 390] No dobra, a co z ułamkami dziesiętnymi np. z 28,75? Wszystko tak samo jak wyżej. Przypuśćmy, że podany przez Ciebie ułamek 28,75 chcesz także zaokrąglić do rzędu 10-tek. Wówczas w myślach tak samo jak poprzednio wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 10:, 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, i zauważasz, że liczba 28,75 leży między 20 a 30 i bliżej jej do 30 niż do 20. Zatem zaokrągleniem liczby 28,75 do rzędu 10-tek jest liczba 30. Symbolicznie możesz to zapisać w postaci: 28,75 30 Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek. a) 14,7 b) 54,17 c) 196,1 d) 1,09 e) 429,009 [Odp. a) 10, b) 50, c) 200, d) 0, e) 430] Niby już wiesz wszystko o zaokrąglaniu liczb naturalnych i ułamków dziesiętnych do wskazanego rzędu, ale czy zastanawiałaś się nad tym jak np. do rzędu 10-tek zaokrąglić dużą liczbę np. 46513115617? Niby tak samo jak poprzednio, czyli poprzez wyobrażenie sobie wielokrotności liczby 10:, 0, 10, 20, 30, 40,, 120, 130, 140, 150, no ale nim myślami zbliżysz się do liczby 46513115617 to dużo czasu minie, a i po drodze możesz się pomylić. Powyższe wyobrażanie sobie wielokrotności danego rzędu nie jest wygodne dla dużych liczb, choć jest poprawne. Dla dużych liczb warto znaleźć inną metodę równoważną powyższej. Taka metoda oczywiście jest i jest bardzo łatwa do zrozumienia. Wystarczy zauważyć, że zaokrąglając liczby jakie były w tym temacie do rzędu 10-tek zawsze w wyniku końcowym dostawaliśmy liczbę zakończoną co najmniej jednym zerem, bo rząd zaokrąglenia wynosił 10, a każda wielokrotność liczby 10 ma na końcu co najmniej jedno zero. Zatem by liczbę dużą np. 46513115617 zaokrąglić do rzędu 10-tek wystarczy zamienić w niej ostatnią cyfrę na 0 a liczbę przed nią stojącą tj. 4651311561 zwiększyć o 1, bo cyfra zamieniona na 0 tj. 7 była większa od 4. Innymi słowy: 46513115617 46513115620 By łatwiej ogarnąć ten szybki sposób (prawdziwy również dla małych liczb), wystarczy wyobrazić sobie, że przy zaokrągleniach do rzędu 10-tek odcinamy w danej liczbie cyfrę jedności (bo liczba 10 ma jedno zero): i każdą cyfrę znajdującą się za niebieską kreską zamieniamy na 0. Dodatkowo jeśli pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, to liczbę znajdującą się przed niebieską kreską zwiększamy o 1, w przeciwnym razie przepisujemy ją bez zmian. Zobacz inny przykład. Tym razem weźmy liczbę 541232132,98465 i tak samo jak poprzednio spróbujmy zaokrąglić ją do rzędu 10-tek. Ponieważ liczba 10 ma jedno zero, więc robisz cięcie w takim miejscu, by między niebieską kreską a przecinkiem została dokładnie jedna cyfra. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 6
i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze). Z tytułu tego, że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, przepisujesz liczbę która jest po lewej stronie tej kreski, czyli liczbę 54123213. Dostajesz więc, że: 541232132,98465 541232130,00000 Zważywszy na to że zera końcowe za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają wartości danej liczby), więc masz, że: 541232132,98465 541232130 Dla upewnienia się, że to rozumiesz, zobacz jeszcze zaokrąglanie liczby 9999999,13 także do rzędu 10-tek. Ponieważ liczba 10 ma jedno zero, więc robisz cięcie w takim miejscu, by między niebieską kreską a przecinkiem została dokładnie jedna cyfra. i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze) i z tytułu tego, że pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, liczbę po lewej stronie tej kreski zwiększasz o 1. Przerabiasz więc liczbę 999999 na 1 000 000. 9999999,13 10000000 Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10-tek. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 1000, b) 5645470, c) 86113210, d) 54654650, e) 1233000] Zróbmy małe podsumowanie o zaokrąglaniu do rzędu 10-tek. Jeśli masz małą liczbę, powiedzmy z zakresu od 0 do 1000, (mogą to być także ułamki dziesiętne z tego zakresu), to wygodnie jest w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby 10 i zobaczyć do której wielokrotności jest najbliżej. W przypadku większych liczb wygodniejsze jest stosowanie obcinania cyfr począwszy od cyfry jedności. Spróbuj prześledzić jak za pomocą obcinania wyglądałoby np. podawanie zaokrąglenia liczby 6,54854321 do rzędu dziesiątek. Tak jak poprzednio obcinamy cyfrę jedności, czyli stawiamy kreskę w taki sposób by między nią a przecinkiem znajdowała się dokładnie jedna cyfra. 6,54854321 Jedyna różnica w stosunku do tego co było poprzednio jest taka, że tym razem przed kreską nie ma żadnej cyfry. Tym się jednak nie przejmuj, bo brak cyfr przed kreską jest równoważny występowaniu przed nią samych zer. Innymi słowy powyższy zapis jest równoważny zapisowi: 06,54854321 No i jakoś bardziej swojsko się już zrobiło. Teraz tak samo jak poprzednio wszystkie cyfry za kreską zamieniasz na zera, pamiętając o tym, że zer za przecinkiem się nie pisze. Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, więc liczbę stojącą przed niebieską kreską zwiększasz o 1. Dostajesz więc, że: 6,54854321 10 Widzisz teraz wyraźnie, że w celu zaokrąglania tak małych liczb szybsze jest wyobrażanie sobie liczb 0, 10, 20, 30, niż bawienie się obcinaniem cyfr, prawda? Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 7
Zaokrąglanie liczb do rzędu 100-tek Zaokrąglenie liczby do rzędu 100-tek polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 100. Przypuśćmy, że liczbę 46 chcesz zaokrąglić do rzędu 100-tek. W myślach znajdujesz wielokrotności liczby 100:, 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, i zauważasz, że liczba 46 leży między 0 a 100. Ponieważ do 0 jest bliżej niż do 100 (mniejsza różnica), więc szukanym zaokrągleniem jest liczba 0. I ot cała filozofia z zaokrąglaniem. Symbolicznie możesz to zapisać w taki sposób: 46 0 Weź teraz inną liczbę. Niech nią będzie np. 1237 i tak samo jak poprzednio spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 100-tek. Ponownie w myślach wyobraź sobie liczby:, 0, 100, 200, 300, 400,, 1200, 1300, 1400, 1500, i zauważ, że liczba 1237 leży między 1200 a 1300. Ponieważ do 1200 jest bliżej niż do 1300 (mniejsza różnica), więc szukane zaokrąglenie to liczba 1200. Symbolicznie możesz zapisać to w taki sposób: 1237 1200 Proste, prawda? No teraz spróbuj wykonać poniższe ćwiczenie i sprawdź sobie czy wyniki wyjdą Ci zgodne z odpowiedziami. Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek. a) 27 b) 4 c) 752 d) 142 e) 386 [Odp. a) 0, b) 0, c) 800, d) 100, e) 400] No dobrze, już coś umiesz, ale to dopiero początek. Zastanów się teraz ile wynosiłoby zaokrąglenie liczby np. 150 do 100-tek? Na podstawie tego co było napisane wcześniej należy w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby 100, czyli:, 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, i sprawdzić czy liczba którą zaokrąglamy tj. 150 jest bliżej liczby 100 czy bliżej liczby 200. No i pojawia się tu pewien problem, bo liczba ta jest dokładnie w połowie między liczbą 100 a 200. No i co wtedy? Nie ma zaokrąglenia czy obie liczby 100 i 200 są jej zaokrągleniami? Otóż jest zaokrąglenie i jest nim liczba 200 a nie 100. W takich szczególnych przypadkach gdy zaokrąglana liczba leży dokładnie w połowie, zawsze jako wynik zaokrąglenia musisz przyjąć liczbę większą 3, czyli w tym przypadku liczbę 200. 150 200 Zobacz teraz inną liczbę np. 1350 i tak jak poprzednio, spróbuj ją zaokrąglić do rzędu 100-tek. W myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 100:, 0, 100, 200, 300, 400,, 1200, 1300, 1400, 1500, i zauważasz że leży ona dokładnie w połowie między 1300 a 1400. Oznacza to, że jej zaokrągleniem do rzędu 100-tek jest liczba 1400 (większa z dwóch wyróżnionych kolorem niebieskim). 1350 1400 3 Nie dotyczy to zaokrąglania liczb mniejszych od zera. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 8
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek. a) 50 b) 350 c) 850 d) 1450 e) 3850 [Odp. a) 100, b) 400, c) 900, d) 1500, e) 3900] No dobra, a co z ułamkami dziesiętnymi np. z 28,75? Wszystko tak samo jak wyżej. Przypuśćmy, że podany przez Ciebie ułamek 28,75 chcesz także zaokrąglić do rzędu 100-tek. Wówczas w myślach ponownie wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 100:, 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, i zauważasz, że liczba 28,75 leży między 0 a 100 i bliżej jej do 0 niż do 100. Zatem zaokrągleniem liczby 28,75 do rzędu 100-tek jest liczba 0. Symbolicznie możesz to zapisać w postaci: 28,75 0 Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek. a) 157,4 b) 34,16 c) 692,1 d) 1542,09 e) 426,00001 [Odp. a) 200, b) 0, c) 700, d) 1500, e) 400] Niby już wiesz wszystko o zaokrąglaniu liczb naturalnych i ułamków dziesiętnych do wskazanego rzędu, ale czy zastanawiałaś się nad tym jak np. do rzędu 100-tek zaokrąglić dużą liczbę np. 46513115617? Niby tak samo jak poprzednio, czyli poprzez wyobrażenie sobie wielokrotności liczby 100:, 0, 100, 200, 300, 400,, 1200, 1300, 1400, 1500, no ale nim myślowo zbliżysz się do liczby 46513115617 to dużo czasu może minąć, a i po drodze możesz się pomylić. Powyższe wyobrażanie sobie wielokrotności danego rzędu nie jest wygodne dla dużych liczb, choć jest poprawne. Dla dużych liczb warto znaleźć inną metodę równoważną powyższej. Taka metoda oczywiście jest i jest bardzo łatwa do zrozumienia. Wystarczy zauważyć, że zaokrąglając liczbę do rzędu 100-tek zawsze wynik końcowy był zakończony co najmniej dwoma zerami, bo rząd zaokrąglenia wynosił 100, a każda wielokrotność liczby 100 ma na końcu co najmniej dwa zera. Zatem by liczbę dużą np. 46513115687 zaokrąglić do rzędu 100-tek wystarczy zamienić w niej 2 ostatnie cyfry na 0 a liczbę przed nią stojącą tj. 465131156 zwiększyć o 1, bo pierwsza cyfra zamieniona na 0 tj. 8 była większa od 4. Innymi słowy: 46513115687 46513115700 By łatwiej ogarnąć ten szybki sposób (prawdziwy również dla małych liczb), wystarczy wyobrazić sobie, że przy zaokrągleniach do rzędu 100-tek tniesz daną liczbę między cyfrą dziesiątek a cyfrą setek (bo liczba 100 ma dwa zera). Innymi słowy stawiasz niebieską kreskę pionową w takim miejscu by między nią a przecinkiem zostały dokładnie 2 cyfry (bo liczba 100 ma 2 zera): 46513115687 i każdą cyfrę znajdującą się za niebieską kreską zawsze zamieniasz na 0. Dodatkowo patrzysz na pierwszą cyfrę za niebieską kreską i oceniasz czy jest ona większa od 4 czy nie. Jeśli tak, to liczbę po lewej stronie niebieskiej kreski zwiększasz o 1 (nie jej ostatnią cyfrę), a jeśli nie to tylko ją przepisujesz. Zobacz inny przykład. Tym razem weźmy liczbę 541232132,98465 i tak samo jak poprzednio spróbujmy zaokrąglić ją do rzędu 100-tek. Ponieważ liczba 100 ma dwa zera, więc cięcie robisz w takim miejscu by między kreską a przecinkiem znalazły się dokładnie 2 cyfry: 541232132,98465 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze). Następnie z tytułu tego, że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, przepisujesz liczbę która jest po lewej stronie tej kreski, czyli liczbę 5412321. Dostajesz więc, że: Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 9
541232132,98465 541232100 Dla upewnienia się, że to rozumiesz, zobacz jeszcze zaokrąglanie liczby 9999999,13 także do rzędu 100-tek. Ponieważ liczba 100 ma dwa zera, więc cięcie robisz między cyfrą setek a cyfrą dziesiątek: 9999999,13 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0 (zer po przecinku się nie pisze). Z tytułu tego, że pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, liczbę po lewej stronie tej kreski zwiększasz o 1. Przerabiasz więc liczbę 99999 na 100 000. Dostajesz więc, że: 9999999,13 10000000 Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100-tek. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 1000, b) 5645500, c) 86113200, d) 54654700, e) 1233000] Zróbmy małe podsumowanie o zaokrąglaniu do rzędu 100-tek. Jeśli masz małą liczbę, powiedzmy z zakresu od 0 do 1000, (mogą to być także ułamki dziesiętne z tego zakresu), to wygodnie jest w myślach wyobrazić sobie wielokrotności liczby 100 i zobaczyć do której wielokrotności jest najbliżej. W przypadku większych liczb wygodniejsze jest stosowanie obcinania cyfr począwszy od cyfry jedności. Spróbuj prześledzić jak za pomocą obcinania wyglądałoby np. podawanie zaokrąglenia liczby 6,54854321 do rzędu setek. Tak jak poprzednio tniemy między cyfrą dziesiątek a cyfrą setek, ale pojawia się nowy problem którego wcześniej nie było. Otóż w liczbie tej nie ma ani cyfry dziesiątek ani cyfry setek. Pojawia się więc pytanie, co zrobić w takim feralnym przypadku? Skoro nie ma w danej liczbie cyfry dziesiątek i cyfry setek to je sobie dopisz dostawiając z przodu tej liczy same zera. Otrzymasz wówczas: 006,54854321 No i jakoś bardziej swojsko się już zrobiło. Teraz tak samo jak poprzednio wszystkie cyfry za kreską zamieniasz na zera, pamiętając o tym, że zer za przecinkiem się nie pisze. Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc liczbę stojącą przed niebieską kreską przepisujesz. Dostajesz więc, że: 6,54854321 0 Widzisz teraz wyraźnie, że w celu zaokrąglania tak małych liczb szybsze jest wyobrażanie sobie liczb 0, 100, 200, 300, itd. niż bawienie się obcinaniem cyfr, prawda? Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 10
Zaokrąglanie liczb do rzędów wyższych niż 100 Zaokrąglanie liczb do rzędu tysięcy, dziesiątek tysięcy, setek tysięcy, milionów itd. niczym się nie różni od wyżej omówionych sposobów. Jeśli masz jakąś liczbę zaokrąglić np. do rzędu tysięcy, to w myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 1000 tj.: 0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000 itd. i sprawdzasz do której wielokrotności Twojej liczbie jest najbliżej. Jeśli Twoja liczba leży dokładnie w połowie między wymienionymi wielokrotnościami to zawsze wybierasz większą wielokrotność. Przykładowo gdy masz liczbę 3500 to widzisz że leży ona dokładnie w połowie między 3000 i 4000 więc jej zaokrągleniem do tysięcy jest 4000 a nie 3000. Jeśli tego typu sposób zaokrąglania Ci się nie widzi, możesz zrobić cięcie w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem były dokładnie 3 cyfry (tysiąc ma 3 zera) 3500 Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4, więc liczbę z lewej strony niebieskiej kreski zwiększasz o 1 i każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na 0. W wyniku tego dostajesz, że: 3500 4000 Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy. a) 500 b) 7500 c) 8500 d) 14500 e) 38500 [Odp. a) 1000, b) 8000, c) 9000, d) 15000, e) 39000] Zobacz inne przykłady. 463,123 0 7456,4568 7000 8587,5964 9000 89,8 0 537 1000 nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 1 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 1 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy. a) 780 b) 5640 c) 46513 d) 65432 e) 54543132 [Odp. a) 1000, b) 6000, c) 47000, d) 65000, e) 54543000] Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy. a) 65,5 b) 684,654 c) 1286,156 d) 54894,58 e) 641,14654 [Odp. a) 0, b) 1000, c) 1000, d) 55000, e) 1000] Rozpatrz teraz liczbę 3299654546,0146 i zaokrąglij ją do rzędu milionów. Ponieważ milion ma 6 zer, więc robisz cięcie w takim miejscu by między kreską a przecinkiem zostało 6 cyfr: 3299654546,0146 i liczbę z lewej strony tj. 3299 niebieskiej kreski zwiększasz o 1 (otrzymujesz liczbę 3300), bo pierwsza cyfra za niebieską kreską jest większa od 4. Dodatkowo każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na 0 (zer za przecinkiem się nie pisze), w wyniku czego dostajesz, że: 3299654546,0146 3300000000 Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 11
Zobacz inne przykłady. 54656463,123 55000000 440587,5964 0 jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 1 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1000-cy. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 1000, b) 5645000, c) 86113000, d) 54655000, e) 1233000] Zaokrąglij podane liczby do rzędu 10 000-cy. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 0, b) 5650000, c) 86110000, d) 54650000, e) 1230000] Zaokrąglij podane liczby do rzędu 100 000-cy. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 0, b) 5600000, c) 86100000, d) 54700000, e) 1200000] Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1 000 000-ów. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 0, b) 6000000, c) 86000000, d) 55000000, e) 1000000] Zaokrąglanie liczb do rzędu jedności Zaokrąglanie liczb do rzędu jedności niczym się nie różni od wyżej omówionych sposobów. Jeśli masz jakąś liczbę zaokrąglić np. do rzędu jedności, to w myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 1 tj.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd. i sprawdzasz do której wielokrotności Twojej liczbie jest najbliżej. Jeśli Twoja liczba leży dokładnie w połowie między wymienionymi wielokrotnościami to zawsze wybierasz większą wielokrotność. Przykładowo gdy masz liczbę 7,5 to widzisz że leży ona dokładnie w połowie między 7 i 8 więc jej zaokrągleniem do jedności jest 8 a nie 7. Jeśli tego typu sposób zaokrąglania Ci się nie widzi, to możesz swoją liczbę zaokrąglić robiąc wcześniej omówione cięcie w miejscu w którym jest przecinek. Zobacz. Masz liczbę 7,5 i tniesz ją w miejscu w którym jest przecinek: 7,5 Ponieważ pierwsza cyfra za niebieską kreską tj. 5 jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 1, a każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zera. Dzięki temu otrzymujesz, że: 7,5 8,0 Ponieważ końcowych zer za przecinkiem się nie pisze, więc w rezultacie masz, że: 7,5 8 Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 12
Zaokrąglij podane liczby do rzędu 1-ności. a) 50,5 b) 350,5 c) 850,5 d) 1450,5 e) 3850,5 [Odp. a) 51, b) 351, c) 851, d) 1451, e) 3851] Rozpatrz teraz liczbę 3299654546,4126 i zaokrąglij ją do rzędu jedności. Robisz cięcie w miejscu w którym jest przecinek: 3299654546,4126 i liczbę z lewej strony tj. 3299654546 niebieskiej kreski przepisujesz bez zmian, bo pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4. Dodatkowo każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na 0 (zer za przecinkiem się nie pisze), w wyniku czego dostajesz, że: Zobacz inne przykłady. 3299654546,4126 3299654546 46,3123 46 456,4568 456 87,5964 88 89,8 90 237 237 nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 1 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 1 i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. jest równa 0, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz i każdą cyfrę na prawo od niebieskiej kreski zamieniasz na 0. Zaokrąglij podane liczby do rzędu jedności. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 999, b) 5645465, c) 86113214, d) 54654655, e) 1233000] Chcesz zarobić pieniądze np. na laptopa, wymarzony rower, wakacje lub inne swoje potrzeby? Zobacz na czym polega bezpieczny i legalny zarobek poprzez internet, bez wychodzenia z domu. Wejdź w link: http://dobryzarobek.pl/index.php?id=b57fedcf66da493cb558c4d71186f51f i przeczytaj to co tam jest napisane. Kliknij Zarejestruj się na dole strony i wpłać jednorazowo tylko 5 zł na podany tam numer konta bankowego. Po pewnym czasie inni użytkownicy tej strony zaczną Tobie wpłacać po 5 zł. Nawet jeśli to nie wypali, to stracisz tylko 5 zł. Jeśli skusi się na to 1 osoba, to zwróci Ci się te 5 zł. W pozostałych przypadkach masz zysk na czysto. Podobno można zarobić ok. 500 zł po kilku miesiącach. UWAGA! Nie wchodź na stronę główną tego serwisu, bo podany tam numer konta należy do właściciela serwisu, a on nie będzie Ci pomagał w reklamowaniu Twojego konta bankowego. Chcesz zarobić? to wejdź w ten link co wyżej. Numery kont się tam znajdujące należą do użytkowników a nie do administratora. Oni pomogą Ci więcej i szybciej zarobić. Metoda jest sprawdzona i rzeczywiście działa. To nie jest piramida finansowa. Tu przelewy są realizowane jako dobrowolne darowizny. Nikt nikogo nie zmusza do zrobienia przelewu. Nie robiąc przelewu w wyznaczonym czasie ryzykujesz tylko skasowaniem założonego tam konta. Przelewy są wykonywane z prywatnych kont bankowych użytkowników, a nie z kont w serwisie. Ty przelewając komuś 5 zł robisz to z Twojego konta bankowego (nie z konta założonego w serwisie) i tak samo ktoś przelewając 5 zł Tobie robi to ze swojego konta bankowego. Serwis ten tylko pośredniczy w znajdowaniu osób chcących zrobić przelew. To ile zarobisz i jak szybko zależy tylko od Ciebie. Do im większej liczby osób trafi Twój link polecający, tym więcej osób wyrazi chęć przyłączenia się do Ciebie i tym więcej zarobisz. Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 13
Temat: Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych do rzędu za przecinkiem. Zaokrąglanie liczb do rzędu części dziesiątych (do 0,1) Zaokrąglenie liczby do rzędu części dziesiątych (nie dziesiętnych) polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 0,1. Generalnie chodzi o to, że wynik takiego zaokrąglenia musi zawsze mieć dokładnie 1 cyfrę za przecinkiem, nawet jeśli cyfrą tą będzie 0. Przypuśćmy, że liczbę 46,87 chcesz zaokrąglić do rzędu części dziesiątych. Ponieważ wynik musi zawierać zawsze 1 cyfrę za przecinkiem, więc robisz cięcie danej liczby w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem znajdowała się dokładnie 1 cyfra. 46,87 Mając już zrobione cięcie patrzysz na pierwszą cyfrę za niebieską kreską i jeśli jest ona większa od 4, to liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 0,1 (bo do takiego rzędu zaokrąglasz liczbę), a każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zero w przeciwnym razie liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Otrzymujesz więc, że zaokrągleniem powyższej liczby jest: 46,90 Ponieważ końcowe zera za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają one wartości danej liczby), więc należy je wykreślić. Masz zatem, że: Zobacz inne przykłady., 46,87 46,9,,,,, 46,3123 46,3 456,4568 456,5 87,9764 88,0 89,8 89,8 237 237,0 nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 0,1. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 0,1. jest równa 0, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz. 237 = 237,0 czyli pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc daną liczbę przepisujesz. Zaokrąglij podane liczby do rzędu części dziesiątych. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 86113213,564 d) 54654654,99 e) 1232999,99999 [Odp. a) 999,1 b) 5645465,2 c) 86113213,6 d) 54654655,0 e) 1233000,0] Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 14
Zaokrąglanie liczb do rzędu części setnych (do 0,01) Zaokrąglenie liczby do rzędu części setnych polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 0,01. Generalnie chodzi o to, że wynik takiego zaokrąglenia musi zawsze mieć dokładnie 2 cyfry za przecinkiem (bo liczba 0,01 ma 2 cyfry za przecinkiem), nawet jeśli cyframi tymi będą zera. Przypuśćmy, że liczbę 46,8798 chcesz zaokrąglić do rzędu części setnych. Ponieważ wynik musi zawierać 2 cyfry za przecinkiem, więc robisz cięcie danej liczby w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem znajdowały się dokładnie 2 cyfry. 46,8798 Mając już zrobione cięcie patrzysz na pierwszą cyfrę za niebieską kreską i jeśli jest ona większa od 4, to liczbę przed niebieską kreską (w powyższym przypadku 46,87) zwiększasz o 0,01 (bo do takiego rzędu zaokrąglasz liczbę), a każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zero w przeciwnym razie liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Otrzymujesz więc, że zaokrągleniem powyższej liczby jest: 46,8800 Ponieważ końcowe zera za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają one wartości danej liczby), więc należy je wykreślić. Masz zatem, że:, 46,8798 46,88 Jeśli dana liczba nie ma cyfr za przecinkiem, np. 7954 to najpierw dopisz przecinek i co najmniej 3 zera, a dopiero potem postępuj jak wyżej. Zatem najpierw liczbę 7954 zapisz w postaci 7954,000 i dopiero teraz postaw niebieską kreskę w taki sposób, by między nią a przecinkiem były dokładnie 2 cyfry: 7954,000 Mając już taką postać jak wyżej, widzisz wyraźnie, że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Masz więc, że:, 7954 7954,00 a po odrzuceniu końcowych zer za przecinkiem, dostajesz, że: Zobacz inne przykłady., 7954 7954,,,,, 46,3123 46,31 456,4568 456,56 87,5964 87,60 89,8 89,80 237 237,00 nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 0,01. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 0,01. jest równa 0, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz. 237 = 237,00 czyli pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc daną liczbę przepisujesz. Zaokrąglij podane liczby do rzędu części setnych. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 6113213,564 d) 54654654,998 e) 1232999,99999 [Odp. a) 999,10 b) 5645465,16 c) 6113213,56 d) 54654655,00 e) 1233000,00] Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 15
Zaokrąglanie liczb do rzędu niższego od części setnych Zaokrąglenie liczby do rzędu niższego od części setnych polega na znalezieniu najbliższej tej liczbie wielokrotności liczby 0,001 lub 0,0001 lub 0,00001 lub 0,000001 lub. Generalnie chodzi o to, że wynik takiego zaokrąglenia musi zawsze mieć dokładnie tyle cyfr za przecinkiem ile cyfr za przecinkiem jest w liczbie 0,001 lub 0,0001 lub 0,00001 lub 0,000001 lub. Przypuśćmy, że liczbę 46,8798 chcesz zaokrąglić do rzędu części tysięcznych (dawniej tysiącznych) czyli do 0, 001. Ponieważ wynik musi zawierać 3 cyfry za przecinkiem, więc robisz cięcie danej liczby w taki sposób by między niebieską kreską a przecinkiem znajdowały się dokładnie 3 cyfry. 46,8798 Mając już zrobione cięcie patrzysz na pierwszą cyfrę za niebieską kreską i jeśli jest ona większa od 4, to liczbę przed niebieską kreską (w powyższym przypadku 46,879) zwiększasz o 0,001 (bo do takiego rzędu zaokrąglasz liczbę), a każdą cyfrę za niebieską kreską zamieniasz na zero w przeciwnym razie liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Otrzymujesz więc, że zaokrągleniem powyższej liczby jest: 46,8800 Ponieważ końcowe zera za przecinkiem są nieistotne (nie zmieniają one wartości danej liczby), więc należy je wykreślić. Masz zatem, że:, 46,8798 46,88 Jeśli dana liczba nie ma cyfr za przecinkiem, np. 7954 to najpierw dopisz przecinek i co najmniej 4 zera, a dopiero potem postępuj jak wyżej. Zatem najpierw liczbę 7954 zapisz w postaci 7954,0000 i dopiero teraz postaw niebieską kreskę w taki sposób, by między nią a przecinkiem były dokładnie 3 cyfry: 7954,0000 Mając już taką postać jak wyżej, widzisz wyraźnie, że pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz bez zmian. Masz więc, że:, 7954 7954,000 a po odrzuceniu końcowych zer za przecinkiem, dostajesz, że: Zobacz inne przykłady., 7954 7954,,,,, 46,3123 46,312 456,4568 456,567 87,5964 87596 89,8 89,800 237 237,000 nie jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 0,001. jest większa od 4, więc liczbę przed niebieską kreską zwiększasz o 0,001. jest równa 0, więc liczbę przed niebieską kreską przepisujesz. 237 = 237,000 czyli pierwsza cyfra za niebieską kreską nie jest większa od 4, więc daną liczbę przepisujesz. Zaokrąglij podane liczby do rzędu części tysięcznych. a) 999,1 b) 5645465,16 c) 6113213,564 d) 54654654,998 e) 1232999,99999 [Odp. a) 999,100 b) 5645465,160 c) 6113213,560 d) 54654655,000 e) 1233000,000] Zaokrąglanie do rzędu części dziesięciotysięcznych (0,0001), stutysięcznych (0,00001), milionowych (0,000001), itd. odbywa się dokładnie w taki sam sposób jak wyżej, tyle tylko, że między niebieską kreską a przecinkiem musi być więcej cyfr. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 16
Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych okresowych Na początek przypomnij sobie, że ułamek dziesiętny okresowy to ten, który po przecinku ma jakąś grupę cyfr systematycznie się powtarzającą (zakończoną wielokropkiem) np.: 54,8888 45654,19191919 123,00456456456456 0,111222333111222333111222333 oraz że te grupy cyfr które się powtarzają systematycznie możesz ująć w nawias, dzięki czemu dostaniesz krótszy zapis tych samych liczb: 54,(8) 45654,(19) 123,00(456) 0,(111222333) W zaokrąglaniu ułamków dziesiętnych okresowych nie ma nic trudnego. Nim zaczniesz je zaokrąglać musisz tylko ich skrócony zapis (ten z użyciem nawiasu) wydłużyć do wersji z wielokropkiem na końcu. Oznacza to, że ułamek 54,(8) najpierw musisz zapisać w postaci 54,88888888888 a dopiero potem zaokrąglać go do wskazanego rzędu stosując metody podane we wcześniejszych podtematach. To wszystko. Zobacz inne przykłady. 546,0195 = 546,0195195195195... 546,0195 = 546,0195195195195... 546,0195 = 546,0195195195195... 546,0195 = 546,0195195195195...,,,, 546,0195 546,01952 546,019520 546,01952 546,0195195 Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 17
Zaokrąglij liczbę 761,1(862) do rzędu a) tysięcy, b) setek, c) części tysięcznych, d)części stutysięcznych. [Odp. a) 1000, b) 800, c) 761,186, d) 761,18629.] Temat: Zadania utrwalające zaokrąglanie ułamków dziesiętnych. Prześledź już uzupełnioną tabelkę z zaokrągleniami niektórych liczb do wskazanego rzędu i sprawdź czy Tobie wyszłyby takie same odpowiedzi. Jeśli tak, to masz bardzo dobrze opanowane zaokrąglanie ułamków dziesiętnych, jeśli nie, to musisz jeszcze trochę poćwiczyć. liczba dziesiątek tysięcy zaokrąglenie do rzędu: tysięcy setek dziesiątek jedności części dziesiątych części setnych 10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 3 0 0 0 0 3 3,0 3,00 6 0 0 0 10 6 6,0 6,00 42 0 0 0 40 42 42,0 42,00 468 0 0 500 470 468 468,0 468,00 752 0 1000 800 750 752 752,0 752,00 756 0 1000 800 760 756 756,0 756,00 1398 0 1000 1400 1400 1398 1398,0 1398,00 3213,561 0 3000 3200 3210 3214 3213,6 3213,56 4687,499 0 5000 4700 4690 4687 4687,5 4687,50 6479 10000 6000 6500 6480 6479 6479,0 6479,00 6531 10000 7000 6500 6530 6531 6531,0 6531,00 12387,4 10000 12000 12400 12390 12387 12387,4 12387,40 465744643,16 465740000 465745000 165744600 465744640 465744643 465744643,2 465744643,16 Każda liczba kończy się co najmniej 4-ma zerami. Każda liczba kończy się co najmniej 3-ma zerami. Każda liczba kończy się co najmniej 2-ma zerami. Każda liczba kończy się co najmniej jednym zerem. Brak części ułamkowej. Każda liczba kończy się dokładnie jedną cyfrą po przecinku. Każda liczba kończy się dokładnie dwiema cyframi po przecinku. Uzupełnij poniższą tabelkę. liczba 8762,3546 8749,2(58) 843,1(97) 58,9992 9,(9) 138,87 499,(84) 500,484 999,196 1000 1004 6,5 13,(13) 5764,876 29,999991 zaokrąglenie do rzędu: 10 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 18
Zadanie: Długość Amazonki wynosi 6695 km, zaś długość Wisły 1047 km. Ile razy Amazonka jest dłuższa od Wisły? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych. Aby obliczyć ile razy Amazonka jest dłuższa od Wisły należy jej długość podzielić przez długość Wisły. Skoro otrzymany wynik ma być podany z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, więc dzielenie pisemne liczby 6695 przez 1047 wystarczy przerwać po otrzymaniu drugiej cyfry po przecinku. Rozwiązanie:, 6695 km (1047 km) 6,39 6,4 Odp. Amazonka jest dłuższa od Wisły mniej więcej 6,4 raza. Zadanie: Sprzedawca zmieszał 1 kg cukierków w cenie 15,79 zł za 1 kilogram i pół kilograma innych cukierków w cenie 6,89 zł za kilogram. Ile będzie wynosić cena 1 kg tej mieszanki? Podaj cenę z dokładnością do jednego grosza. Rozwiązanie: 1 kg 15,79 zł/kg = 15,79 zł tyle zapłacono za 1 kg cukierków pierwszego typu 0,5 kg 6,89 zł/kg = 3,445 zł tyle zapłacono za 0,5 kg cukierków drugiego typu Wszystkie te cukierki razem ważą 1,5 kg i kosztują 15,790 zł + 3,445 zł = 19,235 zł. Aby wyliczyć ile będzie kosztować 1 kg tej mieszanki wystarcz że ułożysz równanie: 1,5 kg = 19,235 zł /: 1,5, 1 kg 12,82 zł Odp. Jeden kilogram tej mieszanki będzie kosztować około 12,82 zł. Narysuj kwadrat i zmierz długość jego boku oraz przekątnej. Oblicz stosunek 4 długości przekątnej kwadratu do długości jego boku. Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 1,41.] Narysuj trójkąt równoboczny i zmierz długość jego boku oraz długość wysokości. Oblicz stosunek długości wysokości tego trójkąta do długości jego boku. Wynik podaj zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 0,87.] 4 Stosunek to wynik z podzielenia dwóch liczb przez siebie. Aby wyliczyć stosunek długości odcinków należy długość jednego odcinka podzielić przez długość drugiego z nich. Kolejność liczb które dzielimy przez siebie jest ważna. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 19
Temat: Zaokrąglanie ułamków zwykłych. Aby zaokrąglić ułamek zwykły np. do wskazanego rzędu, musisz go najpierw zamienić na ułamek dziesiętny. W tym celu możesz posłużyć się dzieleniem pisemnym liczby 1 (bo jest ona nad kreską ułamkową) przez liczbę 8 (jest ona pod kreską ułamkową) w wyniku którego otrzymasz ułamek dziesiętny 0,125. Mając już ułamek dziesiętny, zaokrąglasz go do podanego rzędu tak, jak to zostało omówione we wcześniejszych tematach. I ot cała filozofia. Dzielenie pisemne nie jest przymusowe, ale jest zawsze skuteczne. W przypadku ułamka zamianę na ułamek dziesiętny równie dobrze można było osiągnąć mnożąc jego licznik przez 125 i mianownik również przez 125 co dałoby ułamek równy 0,125. Co jednak zrobić gdy dany jest ułamek np. i chcesz go zaokrąglić np. do rzędu części setnych? Mnożenie jego licznika i mianownika przez żadną liczbę nie będzie skuteczne. W takim przypadku pozostaje przymusowe wykonanie dzielenia pisemnego (liczby 1 przez liczbę 7): Wykonując dzielenie pisemne liczby 1 przez liczbę 7, masz wynik: 0,(142857) który po zaokrągleniu do rzędu części setnych daje 0,14. Czas jaki został zużyty na to dzielenie na pewno nie był krótki. Zastanów się czy był sens wykonywania tego dzielenia do końca. Zauważ, że skoro masz podać zaokrąglenie liczby z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, to będzie Ci potrzebna tylko wiedza o tym, jaka cyfra stoi na miejscu 3-cim za przecinkiem. Pozostałe cyfry są nieistotne. Zatem tracenie czasu na wykonywanie całego dzielenia pisemnego jest bez sensu. Pamiętaj. Jeśli masz wykonać dzielenie np. do rzędu części milionowych (6 cyfr po przecinku), to dzielenie pisemne przerwij po uzyskaniu 7-dmej cyfry po przecinku, jeśli do rzędu części miliardowych (9 cyfr po przecinku) to dzielenie pisemne przerwij po uzyskaniu 10-tej cyfry po przecinku itd. Oszczędność czasu i logiczne myślenie to podstawa do efektywnego zaokrąglania liczb. Prześledź teraz zaokrąglanie ułamków zwykłych w poniższych zadaniach. Zadanie: Ile wynosi zaokrąglenie ułamka do rzędu 100-tek? W myślach wyobrażasz sobie wielokrotności liczby 100 czyli: 0, 100, 200, 300, 400, Ponieważ ułamek leży między 0 a 100 i bliżej mu do 0 niż do 100, więc jego zaokrąglenie do rzędu setek jest równe 0. Rozwiązanie: Odp. Zaokrąglenie ułamka do rzędu setek jest równe 0. 0 Zadanie: Ile wynosi zaokrąglenie ułamka do rzędu 0,01? Podziel pisemnie liczbę 8 przez 17 i przerwij obliczenia po uzyskaniu 3-ciej cyfry po przecinku, gdyż wymagane jest zaokrąglenie tylko do dwóch miejsc po przecinku. Rozwiązanie:, 0,47 Odp. Zaokrąglenie ułamka do rzędu części setnych jest równe 0,47. Zauważ, że gdyby powyższe dzielenie wykonać do końca, to otrzymany wynik miałby 16 cyfr w okresie, a na jego wykonanie zmarnowane zostałoby bardzo dużo czasu. Wersja z dnia: 27.12.2010 http://matematyka.strefa.pl Zaokrąglanie liczb strona 20