Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zapisz w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwiązaniach zadań rachunkowych przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 6. Zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 7. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów możliwych do uzyskania. 8. Możesz ko rzy stać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów. Życzymy powodzenia! Wpisuje zdajàcy przed rozpocz ciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON. Kopiowanie w całości lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadań przez dyrektorów szkół biorących udział w programie Próbna Matura z OPERONEM.
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (1 pkt) Największa liczba naturalna n spełniająca nierówność n < r - 1 to A. 3 B. 5 C. 6 D. 0 Zadanie. (1 pkt) Liczba 4 3 3 16 + 3 8 b l 7-1 jest równa 4 1 A. -1 B. C. - D. 1 49 4 Zadanie 3. (1 pkt) Liczba log 6 jest równa A. log $ log 3 log 1 B. log C. log + log 3 D. log - log 3 Zadanie 4. (1 pkt) 0% pewnej liczby jest o 16 mniejsze od tej liczby. Tą liczbą jest A. 3 B. 0 C. - D. -0 Zadanie 5. (1 pkt) x - 1 Rozwiązaniem równania - = jest liczba x + A. -1 B. 1 C. 0 D. 5 3 Zadanie 6. (1 pkt) Większa z liczb spełniających równanie x + 6x+ 8 = 0 to A. B. 4 C. - D. -4 Zadanie 7. (1 pkt) Przedział zaznaczony na osi liczbowej 0 1 X jest zbiorem rozwiązań nierówności A. x + 1 G 1 B. x + 1 H C. x - 1 H 1 D. x - 1 G 1
BRUDNOPIS 3
Zadanie 8. (1 pkt) - x + 1, gdy x < 1 Dziedziną funkcji fx () = * jest zbiór -x, gdy 1 G x G 4 A. (- 3, 4 B. 1, 4 C. 0, 4 D. ]-3,1g Zadanie 9. (1 pkt) Funkcja liniowa fx () = ( m+ ) x+ mjest rosnąca, gdy A. m <- B. m < C. m >- D. m >-4 Zadanie 10. (1 pkt) Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f^h x. Y 4 3 1 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 1 X 3 Funkcja jest malejąca w przedziale A. 0, 4 B. 1, 6 C. 0, 6 D. -, 4 Zadanie 11. (1 pkt) 4 Punkt P = ] a+ 1, g należy do wykresu funkcji fx () = x. Liczba a jest równa A. 0 B. -1 C. D. 1 Zadanie 1. (1 pkt) Do zbioru rozwiązań nierówności 9 G x należy liczba A. - B. 0 C. -3 D. 4
BRUDNOPIS 5
Zadanie 13. (1 pkt) 1 Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = x+ 1. 1 A. y =- x+ 1 B. y = 0,5x-1 C. y =- x+ 1 D. y = x-1 Zadanie 14. (1 pkt) Liczby x, 4, x + są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa A. B. 3 C. 6 D. 1 Zadanie 15. (1 pkt) W ciągu geometrycznym ^ h są dane: a =-1, q =-. Suma czterech kolejnych początkowych a n wyrazów tego ciągu jest równa A.,5 B. -7,5 C. -,5 D. 7,5 Zadanie 16. (1 pkt) Kąt a jest ostry i sin a =. Wówczas 5 A. cos a = sin a B. cos a > sin a C. cos a < sin a D. cos a = 1 -sin a Zadanie 17. (1 pkt) Dane są wielomiany Wx () = x 4-1oraz Vx () = x 4 + 1. Stopień wielomianu Wx () + Vx () jest równy A. 4 B. 8 C. 16 D. 0 Zadanie 18. (1 pkt) Mediana danych: -4,, 6, 0, 1 jest równa A. 6 B. 0 C.,5 D. 1 Zadanie 19. (1 pkt) Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu ] y x - 1 g + = 4 z prostą o równaniu y =-1 jest równa A. 0 B. 1 C. D. 3 Zadanie 0. (1 pkt) A = ]-, -1g Punkty i B = ], g są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Wysokość tego trójkąta jest równa A.,5 B. 3 C. 5 3 D.,5 3 6
BRUDNOPIS 7
Zadanie 1. (1 pkt) Dany jest okrąg o środku w punkcie S. Miara kąta a jest równa 70. a S c b Suma miar kątów b i c jest równa A. 180 B. 10 C. 70 D. 140 Zadanie. (1 pkt) Trapez jest prostokątny. Trójkąty podobne ABD i CBD są równoramienne. A B D C Obwód trapezu jest równy A. 4+ B. C. 4+ D. 4 Zadanie 3. (1 pkt) Graniastosłup ma n + 6 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa A. n + 3 B. 4n + 8 C. 6n + 18 D. 3n + 9 Zadanie 4. (1 pkt) Tworząca stożka jest o dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe 15r. Tworząca stożka ma zatem długość A. 1 B. 5 C. 3 D. 15 Zadanie 5. (1 pkt) Cztery dziewczynki i sześciu chłopców siedzą na tym samym pniu zwalonego dębu. Dziewczynki siedzą obok siebie i chłopcy również siedzą obok siebie. Wszystkich możliwych sposobów posadzenia dzieci w ten sposób jest A. 4$ 6 B. C. 1$ $ 3$ 4$ 6$ 5$ 4$ 3$ $ 1 D. $ 4$ 1$ $ 3$ 4$ 5$ 6 1$ $ 3$ 4$ 6$ 5$ 4$ 3$ $ 1$ 8
BRUDNOPIS 9
ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań o numerach od 6. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania. Zadanie 6. ( pkt) Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu punkt P = ]-1, -4g. - 3x+ y- 4 = 0 i przechodzącej przez Odpowiedź:... Zadanie 7. ( pkt) W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość a. Kąt ostry przy tym boku ma miarę a. Wykaż, że sin a+ cos a > 1. 10
Zadanie 8. ( pkt) Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c ma długość a+ b+ c. Zadanie 9. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 5x G 6. Odpowiedź:... 11
Zadanie 30. ( pkt) Wiadomo, że A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w X, że PA ( ) = 07,, i PA (, B) = 08,. Oblicz PA ( + B). PB ( ) = 0,6 Odpowiedź:... Zadanie 31. ( pkt) Przekątna równoległoboku ma długość 10 cm i tworzy z krótszym bokiem kąt prosty, a z dłuższym bokiem kąt 30. Oblicz długość krótszego boku tego równoległoboku. Odpowiedź:... 1
Zadanie 3. (4 pkt) Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej AB w punkcie K. Wiadomo, że AK = 4 i KB = 6. Oblicz promień tego okręgu. A K C B Odpowiedź:... Zadanie 33. (4 pkt) Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba oczek otrzymana w pierwszym rzucie jest większa od liczby oczek otrzymanej w drugim rzucie? Odpowiedź:... 13
Zadanie 34. (5 pkt) Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa 6, a długość krawędzi bocznej jest równa 15. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy. Odpowiedź:... 14
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) 15
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom podstawowy Listopad 011 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwar tych są pre zen to wa ne przy kła do we po praw ne od po wie dzi. W te go ty pu za da niach na le ży rów nież uznać od po wie dzi ucznia, je śli są ina czej sfor mu ło wa ne, ale ich sens jest zgod ny z po da nym sche ma tem, oraz in ne po praw ne od po wie dzi w nim nie prze wi dzia ne. Zadania zamknięte Nr zad. 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 0. 1.. 3. 4. 5. Odp. B D C B A C D A C B D C A B C B A D C D B C D B D Za każdą prawidłową odpowiedź zdający otrzymuje 1 punkt. Zadania otwarte Numer zadania Zdający otrzymuje Liczba punktów 6. gdy przedstawi równanie prostej równoległej w postaci: - 3x+ y+ C = 0 lub równoważnej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd gdy obliczy bezbłędnie wyraz wolny i poda odpowiedź: - 3x+ y+ 1 = 0 (lub y = 3x-1) 7. gdy sporządzi odpowiedni rysunek i wprowadzi oznaczenia, np.: b druga przyprostokątna, c przeciwprostokątna i zapisze lewą stronę nierówności w postaci: b a a b sin a+ cos a = c + c = + c i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd gdy powoła się na własność trójkąta (suma długości dwóch boków trójkąta jest większa a+ b od długości trzeciego boku), otrzyma 1 i stąd wyprowadzi wniosek: c > sin a+ cos a > 1 8. gdy obliczy długość przekątnej podstawy prostopadłościanu, np.: p = a+ b i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd gdy obliczy długość przekątnej prostopadłościanu, np. przez zastosowanie twierdzenia Pitagorasa p + c = ( a + b ) + c = a + b + c 1 pkt pkt 1 pkt pkt 1 pkt pkt www.operon.pl 1
Numer zadania Zdający otrzymuje Liczba punktów 9. gdy przedstawi nierówność w postaci ogólnej: x + 5x-6 G 0 oraz gdy obliczy wyróżnik 1 pkt podanego trójmianu kwadratowego wraz z jego pierwiastkami i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd gdy zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. w postaci: -61, pkt 30. gdy zapisze warunek pozwalający na obliczenie prawdopodobieństwa sumy: PA (, B) = PA ( ) + PB ( )- PA ( + B) = 0, 7 + 0, 6-PA ( + B) 1 pkt gdy zauważy, że PA ( + B) = 13, - 0, 8= 0, 5 pkt 31. gdy oznaczy długość krótszego boku y (np. na rysunku) oraz zapisze warunek wynikający z odpowiedniej zależności między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym, np.: y tg 30c = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd 10 1 pkt gdy obliczy poprawnie długość krótszego boku: pkt 3 y 10 3 =, y = ^cmh 3 10 3 3. gdy oznaczy r promień okręgu wpisanego i skorzysta z twierdzenia o długości odcinków stycznych, zaznaczając na rysunku długości odpowiednich odcinków lub zapisując długości przyprostokątnych: 4 + r, 6 + r oraz długość przeciwprostokątnej: 10 1 pkt 4 A 4 K 6 r C r 6 B gdy zapisze zależność, która pozwoli na obliczenie promienia okręgu, np.: ( r+ 4) + ( r+ 6) = 10 gdy sprowadzi zapisane równanie do postaci, z której łatwo obliczyć pierwiastki, np.: r + 10r- 4 = 0 gdy obliczy pierwiastki równania: r 1 =-1, r = i zapisze poprawne rozwiązanie r = pkt 3 pkt 4 pkt 33. gdy obliczy X = 36 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo ograniczy swoje rozwiązanie tylko do zapisu X = 36, A = 15 oraz gdy zapisze PA ( ) A = {(, 1), (3, 1), (3, ), (4, 1), (4, ), (4, 3), (5, 1), (5, ), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} albo narysuje odpowiednie drzewko i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd = 5 1 1 pkt pkt www.operon.pl
Numer zadania Zdający otrzymuje Liczba punktów gdy zapisze A = 15 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd 3 pkt gdy obliczy prawdopodobieństwo PA ( ) 15 = = 36 34. gdy obliczy długość d połowy przekątnej podstawy, np. korzystając z twierdzenia Pitagorasa w odpowiednim trójkącie prostokątnym 6 d + =^ 15h, d = 6 gdy obliczy długość przekątnej podstawy: podstawy a : 4 6 = a & a = 4 3 5 1 d = 4 6 i znajdzie długość krawędzi a gdy zaznaczy na rysunku kąt a i obliczy długość połowy krawędzi podstawy = 3 4 pkt 1 pkt pkt 3 pkt gdy zapisze zależności między bokami i kątami w odpowiednim trójkącie prostokątnym, które pozwolą na obliczenie miary kąta a, np.: 6 tg a = = 3 3 gdy poda miarę kąta a = 60 4 pkt 5 pkt www.operon.pl 3