Wykład 4. Skręane nekrępowane prętów o przekroju enkośennym otwartym zamknętym. Pręt o przekroju enkośennym otwartym la przekroju pręta pokazanego na ryunku przyjmjmy funkje naprężeń Prandtla, która tylko w przyblżenu, pełna warunek brzegowy. d x b a h x x x h x L L>>h h>> Ry.. Przekrój zk pręta enkośennego o przekroju protokątnym. Rzezywte proporje protokąta pownny być nne nż wyobrażone na ryunku. by przyblżona teora ne prowadzła do dużyh błędów, fgury na ryunku pownny być bardzej mukłe. Załóżmy, że zamat znkać na ałym obwodze S, funkja ta jet równa zeru tylko na bokah (równane ()). ożna wobe tego przyjąć ją w forme równana () powerzhn ylndryznej nad S. Łatwo obe wyobrazć, że taka powerzhna jet, poza obzarem b da, prawdłową funkją naprężeń. ( ) ϕ ϕ () x ( x / ) ϕ( x / 0 ϕ ) () Nejednorodne równane harmonzne redukuje e do pota: ϕ G ' () Θ, Łatwo oblzyć tałe ałkowana w parabol pełnająej () aby pełnć warunek (). Otrzymuje ę natępująe wyrażene na ϕ: ϕ GΘ 4 x (4)
Oblzymy naprężena: τ 0 τ GΘ x (5) oment kręająy wyno: ϕdx dx Θ G Θ x dx dx hg 4 (6) ożna teraz podać wzór na jednotkowy kąt kręena w typowej pota, wyrażony przy pomoy wkaźnka ztywnoś przekroju na kręane : Θ gdze G h (7) Podobne naprężena (5) można teraz wyrazć w funkj momentu kręająego. o oblzena τ max użyjemy wkaźnka wytrzymałoś na kręane W : τ 0 τ x (8) τ max τ x W h W (9) x x x b h x x x d a a). b). ). Ry.. a). - przekrój enkośenny protokątny; b). wykre naprężeń według przedtawonej powyżej teor przyblżonej; ). wartwe naprężeń zgodnyh z teorą kręana prętów nekołowyh - owalne kontury (ne ą to elpy!), wartwe naprężeń przyblżonyh - prote, lna przerywana.
Złożony przekrój enkośenny otwarty. Rozpatrzmy pręt o przekroju, który da ę rozłożyć na końzoną lość N przekrojów będąyh mukłym protokątam. Załóżmy, że h lne środkowe ne tworzą żadnej łamanej zamknętej (Ryunek ). Zamerzamy wykorzytać wzory uzykane dla pojedynzego przekroju protokątnego o małej zerokoś. Kluzem do tego jet natępująe założene, opująe wpólna prae myślowo wyodrębnonyh fragmentów przekroju: jednotkowy kąt obrotu -tego Θ fragmentu jet wpólny dla wzytkh fragmentów kładowyh tak jak dla ałoś przekroju Θ' wypadkowy moment kręająy jet umą momentów wypadkowyh oblzonyh dla każdego wyodrębnonego, -tego fragmentu. Te dwa założena formułowane ą przy pomoy wzorów (0): N (0) Θ ' Θ' la każdego pręta kładowego możemy podać jego ndywdualną ztywność. pozotaje utalć wzór na ztywność pręta złożonego (ałkowtą), której rolęmożna odzytać z wzoru ( ). Θ G gdze h Θ Θ G? () Prote przekztałena pokazują, że ztywność alkowta jet umą ztywnoś kładowyh: N N N N h () Θ G Θ G Θ G oment kręająy przenozony przez każdy pręt kładowy jet zęśą momentu alkowtwgo, proporjonalną do ztywnoś tego pręta: Θ G Θ G () Oblzene makymalnego naprężena śnająego wynka z wzorów (9) jet podane ponżej: max max τ τ max max max W max (4)
θ θ' h θ' θ Ryunek. Przekrój złożony (a), jego rozkład na przekroje kładowe (b), oznazena. Skręane nekrępowane prętów o przekroju enkośennym zamknętym. x P'' O r Θ P' d x P L>> >> Ry.. Przekrój zk pręta enkośennego zamknętego. Przyjmjmy, natępująe założene uprazzająe dotyząe tanu naprężena w przekroju: jedyną kładową naprężena w przekroju jet τ, naprężene tyzne jet równoległe do ln środkowej tałe na gruboś przekroju: τ () λd τ () τ (5) 4
zależność τ od wpółrzędnej łukowej utalmy oblzają umę rzutów wektorów naprężeń na śankah wynka śank wyjętego myślowo z enkego platerka o wyokoś dz, jak na ryunku (zależność gruboś od wpółrzędnej łukowej jet dana): 0 τ ()() ont (6) t, τ τ x Ry.. Wynek pręta enkośennego zamknętego. Oblzmy moment kręająy będąy w równowadze z naprężenam o takm rozkładze: r τd τ r d τ τ (7) 0 0 akymalne naprężene wytępuje, jak wdać z powyżzego wzoru, tam, gdze przekrój jet najeńzy: (8) max mn τ W W 0 Zwązek momentu z kątem kręena otrzymamy zapują równość pray momentu kręająego na jednotkowym kąe kręena (praa l zewnętrznyh) pray ł wewnętrznyh to jet: pray naprężena tyznego τ (jedynej nezerowej kładowej tenora naprężena, wzór ()) na kąe odkztałena potaowego γ: Θ d τγ τ τ τ d d d G G G G 4 Θ 0 G 4 Θ 0 d () d (9) 5
Otrzymany wzór na ztywność przekroju enkośennego zamknętego nazywa ę wzorem redta: Θ gdze G 4 (0) 0 d () 6