STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6

Metody sprawdzania założeń w analizie wariancji: -Sprawdzanie równości (jednorodności) wariancji testy: - Cochrana - Hartleya - Bartletta -Sprawdzanie zgodności rozkładu z rozkładem normalnym testy: - Chi-kwadrat - Shapiro-Wilksa -Kołmogorowa-Smirnova

Metody sprawdzania założeń w analizie wariancji (c.d.): Niezależność obserwacji: obserwacje powinny być wzajemnie nieskorelowane, czyli nie powinna występować autokorelacja -Sprawdzanie niezależności obserwacji Test Durbina-Watsona (obserwacje powinny być ułożone w właściwym porządku, np. jeśli obserwacje pozyskiwane były przez pewien czas, wskazane jest ich ułożenie w kolejności takiej, w jakiej były pozyskiwane)

Metody sprawdzania założeń w analizie wariancji (c.d.): -Analiza graficzna reszt 0,5 Wykr.odch. od norm.: Wartości Efekt: Kody (Wykres reszt w obrębie podklasy) Ogół grup 2,5 Wykr.norm.: Wartości Efekt: Kody (Wykres reszt w obrębie podklasy) Ogół grup 0,4 2,0 0,3 1,5 Oczekiwana normalna 0,2 0,1 0,0-0,1-0,2 Oczekiwana normalna 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-0,3-1,5-0,4-2,0-0,5-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Wartość obserwowana -2,5-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Wartość obserwowana

Co robić, gdy założenia nie są spełnione? -Zastosowanie testów nieparametrycznych Test U Manna-Whitneya tylko do porównania dwóch populacji Test Kruskala-Wallisa jednoczynnikowa ANOVA nieparametryczna Test Friedmana jednoczynnikowa ANOVA nieparametryczna dla powtarzanych pomiarów -Zastosowanie uogólnionych modeli liniowych (GLM) Transformacja danych: -Przekształcenie danych mających rozkład inny niż normalny do rozkładu normalnego Często stosowane przekształcenia (transformacje): - Arc sin x -Transformacja Boxa-Coxa - logarytmowanie, potęgowanie, pierwiastkowanie itp. x λ λ 1

-Zastosowanie transformacji x Arc sin (tzw. transformacja Blissa) Stosujemy zazwyczaj dla danych mających rozkład dwumianowy wyrażonych w procentach, przyjmujących najczęściej wartości w przedziale (0-20% lub 80-100%) Transformacja Boxa-Coxa Jest to często stosowana transformacja, w przypadku rozkładów asymetrycznych (lewostronnie lub prawostronnie skośnych lub też uciętych rozkładów normalnych) Logarytmowanie x λ λ 1 Stosujemy zazwyczaj w przypadku, gdy wraz ze wzrostem wartości średniej zwiększa się wariancja (a tym samym odchylenie standardowe), czyli występuje korelacja między średnią a wariancją. Stosowanie transformacji log(x) może nie być możliwe, np. w takim przypadku jeśli zmienna przyjmuje wartość 0, wtedy można zastosować transformację log(x+1) Pierwiastkowanie Stosujemy w przypadku rozkładów zbliżonych do rozkładu Poissona, tzn. w rozkładach prawostronnie skośnych, w których wartość średnia jest zbliżona do wariancji. Podobnie jak w przypadku transformacji log(x) może występować problem, jeśli zmienna przyjmuje wartość 0 (lub wartości ujemne). Można zastosować wtedy transformację gdzie a jest określoną wartością np. a=0,5 x + a

Przykład zastosowania transformacji log 10 X 11 Histogram: liczba bakterii Oczekiwana normalna 10 liczba bakterii log10(liczba bakterii) 9 8 2500 3,40 3100 3,49 6300 3,80 150 2,18 Dane surowe Liczba obs. 7 6 5 4 3 8000 3,90 2 4500 3,65 5900 3,77 2300 3,36 7200 3,86 1 0 8 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 X <= Granica klasy Histogram: log10(liczba bakterii) Oczekiwana normalna 800 2,90 1500 3,18 2900 3,46 15000 4,18 10500 4,02 Dane transformowane Liczba obs. 7 6 5 4 8900 3,95 3 600 2,78 2 1500 3,18 1 35000 4,54 0 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 X <= Granica klasy

Problemy związane z transformacją 1) Brak możliwości transformowania niektórych rozkładów do rozkładu normalnego, np. nie da się przekształcić zmiennej skokowej do zmiennej ciągłej, tak więc w przypadku jeśli zmienna jest zmienną skokową (dyskretną), która przyjmuje niewielką liczbę wartości (np. 1, 2, 3, 4 i 5) to niemożliwe jest zastosowanie transformacji, tak aby rozkład tej zmiennej był rozkładem normalnym 2) Trudności w interpretacji wyników. Ze względu na to, że po transformacji wartości parametrów (np. wartość średnia) ulegają zmianie, to nie można wnioskować np.. O procentowej różnicy między średnimi na podstawie parametrów obliczonych na zmiennej transformowanej. Jeśli pomimo stosowania różnych transformacji założenia analizy wariancji nadal nie są spełnione, to można zamiast ANOVY zastosować testy nieparametryczne. Jedną z wad testów nieparametrycznych jest mniejsza ich moc, tzn. odrzucenie hipotezy zerowej jest zazwyczaj trudniejsze, tak więc powinniśmy je stosować tylko wtedy, gdy testy parametryczne (np.. ANOVA) nie mogą być stosowane

test U Manna-Whitneya - porównanie 2 populacji o dowolnych rozkładach Test U Manna-Whitneya (inna nazwa: test rang Wilcoxona) służy do porównania zgodności dwóch rozkładów. Statystyką testową jest wartość U Wartość U jest tym większa im jest większa różnica między rangami dla badanych grup Rangi poszczególnym wartościom obserwacji są nadawane w ten sposób, że po uporządkowaniu w kolejności rosnącej wartości z obydwu badanych prób (populacji) przyporządkowujemy im wartości kolejnych liczb naturalnych (w przypadku powtarzania się tej samej wartości wiele razy stosuje się uśrednioną wartość rangi dla tych wartości)

test Kruskala-Wallisa - porównanie wielu populacji o dowolnych rozkładach Statystyką testową jest wartość K (oznaczana również jako H) Wartość K jest tym większa im jest większa różnica między rangami dla badanych grup Podobnie jak w przypadku testu U Manna-Whitneya rangi poszczególnym wartościom obserwacji są nadawane po uporządkowaniu w kolejności rosnącej wartości z wszystkich badanych prób. Jeśli odrzucimy hipotezę zerową w teście Kruskalla-Wallisa (czyli jeśli p dla testu będzie mniejsze od wartości α) to stwierdzamy, że co najmniej dwie populacje różnią się pod względem rozkładów badanej cechy. Zazwyczaj interesuje nas które populacje różnią się istotnie statystycznie. Aby odpowiedzieć na to pytanie wykonujemy porównania wielokrotne wszystkich możliwych par badanych populacji.

Procedura porównań wielokrotnych w teście Kruskalla-Wallisa Obliczamy wartości średnie rang dla badanej populacji wg wzoru: R = i R n i i gdzie R i jest sumą rang dla danej grupy (populacji), a n i jest liczebnością obserwacji w tej grupie Wartość krytyczną, która jest odpowiednikiem NIR obliczamy wg wzoru: Gdzie χ 2 jest wartością krytyczną dla testu chi-kwadrat, k- liczba porównywanych grup, n- całkowita liczebność obserwacji, n i, n j liczebność porównywanych grup Jeżeli wartość bezwzględna różnicy rang D = R i R j Jest większa od D* to stwierdzamy, że porównywane grupy różnią się istotnie statystycznie między sobą

test Friedmana - porównanie wielu populacji zależnych (np. powtarzanych pomiarów na tych samych obiektach: roślinach wieloletnich, ludziach itp.) o dowolnych rozkładach Test ten może być alternatywą dla jednoczynnikowej analizy wariancji w układzie losowanych bloków, przy niespełnieniu założeń. Przykład zastosowania: Porównanie stopnia porażenia przez choroby kilku odmian jabłoni (stopień porażenia wyrażony w skali kilkustopniowej np. od 1-5). Porażenie oceniamy w kilku terminach na tych samych drzewach, które traktujemy jako powtarzane pomiary (bloki).