Metoda wyrównania zbioru poziomych sieci geodezyjnych

P R A C E IN S T Y T U T U G E O D E ZJI I K A R T O G R A F II Тот X X V I, Zeszyt 3(63), 1979 J E R Z Y G A Ź D Z IC K I 528.1:528.33 Metoda wyrównania zbioru poziomych sieci geodezyjnych Zarys treści. P od a je się m etodę w y ró w n a n ia zbioru w za jem n ie p o w ią za nych sieci, polegającą na iteracyjn ym obliczeniu jednoznacznych w artości w sp ółrzędn ych w szystkich punktów. U zyskane rozw ią za n ie spełnia w aru n ek m inim aln ej d efo rm acji sieci. 1. Wstęp Typ ow ym i produktami prac geodetów są sieci geodezyjne. Z tego oczyw istego faktu wynika, że liczba różnego rodzaju sieci stale rośnie w każdym kraju. Sieci nowe są zakładane na obszarach pokrytych już uprzednio innym i sieciami, zw anym i tu krótko sieciami starym i. Z re gu ły sieci łączą się ze sobą, m ając pew ne punkty wspólne. Pod w zględem num erycznym powiązanie dwóch sieci w ykonuje się różnym i sposobami. Ogólnie rzecz biorąc, można stwierdzić, że stosowane są procesy obliczeniowe prowadzące do jednego z dwóch podstawowych w ariantów w yników. W wariancie I punkty należące w yłącznie do sieci starej zachowują w spółrzędne określone w w yrów naniu tej sieci w ykonanym bez u w zględnienia sieci now ej; współrzędne punktów należących w yłącznie do sieci now ej są otrzym yw ane w w yrów naniu sieci now ej, natomiast w spółrzędne punktów wspólnych uzyskuje się w sposób w łaściw y dla zastosowanej metody. Jako w ypadki szczególne można tu podać: klasyczne w yrów nanie sieci now ej jako sieci drugiego rzędu w stosunku do sieci starej; zakłada się wówczas, że w spółrzędne obliczone w w yrów naniu sieci starej są bezbłędne w w yrów naniu sieci now ej, w yrów nanie sieci nowej p rzy uwzględnieniu w ariancji (metoda Hausbrandta) lub też w ariancji i kowariancji współrzędnych punktów w spólnych określonych w w yrów naniu sieci starej. W ariant II charakteryzuje się tym, że w rezultacie dołączenia sieci now ej zm ianie ulegają rów nież w spółrzędne w szystkich punktów sieci

starej. W yn ik i tego typu uzyskuje się, stosując, na przykład, jedną z m etod łącznego w yrów nania sieci spełniającą warunek v TQ - iv = min ( 1) odniesiony do w ektora popraw ek v oraz m acierzy kowariancyjnej Q w szystkich obserw acji obydwóch sieci. Generalną wadą rozwiązań w edług w ariantu I jest zniekształcanie jednej lub obydwóch sieci w rejonach punktów wspólnych. Obserwacjom w tych rejonach przyporządkow yw ane są nadm iernie duże poprawki. W ielkość zniekształcenia uzależniona jest przy tym od stosunku dokładności obserw acji obydwóch sieci, użytej m etody oraz sposobu powiązania i kształtu sieci. M etody realizujące w sposób ścisły warunek (1) stosowane są dość rzadko z p rzyczyn czysto praktycznych: cena jaką należy płacić za zgodność z teorią jest niejednokrotnie zbyt wysoka. D otyczy to zwłaszcza zakładanych obecnie sieci szczegółowych, które, na przykład w Polsce, zaw ierają dziesiątki, a nawet setki tysięcy punktów. W praktyce geod ezyjn ej rozw iązaniem bardzo dogodnym jest w y r ó w nyw anie każdej sieci szczegółow ej bez uw zględnienia powiązań z sąsiednimi sieciami o podobnej dokładności. Biorąc to pod uwagę, w pracy niniejszej rozpatruje się zbiór w zajem nie powiązanych, lecz oddzielnie w yrów nanych sieci geodezyjnych pokryw ających pew ien obszar. Zakłada się, że w spółrzędne punktów w e w szystkich sieciach są obliczone w jed nym i tym sam ym układzie w spółrzędnych na drodze: w yrów nania w nawiązaniu do punktów sieci państw ow ej w yższej klasy, lub w yrów nania niezależnego oraz późniejszej transform acji w spółrzędnych. Pom iędzy wartościam i w spółrzędnych punktów w spólnych otrzym a nym i z sąsiednich sieci istnieją zatem pew ne różnice w yn ikające z b łędów pom iarowych. Zachodzi w ięc potrzeba w yrów nania i uzyskania jednoznacznych w spółrzędnych każdego punktu. Dążąc do uniknięcia wad rozwiązań w edług wariantu I i jednocześnie rezygnując ze ścisłego spełnienia warunku ( 1) proponuje się nową m e todę w yrów nania, stawiając warunek m inim alnej deform acji zbioru sieci w sensie określonym w dalszym ciągu pracy. Do zalet tej m etody zaliczyć można: jednoczesne i jednolite przetw orzen ie wszystkich w yrów n yw an ych sieci, uniwersalność zastosowań, prostotę algorytm u oraz małą pracochłonność obl;czeń, niew ielką liczbę danych początkowych.

Metoda nie k w a lifiku je się, oczywiście, do w yrów nania sieci I klasy oraz innych sieci o w ysokich standardach dokładności. 2. Podstawowe założenia W niniejszej pracy sieć geodezyjna S będzie określona przez podanie (rys. 1): 1) zbioru P oznaczeń punktów sieci, 2) zbioru В = {(i, j)} oznaczeń boków sieci, gdzie i 6 P, j C P są oznaczeniami pary punktów połączonych bokiem, 2) zbioru W = {(x k> у/с)}, к 6 P par współrzędnych punktów sieci, 4) param etru m dokładności sieci, przyjm ow anego jako przeciętny średni błąd w zględ n y długości boku w sieci. W sposób ogólny można zatem przedstawić sieć geodezyjną S pisząc S = (P, B, W, m ) (2) W yobraźm y sobie teraz, że dany obszar jest pokryty zbiorem Z sieci geodezyjnych S(1>, S(2),... S(n) (rys. 2):

gdzie Z = {S<1>, S<«... S<n>}, (3) SOo = {p w, B<">, W<">, m (h)}. (4) Zakłada się, że: 1) każda sieć S<-h) ma co najm niej jeden punkt w spólny z sieciami pozostałymi, 2) każdy punkt geod ezyjn y w zbiorze sieci Z ma jedno, n iepow tarzalne oznaczenie, 3) w spółrzędne punktów w e wszystkich sieciach podane są w jednym układzie współrzędnych, 4) w szystkie sieci są doprowadzone do jedn olitej skali oraz do jednolitej orientacji przez uprzednie w yrów nania oraz ew entualne transform acje m etodą najm niejszych kw adratów, 5) pom iędzy w spółrzędnym i punktów wspólnych t, tj. punktów należących do co najm niej dwóch sieci S(g), S (r) (t 6 P (q\ tg P W ) istnieją pewne różnice o charakterze przypadkow ym, w yn ikające z błędów pom iarowych. Dla w yrów nania tak określonego zbioru sieci i uzyskania jednoznacznych w spółrzędnych w szystkich punktów stawia się następujący w aru nek ogólny: V У 1 w(h) [(г-'а,?г))2+ (ь 'Ь ^ )) 2] = min, (5) h=l (TT) e B(h) Q -w(,l) ęm(h)yi jest w agą sieci S(h) obliczoną p rzy uw zględnieniu w yb ra va9f vbff nej stałej c, jest zmianą azym utu affi (w radianach) boku (i, j ) w tej sieci, jest zmianą logarytm u naturalnego bjv = In i f f długości 199 tego boku, rów ną w zględnej zm ianie długości: vb99 = vw1) ' W arunek (5) nazyw an y jest w niniejszej pracy w arunkiem m inim alnej deform acji zbioru sieci. Zgodnie z tym warunkiem poszukuje się takich wartości współrzędnych punktów, aby suma kw adratów zmian azym utów oraz w zględ n ych zm ian długości pom nożonych przez odpow iednie w agi była rów na minimum. Stosuje się p rzy tym w agi w<h> je d nakowe dla azym utów i logarytm ów długości w danej sieci S ). P r z y jęcie tak ogólnego m odelu stochastycznego znajduje sw oje uzasadnienie

w wynikach obliczeń testowych, jak też w fakcie, że dla większości sieci, zwłaszcza dawnych, brak jest inform acji um ożliw iających sform ułowanie tego m odelu w sposób bardziej szczegółow y. 3. Wyprowadzenie wzorów Rozw iązanie przedstaw ionego p ow yżej problem u uzyskuje się w prosty sposób, stosując metodę najm niejszych kw adratów w odniesieniu do azym utów a/j i loga rytm ów długości b(/j} jako w ielkości obserwowanych. Zm iany vaff}, vu/p spełniają wówczas rolę popraw ek obserwacji. Dla każdego boku (i, j) sieci S(h) można zatem napisać dwa równania poprawek: vaw = da.: af) af), (6) vb<>? = dbu + b <? - b f f, (7) g d z;e dciij, dbjj są zmianami, które należy dodać do wartości p rzyb liżonych aj0), b< > obliczonych ze współrzędnych przybliżonych x j ^ y ^ x j ^ y j 0 aby uzyskać w yrów n an e wartości azym utu i logarytm u długości boku 0, j). Oznaczając dalej dxk = x,. - x f, dyk = yk~ y (^ różnice m iędzy w spółrzędnym i w yrów n anym i i przybliżonym i dx(h>= x (h) X, dy(fch) = ук ] у(к punktu k, różnice m iędzy w spółrzędnym i w sieci S<h> oraz w spółrzędnym i przybliżon ym i punktu k, można przekształcić równania (6), (7) zastępując dadbtj, oraz ajf af) Цк) bp odpow iednim i różniczkam i zupełnym i: m (/;> = Bijdx{ Ajjd y, B^dxj + A yd y, (В и dx(!l) A tjd y f - B ^ dxf> + + A..dyf'), (8) v b ^ = Ajjdxi Б. h+ A ijdxj + Bijd y j - ( - A!Jd x ^ - B ijd y ^ + A ijdxf'>+ + B 0dy<*>), (9) gdzie w spółczynniki A y, By są podane w zoram i xv * х 1.0'* y,-0* yp Ai} = (x) ) - x< >)2'+ (j/»> - y <0)) 2 B '7 = (x jo )- x <0)) 2+ ( ^ 0)- 2/'0)) 2 (10) O bliczenie niewiadom ych różnic m iędzy w spółrzędnym i w yrów n a n y m i i przybliżon ym i może być łatwo w ykonane p rzy zastosowaniu procesu

iteracyjnego Gaussa-Seidla,, który w rozpatryw anym w ypadku sieci szczegółowych jest z regu iy szybko zbieżny. Odpowiednie w zory itera- cyjne otrzym uje się układając równania normalne na podstawie równań popraw ek ( 8) i (9). Każdem u punktowi o współrzędnych w yrów n yw an ych są przyporządkowane dwa równania normalne: dxi V y^w(h)(a l V V w{h)(a-j-\-bl')dxj + h j h j - v j dx<w - - v У w(h) ( A l+ B l ) d x f = 0, ( 11) h j h j dy, V V w(h\a* + В?) - v V + BI) dvj + h j h j - v te )(A*+B *) + ^ ^ - f Bf.) dyjw = 0. (12) fi У h j Podstawiając A j+ B y ^x (0) ZT^(0y ip ^ y (0) _ y(0)^2 U«J (13) oraz rozwiązując równania ( 11), ( 12) w zględem dxit dyt otrzym uje się bezpośrednio w zory procesu iteracyjnego, zapisane tutaj w następującej postaci: V V w^h)uij (dx^h) V V w (h5u-tj dxj h j h i dxi: = ------- -------------------- + ----ft T i ----- (14) W'nl U.j У У ги ) uij(dy<iu] dy<jm') У Y w(wu-.dy h i h j dyt ------------ \ ' \ ---------------- 1----- тг:------------- (15) N У и-, У V го( >и-, j j 1 ^ u h j h Na początku procesu przyjm u je się dxk = dyk = 0. Po uzyskaniu dostatecznie m ałych w sensie w ybranego kryterium różnic m iędzy kolejnym i przybliżeniam i niewiadom ych, oblicza się w yrów nane w artości współrzędnych: x, = Xj(0) + dxj (16) У i = V i^ + dyi (17) P rzy praktycznym stosowaniu w zorów iteracyjnych (14) i (15) należy zw rócić uwagę na to, że w yrażenia

V V w<h) u.j (d x ^ dxjh)) y j V w(h) Uy (dy(ih> ii i У У w th> U.J У W (h> U у h j h i (18) są stałym i, które w ystarczy obliczyć jeden raz w pierw szej iteracji. N a tomiast w każdej iteracji obliczane są w yrażenia у V w ^U ydx j V у w (h^uydyj " J L (1 9 ) V V w (hyur У У 1w (h) U- / i / i J / < / J h i h j które m ogą być interpretow ane jako ogólne średnie arytm etyczne z aktualnych wartości niewiadom ych dxj oraz dy3 dla w szystkich punktów j połączonych bokami z punktem i w każdej sieci S(h) w yrów nyw anego zbioru sieci Z. Dla uproszczenia obliczenia w yrażeń (18) sugeruje się przyjm ow anie następujących wartości przybliżonych współrzędnych: 1) jeśli punkt к w ystępu je w yłącznie w sieci S(h), przyjm u je się (xjj.0), y[0>) = (x f\ Vi^), a wówczas (dx h), dy[h)) = (0,0), 2) jeśli punkt к jest punktem stałym o współrzędnych (xk, yk), p rz y j m uje się (x<0), y f ) = {xk, yk), a wówczas (dx, dy = (x - x k, y'^ - y.j, 3) jeśli punkt к jest punktem wyznaczanym w ystępującym w w ięcej niż jednej sieci, wówczas jako współrzędne przybliżone przyjm u je się w spółrzędne dane w jednej z tych sieci, np. S<9>, co oznacza, że (x [0),y<0,) = = (x<f, y ^ ), (dxf>, dyf>) = ( x f }-x f>, y f > - y f). 4. Przykład P rzyk ła d dotyczy zbioru Z = { S (1\ S <2)} dwóch m ałych sieci geodezyjnych: 1 sm = (p(n b (1>, W<», m (i>), P(i) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B<i) = {(1,6), (1,2), (2,6), (1,7), (1,3), (3,7), (2,3), (2,4), (3,4), (2,5), (4,5)} W<n = {(x<]), y (1,) > m<» = 4,2 10~5 2) s<2) = (p (2); b (2)>w<2), m<2>) P 2> = (4, 5, 8, 9, 10}

ВЙ) = {(4,5), (5,8), (8,4), (4,9), (8,9), (5,10), (8,10)} W (2) = j ^ ( 2) г y(2)j ^ ^x (2) ( y (2))J m 2 = 3,0 10~5 Przeciętna długość boku w sieciach w ynosi 3 km. W procesie w yrów nania w edług opisanej m etody przyjęto, że współrzędne punktów 6, 7 są stałe o wartościach różnych od w a r tości danych w sieci S(1>, współrzędne punktów 9, 10 są stałe o wartościach rów nych w a r tościom danym w sieci S(2), współrzędne punktów wspólnych 4, 5 w sieci S(1) m ają wartości różne od wartości w sieci S(2). 10 P 5KALA SIECI i-----. 1km SKALA ZMIAN WSPÓŁRZĘDNYCH i-- 1 10cm Rys. 3 Na rysunku 3 przedstawiono obydw ie sieci po w yrów naniu (linie ciągłe) oraz przed w yrów naniem (linie kropkowane sieć S(1\ linie kreskowane sieć S<2)). L IT E R A T U R A Gaździe ki J.: Strength analysis of geodetic control networks. B u lletin G eodesique, IA G, Paris 1976. H a u s b rand t S.: Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne. P P W K, W a r szaw a 1970. Moritz H.: The method of least-squares collocation in geometrical geodesy. IA G Sym posium, O xford 1973. Wolf H.: Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Bonn 1968.

Е Ж И Г А З Ь Д З И Ц К И М Е Т О Д У Р А В Н И В А Н И Я Г О Р И З О Н Т А Л Ь Н Ы Х Г Е О Д Е З И Ч Е С К И Х С Е Т Е Й Резюме В работе рассматривается множ ество взаимосвязанных, но отдельно уравн ен н ы х геодези чески х сетей. П редполагается, что координаты пунктов во всех сетях вы числены в той ж е самой одной системе координат путём: уравнивания с привязкой к пунктам государственной сети вы сш его класса, и ли независимого уравнивания и позднейш ей трансф орм ации координат. М еж д у величинами координат общ их пунктов, полученны м и из соседних сетей, сущ ествую т разницы, вытекаю щ ие из ош ибок измерения. Д ля уравнивания множ ества сетей и д л я п олуч ен и я однозн а чны х координат всех пунктов принимается следую щ ее общ ее условие: где: 1 5,»> «[ «Т + М» ) ] - " 1"' h = 1 (i, j) е В /i, \ с = (т (й ))2 ~ вес сети SO1), вы числен н ы й с учетом вы бранной постоянной с, vaw изменение азим ута а,у (в радианах) бока (i, j) в той ж е сети, vhjv изм енение н атур альн ого логариф м а by* In ijv д ли н ы ijj1^того <м *4h) бока, равное относи тельн ом у изм енению дли н ы : vb)j = ~. Это услови е назы вается в данной работе услови ем м иним альной деф ормации множ ества сетей. С огласн о этом у услови ю оты скиваю тся такие вели чи н ы координат пунктов, чтобы сумма квадратов изменений азимутов и отн оси тельны х изменений длин ум нож енная на соответствую щ ие весы бы ла равна минимум. Р еш ен и е представленной вы ш е п р облем ы осущ еств ля ется просты м способом с использованием ф орм ул, указан н ы х в разделе 3. П еревод: Róża Tolstikowa 3 Prace IG ik z. 3, t. X X V I

JE R ZY G A Ź D Z IC K I A M E TH O D FO R A D J U S T M E N T OF A SET OF H O R IZ O N T A L G EO D E TIC N E T W O R K S Summary A set o f m u tu ally connected but separately adjusted geod etic netw orks, coverin g a certain area, is considered in this paper. It is assumed that the poin t coordinates in a ll n etw orks are com puted in one and the same coordinate system in the w a y of: adjustm ent w ith a referen ce to the higher order national netw ork points, independent adjustm ent fo llo w e d by transform ation of coordinates. Thus, some d ifferen ces caused by m easurem ent errors exist b etw een the jo in t poin t coordinates obtained fro m neighbou ring netw orks. In order to adjust and to obtain unique coordinates o f a ll points, fo llo w in g con dition is im posed: w h ere V w(h> \(va >)2-V O l f ' ) 2] = min, h --1 (i,j)e B (h) wh = = is the w eigh t o f the n etw ork S(>>) com puted w ith regard to a chosen constant c, vajj1) is the a lteratio n o f the azim uth a'j1* (in radians) o f the side (i, j) in this netw ork, «b f is the alteration of the natural logarithm by^ = In i-j1' of the length of this side being equal to the rela tive length a lte ration vb Oi),J Ah) l ij In this paper, the condition w ritte n above is called as M in im u m n etw o rk distortion con dition. A ccord in g to this condition, such valu es are sought fo r p oin t coordinates, that the sum of squares o f azim uth alterations and o f re la tiv e length alterations m ultiplied by corresponding w eights is equal to the m inim um. T h e solution o f the p roblem m entioned above is ach ieved in a sim ple w a y be using form u lae of chapter 3. T ra n slatio n : Jacek Drachal