Systemy głosowania zebrał i opracował Krzysztof Leśniak
Systemy głosowania 1 Relacja preferencji (preference relation) N = {1, 2, 3, 4,...} wyborcy (voters) i N wyborca o n-rze i K = {x, y, z,...} kandydaci (candidates) x i y x i y i-ty wyborca woli kandydata x bardziej niż kandydata y (preference) i-ty wyborca uważa obu kandydatów za jednakowo dobrych (indifference) Przechodniość (transitivity) relacji preferencji: x i y y i z x i z Naturalnie jest zakładać, że: jeśli wolę x od y i y od z, to będę też wolał x od z.
Systemy głosowania 2 Wybory Wyborca Preferencje 1 x y z 2 y z x 3 z x y 4 x z y 5 x y z Na podstawie indywidualnych preferencji należy ustalić łączne preferencje i wybrać najlepszego kandydata.
Dwóch kandydatów Systemy głosowania 3 Procedura większościowa: # { i N : x i y } > # { i N : y i x } x y Wygrywa kandydat, który zjednał sobie więcej wyborców. Ale wyborcy niezdecydowani nie mają żadnego wpływu na wynik, niezależnie od tego ilu ich jest: 100, czy 10 6.
Twierdzenie Maya Systemy głosowania 4 ( Luźne sformułowanie ) Nasz system większościowy jest jedynym systemem spełniającym następujące warunki: anonimowość każdy głos ma tę samą wagę neutralność nierozróżnialność alternatyw: zamieniając nazwiska kandydatów otrzymujemy tego samego kandydata tyle, że z odpowiednio podmienionym nazwiskiem monotoniczność jeżeli x jest zwycięzcą, a jeden z wyborców podniesie pozycję x-a w swoim rankingu, to x nadal będzie zwycięzcą po uwzględnieniu poprawki w preferencjach.
Systemy głosowania 5 Większość a więcej kandydatów (I) Wybory dwustopniowe (runoff election). Wszyscy przeciw wszystkim. Jeśli żaden z kandydatów nie zdobył więcej niż 50% głosów poparcia, to organizujemy 2 turę, w której biorą udział dwaj kandydaci z największą liczbą głosów poparcia. (II) Kto najwięcej. Wybrać kandydata, który zdobył najwięcej głosów, choćby to było tylko 15% wszystkich głosów wyborców.
Wady metody (I) Systemy głosowania 6 Kosztowność: możliwe dwie tury wyborów zamiast jednej. Niereprezentacyjność: najsilniejsi wyniszczają się w 1 turze torując słabszym drogę do 2 tury. Hazard strategiczny ( mniejsze zło, strategic voting), albo nieuczciwość (dishonesty): głosujący w 1 turze muszą wybrać między swoim kandydatem, a kandydatem gorszym, ale z większymi szansami na wygraną bądź dostanie się do 2 tury.
Systemy głosowania 7 Przykład użycia metody (II) Liczebność Preferencje w grupie w grupie wyborców 30 y x z 31 x y z 18 z x y 18 z y x 1 y z x 2 x z y Najwięcej, 36% głosów poparcia, uzyskał kandydat z.
Systemy głosowania 8 Wady metody (II). Poparcie a odrzucenie Kandydat Poparcie Odrzucenie x 33 19 y 31 20 z 36 61 Większość odrzuca z, chociaż z zdobył najwięcej głosów!
Systemy głosowania 9 Wady metody (II). Rywalizacja w parach Pojedynek Wynik z : x 37 : 63 z : y 38 : 62 x : y 51 : 49 Kandydat z przegrywa w indywidualnych pojedynkach!
Kawaler de Borda Systemy głosowania 10 Jean-Charles de Borda (1733-1799), francuski fizyk i matematyk. (Obraz z [Wikipedia]) Pracował jako inżynier w marynarce ulepszając m.in. zegary, koła wodne i pompy. W ramach Komisji Wag i Miar współpracował przy wprowadzeniu nowych jednostek: kilograma i metra, proponując definicję metra opartą na odległości między biegunem a równikiem Ziemi. Zaproponował system głosowania oparty na rankingach preferencji wyborców. Schemat ten był stosowany przez Francuską Akademię Nauk, aż do momentu, gdy Napoleon, jako nowy członek Akademii, zarządził stosowanie procedury własnego pomysłu.
Systemy głosowania 11 System Bordy 1770 (Borda count) v i : K { 0, 1, 2,..., #K 1 } v i (x) liczba punktów przyznanych kandydatowi x K przez wyborcę i N x i y v i (x) > v i (y) preferencje i-tego wyborcy v(x) = Σ i N v i (x) wynik punktowy kandydata x K x y v(x) > v(y) preferencje łączne x K zwycięzca, gdy y K v(x) > v(y)
Markiz de Condorcet Systemy głosowania 12 M.J.A. Nicolas de Caritat (1743-1794), francuski filozof i matematyk. (Obraz z [Wikipedia]) Autor prac z teorii całki, prawdopodobieństwa i filozofii matematyki, a także biografii Woltera i Turgota (ekonomisty na dworze Ludwika XV). Jako zwolennik frakcji mnieszościowej wśród rewolucjonistów przeciwnej radykalizmowi Robespierre a został uwięziony, po czym wkrótce zmarł w niejasnych okolicznościach.
Kryterium Condorceta Systemy głosowania 13 Jeśli kandydat wygrywa z pozostałymi w pojedynkach, to zostaje zwycięzcą.
Systemy głosowania 14 System Bordy łamie kryterium Condorceta z zwycięża na punkty... 1 2 3 4 5 Pkt w 3 3 1 1 1 9 x 0 1 3 2 0 6 y 1 0 2 0 2 5 z 2 2 0 3 3 10 (Tabela wg [Johnson])...ale to w wygrywa w pojedynkach Pojedynek Wynik w : z 3 : 2 w w : x 3 : 2 w : y 3 : 2 z : y 4 : 1 z x : y 3 : 2 x : z 2 : 3 y x
Systemy głosowania 15 Większość, Borda i Condorcet Wyborca Preferencje 1 x y z 2 x z y 3 x y z 4 y z x 5 y x z 6 z y x 7 z y x Większość Borda Condorcet wygrywa x x (3 razy), y, z (2 razy) wygrywa y y (8 pkt) x (7pkt) z (6pkt) wygrywa y z : x (3:4), z : y (3:4), x : y (3:4)
Systemy głosowania 16 Problem nieistotnych kandydatów Głos Preferencje 1 x y z 2 x z y 3 x y z 4 y z x 5 y x z 6 z y x 7 z y x Prowadzi x z wycofuje się Głos Preferencje 1 x y 2 x y 3 x y 4 y x 5 y x 6 y x 7 y x Wygrywa y Wystąpił paradoks odwróconego porządku.
Systemy głosowania 17 Co dalej? Procedury wyborcze są podatne na manipulacje np. atak klonów. Łamią też niezależność od nieistotnych alternatyw jedno z kryterów K. Arrowa racjonalnego wyboru społecznego. Niemożliwość Arrowa ( luźne sformułowanie ): Każda sprawiedliwa funkcja wyboru społecznego prowadzi do dyktatury. K.Arrow, Hicks i A.Sen otrzymali w podzięce Nagrodę Nobla...
Systemy głosowania 18 Źródła: P.E. Johnson, Voting Systems, University of Kansas, 27.05.2007 http://en.wikipedia.org http://www.gametheory.net http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history Mac Tutor History of Mathematics archive