VIII WYKŁAD STATYSTYKA. 7/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VIII WYKŁAD STATYSTYKA 7/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

WYKŁAD 8 WERFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

TEST ZGODNOŚCI χ 2 Problem: Populacja generalna ma dowolny rozkład o dystrybuancie należącej do pewnego zbioru Ω rozkładów o określonym typie postaci funkcyjnej dystrybuanty. Z populacji tej wylosowano niezależnie dużą próbę n-elementową, którą podzielono na r rozłącznych klas o liczebnościach n i w każdej klasie ( n=σ n i ). Otrzymano w ten sposób rozkład empiryczny. Na podstawie wyników tej próby sprawdzić hipotezę, że populacja generalna ma rozkład typu Ω, tzn: H o : F(x) є Ω, gdzie F(x) jest dystrybuantą populacji generalnej. Rozwiązanie: Z hipotetycznego rozkładu typu Ω obliczamy dla każdej z r klas wartości badanej cechy X prawdopodobieństwa p i, że zmienna losowa X o rozkładzie Ω przyjmuje wartości należące do klasy o numerze i. Z kolei mnożąc p i przez liczebność całej próby (n) otrzymuje się liczebności teoretyczne, które powinny były wystąpić w klasie i, gdyby populacja miała rozkład Ω, tzn gdyby H o była prawdziwa. Ze wszystkich liczebności praktycznych n i oraz hipotetycznych np i wyznacza się wartość statystyki: która ma rozkład χ 2 o k=r-j-1 stopniach swobody, gdzie j jest ilością parametrów szacowanych z próby Obszar krytyczny buduje się prawostronnie, wyznaczając. Jeśli: to H o należy odrzucić.

TEST ZGODNOŚCI χ 2 Cwiczenie 3. Losowa próba n=200 niezależnych wyników miesięcznych wydatków na żywność rodzin 3-osobowych dała następujące wyniki ( w tys.zł). Wydatki [kzł] 1,0-1,4 1,4-1,8 1,8-2,2 2.2 2,6 2,6 3,0 Liczba rodzin 15 45 70 50 20 Zweryfikować na poziomie istotności α=0,05, że rozkład wydatków na żywność jest normalny. H o : F(x) є Ω gdzie Ω jest zbiorem wszystkich dystrybuant normalnych. Z tabeli uzyskujemy: s=0,43 kzł. Dalsze postępowanie znajduje się w poniższej tabeli, gdzie przedziału klasowego, a F(z i ) oznacza wartość dystrybuanty N(0,1) w punkcie z i.. dla prawego końca x i n i z i F(z i ) p i np i (n i -np i ) 2 1,4 15-1,39 0,082 0,082 16,4 1,96 0,12 1,8 45-0,46 0,323 0,241 48,2 10,24 0,21 2,2 70 0,46 0,677 0,354 70,8 0,64 0,01 2,6 50 1,39 0,918 0,241 48,2 3,24 0,07 3,0 20 2.32 1 0,082 16,4 12,96 0,79 200 1,000 200,0 1,20 k=5-2-1=2 z tablicy rozkładu χ 2 : EXCEL, ROZKŁAD.CHI.ODW dla k=2 stopni swobody i α=0,05 mamy Ponieważ więc nie ma podstaw do odrzucenia H o

TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 Badamy populację generalną ze względu na dwie cechy. Interesuje nas czy te cechy są ze sobą związane. Obie cechy są mierzalne: ANALIZA KORELACJI ( i REGRESJI) Przynajmniej jedna z nich jest niemierzalna ( np. zero-jedynkowa) TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 : Wylosowano dużą próbę o liczebności n. Konstruujemy tablicę niezależności (o r wierszach i s kolumnach). W tabeli są elementy n ij gdzie i=1, 2,...r; j=1, 2,, s przy czym powinno być n ij 8. H o : cechy X i Y są niezależne czyli: P(X=x i, Y=y j )=P(X=x i )*P(Y=y j ) Wyznaczony z tablicy niezależności parametr 2 ma rozkład 2 o liczbie stopni swobody k= (r-1)(s-1). Prawostronny obszar krytyczny wyznaczamy z : ROZKŁAD.CHI.ODWR : 2 (α, k). Jeśli: 2 > 2 (α, k) to H o odrzucić (obie badane cechy są zależne)

TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 (c.d) k= (r-1)(s-1) ROZKŁAD.CHI.ODW Jeśli: H o ODRZUCIĆ

TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 (c.d) Przykład. W celu sprawdzenia czy nowy lek jest skuteczny na pewną chorobę wylosowano dwie grupy pacjentów chorych na tą chorobę. Pierwszej grupie o liczebności 120 podawano nowy lek, a drugiej o liczebności 80 dawano tradycyjne leki. Wyniki leczenia są w tabelce: Leczeni Bez poprawy Stan zdrowia po leczeniu Wyraźna Całkowite poprawa wyzdrowienie Badanym lekiem 20 40 60 Tradycyjnie 45 20 15 Na poziomie istotności α=0,001 zweryfikować hipotezę, że nowy lek poprawia istotnie stan zdrowia pacjentów. Rozwiązanie: Wysunięta hipotezę badawczą zamieniamy na hipotezę statystyczną, H o o niezależności obu badanych cech jakościowych (rodzaj leczenia i stan zdrowia po leczeniu). Jeżeli w oparciu o test niezależności 2 hipotezę H o należy odrzucić, to będzie oznaczać, że stan zdrowia po leczeniu zależy istotnie o zastosowania badanego leku => jego przydatność

TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 (c.d) Leczeni Stan zdrowia po leczeniu Bez poprawy Wyraźna poprawa Całkowite wyzdrowienie n i. p i. Badanym lekiem 20 40 60 120 0,60 Tradycyjnie 45 20 15 80 0,40 n. j 65 60 75 200 p. j 0,325 0,300 0,375 1,00 20+40+60 = 120 20+45 = 65 120/200 = 0,60 65/200 = 0,325

TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 (c.d) Leczeni Badanym lekiem Stan zdrowia po leczeniu Bez poprawy Wyraźna poprawa Całkowite wyzdrowienie n i. p i. 0,195 0,180 0,225 20 40 60 120 0,60 39 36 45 0,130 0,120 0,150 Tradycyjnie 45 20 15 80 0,40 26 24 30 n. j 65 60 75 200 p. j 0,325 0,300 0,375 1,00 0,325 *0,60 = 0,195 (p ij ) 0,325 *0,60 *200 = 0,195*200= 39 (np ij )

TEST NIEZALEŻNOŚCI χ 2 (c.d) n ij np ij (n ij - np ij ) 2 (n ij - np ij ) 2 / np ij 20 40 60 45 20 15 39 36 45 26 24 30 361 16 225 361 16 225 9,26 0,44 5,00 13,88 0,67 7,50 200 36,75 2 =36,75 r=2; s=3 => k=(r-1)(s-1)=2 ROZKŁAD.CHI.ODWR => 2 (0,001, 2) =13,815 2 =36,75 > 2 (0,001, 2) =13,815 => H o odrzucić (podawanie pacjentom nowego leku w sposób istotny poprawia ich stan zdrowia)

TESTY SERII Definicja: Serią nazywamy każdy podciąg złożony z kolejnych elementów jednego rodzaju utworzony w ciągu uporządkowanych w dowolny sposób elementów dwóch rodzajów. Test losowości próby Dana jest populacja generalna o dowolnym rozkładzie. Z populacji tej pobrano próbę n-elementów. Sprawdzić hipotezę, że jest to próba losowa. Rozwiązanie: Z uporządkowanego wg. kolejności pobierania elementów do próby ciągu obliczamy medianę, me. Każdemu elementowi próby x i w tym ciągu przypisujemy symbol a jeśli x i <me, bądź symbol b jeżeli x i > me. Wyniki x i =me należy odrzucić. Otrzymujemy w ten sposób ciąg złożony z symboli a i b np. a bb aaaa bbbb a b aa b. W ciągu tym otrzymujemy pewną liczbę serii (tutaj 8). Statystyką k jest liczba serii. Przy założeniu prawdziwości hipotezy o losowości próby, liczba serii k ma znany i stablicowany rozkład zależny tylko od n 1 i n 2 liczebności elementów a i b.tablice rozkładu liczby serii podają taką wartość k α, że p(k k α )=α. Budujemy dwustronny obszar krytyczny dla przyjętego poziomu istotności, odczytując z tablic dwie wartości krytyczne k 1 i k 2, aby zachodziły relacje: Jeżeli zajdzie k 1 < k < k 2 to nie podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości próby, w każdym innym przypadku, hipotezę tą odrzucamy.

ROZKŁAD SERII α=0,05 α=0,95 n 2 \ n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n 1 \ n 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4 5 2 2 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 5 5 6 6 6 2 3 3 4 5 5 6 6 7 7 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 8 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 2 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 10 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 11 11 2 3 4 5 6 7 7 8 9 9 10 10 11 11 12 12 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 10 11 11 12 12 13 13 2 3 4 5 6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 13 13 14 14 2 3 4 5 6 7 8 9 9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 4 5 6 5 6 7 5 7 8 8 5 7 8 9 10 5 7 8 9 10 11 5 7 9 10 11 12 12 5 7 9 10 11 12 13 13 5 7 9 10 11 12 13 14 15 5 7 9 11 12 13 14 14 15 16 5 7 9 11 12 13 14 15 16 16 17 5 7 9 11 12 13 14 15 16 17 17 18 5 7 9 11 12 13 15 16 16 17 18 19 19 5 7 9 11 13 14 15 16 17 18 18 19 20 20 5 7 9 11 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 5 7 9 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21 22 23 5 7 9 11 13 14 15 17 18 19 20 20 21 22 23 23 24 5 7 9 11 13 14 15 17 18 19 20 21 22 22 23 24 24 25 5 7 9 11 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 25 26 26 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Test losowości próby Ćwiczenie 3. W doświadczeniu farmakologicznym potrzebne są szczury o określonej wadze ciała. Po otwarciu klatki do próby wzięto pierwszych 15 zwierząt, które wyszły z klatki. Ich waga w [g] wynosiła kolejno: 530, 620, 560, 320, 480, 550, 490, 500, 460, 430, 380, 390, 360, 400, 370, Na poziomie istotności α=0,10 zweryfikować hipotezę, że taki dobór zwierząt do próby jest losowy. Rozwiązanie: Wyznaczamy medianę, która wynosi: me= 460 i wg. opisanego testu tworzymy ciąg: bbb a bbbb aaaaaa, stąd liczba serii k=4, liczba elementów a wynosi n 1 =7; liczba elementów b wynosi n 2 =7. Z tablicy rozkładu serii odczytujemy dla α=0,10 wartości krytyczne k 1 =4 oraz k 2 =11, wynika stąd, że hipotezę należy odrzucić ( otrzymaliśmy zbyt małą liczbę serii, k, by uznać próbę za losową. Prawdopodobnie dlatego, że najpierw z klatki wychodziły zwierzęta silniejsze, o większej wadze, potem mniejsze.

TEST SPRAWDZAJĄCY ŻE DWIE PRÓBY POCHODZĄ Z JEDNEJ POPULACJI Dane są 2 populacje generalne o dowolnych rozkładach badanej cechy. Wylosowano z nich próby o liczebnościach n 1 i n 2. Zweryfikować hipotezę że rozkłady nie różnią się, czyli hipotezę: H o : dwie próby pochodzą z jednej populacji. Rozwiązanie: Wyniki obu prób ustawiamy w jeden ciąg wg. rosnących wartości, oznaczając elementy próby z jednej populacji przez a, a z drugiej przez b. Odczytujemy liczbę serii k. Obszar krytyczny budujemy lewostronnie, odczytując z rozkładu serii dla odpowiednich α, n 1 i n 2 wartość krytyczną k α. Jeśli k k α to H o odrzucamy. Jeśli natomiast otrzymana liczb serii k spełnia nierówność k > k α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkłady populacji są takie same, czyli obie próby nie różnią się istotnie.

TEST SPRAWDZAJĄCY ŻE DWIE PRÓBY POCHODZĄ Z JEDNEJ POPULACJI (PRZYKŁAD) Przykład: Wykonano pomiary rezystancji elektrycznej dla 6-ciu wylosowanych próbek z dwu serii A i B preparatów i otrzymano następujące wyniki w kω: Próba A: 110, 112, 115, 98, 130, 123 Próba B: 88, 135, 140, 138, 95, 125. Za pomocą testu serii na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że obie próby pochodzą z jednej populacji o określonym rozkładzie. Rozwiązanie: Łączymy elementy obu prób ustawiając je w kolejności rosnącej: 88, 95, 98, 110, 112, 115, 123, 125, 130, 135, 138, 140 stąd: bb aaaaa b a bbb k=5; dla: α=0,05 ; n 1 =6 i n 2 =6 k α =3. Ponieważ: k=5 > 3= k α więc nie ma podstaw do odrzucenia H o => obie próby pochodzą z jednej populacji

TEST O LINIOWEJ POSTACI FUNKCJI REGRESJI Daną populację generalną badamy ze względu na dwie cechy: X i Y. Wylosowano z niej n elementów próby, otrzymując wyniki (x i, y i ). Na ich podstawie zweryfikować hipotezę, że funkcja regresji cechy Y względem X w populacji jest liniowa, tzn: y=ax+b Rozwiązanie: Z wyników próby metodą najmniejszych kwadratów wyznaczamy oszacowanie funkcji: oraz jej wartości dla wszystkich x i w próbie. Wartości y i z próby odpowiadające uporządkowanym wg. kolejności rosnącej x i oznaczamy symbolem a jeśli y i > (tj punkt empiryczny leży ponad prostą regresji), oraz symbolem b gdy y i < (tj. punkt empiryczny leży poniżej prostej). W uporządkowanym wg rosnących wartości x i ciągu wyników odczytujemy liczbę serii k. Z tablicy rozkładu liczby serii odczytujemy dla n 1 i n 2 oraz poziomu istotności α taką wartość krytyczną k α by p( k k α )=α. Jeśli otrzymana liczb serii k spełnia nierówność k k α to hipotezę o tym że regresja Y względem X jest liniowa należy odrzucić. Gdy zaś k > k α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. Wnioskowanie to jest słuszne gdy najmniejsza liczba serii wynosi k=3.

TEST O LINIOWEJ POSTACI FUNKCJI REGRESJI PRZYKŁADY n 1 =7; n 2 =8; α=0,05=> k α =3 a k=3 H o odrzucić, tj. Funkcja regresji nieliniowa n 1 =7; n 2 =8; α=0,05=> k α =3 a k=4 Nie ma podstaw do odrzucenia H o tj. Funkcja regresji liniowa

TEST ZNAKÓW TEST, że DWIE PRÓBY POCHODZĄ Z TEJ SAMEJ POPULACJI Dane są dwie populacje generalne o ciągłych dystrybuantach F 1 (x) i F 2 (x). Z populacji tych wylosowano jednakową liczbę parami odpowiadających sobie n elementów. Na podstawie wyników tych prób sprawdzić hipotezę, że obie próby pochodzą z tej samej populacji tzn H o : F 1 (x) = F 2 (x). Rozwiązanie: Badamy znak różnicy wyników w obu próbach i znajdujemy liczbę tych znaków, których jest mniej, oznaczamy ją przez r. Dla ustalonego poziomu istotności α i dla liczby par wyników n z tablicy liczby znaków odczytujemy taką wartość r α, że p( r r α )=α. Jeśli zajdzie: r r α, to H o odrzucamy. Czyli dwie próby pochodzą z dwu różnych rozkładów. Gdyby jakaś para miała identyczne wyniki (ich różnica=0), to ją w teście odrzucamy.

n r n r n r n r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 r- ROZKŁAD (LICZBY ZNAKÓW) α=0,05 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 Dla n>90 r jest największa liczbą całkowitą mniejsza niż: 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 13 13 14 14 15 15 15 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 16 16 17 17 18 18 18 19 19 20 20 21 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 gdzie k=0,9800 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 25 26 26 27 27 28 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 32 33 33 32 34 35

TEST, że DWIE PRÓBY POCHODZĄ Z TEJ SAMEJ POPULACJI TEST ZNAKÓW- PRZYKŁAD Przykład: Celem stwierdzenia czy zastosowane szkolenie zwiększa wydajność pracy robotników wylosowano próbę n=14 pracowników i zbadano ich średnia wydajność pracy przed i po przeszkoleniu. Otrzymano nastepujące wyniki (wydajność pracy mierzoną ilością sztuk wyprodukowanych na godzinę: WYDAJNOŚĆ [ sztuk/godz] Przed szkoleniem 52 220 125 84 150 92 94 125 78 265 187 113 63 146 Po szkoleniu 68 242 120 107 159 80 115 162 90 241 197 101 85 180 Wzrost (+), spadek (-) + + - + + - + + + - + - + + Za pomocą testu znaków, na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wydajność pracy przed szkoleniem i po szkoleniu jest taka sama. Liczba znaków minus : r= 4. Z tablicy znaków dla: α=0,05 ; n=14 odczytujemy wartość krytyczną: r α =2. Ponieważ r=4 >2= r α, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o jednakowej wydajności przed i po szkoleniu.

TEST RANGOWANYCH ZNAKÓW TEST, że DWIE PRÓBY POCHODZĄ Z TEJ SAMEJ POPULACJI Dane są dwie populacje generalne o ciągłych dystrybuantach F 1 (x) i F 2 (x). Z populacji tych wylosowano jednakową liczbę parami odpowiadających sobie n elementów. Na podstawie wyników tych prób sprawdzić hipotezę, że obie próby pochodzą z tej samej populacji tzn H o : F 1 (x) = F 2 (x). Rozwiązanie: Obliczamy różnice wyników dla wszystkich par. Rangujemy wartości bezwzględne tych różnic (tzn nadajemy im kolejne numery poczynając od 1 dla najmniejszej co do wartości bewzględnej różnicy). Wyznaczone rangi piszemy w dwu grupach, oddzielnie dla różnic dodatnich i ujemnych. Sumując rangi w tych grupach uzyskujemy sumę rang T + dla różnic dodatnich i sumę rang T - dla różnic ujemnych. Statystyką T jest mniejsza z tych dwu sum rang, tzn T=min {T +, T - }, ma ona określony rozkład T Dla ustalonego α i n odczytujemy T α takie, że: p(t T α )=α. Gdy T T α wtedy H o odrzucamy. Gdy występują jednakowe wartości różnic, to każdej z nich nadajemy rangę będącą średnią arytmetyczną rang, jakie by miały, gdyby nie były jednakowe.

ROZKŁAD T n α=0,05 α=0,01 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 6 8 11 14 17 21 25 30 35 40 46 52 59 66 73 81 89 0 2 3 5 7 10 13 16 20 23 28 32 38 43 49 55 61 68

TEST, że DWIE PRÓBY POCHODZĄ Z TEJ SAMEJ POPULACJI TEST RANGOWANYCH ZNAKÓW- PRZYKŁAD Przykład: (Te same dane co w przykładze na test znaków). Celem stwierdzenia czy zastosowane szkolenie zwiększa wydajność pracy robotników wylosowano próbę n=14 pracowników i zbadano ich średnia wydajność pracy przed i po przeszkoleniu. Otrzymano następujące wyniki (wydajność pracy mierzoną ilością sztuk wyprodukowanych na godzinę: WYDAJNOŚĆ [ sztuk/godz] Przed szkoleniem(x i ) 52 220 125 84 150 92 94 125 78 265 187 113 63 146 Po szkoleniu (y i ) 68 242 120 107 159 80 115 162 90 241 197 101 85 180 y i -x i 16 22-5 23 9-12 21 37 12-24 10-12 22 34 R + i 7 9,5-11 2-8 14 5-3 - 9,5 13 R - i - - 1 - - 5 - - - 12-5 - - Za pomocą testu rangowanych znaków, na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wydajność pracy przed szkoleniem i po szkoleniu jest taka sama. Z Tabeli: T + = suma R + i = 82,0 oraz T - = suma R - i =23,0, stąd: T=min {T +, T - }=23. Dla α=0,05 i n=14 otrzymujemy z rozkładu T: T α =21. Ponieważ T=23 >21= T α, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o jednakowej wydajności przed i po szkoleniu.

TEST MEDIANY Dane są dwie populacje generalne o rozkładach dowolnych z dowolnymi dystrybuantami F 1 (x) i F 2 (x). Z populacji tych wylosowano dwie próby o liczebnościach n 1 i n 2. Na podstawie wyników tych prób sprawdzić hipotezę, że obie próby pochodzą z tej samej populacji tzn H o : F 1 (x) = F 2 (x). Rozwiązanie: Z wyników obu prób tworzymy jeden ciąg niemalejący, ustawiając wyniki w kolejności rosnącej. Wyznaczamy jego medianę me. Grupujemy wszystkie obserwacje w tablicę: Wyniki Próba I Próba II Razem > me me Razem Obliczamy statystykę χ 2 wg poniższego równania, rozkładu odwrotnego χ 2 Dla k=1 odczytujemy wartość krytyczną, by p( χ 2 χ 2 α)=α Jeśli zachodzi χ 2 χ 2 α to H o odrzucamy.

TEST MEDIANY (PRZYKŁAD) W dwu przedsiębiorstwach budowlanych A i B sporządzono próbki betonu. Wyniki badania wytrzymałości na ściskanie w MPa wynosiły: A: 19,0; 20,6; 20,6; 21,0; 21,2; 18,9; 19,8; 20,5; 21,6; 19,0; 19,9; 20,0; 17,5; 22,4; 21,9; 20,5; 20,0; 21,3; 18,0; 17,6; 19,6; 20,4; 21,9; 19,6; 20,8; 21,2 B: 20,2; 20,9; 18,6; 19,5; 22,5; 24,0; 21,5; 17,4; 19,5; 20,1; 19,3; 21,7; 20,1; 18,8; 18,1; 20,3; 22,9; 23,3; 18,5; 19,5; 21,1; 23,1; 21,7; 22,9; 22,5; 22,9; 22,0; 21,7; 20,9; 19,4 Na poziomie istotności 0,05 za pomocą testu mediany zweryfikować hipotezę, że oba przedsiębiorstwa wykonały beton o tej samej wydajności. Tworzymy z obu zbiorów wyników ciąg niemalejący n 1 +n 2 =26+30=56 me=1/2 * (x 28 +x 29 ) = 20,5 Wyniki Przedsiębiorstwo A Przedsiębiorstwo B Razem > me=20,5 11 16 27 me=20,5 15 14 29 Razem 26 30 56 Traktując tę tablicę, jako tablicę niezależności obliczamy z niej wartość statystyki: =0,65 Ma ona rozkład 2 z k=(2-1)*(2-1) = 1 stopniem swobody. Odczytujemy wartość krytyczną: 2 (0,05; 1)=3,841. Ponieważ: 2 =0.65 < 3.841= 2 (0,05; 1) więc nie ma podstaw do odrzucenia H o (oba przedsiębiorstwa produkują beton o jednakowej wytrzymałości.

TEST SUMY RANG Jednym z najwygodniejszych, a równocześnie dość precyzyjnych testów dla wielu prób, jest tzw test sumy rang. Wartości uzyskanych w próbach nie klasyfikuje się jedynie na dwie grupy, jak w teście mediany, ale ustawia się je wg kolejności rosnącej i nadaje im rangi (tj kolejne numery). Problem: Danych jest k populacji generalnych o dowolnych rozkładach z ciągłymi dystrybuantami F 1 (x), F 2 (x),, F k (x). Z każdej tej populacji wylosowano niezależnie n i elementów do próby( i=1,2,, k). Na podstawie wyników tych prób sprawdzić hipotezę, że wszystkie próby pochodzą z tej samej populacji tzn H o : F 1 (x) = F 2 (x)=...=f k (x) Rozwiązanie: Wszystkim wynikom prób w liczbie n=σn i nadajemy rangi(numery kolejne) od 1 do n każdej próby oddzielnie wyznaczamy sumy rang T i ( i=1,2,, k). Z tych (przy jednakowych elementach dajemy średnią z mających kolejno nastąpić rang). Dla sum wyznaczamy wartość statystyki: Statystyka ta ma rozkład χ 2 z k-1 stopniami swobody, odczytujemy wartość krytyczną, by p( χ 2 χ 2 α)=α. Jeśli zachodzi χ 2 χ 2 α to H o odrzucamy.

TEST SUMY RANG (PRZYKŁAD) Przykład. Z 3 zakładów produkujących telewizory wylosowano odpowiednio: n 1 =10, n 2 =8, n 3 =12 sztuk i otrzymano następujące wyniki ich czułości w [μv]: Na poziomie istotności α=0,05 za pomocą testu sumy rang zweryfikować hipotezę, że czułość telewizorów, produkowanych przez te zakłady jest jednakowa. Rozwiązanie: Ogólna liczba wyników próby wynosi; n=n 1 +n 2 +n 3 =30.Nadajemy tym wynikom od najmniejszego do największego, kolejno rangi od 1 do 30: Zakład A Zakład B Zakład C Wynik Wynik Wynik 420 560 600 490 550 570 340 480 510 460 400 420 580 470 470 500 520 530 450 700 630 590 420 590 610 540 740 690 540 600

TEST SUMY RANG (PRZYKŁAD) Zakład A Zakład B Zakład C Wynik ranga Wynik ranga Wynik ranga = 8,29, liczba stopni swobody wynosi: 3-1=2, dla α=0,05 mamy: 2 (0,05; 2)=5,991 Ponieważ: 2 =8,29 > 5,991= 2 (0,05;2) Więc hipotezę H o należy odrzucić (tzn. wyprodukowane telewizory w A, B, C mają różną czułość) 420 560 600 490 550 570 340 480 510 460 4 19 24 11 18 20 1 10 13 7 400 420 580 470 470 500 520 530 2 4 21 8,5 8,5 12 14 15 450 700 630 590 420 590 610 540 740 690 540 600 6 29 26 22,5 4 22,5 25 16,5 30 28 16,5 27 Suma T 1 =127 Suma T 2 =85 Suma T 3 =253