TEMAT NUMERU 9 GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ Marzenna Grochowalska W Matematyce w Szkole wiele miejsca poświęcono geoplanom z siatką kwadratową oraz ich zaletom 1. Równie ciekawą pomocą dydaktyczną jest geoplan z siatką trójkątną (płaszczyzna jest podzielona na trójkąty równoboczne, a kołeczki są umieszczone w wierzchołkach tych trójkątów). W artykule przedstawię przykłady jego zastosowania w szkole podstawowej i w gimnazjum. Prostokąt składa się z sześciu trójkątów jednostkowych i z czterech połówek trójkątów, a trapez z ośmiu trójkątów jednostkowych. Zatem pola obu tych figur są jednakowe. Geoplan przydaje się również przy uzasadnianiu równości pól dwóch różnych trójkątów o równych podstawach i takich samych wysokościach. Uczniom szkoły podstawowej to zagadnienie często przysparza problemów. Pola figur Aby porównać pola dwóch figur, trzeba będzie tym razem policzyć, ile trójkątów mieści się w każdej z figur. Oto przykładowe zadanie dla uczniów: Która z rozpiętych na geoplanie figur ma większe pole? Na geoplanie można łatwo porównać pola dwóch trójkątów przedstawionych na powyższej fotografii. Wystarczy odpowiednio wykorzystać trójkąty równoboczne tworzące siatkę geoplanu. Równe obwody równe pola? Geoplan warto też wykorzystać przy ćwiczeniach dotyczących figur o różnych polach, ale mających równe obwody (zob. poniższe zdjęcie).
10 TEMAT NUMERU Uczniowie mogą modyfikować kształt wyjściowej figury, zmniejszać lub zwiększać pole, nie zmieniając obwodu, albo odwrotnie zmieniać obwód przy stałym polu. Do takich ćwiczeń warto wykorzystać różne wielokąty kształcimy wówczas wyobraźnię geometryczną. Budowanie figur o danym polu Na siatce trójkątnej, podobnie jak na kwadratowej, uczeń może projektować figury o zadanym polu i badać liczbę rozwiązań (np. zaznaczyć wszystkie prostokąty o polu równym 12 3). Zmiana wymiarów figury a jej pole Uczniowie mogą zmieniać wymiary rozpiętej na geoplanie figury (np. zwiększyć dwukrotnie wysokość trapezu, długości obu podstaw lub tylko jednej) i sprawdzać, jak się wtedy zmienia jej pole. To dobra okazja do ćwiczenia umiejętności formułowania wniosków. Twierdzenie Pitagorasa i pierwiastki Sporo uczniów ma problem ze swobodnym stosowaniem twierdzenia Pitagorasa. Z trudem obliczają oni wysokość trójkąta równobocznego. Zastosowanie geoplanu z siatką trójkątną pomaga w oswojeniu się z tym problemem. Pierwszym krokiem będzie ustalenie wysokości trójkąta jednostkowego. Przyjmijmy, że bok trójkąta tworzącego siatkę ma długość 1. Wtedy wysokość tego trójkąta wynosi 3. Drugi krok to ćwiczenia 2 polegające na wyznaczaniu wymiarów figur. Oto przykłady: Jakie wymiary ma prostokąt przedstawiony na pierwszym zdjęciu na stronie 9? Jakie wymiary mają trójkąty przedstawione na zdjęciu drugim na stronie 9? Jakie wysokości ma ten z trójkątów, który nie jest równoboczny? Jaki jest obwód figury widocznej na poniższym zdjęciu? Niektóre boki są wielokrotnościami wysokości trójkąta równobocznego o boku 1, więc uczniowie podczas takich ćwiczeń wykonają przy okazji działania na pierwiastkach. Geoplan przydaje się również podczas omawiania trójkątów o kątach 30,60 i90. Uczniowie powinni łatwo zauważyć, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o kątach 30,60 i90 jest dwa razy dłuższa niż przyprostokątna leżąca przy kącie 60.Druga przyprostokątna jest wysokością trójkąta równobocznego, którego połową jest rozpięty na geoplanie trójkąt prostokątny. Zbudowanie serii takich trójkątów ułatwi uczniom zrozumienie i zapamiętanie odkrytych własności. Można też zapytać, jakie kąty mają trójkąty przedstawione na zdjęciu (do uzasadnienia potrzebne jest podobieństwo trójkątów prostokątnych).
TEMAT NUMERU 11 Ciekawym ćwiczeniem jest obliczanie długości odcinka, który wyznaczają dowolne dwa kołki na geoplanie (oczywiście pomijamy trywialny przypadek, gdy odcinek składa się z całkowitej liczby odcinków jednostkowych). Analogicznie jak na siatce kwadratowej dobudowujemy trójkąt prostokątny i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Figury podobne Geoplan przydaje się przy omawianiu figur podobnych. Podczas budowania trójkątów podobnych uczniowie mogą łatwo sprawdzić równość odpowiednich kątów i proporcję boków. Ponadto mają okazję odkryć związek między polami figur podobnych a skalą podobieństwa. Szukany odcinek (przeciwprostokątna trójkąta rozpiętego na geoplanie przedstawionym powyżej) ma długość 21. Kolejne ćwiczenie związane z trójkątami polega na rozpięciu na geoplanie trójkątów równobocznych o boku, który jest wielokrotnością wysokości trójkąta jednostkowego. Wykonajmy też takie ćwiczenie dla trójkątów równobocznych. Zacznijmy od trójkąta o boku 1, a potem przejdźmy do trójkąta obokudwarazydłuższym. Liczby trójkątne Seria trójkątów równobocznych z poprzedniego ćwiczenia (zob. zdjęcie poniżej) może posłużyć jako interpretacja geometryczna liczb trójkątnych. Długości boków takich trójkątów są wyrażone liczbami niewymiernymi, a wysokości liczbami naturalnymi. Pierwsza liczba trójkątna to 1. Liczby kołków należących do kolejnych trójkątów
12 TEMAT NUMERU równobocznych to następne liczby trójkątne (3, 6, 10, itd.). Zadanie dla uczniów to odkrycie wzoru na n-tą liczbę trójkątną. To dobra okazja do modelowania matematycznego. Wielokąty foremne Siatki brył Geoplanu z siatką trójkątną użyjemy również do projektowania siatek niektórych brył (zob. poniższe zdjęcie). Szczególnie przydaje się on przy tworzeniu różnych siatek czworościanu foremnego. Na geoplanie z siatką trójkątną można świetnie zilustrować związek sześciokąta foremnego z trójkątami równobocznymi. Od razu widać, że sześciokąt foremny o boku 1 składa się z 6 trójkątów równobocznych nie trzeba nic dorysowywać. Uczniowie powinni bez trudu odkryć wzór na pole sześciokąta foremnego, podać długości przekątnych oraz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt i długość promienia okręgu na nim opisanego. Rysunki brył Zanim uczeń narysuje bryłę w zeszycie, warto, by przedtem zaprojektował ją na geoplanie. Tutaj może łatwo manipulować gumkamiiszybkopoprawiaćjejkształt. Symetrie Trójkątny geoplan warto wykorzystać przy omawianiu figur symetrycznych względem punktu lub prostej, a także figur środkowolub osiowosymetrycznych. Proponuję następujące ćwiczenie. Nauczyciel rozpina na geoplanie figurę środkowosymetryczną. Jeden z uczniów zmienia jej kształt, przekładając gumkę z wybranego kołka na inny kołek, a potem drugi uczeń zmienia kształt tej figury tak, by otrzymać figurę środkowosymetryczną (inną niż wyjściowa). Po kilku przykładach uczniowie zamieniają się rolami.
TEMAT NUMERU 13 Ćwiczenia różne Oto proponowane zadania: Zaznacz na geoplanie wielokąt i podaj obwód i pole tego wielokąta. Podaj długość najdłuższego odcinka, który zmieści się w danym wielokącie. Wybierz dwa punkty (kołki) geoplanu. Jaka jest najkrótsza droga między tymi punktami, jeśli można się poruszać tylko wzdłuż boków trójkątów równobocznych oboku1? Zaznacz na geoplanie wielokąt. Ile różnych (nieprzystających) trójkątów równobocznych o wierzchołkach w kołeczkach mieści się w tym wielokącie? Geoplan to bardzo prosta, ale niezwykle użyteczna pomoc dydaktyczna. I choć środki multimedialne mają wiele zalet, to jednak nie można (i nie warto) zapominać o starych, dobrych pomocach edukacyjnych. 1 D. Turska, Geoplany, Matematyka w Szkole 2000, nr 5, s. 11; B. Wieczorek-Żurawska, Internetowa lekcja geometrii, Matematyka w Szkole 2006, nr 37, s. 14 17; S. Turnau, Geoplan, cz. 1, Matematyka w Szkole 2011, nr 60, s. 18 22; S. Turnau, Geoplan, cz. 2, Matematyka w Szkole 2011, nr 61, s. 25 29; S. Turnau, Geoplan, cz. 3, Matematyka w Szkole 2011, nr 62, s. 35 38.