Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4 ca(c 3 + a 3 ).. (57-II-4) Niech c będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg (a n ) jest określony przez warunki a =, a n+ = d(a n ) + c dla n =,,..., gdzie d(m) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby m. Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia k, że ciąg a k, a k+, a k+,... jest okresowy. 3. (57-III-5) Dany jest czworościan ABCD, w którym AB = CD. Sfera wpisana w ten czworościan jest styczna do ścian ABC i ABD odpowiednio w punktach K i L. Dowieść, że jeżeli punkty K i L są środkami ciężkości ścian ABC i ABD, to czworościan ABCD jest foremny. 4. (58-I-6) Wykazać, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie, to a + ab + abc + b + bc + bca + c + ca + cab ( 3 3 abc a + b + ). c 5. (58-I-7) Dany jest czworościan ABCD. Dwusieczna kąta ABC przecina krawędź AC w punkcie Q. Punkt P jest symetryczny do D względem punktu Q. Punkt R leży na krawędzi AB, przy czym BR = BC. Udowodnić, że z odcinków o długościach BP, CD oraz QR można zbudować trójkąt. 6. (58-II-6) Liczby dodatnie a, b, c, d spełniają warunek Wykazać, że a + b + c + d = 4. a3 + b 3 3 + 3 b3 + c 3 + 3 c3 + d 3 + 3 d3 + a 3 (a + b + c + d) 4 7. (58-III-5) W czworościanie ABCD spełnione są zależności <) BAC + <) BDC = <) ADB + <) ACD, <) BAD + <) BCD = <) ABC + <) ADC. Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi AB i CD. 8. (59-I-3) Ciąg liczb całkowitych a, a, a 3,... jest określony przez warunki: a =, a =, a n = 3a n + 5a n dla n = 3, 4, 5,.... Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita k, że liczba a k jest dzielnikiem iloczynu a k+ a k+. 9. (59-I-5) Znaleźć wszystkie takie trójki liczb pierwszych (p, q, r), że liczby są podzielne przez p + q + r. pq + qr + rp oraz p 3 + q 3 + r 3 pqr
0. (59-I-0) Dana jest liczba pierwsza p. Ciąg liczb całkowitych dodatnich a, a, a 3,... spełnia warunek a n+ = a n + p[ p a n ] dla n =,, 3,.... Wykazać, że pewien wyraz tego ciągu jest p-tą potęgą liczby całkowitej. (Uwaga: Symbol [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą x.). (59-II-) Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w postaci x 3 + y dla pewnych liczb całkowitych x, y.. (59-II-) W pięciokącie wypukłym ABCDE spełnione są zależności <) ABD = <) ACE, <) ACB = <) ACD, <) ADC = <) ADE, <) ADB = <) AEC. Odcinki BD i CE przecinają się w punkcie S. Dowieść, że proste AS i CD są prostopadłe. 3. (59-II-3) Wyznaczyć wszystkie takie funkcje f, określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi równość f(f(x) y) = f(x) + f(f(y) f( x)) + x. 4. (59-II-5) Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = BC. Punkt D leży na boku AB tego trójkąta, przy czym AD < BD. Punkt E jest symetryczny do punktu A względem prostej CD. Wykazać, że AC CE = BE BD AD. 5. (59-II-6) Dana jest liczba całkowita dodatnia n niepodzielna przez 3. Udowodnić, że istnieje liczba m o następującej własności: Każda liczba całkowita nie mniejsza niż m jest sumą cyfr pewnej wielokrotności liczby n 6. (59-III-3) W pięciokącie wypukłym ABCDE, w którym BC = DE, zachodzą równości <) ABE = <) CAB = <) AED 90 oraz <) ACB = <) ADE. Dowieść, że czworokąt BCDE jest równoległobokiem. 7. (59-III-6) Niech S będzie zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które można przedstawić w postaci a + 5b dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych a i b. Niech ponadto p będzie liczbą pierwszą dającą resztę 3 z dzielenia przez 4. Wykazać, że jeżeli pewna dodatnia wielokrotność liczby p należy do zbioru S, to również liczba p należy do zbioru S. 8. (6-II-) Punkty A, B, C są odpowiednio rzutami prostokątnymi wierzchołków A, B, C czworościanu ABCD na przeciwległe ściany. Dowieść, że jeżeli punkt A jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BCD, punkt B jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ACD, zaś punkt C jest środkiem ciężkości trójkąta ABD, to czworościan ABCD jest foremny. 9. (6-II-4) W pięciokącie wypukłym ABCDE wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. Wykazać, że symetralna odcinka EA, symetralna odcinka BC i dwusieczna kąta CDE przecinają się w jednym punkcie. 0. (6-III-5) Liczba pierwsza p > 3 daje resztę z dzielenia przez 3. Niech a k = k + k + dla k =,, 3,..., p. Wykazać, że iloczyn a a a 3... a p daje resztę 3 z dzielenia przez p.
. (6-I-) Wyznaczyć wszystkie takie pary (a, b) liczb wymiernych dodatnich, że a + b = 4 + 7.. (6-I-5) Krawędzie dwunastościanu foremnego chcemy ponumerować liczbami,,..., 30, używając każdej z nich dokładnie raz. Rozstrzygnąć, czy można to uczynić tak, aby suma numerów krawędzi wychodzących z dowolnego wierzchołka była: a) parzysta; b) podzielna przez 4. 3. (6-I-6) Dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek Udowodnić, że a 4 + b 4 + c 4 a 3 + b 3 + c 3. a 3 b4 + b c + c 4 + b 3 c4 + c a + a 4 + c 3 a4 + a b + b 4 3. 4. (6-II-) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 + y 3 ) = 7 (x + y)(x 3 y 3 ) = 3. 5. (6-III-) Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Prowadzimy trzy proste: przez środki odcinków AE i AF, przez środki odcinków BF i BD oraz przez środki odcinków CD i CE. Wykazać, że środek okręgu opisanego na trójkącie wyznaczonym przez te trzy proste pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. 6. (6-III-5) Wysokości czworościanu ABCD przecinają się w punkcie H leżącym wewnątrz czworościanu. Prosta DH przecina ścianę ABC w punkcie P, a sferę opisaną na danym czworościanie w punkcie Q różnym od D. Udowodnić, że P Q = HP. 7. (63-I-) Znaleźć wszystkie takie pary dodatnich liczb całkowitych (x, y), że liczba x + 5 y jest kwadratem liczby całkowitej. 8. (63-I-3) W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka C. Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach AC i BC, przy czym AE = AD i BF = BD. Punkt S jest symetryczny do punktu C względem środka okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wykazać, że SE = SF. 9. (63-I-4) Dana jest liczba całkowita n. Dla niepustego podzbioru X zbioru {,,..., n} niech a i b oznaczają odpowiednio najmniejszy i największy element zbioru X oraz niech f(x) = n (b a). Wyznaczyć, w zależności od n, sumę liczb f(x) dla wszystkich niepustych podzbiorów X zbioru {,,..., n}. 30. (63-I-7) Znaleźć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych (m, n), dla których prostokąt o wymiarach m n można zbudować z następujących klocków utworzonych z 6 kwadratów jednostkowych: Klocki wolno obracać i odwracać na drugą stronę. 3
3. (63-I-) W ostrosłupie o podstawie ABC i wierzchołku S wysokości AA, BB, CC, SS przecinają się w jednym punkcie, leżącym wewnątrz ostrosłupa. Punkt O jest środkiem sfery opisanej na danym ostrosłupie. Dowieść, że jeśli prosta SO jest prostopadła do płaszczyzny A B C D, to ostrosłup ABCS jest prawidłowy. 3. (63-II-) Udowodnić, że w czworościanie ABCD wierzchołek D, środek sfery wpisanej oraz środek ciężkości czworościanu leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy pola trójkątów ABD, BCD i CAD są równe. 33. (63-III-3) Trójkąt ABC, w którym AB = AC, jest wpisany w okrąg o. Okręgi o i o są styczne wewnętrznie do okręgu o odpowiednio w punktach P i Q, są też styczne odpowiednio do odcinków AB i AC oraz są rozłączne z wnętrzem trójkąta ABC. Niech m będzie taką prostą styczną do okręgów o i o, że punkty P i Q leżą po przeciwnej jej stronie niż punkt A. Prosta m przecina odcinki AB i AC odpowiednio w punktach K i L. Dowieść, że punkt przecięcia prostych P K i QL leży na dwusiecznej kąta BAC. 34. (63-III-6) Dowieść, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność ( ) ( ) ( ) a b b c c a + + ( a b + b c + c a ). c a b c a b 35. (64-I-5) Wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia 0 m 9 n, gdzie m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi. 36. (64-I-7) Dany jest czworościan ABCD, w którym <) BCA = <) BAD,a sfera o środku S dopisana do tego czworościanu jest styczna do ściany ABC w środku okręgu opisanego na tej ścianie. Udowodnić, że proste AD i AS są prostopadłe. (Uwaga: Sfera dopisana do czworościanu to sfera styczna do dokładnie jednej ściany oraz do trzech płaszczyzn zawierających pozostałe ściany.) 37. (64-III-4) Dany jest czworościan ABCD, w którym Udowodnić, że <) BAD > <) ADC. AB = CD oraz <) BAD + <) BCD = 80. 38. (65-I-3) Na tablicy napisano słowo abdc. W jednym ruchu możemy dopisać lub usunąć (na początku, w środku lub na końcu) palindrom parzystej długości utworzony z liter a, b, c, d. Rozstrzygnąć, czy po skończonej liczbie ruchów możemy uzyskać słowo bacd. Uwaga: Palindromem nazywamy słowo, które czytane od lewej do prawej jest takie samo jak czytane od prawej do lewej, np. abba, cc, daaaad.) 39. (65-I-8) W czworościanie ABCD płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego o krawędzi BC przecina krawędź AD w punkcie P, zaś punkt Q est rzutem prostokątnym punktu P na prostą BC. Udowodnić, że <) AQP = <) P QD. 40. (65-II-4) W rozgrywkach ligi piłkarskiej wzięło udział n drużyn (n ) i odbyło się n kolejek. W każdej kolejce każda drużyna rozegrała jeden mecz. Dowolne dwie drużyny spotkały się ze sobą podczas rozgrywek w dokładnie jednym meczu. Ponadto w każdym meczu jedna drużyna była gospodarzem, a druga gościem. Drużynę nazwiemy podróżującą, jeżeli w dowolnych dwóch sąsiednich kolejkach była ona raz gospodarzem i raz gościem. Udowodnić, że istnieją co najwyżej dwie drużyny podróżujące. 4
4. (65-III-3) Czworościan ABCD o ścianach ostrokątnych jest wpisany w sferę o środku O. Prosta przechodząca przez punkt O i prostopadła do płaszczyzny ABC przecina daną sferę w punkcie D leżącym po przeciwnej stronie płaszczyzny ABC niż punkt D. Prosta DD przecina płaszczyznę ABC w punkcie P leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Udowodnić, że jeżeli <) AP B = <) ACB, to <) ADD = <) BDD. 4. (66-I-7) Dany jest czworościan ABCD. Płaszczyzna przechodząca przez punkty styczności sfery s wpisanej w ten czworościan ze ścianami ABD, BCD i ACD przecina krawędzie AD, BD i CD odpowiednio w punktach A, B i C. Udowodnić, że środek sfery wpisanej w czworościan A B C D leży na sferze s. Zawody międzynarodowe 43. (APZM 007) W czworościanie ABCD niech K będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt CBD, M środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABD, L środkiem ciężkości trójkąta DAC, zaś N środkiem ciężkości trójkąta BAC. Przypuśćmy, że proste AK, BL, CM, DN przecinają się w jednym punkcie. Czy wynika stąd, że czworościan ABCD jest foremny? 44. (MEMO 0) Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią, nie będącą potęgą. Udowodnić, że istnieje liczba całkowita m, która spełnia następujące dwa warunki: i) m jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych dodatnich; ii) reprezentacja dziesiętna liczby m składa się z dwóch identycznych bloków po n cyfr. 45. (MEMO 0) Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozważamy słowa długości n złożone z liter ze zbioru {M, E, O}. Niech a będzie liczbą słów zawierających parzystą (także 0) liczbę bloków M E oraz parzystą (także 0) liczbę bloków M O. Niech b będzie liczbą słów zawierających nieparzystą liczbę bloków ME oraz nieparzystą liczbę bloków MO. Wykazać, że a < b. 46. (CZPS 0) Wczworokącie wypukłym ABCD punkty M, N są odpowiednio środkami boków AD oraz BC. Punkty K oraz L leżą odpowiednio na bokach AB i CD, przy czym <) MKA = <) NLC. Wykazać, że jeśli proste BD, KM oraz LN przecinają się w jednym punkcie, to spełnione są równości <) KMN = <) BDC oraz <) LNM = <) ABD. Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów 47. (-II-) Miara każdego kąta sześciokąta ABCDEF jest równa 0. Udowodnij, że symetralne odcinków AB, CD i EF przecinają się w jednym punkcie. 48. (-II-5) Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS, w którym <) ASB = <) BSC = <) CSA = 0. Wykaż, że obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości każdej z krawędzi AS, BS i CS. 49. (5-II-3) Wyznacz wszystkie takie dodatnie liczby całkowite n, dla których obie liczby są pierwsze. n + n + oraz n + n + 3 5
50. (5-II-4) Na przyjęciu spotkało się sześć osób. Okazało się, że każda z nich ma wśród pozostałych dokładnie trzech znajomych. Wykaż, że pewne cztery z tych osób mogą usiąść przy okrągłym stole w taki sposób, aby każda z nich siedziała pomiędzy swoimi dwoma znajomymi. 5. (5-III-) Dane są takie liczby całkowite a, b, c >, że największy wspólny dzielnik liczb a, b, c jest większy od. Udowodnij, że liczba abc jest złożona. 5. (6-I-) W pewnym czworościanie każdy wierzchołek połączono odcinkiem ze środkiem okręgu opisanego na przeciwległej ścianie. Okazało się, że otrzymane odcinki są wysokościami czworościanu. Wykaż, że czworościan ten jest foremny. 53. (6-I-3) Udowodnij, że dla każdych dodatnich liczb a, b, c spełniona jest nierówność a a + b + b b + c + c c + a > a + b + c. 54. (6-I-5) W każde pole kwadratowej tablicy 00 00 wpisano liczbę rzeczywistą. Okazało się, że suma liczb wpisanych w każde cztery pola, które można nakryć L-tetraminem, jest równa 0. Wyznacz sumę liczb wpisanych w pola, które znajdują się na obu przekątnych tablicy. Uwaga: L-tetraminem nazywamy figurę składającą się z czterech kwadratów o boku, ułożonych jak na rysunku poniżej. L-tetramina można obracać i odbijać symetrycznie. 55. (6-I-7) Udowodnij, że nie istnieją dodatnie liczby nieparzyste a i b spełniające równanie a b 3 = 4. 56. (6-II-5) Dany jest czworościan foremny opisany na sferze o promieniu. Udowodnij, że w tym czworościanie można umieścić 6 kul o promieniu, w taki sposób, aby każde dwie kule miały co najwyżej jeden punkt wspólny. 6