Zasada 1% Risk Ochrona kapitału czy ograniczanie zysku? 1% Risk Rule Protecting capital or limiting profit? Opracował Adam Marszałek Koło Naukowe Matematyków Politechniki Krakowskiej Opiekun naukowy dr Jan Pudełko Instytut Matematyki Politechniki Krakowskiej Abstract The 1% Risk rule is a popular investment strategy, recommended most often to novice investors in the monetary market (Forex). The purpose of this work is to provide a mathematical analysis of this rule. We ask, if the 1% level of the risk is always optimal and if not then then how to calculate such an optimal level for different strategies. First, we present how monetary market works and explain how the 1% Risk rule is used. In the main part of the paper we introduce our optimization criteria: propability of bankrupcy and probability of success. The objective function is proposed and then used to find the optimum level of risk. Finally, our results are applied to the analysis of two investment styles: scalping and midterm trading. Streszczenie W pracy zajmujemy się analizą matematyczną jednej ze strategii zarządzania kapitałem inwestycyjnym, a mianowicie zasadą 1% Risk. Zasadę tę poleca się m.in. początkującym inwestorom na rynku walutowym (Forex) przy budowaniu ich strategii inwestycyjnej. Naszym celem jest wyznaczenie stałej wartości ryzyka, która przy danych założeniach dotyczących konkretnej strategii inwestowania będzie optymalna. Otrzymana wartość zastąpi wartość 1 procenta w omawianej zasadzie. Na wstępie przybliżymy nieco rynek walutowy. W głównej części pracy wyprowadzimy kryteria optymalizacyjne, jakimi są tu: prawdopodobieństwa bankructwa i prawdopodobieństwa sukcesu. Następnie przy użyciu tych kryteriów zaproponujemy funkcję celu, z której wyznaczymy optymalny poziom ryzyka. Na zakończenie zaprezentujemy otrzymane wyniki na przykładzie dwóch stylów inwestowania: skalpowaniu i handlu średnioterminowego.
1. Zasada 1%Risk na rynku Forex 1.1. Co to jest Forex? Podstawowe wiadomości Forex to potoczna nazwa największego rynku na świecie - rynku wymiany walut (Foreign Exchange - FX) z dziennymi obrotami sięgającymi obecnie 2 bln dolarów. Jak sama nazwa wskazuje, na tym rynku handluje się pieniędzmi. Forex jest rynkiem OTC (Over The Counter), co oznacza, że nie ma jednego miejsca na świecie gdzie dokonuje się wszystkich operacji na tym rynku, a handel parami walut odbywa się za pośrednictwem telefonów, Internetu i globalnej sieci banków. źródło: www.forex.nawigator.biz Weźmy parę walutową EUR/USD. Pierwszą walutę w parze nazywamy walutą bazową, drugą zaś walutą kwotowaną. Kurs tej pary mówi nam ile dolarów amerykańskich możemy kupić za jedno euro. Kupując parę walutową zajmujemy na rynku pozycję długą (long), dla pary EUR/USD oznacza to, że kupujemy euro. Natomiast sprzedając zajmujemy pozycję krótką (short), dla pary EUR/USD oznacza to, że kupujemy dolara. Każdą pozycję zamykamy poprzez pozycję odwrotną. Transakcją będziemy nazywać zajęcie jakiejkolwiek pozycji na rynku. Podstawową jednostką na rynku Forex jest Lot. Jest to minimalna ilość danej waluty, którą możemy wykupić na danej platformie i typie konta. Zazwyczaj dla kont mini jest to 10 000 jednostek, a dla kont standardowych 100 000 jednostek. Spora część brokerów umożliwia grę na mini lotach (0.1 lota), a także mikro lotach (0.01 lota). Mogłoby wydawać się, że z powodu ograniczenia co do minimalnej wielkości transakcji rynek Forex jest tylko dla ludzi z dużą gotówką. Nic bardziej mylnego. Narzędziem pozwalającym kontrolować dużą pozycję przy pomocy małej sumy pieniędzy jest dźwignia (leverage). Jest to relacja pomiędzy kapitałem o stałym oprocentowaniu pożyczonym przez firmę brokerską (kredyt), a wartością zainwestowanego kapitału (depozyt). Dużym ułatwieniem w handlu na rynku Forex jest możliwość otwierania pozycji z limitami. Występują dwa rodzaje limitów: limit Stop-Loss (SL) służący do automatycznego zamykania pozycji przy określonych stratach, gdy kurs pójdzie nie po naszej myśli. limit Take-Profit (T P ) służący do automatycznego zamykania pozycji przy określonym zysku, zapobiega przed stratą już osiągniętego zysku. Jednostką, w której wyrażana jest zmiana kursu pary walutowej jest pips. Jeden pips w zależności od pary i jej kursu to drugie lub czwarte miejsce po przecinku. Limity SL i T P także wyrażane są w pipsach. Dla przykładu dla pary EUR/USD i dźwigni 100 : 1 za 100 dolarów możemy wejść w pozycję na 10 000 euro. Dla tej pary 1 pips to 0.0001. Kupując euro z limitem SL = 20 oznacza, że pozycja zamknie się gdy kurs spadnie o 0.002, natomiast z limitem T P = 30 oznacza, że pozycja zamknie się gdy kurs wzrośnie o 0.003. 1.2. Zasada 1% Risk oraz kilka przydatnych wzorów Zasada 1% Risk jest strategią określającą zasady zarządzania kapitałem inwestycyjnym. Polega ona na dobieraniu takiej wielkości transakcji aby maksymalna strata jaką dopuszczamy stanowiła 1% aktualnego stanu konta. Dopuszczalną stratę najłatwiej możemy określić poprzez ustalenie poziomu SL. Wtedy wielkość transakcji jaką powinniśmy otworzyć aby strata ta była równa R procent stanu konta możemy 2
wyliczyć ze wzoru (1), natomiast z wzoru (2) możemy wyliczyć zysk/stratę jaką poniesiemy jeśli kurs zmieni sie o ustaloną ilość pipsów. gdzie: P - wielkość pozycji (w lotach), R - procent (1% R = 0.01), K - stan konta, SL - limit Stop-Loss (w pipsach), P = D - dokładność kwotowania (dla EUR/USD D = 0.0001). R K SL D Lot, (1) Z = P Lot P ips D, (2) Lot - wielkość 1 lota (np. Lot = 10 000), Z - zysk/strata, P ips - zmiana kursu (w pipsach), 2. Analiza matematyczna zasady 1% Risk W tej części referatu postaramy się odpowiedzieć na pytanie postawione w tytule referatu, a mianowicie czy zawsze 1% się opłaca. W tym celu będziemy dążyć do wyznaczenia optymalnego parametru R dla z góry ustalonych pozostałych parametrów systemu transakcyjnego. 2.1. Budowa modelu Niech K 0 0 oznacza kapitał początkowy. Załóżmy, że w rozważanym systemie transakcyjnym ustalone są stałe poziomy limitów SL i T P. Oznacza to, że w każdej transakcji zarabiamy dokładnie T P pipsów lub tracimy dokładnie SL pipsów. Stan konta po jednej transakcji wyraża się wzorem Korzystając z wzorów (1) i (2) otrzymujemy K 1 = K 1 = K 0 ± Z. K 0 (1 + R T P ), gdy transakcja była zyskowna, SL K 0 (1 R SL ), gdy transakcja była stratna. SL Niech teraz X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie dwupunktowym takim, że P (X i = a) = s, P (X i = 1) = 1 s, i = 1, 2,..., n, (3) gdzie: a = T P SL, s - skuteczność systemu wyznaczona z transakcji historycznych. Wówczas stan konta po n transakcjach wyraża się wzorem K n = K 0 2.2. Prawdopodobieństwo bankructwa n i=1 (1 + R X i ). Pierwszym z dwóch kryteriów ze względu na które będziemy optymalizować parametr R jest prawdopodobieństwo bankructwa w ciągu n transakcji. Za bankructwo uznajemy sytuację, w której stan naszego konta spada poniżej z góry ustalonej kwoty. Kwotę tą oznaczmy przez K b (0, K 0 ). Liczbę transakcji, po których zbankrutujemy możemy opisać za pomocą zmiennej losowej τ = inf {t > 0 : K t (0, K b )}, 3
natomiast prawdopodobieństwo osiągnięcia bankructwa podczas n transakcji możemy zapisać jako P (τ n). Aby obliczyć prawdopodobieństwo zbankrutowania po n-tej transakcji przedstawimy proces K n w nieco innej postaci K n = K 0 (1 + a R) p (1 R) q, gdzie: p + q = n, p - liczba zyskownych transakcji, q - liczba stratnych transakcji. Zauważmy, że aby osiągnąć bankructwo po n-tej transakcji musi zajść wyznaczając p z nierówności (4) dostajemy K n = K 0 (1 + a R) p (1 R) n p K b, (4) p ln ( K b K 0 ) n ln (1 R) ln (1 + a R) ln (1 R). Oznacza to, że aby zbankrutować po n-tej transakcji możemy mieć co najwyżej p transakcji zyskownych, a wiec stąd wniosek, że prawdopodobieństwo bankructwa podczas n transakcji jest równoważne temu, że w n próbach otrzymamy co najwyżej p sukcesów. Korzystając z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia, że w n próbach otrzymamy dokładnie p sukcesów i n p porażek opisuje rozkład dwumianowy, otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo bankructwa podczas n transakcji w postaci P (τ n) = p i=0 n! i!(n i)! si (1 s) n i, ln ( K b K gdzie: p = 0 ) n ln (1 R). ln (1 + a R) ln (1 R) 2.3. Prawdopodobieństwo sukcesu Drugim kryterium optymalizacyjnym będzie prawdopodobieństwo sukcesu. Sukcesem będziemy nazywać sytuację, w której zarobimy z góry ustaloną kwotę. Oznaczmy ją przez K s (0, ). Liczbę transakcji, po których osiągniemy sukces możemy opisać za pomocą zmiennej losowej η = inf {t > 0 : K t K 0 + K s }, natomiast prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu podczas n transakcji zapiszemy jako P (η n). W celu wyznaczenia prawdopodobieństwa sukcesu w ciągu n transakcji przeprowadzamy analogiczne rozumowanie jak w przypadku prawdopodobieństwa bankructwa. Po którym otrzymujemy P (η n) = n i=p n! i!(n i)! si (1 s) n i, ln ( K 0+K s K gdzie: p = 0 ) n ln (1 R). ln (1 + a R) ln (1 R) 4
2.4. Optymalna wartość parametru R Aby wyznaczyć optymalną wartość parametru R chcielibyśmy zminimalizować prawdopodobieństwo bankructwa jednocześnie maksymalizując prawdopodobieństwo sukcesu. W tym celu konstruujemy funkcję celu postaci F (R) = P (τ n) P (η n). Wówczas optymalna wartość parametru R wyraża się wzorem ˆR = arg min F (R). R (0,1) 2.5. Kilka faktów matematycznych Rozpatrzmy przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ). Wprowadźmy filtrację (F t ) t T oraz rodzinę zmiennych losowych (X t ) t T adaptowaną do tej filtracji o rozkładzie (3). Wówczas proces K n można zapisać w poniższej postaci K n = V 0 + n V k X k = K n 1 + V n X n, k=1 oraz następujące stwierdzenia są prawdziwe. gdzie: V 0 = K 0, V n = R K n 1, 1. Zmienne losowe τ i η zdefinowane w paragrafach 2.2 i 2.3 są momentami stopu. 2. Ciąg zmiennych losowych (V n ) n=0 jest ciągiem prognozowalnym (strategią). 3. Jeżeli EX = EX i dla i = 1,..., n to proces K n jest martyngałem, gdy EX = 0, nadmartyngałem, gdy EX 0, podmartyngałem, gdy EX 0, 4. EK n = K 0 (1 + R EX) n. 3. Przykłady 3.1. Scalping Scalping (skalpowanie) - polega na zawieraniu wielu transakcji na krótki czas w celu uzyskania profitu rzędu kilku punktów. Ustalmy następujące parametry: okres handlu - 1 miesiąc, n = 100, a = 0.25, s = 0.85, K = 1000, K b = 300, K s = 100. Optymalna wartość parametru R (wyznaczona za pomocą Prostego Algorytmu Genetycznego) ˆR (0.0499, 0.0510) 5 Prawdopodobieństwo bankructwa
Prawdopodobieństwo sukcesu Funkcja celu 3.2. Midterm trading Midterm trading - inaczej handel średnioterminowy. Od kilku dni do kilku tygodni, zwykle transakcja na rynku nie jest otwarta dłużej niż 2 miesiące. Ustalmy następujące parametry: okres handlu - 1 rok, n = 100, a = 3, s = 0.35, K = 10000, K b = 3000, K s = 10000. Optymalna wartość parametru R (wyznaczona za pomocą Prostego Algorytmu Genetycznego) ˆR (0.0397, 0.0415) Prawdopodobieństwo bankructwa Prawdopodobieństwo sukcesu Funkcja celu Literatura [1] Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel - Wstęp do teorii prawdopodobieństwa - wydanie II, SCRIPT, Warszawa 2001. [2] Piotr Surdel - Forex - Podstawy Giełdy Walutowej - wydanie I, Internetowe Wydawnictwo Złote Myśli. 6