Zadanie 7. Zaprojektować przekształtnik DC-DC obniżający napięcie tak, aby mógł on zasilić odbiornik o charakterze rezystancyjnym R =,5 i mocy P = 10 W. Napięcie zasilające = 10 V. Częstotliwość przełączania f = 1 khz. Przekształtnik powinien spełniać następujące założenia dotyczące jakości dostarczanej energii: Wartość międzyszczytowa składowej zmiennej prądu dławika powinna być mniejsza niż 10% jego wartości średniej ( L < 0,1 L ), a wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego powinna być mniejsza niż 1% jego wartości średniej ( = 0,01 ). Narysować przebiegi prądów i T, i D, i L, i C, i oraz napięcia u T, u D, u L, u. Zawory półprzewodnikowe przyjąć, że są idealne. DAN: Napięcie zasilające = 10 V; rezystancja odbiornika R =,5 Ω; moc wydzielana na odbiorniku P = 10 W; częstotliwość przełączania tranzystora f = 1 khz; wartość międzyszczytowa składowej zmiennej prądu dławika L < 0,1 L ; wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia kondensatora < 0,01 ; RZWĄZAN Działanie przekształtnika obniżającego napięcie można wytłumaczyć rozpoczynając od wyjaśnienia roli jego poszczególnych elementów składowych. Tranzystor przełącza się z określoną częstotliwością f oraz czasem załączenia t on. To powoduje, że gdy tranzystor jest załączony, napięcie na diodzie u D (strzałkowane tutaj jako napięcie katoda-anoda), przy założeniu że tranzystor jest idealny, jest równe napięciu, u D =. To z kolei powoduje że przez dławik popłynie prąd i L, który przy wyłączeniu tranzystora popłynie przez diodę D wywołując na tej diodzie spadek napięcia u D = 0 (w przypadku diody idealnej, lub u D = - D0 gdy uwzględni się, że dioda jest doskonała). Przełączanie tranzystora powoduje wytworzenie prostokątnego napięcia na diodzie, które jest równe u D = dla czasu t = (0, t on ) i u D = 0 dla czasu t = (t on, T) (rys. 1). Takie napięcie można rozłożyć, korzystając z teorii szeregów Fouriera, na składową średnią DAV i składową zmienną, której podstawowa harmoniczna ma częstotliwość równą częstotliwości przełączania tranzystora f.
Rys. 1. Przebieg napięcia u D na diodzie D Podłączone pomiędzy wyjściem a diodą D dławik L i kondensator C stanowią filtr dolnoprzepustowy, który tłumi wyższe harmoniczne, a przepuszcza składową stałą napięcia u D. Składową stałą (wartość średnią) DAV określa się z definicji zgodnie ze wzorem (1). ton ton d, (1) T 0 1 DAV t D T ton gdzie D ; ton DT T Napięcie wyjściowe na kondensatorze C równe jest wartości średniej napięcia diody DAV (jak później się okaże, jest to prawdziwe tylko przy ciągłym prądzie dławika i L ). DAV D, () W treści zadania nie podano ile wynosi wypełnienie D, dlatego należy obliczyć je na podstawie danych o rezystancji odbiornika R i wydzielanej na nim mocy P. P PR 10 W,5 5V (3) R Zatem wypełnienie: D = / = 5 V/10 V = 0,5 Analizę działania przekształtnika przy ciągłym prądzie dławika rozpoczyna się od założenia, że napięcie na kondensatorze C jest stałe i równe = D. Dla schematu numer 1 tranzystor przewodzi, a dla schematu tranzystor jest wyłączony.
Rys.. Schematy zastępcze przekształtnika obniżającego napięcie przy ciągłym prądzie dławika i L Wszystkie przebiegi napięć i prądów przekształtnika obniżającego napięcie typu BCK przedstawiono na rysunku 3. Rys. 3. Przebiegi napięć i prądów przekształtnika typu BCK dla wypełnienia D = 0,5 przy ciągłym prądzie dławika i L W pierwszym schemacie zastępczym napięcia i prądy poszczególnych elementów wynoszą:
- napięcie dławika z prawa Kirchhoffa równe jest u L = u D u = -, - napięcie tranzystora z uwagi na to, że jest on załączony równe jest zero, u T = 0. - prąd dławika narasta liniowo zgodnie ze wzorem (4) t 1 1 ilt uld t il(0) d t il(0) t il(0) L L L 0 0 t (4) Wartość prądu początkowego i L (0) zależy od wartości średniej prądu odbiornika AV, który równy jest wartości średniej prądu dławika AV = LAV, oraz od składowej zmiennej prądu dławika określonej za pomocą wartości międzyszczytowej Δ L (5). DT DT D 1 1 T L uldt dt DT D1 D L L L L (5) 0 0 Z treści zadania wynika, że prąd odbiornika = A. P 10 W W P R 4 A lub R,5 R 5V,5 A Składowa zmienna prądu dławika równa jest Δ L = 0,1 LAV = 0,1 A= 0, A, co pozwala obliczyć minimalną wartość indukcyjności dławika L. T T 10V 1ms Vs 3 L D1 D L D1 D 0,51 0,5 0, 5 50 10 1,5 mh L 0, A A L (6) Znając wartość międzyszczytową składowej zmiennej prądu dławika Δ L można wyznaczyć wartość początkową tego prądu i L (0) = LAV -½Δ L = A-0,1 A = 1,9 A. Na składową zmienną napięcia wyjściowego u wpływ ma prąd kondensatora i C oraz jego pojemność C zgodnie ze wzorem (7). t 1 u t ic tdt C (6) Przyrost napięcia Δ (wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego) można określić na kondensatorze znając ładunek ΔQ (Rys. 4), który ten przyrost wywołuje przedstawia to wzór (7). 0
Rys. 4. Przebiegi składowej zmiennej napięcia i prądu kondensatora przekształtnika typu BCK dla wypełnienia D = 0,5 przy ciągłym prądzie dławika i L Q (7) C gdzie przyrost ładunku określa się na podstawie rysunku 4: D0,5 11 1 1 1T T T Q T L LT D1 DT D1 D (8) 8 8 L 8L 3L Podstawiając wzór (8) do wzoru (7) uzyskuje się wyrażenie określające wartość międzyszczytową składowej zmiennej napięcia wyjściowego Δ, (9). D0,5 T T D1 D (9) 8CL 3CL 3CLf Można zauważyć w wzorze (9), że Δ maleje wtedy, gdy zwiększaja się pojemność kondensatora, indukcyjność dławika L lub gdy wzrasta częstotliwość przełączania tranzystora f. Maksymalna wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego występuje dla wypełnienia D = 0,5. Z treści zadania wynika, że wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego wynosi 0,01, czyli Δ = 0,01 5 V = 50 mv, można zatem wyznaczyć z (9) minimalną wartość pojemności dla które zapewniony zostanie warunek < 0,01. C 10V 10 500F 3 3 3 3 Lf 3 50 10 V 1,5 10 H 10 Hz 3 50 1,5H Hz (10)
Zadanie 8. Przekształtnik DC-DC obniżający napięcie typu BCK zasilany jest ze źródła napięcia stałego o wartości = 10 V i pracuje z częstotliwością przełączania f = 1kHz przy wypełnieniu D = 0,75. ndukcyjność dławika wynosi L = 3,75 mh, a pojemność kondensatora wyjściowego C = 100 F. Należy: a) Dobrać maksymalną wartość rezystancji R max tak, aby prąd dławika był na granicy ciągości, b) kreślić jaka będzie wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego Δ dla danego wypełnienia D = 0,75, a jaka dla D = 0,5. c) Narysować przebiegi napięć: u T, u D, u L, u i prądów: i T, i D, i L, i C, i dla prądu dławika na granicy ciągłości; d) mówić jak zmienią się warunki pracy przy tych samych parametrach elementów składowych, lecz przy zwiększonej dwukrotnie częstotliwości, f = f. Wnioski poprzeć odpowiednim rysunkiem. Należy przyjąć, że zawory energoelektroniczne są idealne. DAN: Napięcie zasilające = 10 V; Wypełnienie D = 0,75; ndukcyjność dławika L = 3,75 mh; Pojemność kondensatora C = 100 mh; częstotliwość przełączania tranzystora f = 1 khz; zwiększona częstotliwość przełączania tranzystora (podpunkt d)) f = khz; RZWĄZAN: Ad a) Na granicy ciągłości prądu dławika i L, prąd ten na początku i końcu okresu równy jest zero, i L (0) = i L (T) = 0 Rys. 1. Rys. 1. Przebieg prądu dławika na granicy jego ciągłości dla wypełnienia D = 0,75
W przekształtniku obniżającym napięcie pracującym na granicy ciągłości prądu dławika wartość średnia prądu odbiornika równa jest = ½ Δ L. Na podstawie wartości stałego prądu odbiornika oraz wartości średniej napięcia wyjściowego = D, można wyznaczyć wartość rezystancji maksymalnej R max przy, której prąd dławika będzie na granicy ciągłości. 3 1 T 10V10 s 31 10 3 L D1 D A 0,5A 3 L 3,7510 H 44 7,5 16 (1) D 10V 0,75 7,5V () R max 7,5V 30 (3) 0, 5A Ad b) Wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego Δ określa się ze wzoru (4), którego wyprowadzenie jest w rozwiązaniu do zadania (7). T D1 D (4) 8CL Dla wypełnienia D = 0,75, Δ równa się: 3 T 31 10 V 10 3 10V 3 0,05 V 3 3 8CL 44 81,10 F3,7510 H16 81,F3,75H16 Dla wypełnienia D = 0,5, Δ równa się: T 0,069 V 3CL Ad c) Przebiegi napięć i prądów dla wypełnienie D = 0,75 i prądu dławika na granicy ciągłości przedstawiono na rysunku.
Rys.. Przebiegi napięć i prądów przekształtnika typu BCK dla wypełnienia D = 0,75 przy prądzie dławika i L na granicy ciągłości Ad d) Gdy częstotliwość przełączania tranzystora f zostanie dwukrotnie zwiększona względem częstotliwości f wówczas dwukrotnie zmniejszy się wartość międzyszczytowa składowej zmiennej prądu dławika Δ L względem pierwotnej wartości międzyszczytowej Δ L. 1 L D1 D D1 D L Lf Lf (5)
Rys. 3. Przebieg prądu dławika i L w przkeształtniku obniżającym napięcie typu BCK przy częstotliwości f i częstotliwości f = f dla wypełnienia D = 0,75 Z uwagi na to, że prąd dławika i L nadal jest ciągły nie zmienia się napięcie wyjściowe, czyli napięcie na dławiku będzie miało te same wartości w obu schematach zastępczych, a przez to nie zmienią się stromości prądu dławika i L. Zwiększenie częstotliwości przełączania f powoduje przejście z pracy na granicy ciągłości w obszar pracy przy ciągłym prądzie dławika. Można to także przedstawić za pomocą charakterystyki zewnętrznej przekształtnika = f( ). Charakterystyka zewnętrzna przekształtnika typu BCK Przy założeniu, że wszystkie elementy składowe przekształtnika są idealne, napięcie wyjściowe przekształtnika nie zależy od prądu odbiornika, = D lub / = D. W przypadku, gdy prąd dławika jest nieciągły, wówczas / = f(d, ). Pomiędzy pracą nieciągłą, a pracą ciągłą znajduje się praca na granicy ciągłości prądu dławika, którą wyraża się za pomocą granicznego prądu odbiornika gr za pomocą wzoru (6). 1 T gr gr L D 1 D odnd 1 D D1 D L (6) T gdzie: odn, dla danych z niniejszego zadania przy f = 1 khz, odn = 1,33 A, zaś dla f = khz, L odn = 0,66 A. Charakterystyka granicy ciągłości jest funkcją kwadratową względem wypełnienia D i przedstawiono ją na rysunku 4. odn
gr odn 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0 D 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Rys. 4. Charakterystyka granicznego prądu odbiornika ogr, przy którym prąd dławika jest na granicy ciągłości Dla nieciągłego prądu dławika stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego / zależy od wartości średniej prądu wyjściowego i wypełnienia D tak jak pokazano to we wzorze (7), a szczegółowy sposób wyznaczenia tego wzoru przedstawiony jest w zadaniu 9. odn D D (7) gólną charakterystykę zewnętrzną dla ciągłych i nieciągłych prądów dławika przedstawiono na rysunku 5 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 nieciągły prąd dławika gr odn ciągły prąd dławika D = 0,75 D = 0,50 D = 0,5 odn 0 0,05 0,10 0,15 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5 Rys. 5. gólna charakterystyka zewnętrzna przekształtnika obniżającego napięcie typu BCK
Rys. 6. Charakterystyka zewnętrzna obrazująca zmianę częstotliwości przełączania w przekształtniku obniżającym napięcie typu BCK
Zadanie 9. Przekształtnik DC-DC obniżający napięcie typu BCK przyłączony do napięcia = 10 V zasila odbiornik rezystancyjny umożliwiając regulację mocy. dbiornik przy napięciu A = 80 V pobiera prąd o wartości średniej A = 4 A, a przekształtnik pracuje wtedy na granicy ciągłości prądu dławika (punkt A). ndukcyjność dławika wynosi L =,5 mh. kreśl, przy jakiej częstotliwości przełączania tranzystora f i wypełnieniu D A przekształtnik może pracować w tym punkcie pracy ( A = 80 V, A = 4 A). W zmienionym punkcie pracy B, zachowano tą samą częstotliwość f, lecz zmieniono wypełnienie D B w taki sposób, że moc wydzielana na odbiorniku wynosi P B = 150 W, a napięcie wyjściowe wzrasta do B = 100 V. kreśl ile wynosi nowe wypełnienie D B oraz rezystancje odbiornika w obu przypadkach, narysuj przebiegi prądów i T, i D, i L, i C, i oraz napięcia u T, u D, u L, u dla pracy w punkcie B. Zawory półprzewodnikowe przyjąć, że są idealne, a pojemność kondensatora C jest na tyle duża, że du C /dt 0. DAN: napięcie zasilające = 10 V; indukcyjność dławika L =,5 mh; napięcie wyjściowe przed zmianą wypełnienia A = 80 V; prąd wyjściowy przed zmianą wypełnienia A = 4 A; napięcie wyjściowe po zmianie wypełnienia B = 100 V; moc wydzielana na wyjściu po zmianie wypełnienia P B = 150 W; i T u T u L i L T u D i D D L C i C u i R R RZWĄZAN Przed zmianą wypełnienia D = D A przekształtnik pracuje na granicy ciągłości, a zatem obowiązują następujące wzory (1), (): 1 T L DA1 DA (1) L D 80V 10 V 3 A A 0,67 ()
Ze wzoru (1) podstawiając wartość wypełnienia D A uzyskuje się wartość częstotliwości przełączania (3) i rezystancję odbiornika (4). 1 10V 1 4 3 f DA1 DA 10 Hz 1,33 khz 3 T L,510 H4A 33 3 A (3) R A 80 V 0 A (4) A 4A Po zmianie warunków (punkt pracy B) można wyznaczyć w prosty sposób wartości średnią prądu odbiornika oraz jego rezystancję R P 150 W 1, 5 A B B (5) B 100 V P 150 W 66,6 (6) B B B, 5A Aby sprawdzić, czy po zmianie wypełnienia prąd będzie ciągły lub nieciągły oblicza się wypełnienie D zakładając, że przekształtnik pracuje na granicy ciągłości, dla obliczonego wypełnienia oblicza się wartość graniczną prądu odbiornika gr i sprawdza się z rzeczywistą wartością prądu B. B 100 V D 0,83 (7) 10 V 51 15 gr odnd1 D 18A A,5A (8) 66 6 1 3 10 V 10 T 1333Hz 4 gdzie: odn 3 A 18A L,510 H 5 stąd widać, że prąd B < gr, a zatem przekształtnik pracuje przy nieciągłym prądzie dławika. Analizę działania przekształtnika przy nieciągłym prądzie dławika rozpoczyna się od przedstawienia przebiegów prądu i napięcia dławika i L i u L dla prądu dławika na granicy ciągłości oraz dla nieciągłego prądu dławika Rys. 1. Dla ogólności przyjęto, że wypełnienie D w obu przypadkach wynosi D = 0,67. W stanie ustalonym w każdym obwodzie elektrycznym obowiązuje reguła, z której wynika, że wartość średnia napięcia dławika jest równa zero, LAV = 0 (inaczej pola, pod przebiegami napięcia dławika powinny być sobie równe), czyli dla przypadku gdy prąd dławika jest ciągły lub na granicy ciągłości można zapisać: DT 1 D T 0 D D D 0 D (9)
a) b) i L Prąd i L nieciągły D = 0,67 DT T D 1 T Lmax LAV = t u L - t = - Rys. 1. Przebiegi prądu i napięcia dławika i L i u L gdy a) prądu dławika jest na granicy ciągłości i b) prąd dławika jest nieciągły wypełnienie w obu przypadkach wynosi D = 0,67 Co jest zgodne z wcześniejszymi wynikami. Dla prądu nieciągłego obowiązuje następująca zależność: DT D T 0 1 D D D 0 1 D lub D D D D 1 1 (10) Ze wzoru (10) wynika, że dla ciągłego prądu (D+D 1 ) = 1, a zatem = D. statnie równanie we wzorze (10) składa się z dwóch niewiadomych i D 1 i w celu jego obliczenia potrzebne jest dodatkowe równanie
określające wartość średnią prądu odbiornika, które wyraża się poprzez wartość średnią prądu dławika LAV. Korzystając z rysunku 1 można zapisać wzór na wartość średnią prądu odbiornika za pomocą wzoru (11). gdzie: 11 1 LmaxD D1T LmaxD D1 (11) T Lmax L DT (1) Zatem średni prąd odbiornika po podstawieniu wzoru (1) do (11) równy jest: 1 DT D D1 T 1 D D D1 odn 1 DD D1 L L (13) Podstawiając do wzoru (13) wyrażenie D 1 ze wzoru (10) otrzymuje się wzór (14). 1 1 1 1 1 D D odn 1 1 D 1 1 D (14) Zatem wypełnienie D B wynosi: D B B 100 V 10 1, 5 A 10 V 1 1 10 0, 645 B odn B 18A 100V 1 4 1 1 10V 1 (15) Czas, w którym przewodzi dioda określa się za pomocą wypełnienia D 1 : B 10V D1 DB B 100V 0, 645 0,19 (16) 100 V
Przebiegi napięć i prądów wszystkich elementów składowych przekształtnika obniżającego napięcie typu BCK zostały przedstawione na rysunku. Rys.. Przebiegi napięć i prądów przekształtnika typu BCK dla wypełnienia D B = 0,645, D 1 = 0,19 przy nieciągłym prądzie dławika i L Punkt pracy po zmianie wypełnienia można przedstawić na charakterystyce zewnętrznej Rys. 3. Po przekształceniu wzoru (14) uzyskuje się wzór na charakterystykę zewnętrzną dla nieciągłych prądów dławika (17).
1 D D odn D odn (17), V 10 gr B 96 A 7 B A D = 0,75 D = 0,50 D A = 0,667 D B = 0,645 48 4 D = 0,5 0 B 1,8 3,60 A 5,40 7,0 9,0, A Rys. 5. Charakterystyka zewnętrzna przekształtnika obniżającego napięcie typu BCK obrazująca zamianę warunków pracy z punktu A do punktu B