Systemy liczbowe Systemy liczbowe addytywne (niepozycyjne) pozycyjne Konwersja konwersja na system dziesię tny (algorytm Hornera) konwersja z systemu dziesię tnego konwersje: dwójkowo-ósemkowa, ósemkowa, ósemkowo-dwójkowa Plan zajęć dwójkowo-szesnastkowa szesnastkowo-dwójkowa 2 Izabela Szczę ch 1
Systemy liczbowe System liczbowy System liczbowy to zbiór regułdo jednolitego zapisywania i nazywania liczb. Do zapisywania liczb uż ywa się pewnego skoń czonego zbioru znaków, zwanych cyframi (np. arabskimi, rzymskimi), które moż na zestawiać ze sobą na róż ne sposoby otrzymują c nieskoń czoną liczbę kombinacji. 4 Izabela Szczę ch 2
System liczbowy Najbardziej prymitywnym systemem liczbowym jest jedynkowy system liczbowy, w którym wystę puje tylko jeden znak (np. 1 albo pionowa kreska). W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie tego znaku. Przykładowo, 3 w tym systemie jest zapisywana jako 111, a pię ć 11111. Ogólnie, wśród systemów liczbowych moż na wyróż nić : systemy addytywne (niepozycyjne) systemy pozycyjne Zadanie domowe: określić czy system jedynkowy jest systemem addytywnym czy pozycyjnym. 5 Systemy addytywne Systemy addytywne (zwane też niepozycyjnymi) to systemy liczbowe, w których wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków (cyfr). Przykład - rzymski system liczbowy Jeśli "X"=10,"V"=5,"I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16 Aby wyznaczyć wartość dziesię tną liczby zapisanej w systemie rzymskim należ y odejmować wartości znaków stoją cych przed znakami wię kszymi, a dodawać wartości znaków stoją cych za znakami wię kszymi lub równymi co do wartości. 6 Izabela Szczę ch 3
Systemy pozycyjne Pozycyjnym systemem liczbowym nazywamy parę (P; C), gdzie P jest liczbą naturalną zwaną podstawą systemu, a C jest skoń czonym zbiorem znaków {0, 1,, P-1} zwanych cyframi. W systemie pozycyjnym liczbę przedstawia się jako cią g cyfr, przy czym wartość tej liczby zależ y zarówno od cyfr jak i miejsca, na którym się one znajdują w tym cią gu. Jeśli P=10, to otrzymujemy dziesię tny system liczbowy, w którym wystę pują cyfry ze zbioru {0,,9}, dla P = 2 dwójkowy (binarny) z cyframi ze zbioru {0, 1}, dla P=8 ósemkowy (oktalny) z cyframi ze zbioru {0,,7}, itd. 7 Systemy pozycyjne Liczba całkowita L zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie P w postaci cią gu cyfr ma wartość liczbową c n-1 c 1 c 0 (P) w = c n-1 P n-1 + c n-2 P n-2 + + c 1 P 1 + c 0 gdzie c n-1,,c 1, c 0 Œ C, oraz P jest podstawą systemu. Przykład Liczba 5004 w dziesię tnym systemie liczbowym: 5 x 10 3 + 0 x 10 2 + 0 x 10 1 + 4 x 10 0 = 5 x 1000 + 4 x 1 8 Izabela Szczę ch 4
System dziesię tny (decymalny, arabski ) Podstawę systemu dziesię tnego stanowi liczba 10. Zapis liczby tworzymy za pomocą cyfr o przypisanych wartościach od 0 do 9. Przykład 126 (10) = 1x10 2 + 2x10 1 + 6x10 0 9 System dwójkowy (binarny) Podstawę systemu binarnego stanowi liczba 2. Zapis liczby tworzymy za pomocą cyfr o przypisanych wartościach 0 i 1. Przykład 1010 (2) = 1x2 3 + 0x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 = 8 + 2 = 10 (10) 10 Izabela Szczę ch 5
cyfra 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 wartość dziesię tna System szesnastkowy (hexadecymalny) Podstawę systemu szesnastkowego stanowi liczba 16. Zapis liczby tworzymy za pomocą cyfr o przypisanych wartościach od 0 do 9 oraz kolejnych liter alfabetu łaciń skiego A F o przypisanych wartościach od 10 do 15. Przykład A1F (16) = Ax16 2 + 1x16 1 + Fx16 0 = 10x256 + 1x16 + 15x1 = 2591 (10) F 15 11 Po co jest system szesnastkowy? Jedna cyfra kodu szesnastkowego odpowiada dokładnie czterocyfrowej liczbie systemu dwójkowego. Ponieważ bajt informacji składa się z 8 bitów, zatem każ dy bajt danych daje się w sposób jednoznaczny przedstawić za pomocą dwu cyfr kodu szesnastkowego, co upraszcza kwestię konwersji System szesnastkowy jest wygodny przy zapisie duż ych liczb jak np. adresy pamię ci Adresy IP np. w wersji 6 są podawane szesnastkowo 12 Izabela Szczę ch 6
Zadania Z definicji wyznacz dziesię tną wartość poniż szych liczb: 421 (7) =??? (10) 2102 (3) =??? (10) AGF63B (17) =??? (10) 13 Konwersja na system dziesię tny Izabela Szczę ch 7
Konwersja na system dziesię tny Algorytm Hornera obliczania wartości dziesię tnej liczby całkowitej zapisanej w innym systemie pozycyjnym n - liczba cyfr w zapisie pozycyjnym konwertowanej liczby P - podstawa systemu pozycyjnego konwertowanej liczby c i - cyfra konwertowanej liczby stoją ca na i-tej pozycji Pozycja o numerze 0 to pierwsza pozycja od strony prawej. w - obliczana dziesię tna wartość konwertowanej liczby 1. w 0 2. i n - 1 3. w c i + w * P 4. jeśli i = 0, to koniec, w zawiera wartość liczby 5. i i - 1 6. wróć do punktu 3 15 Konwersja na system dziesię tny Przykład: Obliczyć przy pomocy algorytmu Hornera dziesię tną wartość liczby 742031 (8) zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie P=8. w 0 w 7 + 0 * 8 = 7 w 4 + 7 * 8 = 60 w 2 + 60 * 8 = 482 w 0 + 482 * 8 = 3856 w 3 + 3856 * 8 = 30851 w 1 + 30851 * 8 = 246809 koń czymy, ponieważ osią gnę liśmy ostatnią cyfrę konwertowanej liczby 16 Izabela Szczę ch 8
Konwersja na system dziesię tny Zadanie: Obliczyć przy pomocy algorytmu Hornera wartość dziesię tną liczby 2210112 (3) zapisanej w systemie pozycyjnym o podstawie P=3. 17 Konwersja z systemu dziesię tnego Izabela Szczę ch 9
Konwersja z systemu dziesię tnego Sformułowanie problemu: znalezienie kolejnych cyfr zapisu liczby dziesię tnej L w dowolnym systemie docelowym o podstawie P. Zgodnie z definicją wartość liczby dziesię tnej L wynosi: L = c n-1 P n-1 + c n-2 P n-2 +... + c 2 P 2 + c 1 P + c 0 Przykładowo, konwersja liczby L= 6 (10) z systemu dziesię tnego na dwójkowy polega na znalezieniu kolejnych cyfr c i czyli cyfr 110 (2) 6 (10) = 1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 =110 (2) 19 Konwersja z systemu dziesię tnego Do wydobycia poszczególnych cyfr c i, i = 0, 1, 2,..., n-1, są nam potrzebne dwa działania: div - dzielenie całkowitoliczbowe - określa ile całkowitą ilość razy dzielnik mieści się w dzielnej, np.: 9 div 4 = 2, gdyż 4 mieści się w 9 dwa razy mod - reszta z dzielenia całkowitoliczbowego, np: 9 mod 4 = 1, gdyż 4 mieści się w 9 dwa razy, co daje 8 i pozostawia resztę 1 20 Izabela Szczę ch 10
12786 (10) = 402121 (5) 22 Konwersja z systemu dziesię tnego Algorytm konwersji liczby z systemu dziesię tnego na system o podstawie P: w - wartość liczby w systemie dziesię tnym P - podstawa docelowego systemu pozycyjnego c i - cyfra na i-tej pozycji w systemie pozycyjnym o podstawie p 1. i 0 2. c i w mod P 3. w wynik dzielenia całkowitego w div P 4. jeśli w = 0, to koń czymy, wszystkie cyfry znalezione 5. i i + 1 6. wróć do punktu 2. 21 Konwersja z systemu dziesię tnego Przykład: Przeliczyć wartość 12786 (10) na system pią tkowy. w 12786 / 5 = 2557 i reszta 1 w 2557 / 5 = 511 i reszta 2 w 511 / 5 = 102 i reszta 1 w 102 / 5 = 20 i reszta 2 w 20 / 5 = 4 i reszta 0 w 4 / 5 = 0 i reszta 4 (koniec obliczeń, ponieważ otrzymaliśmy wartość 0) Izabela Szczę ch 11
Konwersja z systemu dziesię tnego Zadania: Przedstawić w systemie dwójkowym liczbę 865 (10). Przedstawić w systemie trójkowym liczbę 3257 (10). Przedstawić w systemie czwórkowym liczbę 2743 (10). 23 Konwersje 2-8, 8-2, 2-16, 16-2 Izabela Szczę ch 12
Konwersja dwójkowo-ósemkowa ósemkowa cyfra wartoś ć binarna 0 000 (2) 1 001 001 (2) 010 (2) 011 (2) 100 (2) 101 (2) 110 (2) 111 (2) 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 110101111011010101011101 (2) 110 101 111 011 010 101 011 101 (2) 110 101 111 011 010 101 011 101 6 5 7 3 2 5 3 5 110101111011010101011101 (2) = 65732535 (8) 25 Konwersja ósemkowo-dwójkowa cyfra wartoś ć binarna 0 000 (2) 1 001 001 (2) 010 (2) 011 (2) 100 (2) 101 (2) 110 (2) 111 (2) 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 7 5 2 4 0 1 111 101 010 100 000 001 752401 (8) = 111101010100000001 (2) 26 Izabela Szczę ch 13
cyfra wartoś ć binarna 0 0000 (2) 1 0001 01 (2) 010 (2) 011 (2) 100 (2) 101 (2) 110 (2) 111 (2) 000 (2) 001 (2) 010 (2) 011 (2) 00 (2) 101 (2) 110 (2) 111 (2) 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 110 E 1110 F 111 Konwersja dwójkowo- szesnastkowa 110101111011010101011101 (2) 1101 0111 1011 0101 0101 1101 (2) D 7 B 5 5 D 110101111011010101011101 (2) = D7B55D (16) 27 cyfra wartoś ć binarna 0 0000 (2) 1 0001 01 (2) 010 (2) 011 (2) 100 (2) 101 (2) 110 (2) 111 (2) 000 (2) 001 (2) 010 (2) 011 (2) 00 (2) 101 (2) 110 (2) 111 (2) 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 110 E 1110 F 111 Konwersja szesnastkowo- dwójkowa D 7 B 5 5 D 1101 0111 1011 0101 0101 1101 D7B55D (16) =110101111011010101011101 (2) 28 Izabela Szczę ch 14