Laboratorium Podstaw Metrologii BADANIE DYNAMICZNYCH WŁAŚCIWOŚCI PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest: przybliżenie zagadnień dotyczących pomiarów wielkości zmiennych w czasie, poznanie sposobów opisu właściwości dynamicznych narzędzia pomiarowego, najczęściej stosowanych modeli dynamicznych oraz metod określania parametrów tych modeli.. WPROWADZENIE.. Pomiary statyczne a pomiary dynamiczne W praktyce przemysłowej i laboratoryjnej większość wielkości mierzonych stanowią wielkości zmienne w czasie. Zmienność ta stanowi kryterium podziału pomiarów na pomiary statyczne i pomiary dynamiczne. W przypadku pomiarów statycznych niw występuje zmiana wielkości mierzonej w czasie pomiaru lub też występuje zmienność wielkości mierzonej, ale nie wpływa to na wynik pomiaru. Pomiar dynamiczny jest dokonywany wówczas, gdy celem pomiarów jest ilościowe zobrazowanie czasowej zmienności wielkości mierzonej. Wynikiem pomiaru dynamicznego jest odwzorowanie przebiegu czasowego wielkości mierzonej. Wynik ten może mieć postać wykresu wielkości mierzonej w funkcji czasu, sporządzonego bezpośrednio przez tzw. rejestrator analogowy lub też ciągu par liczb {[ t, x(t)] i }, gdzie i oznacza numer chwili czasowej, t jest czasem, a x(t) jest wartością chwilową wielkości mierzonej. Pary liczb zapisane są na odpowiednim nośniku, np. w pamięci komputera, tabeli pomiarowej. Analizując przydatność przetwornika pomiarowego do pomiarów dynamicznych, należy rozpatrywać jego specyficzne właściwości z tym związane, tzw. właściwości dynamiczne. Również przy pomiarach statycznych nie zawsze można zaniedbać uwzględnienia właściwości dynamicznych przetwornika, ponieważ niejednokrotnie ustalanie wielkości wyjściowej jest często procesem dynamicznym, np. ustalanie się wskazań termometru rtęciowego po zanurze niu go w ośrodku, którego temperaturę chcemy zmierzyć lub wychylenie wskazówki woltomierza po podłączeniu napięcia mierzonego. Zjawiska dynamiczne zachodzące w przetwornikach pomiarowych są przyczyną dodatkowych błędów, tzw. błędów dynamicznych... Model dynamiczny przetwornika pomiarowego W każdym realnym układzie istnieją elementy magazynujące energię ( cewki, kondensatory, masy, sprężyny itp.) lub też elementy wnoszące opóźnienia w procesie przetwarzania sygnałów i danych pomiarowych np. czas realizacji obliczeń. Równanie opisujące związek wielkości wejściowej x(t) i wyjściowej y(t), czyli opisujące dynamikę przetwornika pomiarowego, musi te zjawiska uwzględniać. Można tego dokonać posługując się równaniem różniczkowym o ogólnej postaci: y(t) = f(x, x', x'',..., y', y'',..., t) () - -
ćwiczenie nr 9 Równanie to może być wyprowadzane przez wykorzystanie modeli matematycznych opisujących zjawiska fizyczne (przemiany energii) wykorzystywane w przetworniku. W praktyce często stosuje się dwa sposoby analitycznego opisu właściwości dynamicznych przetworników: ) w dziedzinie czasowej - za pomocą uproszczonych równań różniczkowych liniowych wiążących sygnały wejściowe i wyjściowe, ) w dziedzinie częstotliwościowej - za pomocą tzw. transmitancji widmowej. Odpowiednio do powyższych sposobów opisu istnieją metody eksperymentalnego wyznaczania postaci i parametrów modeli dynamicznych oraz ich poglądowego przedstawiania za pomocą charakterystyk czasowych lub częstotliwościowych. Ad. Równanie różniczkowe opisujące przetwornik pomi arowy liniowy i stacjonarny w dziedzinie czasu, przy dowolnej zmienności sygnału wejściowego, ma postać ogólną: m a d i yt n j xt i i i ji i dt j dt b d () Współczynniki a i, b j mają stałe wartości i zależą jedynie od parametrów elementów w układzie przetwornika (pojemności, rezystancji, indukcyjności, masy, sprężystości itp). Rząd mn równania jest nazywany rzędem przetwornika. Stosowane w układach pomiarowych przetworniki są zwykle, lub rzędu, co oznacza, ze równanie odpowiedniego rzędu uznaje się za wystarczająco wierny model dynamiczny przetwornika. Ad. Jeżeli sygnał wejściowy i sygnał wyjściowy są sygnałami harmoni cznymi (tzn. sinusoidalnie zmiennymi: x(t) = A X sin(t+ X ) i y(t) = A Y sin(t+ Y ); f) i przedstawione są w postaci symbolicznej, to zależność ich st osunku od pulsacji nazywa się transmitancją widmową: K j Y j j K e (3) X j Transmitancja widmowa jest zespoloną funkcją pulsacji, której moduł K() jest równy stosunkowi amplitud sygnału wyjściowego i wejściowego. Argument () określa przesunięcie fazowe między tymi sygnałami wnoszone przez przetwornik. AY K ; Y X (4) A variab. X variab. Wykres zależności modułu K() od pulsacji tworzy tzw. charakterystykę amplitudowoczęstotliwościową, Wykres zależności argumentu od pulsacji tworzy tzw. charakterystykę fazowo-częstotliwościową..3. Podstawowe modele dynamiczne przetworników pomiarowych Przetwornik zerowego rzędu (tzw. proporcjonalny) Postać równań opisujących taki przetwornik jest następująca: - w dziedzinie czasowej: y(t) = k x(t) (5) - -
Laboratorium Podstaw Metrologii - w dziedzinie częstotliwościowej (transmitancja): K(j) = k (6) gdzie k=const jest nazywane współczynnikiem wzmocnienia. Przetwornik taki nie wprowadza błędów dynamicznych - jest "idealnym" przetwornikiem do pomiarów dynamicznych, a jeżeli k=, to również nie wprowadza błędów statycznych. Wówczas mamy y(t) = x(t), czyli wielkość wyjściowa (wartość wskazywana) jest równa wielkości wejściowej (wartości mierzonej) w każdej chwili czasu. W praktyce realizacja takiego przetwornika jest niemożliwa, a opis przetworników rzeczywistych za pomocą tego modelu jest stosowany w ograniczonym zakresie. Takie przetworniki, jak dzielniki rezystancyjne, tensometry można na ogół z dobrym przybliżeniem traktować jako przetworniki zerowego rzędu, w praktycznie użytecznym przedziale szybkoś ci (częstotliwości) zmian wielkości wejściowych. Przetwornik pierwszego rzędu (inercja pierwszego rzędu) Postać równania różniczkowego: a y'(t) + a y(t) = b x(t) lub Ty'(t) + y(t) = k x(t) (7) Transmitancja widmowa ma postać: K j Y j k j k jarctgt Kj e e (8) X j jt T Współczynniki modelu to: k - wzmocnienie statyczne i T - stała czasowa. Odpowiedź skokowa takiego przetwornika ma postać: t A ( t ) t ht x Przebieg czasowy odpowiedzi skokowej pokazano na rys.. t ozn y ka e T (9) k A h(t) styczna wartość ustalona styczna T t [s] Rys.. Odpowiedź skokowa przetwornika pierwszego rzędu Charakterystyki częstotliwościowe sporządzone w skali logarytmicznej (tzw. charakterystyki Bodego) pokazane są na rys.. Zastosowano oznaczenia: k M ( ) db log i ( ) arctan T () T - 3 -
ćwiczenie nr 9 M( ) [db] log( k ) -3 db styczna o nachyleniu: - db/dek [ ] - db -45 p, [-] -9, [-] Rys.. Charakterystyki Bodego dl a przetwornika pierwszego rzędu: amplitudowo-częstotliwościowa (a) i fazowo-częstotliwościowa (b) Modelem inercyjnym pierwszego rzędu opisuje się najczęściej p rzetworniki mające zdolność gromadzenia energii. Przykładem może być przetwornik temperatury (rezystancyjny, termoelektryczny), który rozgrzewa się - akumuluje ciepło pobrane z obiektu, którego temperaturę mierzy. Przetwornik drugiego rzędu Postać równania różniczkowego: gdzie dt t t d y a dy a a yt b xt () dt k = b /a jest współczynnikiem wzmocnienia statycznego (w stanie ustalonym), jest pulsacją drgań nietłumionych a / a a, jest współczynnikiem (stopniem) tłumienia a a Przebieg odpowiedzi skokowej zależy od wartości współczynnika tłumieni a, tak jak to opisują zależności: e t dla <: yt sin t gdzie i arcsin w w =/T w pulsacja drgań własnych (tłumionych), T w okres drgań własnych t dla =: yt te / T dla >: t / T y t T e T e t T T T oraz T w, przy czym zachodzą związki: Dla << odpowiedź skokowa ma charakter oscylacyjny (periodyczny), przy czym dla > oscylacje te zanikają, a dla = nie zanikają. Dla > odpowiedź ma charakter inercyjny (aperiodyczny), a stosowane wówczas współczynniki T i T nazywane są stałymi czasowymi. Przebiegi odpowiedzi skokowych przy różnych wartościach współczynnika tłumienia pokazano na rysunku 3. - 4 -
Laboratorium Podstaw Metrologii a) h(t) hust,5 =,5 =, =,5 przetwornik oscyjacyjny b) h(t) h ust,5 > >,5 t [s] [s] Rys. 3. Odpowiedzi skokowe przetwornika -go rzędu oscylacyjnego (a) i inercyjnego (b). Transmitancja widmowa określona jest zależnością: k k K j () j j j co w przypadku przetwornika inercyjnego można również zapisać jako: K j jt T j k (3) Charakterystyki częstotliwościowe amplitudową i fazową pokazano na rysunku 4. M( ) [db] =,5 [ ] =,5 log( k) = = =, =,5-45 -9 = = =,5 =, -4 db -35. [-] -8. [-] Rys. 4. Charakterystyki częstotliwościowe przetwornika -go rzędu - 5 -
3. WYZNACZANIE WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH ćwiczenie nr 9 Stosowane są następujące metody wyznaczania dynamicznych właściwości przetworników: a) na podstawie przebiegu czasowego odpowiedzi na określony sygnał wejściowy najczęściej skok jednostkowy (metoda odpowiedzi skokowej), b) na podstawie charakterystyk częstotliwościowych (metoda częstotliwościowa). 3.. Metoda odpowiedzi skokowej Metoda ta może być z powodzeniem stosowana dla przetworników wielkości nieelektrycznych, ponieważ realizacja skokowej zmiany wielu wielkości fizycznych jest stosunkowo łatwa. Pomiary polegają na zarejestrowaniu przebiegu przejściowego odpowiedzi przetwornika na skok jednostkowy. Układ po miarowy musi zawierać rejestrator wielkości wyjściowej. W przypadku przetworników o dużych stałych czasowych ( co najmniej klika minut) możliwe jest nawet odczytywanie i ręczne notowanie wskazań miernika wielkości wyjściowej (np. min. co 5 s). Rejestrację należy przeprowadzić w odpowiednio długim przedziale czasu, tak aby wielkość wyjściowa osiągnęła wartości bliskie wartości ustalonej. Wzmocnienie statyczne przetwornika określa się na podstawie wartości wielkości wyjściowej w stanie ustalonym: k=h ust /A (patrz rys. i 3). Zachodzi konieczność wstępnego rozpoznania typu modelu dynamicznego badanego przetwornika dokonuje się tego na podstawie podobieństwa uzyskanej odpowiedzi skokowej do przebiegów z rys. lub 3. W przypadku przetworników inercyjnych pier wszego lub drugiego rzędu stałe czasowe wyznacza się na podstawie odpowiedzi skokowej wykreślonej w półlogarytmicznym układzie współrzędnych, uzyskanym przez przekształcenie opisane zależnością: Przykładowe wykresy pokazano na ry sunku 5. t h zt ln (4) hust Uzyskane wykresy aproksymuje się linią prostą z(t)=at+b. Można tego dokonać graficznie lub metodą regresji liniowej, przy czym dla inercji drugiego rzędu należy wybrać punkty w obszarze zbliżonym do prostoliniowego (tt max ). Niedokładności pomiarów powodują, że w praktyce uzyskane wykresy odbiegają od linii prostej (są postrzępione ), szczególnie w obszarze dla dużych wartości czasu. W takiej sytuacji do wyznaczenia parametrów prostej aproksymującej należy odrzucić punkty końcowe, znacznie odbiegające od prostej. Stałe czasowe wyznacza się na podstawie parametrów prostej według zależności: dla inercji pierwszego rzędu: T (5) a dla inercji drugiego rzędu: T e ; T T. (6) b a e b - 6 -
h 3 h 4 Laboratorium Podstaw Metrologii z( t) a) z( t) b) b z ( t ) = at+b - punkty pomiarowe z ( t ) = at+b - - 5 t [s] 5 Rys. 5. Wykresy funkcji z(t) dla obiektów inercyjnych -go rzędu (a) i -go rzędu (b). Dla przetwornika drugiego rzędu o odpowiedzi oscylacyjnej, słabo tłumionego (<<), wykorzystuje się bezpośrednio wykres odpowiedzi skokowej (rys. 6), a parametry wyznacza się z zależności: ln ln, 4 T w gdzie hi i t [s] (7) h W przypadku gdy,5<< oscylacje szybko zanikają i odczyt kolejnych amplitud h i jest utrudniony. Współczynnik tłumienia można wówczas wyliczyć z zależności: h ( t )/k [-] (8) h / h lnh / 4ln ust ust h.5 h h T w e t.5 h ust Rys. 6. Wykres odpowiedzi skokowej obiektu oscylacyjnego. t [s] - 7 -
3.. Metoda częstotliwościowa ćwiczenie nr 9 Pomiary przeprowadza się wprowadzając na wejście przetwornika wielkości sinusoidalnie zmienne o różnych pulsacjach. Schemat najprostszego układu pomiarowego przedstawiono na rys. 7. Metoda ta jest szczególnie dogodna w przypadku przetworników, dla których wielkość wejściowa jest elektryczna. W przypadku innych wielkości (siła, temperatura itp.) real izacja sinusoidalnych zmian wielkości wejściowych jest na ogół trudna. Generator A = const = variab Badany ~ V x We Wy V y przetwornik Oscyloskop Ch Ch Rys. 7. Schemat układu do pomiaru charakterystyk częstotliwościowych Charakterystyka częstotliwosciowo-amplitudowa określana jest na podstawie wskazań woltomierzy: K(j) =U wy /U we, a charakterystyka częstotliwosciowo -fazowa na podstawie wartości odczytanych z oscyloskopu. Wyznaczanie parametrów dynamicznych na podstawie charakterystyk częstotliwościowych wymaga wstępnego określenia jakiemu modelowi (zwykle lub rzędu) odpowiadają te charakterystyki. W przypadku przetworników rzędu należy wyznaczyć jeden parametr dynamiczny - stałą czasową T. Można tego dokonać metodą graficzną: należy wykreślić charakterystykę amplitudowa w układzie współrzędnych logarytmicznyc h (charakterystyka Bodego) - rys. a. W takim układzie asymptoty charakterystyki mają nachylenie db/dekadę w zakresie małych wartości pulsacji i - db/dekadę w zakresie dużych wartości pulsacji. Określenie dekada oznacza dziesięciokrotny przyrost czę stotliwości. Asymptoty te przecinają się w punkcie o współrzędnych ( p =/T, K(j p ) =k). Stałą czasową wyznacza się jako T=/ p. Dla przetworników rzędu możliwe są dwie sytuacje. Jeżeli przetwornik jest słabo tłumiony (<<), to charakterystykę amplitu dowo-częstotliwościową wykreśla się w liniowym układzie współrzędnych (rys. 8), a parametry modelu wylicza przez rozwiązanie zależności: j k K, K m k, r (9) względem i, dla k, K m i r odczytanych z wykresu Uwaga: r jest tzw. pulsacją rezonansową, różną od pulsacji drgań własnych w. - 8 -
Laboratorium Podstaw Metrologii K( j),5k k,5k k K m,5k / r,,4,6,8,,4,6,8, / Rys. 8. Charakterystyka częstotliwościowa dla przykładowego przetwornika oscylacyjnego o wzmocnieniu k i współczynniku tłumienia =, w liniowym układzie współrzędnych W przypadku silnego tłumienia (>) wykres sporządza się w układzie logarytmicznym (Bodego), a stale czasowe T i T wyznacza się graficznie w sposób pokazany na rys. 9. Dokładność tej metody maleje, gdy stałe czasowe mają zbli żone wartości. [db] M( ) -3 db prosta: - db/dek - -4 astmptota: -4 db/dek -6-8.. / T / T [rad/s] Rys. 9. Charakterystyka amplitudowo -częstotliwościowa Bodego dla obiektu inercyjnego -go rzędu o stałych czasowych T =5, T =, i k=. - 9 -
ćwiczenie nr 9 4. PROGRAM ĆWICZENIA 4.. Pomiary dynamiczne - obserwacja zniekształceń wprowadzanych przez przetworniki W układzie pomiarowym jak na rys. badane są modele elektryczne przetworników. Do wejścia przetwornika należy doprowadzić sygnały mierzone z generatora funkcyjnego o różnych kształtach (prostokątnym i innych) i częstotliwościach w pr zedziale 5.. khz. Celem pomiarów jest odwzorowanie czasowej zmienności sygnałów wejściowych (mierzonych). Za pomocą oscyloskopu należy zarejestrować (i zapisać w postaci pliku) przebiegi sygnałów wejściowych i wyjściowych, pamiętając o odpowiednim dopa sowaniu podstawy czasu do częstotliwości sygnałów, tak, aby widoczne były najwyżej okresy sygnałów. Opracowując wyniki należy zauważyć zniekształcenia (błędy pomiarowe) wprowadzane przez przetworniki w pomiarach wielkości zmiennych w czasie - w tym celu należy wykreślić przebiegi sygnałów. W celu ilościowego wyrażenia błędów w pomiarach dynamicznych należy obliczyć wartości (przebiegi) błędów według zależności: t y t yt d i m i i () gdzie y m (t i ) oznacza wynik pomiaru dynamicznego na wyjściu prze twornika, a y(t i ) rzeczywisty przebieg wielkości mierzonej w kolejnych chwilach czasu t i wyznaczonych przez próbkowanie przebiegów dokonywane przez oscyloskop. Należy również wykreślić przebiegi tych błędów. 4.. Wyznaczanie modeli dynamicznych - metoda odpowiedzi skokowej Układ pomiarowy przedstawiono na rysunku. Generator przebieg prostokątny ~ We Badany Wy przetwornik Oscyloskop Ch Ch Przebieg pomiarów: Rys.. Schemat układu do wyznaczania odpowiedzi skokowych wybrać przebieg prostokątny jako sygnał wyjściowy z generatora funkcyjnego, nastawić częstotliwość tego przebiegu (< khz) i podstawę czasu oscyloskopu (ok. >, ms/dz) tak, aby na ekranie widoczne było tylko jedno narasta jące zbocze sygnału wejściowego, dla poszczególnych przetworników zarejestrować przebiegi odpowiedzi skokowych (zapis danych do pliku) lub przy pomocy kursorów odczytać wartości chwilowe odpowiedzi w - -
Laboratorium Podstaw Metrologii minimum kilkunastu punktach tak, aby wiernie odwzorować charakterystyczne cechy przebiegu, w przypadku przetwornika oscylacyjnego pomiary powtórzyć dla różnych wartości współczynnika tłumienia. Opracowanie wyników pomiaru: wykorzystując zależności (5) do (9) wyznaczyć parametry dynamiczne przetworników: wzmocnienie i stałe czasowe lub stopień tłumienia oraz pulsację drgań własnych nietłumionych. przeanalizować czynniki decydujące o niepewności uzyskanych parametrów przetwornika. 4.3. Metoda częstotliwościowa Badane są modele przetworników pierwszego i drugiego rzędu. Układ pomia rowy jest pokazany na rysunku 7. Generator powinien generować przebieg sinusoidalny bez składowej stałej o amplitudzie rzędu kilku woltów. Przebieg pomiarów: dla badanych przetworników, zmieniając częstotliwość sygnału, wyznaczyć charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe (notując wskazania woltomierzy) i fazowoczęstotliwościowe. Przesunięcie fazowe wyznaczyć przy pomocy oscyloskopu. dla przetworników inercyjnych pomiary przeprowadzić w zakresie częstotliwości Hz do khz dla przetworników pierwszego rzędu oraz Hz do khz dla przetworników drugiego rzędu; częstotliwość zmieniać według skali logarytmicznej (,, 5, ), dla przetworników oscylacyjnych najpierw wyznaczyć częstotliwość rezonansową (f r = r /, a następnie przeprowadzić pomiary zmieniając częstotliwość według skali liniowej w zakresie (,5...,5) f r (minimum punktów z uwzględnieniem częstotliwości rezonansowej). Opracowanie wyników pomiaru: wykorzystując metody opisane w punkcie 3. wyznaczyć graficznie lub analitycznie parametry dynamiczne badanych przetworników przeanalizować czynniki decydujące o niepewności uzyskanych wyni ków. 5. PYTANIA KONTROLNE. Podaj przykłady zadań pomiarowych, w których należy wziąć pod uwagę właściwości dynamiczne przetworników pomiarowych.. Wyjaśnij, w jakich sytuacjach i jakie znaczenie ma dobór parametrów dynamicznych przetworników przy pomiarach statycznych. 3. Jakie warunki powinny spełniać przetworniki i rzędu aby błędy pomiarów dynamicznych były małe? 4. Czy parametry dynamiczne przetworników i rzędu zależą od postaci (kształtu, amplitudy, częstotliwości) sygnału wejściowego? 5. Podaj przykłady przetworników pomiarowych wielkości nieelektrycznych, które mają charakter dynamiczny. 6. Jakie zniekształcenia przebiegu prostokątnego wprowadzają przetworniki rzędu? - -
ćwiczenie nr 9 7. Jakie zniekształcenia przebiegu prostokątnego wprowadzają przetworniki rzędu przy różnych stopniach tłumienia? 8. Po jakim czasie od zanurzenia termometru w ośrodku można odczytać temperaturę tego ośrodka? Jaki jest błąd takiego pomiaru? 9. Czy możliwa jest poprawa właściwości dynamicznych toru pomiarowego z przetwornikiem () rzędu? Na czym m ogłaby ona polegać? Opracował: dr inż. Henryk Urzędniczok v.5 / 7 XII 8 - -