Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld RóŜne dze up up wetw W - zó wetów z ddwnem dzłnem upwym spełn wszyste złŝen ztem est upą. Nzyw sę ą upą wetwą. Gup t est nesńzn (e ząd est nesńzny) mŝe yć ął lu dysetn. Dysetn up wetw est pdupą ąłe upy wetwe. up euldesw E zó zmetyznyh (tzn. zhwuąyh dlełść) pzesztłeń pzestzen euldeswe spełnąyh wun upwe up tnsl T up petów pzesunę zmfzn z upą wetwą (z ddwnem wetwym dzłnem upwym. Gup tnsl mŝe yć dysetn - eśl stnee ddtn lz d t Ŝe Ŝdy wet (z wyątem wet zewe) m dłuść węszą d d lu ówną d. Gup wszysth mŝlwyh tnsl est ął. Gup tnsl est p pstu upą utwzną z wetów (wetów pzesunęć) e mŝn dnć pzesunę dne puntu pzestzen. Gup tnsl est pdupą upy euldeswe ( T E ). Dysetny zó puntów zmfzny z dysetną upą wetwą nezmennzy wzlędem dpwdąe e upe tnsl twzy seć ystlzną. Dwe upy wetwe (se ystlfzne) są te sme typu eŝel edną z nh mŝn z pmą ąłe defm pzepwdzć w duą. Jest 4 óŝnyh typów se ystlfznyh. Nzyw sę e sem Bvs'. Pzyłd: RzwŜmy zó W wszysth wetów. Spwdzmy zy est n upą ze wzlędu n e dzłne. MŜlwe dzłn w zze wetów t: lzyn slny. n ( ) ( ) Wynem mnŝen slne dwóh wetów pzez see est sl ztem pewsze złŝene ne est spełnne dyŝ dzłne wypwdz pz upę. Zó wetów ne est upą dy zwŝmy lzyn slny dzłne upwe.
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld lzyn wetwy. n Pewsze złŝene est spełnne dyŝ w wynu mnŝen wetwe dwóh wetów tzymuemy wet.. l m
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld m m l ztem due złŝene ne est spełnne. Zó wetów ne est upą dy zwŝmy lzyn wetwy dzłne upwe. MŜn t zesztą zzyć łtw ez Ŝmudnyh lzeń zwŝą złŝene tzee. Ilzyn wetwy ne mŝe meć elementu ednstwe dyŝ wynem te dzłn est zwsze wet pstpdły d dwóh mnŝnyh. Ne mŝn wę znleźć elementu tóy pzemnŝny pzez dwlny element zu dwły ten sm element ddwne wetwe. n - pewsze złŝene est spełnne w wynu ddwn tzymuemy wet. Due złŝene ówneŝ est spełnne.. Istnee G e - element ednstwy e e Dl ddwn elementem ednstwym est wet zewy :
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld 4. Istnee G ( ) - element dwtny e W pzypdu ddwn wetów elementem dwtnym d wet x est wet d ne pzewny: x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zó wetów z ddwnem dzłnem upwym spełn wszyste złŝen ztem est upą. Znm pzedzemy d wyszuwn pdup upy tnsl zstnówmy sę pzez hwlę nd defną dysetne upy tnsl (stnee ddtn lz d t Ŝe Ŝdy wet (z wyątem zewe) m dłuść węszą d d lu ówną d) dyŝ t pzwl nm zzyć złŝen upy nzuą n zó nzen. Dl pstty zumwne ędzemy pwdzć zwŝą upę ednwymwą. N pewszy zut wyde sę Ŝe w defn złŝen Ŝe Ŝdy wet m meć dłuść ędąą weltnśą d hemy pzeeŝ tzymć dysetny zó tnsl wety dłuś d lu weltnś dłuś d. Gfzne mŝn t pzedstwć zó wetów leŝąyh n edne pste wezhłh w punth dlełyh d see dłuść d. Mmy ntmst zó tnsl nesńzene óŝnyh dłuśh edyne węszyh d d. JeŜel edn ędzemy hel wynć dzłne upwe ddwne dwóh wetów tnsl pzewnyh zwth u dłuś węsze d d le óŝny dłuś mędzy nm mnesze d d t wyn te dzłn wypwdz ns pz upę dyŝ ędze t wet dłuś mnesze d d. Ztem y wun upwe yły spełnne óŝn mędzy wetem tnsl wetem d ne dłuŝszym mus wynsć d (lu weltnść d) t y pzy ddwnu pzewnyh zwth nmneszym uzyswnym elementem ył wet dłuś d. Pzne Ŝe up tnsl est upą yły dentyzne z wyzywnem te dl upy wetwe ztem ne ędzemy te zumwn pwtzć. Zmst te supmy sę n wyszunu lu pdup dl upy tnsl. N pewszy zut wdzmy Ŝe dwln dysetn up tnsl ędze pdupą ąłe upy tnsl. pszumy nnyh pdup. Weźmy zó tnsl t Ŝe h z w współzędn ędze ówn ze (zyl wszyste tnsle dnywne są w płszzyźne xy) z ddwne
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld dzłne upwe. PnewŜ zó th tnsl est pdzem wszysth tnsl we włsnś.. 4. są w zywsty spsó spełnne. Spwdźmy zy włsnść. est spełnn zy ddwne ne wypwdz pz płszzyznę xy. Mmy dwe tnsle wet m n n ( n n ) m ( m m ) Ddmy e d see: m n m m n n m n m ( ) n Włsnść pewsz est spełnn ztem zwŝny pzez ns zó tnsl z ddwnem dzłnem upwym twzy upę tó est ddtw pdupą upy wszysth tnsl. Pdne pdupy upy tnsl mŝemy uzysć wyeą tnsle tyl w płszzyźne xz lu yz tŝe wyeą tnsle tyl w ednym eunu - x lu y lu z. up tów R est pdupą upy euldeswe ( R E ) Pzyłdy: ystlfzne upy tów t puntwe upy C n D n T z O. Elementy upy O pzedstwne są n zmeszznym nŝe ysunu. Keun s 4 x 4 y 4 z pywą sę dpwedn z eunm s x y z.
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld Tl mnŝen elementów upy O : ln d pmu Jnusz http://www.ft.h.edu.pl/~mlnws/fles/gm.zp up nwes I dwuelementw up (e I); est pdupą upy euldeswe up symetyzn zó wszysth pemut z m elementów Rząd upy symetyzne: m! up unmduln zó mezy wyznznu (±) z mnŝenem mezwym dzłnem upwym Pzyłd: Zó mezy dpwdąyh tzem sm dwutnym: elementw x y z zyl up puntw D. Wyznzn mezy dpwdąyh tym pzesztłenm są - pzn pnŝe- ówne. : x : y : : z W tel mnŝen upy O mŝn wyć wszne se dwutne spwdzć Ŝe ten zó twzy upę up puntw P zó pzesztłeń pzstwąyh pzynmne eden punt pzestzen ez zmny. Gup puntw mŝe yć ądź upą tów ądź lzynem pstym upy tów upy nwes. ystlfzn up puntw (up symet se ystlfzne) zó wszysth elementów symet dysetne tówymwe upy tnsl ( tŝe zó wszysth elementów symet se ystlfzne). KŜd ystlfzn up puntw est pdupą ólne upy puntwe. Spśód s tu elementm symet se ystlfzne mą y tyl se C C C C 4 C 6. RóŜnyh ystlfznyh up puntwyh est.
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld Symle (Shenfles) ystlfznyh up puntwyh: C - zwe tyl nwesę C n - zwe tyl edną n-tną ś symet. Jest upą ylzną n-te zędu. C nv - zwe n-tną ś symet n płszzyzn d pzehdząyh pzez tę ś. Kąt mędzy dwem sąsednm płszzyznm wyns p/n. C nh - zwe ś n-tną płszzyznę d pstpdłą d s. Wszyste upy z pzystym n zweą nwesę. S n - e elementm są ty newłśwe (nwesyne) wół s n-tne. Jezel n est lzą nepzystą t upy S n C nh są dentyzne (S C h C s ). Gdy n est lzą pzystą t upy te są óŝne pzy zym C n/ est pdupą upy S n. (Zstą óŝne S C S 4 S 6 ) D n - zwe edną ś n-tną n s dwutnyh pstpdłyh d s nwyŝsze symet. D nd - zwe wszyste elementy upy D n płszzyzny d pzehdząe pzez ś nwyŝsze symet dwusezne ątów mędzy sm dwutnym pstpdłym d te s. D nh - zwe wszyste elementy upy D n d wzlędem płszzyzn pstpdłyh d s. T - zwe wszyste ty tóe są elementm symet zwśnu pwdłwe (tetedu). Th tów est. T d - słd sę z wszysth tnsfm symet zwśnu (ty d). Th elementów est 4. Opóz elementów upy T zwe 6 tów S 4 6 dć wzlędem płszzyzn. T h - est lzynem pstm upt S (l T C ) TeŜ m 4 elementy. O - zwe wszyste se tu tóe są elementm symet sześnu śmśnu (tedu). TŜe m 4 elementy O h - est t nwęsz up puntw. M 48 elementów. Jest lzynem pstym up O S. Dysetne upy wetwe są pupwne w ułdy ystlfzne. Jest 7 óŝnyh ułdów ystlfznyh. D edne ułdu ystlfzne nleŝą dysetne upy wetwe (se ystlfzne) psdąe tą smą msymlną puntwą upę symet (hled).
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld Dwe upy wetwe (se ystlfzne) nleŝąe d te sme ułdu ystlfzne są te sme typu (lsy) eŝel edną z nh mŝn z pmą ąłe defm pzepwdzć w duą. RóŜnyh typów se ystlfznyh est 4. Nzywmy e sem Bvs. 7 ułdów ystlfznyh h puntwe upy symet tósśny C C I ednsśny C C s C h m /m mwy D C v D h mm mmm tetnlny C 4 S 4 C 4h D 4 C 4v D d D 4h 4 4 4/m 44 4mm 4m 4/mmm tynlny C C D C v D d (medyzny) () m m hesnlny C 6 C h C 6h D 6 C 6v D h D 6h 6 6 6/m 6 6mm 6 m 6/mmm eulny T T 4 O T d O h m 4 4 m mm Jest 7 hledów nezleŝnyh mędzy są stąd 7 ułdów ystlfznyh W tel pnŝe symlu Shenfles Ŝde upy puntwe pdny est syml mędzyndwy (Hemnn-Muun). Msymln up puntw zznzn est tłustym duem. Psdne pzez seć symet eślne upy puntwe wąŝe sę zywśe ze śśle eślnym elm mędzy dłuśm twząyh móę elementną wetów elementnyh z ątm e twzą mędzy są te wety. W ltetuze tó ne dns sę d up symet te ele pdwne są yteum pzynleŝnś se d dne ułdu ystlfzne. (Np. dl ułdu mwe pde sę: / / α β γ 9 ). Tze tu edn pmętć Ŝe te ele w pzypdu se tó ne est seą pstą ne dtyzą wetów se pymtywne (utwzne z nótszyh mŝlwyh wetów tnsl wzlędem tóeh seć est nezmennz) tzw. nwennlne se entwne. Stutu ystlzn utwzn pzez włŝene w seć elementów stutulnyh (zsem mów sę "dewnu" mó elementne elementm stutulnym) mŝe meć symetę puntwą nŝszą nŝ sm pust seć; up puntw stutuy mŝe yć pdupą hledu se.
Symete stutuy ł stłe. W.S Wyld 4 óŝnyh typów se ystlfznyh Bvs h pzynleŝnść d ułdów ystlfznyh: tósśny : P - seć pst ednsśny : P -seć pst; C A lu B - seć płs entwn (z tnslą entuąą n śne pstpdłe dpwedn d s z x lu y ) mwy : P - seć pst ; C A lu B - seć płs entwn; F - seć pwezhnw entwn ( z tnslm entuąym n wszysth tzeh śnh); I - seć pzestzenne (ętśw) entwn (z tnslą entuąą d śd mó elementne tetnlny : P - seć pst; I - seć pzestzenne entwn tynlny (medyzny) : P -seć pst hesnlny : P seć pst eulny : P - seć pst; F - seć pwezhnw entwn; I - seć pzestzenne entwn