Technika analogowa Wykład 5 Analiza obwodów nieliniowych 1
Plan wykładu Wprowadzenie Charakterystyki parametry dwójników nieliniowych odzaje charakterystyk elementów nieliniowych Obwody z nieliniowymi elementami rezystancyjnymi. Metody analizy Linearyzacja warunkowa charakterystyk
Wprowadzenie Obwodem nieliniowym w odróżnieniu od liniowego będziemy nazywać obwód, w którym nie zachodzi liniowa zależność między wymuszeniami a odpowiedziami. Charakterystykę elementu można opisywać zwykle pewną funkcją, określającą zależność jednej wielkości (pobudzenie) elektrycznej od drugiej ( reakcja). Element rezystancyjny to element opisany funkcją algebraiczną (brak pochodnych), wiążącą i z u (lub u z u, u z i, i z i ). Element reaktancyjny to element opisany funkcją zawierającą pochodne, wiążące i z u. 3
Wprowadzenie Obwody elektryczne zawierające elementy, których parametry zależą od prądu i napięcia płynącego przez element, bądź napięcia panującego na zaciskach elementu nazywamy obwodami nieliniowymi. Charakterystyka elementu nieliniowego może być przedstawiona w postaci jednej krzywej (dla elementu niesterowanego jakim może być np. żarówka, bareter, dioda próżniowa czy półprzewodnikowa) lub rodziny krzywych - dla elementów sterowanych dodatkowym czynnikiem sterującym (np. lampy próżniowe, wieloelektrodowe, tranzystory). ozróżniamy elementy nieliniowe o charakterystyce napięciowo-prądowej symetrycznej i niesymetrycznej. 4
Charakterystyka napięciowo-prądowa (symetryczna) Lampa żarowa z włóknem metalowym (żarówka) Stabilizator oporowy (bareter) Lampa żarowa z włóknem węglowym (żarówka) 5
Charakterystyka napięciowo-prądowa (niesymetryczna) Dioda próżniowa Dioda gazowana (gazotron) Dioda półprzewodnikowa Takie elementy nazywamy prostownikami 6
Charakterystyka napięciowo-prądowa (niesymetryczna) Elementy o charakterystyce niejednoznacznej Np. dioda tunelowa Element uzależniony napięciowo 7
ezystancja statyczna i dynamiczna Dwójnik nieliniowy w odróżnieniu od liniowego nie może być opisany jednym lub kilkoma parametrami Dla elementu rezystancyjnego nieliniowego można mówić o wartości rezystancji (konduktancji) tylko w powiązaniu z określonym punktem pracy na charakterystyce prądowonapięciowej. Dla każdego punktu K charakterystyki wprowadzone są dwa pojęcia: rezystancja statyczna i rezystancja dynamiczna. ezystancją statyczną s elementu nieliniowego w danym punkcie K charakterystyki nazywamy iloraz napięcia i prądu w tym punkcie: sk I K K m tg s m s współczynnik skali 8
ezystancja statyczna i dynamiczna ezystancją dynamiczną (różniczkową) d elementu nieliniowego w danym punkcie K charakterystyki nazywamy pochodną napięcia względem prądu w tym punkcie: dk lim0 I I K d di m tg s m s współczynnik skali 9
ezystancja statyczna i dynamiczna sk m tg K s dk IK I 0 lim I K d di m tg s d di di d s d s d 10
Współczynnik stabilizacji Dla zadanego punktu charakterystyki układ nieliniowy charakteryzuje się również współczynnikiem stabilizacji k, rozumianym jako stosunek względnych zmian wielkości wejściowej do względnych zmian wielkości na wyjściu. Dla elementów nieliniowych o charakterystykach jak na poprzednim slajdzie definiuje się (dla punktu pracy K) następujące współczynniki stabilizacji: - współczynnik prądowy k IK I K wej K dk I K wyj I I K sk 11
Współczynnik stabilizacji - współczynnik napięciowy k K I I I I K wej K sk K wyj K dk Mówimy, że element o zadanej charakterystyce stabilizuje napięcie, gdy k >1, czyli gdy s > d ; stabilizuje prąd, gdy k I > 1, czyli gdy s < d. 1
Połączenie szeregowe i równoległe dwóch rezystorów nieliniowych Przy połączeniu dwu i więcej elementów nieliniowych z liniowymi w dowolny sposób, wykorzystuje się tzw. charakterystykę łączną (wypadkową). Charakterystykę łączną otrzymujemy z charakterystyk prądowonapięciowych elementów przez dodanie napięć na poszczególnych elementach przy tym samym prądzie - przy połączeniu szeregowym elementów lub przez dodanie prądów płynących przez poszczególne elementy przy tym samym napięciu - przy połączeniu równoległym elementów. 13
Element nieliniowy połączony szeregowo ze źródłem napięciowym ( ) I f N ( ) I f N N N I f ( ) N I f ( ) ( ) I f N N 14
Połączenie szeregowe i równoległe dwóch rezystorów nieliniowych Połączenie szeregowe Połączenie równoległe 15
Sposób graficzny wyznaczania prądu i napięcia na dwóch elementach połączonych szeregowo u f () i Dla źródła u E gi Dla rezystora nieliniowego : u f ( i) N 16
Aproksymacja Charakterystyki otrzymuje się najczęściej pomiarowo i przedstawia graficznie, tabelarycznie lub analitycznie, czyli za pomocą wzoru będącego aproksymacją rzeczywistej, fizycznej zależności. Najczęściej stosuje się następujące funkcje zastępcze: a) aproksymacja odcinkiem prostej, b) aproksymacja dwoma lub większą liczbą odcinków (aproksymacja wieloodcinkowa) c) Aproksymacja wielomianem potęgowym y a a x a x a x n 0 1... n, (zwykle jeden lub dwa wyrazy) 17
Aproksymacja d) aproksymacja funkcją potęgową o niecałkowitym wykładniku potęgowym n y a x, gdzie n liczba niecałkowita, e) Aproksymacja funkcją wykładniczą lub logarytmiczną bx 1 y a a e y a a b x lub ln, 0 1 0 1 1 f) aproksymacja funkcją hiperboliczną y a0 a1 sinh b1 x lub y a0 a1 tanh b1 x, 18
Aproksymacja g) aproksymacja funkcją trygonometryczną, np. y a0 a1tg b1 x h) aproksymacja funkcją wymierną, to jest będącą ilorazem wielomianów y n a0 a1x ax... anx m b0 b1 x b x... bm x najczęściej stosowana jest funkcja A. Fröhlicha i) Inne bardziej skomplikowane aproksymacje, y a b 0 1 0 1 a x. b x 19
Obwód zastępczy elementu nieliniowego m tg d1 1 d1 m tg 0
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład 1 Do stabilizacji prądu w obwodzie obciążonym rezystancją = 30 użyto bareteru, którego charakterystyka napięciowo prądowa przedstawiona jest poniżej. Należy wyznaczyć możliwe przedziały zmienności napięcia doprowadzonego do obwodu, w których zakresie prąd będzie zmieniał się od 0,5 A do 0,3. 1
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład 1 arc tg m 30 arc tg 17 100 0 Zatem przedziały zmienności napięcia wynoszą 0 i 45 V
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład Żarówka i opornik liniowy o rezystancji połączono szeregowo włączone są na napięcie = 0 V. Napięcie znamionowe żarówki wynosi 17 V jej charakterystyka podana jest w tabeli poniżej. Jaką moc będzie pobierała żarówka, jeśli napięcie sieci zostanie obniżone do 180V. 3
I Obliczanie obwodów nieliniowych A0.8 Przykład 0.7 0,58 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 50 100 150 00 50 17 V 4
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład Zgodnie z charakterystyką, napięciu 17 V odpowiada prąd 0,58 A. Stąd napięcie na oporniku Zatem rezystancja opornika Ż 0 17 93V. 93 0,58 160 5
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład I A 180 1,15A 160 1.4 1. 1 0.8 P I Szukana moc 100 0,5 50W 0,5 0.6 0.4 0. 100 0 0 50 100 150 00 50 E=180 V 6
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład 3 W obwodzie obliczyć wartość prądu I oraz napięcia na rezystancji nieliniowej (I), której charakterystyka napięciowoprądowa jest wyrażona wzorem = I ( =1/ V/A, I>0) E 1 V, 1 1, 7
Obliczanie obwodów nieliniowych Wykorzystamy tw. Thevenina. Przykład 3 0 1 E 1 8V 3 we 1 1 3 8
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład 3 8 V,, 3 0 we 1 I 1 3 I we 0 I I 8 I 3,389A, I 4,7A 1 1 I 1 5,8V 9
Obliczanie obwodów nieliniowych Przykład 3 V 8 I 3 1 I ~5,8 ~ 3,4 A 30