INSTYTUT MATEMATYKI I KRYPTOLOGII WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT ZADANIA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWALI

NSTYTUT MATEMATYK KRYPTOLOG WYDZAŁ CYBERNETYK WAT ZADANA KONKURSOWE MATEMATYKA PRZYGOTOWAL JERZY GAWNECK, LUCJAN KOWALSK, WOJCECH MATUSZEWSK WARSZAWA 05

Zadanie Przez środek boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry α. Wyrazić stosunek pól figur na jakie ta prosta dzieli trójkąt ABC jako funkcję kąta α. Szkic rozwiązania. Oznaczmy: a - długość boku trójkąta ABC, Pole trójkąta ABC: S ABC = a 3 4 Pole trójkąta DBE: a S DBE = DB DE sinα = DE sinα () 4 Z twierdzenia sinusów dla trójkąta DBE: Stąd DE sin 60 = O O O sin(80 DB 60 α) O DB sin 60 a 3 DE = = () O O sin(0 α) 4sin(0 α)

Wstawiając () do () otrzymamy Pole czworokąta ADEC: Zatem S S ADEC DBE a 3 S = 4 S DBE S DBE ADEC S a = DBE = S a 3 sinα 6sin(0 α) = O ABC S DBE a 3 = S 4 DBE O O 3 6sin(0 α) 4sin(0 α) = 4 a 3 sinα sinα O S ADEC 4sin(0 α) Odp. Szukany stosunek pól ma wartość =. S sinα DBE Zadanie W okręgu o promieniu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy AB i CD. Wykazać, że AC + BD = 4. Szkic rozwiązania. Niech wtedy ABC = α, BCD = 90 o α Stosujemy twierdzenie sinusów AC = sinα o BD = sin(90 α) = cosα, zatem AC ( sinα ) + ( cosα ) = 4( sin α + cos ) = 4 + BD = α 3

Zadanie 3 Cięciwa o długości równej promieniowi koła dzieli to koło na dwie części. Jaki jest stosunek pola większej części figury do mniejszej? Szkic rozwiązania. r promień koła, P 6 4 = π r 3r (pole wycinka minus pole trójkąta równobocznego), P r P = π P πr P πr π k = = = =, P P πr 3r π 3 3 6 4 π Odp. Szukany stosunek pól ma wartość k =. π 3 3 Zadanie 4 Dany jest trójkąt ABC o polu równym. Z wierzchołka B opuszczamy prostopadły odcinek BM na dwusieczną kąta C. Oblicz pole trójkąta AMC. Szkic rozwiązania. 4

Przez punkt B prowadzimy równoległą do prostej AC do przecięcia z dwusieczną kąta C, punkt przecięcia oznaczamy przez N. Zatem BNC = ACN = BCN Trójkąt BCN jest równoramienny, stąd MB jest środkową, zatem: PΔAMC = 0,5 PΔANC = 0,5 PΔABC = 0,5. sposób P AMC = AC CM sin C lecz C CM = cos stąd P AMC = C C AC BC sin cos = 4 AC BC sin C = P ABC = Odp. Pole trójkąta AMC jest równe 0,5. Zadanie 5 W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i AC. Wiadomo, że kąt AON jest prosty. Udowodnij, że kąt BOM też jest prosty. Szkic rozwiązania. 5

MN AB BAO = OAN BAN + MNA = 80 o o BAN + MNA = 90 Z założenia o BAN + ONA = 90 = AON Stąd MNA = ONA czyli punkt O leży na dwusiecznej kąta MNA, zatem okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do MN. Z drugiej strony ABM + BMN = 80 stąd o ABM + BMN = 90 oraz OBM + BMO = ABM + stąd o BMN 6

OBM + BMO = 90 zatem o o BOM = 80 ( OBM + BMO ) = 90 o Zadanie 6 Wyznacz zbiór środków cięciw paraboli y = 3 przechodzących przez punkt P = (0,). Szkic rozwiązania. Każda cięciwa paraboli przechodząca przez punkt P ma równanie y = a + gdzie a R Rozwiązując układ równań y = a + y = 3 otrzymujemy punkty wspólne cięciwy z parabolą: a a + 4 a a a + 4 +, 6 6 Środek cięciwy ma więc współrzędne Ponieważ oraz a a +, 6 6 a + a = + = 6 a 6 6 6 więc szukanym zbiorem jest parabola o równaniu y = 6 + a + a + 4 a + a a + 4 +, 6 6 + Zadanie 7 Pierwiastek trójmianu a + a + b pomnożono przez pierwiastek trójmianu i otrzymano. Wyznaczyć te pierwiastki. a + b + b Szkic rozwiązania. Niech y i z = będą tymi pierwiastkami, y y 0 z założenia. Wtedy a b ay + ay + b = 0 i + + b = 0 y y stąd ay + ay + b = 0 i by + by + a = 0 7

Dodając te równania stronami otrzymujemy ( a + b) y + ( a + b) y + a + b = 0 ( a + b)( y + y + ) = 0 Ponieważ drugi czynnik jest zawsze dodatni, to a + b = 0 czyli b = a Po podstawieniu do pierwszego równania mamy a ( y + y ) = 0 Stąd ± 5 y =, Odp. Szukane pierwiastki to ± 5 z = = y ± 5 y =, ± 5 z =. Zadanie 8 Rozwiąż równanie = 3. Szkic rozwiązania. Podstawiając 3 y =, otrzymamy równanie y = 3 czyli y y 3 stąd = 3 y y zatem y = 3 3 = 3 co oznacza, że = 3 3 Odp. Szukane rozwiązanie to 3 3 y = 3 3. Zadanie 9 Rozwiąż równanie Szkic rozwiązania. 63 6 6 63 ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( ) +... + ( ) = 0 Mnożymy obie strony przez ( + ) ( ) = Wtedy rozpatrywane równanie ma postać ( + ) 64 ( ) 4 = 0. 8

Co jest równoważne Zatem jedynym rozwiązaniem jest = 0. Odp. Szukane rozwiązanie to = 0. + = Zadanie 0 Rozwiąż nierówność log log 0,5 4 log0, 5 log + 0,5 + 0. Szkic rozwiązania. Założenia > 0 log 0,5 > 0 log 0,5 Zatem czyli 0,, > 0 0 < < 0,5 Korzystając ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu mamy log i rozpatrywana nierówność ma postać Podstawiając czyli log 0,5 4 = log log log,5 log 0,5 = log log log 0,5 0 log log 0,5 log log 0,5 t otrzymamy ( t )( t + ) stąd t [,0) [, ) t = Rozpatrujemy dwa przypadki lub log log 0,5 < 0 log log 0,5 log t + 0 t 0 0,5 0,5 + 0 9

czyli równoważnie [ 0,5;0,5) lub ; 4. 4 Uwzględniając założenia mamy ostatecznie [ 0,5;0,5 ) ; 0,5;0,5 ;. 4 Odp. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór [ ) Zadanie Rozwiąż układ równań + y 4 y y = + 7 = 0. Szkic rozwiązania. Uwzględniając drugie równanie mamy y = ( y) = y + y = + y + 4 Zatem pierwsze równanie możemy zapisać jako równanie kwadratowe względem y : stąd y = lub y = 3 Rozpatrując cztery przypadki y 4 y + 3 = 0 () () (3) (4) y = y = y = y = y = 3 y = y = 3 y = 0

Otrzymujemy cztery rozwiązania (układy () i () są sprzeczne): (3) = y = (3) = y = (4) = y = (4) = y = Odp. Równanie ma cztery rozwiązania (, -); (, -); (-,); (-,). Zadanie Rozwiąż układ równań y = 5 + y + + y = 4 Szkic rozwiązania. Równanie drugie zapisujemy w postaci + y + ( + y) y = 4 Podstawiamy y = 5 i oznaczmy + y = a. Otrzymamy równanie: które ma dwa pierwiastki: a + a 7 = 0, a =, a 8. 9 = Zatem: y = 5 y = 5 lub + y = 9 + y = 8 Rozwiązując te układy równań otrzymamy cztery rozwiązania zadania: = ( 9 ) /, y = ( 9 + = ( 9 + ) /, y = ( 9 = 3, y = = 5, y = 5 3 ) / ) / Zadanie 3 Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające układ nierówności y 0 y + Szkic rozwiązania. Z pierwszej nierówności

zatem Zadania konkursowe - MATEMATYKA Z drugiej nierówności Są więc 3 możliwości: Jeżeli y = 0, to y y 0. y. y = 0 lub y = lub y =. = 0, Równanie jest spełnione przez liczby całkowite: 0 i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też nierówność. Jeżeli y =, to Druga nierówność jest spełniona przez trzy liczby całkowite: 0, i. Łatwo sprawdzić, że te liczby spełniają też pierwszą nierówność. Jeżeli y =, to = 0 Równanie jest spełnione przez liczbę. Łatwo sprawdzić, że ta liczba spełnia też nierówność. Zatem jest 6 par spełniających warunki zadania: (0,0), (0,), (,), (,), (,0) i (,). Zadanie 4 Dana jest funkcja 4 f ( ) = 4 + Niech g() = f(f()). Wykonaj wykres funkcji g(). Jakie rozwiązania ma równanie g() = 0? 0 < 0 Szkic rozwiązania. Zauważmy, że stąd Wykonując kolejno wykresy funkcji f ( ) = 4 g( ) = 4 4

a) g ( ) = b) g ( ) = c) g ( ) = 4 3 d) g ( ) = 4 4 e) g ( ) = 4 5 f) g ( ) = 4 4 6 g) g ( ) = 4 4 7 otrzymamy wykres g() 4-8 -4 4 8 Rozwiązaniem równania g() = 0 są miejsca zerowe tej funkcji, tzn. = ; = 0; 8. 8 3 = Zadanie 5 Dana jest taka funkcja kwadratowa f ( ) = a + b + c, że równanie f ( ) = nie ma rozwiązań rzeczywistych. Udowodnij, że równanie f ( f ( )) = też nie ma rozwiązań rzeczywistych. Szkic rozwiązania. Jeśli równanie f ( ) = nie ma rozwiązań, to oznacza, że parabola będąca wykresem funkcji y = f() leży powyżej lub poniżej prostej y =. 3

Pokażemy, że wtedy również wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej lub poniżej prostej y = co oznacza, że równanie Niech dla każdego zachodzi f ( f ( )) = nie ma rozwiązań. f ( ) > (y = f() leży powyżej prostej y = ). Podstawiając do tej nierówności f () zamiast otrzymamy f ( f ( )) > f ( ) > Co z przechodniości relacji nierówności daje f ( f ( )) > i oznacza, że wykres funkcji y = f ( f ( )) leży powyżej prostej y =. Analogicznie można rozpatrzeć drugi przypadek. Zadanie 6 Dana jest funkcja f ( ) =, Dla jakich jest spełniona nierówność f ( f ( )) f ( ) Szkic rozwiązania. f ( f ( )) = =, Trzeba więc rozwiązać nierówność równoważną nierówności 0 ( )( ) Stąd dostaniemy odpowiedź: 5 + 5 ; ; Zadanie 7 W ciągu geometrycznym suma wyrazów pierwszego i drugiego wynosi 08 a suma wyrazów drugiego i trzeciego 35. Wyznacz trzy początkowe wyrazy tego ciągu. Szkic rozwiązania. q iloraz a pierwszy wyraz ciągu Musi być spełniony układ równań 4

czyli Zadania konkursowe - MATEMATYKA a + aq = 08 aq + aq = 35 ( + q) ( + q) a = 08 aq = 35 stąd q = 5 ; 48 4 a = oraz a = 60; a3 = 75 Odp. Trzy początkowe wyrazy ciągu to: 48, 60, 75. Zadanie 8 Dla jakich m liczby, y, z spełniające układ równań tworzą ciąg geometryczny? + y + z = m + 4 y + z = m + 3 + y 3z = m Szkic rozwiązania. Obie strony równania pierwszego mnożymy przez i dodajemy otrzymane równanie do równania drugiego. Otrzymujemy: y =. Wstawiając y = do równań pierwszego i trzeciego otrzymamy: m + 3 5m + 9 =, z =. 6 6 Aby liczby, y, z tworzyły ciąg geometryczny musi być czyli z = y 5m + 4m + 7 = 44 Stąd dostajemy odpowiedź: m = 7, 8 lub m = 3. Zadanie 9 Logarytmy dziesiętne trzech liczb tworzą ciąg arytmetyczny rosnący. Suma odwrotności tych liczb jest równa 39, a suma kwadratów ich odwrotności jest równa 89. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby:, y, z. Z warunków zadania wynika układ równań: 5

Niech log y = (log + log z) / + + = 39 y z + + = 89 y z a =, b =, c =. Wtedy: y z b = ac a + b + c = 39 a + b + c = 89 Stąd a = 3, b = 9, c = 7 lub a = 7 b = 9, c = 3 a w konsekwencji = / 3, y = / 9, z = / 7 lub = / 7, y = / 9, z = / 3 Ciąg, y, z ma być rosnący, zatem odpowiedź: = / 7, y = / 9, z = / 3 Zadanie 0 Wyznacz wszystkie liczby naturalne n dla których liczba n 3 + jest potęgą liczby 3. Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną. Szkic rozwiązania. Szukamy liczb naturalnych n spełniających równość 3 k n + = 3 dla pewnej liczby naturalnej k. lecz n 3 + = ( n + )( n n + ) zatem r n + = 3 ; n n + = 3 s r, s N. Stąd n nie dzieli się przez 3 (bo daje resztę ). Zauważmy, że 3 r s n = ( n + ) ( n n + ) = 3 3 stąd r 3 s n = 3 co jest możliwe tylko wtedy, gdy s = (bo n nie dzieli się przez 3) zatem n n + = 3 6

czyli n n = 0 stąd n = ; n = Drugi pierwiastek odrzucamy, bo nie jest liczbą naturalną. Odp. Tylko liczba spełnia przedstawiony warunek. Zadanie Gdy w pewnej liczbie naturalnej zmieniono kolejność cyfr to otrzymano liczbę trzy razy mniejszą od danej liczby. Udowodnić, że tak otrzymana liczba dzieli się przez 7. Szkic rozwiązania. a dana liczba, a liczba uzyskana po przestawieniu cyfr, Zatem (*) a = 3a czyli a jest podzielna przez 3, stąd suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Ponieważ przestawianie cyfr nie zmienia ich sumy, to liczba a też jest podzielna przez 3, czyli można ją przedstawić w postaci a = 3n gdzie n jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = 3(3n) = 9n co oznacza, że a jest podzielna przez 9. Zatem suma jej cyfr jest podzielna przez 9 i liczba a też jest podzielna przez 9, czyli można ją przedstawić w postaci a = 9m gdzie m jest pewną liczbą naturalną i po podstawieniu do (*) otrzymamy a = 3(9m) = 7m co oznacza, że a jest podzielna przez 7. Co należało wykazać. Zadanie Wyznacz takie liczby naturalne, y, że + + jest potęgą liczby y o wykładniku naturalnym, oraz y + y + jest potęgą liczby o wykładniku naturalnym. Szkic rozwiązania. n ) Jeśli = y to + + = zatem prawa strona dzieli się przez więc i lewa strona powinna dzielić się przez. Jest to możliwe tylko dla =, lecz to prowadzi do sprzeczności 3 =. 7

) Jeśli y to możemy założyć, że y <. Wtedy > y + y +, stąd może być tylko w pierwszej potędze, tzn. y + y + =, wtedy m ( y + y + ) + ( y + y + ) + = y stąd 4 3 y + y + y + 3y + 3 = m y Prawa strona dzieli się przez y więc i lewa strona powinna dzielić się przez y. Zatem y jest dzielnikiem liczby 3, lecz ani y = 3, ani y = nie spełnia tej równości. Odp. Żadna para liczb naturalnych nie spełnia warunków zadania. Zadanie 3 Podaj wszystkie pary liczb całkowitych (, y) spełniające równanie ( + y )( y ) 5 = 0 Szkic rozwiązania. Mamy: ( + y )( y ) = 5 Oba czynniki są liczbami całkowitymi, więc są 4 możliwości: + y = + y = 5 + y = + y = 5 lub lub lub y = 5 y = y = 5 y = Rozwiązując powyższe układy równań otrzymamy odpowiedź. Szukane pary to (,), (, ), (3,0), (3,4). Zadanie 4 loczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 700, a ich największy wspólny dzielnik to 6. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 6 m, y = 6n gdzie m, n N Zatem Stąd 6 m 6n = 700 m n = 75 Jest 6 możliwości: m =, n = 75 lub m = 3, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = 5 lub m = 5, n = 3 lub m = 75, n = 8

Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 6. Zatem przypadki m = 5, n = 5 oraz m = 5, n = 5 odpadają. Z pozostałych przypadków wynika, że szukane liczby to 6 i 450 lub 8 i 50. Zadanie 5 Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 504, a największy wspólny dzielnik tych liczb to 36. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby: oraz y. Zapiszmy: = 36 m, y = 36n gdzie m, n N Zatem Stąd 36 m + 36n = 504 m + n Liczby m oraz n nie mogą mieć wspólnego dzielnika większego niż, gdyż wtedy liczby oraz y miałyby wspólny dzielnik większy niż 36. Zatem możliwe przypadki to: m =, n = 3 lub m = 3, n = lub m = 5, n = 9 lub = 4 m = 9, n = 5 lub m =, n = 3 lub m = 3, n = Stąd znajdujemy 3 pary liczb spełniających warunki zadania: 36 i 468 lub 08 i 396 lub 80 i 34. Zadanie 6 loczyn trzech liczb pierwszych jest 5 razy większy od sumy tych liczb. Co to za liczby? Szkic rozwiązania. Oznaczmy szukane liczby:, y oraz z. Zatem yz = 5( + y + z) Prawa strona równania jest podzielna przez 5, więc lewa też. Jest ona iloczynem liczb pierwszych, więc jedna z liczb, y, z jest równa 5. Załóżmy, że = 5. Wtedy: 5yz = 5(5 + y + z) Z tego równania wyznaczamy y: 6 z musi być liczbą pierwszą, zatem 6 y = + z z = lub z = 3 lub z = 7 9

Jeżeli z =, to y = 7, jeżeli z = 3, to y = 4 - to nie jest liczba pierwsza, a jeżeli z = 7, to y =. Odpowiedź: Te liczby to, 5 i 7. Zadanie 7 Okno ma kształt prostokąta na którego górnej podstawie dobudowano półkole. Obwód okna wynosi 5m. Jaka powinna być szerokość okna, by jego powierzchnia była największa? Szkic rozwiązania. Oznaczmy: - szerokość okna, y - wysokość części prostokątnej. Zatem: + y + π / = 5 () Powierzchnia okna przy czym ( 0; 0 /( + π )). P = y + π / 8 () Wyznaczając z () y i wstawiając do () dostaniemy: π 5 P = + 8 Największa wartość pola P jest przyjmowana dla = 0 /(4 + π ). Zadanie 8 Dysponujemy taką liczbą jednakowych monet, że można nimi wszystkimi wypełnić trójkąt równoboczny lub kwadrat. Liczba monet w boku kwadratu jest o 4 mniejsza niż liczba monet w boku trójkąta. loma monetami dysponujemy? Szkic rozwiązania. W trójkącie: w pierwszym rzędzie jest moneta w drugim rzędzie są monety... w ostatnim k-tym rzędzie jest k monet. Łączna liczba monet: k( k + ) + +... + k = Oznaczmy liczbę rzędów w kwadracie literą n. Liczba monet w kwadracie to Z warunków zadania mamy: n. 0

Ten układ ma rozwiązania: n = k 4 k( k + ) n = k = 8, n = 6 lub k = 49, n = 35 Liczba monet nie może być ujemna, zatem k = 49, n = 35. Stąd obliczamy, że monet jest 5. Zadanie 9 Przejazd łódką 0 km w dół rzeki i z powrotem trwał 7 godzin. Równocześnie z łódką z tego samego miejsca wypłynęła tratwa, którą spotkano w drodze powrotnej w odległości km od miejsca wyruszenia. Oblicz prędkość wody. Szkic rozwiązania. Oznaczmy: - prędkość wody w km/h, y - prędkość łódki względem płynącej wody. Wówczas: + y - prędkość łódki gdy płynie z prądem, y - prędkość łódki gdy płynie pod prąd. Czas płynięcia łódką w dół rzeki: Czas płynięcia łódką 0 km w górę rzeki: Czas płynięcia łódką 8 km w górę rzeki: 0. + y 0. y 8 y. Czas płynięcia km tratwą: Zatem: 0 + + y 0 + + y. 0 y 8 y = 7 = Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy: = 3, y = 7. Prędkość wody wynosi 3 km/h.

Zadanie 30 Na drodze 36m przednie koło ciągnika wykonało o 6 obrotów więcej niż tylne. Gdyby obwód każdego koła zwiększyć o m, to na tej samej drodze przednie koło wykonałoby o 3 obroty więcej niż koło tylne. Oblicz obwody kół. Szkic rozwiązania. Oznaczmy: - obwód przedniego koła, y - obwód tylnego koła (y > ). Z warunków zadania mamy: 36 36 = + 6 y 36 36 = + 3 + y + Stąd: y + 6 6y = 0 y + 3 y + = 0 Odejmując od równania pierwszego równanie drugie otrzymamy: y =,4 + 0, Podstawiając wyznaczony y do równania pierwszego (w ostatnim układzie) dostajemy: 7 6 = 0 Jednym z pierwiastków tego równania jest 3/ 7. Ten pierwiastek odrzucamy (obwód koła nie może być liczbą ujemną). Drugim pierwiastkiem jest =. Wtedy y = 3. Są to obwody kół w metrach.

ZADANA Z KONKURSU 009-00 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. le wynosi odległość początku układu współrzędnych od prostej 3 y = + 5? 4 3 4 5 V 8. Który z poniższych wzorów jest prawdziwy dla dowolnych zdarzeń losowych A i B? P( A B) P( A) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) V P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) 3. W ciągu ( ) n a wyraz a n wynosi n + 3n + 4. le wynosi wyraz a n dla n >? n 3n + n 3n + 3 n 3 3n + 4 V n 3n + 4 4. Dane są równania dwóch okręgów + y = 9 ( 3) + ( y 4) = 3 Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów? Okręgi są styczne zewnętrznie Okręgi nie mają punktów wspólnych V Okręgi są styczne wewnętrznie Okręgi przecinają się w dwóch punktach 5. Kula o promieniu R ma tę samą objętość, co sześcian o przekątnej 3. le wynosi R? 3 4 3π 3 3 4π 3 3π 4 V 3 4π 3 3

n 6. Dany jest ciąg geometryczny a n = 4 3 n = 3,,,... 3 le wynosi suma n początkowych wyrazów tego ciągu? n ( 3 ) n 3 n n V 0 5 3, 7. Który z poniższych rysunków przedstawia zbiór wszystkich rozwiązań równania y + y = 0? V 4

8. Cena towaru wynosiła p. Cenę tę podniesiono o 8%, a następnie nową cenę obniżono o 0%. le wynosi cena towaru po tych zmianach? p p 0, 0 0, 98 p V 0, 97 p 9. Jaką wartość ma wyrażenie 4 log 7? 4 49 7 V 8 0. Dany jest zbiór Z = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } le jest 6-elementowych podzbiorów tego zbioru, do których należą dokładnie dwie liczby nieparzyste? 5 75 30 V 36. Dla jakich ( 0; π ) jest spełniona nierówność sin >? π ; π 6 π 5π ; 6 6 π ;π 6 V 0; π 6. Wykres funkcji y = + 8 + 7 jest obrazem wykresu funkcji y = w przesunięciu o wektor w. Jakie współrzędne ma wektor w? 4, 4, 4, V, 4 3. Które z poniższych równań jest równaniem okręgu? + y + 4 = 0 + y 6 + 4 y + 3 = 0 + y + 4 6y + 5 = 0 V + y = 0 5

4. Pierwiastki równania kwadratowego oznaczamy: i. le wynosi +? + p q = 0, q 0 p q + p + q q p 4q + V pq 5. Zbiór A ma elementów, zbiór B ma 9 elementów, zbiór A B ma 7 elementów. le elementów należy do zbioru A B? 3 5 4 V 8 6. Krawędź sześcianu ma długość. Jaką długość ma odcinek łączący wierzchołek sześcianu ze środkiem ściany sześcianu, do której nie należy ten wierzchołek? 3 3 6 V 7. W trójkącie prostokątnym na poniższym rysunku mamy dane a = 3, b = 4. le wynosi p, q i h? p =, 8, q = 3,, h =, 4 p =, 8, q = 3,, h =, 8 p =, 6, q = 3, 4, h =, 4 V p =, 6, q = 3, 4, h =, 8 6

8. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności + 3 0. Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + 3) 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A = B B A jest zbiorem jednoelementowym A B V A B = B jest zbiorem jednoelementowym 9. Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? 4 + 6 + 9 = 0 4 4 4 = 0 V 4 + = 0 4 3 + 4 = 0 4 0. Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? Odcinek Kwadrat Punkt V Dwie proste równoległe 7

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem. Numer pytania Odpowiedź V 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 8

ETAP - FNAŁ Zadanie. Wyznacz iloraz malejącego ciągu geometrycznego, jeśli suma wyrazów pierwszego, drugiego i trzeciego wynosi -7 (minus siedem), a wyraz piąty jest o 4 mniejszy od wyrazu drugiego. Zadanie. Pole trapezu ABCD o podstawach AD i BC (AD > BC) jest równe 48. Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych trapezu. Pole trójkąta AOB jest równe 9. Wyznaczyć stosunek długości AD i BC podstaw trapezu. TEST Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Zakładamy, że zdarzenia A i B wnioskiem z tego założenia? wykluczają się. Które z poniższych zdań jest P( A B) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) V P( A) P( B). Które z poniższych równań ma dokładnie dwa różne pierwiastki rzeczywiste? 4 6 + 9 = 0 4 4 4 = 0 V 4 + = 0 4 3 + 4 = 0 4 9

3. Dana jest funkcja f ( ) = 4 + 3, R Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dla każdego, f ( ) > 0 stnieje taki, że f ( ) = Dla każdego < 0, f ( ) > 0 V Dla każdego > 0, f ( ) > 0 4. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? ( 5 3 7) + ( 5 + 3 7) 0,7555... V 0 5. Dana jest funkcja f ( ) =. Jakie własności ma ta funkcja? Funkcja jest parzysta Funkcja jest nieparzysta Funkcja jest okresowa V Funkcja jest ograniczona 6. Która z poniższych figur ma dokładnie dwie osie symetrii? Odcinek Kwadrat Dwa różne punkty V Dwie proste równoległe 7. Które z poniższych zdań są prawdziwe? Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Punkt, w którym przecinają się środkowe trójkąta dzieli każdą ze środkowych w stosunku :. W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe. V Kąt wpisany w okrąg ma miarę dwa razy mniejszą, niż kąt środkowy oparty na tym samym łuku. 30

8. Dana jest nierówność + 3 < 0. Która z poniższych nierówności jest równoważna danej nierówności? < 0 ( )( + 3) < 0 0 V ( )( + 3) 0 9. Która z poniższych funkcji spełnia warunek f ( + y) f ( ) + f ( y) dla wszystkich, y R? f ( ) = f ( ) = + f ( ) = V f ( ) = 0. Zbiory A i B są dowolnymi podzbiorami niepustego zbioru Ω. Symbol A' oznacza uzupełnienie zbioru A do zbioru Ω, czyli A'= Ω A. Które z poniższych równości są prawdziwe? ( A B)' A' B = ( A B)' = A' B' ( A' B ') ' = A B V A B = A B' 3

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X 3 X X 4 X X X X 5 X X 6 X X 7 X X X 8 X 9 X X 0 X X X 3

ZADANA Z KONKURSU 00-0 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Dana jest funkcja f ( ) =, < ; >. Który z podanych zbiorów jest + zbiorem wartości tej funkcji: < 0,; 0, 5 > < 0,; ) < 0,; > V ( 0; >. le przekątnych ma 0-kąt wypukły? 70 80 340 V 360 3. le podzbiorów ma zbiór { a,{ a},{{ a}} } 3 4 6 V 8 4. Która z poniższych liczb jest najmniejsza 0,0 0,03 0,03 0,0 log 98, 0 0, V sin 0, 0 5. Która z poniższych funkcji nie jest funkcją liniową f ( ) = ( ) ( + ) f ( ) = f ( ) = sin + cos V 6. Funkcja ( ) = log ( 3) ( ; ) 3 + f ( ) = + f jest malejąca w przedziale: [ ; ) ( ; ) V ( 3; ) 7. Funkcja f ( ) = : jest parzysta i nie jest nieparzysta jest nieparzysta i nie jest parzysta jest parzysta i nieparzysta nieparzysta V nie jest parzysta i nie jest 33

8. Wiadomo, że nierówność 3 + 6 k ( k R) ma rozwiązanie. Maksymalna wartość k wynosi: 6 3 3 6 + 3 V 6 9. Dane są dwa zbiory A = { a,..., a 6 }, B = { b,...,b 3 }, których elementami są liczby rzeczywiste. Określono odwzorowanie f : A B, takie, że każdy element zbioru B należy do zbioru wartości tego odwzorowania oraz f ( a) f ( a )... f ( a6 ). Liczba takich odwzorowań wynosi: 6 3 6 3 6 5 V 3 0. Niech liczby rzeczywiste, y spełniają równość: ( + 5 ) + ( y ) = 4 Wtedy wyrażenie + y ma najmniejszą wartość równą: 3 V. Który z poniższych rysunków przedstawia wykres funkcji f ( ) =. V. le rozwiązań ma równanie V = Nie ma rozwiązań. Ma dokładnie jedno rozwiązanie. Ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ma dokładnie dwa rozwiązania. 34

3. Wykres funkcji ( ) = przesuwamy o wektor [, 0], po czym otrzymaną f krzywą przekształcamy przez symetrię względem osi O. Jakiej funkcji wykres otrzymamy? g( ) = g ( ) = g ( ) = V g ( ) = + 4. Który z poniższych wielomianów jest dzielnikiem wielomianu 3 W ( ) = 5 + 6 P ( ) = ( )( ) P ( ) = ( )( +) P ( ) = ( +)( ) V P ( ) = ( + )( +) 5. Dla jakiej wartości m proste y są równoległe? = + 3 i m 3y + 6 = 0 3 V 3 6. Która z poniższych brył ma największą objętość? Kula o promieniu 3. Walec o promieniu podstawy i wysokości 8. Sześcian o przekątnej 5 3. V Stożek o wysokości i tworzącej 30. 7. Gdzie znajduje się środek okręgu wpisanego w trójkąt? W punkcie, w którym przecinają się środkowe boków tego trójkąta. V trójkąta. W punkcie, w którym przecinają się symetralne boków tego trójkąta. W punkcie, w którym przecinają się wysokości tego trójkąta. W punkcie, w którym przecinają się dwusieczne kątów wewnętrznych tego 8. Jaką wartość ma wyrażenie log 4 8 3 4 V 9 35

a wyraz a n wynosi n + n + 3 le wynosi wyraz a n dla n >? 9. W ciągu ( ) n n n + n n + n n + 3 V n n + 3 0. Cena towaru wynosiła p. Cenę tę podniesiono o 0%, a następnie nową cenę obniżono o 6%. le wynosi cena towaru po tych zmianach? p+ 4, 04 p p + 0, 04 V, 034 p 36

Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem. Numer pytania Odpowiedź V 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 37

ETAP - FNAŁ Część Zadania Zadanie. Środkowe trójkąta mają długości 9,, 5. Obliczyć pole tego trójkąta. Zadanie. Niech f ( ) = + + 30 Rozwiąż równanie f ( f ( f ( f ( f ( )))) ) = 0. Zadanie 3. Niech M i N będą punktami płaszczyzny z układem współrzędnych XOY. Odległością punktów M i N nazwiemy liczbę dist(m, N) określoną następująco: MN gdy punkt O nalezy do prostej MN dist( M, N) = MO + ON gdy punkt O nie nalezy do prostej MN W powyższym określeniu O jest początkiem układu współrzędnych, a symbol MN oznacza długość odcinka MN. Dane są punkty P = ( 3, 0), Q = (0, ) W układzie współrzędnych narysuj zbiory: A = { S : dist( P, S) = 4}, B = { S : dist( P, S) < dist( S, Q)} Wykonaj dwa osobne rysunki. 38

Zadanie Szkic rozwiązania. Rozwiązania zadań B C A O C A B C AA = 9 BB = CC = 5 B C AA Rozpatrujemy trójkąt OB C B ' C'' = AO = AA' = 3 3 OB ' = BB' = 4 3 OC '' = OC = CC' = 5 3 Skoro długości boków tego trójkąta maja długości 3, 4, 5, to jest to trójkąt prostokątny. PΔOB C = 6 PΔOB C = PΔOB C PΔOB C = PΔAOB stąd PΔAOC = 4 PΔAOB = PΔAOB = 4 PΔA OC = PΔBOA = 0,5 PΔAOB = Zatem PΔABC = 4 + 4 + + =7 Odp. Pole tego trójkąta wynosi 7. 39

Zadanie Szkic rozwiązania. Zauważmy, że f ( ) stąd f ( f ( )) = + 6 f ( f ( f ( ))) itd. f ( 6) 6 = + ( ) 4 6 = ( + 6) 8 6 ( f ( f ( f ( f ( )))) ) = ( + 6) 3 6 Wtedy rozpatrywane równanie ma postać Zatem rozwiązania to: = 6 ± 3 6. Odp. Równanie ma dwa rozwiązania ( + 6) 3 6 = 0 = 6 i 3 6 = 6 +. 3 6 Zadanie 3 Odpowiedź: A okrąg o środku (0, 0) i promieniu bez punktu (, 0) z dołączonym punktem (7, 0). B półprosta zawarta w osi OX od punktu (, 0) w prawo, bez punktu (, 0) 40

Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Które z poniższych przekształceń płaszczyzny ma nieskończenie wiele punktów stałych? Przesunięcie o wektor niezerowy. Rzut prostopadły na prostą. Symetria środkowa. V Obrót o kąt α, 0 < α < π.. Które z poniższych równań jest równaniem okręgu? + y + 4 y 6 = 0 ( ) + y + 4 = 0 + y = 0 V ( + ) + ( y 4) 5= 0 3. Która z poniższych funkcji jest parzysta? ( ) gdy > f = g( ) = log 0 gdy ( ) gdy < 0 h = V k ( ) = log gdy > 0 4. Która z poniższych funkcji ma zbiór wartości równy przedziałowi 0;? f ( ) = 0 gdy 0 gdy > 0 g( ) = + h( ) = V k( ) = + cos 4

5. Dany jest ciąg a n = stnieje n takie, że a n =,003 Dla każdego n a n >,00 stnieje n takie, że a n =,00 V stnieje n takie, że a n <,00 n +. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? n 6. Punkt P ' jest obrazem punktu P w symetrii środkowej względem punktu O. Która z poniższych równości jest prawdziwa? OP = OP PP = OP OP = OP V PO = P O 7. Które z poniższych równań ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste? 4 5 0 + = + 5 + = 0 4 4 4 + 4 = 0 V 4 4 = 0 4 8. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną?,533333... + ( 4 )( 4 + 3) V + 9. Która z poniższych figur jest wypukła? V Półpłaszczyzna Okrąg Dwa różne punkty Koło 4

0. Które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych zbiorów A, B, C? ( A B) A = A ( A B) C = A ( B C) ( A B) A = B V A ( B C) = ( A B) ( A C) 43

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania X Odpowiedź V X X X 3 X X 4 X X 5 X X 6 X 7 X 8 X X X 9 X X 0 X X 44

ZADANA Z KONKURSU 0-0 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Funkcja f spełnia dla każdego 0 równość: ( ) f ( ) + f = 7 le wynosi f(3)? 5 3 V 5 4. Dla liczb rzeczywistych, y definiujemy działanie: y = y. le wynosi a ( a a)? 8 a 4 a + 3. Wiadomo, że = 3. le wynosi +? a V a 3 6 7 V 9 4. Sześciokąt A powstał przez połączenie odcinkami środków sąsiednich boków sześciokąta foremnego o polu 4. Pole sześciokąta A jest równe 3 V 3 5. Dane są punkty: A = ( 6, 9), B = ( 7, 7 ), C = ( 3,5) mają brzeg trójkąta ABC i okrąg o równaniu + y = 36? 0 V 3. le punktów wspólnych 6. Która z poniższych funkcji jest funkcją liniową? f ( ) = f ( ) = ( ) = f V 3 + f ( ) = + 7. Układ równań 3 3y = 9 6y = p dla każdej wartości p nie ma rozwiązań dla każdej wartości p ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej wartości p ma nieskończenie wiele rozwiązań dla p = jest układem sprzecznym V 45

8. Każda liczba dodatnia podzielna przez 3, może być przedstawiona dla pewnego całkowitego i dodatniego n w postaci 3n 3 3 n + 3 n 3 + 3 V n 3 3 9. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział [ ;4) zbiór [ ;) (4; ) przedział [ ;) V przedział ( 4; ) + > 0. W sześcioosobowej grupie dzieci o różnych imionach, są cztery dziewczynki i dwóch chłopców. Dzieci te losowo dzielimy na dwie grupy po trzy osoby. Prawdopodobieństwo, że w każdej trójce jest jeden chłopiec jest równe 3. W wielokącie foremnym W losujemy dwa spośród jego wierzchołków. Prawdopodobieństwo tego, że łączący je odcinek nie jest bokiem wielokąta W wynosi 3. Stąd wynika, że W jest kwadratem W jest sześciokątem W jest siedmiokątem V W jest ośmiokątem. Na płaszczyźnie dany jest szesnastokąt foremny. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne, których wierzchołki są wybrane spośród wierzchołków tego szesnastokąta. Trójkątów takich jest 96 44 V 7 3. Zbiór liczb rzeczywistych spełniających nierówność 3 3 jest przedziałem ( ; ] przedziałem [ 3; ) przedziałem [ ; 3] V zbiorem [ ; ] [3; ) 3 ( )( ) ( ) 0 4. Sześcian o przekątnej d ma takie samo pole powierzchni całkowitej, jak kula o promieniu 3. le wynosi d? V 3 5 6 π 8 π 4 π V π 46

5. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość, a krawędź boczna prostopadłościanu ma długość. Jaką długość ma najdłuższy odcinek łączący wierzchołek prostopadłościanu ze środkiem krawędzi podstawy prostopadłościanu? 6 3 6. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 0. + Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + ) > 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A B jest zbiorem pustym B A jest zbiorem pustym A B = B A B = A V 7. Dane są dwa koła K = {(, y) : + y 9} K = {(, y) :( ) + y 5} Jakie jest wzajemne położenie tych kół? Koła są rozłączne Koło K jest podzbiorem koła K Koło K jest podzbiorem koła K V Koła mają dokładnie jeden punkt wspólny 8. Dla jakich wartości m równanie m + = 0 ma dwa pierwiastki? m ( ; ) ( ; ) m ( ; ) m ( ; ) V m ( ; ) 9. W jakim stosunku zmieszać roztwór cukru o stężeniu % z roztworem cukru o stężeniu 5 %, aby otrzymać roztwór cukru o stężeniu 4 %? 3 : : 3 : V : 0. Dla jakiej wartości z przedziału < 0 ;π > spełniony jest układ warunków π 6 7π 6 sin = cos > 0 4π 3 V V 3 5π 3 47

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Zaliczono punktów 48

ETAP - FNAŁ Część Zadania Zadanie. W trapezie ABCD o podstawach AD i BC punkt O jest punktem przecięcia przekątnych. Dane są pola trójkątów P = PΔAOD i P = PΔBOC. Wyznaczyć pole trapezu. Zadanie. Liczby a, b, c, d są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego rosnącego i są pierwiastkami równania Wyznacz q. 4 5 + q = 0. Zadanie 3. Symbol E () oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą liczbie. Narysuj wykresy funkcji: a) f ( ) = E( ) dla < ; > b) g( ) = E( ) dla < ; > 49

Zadanie Szkic rozwiązania. Rozwiązania zadań B b C h O h A a D Niech: AD = a, BC = b h wysokość trójkąta BOC opuszczona na BC, h wysokość trójkąta AOD opuszczona na AD, h = h + h wysokość trapezu ABCD Zatem P = PΔAOD = ah ; P = PΔBOC = bh ; Pole trapezu jest równe a + b h + h = ah + ah + bh + bh = P + P + ah + Trójkąt AOD jest podobny do trójkąta BOC, zatem Stąd: P = ( )( ) bh h P h =, P b a = P P h h. Zatem: = a b = P P ( P P ) b P h P P P P = P + P + h + b = P + P + = P + P + P P P P P = + Zadanie Szkic rozwiązania. Oznaczmy: = t. Z warunków zadania wynika, że równanie t 5t + q = 0 ma dwa pierwiastki dodatnie t, t takie, że b = c = t a = d = t przy czym b jest liczbą przeciwną do c, zaś a jest liczbą przeciwną do d. Ponieważ d c = c b i b = c więc d = 3c. Zatem t = 9t. Ze wzorów Viete'a mamy: t t = q t + t = 5 Rozwiązując układ trzech ostatnich równań otrzymamy odpowiedź: q = 9 / 4. 50

Zadanie 3 Szkic rozwiązania. a) 4 3 - - 0 b) 4 3 - - 0 5

Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Przekrój czworościanu foremnego płaszczyzną może być: trójkątem równobocznym trójkątem o każdym boku różnej długości kwadratem pięciokątem V. Niech p będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian p + p jeden pierwiastek rzeczywisty. Pierwiastek ten V jest ujemny jest wymierny jest liczbą całkowitą parzystą może być liczbą pierwszą. ma dokładnie 3. Wielomian + a + b a + b. Warunek ten oznacza, że zbiorem pierwiastków jest zbiór {0} jest spełniony, gdy b = 0 nigdy nie jest spełniony V jest spełniony, gdy a = 0. ma ten sam niepusty zbiór pierwiastków, co wielomian 4. Które z poniższych równań nie ma pierwiastków rzeczywistych? 4 + 6 + 9 = 0 4 6 + 9 = 0 4 + 3 + 5 = 0 V 4 + 3 + = 0 5. Dana jest funkcja f ( ) = 6 + 9 Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dla każdego < 0, f ( ) > 0 Dla każdego, f ( ) > 0 stnieje < 0 taki, że f ( ) = 0 V stnieje taki, że f ( ) = 0 5

6. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? ( 3 3 )( 3 + 3 ) 0,6343434... ( 4 0)(4 + 5) 3 + V 3 3 7. Która z poniższych figur ma środek symetrii? V Półprosta Dwa różne punkty Trzy różne punkty niewspółliniowe Dwie proste równoległe 8. Dane są wzory na n-ty wyraz ciągu ( N+ n n ) : n a = log b = log n (n) c n = log V n ( d n = log Który z tych ciągów jest ciągiem geometrycznym? n ) 9. Który z poniższych zbiorów jest jednoelementowy? {a, Ø} {a, a} {{a}} V {Ø} 0. Który z poniższych ułamków ma rozwinięcie dziesiętne skończone? 00 5 00 0 V 00 6 00 75 53

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X X X X 3 X 4 X X X 5 X X 6 X X X X 7 X X 8 X X 9 X X X 0 X X 54

ZADANA Z KONKURSU 0-03 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Liczba ( 7 + 3 7) + (7 3 7) jest niewymierna całkowita parzysta całkowita nieparzysta V wymierna niecałkowita π. Ciąg ( a n ) w którym a n = cos dla n =,,3,... jest + n rosnący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie rosnący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze niż malejący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie V malejący, a wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze niż 3. Dany jest układ równań y = 4 = y 3 le jest par (, y) spełniających ten układ równań? jedna dwie trzy V cztery 4. Liczba N ma 0 cyfr i są to same siódemki. Zatem liczba N jest podzielna przez 9 V 5. Niech f ( ) = cos, g( ) = dla R. Wówczas: funkcja f ( g( )) jest parzysta funkcja f ( g( )) jest nieparzysta funkcja g ( f ( )) jest parzysta V funkcja g ( f ( )) jest nieparzysta 6. le punktów o obu współrzędnych całkowitych należy do zbioru A = {(, y) : 3 + y 8} 4 8 6 V 4 7. Dany jest zbiór A = { a, b,{ a}}. Które z poniższych zdań jest fałszywe? { a} A { a} A Ø A V Ø A 55

8. Wielokąt wypukły ma 75 przekątnych. le boków ma ten wielokąt? 50 5 0 V 40 9. Która z poniższych funkcji ma zbiór wartości równy przedziałowi (0;>? + sin f ( ) = f ( ) = f ( ) = V + f ( ) = 0. Rozpatrujemy trójkąty, których wierzchołki są wierzchołkami sześcianu. le jest wśród nich trójkątów równobocznych? 4 8 V 4. Suma pierwiastków równania wynosi 9 3 + 7 = 0 3 V 7. Przekątna rombu ma długość 6. Pole rombu wynosi 4. Jaką długość ma bok rombu? 5 0 6 V 3. Miary kątów trójkąta tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Suma miar najmniejszego i największego kąta tego trójkąta wynosi 00 0 0 0 50 0 V 90 0 4. Na rysunku przedstawione są trzy wektory: a ρ ρ ρ, b, c Który z poniższych związków między tymi wektorami jest prawdziwy? ρ ρ ρ a + b + c = 0 ρ ρ ρ ρ a + c = b ρ ρ ρ ρ ρ ρ a + b = c V b + c = a 5. Pole trójkąta, którego długości przyprostokątnych są pierwiastkami równania 5 + 3 = 0 jest równe 3,5 V 56

6. Dane są dwa koła K = {(, y): + y 9} K = {(, y): ( ) + y } Jakie jest wzajemne położenie tych kół? Koła są rozłączne Koło K jest podzbiorem koła K Koło K jest podzbiorem koła K V Koła mają dokładnie jeden punkt wspólny 7. W ciągu (a n ) wyraz a n wynosi 4 n + n + le wynosi wyraz a n- dla n >? 4n + n 4n n V 4n + n + 8. Dana jest funkcja f ( ) = 4. Którą z poniższych równości spełnia ta funkcja dla wszystkich, y R? f ( + y) = f ( ) + f ( y) f y = f + f y ( ) ( ) ( ) f ( + y) = f ( ) f ( y) V f ( y ) = f ( ) f ( y ) 9. le wynosi kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego + p p = 0, p 0? 3 p 3 p 5 p V p 3 0. Zbiór A jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności + 0. Zbiór B jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ( )( + ) > 0. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A B jest zbiorem pustym B A jest zbiorem jednoelementowym A B = B V A B = B 57

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 58

Zadanie. Dane są funkcje: ETAP - FNAŁ Część Zadania dla < 0 f ( ) = 0 dla = 0 oraz g( ) = dla > 0 Napisz wzory określające funkcje: f ( f ( )), f ( g( )), g( f ( )), g( g( )). Zadanie. W trójkąt ABC o podstawie długości c = AB i kącie ACB o mierze γ wpisano okrąg o środku O. Przez punkt O i wierzchołki A oraz B poprowadzono okrąg o środku S. Wyznaczyć długość promienia tego okręgu. Zadanie 3. Dana jest prosta y = oraz punkt P = (,3). Znajdź zbiór punktów równoodległych od danej prostej i od punktu P. Narysuj ten zbiór. 59

Zadanie. Odpowiedź. Rozwiązania zadań dla < 0 dla ( ;0) (; ) f ( f ( )) = 0 dla = 0 f ( g( )) = 0 dla {0,} dla > 0 dla (0, ) dla < 0 g ( f ( )) = 0 dla = 0 4 3 g( g( )) = 4 + + 4 3 dla > 0 Zadanie. Szkic rozwiązania. Długość promienia rozpatrywanego okręgu to np. długość odcinka OS. Niech kąt CAB ma miarę α a kąt ABC ma miarę β. Ponieważ odcinki OA i OB są zawarte są w dwusiecznych odpowiednich kątów trójkąta ABC to miara kąta COB jest równa π (α + β)/. Lecz α + β = π γ, zatem miara kąta COB jest równa π/ + γ/. Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta COB otrzymujemy: c c OS = = sin( π / + γ / ) cos( γ / ) Zadanie 3. Rozwiązanie. Niech punkt (, y) należy do poszukiwanego zbioru. Jego odległość od punktu P jest równa od prostej y = jest równa y. Przyrównujemy te odległości: ( ) + ( y 3) = y Podnosimy obustronnie do kwadratu: ( ) + ( y 3) = ( y ) ( ) + ( y 3), zaś jego odległość Stąd: y = + 3 4 Jest to parabola o wierzchołku (, ) z ramionami skierowanymi do góry. 60

Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Które z poniższych zdań jest prawdziwe: Ø = {Ø} Ø {Ø} Ø {Ø} V {Ø, Ø} = {Ø}. Dane są funkcje: π π f ( ) = cos, g( ) = sin, h( ) = sin, k( ) = sin( π ). Które z poniższych zdań jest prawdziwe: f ( ) = g( ) ( ) k( ) f = ( ) h( ) f = V g ( ) = k( ) 3. Dana jest funkcja f określona wzorem f ( ) = + 3. Które z poniższych zdań jest prawdziwe: Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Zbiór wartości funkcji f jest ograniczony Funkcja f jest malejąca V Dla każdej liczby k należącej do przedziału (0; ) istnieje taka liczba, że f ( ) = k 4. Które z poniższych równań przedstawia prostą na płaszczyźnie: 3 y + = y = 0 y = 0 V + y + y = 0 5. Czworościan może mieć: dokładnie jedną oś symetrii dokładnie trzy osie symetrii pole powierzchni większe niż km i jednocześnie objętość mniejszą niż mm 3 V trzy pary krawędzi wzajemnie prostopadłych 6

6. Która z poniższych liczb jest liczbą wymierną? ( 5 3 7) + ( 5 + 3 7) ( 4 )( 4 + 3) + V 0 7. Dana jest funkcja f ( ) = 4 + 4 Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dla każdego < 0, f ( ) > 0 Dla każdego, f ( ) > 0 stnieje < 0 taki, że, f ( ) = 0 V Dla każdego > 0, f ( ) > 0 8. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? sin sin Funkcja f ( ) = + jest parzysta Funkcja sin g( ) = sin jest nieparzysta Funkcja sin h ( ) = + nie jest parzysta i nie jest nieparzysta V Funkcja cos k ( ) = + nie jest parzysta i nie jest nieparzysta 9. Pole powierzchni kuli wpisanej w walec V jest mniejsze od powierzchni walca nie przekracza pola powierzchni bocznej walca nie przekracza sumy pól podstaw walca jest większe od sumy pól podstaw walca i mniejsze od jego pola powierzchni bocznej 0. Liczba n + 87 jest podzielna przez liczbę n (n jest liczbą całkowitą dodatnią). Wynika stąd, że n 87 n jest liczbą nieparzystą n jest liczbą pierwszą n jest kwadratem liczby całkowitej V 6

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X X X X 3 X X X X 4 X X 5 X X X 6 X X X 7 X 8 X X X 9 X X 0 X X 63

ZADANA Z KONKURSU 03-04 ETAP Przy każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest prawidłowa.. Dwa kolejne wierzchołki kwadratu leżą na okręgu o promieniu, a pozostałe dwa na średnicy tego okręgu. Długość boku tego kwadratu wynosi: 5 5 V 5 5. Okrąg o promieniu 0 i okrąg o promieniu 7 przecinają się w dwóch punktach. Długość wspólnej cięciwy wyznaczonej przez te punkty wynosi 6. Odległość między środkami tych okręgów wynosi: 5 7 V 3 3. Prostokąt ABCD ma bok AB o długości 5 i bok BC o długości 3. Przekątna AC została podzielona punktami E i F na trzy odcinki o równej długości. Pole powierzchni trójkąta EFB wynosi: 5 5 3 an + 4. Ciąg (a n ) spełnia dla n =,, zależność a n+ =, oraz a =. le wynosi wyraz a 0? 49 50 5 V 5 5. le rozwiązań ma równanie + 3 = +? 30 3 V 5 3 V Nie ma rozwiązań. Ma dokładnie jedno rozwiązanie. Ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ma dokładnie dwa rozwiązania. 6. O ile procent należy zwiększyć promień koła, by pole koła powiększyło się czterokrotnie? 00% 00% 60% V 40% 7. Która z poniższych brył ma największą objętość? Czworościan foremny o krawędzi 5. Walec o promieniu podstawy 0,5 i wysokości 5. Kula o promieniu. V Stożek o wysokości 5 i tworzącej 4. 64

8. Dany jest ciąg geometryczny a n = n n =,, 3,... le wynosi suma n początkowych wyrazów tego ciągu? n n n 3 ( ) 6 ( ) ( ) V n 9. Pierwiastki równania kwadratowego m + p m = 0, m 0 oznaczamy:,. le wynosi p + m m p + 4m m +? V p + m 0. Dany jest wielomian W + ( ) =, n N. le wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian +? 0 V 86. Ostatnia cyfra liczby 76 to: 4 6 V 8. Zbiór punktów płaszczyzny Oy spełniających równanie + y = V jest zbiorem czteroelementowym. brzegiem kwadratu. okręgiem. zbiorem nieograniczonym. 3. Dane są funkcje: V Funkcja f ( g( )) jest parzysta i okresowa. parzysta i nieokresowa. nieparzysta i okresowa. nieparzysta i nieokresowa. p m f ( ) =, g( ) = sin 65

4. Liczba, której czwarta część powiększona o 5 jest równa trzeciej części tej liczby pomniejszonej o 5 jest większa niż 400. jest nieparzysta. jest mniejsza niż 400. V nie istnieje. 5. Koło ma promień r i obwód a. Która wypowiedź jest prawdziwa? V Jeżeli a jest liczbą niewymierną, to r też jest liczbą niewymierną. Jeżeli a jest liczbą wymierną, to r też jest liczbą wymierną. Jeżeli a jest liczbą naturalną, to r jest liczbą niewymierną. Jeżeli a jest liczbą naturalną, to r jest liczbą wymierną. 6. Która z poniższych funkcji ma wykres symetryczny do wykresu funkcji względem prostej y =? ( ) = log ( ) = + log g 3 g 3 g( ) = 3 log V g( ) = 3 + log 7. le rozwiązań ma równanie: Nie ma żadnego. Dokładnie jedno. Dokładnie trzy. V Dokładnie pięć. 5 4 3 + + + + + = 0? f ( ) = 3 8. Funkcja + f ( ) = jest rosnąca. jest malejąca. jest parzysta. V jest nieparzysta. 9. Liczba log 00 + 4 jest równa log 00 log 5 (log 00) + V (log 00) 00 + 0. Dane są zbiory: A = {Ø} oraz B = {{ Ø}}. Zatem: A = B = Ø A = B Ø A B `V A B 66

Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 67

ETAP - FNAŁ Część Zadania Zadanie. Rozwiąż nierówność: 3 6 + 9 4 > log 0,8 (3 ) Zadanie. Na czworokącie ABCD opisano okrąg i wpisano okrąg. Różnica długości boków AD i BC jest równa różnicy długości boków AB i CD. Wykazać, że przekątna AC jest średnicą okręgu opisanego na tym czworokącie. Zadanie 3. Punkt skupienia zbioru A na płaszczyźnie jest to taki punkt P tej płaszczyzny, że w dowolnym kole otwartym (tzn. bez okręgu koła) o środku P znajduje się przynajmniej jeden punkt różny od punktu P i należący do zbioru A. Uwaga. Punkt P nie musi (choć może) należeć do zbioru A. Na płaszczyźnie Oy dany jest zbiór A =, y : n =,,3,... ; 0 < y <. n Wyznacz zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A. Wyznaczony zbiór możesz opisać słowami lub symbolami albo narysować. 68

Zadanie. Rozwiązanie. Nierówność ma sens, gdy Rozwiązania zadań 3 6 + 9 4 0 () i 3 > 0 () Rozwiązanie (): ( ) ( 4) 0, stąd: < 4; ) {} Rozwiązanie (): ( 3 ) > 0, stąd: (0; 3) () i (): =. Podstawiamy = do nierówności: L =, P = log 0, nierówność jest spełniona. Odpowiedź: =. 0 0, 8 < Zadanie. Szkic rozwiązania. D δ γ C A α β B Mamy z założenia AD - BC = AB - CD oraz warunek na możliwość wpisania okręgu AD + BC = AB + CD Dodając równości stronami otrzymamy AD = AB czyli AD = AB. Zatem również BC = CD. Stąd trójkąty ABC i ACD są przystające. Warunek opisania okręgu dla miar odpowiednich kątów α + γ = β + δ = 800. Z przystawania trójkątów ABC i ACD mamy β = δ zatem β = 800 i β = 900. Kąt wpisany jest prosty więc musi być oparty na średnicy. 69

Zadanie 3. Rozwiązanie:, y : n =,,3,... ; 0 y { (0, y) : 0 y } n albo opis słowny: Szukany zbiór jest sumą: - zbioru A, () - ciągu,0 n =,,3,... (ciąg na osi O), () n - ciągu, n =,,3,... (ciąg na prostej y = ), (3) n - odcinka o końcach (0,0) i (0,) wraz z końcami (odcinek na osi Oy). (4) 70

Część PYTANA TESTOWE Po każdym pytaniu są podane 4 odpowiedzi oznaczone cyframi rzymskimi,, i V. Z tych odpowiedzi jedna, dwie, trzy lub cztery są prawdziwe.. Który z poniższych zbiorów jest dwuelementowy: {a, a, a, b, b} {a, {a}} {{a}, {b}} V {{a, b}}. Funkcja f każdej liczbie naturalnej dodatniej n przyporządkowuje liczbę jej dzielników. Które z poniższych zdań jest prawdziwe: f ( n + ) > f ( n) dla każdego n f ( n) > f ( n) dla każdego n f ( n) = + f ( n) dla każdego n V Jeżeli f ( n) = to f ( n + ) > 3. Który z poniższych podzbiorów płaszczyzny Oy jest ograniczony: {(, y) : R y R + y 4} {(, y) : R y R + y 4} {(, y) : R y R + y 4} V {(, y) : R y R + y 4} 4. Które z poniższych równań ma dokładnie dwa rozwiązania: = = = + V = + 0 5. Dla układu równań + y = t R + y = t rozpatrujemy funkcję f (t) o wartościach równych liczbie rozwiązań tego układu. Wtedy Wykres funkcji f ma oś symetrii. Funkcja f jest niemalejąca. Zbiór wartości funkcji f jest dwuelementowy V Funkcja f jest różnowartościowa. 7

6. Niech log k = log 7. Wtedy 5 log 4 7 k = k = log 4 7 log 4 5 log 5 4 k = log 5 7 V k = log 7 5 7. Na rysunku przedstawione są trzy wektory: a ρ ρ ρ, b, c c b a Który z poniższych związków między tymi wektorami jest prawdziwy? ρ ρ ρ a + b + c = 0 ρ ρ ρ ρ c a = b ρ ρ ρ ρ c + b = a V b a ρ + = c 8. Która z poniższych funkcji ma zbiór wartości równy przedziałowi 0;? f ( ) = cos g( ) = + h( ) = V k( ) = + cos 9. Które z poniższych przekształceń płaszczyzny jest izometrią? Rzut prostopadły na prostą. Symetria środkowa. Jednokładność o skali. V Symetria osiowa. 0. Która z poniższych funkcji jest parzysta? f ( ) = sin sin 3 g( ) = sin 3 cos h( ) = log V k ( ) = log 7

ODPOWEDZ Prawidłowe odpowiedzi zaznaczono znakiem X. Numer pytania Odpowiedź V X X X X 3 X X 4 X X X 5 X 6 X X 7 X X 8 X X 9 X X X 0 X X 73

ZADANA Z KONKURSU 04-05 ETAP. Pierwiastki równania kwadratowego p + = 0 oznaczamy i. 3 3 Jaka jest wartość wyrażenia +? p 4 8 p p 8 V p + 8. Który z poniższych wzorów określa n-ty wyraz ciągu geometrycznego? a n = sin nπ + cos nπ a n = sin n + cos n V a sin nπ cos nπ n = + a n = (sin n + cos n) 3. le rozwiązań ma równanie = 3 V 4 4. Dana jest funkcja f ( ) =.Którą z poniższych równości spełnia ta funkcja dla wszystkich, y R? f ( + y) = f ( ) f ( y) f ( + y) = f ( ) + f ( y) f ( y) = f ( ) [ f ( y)] + V f ( + y) = f ( ) + [ f ( y)] 5. Który z poniższych przedziałów jest zbiorem wartości funkcji f ( ) =? 4 + + < ; ) ( 0; ) ( 0; ) V ( 0; 6. le podzbiorów ma zbiór { { {Ø } } }? 4 V 8 7. Równość ( A B) B = A jest prawdziwa: V dla dowolnej pary zbiorów rozłącznych A, B dla dowolnej pary zbiorów A, B tylko wtedy gdy zbiór B jest pusty gdy zbiór B jest podzbiorem zbioru A 74

8. Samochód wjechał pod górę ze stałą prędkością 30 km/h po czym zjechał po tej samej trasie ze stałą prędkością 90 km/h. Średnia prędkość samochodu na całej trasie wynosiła: 45 km/h 50 km/h 60 km/h V 75 km/h 9. le dzielników naturalnych ma liczba miliard? 89 90 99 V 00 0. Liczba 0,44444. (po przecinku same czwórki) Jest mniejsza od 9 4. Jest mniejsza od 9 5. Jest niewymierna. V Należy do zbioru rozwiązań nierówności <.. Równość a + b + c = a + b + c, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, jest prawdziwa: V Jeśli liczby a,b,c są ujemne. Dla dowolnych liczb a,b,c. Wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a,b,c są nieujemne. Jeśli jedna z liczb a,b,c jest równa zero.. Okrąg przecina wszystkie boki czworokąta wycinając z nich równe odcinki. Stąd wynika, że: V Na tym czworokącie można opisać okrąg. W ten czworokąt można wpisać okrąg. Ten czworokąt jest kwadratem. Ten czworokąt jest prostokątem. 3. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b, c; a < b < c. Obracając ten trójkąt wokół boku długości a otrzymujemy bryłę o objętości V a, obracając ten trójkąt wokół boku długości b otrzymujemy bryłę o objętości V b, obracając ten trójkąt wokół boku długości c otrzymujemy bryłę o objętości V c. Wtedy: V a < V b V a < V c V c < V b V V b < V c 4. Jeśli dla dodatnich liczb całkowitych, y, z, które nie mają wspólnego dzielnika większego od spełniona jest równość log 00 5 + y log 00 = z, to + y + z wynosi: 6 7 8 V 9 75