Archimedes Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę Ziemię! tak ponoć zawołał Archimedes po odkryciu zasady dźwigni. Mędrzec ów miał talent nie tylko do spektakularnych odkryć, ale i do efektownych wykrzykników! KOŁO ZAINTERESOWAO MATEMATYCZNO PRZYRODNICZYCH KARTY PRACY Leonardo z Pizy zw. Fibonaccim Analizując zagadnienie dynamiki rozmnażania się królików, Fibunacci opisał ciąg liczb, z których każda jest suma dwóch poprzednich. Ciąg ów okazał się nieśmiertelny do dziś jest odkrywany w rożnych zjawiskach przyrodniczych takich jak np. struktura Kaputy, muszli czy kalafiora. Źródło: materiały własne www.gwo.pl materiały szkoleniowe GWO Internet Opracowanie mgr Rafał Góra 60 S t r o n a
Cele pracy Głównym założeniem Koła jest rozwijanie zdolności poznawczych uczniów oraz pobudzanie ich do samodzielnego i logicznego myślenia poprzez zabawy, gry, ćwiczenia, różnego rodzaju łamigłówki umysłowe oraz ciekawostki matematyczne, przyrodnicze i fizyczne. Zadania, zabawy i ćwiczenia w programie zostały dobrane w taki sposób, aby pobudzały naturalne zainteresowania uczniów i zachęcały do twórczości na miarę ich indywidualnych możliwości. Zastosowane w programie metody i formy pracy mają stymulować wszechstronną aktywność ucznia w procesie nauczania i wychowania, odpowiadają one uczeniu się przez przyswajanie, odkrywanie przeżywanie i działanie. Związane jest to z pobudzaniem różnych form jego aktywności: emocjonalnej, werbalnej, intelektualnej, a także ruchowej i manipulacyjnej. Zasadniczym celem zajęć jest stwarzanie sytuacji, w której każdy uczeń osiąga sukcesy w matematyce. Program dla uczniów zainteresowanych matematyką i chętnych pogłębienia wiedzy. Ma na celu poszerzenie oraz pogłębienie wiadomości i umiejętności matematycznych, kształtowanie postaw twórczych, rozwijanie pomysłowości w myśleniu i działaniu oraz pokazania iż matematyka to nie abstrakcja a otaczający nas świat. Twoje notatki Cele Koła: - rozbudzanie i kształtowanie zainteresowań matematycznych, - rozwijanie uzdolnień, - uczenie logicznego myślenia, - aktywizowanie ucznia, zachęcanie do przejawiania inicjatywy i realizowania własnych pomysłów, - rozwijanie umiejętności poszukiwania różnych, nietypowych rozwiązań, - uczenie uważnego analizowania treści zadania - korzystanie z informacji za pomocą tabel i wykresów, - wdrażanie do rozwiązywania różnych problemów praktycznych, - przygotowanie uczniów do udziału w konkursach matematycznych, - kształtowanie umiejętności stosowania matematyki w różnych dziedzinach nauki, - lepsze poznanie świata przyrody, Rysunek ze strony pierwszej: Rene Descartes Podobno umysł Kartezjusza funkcjonował najsprawniej, gdy jego ciało znajdowało się w pozycji horyzontalnej. Ci, co skojarzą ten fakt z lenistwem mylą się genialne odkrycia Descartes a dotyczące geometrii analitycznej przyczyniły się do powstania zupełnie nowych metod uprawiania matematyki. 2 S t r o n a S t r o n a 59
Odpowiedzi: 1. Dwie trzecie, 2. Prostopadła, 3. Stopa procentowa, 4. Siatka sześcianu KARTA 17 Rebusy 1. 2. 3. 4. Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata. Roger Bacon 58 S t r o n a S t r o n a 3
KARTA 1 Kwadraty magiczne Twoje notatki 4 S t r o n a S t r o n a 57
KARTA 16 56 S t r o n a S t r o n a 5
Twoje notatki 6 S t r o n a S t r o n a 55
KARTA 15 54 S t r o n a S t r o n a 7
3. Twoje notatki 8 S t r o n a S t r o n a 53
KARTA 14 Na dobry początek: 1. Oblicz pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o wymiarach 4 m x 7 m x 2 m. Siatka sześcianu 2. Wybierz dowolny prostopadłościan i odpowiedz na pytania: Prostopadłościan: Wymiary: Łączna długość krawędzi: Pole powierzchni bocznej: 3. Narysuj siatkę dowolnego prostopadłościanu: Wzór na pole powierzchni bocznej prostopadłościanu: P=, gdzie. 52 S t r o n a S t r o n a 9
KARTA 2 Sztuczki z liczbami Twoje notatki 10 S t r o n a S t r o n a 51
KARTA 13 1. Narysuj trójkąt ABC o polu powierzchni 12 cm 2. Opisz rysunek. 2. Trapez równoramienny podzielno tak jak na rysunku. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta AED jest równe 1050 cm 2. Zapisz dokładnie, krok po kroku rozwiązanie zadania: D a=5 dm h=7 dm C A E B Wzór na pole trójkąta: P=, gdzie. Wzór na pole trapezu: P=, gdzie Trapezem jest np.: 50 S t r o n a S t r o n a 11
3. Twoje notatki 12 S t r o n a S t r o n a 49
KARTA 12 Na dobry początek: Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki R.Bacon Twoje notatki Wzór na obwód prostokąta: Obw.=, Wzór na pole prostokąta: P=, gdzie to. Kwadrat jest prostokątem! 1.Obwód prostokąta jest równy 40 cm, Jeden z boków ma 7 cm. Oblicz pole powierzchni tego prostokąta. 2. Zapisz dokładne wymiary swojego pokoju oraz oblicz jego pole powierzchni: Wymiary: x. Pole powierzchni: 3. Prostokątna działka ma powierzchnię 15 a. Długość tej działki wynosi 50 m. Jaka jest jej szerokość? 4. Podaj przykład równoległoboku z twojego otoczenia. Zmierz jego wymiary i oblicz pole powierzchni. P r z yk ł a d Wymiary Pole powierzchni Uzupełnij: 1 cm 2 = mm 2 1dm 2 =. m 2 1m 2 =. cm 2 - Jeden hektar to pole powierzchni kwadratu o boku długości m. - Jeden ar to pole powierzchni kwadratu o boku długości m. 1 ha = m 2 1 a= ha= m 2 5. Znajdź i napisz dowolny aforyzm matematyczny wraz z jego autorem. Wzór na pole równoległoboku: P=, gdzie. Wzór na pole rombu: P=, gdzie to. Równoległobokiem jest: 48 S t r o n a S t r o n a 13
KARTA 3 Kartka ma tylko dwie strony? 9. SILOSY 1. Trzy silosy zbożowe mają następujące pojemności: A 8 tysięcy ton (jest w tej chwili pełny) B 5 tysięcy ton (jest w tej chwili pusty) C 3 tysiące ton (jest w tej chwili pusty) Musisz umieścid 4 tysiące ton w A i 4 tysiące ton w B. Żaden z silosów nie jest wyskalowany. Jak to zrobisz? 14 S t r o n a S t r o n a 47
7. ANALOGIA 2. A ma się do B jak C do...? 8. NASTĘPNA LITERA Która z poniższych liter jest następna w tym ciągu? 46 S t r o n a S t r o n a 15
KARTA 4 Wstęga Möbiusa 6. BRAKUJĄCA PŁYTKA Wskaż brakującą płytkę. 16 S t r o n a S t r o n a 45
4. ILE TROJKĄTOW? Ile trójkątów jest na tym rysunku? 5. NASTĘPNA FIGURA Twoje notatki Która z poniższych figur jest następna w tym ciągu? 44 S t r o n a S t r o n a 17
KARTA 5 Sudoku 3. DOMINO Ułóż poniższy prostokąt z kostek domina. Kostki w dominie mają następujące liczby oczek: 0 0 0 1 1 1 0 2 1 2 2 2 0 3 1 3 2 3 3 3 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 18 S t r o n a S t r o n a 43
KARTA 11 Łamigłówki rysunkowe 1. NARYSUJ JEDNĄ LINIĄ Narysuj tę figurę bez odrywania ołówka od papieru (linie mogą się krzyżowad, ale nie wolno 2 razy pociągnąd tej samej linii). Twoje notatki 2. ILE KWADRATOW? Ile kwadratów jest na tym rysunku? 42 S t r o n a S t r o n a 19
(rozwiązanie: 1EN34574M 5W24ZD4 1234567EJ9K4) KARTA 6 Szyfrujemy RYBA Z ośmiu zapałek ułożyłem taką oto rybę: 1. SZYFR PODSTAWIANY: KLUCZ PITAGORAS P I T A G O R A S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 W szyfrowanym tekście literę P zastępujemy cyfrą 1, literę I cyfrą 2, literę cyfrą 3 itd. Korzystając z klucza PITAGORAS zaszyfruj tekst: PENTAGRAM GWIAZDA PITAGOREJSKA Jak widad, ma ona długie skrzela i ogon, płynie z lewa na prawo. Zapałki zostały ponumerowane po to, bym mógł podad rozwiązanie problemu, który brzmi tak: Które trzy zapałki wystarczy przestawid w tym układzie, aby identyczna zapałowa ryba płynęła w odwrotną stronę, z prawa na lewo? Zaszyfruj sam jakieś danie i poproś kolegę o odszyfrowanie MNOŻENIE I DOMINO Oto szczególny układ czterech kamieni do gry w domino: Odpowiada on mnożeniu 551 4 = 2204. W podobny sposób, wykorzystując do tego celu wszystkie 29 kamieni domina, można zestawid siedem rożnych mnożeo naraz. Jakie to mnożenia? 20 S t r o n a S t r o n a 41
(rozwiązanie: Kartezjusz) EGZOTYCZNA ŁAMIGŁOWKA DOMINOWA Ze wszystkich narysowanych kwadracików należy ułożyd większy kwadrat na zasadzie dominowej (brzegi stykające się ze sobą muszą byd jednakowo oznaczone). 2. SZYFR TABLICZKA MNOŻENIA Szyfr TABLICZKA MNOŻENIA jest doskonale znany harcerzom. Jest dobrym sposobem na ćwiczenie orientacji na płaszczyźnie. KLUCZ 1 2 3 4 5 1 A B C D E 2 F G H I J 3 K L Ł M N 4 O Ó P R S 5 T U W Y Z Odnajdujemy zaszyfrowaną literę w tabelce, następnie zamiast niej wpisujemy wyrażenie: numer wiersza x numer kolumny. Korzystając z klucza rozszyfruj tekst, a następnie uzupełnij nim zdanie: 3 x 1, 1 x 1, 4 x 4, 5 x 1, 1 x 5, 5 x 5, 2 x 5, 5 x 2, 4 x 5, 5 x 5. francuski matematyk i filozof, twórca układu współrzędnych. Zaszyfruj sam jakieś danie i poproś kolegę o odszyfrowanie 40 S t r o n a S t r o n a 21
(rozwiązanie: ułamki proste) 3. SZYFR UŁAMKOWY Szyfr UŁAMKOWY daje nam okazję do ćwiczeń w zapisywaniu ułamków zwykłych oraz utrwalania pojęć licznik i mianownik ułamka. Może także stać się punktem wyjścia do poleceń typu: Zaszyfruj wiadomość szyfrem ułamkowym. Ile ułamków niewłaściwych otrzymałeś? Wypisz je, a następnie zamień na liczby mieszane. A może: Dodaj najmniejszy i największy z ułamków lub: Które ułamki można skrócić? Wszystko zależy od pomysłowości i inwencji nauczyciela prowadzącego zajęcia. KLUCZ PANIE Pani Kasia powiada, że jest młodsza od pani Jasi. Pani Asia twierdzi, że jest najmłodsza ze wszystkich pao. Pani Basia powiada, że pani Asia jest starsza od pani Jasi. Wreszcie pani Jasia twierdzi, że pani Asia jest młodsza od pani Kasi. Każda z pao jest w innym wieku. Dwie najmłodsze panie kłamią, dwie starsze mówią prawdę. Jaka jest kolejnośd wieku poszczególnych pao? ABCDE FGHIJ KLŁMN OPRST UWXYZ 1 2 3 4 5 Litery szyfrujemy, zapisując je w postaci ułamków. Odszyfruj tekst: 1 5 3 3 1 1 4 3 1 3 4 2, 2 4 3 4 1 4 4 4 5 4 5 1 Zaszyfruj sam jakieś danie i poproś kolegę o odszyfrowanie 22 S t r o n a S t r o n a 39
GRACZE Każdy z trzech panów chętnie grywa i umie znakomicie grad w trzy spośród czterech gier: w szachy, w warcaby, w brydża i w młynek. Oto, co sami mówią o swoich umiejętnościach: Pan Abacki: Wszyscy grywamy w szachy. Babacki jest mistrzem w grze w warcaby. Cabacki umie grad w jedną z gier, której ja nie znam. I Babacki, i Cabacki są znakomitymi brydżystami. Pan Babacki: Tylko Cabacki umie grad w warcaby. Abacki i ja gramy w te same gry. Wszyscy grywamy w młynek. Dwaj spośród nas grywają jednocześnie w brydża i w młynek. Pan Cabacki: Tylko w jedną z gier grywamy wszyscy trzej. Tylko ja grywam w szachy. Nie ma wśród nas takich dwu, którzy grywaliby w te same trzy gry. Abacki myli się twierdząc, że ja i Babacki jesteśmy znakomitymi brydżystami. Każdy z trzech panów dwukrotnie powiedział prawdę i dwukrotnie skłamał. W które z gier grywają poszczególni panowie? 4. SZYFR UŁAMKOWY KSIĄŻKOWY Szyfr UŁAMKOWY KSIĄŻKOWY wymaga od osoby szyfrującej i deszyfrującej korzystania z tego samego wydania określonej książki. 123 15 licznik oznacza stronę książki, a mianownik wskazuje literę na tej stronie Twoje notatki 38 S t r o n a S t r o n a 23
KARTA 7 Kody uważne każdego dnia WYŚCIGI W dorocznych wyścigach konnych na Wyspie Zagadkowej startowało dziewięd koni. Odbyły się trzy gonitwy. Miejscowa prasa oczywiście typowała zwycięzców gonitw. Gazeta Zagadkowa podała typy: Abel, Dabel, Gabel. Express Zagadkowy typował: Babel, Ebel, Gabel. Sztandar Wyspiarski radził obstawiad: Cabel, Fabel, Habel. Głos Zagadkowy podał typy: Babel, Fabel, Ibel. Kurier Zagadkowy typował: Cabel, Dabel, Gabel. Wreszcie Dziennik Zagadkowy radził obstawiad: Abel, Ebel, Ibel. Po wyścigach okazało się, że każda z gazet trafnie określiła co najmniej jednego ze zwycięzców, chod żadna nie wytypowała trafnie wszystkich trzech. Które konie wygrały kolejne trzy gonitwy? 24 S t r o n a S t r o n a 37
WIECZOR KAWALERSKI Pamiętam wieczór, który spędziłem z moimi czterema przyjaciółmi, gdy jeszcze byli kawalerami. Mówiono wiele o przyszłości, wszyscy wszystkim prorokowali. Abacki był zdania, że Babacki nie poprowadzi do ołtarza panny Anny. Babacki przepowiadał, że Cabacki poślubi pannę Celinę. Cabacki był zdania, że Dabacki nie poślubi panny Barbary. Dabacki sformułował najdziwniejsze z proroctw: że na Festiwalu Średniego Uderzenia główną nagrodę zdobędzie zespół Anormalsi. Nikt niczego nie prorokował pannie Danucie, chod wszyscy się zgodzili, że jest ona z panien najpiękniejsza. Po roku wszyscy moi przyjaciele byli już żonaci, każdy z nich poślubił jedną z pao, o których mówiono na kawalerskim wieczorze. Okazali się jednak kiepskimi prorokami sprawdziła się tylko jedna przepowiednia tego z panów, który poślubił pannę Celinę. Wszystkie inne proroctwa okazały się fałszywe. Kto kogo poślubił i czy zespół Anormalsow zdobył wymarzoną nagrodę? 2. Twoje notatki 36 S t r o n a S t r o n a 25
KARTA 8 Twoje notatki Dzień 14 marca jest Światowym Dniem Liczby Pi. O co chodzi z tą liczbą? Okazuje się, że jeśli zmierzysz obwód koła, a potem jego średnicę i podzielisz przez nią obwód, to otrzymasz liczbę, która w przybliżeniu będzie równa 3,14. I tak mają wszystkie koła! Ta liczba jest dla wszystkich kół taka sama. Dom 1 2 3 4 5 Kolor Napój Stąd 14 marca, czyli 3.14 to Dzień Liczby Pi. - to litera alfabetu greckiego. Do oznaczenia liczby użyto jej w 1706 roku. Trzeba dodać, że 3,14 to tylko początek tej liczby. Ma ona nieskończenie cyfr po przecinku i choć obliczono ich już wiele, nigdy nie uda się zapisać całego rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. Marka pap. Mieszkaniec Hodowla Jak zapamiętać początkowe cyfry? Nic prostszego. Naucz się wiersza: Raz w maju, w drugą niedzielę Pi liczył cyfry pan Felek. Pomnożył, wysumował, Cyferki zanotował, Ale ma ich niewiele... Policz literki w każdym wyrazie, zapisz kolejno, a otrzymasz: 3,141592653589793238 Liczba Pi jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. Symbol π został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa. W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku po wydaniu Analizy L. Eulera. Najważniejszą w historii liczby π, prawdziwie przełomową datą był rok 1882, w którym matematyk niemiecki F. Lindemann wykazał ostatecznie, że liczba π jest liczbą przestępną (to znaczy, że nie może ona być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych). 26 S t r o n a S t r o n a 35
KARTA 10 Kto hoduje rybki? - łamigłówki Wykazał on w ten sposób nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła. Legenda mówi, że zadanie to zostało wymyślone przez Alberta Einsteina. Według niego 98% ludzkiej populacji nie jest w stanie go rozwiązad. Prawdopodobnie nie jest to prawda, ale zadanie jest bardzo ciekawe i oryginalne: Pięcioro ludzi zamieszkuje pięd domów w pięciu różnych kolorach. Wszyscy palą papierosy pięciu różnych marek i piją pięd różnych napojów. Hodują zwierzęta pięciu różnych gatunków. Pytanie: Kto hoduje rybki? Ważne informacje: - Norweg zamieszkuje pierwszy dom. - Anglik mieszka w czerwonym domu. - Zielony dom znajduje się po lewej stronie domu białego. - Duoczyk pija herbatkę. - Palacz Rothmansów mieszka obok hodowcy kotów. - Mieszkaniec żółtego domu pali Dunhile. - Niemiec pali Marlboro. - Mieszkaniec środkowego domu pija mleko. - Palacz Rothmansów ma sąsiada, który pija wodę. - Palacz Pall Mali hoduje ptaki. - Szwed hoduje psy. - Norweg mieszka obok niebieskiego domu. - Hodowca koni mieszka obok żółtego domu. - Palacz Philip Morris pija piwo. - W zielonym domu pija się kawę. Jeśli a oznacza szczęście, to a=x+y+z; x to praca, y rozrywki, z umiejętnośd trzymania języka za zębami. Jeżeli zabałaganione biurko jest znakiem zabałaganionego umysłu, znakiem czego jest puste biurko? Albert Einstein 34 S t r o n a Albert Einstein (ur. 14 marca 1879 r. w Ulm w Niemczech, zm. 18 kwietnia 1955 r. w Princeton w USA) jeden z największych fizykówteoretyków XX wieku, twórca ogólnej i szczególnej teorii względności, współtwórca korpuskularno-falowej teorii światła. Laureat Nagrody Nobla za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego. Opublikował ponad 450 prac, w tym ponad 300 naukowych. Wniósł też swój wkład do rozwoju filozofii nauki. Liczba Pi nazywana bywa często ludolfiną. Nazwa ludolfina pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby Pi z dokładnością do 35 cyfr po przecinku. Interesująca jest historia tej liczby. Liczba Pi przechodziła wiele przemian i odmian. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7, która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, danego przez Shanksa. Poniższa tabela wskazuje przebieg tego postępu, z pominięciem jednak drobnych zmian od roku 250 przed naszą erą do roku 1464 naszej ery. Rok 250 p.n.e. 1464 --- 1580 1585 1579 1596 1597 1615 1621 1705 1706 1719 1789 1841 1844 1847 1853 1853 1853 1853 1853 1854 1855 1873 Nazwisko Archimedes Regiomontanus astronomowie hinduscy J. Rhaeticus Piotr Metius Viète Ludolf Van Ceulen Adrian Romanus Ludolf Van Ceulen Snellius Abr. Sharp Machin De Lagny Vega Rutheford Dahse Clausen Shanks Rutheford Shanks Shanks Richter Richter Richter Shanks Liczba znaków dziesiętnych ustalonych 2 3 3 8 6 11 20 16 32 35 72 100 127 143 208 205 250 318 440 530 607 333 400 500 707 S t r o n a 27
Liczba Pi [Wiersz Wisławy Szymborskiej] Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność. O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nieostatnie siedem, przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność do trwania. Ciekawostki Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza. 1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π 10 7 c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365 24 60 60=31 536 000, co w przybliżeniu wynosi π 10 7 c. 28 S t r o n a S t r o n a 33
2. Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Pi. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. Ćwiczenie: Zmierz długość obwodu i promień dowolnego okręgu, koła (np.. szklanki, słoika, talerz). Podziel okręgu przez promienia. Co otrzymałeś? Twoje notatki 32 S t r o n a S t r o n a 29
KARTA 9 Porozmawiajmy o odległości, czasie i prędkości Twoje notatki 30 S t r o n a S t r o n a 31