Raport Badawczy Research Report

Raprt Badawczy Research Reprt RB/46/2007 Metdy krigingwe aprksymacji pmiarów śrdwiskwych L. Bgdan, J. Studziński Instytut Badań Systemwych Plska Akademia Nauk Systems Research Institute Plish Academy f Sciences

POLSKA AKADEMIA NAUK Instytut Badań Systemwych ul. Newelska 6 O 1-447 Warszawa tel. : (+48) (22) 3810100 fax: (+48) (22) 3810105 Kierwnik Pracwni zgłaszający pracę: Prf. dr hab. inż. Zbigniew Nahrski Warszawa 2007

Metdy krigingwe aprksymacji pmiarów śrdwiskwych Lucyna Bgdan, Jan Studziński

Spis treści Wprwadzenie 2 Rdzaje macierzy czasprzestrzennych 2.1 Szeregi czaswe 2.2 Wyniki badań struktur gelgicznych 2.3 Dane meterlgiczne i hydrlgiczne 2.4 Obrazy jak zapis danych czasprzestrzennych 3 Pdstawy teretyczne gestatystyki 3.1 Pjęcie zmiennej zreginalizwanej 3.2 Pdstawwe równania krigingwe 3.3 Obliczanie semiwa1igramu empiryczneg 3.4 Semiwmigramy teretyczne 3.5 Najczęściej stswane rdzaje krigingu 3.6 Etapy bada11 z wykrzystaniem technik gestatystycznych 4 Kkriging 5 Prgramy kmputerwe d bliczeń gestatystycznych 6 Opis pakietu KRlPOS: KRiging POmiarów Srdwiskwych 7 Przykłady wykrzystania metd gestatystycznych Literatura 2

1. Wprwadzenie Pwstanie wiedzy świecie nas taczającym t wynik umiejętnści prwadzenia bserwacji, zapisu wyników raz ich analizy. Osiągnięcia starżytnych w zakresie astrnmii były parte na bserwacjach ruchu słńca, księżyca, planet i gwiazd na niebie. D ich analizy knieczne był wprwadzenie pdstawwych aksjmatów matematycznych z zakresu liczb i gemetrii raz ustalenie jednstki czasu. Obserwacje nieba prwadzne przez starżytnych, t pierwsze wielwymiarwe zbiry czasprzestrzeni. Pjedynczym zbirem czasprzestrzennym nazywać będziemy rekrd danych, w któreg skład wchdzi numeryczny zapis czasu mierzneg d umwnej chwili, współrzędne lkalizujące punkt bserwacji X; w stsunku d umwneg układu dniesienia raz wyniki badanych parametrów lub wskaźników Czas Współrzędne punktu bserwacji X;(x;, Y;, Z;) Parametry lub wskaźniki mierzne Pi, P2,.. Pk W1, W2,... w,, ( 1) Pjedyncze zbiry czasprzestrzenne dla daneg punktu bserwacji X; twrzą macierz danych czasprzestrzennych t1, X;, P1,1,P2.1,.., Pk,I W1,1, W2,1,... w11,1 1 r t 2, X;, P1 2, P2 2,, P k 2, W1 2, W2 2, wn 2 CP(X;)=. '' ' t/11' x,, P1,111,P2,111.., Pk,111 'Wt,m Wz,1111 w,,,111 (2) Histrycznie zapis zbirów czasprzestrzennych był niejednrdny, c wynikał ze stswania w różnych kresach rzwju cywilizacji różnych przyrządów d pmiaru czasu i pisu lkalizacji punktów bserwacji. Tak jak w starżytnści, również i dzisiaj wiele dkryć naukwych, t wynik umiejętnści archiwizacji danych czasprzestrzennych. 3

2. Rdzaje macierzy czasprzestrzennych 2.1. Szeregi czaswe Zbiry danych czasprzestrzennych są macierzami wielwymiarwymi. W przypadku, gdy wyniki bserwacji prwadzi się w jednym punkcie lub bserwacje dtyczą zamknięteg układu przestrzenneg, przy analizie danych pmija się archiwizację współrzędnych punktu bserwacji. Macierz (2) mżna zapisać w pstaci lt1, P1,1, P2.1 Pk,1 W1.1, w2,1 w,,,1 j t 2 P1 2 P2 2 p,. 2 W1 2 W2 2 w 2 CP(X;)=. ' (3) fm, P1,m, P2,m,..., P k,m' W1,m, W2,111,. Wn,111 ale najczęściej przy archiwizacji danych jest stswany zapis CP(X;) = (4) Każdy wiersz macierzy (4) jest szeregiem czaswym mierzneg parametru lub wskaźnika. 2.2. Wyniki badań struktur gelgicznych Szczególne znaczenie w badaniach śrdwiska naturalneg dgrywają macierze danych czasprzestrzennych związanych z ustalaniem budwy struktur gelgicznych. Czas zmian utwrów gelgicznych jest mierzny w tysiącach lat. Ze względu na kszty i duży bszar penetracji naukwej badania te mgą być prwadzne przez dziesięcilecia. Uwzględniając fakt niezmiennści w długim kresie czasu analizwanych parametrów (wskaźników), mżna pminąć w macierzy (2) czas bserwacji. D analizy bierze się pd uwagę następującą macierz danych 4

f X,, P1,1, P2,1,..., Pk,l w,.,, Wz.,,... w" ' 1 X 2, P1 2, P2 2,.., Pk 2, w, 2, Wz 2,... w" 2 CP(X, E D) =, ' ' ' ' ' ' (5) x/1, P1,11 1 P2,11 1 1 Pk.11 1 wl,111 1 W2,111 1 wll,111 gdzie D jest przestrzenią prwadznych badań. Pdbny spsób archiwizwania danych stsuje się przy badaniach tych elementów śrdwiska naturalneg, które nie wykazują szybk zachdzących zmian. Dtyczy t np. badań klas bnitacyjnych gruntu czy zawartści w nich metali ciężkich. 2.3. Dane meterlgiczne i hydrlgiczne W badaniach meterlgicznych trzymuje się duże zbiry, które ze względu na wielkść są mał przejrzyste. Ciągi bserwacji zapisywane w pstaci szeregów czaswych padach atmsferycznych, temperaturach i wilgtnści pwietrza (gruntu), prędkściach i kierunkach wiatru, stanach wód w rzekach itd. przetwarza się z zastswaniem pdstawwych metd statystycznych. Na pdstawie tych analiz blicza się wskaźniki, które następnie znajdują zastswanie w praktyce inżynierskiej i gspdarce wdnej kraju. Dla tych zastswa11 pracwuje się macierze pstaci r x,,w, l CP(X; E D) = :Xi, : 2 x 11,w 11 (6) gdzie wskaźniki w;, t wartści wyliczne na pdstawie ciągów bserwacji. Najczęściej są t wartści dla przyjęteg prawdpdbieństwa wystąpienia zdarzenia, kreślne z wykrzystaniem klasycznych metd statystycznych. Stany ekstremalne jest niezmiernie trudn ustalić na pdstawie dstępnych szeregów czaswych, gdyż charakteryzują się niskim prawdpdbie11stwie wystąpienia. Obrazuje t następujący przykład. Chcemy kreślić stan wdy w rzece, który mże się pjawić z prawdpdbieństwem 1 %, t jest, raz na st lat, ale dyspnujemy tylk 20 letnim ciągiem 5

bserwacji. Aby ustalić ten parametr na pdstawie danych z próby, musielibyśmy mieć ciąg bserwacji c najmniej 500-letni. Takich danych dziś nikt nie psiada. Wartści ekstremalne są ustalane z wykrzystaniem mdeli, które należy pracwać z wykrzystaniem dstępnych zbirów bserwacji. Przy pszukiwaniu wartści ekstremalnych (najmniejszych lub największych załżnym prawdpdbieństwie) najczęściej wykrzystuje się rzkład Gumbela, któreg dystrybuanta wartści czekiwanej jest pisana gólnym równaniem F(x) = ex{-ex{- x;a ]) dla - 00 < x <, b>o (7) a gęstść prawdpdbieństwa ustala się z zależnści E(x) =b exp 1 (--b- x-a) exp(-exp[--b- x-aj) (8) gdzie a jest parametrem prgu (płżenia), b parametrem skali a x jest wartścią mierzną. W tabeli 1 przedstawin najważniejsze wskaźniki ustalane w parciu szeregi czaswe wyników bada11 meterlgicznych i hydrlgicznych. niezbędne dla ptrzeb inżynierskich. Archiwizwanie danych meterlgicznych i hydrlgicznych zachdzi więc dwuetapw. W pierwszym etapie archiwizuje się szeregi czaswe, a w drugim etapie udstępnia się dla ptrzeb inżynierskich wyznaczne z zastswaniem metd statystycznych wskaźniki niezbędne dla celów inżynierskich. 6

Tabela 1. Pdstawwe wskaźniki ustalane w parciu szeregi czaswe danych uzyskiwanych w ramach mnitringu meterlgiczneg i hydrlgiczneg. Wskaźnik lub parametr Rzędne wyskich stanów wdy w zależnści d Prjekty bwałwaó dla chrny przeciw- pwdziwej, urządze1\ hydrtechnicznych, dróg i mstów Prjekty zbirników retencyjnych, ustalania pbru wód na cele gspdarcze, ustalanie dpuszczalnych punktów zrzutu ścieków Prjektwanie systemów kanalizacji deszczwej i gólnspławnej, systemów dwdnień pwierzchniwych ltnisk, dróg i terenów zurbanizwanych Ptrzeby agrtechniczne i ustalanie zaptrzebwania na nśnik.i ciepła dla celów grzewczych, prjektwanie systemów klimatyzacyjnych załżneg prawdpdbieństw wystąpienia Przepływy w rzekach, dpływ rczny, przepływy maksymalne i minimalne załżnym prawdpdbie1\stwie wystąpienia Intensywnść padów deszczu załżnym czasie trwania i prawdpdbieństwie wystąpienia Temperatury średnie rczne i ekstremalne załżnym prawdpdbie1\stwie wystąpienia Wilgtnść pwietrza, wartści średnie i ekstremalne załżnym prawdpdbieństwie w pszczególnych prach rku wystąpienia Opady śniegu, wielkść pkrywy śnieżnej załżnym rawddbie1\stwie wystaienia Maksymalne prędkści wiatru załżnym prawdpdbieństwie wystąpienia, róża wiatrów, zmienn ś ć prędkści wiatrów nad pwierzchnią ziemi Energia kinetyczna deszczu załżnym prawdpdbieństwie wystąpienia Pdstawwe zastswanie Ptrzeby agrtechniczne, prjektwanie systemów klimatyzacyjnych Prjektwanie knstrukcji budwlanych Prjektwanie knstrukcji budwlanych, kreślenie erzji elitycznej i wpływ na stany mrza, mdelwanie rzprzestrzeniania się zanieczyszczei\ w pwietrzu atmsferycznym Określenie pdatnści gruntów na erzję wdną 2.4. Obrazy jak zapis danych czasprzestrzennych Macierze czasprzestrzenne są najczęściej wykrzystywane d sprządzania map warstwicwych lub rastrwych. Ppularnść tej frmy archiwizacji wyników badań czasprzestrzennych jest związana z łatwścią dbiru dużej ilści infrmacji, jaką mżna zakdwać na płaskim brazie. Atlasy gegraficzne są najlepszym na t dwdem. Na mapie m ż na zakdwać rzeźbę terenu, lkalizację biektów gegraficznych, przebieg dróg i linii klejwych itd. Współcześnie istnieje wiele metd utrwalania parametrów analizwaneg bszaru za pmcą zdjęć. Jest t efekt rzwju elektrniki i sensrów ftptycznych, które pzwalają utrwalić dane czasprzestrzenne w f1mie brazu rastrweg zapisywaneg numerycznie. 7

Należy zauważyć, że każde zdjęcie jest frmą archiwizacji danych czasprzestrzennych. Zdjęcie pzwala na utrwalenie stanu danej przestrzeni w chwili jeg wyknania. Przy zjawiskach wlnzmiennych mżliwe jest kreślenie stanu danej przestrzeni. Wprwadzenie d badań medycznych aparatu rentgena zrewlucjnizwał chirurgię, a unwcześnienie tej metdy w tmgrafii kmputerwej zrewlucjnizwał diagnstykę wielu chrób. Zdjęcia rentgenwskie przyczyniły się d pznania budwy DNA, identyfikacji wiązań chemicznych, pznanie struktur krystalicznych. Zdjęcia z użyciem mikrskpów elektrnwych pzwliły pznać budwę tkanek raz kmórek. Zdjęcia są wykrzystywane nie tylk w medycynie, ale w wielu dziedzinach techniki i nauki. W badaniach śrdwiska naturalneg becnie pwszechnie stsuje się zdjęcia satelitarne raz brazy uzyskiwane z radarów i lidarów. Współczesna meterlgia i ceanlgia nie mże już się praktycznie bejść bez zdjęć wyknywanych przez satelity gestacjnarne. Zdjęcia wyknywane z użyciem sensrów pdczerwieni są wykrzystywane przy badaniach rzprzestrzeniania się ciepła w śrdwisku. Analiza brazów pwstających w wyniku rzpraszania światła laserów jest wykrzystywana w badaniach mlekuł wymiarach mniejszych d 10 9 m, c inspiruje rzwój nantechnlgii. Dane czasprzestrzenne jest niezmiernie trudn pisać sumą funkcji zmiennych rzeczywistych. Dlateg przy ich rzpznaniu i pisie lepsze efekty dają metdy prbabilistyczne. Mdelwanie zmiennści danych czasprzestrzennych metdami stchastycznymi pwinn się nazywać predykcją przestrzenną (Magnuszewski, 1999), chć najczęściej ze względów histrycznych używa się nazwy gestatystyka. Wynika t z faktu, że metdy te znalazły największe zastswanie przy pracwywaniu danych związanych z badaniami pwierzchni Ziemi. 8

3. Pdstawy teretyczne gestatystyki 3.1. Pjęcie zmiennej zreginalizwanej Matematyczne pdstawy gestatystyki stwrzyli Krige (1951), Sichel (1952) raz Mathern (1962-1963). Od nazwiska prekursra gestatystyki Krige'a częst prcedury stchastyczne są nazywane krigingiern (Mucha, 1991). Pczątkw metdy te były wykrzystywane dla ptrzeb ceny zasbów złóż mineralnych raz zmiennści składu kpalin. Dzięki pracm Matherna gestatystyka wydrębniła się jak samdzielna nauka. Współczesna gestatystyka bazuje na te01ii zmiennej zreginalizwanej, którą d nauki wprwadził w 1962 rku Mathern. Jest na zdefiniwana jak ciągła przestrzennie (lub przestrzennie i czasw) funkcja prbabilistyczna, jedn- lub wielwymiarwa, kreślna dla wszystkich punktów X; analizwanej przestrzeni metrycznej D z(x;) = m(x;) + &(X;) (9) spełniająca warunki słabej stacjnamści, kreślne dwma zależnściami a) wrutść czekiwana zmiennej nie zależy d miejsca pmiaru Elz(X;)J= m(x;) = m (10) b) kwariancja jest zależna jedynie d funkcji dległści pmiędzy dwrna punktami przestrzeni D (11) gdzie z(x;) i z(x; + h) są dpwiedni wartściami zmiennej zreginalizwanej w punkcie X; i w punktach dległych wektr h w dwlnym kierunku długści h a &(X;) jest białym szumem. Mżna wykazać (Pannatier, 1996), że przy załżeniach (10) i (11) zachdzi zależnść C(h) = C(O) -y(h) (12) gdzie y(h) jest plwą warigramu (semiwarigramern) wyliczną z równania 1 2[ - l 1 [ - l2 y(h)=- D z(x;+h) - z(x;) =- Ez(X;+h)- z(x;) 2 2 (13) 9

w którym D i E są dpwiedni peratrami wariancji i wartści czekiwanej. Załżenia funkcji zreginalizwanej wynikają z bserwwanych w systemach przyrdniczych zmiennych pól lswych, w których wartści zmiennych lswych sąsiadujące ze sbą w przestrzeni w punktach w tym samym czasie, nie są zmiennymi niezależnymi, ale są skrelwane, przy czym w miarę wzrstu dległści punktów zmniejsza się wartść skrelwania. Dla przykładu, jeżeli pbierzemy próbkę gruntu i kreślimy w nim zawartść frakcji piaszczystej t mżna spdziewać się, że w sąsiednich blisk jeg płżnych innych punktach jest pdbny udział frakcji piaszczystej. W miarę wzrstu dległści d teg punktu będziemy bserwwać zmianę udziały frakcji piaszczystej w gruncie. Innym przykładem mże być rzkład temperatur w pmieszczeniu. Mierząc temperaturę w klejnych punktach na tej samej wyskści, ddalając się d ściany będziemy bserwwać skrelwanie temperatur w punktach sąsiednich dla pmiarów wyknanych w różnym czasie. Załżenie warunku słabej stacjnamści zmiennej zreginalizwanej jest pważnym graniczeniem przy zastswaniu metd gestatystycznych w analizie przestrzeni dużych rzmiarach. Najczęściej nie jest spełniny warunek (10), gdyż wartść czekiwana jest funkcją miejsca lkalizacji X; w przestrzeni D. Przykładem na t mże być las. Traktując liczbę drzew daneg gatunku przypadającą na pwierzchnię jednstkwą jak zmienną lswą, mżna łatw w każdym kmpleksie leśnym wydrębnić bszary lasu, w których liczba ta będzie przyjmwać wartść w miarę stalą, ale chdząc p lesie w różnych kierunkach wskutek zmian warunków siedliskwych zmienna lswa będzie wykazywać dużą zmiennść wartści średniej. zależnści W przypadku, gdy średnią wartść czekiwaną w danym punkcie mżna wyliczyć z K m(x;)= '[,adk(x;) (14) k=o gdzie ak są współczynnikami wagwymi funkcji fk (X;), a zmienna lswa &(X) kreślna dla punktów przestrzeni D wyrażeniem K &(X;)= Z(X;) - '[,adk (X;) (15) k=o 10

jest białym szumem, mówimy, że zmienna zreginalizwana charakteryzuje się dryftem (Kravchenk i in., 1996; Baxter i Oliver, 2005). Wyrażenie K I,adk (X;), które najczęściej k=o jest wielmianem, nsi nazwę dryftu. Dryft brazuje zmiennść strukturalną zmiennej zreginalizwanej. Częst dryft pisuje się funkcją liniwą (16) W przypadku, gdy nie jest spełniny warunek (15), ale istnieje funkcja ZR(X), dla której zachdzi związek (17) w którym zmienna lswa c(x) spełnia warunki słabej stacjnarnści kreślne zależnściami (Baxter i Oliver, 2005). (10) i (11), t mamy d czynienia ze zmienną zreginalizwaną z trendem Na pczątkwym etapie wybru pisu zmiennej zreginalizwanej pwinn się przeprwadzić badania typu rzkładu zbiru wyników. Aby zmienna zreginalizwana spełniała warunki słabej stacjnarnści, zmienne lswe pwinny mieć rzkłady nrmalne. W przypadku, gdy analizujemy jednwymiarwy zbiór wyników, który cechuje się rzkładem dużej skśnści, mżna zastswać przekształcenie lgnrmalne (Rth, 1998). W tym celu wyliczamy elementy nweg zbiru Z(X;) = lg(z(x;) + /3) (18) gdzie /3 jest wartścią przesunięcia zapewniającą uzyskiwanie przez Z(X;) wartści ddatnich. Gdy nwa zmienna Z(X) będzie psiadać rzkład nrmalny, mżemy zastswać dalsze prcedury gestatystyczne. Przy bróbce zdjęć wykrzystuje się kdwanie danych, pzwalające wydzielić bszary, w których brazy wykazują skrelwanie przestrzenne. Najczęściej d teg celu wykrzystuje się indeks Mrana zdefiniwany zależnścią (Pausas, 2006) l=--;~1~ ------- L,L,WuL, (z; -zi i j (19) 11

gdzie N jest liczbą analizwanych biektów na pwierzchni, Z; i z 1 są wartściami analizwaneg wskaźnika barwy (atrybutu) dla analizwanych bszarów a wu są wagami kreślanymi w następujący spsób wij = 1 gdy bszary przylegają d siebie, wij = O dla bszarów nie przylegających raz W;; = O dla bszarów tżsamych. Spsób przyjmwania wag brazuje rys. 1. Analizwana pwierzchnia z pdziałem na bszary _./ il ~ 6 N = "' z -g Numer bszaru I 2 3 I I - 2 I I 3 I Wartści wag wij i Rys. 1. Przykład wyznaczania wag wij przy wyliczaniu indeksu Marana. W przypadku, gdy indeks Marana jest większy d O, ma miejsce ddatnia autkrelacja. Przy ddatniej autkrelacji na brazie występują bszary skupinych analizwanych atrybutach. W przypadku ujemnej waitści teg indeksu, braz jest zbudwany z silnie rzprsznych bszarów różniących się analizwaną cechą. Obrazuje t rys. 2. Wiele danych pchdzących z mnitringu śrdwiska charakteryzuje się nieciągłścią przestrzenną. W tym przypadku sprawdza się hiptezę, czy prawdpdbieństw wystąpienia kreślnych wielkści analizwanej zmiennej charakteryzuje się autkrelacją przestrzenną, a zatem ciągłścią przestrzenną, c pzwala zastswać metdy gestatystyki nieparametrycznej (Deutsch i Jurnel, 1998; Gvae1ts, 1997). Prcedury te są parte na kdwaniu binarnym (0,1) danych pmiarwych, kreślającym prawdpdbieństw przekrczenia kreślnej wartści prgwej ustalnej z krzywej kumulacyjnej całeg zbiru danych. W wyniku tych bliczeń uzyskuje się kdwaną zmienną zreginalizwaną. Kdwanie binarne mże być dknywane dla różnych wartści prgwych dla całeg zdyskredytwaneg analizwaneg bszaru (przestrzeni). Analiza 12

struktury przestrzennej danych kdwanych pzwala cenić, czy prawdpdbieństwa z załżną wartścią prgwą w dwóch punktach ddalnych d siebie wektr h znajdują się p przeciwnych strnach wartści prgwej. 52 112 34 z biektami czarn mi 18 42 52 Wartść indeksu Mrana -1,000-0,393 0,000 0,0393 0,857 Rys. 2. Wpływ wartści indeksu Mrana na braz pwierzchni. Analiza kdwanych zmiennych zreginalizwanych służy d wydrębnienia bszarów na analizwanej pwierzchni pdbnych cechach. Spsób ten bardz częst jest wykrzystywany przy pracwaniu map ze zdjęć ltniczych i satelitamych przez gedetów i kartgrafów. Technika ta jest również stswana przy wyznaczaniu bszarów, dla których stsuje się różne metdy ustalania zmiennych zreginalizwanych lub kreślenia spsbu próbkwania badanej przestrzeni. Ma t duże znaczenie przy ustalaniu punktów mnitringu śrdwiska naturalneg. 3.2. Pdstawwe równania krigingwe W praktyce, ze względów eknmicznych jak i analitycznych, badania (pmiary) śrdwiska są prwadzne dla granicznej liczby lsw wybranych punktów analizwanej przestrzeni. Wa1tści badanej zmiennej zreginalizwanej są zatem rzpznane tylk w brębie punktów badań, znikm małych wymiarach w prównaniu z całą analizwaną przestrzenią (Cressie, 1991; Isaaks i Srivastava, 1989). Wynik każdeg badania mżna 13

przyrównać d wyciągnięcia pjedynczej realizacji zmiennej lswej Z(X;) ze zbiru realizacji zmiennej zreginalizwanej z(x), kreślnej w przestrzeni metrycznej D, przy czym zmienna lswa Z(X;) jest zawsze barczna błędami pmiarwymi. Macierz wyników badań (pmiarów) daje dyskretny braz zmiennej zreginalizwanej z(x). Celem analizy gestatystycznej jest aprksymacja wartści badanych wskaźników i parametrów w parciu macierz wyników na przestrzeń nie bjętą badaniami. Pnieważ badania prwadzi się tylk w wybranych punktach, więc semiwaiigram, który jest pdstawwą funkcją charakterystyczną gestatystyki, wylicza się z zależnści (Mucha, 1991; Stach, 2002) I N, y(h) =-2)Z(X; +l~)-z(x;)] 2 2N" i=i (20) gdzie N" t liczba par punktów, dla których wzajemna dległść wynsi h, Z(X;) t wartść analizwaneg parametru (wskaźnika) kreślna w punkcie X; a Z(X; + h) znacza wartść parametru w punkcie dległym h w dwlnym kierunku d punktu X;. Semiwaiigram służy w metdach kiigingu d szacwania wartści analizwaneg parametru (wskaźnika) z*(x 0 ) w nwym nie bjętym pmiarami punkcie X 0 w parciu liniwy związek kreślny zależnścią (Kitanidis, 1997; Pannatier 1996; Wackemagel 1998) z*(x 0 ) = fa; Z(X;) i =I (21) gdzie A; są t współczynniki wagwe krigingu, które należy ustalić na pdstawie uzyskanych wyników badań. Przy bliczaniu wartści A; przyjmuje się graniczenie Il LA; =l (22) i=i wynikające z kniecznści spełnienia warunku niebciążnści estymatra, który jest spełniny, gdy wa11ści czekiwane wyników pmiarów i wartści bliczanych są sbie równe 14

e[z (X,)-Z(X,J]=, ~:;Z(X;)-Z(X,) ~:;] = E[Z(X;) - Z(X,)]= O (23) Wariancja błędu szacwania wyniesie a-,2 =E[(z*cx 0)-Z(X 0 ))2]= =-y~x0 X 0l)-ffA; A1 y~x;x 1 1)+2fA; y~x;xl) i=l j = l i=i (24) gdzie IX;X 1 1 znacza długść dcinka X;X 1 a IX;Xl - długść dcinka pmiędzy punktem X; a punktem X 0, w którym jest szacwana wartść Z(X 0 ). Z warunku, że wariancja błędu szacwania pwinna być minimalna, pszukuje się minimum wariancji stsując metdę Lagrange'a -- Ó ( 2 Il ) CT0-2 -µ- LA; =0 i=i a A; dla i=l,2,...,n (25) gdzie µ jest mnżnikiem Lagrange'a. Ostatecznie uzyskuje się układ n+ 1 pdstawwych równa11 krigingwych 1 ;A1Y~X;X 11)+ µ = y~xx 11) LAJ =l )=I dla j = 1, 2,..., n (26) rzwiązanie których pzwala ustalić wszystkie pszukiwane wartści A; raz µ. Kriging mżna stswać zarówn w parciu pmierzne wmtści, jak również dla danych kdwanych (lndicatr kriging) 15

3.3. Obliczanie semiwarigramu empiryczneg Semiwarigram, jak wynika z równania (18), jest funkcją dległści pmiędzy punktami, w których wyknane były badania analizwanych parametrów lub wskaźników. D bliczeń semiwarigramów empirycznych stsuje się różne algrytmy. W rku 1991 pjawi! się pierwszy gólnie dstępny prgram kmputerwy Ge-EAS wraz z kdami źródłwymi d analiz gestatystycznych udstępniny przez Agencję Ochrny Śrdwiska USA (EPA USA). Opis teg prgramu m ż na znale ź ć w pracy Englunda i Sparksa (1991) Szczegółwy pis pdstawwych algrytmów z zakresu gestatystyki mżna znaleźć również w biblitece prgramwania gestatystyczneg GsLibv.2, pracwanej na Uniwersytecie Stanfrda w Kalifrnii (USA), a kdy źródłwe znajdują się na płycie CD dłącznej d pdręcznika Deutscha Jumela (1998). Na strnach http //ekfisk.stanfrd.edu/scrfweb/gslib/index.html raz http //www.gslib.cm/ mżna znaleźć również kdy źródłwe nwszych algrytmów bliczeniwych. Najczęściej całą analizwaną przestrzeń dzieli się na bszary grupwania danych stsując stały krk /1,.h (ang. lag) przyrstu wai1ści h, uwzględniając pewien zakres tlerancji (rys. 3). Następnie dla par utwrznych z punktów bazwych i leżących w bszarach grupwania wylicza się wartść semiwarigrainu klejn dla przyjętych wartści Iz. Ze względu na dyskretny charakter zbiru punktów dświadczalnych, semiwaiigram empiryczny przyjmuje frmę funkcji dyskretnej (rys. 4). - ---- ~ ~---..._..._,..... ~_..,,,.--.. ~...,,,-_,,,, Rys. 3. Spsób grupwania punktów pdczas bliczania semiwarigramu empiryczneg. 16

C C -- - - - - - - - -... - -~---~ y. - - - --. - - - -.-. - - - - -,.,...- I /. I I I I I I I I I I i h fm] Semiwarigram empiryczny --- Semiwarigram teretyczny Rys. 4. Przykład warigramu empiryczneg raz charakterystyczne wartści semiwaiigramów granicznych C - watiancja nuggatwa (nugget effect), a - zasięg semiwatigramu (range f influence semivarigram), C+ C - wariancja prgwa (sill variance). Najczęściej d ustalania semiwarigramu empiryczneg stsuje się metdę najmniejszych kwadratów. Prcedury bliczeniwe wymagają zwykle zastswania aprksymacji ważnej, ze względu na różną dkładnść ceny pszczególnych wartści semiwaiigramu empiryczneg. Wynika t z różnej liczebnści par danych, na pdstawie których są wyznaczane klejne punkty semiwaiigramu. Najczęściej pmija się wartści semiwarigramu kreślne dla malej liczby par punktów przyjmując, że są ne barczne zbyt dużym błędem. Obliczenia semiwatigramów empirycznych a następnie aprksymację mdeli teretycznych przeprwadza się dla różnych kierunków wektra,;. W przypadku, gdy semiwarigramy empiryczne różnią się zasadnicz dla par punktów utwrznych przy zmianie kierunku wektra h, mamy d czynienia z aniztrpią zmiennej zreginalizwanej. Aniztrpia jest bserwwana bardz częst w kierunku pinwym przestrzeni trójwymiarwych przy badaniu struktur gelgicznych, c jest związane ze zmiennścią prcesów dpwiedzialnych za ich frmwanie. Stwierdzenie aniztrpii ma duże znaczenie dla rzpznania i charakterystyki badaneg parametru, ale jedncześnie kmplikuje dalszą prcedurę bliczeniwą. 17

Przy dużej liczbie punktów pmiarwych klasyczny algrytm bliczania semiwarigramu jest czaschłnny. Dlateg przy dużyc h bazach danych stsuje się algrytmy pzwalające graniczyć liczbę kniecznych bliczeń. Należą d nich prcedury Sgsim i Sisim (Deutsch i Jumel, 1998) raz Iksim (Ying, 2000). Semiwarigram empiryczny nie mże być użyty be z pśredni d predykcji wa11ści zmiennej zreginalizwanej. Dla siągnięcia teg celu jest knieczne ustalenie semiwarigramu teretyczneg będąceg aprksymacją semiwarigramu empiryczneg. 3.4. Semiwarigramy teretyczne Na pdstawie wyznacznych dyskretnych punktów semiwaiigramu empiryczneg y(h) szuka się ciągłej funkcji aprksymującej te punkty. Funkcja ta, stanwiąc mdel matematyczny semiwarigramu empiryczneg, nsi nazwę semiwarigramu teretyczneg. Najczęściej semiwarigramy empiryczne y(h) przy małych wartściach h dążą d pewnej wartść C 0, nszącej nazwę stałej efektu samrdków (nugget e.ffect). Na wystąpienie efektu samrdka wpływają w pewnym stpniu błędy systematyczne wyknywanych pmiarów i analiz, ale główną jeg przyczyną jest zmiennść analizwaneg parametru (wskaźnika), jaka ma miejsce przy małych dległściach h w prównaniu d rzmiarów analizwanej przestrzeni D. Nazwa teg efektu wywdzi się d samrdków złta, które trafiają się lkalnie w stsunkw jednrdnych piaskach występujących na dużych przestrzeniach terenów złtdajnych. 18

Tabela 2. Najczęściej stswane semiwarigramy teretyczne d mdelwania semiwarigramów empirycznych (na rysunkach przedstawin przykładwe przebiegi semiwarigramów dla C=3,0; C0 = 0,6; a= 0,6). Mdel Przykładwy warigram l c[i. Sferyczny Matherna!:_ - l!!_] + c h ~ a y(h) = 2 a 2a 3 0 C+C 0 h ~ a (28) y(h) l2j 0 2 4 h Liniwy Matherna l!;_h+c 0 y(h) = a h~a C+C 0 h ~ a (29) y(h) 'B O I 2 h Wykładniczy y(h)=c-[1-exp(-~j]+c0 (30) y(h) Gaussa y(h) IZJ O I 2 h Efektu samrdka (białeg szumu) h=0 y(h) = {~ (32) h>0 y(h) 'B O O I 2 h 19

Tabela 3. Ptęgwe semiwarigramy teretyczne d mdelwania semiwarigramów empirycznych (na rysunkach przedstawin przykładwe przebiegi semiwa1igramów dla C=3,0; C= 0,6; a= 0,6). Mdel Przykładwy warigram 4 y(h) 2 2 h 4 y(h) 2 Ptęgwy y(h) = C 0 + C h" 0<A<2 (33) 2 h h 20

Wyróżniamy graniczne i niegraniczne semiwa1igramy teretyczne (Mucha, 1991; Nwakwska-Wilczyńska, 2006). W przypadku semiwarigramów granicznych przy pewnej wartści dległści h wariancja (względnie semiwariancja) siąga wartść prgwą C + C 0 (sill variance) i przy dalszym zwiększaniu dległści h ma wartść stałą (rys. 4). Dystans, pwyżej któreg semiwariancja jest wartścią stałą, nazywa się zasięgiem ddziaływania a (range f influence semivarigram). Parametr C jest nazywany wruiancją strukturalną i kreśla wartść wzrstu semiwmiancji d pzimu nuggetweg C 0 d granicy zasięgu ddziaływania a. Najczęściej używane semiwarigramy graniczne zstały przedstawine w tabeli 2. W przypadku, gdy y(h) jest funkcją rsnącą dla wszystkich wartści h, mamy d czynienia z semiwarigramem niegranicznym. Semiwarigramy niegraniczne najczęściej pisuje się funkcją ptęgwą, przy czym wykładnik ptęgi jest mniejszy d 2, c wynika z definicji wariancji (tabela 3). Z definicji wariancji wynika warunek I 1m. -- y(h) O h->= h2 (27) W przypadku, gdy punkty semiwarigramu empiryczneg w miarę wzrstu h wykazują szybszy wzrst, niż t wynika z funkcji h 2, zmienna zreginalizwana charakteryzuje się dryftem lub występuje w niej deterministyczna funkcja trendu. Dpaswanie wybraneg mdelu teretyczneg d pracwaneg uprzedni semiwarigramu empiryczneg plega na dbrze ptymalnej kmbinacji parametrów przyjęteg mdelu. K.itanidis (1997) zaleca na tym etapie, jak i już przy dbieraniu typu mdelu teretyczneg, krzystanie z ddatkwej wiedzy eksperckiej. Typ mdelu jak i jeg parametry pwinny pzstawać w zgdzie z gólną wiedzą mdelwanym zjawisku. Jeśli na rzpatrywanym bszarze nie mże występwać zjawisk samrdka, parametrwi C 0 należy przypisywać a priri wartść O. Wartści współczynników w semiwarigramach teretycznych, p przyjęciu typu mdelu, najczęściej pszukuje się metdą najmniejszych kwadratów. 21

3.5. Najczęściej stswane rdzaje krigingu Opisana w rzdziale 3.2 prcedura nsi nazwę krigingu zwyczajneg (rdinary kriging). Odmianą krigingu zwyczajneg jest kriging prsty (simply kriging), który ma zastswanie, gdy dla analizwanej przestrzeni znana jest wa11ść średnia zmiennej zreginalizwanej. W tym wypadku zmienna zreginalizwanajest kreślna równaniem Z(X) = Y(X) + m (34) Znajmść średniej zmiennej zreginalizwanej pwduje, że w krigingu prstym nie musi być spełniny warunek (22) dtyczący sumy wag A;. Ogólne równanie krigingwe ulega uprszczeniu d pstaci f ;i r~x;x - l)=rńx 0 xj) j=i J J ~ J dla }=1,2,...,n (35) Kriging prsty jest stswany, gdy wyknujemy bliczenia na zbirze danych przeksztalcnych anamrfzą Gaussa, w wyniku czeg zstaje ustalna średnia zmiennej zreginalizwanej dla całeg analizwaneg bszaru lub przestrzeni (Wackemagel, 1998). W krigingu blkwym (błck kriging) w miejsce szacwania wartści w punktach dknuje się szacwania zmiennej zreginalizwanej w parciu szacwanie średniej dla wybraneg graniczneg bszaru (bjętści), nieskńczenie małeg w prównaniu z całą pwierzchnią analizwaneg bszaru (bjętścią analizwanej przestrzeni). Cały bszar zstaje pdzielny na n blków, dla których kreśla się wartści średnie analizwanych parametrów lub wskaźników. Układ równań krigingwych przyjmuje pstać i/jr~x;x jl)+ Jt = r~ax jl) i li I Aj =l j=i dla j=l,2,...,n (36) gdzie średnia wa11ść warigramu dla długści dcinków X;X j, bliczna na pdstawie przyjęteg mdelu teretyczneg warigramu empiryczneg dla analizwaneg parametru lub wskaźnika; 22

średnia wartść warigramu dla długści wszystkich dcinków łączących punkt pmiaru X 1 z blkiem A, dla któreg ustalana jest µ wartść analizwaneg parametru lub wskaźnika; mnżnik Lagrange' a. W przypadku krigingu z dryftem zewnętrznym (kriging with extemal drift) rzwiązuje się układ równań I,.-1.J KED y R ~X ;X 1J)+lfl (X) + 1/11 (X)y(X;) = y R ~X X 11) }=I dla j = 1, 2,..., n I,.-1.j KED = I }=I " L/'J ", KED } =I y(x) = y(x) (37) gdzie Il liczba punktów w najbliższym sąsiedztwie punktu X;, przy czym musi być spełniny warunek n << N, gdzie N jest liczbą wszystkich punktów w analizwanym bszarze;.-1.? 0 pszukiwane współczynniki krigingu z dryftem zewnętrznym; y(x) zmienna lswa dryftu; y R ~X;X 1j) wartść semiwarigramu teretyczneg dla długści dcinków X;X 1, ustalneg w parciu różnicę pmiędzy wartściami zmierznymi a ustalnymi w parciu zmienną lswą dryftu; współczynniki Lagrange' a. Wyżej wymienine rdzaje krigingu mżna stswać dla zmiennych mających wymiar fizyczny, jak i zmiennych kdwanych. 23

3.6. Etapy badań z wykrzystaniem technik gestatystycznych Metda krigingu plega na szacwaniu przestrzennym wartści parametrów na pdstawie wyników badań uzyskanych w pmiarwanych punktach. Należy zauważyć, że estymwane parametry mają wartści dkładne wyłącznie w punktach, dla których psiadamy pmiary. Wartści w pzstałych punktach płaszczyzny lub przestrzeni są symulwane w parciu ustalne w czasie bliczeń wagi krigingu raz funkcje dryftu lub trendu. Wiarygdnść uzyskaneg mdelu zależy d szybkści zmian czynników decydujących wartściach pla lsweg. Każde dwzrwanie pla (przestrzeni) uzyskane za pmcą krigingu będzie jednym z wielu mżliwych brazów pla (przestrzeni) lswej. Wyniki krigingu będą tym bardziej zbliżne d wartści rzeczywistych w punktach nie pmiarwanych, im lepiej na etapie bliczeń wag laigingu punkty, w których wyknywane były pmiary, będą uwzględniać te parametry i czynniki, które wpływają na badaną zmienną zreginalizwaną. Mapy sprządzane z zastswaniem różnych prcedur krigingwych będą się pmiędzy sbą różnić. Obrazuje t tabela 4, w której przedstawin wyniki symulacji zawartści aztu mineralneg dla wybraneg bszaru, jakie trzymali Baxter i Oliver (2006). Zmiennść brazów nie dyskwalifikuje metdy krigingu d praktycznych zastswań. Należy zauważyć, że wszystkie mdele, które są wyknywane na drdze symulacji kmputerwych, są barczne błędem. Ważne jest, czy jesteśmy w stanie szacwać błąd naszej prgnzy raz czy uzyskane mdele mają praktyczne zastswanie. Nie mżna d metd gestatystycznych pdchdzić czyst instrumentalnie, t znaczy traktwać każdy uzyskany wynik jak wierne dtwrzenie bszaru badań. Bez znajmści istty prcesów wpływających na analizwane parametry (wskaźniki), na analizwanym bszarze nie mżna zaplanwać właściwie eksperymentu, który pzwalałby z pwdzeniem dwzrwać prawdpdbny braz rzeczywistści. Przy zastswaniu laigingu dla ptrzeb inżynierskich i pznawczych prace prwadzi się w pewnych charakterystycznych etapach. W tabeli 5 przedstawin fazy prac z wyszczególnieniem charakterystycznych dla nich zakresów wyknywanych czynnści i analiz. 24

Tabela 4. Przykład wpływu zastswanej metdy k.jigingu na braz zmian analizwanych wartści (pracwan na pdstawie Baxter i Oliver, 2006). Mapa rastrwa Zastswany rdzaj krigingu 1111 Ab.. ~ 3_E - 2.,.;, - 2.5-H ~ 2. 1-2.E u-2., 1.s. ; e D Belw 1.5 Kriging zwyczajny (rdinary kriging) :.OB.57 ~.08.65 508.72 (Km) 235.57,!i,b, ~ J.47 " f. 235.50 23542 50857 508.65 508.72 (Km) -~ D D C-..t1 - J.47 C.35- J."l1 C.29 - J.25 C-.2~ - J.28 G. 19 - ).22 8eiw ). IB Kriging lgnrmalny (lgnrmal kriging) 506.!:-7 508.65 SOS.72 (Km) -E: '.I B D 2. 1 3.! :Z.7-3.! 2.3. a., 1.i:J - 2.3 1.5-1.9 Belw 1.5 Kriging z dryftem zewnętrznym (kriging with external drift) 235.57 f ~ - 23-5.50 -..\::icv~ 3.5-3.1-3.5-2.7-3. 1 ~ 2.3-2.7 D -, g.23 LJ.5 -U D s'='iol'i, _5 Kriging z wydzielnym trendem (regressin kriging) SDS.57 506.65 508.72 (Km) 25

Tabela 5. Etapy prac przy zastswaniu krigingu dla ptrzeb aplikacyjnych. Etap rzpznania Główne prace, które należy wyknać Określenie metdyki badań i spsbu interpretacji wyników. Określenie celu i wyknanie prjektu Sprawdzenie dstępnści map numerycznych raz raz bada,\ parametrów (wskaźników) spektrftmetrycznych i radimetrycznych zdjęć w analizwanej przestrzeni szczególnie zdjęć satelitarnych. Określenie czynników wpływających na badane zmienne zreginalizwane. W przypadku wykrzystywania zdjęć satelitarnych zachdzi ptrzeba transfrmacji danych z układu współrzędnych sferycznych na układ współrzędnych płaskich. Dtyczy t Wstępne pracwanie danych Mdelwanie zmiennści przestrzennych Kriging również wyknywania analiz pchdzących z dużych bszarów pwierzchni Ziemi. Sprawdzenie statystycznych rzkładów prób empirycznych. Ustalenie czy pszczególne analizwane parametry lub wskaźniki nie wykazują skrelwania. Sprawdzenie mżliwści zastswania transfrmacji lgnrmalnej zbiru wyników bada,i. Kdwanie zmiennych zreginalizwanych lub transfrmacja ich anamrfzą Gaussa. Ustalenie serniwarigramów empirycznych i teretycznych. Ustalenie kwarigramów empirycznych. Ustalenie czy zmienne zreginalizwane charakteryzują się dryftem zewnętrznym. Sprawdzenie występwania trendów. Dbór dpwiednich metd krigingu. Ustalenie wag krigingu, dla różnych serniwarigramów teretycznych. Pszukiwanie zmiennej zreginalizwanej z zastswaniem kkrigingu. Walidacja mdeli krigingu w parciu współczynniki krelacji zbiru pmiarów i prgnz uzyskanych z krigingu. Uwzględnienie aniztrpwści. Przy dużych bszarach (przestrzeniach) symulacje z zastswaniem krigingu na zmiennych kdwanych Sprządzanie map warstwicwych i rastrwych w układzie Symulacja przestrzenna przy 2D z zastswaniem wybranych mdeli krigingwych. kreślnych warunkach Symulacja zmiennści przestrzennej z zastswaniem mdeli 3D Sprawdzenie pprawnści uzyskanych wyników. Prównanie uzyskanych wyników symulacji dla punktów, w których wyknane były pmiary, ale nie użyt ich przy Analiza niepewnści ustalaniu mdeli z wynikami eksperymentalnymi. Ustalenie.. zm1ennsc1 parametrów krigingu dla zadanych prawdpdbieństw przewyższenia bledu ich estymacji. Na rys. 5 przedstawin schemat stswany przez Stacha (2006) przy pracwaniu danych padach atmsferycznych, z zastswaniem krigingu danych kdwanych. Kriging daje dbre rezultaty, gdy badane są małe pwierzchnie lub przestrzenie. Wiarygdnść dwzrwania struktur maleje w miarę wzrstu dległści pmiędzy punktami 26

pmiarwymi raz wzrstem symulwanych pwierzchni lub przestrzeni. W tym statnim.. wypadku należy sprawdzić, stsując kdwanie zmiennych przestrzennych, czy występują bszary quasi stałej autkrelacji przestrzennej. Bardz cennym narzędziem badawczym jest również kkriging. Zw~ryf1k\v,rn~ dan~ maks:;maln; ch sum dbwych Obliczan ie. sta1; s1yk piswych i percen1yl i: 1. E, 10, 20. 3 J. 40. 50. e,j, io. óo, 90. 95 i Gil Kdwn ie d.jinych według Y,artśd W}'lic.znych percentyli Obl iczanie iztrpwych semiwarigramów wyse!ekcjl"lv,an:, ch dan~ ch kdc'nan:, ch (krótki zasięg) Kriging war:~ci kd,,anyc.h (tk) i kr:ki.; r,s,l.;cji prządk łi'j' :h = blicz~nia cdfd!a pszcz-=-gól nych węzłów siatki int~rplac)'jnej Obliczanie iztrpwych S'=miwarigramów empirycznych danych surwych i chmur semi,,arigramow z inte raktywnym ~cz:y:szczeniem' Zapis dj nych wyselekcjnwanych ' l~t------~~-------1~..-j Mrmalfzac,ia danych (a namrfza gausswskaj ' Obliczanie izirpw; ch un;iwari~ramów wyselekcjn\'1,1n:1ch d3n:;ch.rnrma1izwan:,,:h ' (długi zasięg) 'Wykna nie t,e-r.1\ ~runkwej symuljcji spektralnej - s1wrzeni: pla prayrdpdb ie ńsw,a Przet,varzan ie cdf: bliczanie '"''artsci w.;runk... c..z:ekiwamj ice}, wariancji CE. prawdpdbielist,\ a,vysta}> ienia cpa06w dbwych heślnej sumie, W}'Skści sumy padów dcbw:,,:h kreslnym prawdpdbierist,1'ie ws tąp i enia I I Oblicz~nie żądan~j ilsci braz0w symulwanych warunkw metdą P P0la (p fi~ld simu!atin} I I t Kr':kia brazów symulwanych dla dklaón':'g dwzrwania his1gramlj próbki I I i Analiza, kl.;.s:, flka,:ja. -----~ re-;:ii-nj liz.)cj a Prz:etwarzanie brazów symulwanych: bliczanie wartśc i warunkc A'0 c:?':'ki.-., anej (CE:1. wariancji CE, pra,,dpd - b i eńst,,a 1,ystąpiini.::. cpa::l6w dcbw)..::h kresln:j sumie,,,,.~ skcści sllmy padów dbcw; ch kr:slcnym prawdpcdbieiistliie wsta_pienia I I I,... I i Rys. 5. Schemat analizy danych stswany przez Stacha (2006) przy ustalaniu pla prawdpdbieństwa maksymalnych padów dbwych (przerywaną linią zaznaczn czynnści wyknywane pcjnalnie) (cdf znacza warunkwą kumulacyjną funkcję rzkładu prawdpdbieństwa). 27

4. Kkriging Wiele parametrów, które są kntrlwane względnie mierzne, jest ze sbą skrelwanych. Wyknanie jednych badań jest tanie i szybkie, inne wymagają długich prcedur raz specjalistycznej aparatury, przez c kszt ich wyknania jest wyski. Wykazanie skrelwania wyników jednych znaczeń z innymi umżliwia bniżenie ksztów prwadzenia mnitringu czy rzpznania danej przestrzeni. Przykładem danych skrelwanych mże być pmiar barwy akwenów wód śródlądwych i pwierzchni użytków rlnych i leśnych. Chlrfil a ma maksimum absrpcji fal widzialnych przy długści 680 nm. Wyknując zdjęcia ltnicze lub satelitarne w zakresie tej długści fal elektrmagnetycznych uzyskuje się skrelwanie pmiędzy zawartścią chlrfilu a i intensywnścią barwy w pszczególnych punktach pwierzchni, gdzie występuje szata rślinna (pwierzchnia ziemi) lub rzwijają się glny (akweny wdne). Mżna w tym przypadku bniżyć kszty wyknywania badań niezbędnych dla kreślenia przestrzennej zmiennści ilści bimasy, wielkści wiązania dwutlenku węgla i prdukcji tlenu przez rśliny w kresie dnia raz prdukcji dwutlenku węgla i zużycia tlenu w kresie ncy. Znajmść związków krelacyjnych pmiędzy dwma wskaźnikami analizwanej przestrzeni pzwala graniczyć ilść punktów kntrlnych w zakresie teg wskaźnika lub parametru, który charakteryzuje się większą ksztchłnnścią, i zwiększyć liczbę punktów kntrlnych, w których prwadzi się pmiary wskaźników tanich d wyknania. W mnitmingu śrdwiska najczęściej eliminuje się liczbę punktów, w których prwadzi się pmiary n-line, na rzecz zwiększenia ilści punktów kntrlnych, w których kntrluje się wybrane wskaźniki zanieczyszczeń metdami biernymi, pzwalającymi kreślić średni pzim zanieczyszczeń w danym punkcie w kreślnym przedziale czasu. Przy pracwaniu zmiennych zreginalizwanych wskaźników skrelwanych wykrzystuje się kkriging. W przypadku dwóch skrelwanych wskaźników u i v dla punktów, w których prwadzi się jedncześnie badania wartści 2 11 i Zv, pszukuje się krzyżweg semiwarigramu (crss-semivarigram) empiryczneg wyliczaneg równaniem 28

ń 1,,,,, [ - l [ -l r",(h)=--i Z 11 (X;)-Z 11 CX; +h) z,,(x;)-z,(x; +h) 21111, i=i (38) gdzie m 11 jest liczbą par punktów dległych d siebie d siebie h. Wyznaczanie krzyżweg semiwarigramu teretyczneg Y v (h) jest znacznie trudniejsze, niż mdelwanie semiwarigramu funkcji autwariancji zmiennej zreginalizwanej. Krzyżwy semiwarigram empiryczny mże przyjmwać zarówn wariści ddatnie, jak i ujemne. Najczęściej y11,(h) mdeluje się złżną funkcją liniwą (Baxter i Oliver, 2006) K Y11v(h) = I;btv. gk(h) (39) k=i gdzie b,~v są wariancjami nuggatwymi lub prgwymi graniczającymi niezależne składniki semiwarigramów g k (h). Przy zastswaniu klaigingu zwyczajneg d szacwania wartści analizwaneg parametru (wskaźnika) Z(X 0 ) w punkcie X 0 wykrzystuje się liniwą zależnść w pstaci V,,, ' "1;"'"1;"' OK Z,,(X 0 ) = L.L.'\ 1Z 1 (X;) (40) l=i i=i gdzie V przyjmuje wartści I= 1, 2,..., V dla punktów, w których pszukuje się wartści wskaźnika u, a indeks i znacza punkty (których jest n 1 ) będące w sąsiedztwie punktu X O, dla których były mierzne wartści zmiennych I, przy czym L"' 11 u = {l l= I 0 l = u I ie u (41) Ostatecznie dla kkrigingu zwykłeg uzyskuje się układ równa11 analgiczny d układu równa11 krigingwych (Deutsch i Jumel, 1998). 29

5. Prgramy kmputerwe d bliczeń gestatystycznych W rku 1995 Gregire Dubis uruchmił internetwą listę dyskusyjną pświęcną gestatystyce. Duże zaintereswanie tą tematyką spwdwał, że przekształciła się na z czasem w strnę internetwą http //www.ai-gestats.rg/ Unii Eurpejskiej (Eurpean Cmmisin Directrate General Jin Research Centre). Na strnie tej mżna znaleźć linki d strn internetwych niekmercyjnych i kmercyjnych prgramów kmputerwych raz d publikacji związanych z praktycznymi zastswaniami metd gestatystycznych. Wśród prgramów niekmercyjnych należy wyróżnić prgramwanie d analiz dwuwymiarwych danych przestrzennych VARIOWINv.2.21, pracwane na Uniwersytecie w Lzannie (Szwajcaria). Opis teg prgramu mżna znaleźć w pracy Pannatiera (1996) raz na strnie http //www-sst.unil.ch/research/variwin/index.html. Niekmercyjnym prgram d estymacji waiigramu i predykcji przestrzennej z ceną błedów VESPERv.1.6 (Varigram Estimatin and Spatial Predictin with ERrr) zstał pracwany przez Australian Centre fr Precisin Agriculture (ACPA), University f Sydney, (Australia). Jeg pis mżna znaleźć w pracy Minasny i in. (2005) raz na strnie internetwej http //www. us yd.edu.au/su/agric/acpa/vesper/vesper.html. Jednym z pdstawwych prgramów w tym bszarze jest pakiet GSLIB, będący aplikacją związaną z te1ią gestatystyki i pdstawwymi kncepcjami gestatystycznymi, które sięgają kilkudziesięciu lat wstecz. Dtyczą ne funkcji lswych, stacjnarnści, kwariancji, przestrzennej zmiennści i ciągłści, jak również knstrukcji i mdelwania warigramów. Jedna z części pakietu jest pświęcna zagadnienim laigingu, natmiast spra część prgramwania jest pświęcna symulacji stchastycznej, t znaczy tak.im gólnie znanym algrytmm, jak sekwencyjna symulacja gausswska, algrytm dekmpzycji LU, sekwencyjna symulacja wskaźnikwa, czy symulacja Markwa-Bayesa. Oddzielna część pakietu jest pświęcna prgramm graficznym, które stanwią bardz ważną część w każdym prgramwaniu dtyczącym gestatystyki. Również ppularnym i częst stswanym prgramem jest SURFER, będący pwszechnie dstępną na rynku aplikacją d różnrdnych bliczeń gestatystycznych działającą w systemie peracyjnym WINDOWS. Aplikacja umżliwia między innymi także przeprwadzanie bliczeń laigingwych raz twrzenie różneg rdzaju map dla zmiennych śrdwiskwych, przy czym główny nacisk jest płżny raczej na mżliwści związane ze strną techniczną twrzenia map, natmiast mniej na twrzenie różnrdnych mżliwści 30

pracy nad mdelami warigramów w sensie dbru rdzaju mdelu, szacwania wartści jeg parametrów i czy definiwania własnych funkcji mdelujących. W tabeli 6 przedstawin listę najbardziej zaawanswanych becnie standardwych prgramów d analizy danych gestatystycznych. Tabela 6. Kmercyjne prgramy d analizy gestatystycznej. Nazwa prgramu!satis SURFER SURGE LYNX GEOST A TSOFFICE DATAMINE GEOSTOKOS TOOLKIT GEOSTAT GS+ GSLIB SAGE2001 Strna internetwa http //www.gevariances.cm/ http //www.gldensftware.cm/ http //www.gecities.cm/rnirslavdressler/surgernain.htrn http //www.lynxge.cm/ http //www. ibrae.ac.ru/-rnkanev/eng/sftware. htrnl http //www.datarnine.e.uk/ http //www.stks.dernn.c. uk/tlkit. htrn http //www.gestat.cm/ http //www.garnrnadesign.cm/ http://www.pe.utexas.edu/gesci/sftware/gslib/gslib.htrnl http //www.isaaks.cm/ W dalszym ciągu zstanie pisany prgram KRIPOS, pracwany w Instytucie Badań Systemwych PAN jak prgramwanie służące d bliczeń warigramów empirycznych, twrzenia ich mdeli matematycznych i wyknywania bliczeń krigingwych z mżliwścią wprwadzania, zmieniania i analizy statystycznej mdeli. Prgram psiada własny inteńejs graficzny umżliwiający wykreślanie map warstwicwych w układach współrzędnych 2D i 3D, klrwych i czarn-białych. 6. Opis pakietu KRIPOS: KRiging POmiarów Srdwiskwych Dkumentami prgramu są śrdwiskwe dane pmiarwe raz dane sterujące bliczeniami. Opcja menu Plik/Otwórz twiera wcześniej zapisany dkument z danymi pmiarwymi, przy czym standardwe dkumenty pakietu KRIPOS, t pliki z rzszerzeniem *.krp. Dkumenty z danymi pmiarwymi mgą być też przygtwane w pstaci plików tekstwych (*.txt) lub plików Excela (*.xls). Ich wczytanie następuje wówczas za pmcą pcji Plik/Nwy a następnie Wczytaj dane. Standardwy spsób pstępwania przy wyknywaniu bliczeń aprksymacyjnych jest następujący : 31

Wczytanie pmiarów śrdwiskwych z pliku standardweg, tekstweg lub pliku Excela. Ustawienie właściwych parametrów w tablicy pmiarów. Ustawienie parametrów warigramu. Uruchmienie bliczeń warigramu przez naciśnięcie przycisku Zastsuj. Przejście d zakładki Warigram wynikwy i cena jakściwa wyświetlneg warigramu. Przejście d zakładki Mdele warigramu, wybranie dpwiednieg mdelu i uruchmienie bliczeń krigingwych przez naciśnięcie przycisku Zastsuj. W prgramie są wyświetlane następujące zakładki funkcyjne: l. Dane wejściwe - wczytanie danych pmiarwych ustawienia danych sterujących bliczeniami. 2. Warigramy kierunkwe - bliczenie i prezentacja na wykresach d jedneg (w przypadku krigingu bezkierunkweg) d dziewięciu (w przypadku krigingu kierunkweg) waiigramów empirycznych. 3. Warigram wynikwy - prezentacja na wykresach błku danych pmiarwych raz bliczneg warigramu empiryczneg. 4. Mdele warigramu - wyznaczenie i prezentacja na wykresach mdeli warigramu empiryczneg dla śmiu różnych funkcji mdelujących. 5. Wyniki krigingu - prezentacja kńcwych wyników blicze!'l krigingwych. W każdym mmencie mżna przejść d dwlnej z zakładek, jednak w przypadku niewyknania wymaganych wcześniejszych czynnści lub blicze!'l prezentwana na ekranie zawartść infrmacyjna będzie niewłaściwa. Dkładniejszy pis czynnści wyknywanych w ramach każdej zakładki jest następujący: Dane wejściwe Dane wejściwe t pierwsza zakładka prgramu. Prgram autmatycznie twiera tę zakładkę p uruchmieniu. Tutaj użytkwnik wprwadza dane pmiarwe badaneg prcesu raz mdyfikuje dane sterujące bliczeniami. D bsługi danych pmiarwych służy kn Dane pmiarwe pkazane z rys. 6. 32

Dane pmiarwe ~ [O'Staw dmyślne wartś'c"f Wczyta; dane _ Liczba k~lumn 3 Zapisz dane d pliku / Eksprtuj dane (Excel) I Liczba pmiarów 1 06. Tablica pmiarów ' Aktywne Klumna I Mdel trzywymia,w.v : pmiary f76 pmiaru N agł"ówki klumn Wspóhzędna X JA3 lt. gegr. [") WspóhzędnaY rs-3!sz. gegr.["),,i i---=:l Wartść pmiaru rc3!dpad~ [mm/rk] Zaprpnuj wartść mnżnika krekc. / G enerui nwe wsp. X i Y: [") > [km. I I Zastsuj Rys. 6. Dane sterujące dla pmiarów w przestrzeni 2D. Wczytane dane pmiarwe mżna zapisać d standardweg pliku z rzszerzeniem *.krp (stsując pcję Plik/Zapisz lub Plik/Zapisz jak) względnie d pliku tekstweg (za pmcą pcji Zapisz d pliku) lub wyeksprtwać d dmyślnej aplikacji arkusza kalkulacyjneg (za pmcą pcji Eksprtuj dane (Excel)). Exp11 następuje w frmacie cmma separated values (*.csv) a dane są zapisywane w pliku tymczaswym. Pierwszym trzem klumnm tablicy z danymi pmiarwymi (tablicy pmiarów) są przyprządkwywane autmatycznie następujące atrybuty: współrzędna X, współrzędna Y i wm1ść pmiaru. Uwzględniając jedynie dwie współrzędne punktów pmiarwych dknujemy aprksymacji pmiarów w przestrzeni dwuwymiarwej 2D. Klumnm tym mżna zmienić przyprządkwania atrybutów lub też nadać dpwiednie d kntekstu nazwy, krzystając z pcji Klumna pmiaru lub Nagłówki klumn. P wprwadzeniu infrmacji danych pmiarwych należy wcisnąć przycisk Zastsuj. Wtedy prawa część zakładki zawierająca tablicę pmiarów mże wyglądać, jak na rys. 7. Dwlne pmiary w tablicy pmiarów mgą być wyłączane z bliczeó pprzez dwukrtne kliknięcie na dpwiedni wiersz tablicy (pmiary 4 i 7 na rys. 7). Pnwne dwukrtne kliknięcie dwłuje wyłączenie. Wszystkie dknane zmiany w tablicy pmiarów wymagają późniejszeg wciśnięcia przycisku Zastsuj w sekcji danych pmiarwych. W tej sekcji znajduje się też przycisk Generuj nwe wsp. X i Y. Pzwala n zamienić współrzędne gegraficzne (w stpniach) punktów pmiarwych na dległści w kilmetrach. W wyniku działania tej funkcji d tablicy pmiarów zstają ddane dwie nwe klumny ze współrzędnymi punktów pmiarwych pdanymi w kilmetrach. Aby z nich skrzystać, należy zmienić przyprządkwanie współrzędnych X i Y d nwych klumn (pcją 33

Klumna pmiaru), zmienić pisy klumn (pcją Nagłówki klumn) i nacisnąć przycisk Zastsuj (pr. rys. 8). L.p. Dł. gegr. ['] Sz. gegr. ['] Opady [llllll/rk] -l 14.14 53.55 647.0 2 14. 36 52.21 656.0 3 14.37 53.24 571. O 14.4 52.35 493.0 5 14.44 54.01 724. O 6 14. 46 51.57 647.0 0 7 14.59 50.54 787.0 8 15.02 51.08 644.0 9 15.15 52.44 532.0 10 15.2 50. 54 1260.0 11 15.25 53. l 712.0 Ą Rys. 7. Tablica danych pmiarwych. Tablica pmiarów Aktywne Klumna f;; Mdel lrzywymiarwy pmiary!106 pmiaru N agł-ówki klumn WspóhzędnaX n JKilmelryWE i) Wspóhzędna Y n JKilmelry NS Wspóhzędna Z [--:::] JWyskść [m] Wartść pmiaru ~ il!mlllliiłlme31 : Zaprpnui wartść mnżnika krekc. 1 1 Generuj nwe wsp. X i Y: n > [km.] / _ 1 Mnżnik ~ krekcyjny il [.i2 il Zastsuj Rys. 8. Dane sterujące dla pmiarów w przestrzeni 3D. Aplikacja KRIPOS bsługuje także tzw. mdele trzywymiarwe, tzn. wyknuje aprksymację pmiarów w przestrzeni trójwymiarwej 3D. W tym celu należy ustawić w sekcji danych pmiarwych pcję Mdel trzywymiarwy. W tablicy pmiarów jest wtedy knieczna ddatkwa klumna z wartściami pmiarów dla trzeciej współrzędnej Z. W prgramie przyjmuje się autmatycznie, że wartści Z znajdują się w czwartej klumnie tablicy pmiarów, jednak t przyprządkwanie mżna zmienić ręcznie krzystając z pcji Klumna pmiaru. Ddatkw mżna ustawić w przypadku aprksymacji trójwymiarwej wartść tzw. mnżnika krekcyjneg, krzystając z pcji Mnżnik krekcyjny. Mnżnik ten 34

ma zastswanie wtedy, gdy zakres zmiennści trzeciej współrzędnej dbiega d zakresów zmiennści dwóch pzstałych współrzędnych i ma na celu ujednlicenie wyników przy bliczaniu dległści między parami punktów pmiarwych. Aplikacja mże wyznaczyć wai1ść mnżnika krekcyjneg autmatycznie (p wciśnięciu przycisku Zaprpnuj wartść mnżnika krekc.) i rbi t w ten spsób, by skrygwany zakres zmiennści dla trzeciej współrzędnej pkrywa! się z mniejszym z dwóch pzstałych zakresów. Warigram Liczba par, Najmniejszy dystans Największy dystans I-' Wyznacz autmatycznie : Statystyka Liczba przedział-ów / 15 _:_J Maksymalny uwz~i. / 100% _:J dystans [%] Szerkść przedział-u A ztżenie przedział-ów / Klasyczne Liczba przedział-ów kątwych / 1 Tlerancja kątwa+/- Kąt pczątkwy / _:] I 90. _:] Rys. 9. Obsługa warigramu; kriging bezkierunkwy. Warigram Liczba par i 5565 Najmniejszy dystans 0.0447214 Największy dystans 9. 72227 Statystyka Liczba przedział-ów [ 15 _:_J Maksymalny uwz~i. [ 1 DO% _:J dystans [7.l 1-' Wyznacz autmatycznie Szerkść przedział-u 0.648151 A ztżenie przedział-ów I Klasyczne Liczba przedział-ów kątwych [ 4 Tlerancja kątwa+/ i 22.5' Kąt pczątkwy [~_:] Rys. 10. Obsługa waiigramu; kriging kierunkwy. Wprwadzanie wszelkich danych w plach sekcji danych pmiarwych należy zawsze zatwierdzać przyciskiem Zastsuj. W lewym-dlnym rgu zakładki znajduje się sekcja bsługi warigramu (Warigram), w której ustawia się parametry niezbędne d wyznaczenia warigramu 35

empiryczneg (rys. 9). Trzy czerwne pla p lewej strnie sekcji znaczają, że nie naciśnięt przycisku Zastsuj w sekcji danych pmiarwych. Jeg naciśnięcie pwduje utwrzenie tablicy, w której są przechwywane wartści dległści i kąta dla wszystkich kmbinacji par punktów pmiarwych (rys. 10). 1-... lttibm/!ilrnii _ I DHI IB I T Dane wejściwe j Wari gramy kierlklkwe j Wari grem W)'l"likOW)'j Mdele warigremu j Wyniki kri~ngu I Oanepmiar;u-,- -.., -.. :-- -,..---:,, 1 ~:;; _;;W:;;",.;;,.;;..._;; 0 ;; _,11-_.!,tl_!. j,!'--l...l.-1 -'j ==ów:~-zopt1dwdal!8:uj UIPC'll.idrelbcell[ T~=, ~ 1~~r -; _..._, N~W kum ' w..,,..., n p...,.:j j, 1 \ll,p,'11tędny n f.-i,n,,_ Y..:l H, S9 U. 02 53,U 52.JS 54. 01 51.$7 50.$4 644.0 SJ2.0 WOll4tPOl'l'óONn J'#.. st_....:.1 Sł.I W,rigra~pa,- ~ N.;,ri,i,.,.d,,lan,- Lie:błprndriat,wfj57 N.,..,,,~- M-~=~ i;; W),'fflłCZllA(IIMl)"Cll'"9 Snu;,kim!pl9d,iw r-- Rm:iterie,n,edNtówli.,,,,.,,. ł.i,;zb1.,.1edl:iałówk...,d, ~ Tlf1.-cilt.,_ / I-!I),:_41~0CHlktM1" ~ u " " " " ",. " "!S.J4 15.JS 15.54 a., U.J 16.JZ 16.)7 15.39 u.n U,4 16.n 16.53 $4.ll Ul.O SO. ll39.0 '29. 0 S2.J4 522.0 54.lZ 904.0 SI.Il sej.o SO. 929. 0 S0.24 752.0 51.29 SO.U SO.z& 10.0, 52.25 54.JS SO.Ja 54,U Sl.42 6ll.0 531.0 762.0 UJ.O 741.0 775.0 ~Je. U.0 Ul.O Ul.O - H,5 lh. 0 49.5l lll.0 5].0] Jlói/ tijol;)we00 Rys. 11. KRIPOS - ekran z danymi pmiarwymi. Dwa pdstawwe parametry ustalane w tej sekcji, t Liczba przedziałów i Liczba przedz iałów kątwych. Pierwszy parametr definiuje, dla ilu punktów będzie bliczany warigram empiryczny względnie na ile przedziałów dzieli się maksymalną dległść między badanymi punktami pmiarwymi z tablicy pmiarów (number f lags). Ustalenie drugieg parametru decyduje tym, czy d bliczenia warigramu empiryczneg stsuje się algrytm krigingu bezkierunkweg (wartść 'l'), czy kierunkweg (wartści 2, 4 lub 8). Ustalenie tej wmtści brazuje się na rysunku umieszcznym w lewym dlnym rgu sekcji: dla k.jigingu 36

bezkierunkweg (lub: warigramu bezkierunkweg) jest t pełne kł (rys. 9), natmiast dla krigingu kierunkweg (lub: warigramów kierunkwych) jest t pdwójny wycinek kątwy pwierzchni zależnej d zadanej wartści parametru (rys. 10). W przypadku stswania krigingu kierunkweg należy również ustalić wartść tzw. Kąta pczątkweg, kreślająceg kierunek, dla któreg wyznacza się pary punktów pmiarwych uwzględniane następnie przy bliczaniu warigramu empiryczneg (kierunek względnie kąt krigingu); kąt ten zmienia się w przedziale d 0 d 180. Przykładwy pełny ekran prgramu dla zakładki Dane wejściwe jest pkazany na rys. 11. Warigramy kierunkwe Na tej zakładce znajduje się siem pól, na których brazuje się wykresy warigramów empirycznych, których liczba zależy d ustalenia wa11ści parametru Liczba przedziałów kątwych (1, 2, 4 lub 8 warigramów). W przypadku bliczania waiigramów kierunkwych (gdy liczba przedziałów kątwych jest większa niż jeden), dwa wykresy są wyróżnine d pzstałych klrami niebieskim i zielnym. Klrem niebieskim jest znaczny waiigram bliczny dla kierunku kreślneg wybranym kątem pczątkwym krigingu (warigram pdstawwy), natmiast w klrze zielnym wykreśla się warigram bliczny dla kierunku rtgnalneg d pczątkweg (warigram rtgnalny). W sp&czynnik aniztrpii: Mdele wa,igramu ~ Mdelwanie l<i,rn.rnek 13:5.0", Tl,::r.rncja k.ąlwa +/- 22.50 " 200000 180000 160000 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 ~~~--~-~~~--~~ 300000 270000 240000 210000 180000 150000 120000 90000 60000 30000 800000rKi" 720000 640000 560000 480000 400000 320000 240000 160000 ag [ ~ O 1 Kie1unE:k45.0, Tleran cja kątwa+/. 22.50 ~~~--~-~~~--~~ 1 dlegt1ć międzff pun~am( pm~,uu g 10 80000.--,.,.,Ki_.,_,n_,_k_._ _._r,_,,_,._n_,;_,_ ~ _w_,_+1_-2_2_. ---, J\ ~ii 72000 Q,-,-, : ~ - :- ~ -- 6 32000 24000 16000 8000 i Rys. 12. Wykresy warigramów kierunkwych. 37

Na rys. 12 pkazan część zakładki Warigramy kierunkwe dla czterech przedziałów kątwych ustalnych w krigingu kierunkwym. Pdwójne kliknięcie (dwuklik) na dwlnym wykresie pwduje zmianę kierunku krigingu, ustalneg wcześniej na zakładce Dane pmiarwe pprzez zadanie wartści Kąt pczątkwy. Dwukliknięty warigram zstaje przeniesiny d pierwszeg pla, czyli jeg kierunek staje się kierunkiem pczątkwym, i jedncześnie dpwiedni zmienia się warigram na kierunku rtgnalnym. W lewej górnej części zakładki znajdują się dwa zestawy kntrlek: Współczynnik aniztrpii i Mdele warigramu. Współczynnik aniztrpii ustala się zwykle na pdstawie analizy wykreślnych waiigramów kierunkwych: pdstawweg i rtgnalneg. Ma n na gól wartść mniejszą d jednści a umieszczny bk wykres wizualizuje kierunek i wielkść ustalanej aniztrpii. Drugi zestaw kntrlek wspmaga analizę warigramów kierunkwych, pzwalając na bliczenie i wykreślenie mdeli (waiigramów teretycznych) dla każdeg wyznaczneg warigramu empiryczneg. Mdele te są prezentwane na zakładce Mdele warigramu p wciśnięciu przycisku Mdelwanie w sekcji drugieg zestawu kntrlek. Za pmcą funkcji Mdele warigramu, pprzez wybór kierunku (kąta) kiigingu, wybiera się warigram kierunkwy, który będzie mdelwany. Warigram wynikwy Zakładka Warigram wynikwy składa się z dwóch wykresów. Z lewej strny znajduje się błk danych pmiarwych, na którym każdy punkt pmiarwy jest zaznaczny przy pmcy znacznika. Czerwnymi krzyżykami są zaznaczne pmiary wyłączne z bliczeń. Znaczniki zaznaczne na żółt i na zieln znaczają, dpwiedni, punkty pmiarwe z minimalną i maksymalną wartścią pmiaru. Dkładną wartść współrzędnych i pmiaru dla każdeg punktu mżna sprawdzić, najeżdżając kursrem myszki na znacznik punktu pmiarweg. W przypadku, gdy kilka punktów znajduje się w niewielkiej dległści d siebie, jest prezentwana infrmacja dla dwóch (lub większej liczby) punktów (rys. 13). Na wykresie z błkiem danych pmiarwych mżna włączać i wyłączać pszczególne punkty pmiarwe z bliczeń, analgicznie jak był t mżliwe w przypadku tablicy pmiarów na zakładce Dane wejściwe. Obecnie jednak widać płżenie punktu na mapie terenu, c isttnie ułatwia wybór. Aby włączyć/wyłączyć punkt pmiarwy, należy kliknąć na nieg prawym klawiszem myszki. Pjawi się menu kntekstwe z pzycją: Włącz punkt pmiarwy, Wyłącz punkt pmiarwy lub Włącz/wyłącz punkt pmiarwy. Ten 38

statni przypadek występuje, gdy w tczeniu kursra znajduje się więcej niż jeden punkt pmiarwy i są kłpty z ich precyzyjną identyfikacją. Wywływany jest wtedy dialg zawierający pis kilku punktów i umżliwiający ich indywidualne włączenie lub wyłączenie. Wygląd takieg kna dialgweg jest pkazany na rys. 14. 54.5 53.42 Obłk danych pmiarwych 52.34 >- ~ i 51.25 50.17 49.09 14.14 00 0 1l X=16.300,Y=50.240:Wartść pmiaru=75:.000 X 16.390,Y 50.180:Wartść pmiaru 687.000 X 16.390,Y=50. 260 : Wartść pmiaru=572.000 a::, 16.02 17.9 19.77 21.65 Wspólrz. X Rys. 13. Wykres błku danych pmiarwych. OK Anuluj Dr. gegr. n I Sz. gegr. n I Opady (mm/rk] 16.300000 50.240000 752.000000 Włączny r Wyłączny 16.390000 50.180000 687.000000 c~ Wł-ączny r. W.vl'ączny 16.390000 50.260000 572.000000 r. Wł-ączny C Wyłączny Rys 14. Dialg włączania/wyłączania punktów pmiarwych. 39

Ustawienia wykresu ~ Zakres zmiennych Wspóhzędna X~-- Wartść min. /14.140 Wartść max.~, Wspól-rzędnaY Wartść min.~ Wartść mak~ Znaczniki r Kół-k < Trójkąt r: Kar C Kwadracik Zastsuj OK Cancel Rys. 15. Dialg ustawiania wykresu. I Eksprtuj warigr am (E,cel) j Warigram wynikwy 88208 70567 52925 35283 Wyni k>ny wari gram bezki erunk>ny 5~6. '--4Jl,5 r / 1 554 \ 17642 1.81 3.62 5.42 7.23 9.04 'Odległść' między punktami pmiaru ( 3. I 75, 64770.023) Rys. 16. Wykres warigramu wynikweg. 40

Stswane w błku danych pmiarwych znaczniki mżna zmieniać pprzez wywłanie dialgu Ustawienia wykresu. Realizuje się t, wywłując menu kntekstwe za pmcą praweg klawisza myszki a następnie uruchamiając pcję Właściwści. Wywłane wówczas kn dialgwe pzwala zmieniać znaczniki punktów pmiarwych raz zakresy wartści zmiennych dla układu współrzędnych, w którym są zbrazwane punkty pmiarwe. Na rys. 15 pkazan przykładwy dialg ustawiania wykresu. Z prawej strny zakładki znajduje się wykres wynikweg warigramu empiryczneg (rys. 16) złżneg z liczby punktów równej liczbie przedziałów dległści ustalnych w zakładce Dane wejściwe. Liczby widniejące przy tych punktach znaczają liczby par pmiarów, które z nalazły się w danym przedziale i psłu ż yły d bliczenia daneg punktu warigramu. Pzima linia na wykresie wyznacza pzim blicznej wariancji. Przesuwanie kursrem myszki p plu wykresu pwduje wyświetlenie współrzędnych wskazywaneg punktu na pasku stanu z prawej strny u dłu kna prgramu. Dane warigramu mżna wyeksprtwać d aplikacji arkusza kalkulacyjneg za pmcą przycisku Eksprtuj warigram (Excel). Mdele warigramu Zakładka Mdele warigramu składa się z umieszcznej p lewej strnie ekranu sekcji infrmacyjn-sterującej (rys. 17) raz z śmiu wykresów mdeli warigramu empiryczneg (jedncześnie są wyświetlane wykresy czterech mdeli). Mdele są wyznaczane za pmcą metdy regresji nieliniwej z algrytmem ptymalizacji gradientwej Marquardta, przy czym funkcje mdeli są zadane standardw a ptymalizacja plega na szacwaniu wa11ści trzech parametrów tych funkcji A, B i C (rys. 18). Parametr A przyjmuje wa11ść zerwą, gdy nie zstanie wcześniej zaznaczna pcja Efekt samrdka. Wyznaczane mdele są następujące : Mdel ekspnencjalny: var(h) = A+C*(l-exp(-B*h)) Mdel Gaussa: var(h) = A+C*(l-exp(-B*B*h*h)) Mdel racjnalnie kwadratwy: var(h) = A+C*B*B*h*h/(l+B*B*h*h) Mdel falwy: var(h) = A+C*(l-sin(B*h)/(B*h)) Mdel sferyczny: var(h) = A+C*(l.5*B*h-0.5*B*B*B*h*h*h) Mdel ptęgwy (n=l/4): var(h) = A+C*(B*h)**(l/4) Mdel ptęgwy (n=l/2): var(h) = A+C*(B*h)**(l/2) Mdel liniwy: var(h) = A+C*(B*h). 41_J

I Parametry mdelu C - parametr skali 1/ 8 - pa'.ametr za s ięgu A - efekt samrdka OS - dchylenie standardwe Parametry pracy aplikacji mdelującej jetekt samrdk~ Wykresy mdeli ( - Mdele 1-4 r Mdele 5-8 Wyniki pracy aplikacji Kriging mdeluj ą cej Wybrany mdel: j 1. Ekspnencjalny W:spól-cz.vnnik aniztrpii: Estymatr: j w ari~ram i] Zastsu; I Rys. 17. Sekcja inf1macyjn-sterująca zakładki Mdele warigramu. 90000 81000 72000 63000 54000 'ióooo 36000 27000 18000 9000 1. M del ekspnencjalny: var(h) = A+C"(1-exp(-8"h)); 2. Mdel 90000 ;: )( ',( X )( X ;: ;: 81000 72000 I 9000 2 3 4 5 6 8 9 10 1 2 63000 54000 'ióooo 36000 27000 18000 (C = 64238.564. B = 5.369, A= O.OOO przy OS= 12242.533) (C = 64119.318 4. Mdel :::::H? 72000 ; 63000 x X x 54000 Rys. 18. Mdele wmigramu empiryczneg; OS znacza Odchylenie Standardwe mdelu. 42

Dae w.jściwe I WańO!;'llffi/ l<ienn<we / Wańgram W{fikON{ Mde~ wańi;-ami ~ relekh_,i:d., l -:.:..~:-1 r Mdele5 B j ~ [:.;.:--i 1.Ek~..:J WspciCl)ITlńr~ i - I 90000 81000 llooo 63000 5!000 45000 36000 21000 tbooo 9000 ( I Mdel ekspnencjalny var(h) = A1('(l-exp(-B'h)), W,,.ki lai~fl!ij I 1,;: 6ł218'1i9, 8= S 369,Ą= OOOO~iOS= IDJ!.513) fit"j 1~----------------~ i i=~ 31 ~ I I -, ) Mdel fjcj0ll~ln1e k 1inirat. y vj«h) = ;\-ł('8'8 ' h'lvjlt8"8 " h 'h ), 90000 ~------~------, 81000 IO ~----------------~ 2 Mdel C,auss3 va~hl = A C'(l-e~p(-8'8'~1'h)) 90000 ~------~------, 81000 12000 63000 t--:::::::;:::::=========~ 54000 45000 36000 21000 111000 9000 (C = 6 ł 11~ 317,9: 5 201,,.=0 DOOJ)l:yOS: 1l159 5n),l Mdel fjlw1,' 'lór(h) = t.-tc'( l-sin(b'hy(b'h)); 90000 ~------~------, 8l000 IO 71000 63000 54000 11000 63000 54000 4S000 36000 27000 18000 9000 36000 11000 18000 9000 IO IO _.,_ (1;:6l&7l45[,8=2!01,,.=C100C1pr.1C S=1 67 :01)7) Rys. 19. KRIPOS - ekran z mdelami warigramu empiryczneg. Wyświetlanie mdeli d 1 d 4 lub d 5 d 8 m ż na prze łączać za pmcą radiguzików funkcji Wykresy mdeli. Spśród śmiu wyznacznych mdeli wybiera się jeden d dalszych bliczeń aprksymacji krigingwej. Wybru dknuje się za pmcą listy kmb funkcji Wybrany mdel w sekcji Kriging lub dwukrtnie klikając na wybrany wykres. P wybraniu mdelu należy uruchmić bliczenia aprksymacji wci skając przycisk Zastsuj. 43

Zdarza się, że któryś z mdeli nie zstanie bliczny, na przykład w wyniku wystąpienia błędu macierzy sbliwej, lub nie będzie zadawalający dla użytkwnika. Mżna wówczas ręcznie zmienić parametry teg mdelu, wywłując dpwiednie menu kntekstwe pprzez kliknięcie prawym klawiszem myszki na dnśny wykres i uruchamiając w wywłanym knie dialgwym pcję Ręcznie. Wykres mdelu ze zmieninymi ręcznie wartściami parametrów jest wyświetlany w klrze czerwnym (rys. 18). Na rys. 19 pkazan cały ekran zakładki Mdele warigramu. Wyniki krigingu Zakładka Wyniki krigingu ma umieszczną z lewej strny sekcję infrmacyjnsterującą (rys. 20). Gdy bliczenia krigingu nie zstały wcześniej uruchmine, ple wartści pmiaru ma klr czerwny (byłby t ple Opady na rys. 20). Należy wówczas pwrócić d zakładki Mdele warigramu i wcisnąć przycisk Zastsuj. Przy przesuwaniu kursra p mapie z punktami pmiarwymi (rys. 21) w dpwiednich plach sekcji są aktualne wartści współrzędnych X i Y raz bliczna wartść zmiennej pmiarwej. wyświetlane ryiodel: Eks1,011e11cJ.all1y Oł. gegr. [.] I 14.3534 Sz. gegr. t ] I 53.2578 Opady (mm/rk] 581.2085 W_ył-~czne pmiary Wartści dla mdelu krigingu Eksprtuj map"' (Excel) Ocena jakści krigingu Rys. 20. Sekcja infrmacyjn-sterująca zakładki Wyniki krigingu. 44

W sekcji znajdują się następujące przyciski: Warstwice w tle. Wciśnięcie teg przycisku pwduje bliczenie i wyświetlenie warstwicwej mapy krigingu (rys. 23). W wywłanym knie dialgwym kreśla się dkładnść (rzdzielczść) mapy raz ustala się liczbę klrów i jedncześnie liczbę przedziałów wartści wykreślanej zmiennej pmiarwej. Istnieje mżliwść twrzenia mapy czarn-białej zamiast klrwej (rys. 24). Wyłączne pmiary. P wciśnięciu przycisku pkazuje się tablica z wa11ściami zmiennej pmiarwej blicznymi dla punktów pmiarwych, które zstały wcześniej (w zakładce Dane wejściwe lub zakładce Warigram wynikwy) wyłączne ze zbiru punktów bazwych i dla których są znane wartści pmiarów. W ten spsób mżna testwać dkładnść aprksymacji dla wybranych punktów pmiarwych. I -Mtfilliii i1wu il... 16 cii:g 111-,~,----------- -----~ Dane wejsciwe j WariQrarny kierunkwe I Warigram w,,,ikow)' I Mdele wari gr emu Wyniki kngingu w lótt,.11996[00)00 567 '"""' "1 J Obliczanie wartści krigingu 453 340 227 C 113 Ofs cę, 00 124 80 247 371 00 495 618 Kilmetry WE 1)~ I @)MOnQrar111Ctlc,ln\J?1107.. Jl -.0 pad:w10ii1<m...1<,p., _ I r;:; : i0 0 ;:i;;/ Rys. 21. KRIPOS - ekran z wynikami bliczeń. 45

Wartści dla mdelu krigingu. Wciśnięcie przycisku wywłuje tablicę, w której użytkwnik mże wyspecyfikwać wartści współrzędnych X, Y, Z punktów, w których chciałby, aby były bliczne wartści kiigingu. Wyniki aprksymacji są prezentwane w tej samej tablicy. Eksprtuj mapę (Excel). Funkcja eksp01tuje d aplikacji Excela mapę zmiennej pmiarwej w pstaci siatki prstkątnej, w której dla każdeg węzła współrzędnych X, Y jest bliczna wartść zmiennej. Eksprt mapy pprzedza dialg, w którym użytkwnik specyfikuje rzdzielczść mapy raz frmat eksprtwanych danych: macierzwy lub wierszwy. W frmacie macierzwym pierwszy wiersz macierzy zawiera waitści współrzędnej X, pierwsza klumna macierzy zawiera waitści współrzędnej Y a wewnętrzne elementy macierzy zawierają bliczne wartści krigingu dla węzłów siatki współrzędnych dpwiedni Xi, Yi. W frmacie wierszwym każdy wiersz zawiera trzy liczby: wartści współrzędnych X i Y raz wartść kiigingu dla klejnych węzłów siatki. Ocena jakści krigingu. Wywłanie tej funkcji pwduje bliczenie, dla każdeg punktu pmiarweg, wartści zmiennej pmiarwej przy wyłączeniu teg punktu z danych pmiarwych. Różnica między blicznymi i rzeczywistymi znanymi wartściami pmiarów stanwi miarę dkładnści aprksymacji. Rezultaty bliczeń są prezentwane w pstaci tablicy lub mapy (p wciśnięciu przycisku Pkaż mapę), na której wartść błędu aprksymacji jest wyświetlana p zbliżeniu kursra d daneg punktu pmiarweg. Obliczanie wartści krigingu ~ i Cfnij jeden wierzchłek O Przerwij definiwanie wielkąta Rys. 22. Opcja Definiuj wielkąt graniczania bszaru bliczeń kiigingwych. Kliknięcie prawym klawiszem myszki w dwlnym punkcie wykresu (mapy) wywłuje menu kntekstwe z następującymi pcjami: Definiuj wielkąt, Pkaż wagi i Właściwści. Opcja Właściwści pwduje wywłanie dialgu Ustawienia wykresu, 46

umżliwiająceg zmianę zakresu wa11ści zmiennych układu współrzędnych. Opcja Pkaż wagi infrmuje wartściach współczynników wagwych wyznacznych przy bliczaniu wartści zmiennej pmiarwej dla daneg punktu pmiarweg. Opcja Definiuj wielkąt pwduje przejście d trybu wykreślania wielkąta graniczająceg bszar (rys. 22), w którym zawierają się punkty pmiarwe służące d bliczeń aprksymacyjnych (rys. 23). Pzwala t graniczyć bliczenia d bszaru, dla któreg stswanie aprksymacji krigingwej jest wiarygdne. Przy wprwadzaniu wierzchłków wielkąta kursr zmienia się w znak łówka. Kliknięcie lewym klawiszem myszki pzwala wprwadzić nwy wierzchłek, zaś kliknięcie prawym klawiszem wywłuje menu kntekstwe pzwalające zmazać pprzedni wprwadzny wierzchłek (Cfnij jeden wierzchłek) lub całkwicie zrezygnwać z wprwadzania wielkąta (Przerwij definiwanie wielkąta) (rys. 22). Gdy kursr zstanie dsunięty dstatecznie blisk d pierwszeg wprwadzneg wierzchłka, zmienia się w znak węzła i kliknięcie lewym klawiszem myszki pwduje pmyślne zakńczenie ryswania wielkąta. 54.5 53.42 ~ 52.34 ej, a., CJ)..; Ul 51.25 50.17 Obliczanie wa11ści krigingu 502.488 593.099 1 683.710 77 4.321 111!'1 864.933 tatl 955.544 11046.155 f[ci] 1136. 766 ~ 1227 377 11317988 1408.599 1499.21 O 1589.821 49.09 14.14 16.02 17.9 19.77 21.65 23.53 Dł. gegr. 1 1 Rys. 23. Mapa bliczeń krigingwych z wyryswanym wielkątem graniczającym. 47

Mdel: Sfe1ycrny KilmebyWE I 13_5241 Kilmetry NS I 4311395 Wartść pmiaru 585.4677 Wyskść [ml /200 567 453 8.000000 ~ J Obliczanie wartści krigingu 8 I X=14.414,Y=434.587 2=98.000:Wartść pmiaru=571.000 IO C Przywróć czyste tł 340 Rys. 24. Wygląd zakładki Wyniki krigingu dla mdelu 3-wymiarweg, Przesuwanie kursrem p mapie pwduje wyświetlanie w górnej części sekcji infnnacyjn - sterującej współrzędnych wskazywaneg punktu i wyznacznej wartści kiigingu, Wygląd zakładki Wyniki krigingu zmienia się w przypadku aprksymacji w przestrzeni 3D. Pwyżej mapy pjawia się wówczas ple edycyjne i pasek przewijania, pzwalające zmieniać wartść trzeciej współrzędnej (wyskść) punktów pmiarwych. Mapa przedstawia wtedy warstwice zmiennej pmiarwej dla wprwadznej wyskści (rys. 24), Nad paskiem przewijania znajdują się liczby stanwiące granice zakresu zmiennści trzeciej współrzędnej. 7. Przykłady wykrzystania metd gestatystycznych Metdy gestatystyczne wykrzystywan pczątkw dla ptrzeb górnictwa dkrywkweg. We współczesnej gelgii kriging znalazł zastswanie d badań zmiennści i zasbnści złóż rud metali i węgla (da Rcha i Yamamt, 2000; Namysłwska Wilczyńska, 2006), rpy naftwej (Yarus i Chambers, 2006), a także zróżnicwania przestrzenneg parametrów płżenia pszczególnych warstw gelgicznych (Dębwska i Zawadzki, 2005; Shgenva, 2004). Przy kreślaniu zasbnści złóż rpy naftwej bardz ważnym zagadnieniem jest ustalenie nie tylk przestrzeni, w której występuje rpa naftwa, ale również prwatści utwrów gelgicznych, gdyż ten parametr wpływa na zasbnść złża. Przy ustalaniu rzkładu prwatści złóż rpnśnych wykrzystuje się badania akustycznej prnści 48

pzrnej struktur gelgicznych. Przestrzenne dwzrwania tej zmiennej dbrze ddają bserwwane zmiany prwatści. Zastswanie kkrigingu wiążąceg ze sbą ustalne w czasie wierceń pszukiwawczych prwatści złża z akustyczną prnścią pzrną zwiększa stpień prawdpdbieństwa prgnz, ale wymaga bardz złżnych bliczeń (Y arus i Chambers, 2006). Szerkie zastswanie znalazł kriging w hydrgelgii (Kitanidis, 1997). Jest n pdstawwym narzędziem wizualizacji wyników bliczeń hydrgelgicznych wyknywanych metdą elementów skńcznych w celu kreślenia kierunków przepływu wód pdziemnych, zasbnści w wdę warstw wdnśnych i migracji zanieczyszczeń przez strefę aeracji i saturacji. Mdele warstw wdnśnych są sprządzane dla kreślenia zasbów wód pdziemnych i migracji zanieczyszczeń w skali makrreginu, najczęściej w granicach głównych zbirników wód pdziemnych (GZWP) (Kleczkwski, 1990 i 1998). Mapy z lkalizacją GZWP w Plsce mżna znaleźć na strnie internetwej h!m //www.pgi.gv.pl/sh/zbirnikiwdpdziemnych/index.html. Obliczenia hydrgel-giczne prwadzi się również na etapie prjektwania dużych ujęć wód pdziemnych, głównie partych infiltrację sztuczną (Dkumentacja gelgiczna..., 2001) raz przy ustalaniu stref chrny ujęć wód pdziemnych narażnych na antrppresję. W Plsce bliczenia hydrgelgiczne najczęściej prwadzi się z wykrzystaniem prgramów Mdjlw i MT3D. Prgramy te były wykrzystywane d mdelwania migracji zanieczyszczeń w pbliżu składwisk dpadów (Fijalkiewicz, 2001) raz przy cenie zagrżeń śrdwiska naturalneg w przypadku wystąpienia wycieku substancji niebezpiecznych d gruntu lub wód pwierzchniwych (Brysewicz i in., 2004; Macuda i Slecki 2005). Rak (2004) wykrzysta! metdę krigingu d przedstawina przestrzenneg (trójwymiarweg) rzkładu stężenia aztanów w latach 1961-2000 w GZWP nr 333 Ople Zawadzkie. Pwierzchnia teg zbirnika wynsi 1..120 km 2 a zasby dyspzycyjne 200-225 tys. m 3 /d. Zbirnik zstał pdzielny na 5.577 kmórek wymiarach 2 km x 2 km x 50 m. Określn strukturę użytkwania zbirnika raz zlkalizwan blisk 400 gnisk zanieczyszczeń. Dknan prgnzy zanieczyszczeń aztanami wód pdziemnych p rku 2000 w parciu archiwalne wyniki jakści wód pdziemnych z zastswaniem sztucznych sieci neurnwych. Bertin i Wackernagel (2002) prwadzili badania nad wykrzystaniem kkrigingu d mdelwania dynamicznych zmian stężeń rzpuszczneg tlenu w wdach Łaby. D symulacji zużycia w kresie ncy tlenu i prdukcji tlenu w kresie dnia wykrzystan zdjęcia 49

rzeki wyknywane z helikptera, na pdstawie których kreślan seznwą zmiennść glnów w wdzie. D bliczeń wykrzystan prcedurę kkrigingu. Uzyskan bardz dbrą krelację pmiędzy wartściami prgnzwanymi stężenia tlenu a wartściami ustalnymi na drdze pmiarów. Prcedury krigingwe są wykrzystywane dść częst przez gedetów i kartgrafów. W tym przypadku nie są t jedyne techniki stswane przy sprządzaniu map w parciu nieregularną siatkę pmiarów. Duże zastswanie mają metdy najmniejszej krzywizny (minimum curvature), najbliższeg sąsiedztwa (nearest neighbr), naturalneg sąsiedztwa (natura/ neighbr), radialnych funkcji bazwych (radia/ basis Junctin), regresji wielmianwej (plynmial regressin), dwrtnych dległści d ptęgi (inverse distance t a pwer), triangulacji z liniwą interplacją (triangulatin with linear interplatin) i zmdyfikwana metda Sheparda (mdified Shepard's metd) (Gldsztejn i Skrzypek, 2004). Metdy te wykrzystywane są również przy sprządzaniu map szlgicznych i pracwaniu badań pchdzących z mnitringu śrdwiska. Należy zauważyć, że w kartgrafii wykrzystuje się techniki d dwzrwywania przestrzeni trójwymiarwych, pdczas gdy k1iging t narzędzie uniwersalne d pracwywania wielparametrwych baz danych. Techniki krigingwe mgą być wykrzystywane w pracach knserwatrskich (Brń i Jachimski, 1998). W tym celu na etapie inwentaryzacji wyknuje się zdjęcia techniką ftgrametrii cyfrwej. Uzyskane ftgrafie są następnie pracwywane w celu kreślenia zmiennści barw na malwidłach. Prace knserwatrskie są szczególnie trudne na sklepieniach. Zmienne zreginalizwane wykrzystuje się d analizy przemieszczania stref zasięgu pszczególnych gatunków fit- i zfauny, ustalania zasięgu siedlisk, przemieszczania się genów wśród zwierząt wln żyjących (Ratkiewicz, 2006) a także przy badaniach nad eklgią krajbrazu (Cullinan i Thmas, 1992; Richling i Sln, 1994; Pausas, 2006). Metdy gestatystyczne znalazły statni również zastswanie w badaniach genetycznych prwadznych na kmórkach in-vitr (Wagner i in, 2005). Łmtwski i Skwarek (2003) wykrzystali prcedurę kiigingu, d pracwania zmiennści składu wdy w systemach wdciągwych. W ramach mnitringu sanitarneg prwadzi się badania w wybranych punktach sieci wdciągwej. Opracwane statystycznie wyniki mgą być następnie wykrzystywane d wyznaczania bszarów miasta, gdzie jakść wdy ulega zmianm, w szczególnści d wyznaczania bszarów, gdzie w sieci wdciągwej dchdzi d wytrącania się węglanów. Mapy krigingwe mgą być wykrzystywane również d wyznaczania stref mieszania się wód tlcznych d sieci z 50

różnych ujęć wdciągwych. Ten spsób analizy danych mżna stswać na dużych systemach wdciągwych, gdzie jest znaczna liczba punktów kntrlnych. Metdy gestatystyczne mają zastswanie przy badaniach struktury sklepień lasów (Bldgett i in., 2000). W badaniach tych wykrzystuje się spektrftmetryczne i radimetryczne zdjęcia satelitarne. Z zastswaniem kkrigingu i krigingu mdeluje się w parciu zdjęcia satelitarne wyskść drzew na danej pwierzchni, pwierzchnię prśniętą drzewami, indeksy pwierzchni liści (igliwia), ilść bimasy. Kalibracja i weryfikacja mdeli dbywa się pprzez wyknywanie badań metdami tradycyjnymi na pwierzchni ziemi w ustalnych punktach kntrlnych. Praktycznym zastswaniem tych technik t racjnalizacja gspdarki leśnej, mżliwść szybkiej ceny uszkdzeń kultur leśnych przez wady raz sprządzanie map pkrywy leśnej. Krigingjest wykrzystywany d sprządzania map klimatycznych (Dały i in., 2002). Liczne publikacje dtyczą zastswań metd krigingwych w badaniach gleb. Przeglądu mżliwści zastswań krigingu w glebznawstwie dknał Gvaerts (1998, 1999). Herbs i in. (2006) wykrzystali laiging zwyczajny, z liniwym dryftem zewnętrznym raz z trendem (regressin kriging), d szacwania przestrzennej zmiennści parametrów hydraulicznych strefy aeracji dla zlewni dświadczalnej pwierzchni 28,6 ha. Wykazan, że wszystkie symulwane mapy rastrwe i warstwicwe ddawały pdbny przebieg zmiennści tych parametrów. Znajmść właściwści hydraulicznych strefy aeracji gruntów jest niezbędna przy kreślaniu współczynnika infiltracji efektywnej gruntów raz przy prjektwaniu urządzeń d sztuczneg wzbgacania wód pdziemnych wdami pwierzchniwymi. Baxter i Oliver (2006) zastswali prcedury krigingwe w badaniach zmiennści zawartści pierwiastków pkarmwych w glebach aztu, fsfru i ptasu. Prwadzn również badania nad przestrzenną zmiennścią składu chemiczneg (Zhang i in., 1992; Han i in., 2003; Lark i Fergusn, 2004) i fizycznych właściwści gleby (Uswicz i in. 2004). Qian (1997) przeprwadzi! badania nad przestrzenną zmiennścią wielkści dpływu fsfru gólneg z bszaru bagien. Badania nad wynszeniem fsfru ze zlewni są niezmiernie ważne dla chrny naturalnych lub sztucznych zbirników wód pwierzchniwych przed eutrfizacją. Prcedury krigingwe znalazły pwszechne zastswanie przy badaniach zmiennści przestrzennej ewaptranspiracji (Mardikis in. 2005) raz wielkści padów atmsferycznych (Martinem-Cb. 1996; Sen, i Zeyad, 2000). W Plsce mdelwaniem 51

zmiennści przestrzennej padów atmsferycznych zajmwał się Stach (2006) raz Stach i Tamulewicz (2003). Szczególne trudnści w mdelwaniu zmiennści przestrzennej padów występują na bszarach górskich. Nakłada się tu efekt rgraficzny raz ddziaływania zmiennych cyrkulacji mas pwietrza. W Plsce badania nad zmiennścią padów atmsferycznych w zlewniach górskich prwadzi! Szczepanek (2003). Wykazał n, że k.tiging mże być z pwdzeniem wykrzystywany w mdelach parametrach dyskretnie rzłżnych, bazujących na numerycznym mdelu terenu. Kriging w stsunku d innych metd mdelwania padów atmsferycznych metdy wielbków, dwrtnych dległści i gradientwej metdy dwrtnych dległści, jest najbardziej wymagającą prcedurą pd względem liczebnści punktów pmiarwanych. Hevesi i in. (1992) zastswali kriging d szacwania zmiennści padów na bszarach górskich USA. Singh i Kumar (1997) a tak że Arra i in. (2006) pdejmwali próby szacwania zmiennści przestrzennej padów w Himalajach. Wilk i Andresn (2000) zastswali k.tiging d szacwania pwierzchniwej zmiennści padów w zlewniach górskich w płudniwych Indiach. Gimen-Garc1 i in. (2004) metdą krigingu badali przestrzenną zmiennść temperatury w czasie eksperymentalnych pżarów lasu. Badania te miały na celu kreślenie dynamiki przemieszczania się gnia raz mżliwści mnitringu te1miczneg bszarów w czasie naturalnych pżarów. Kriging jest wykrzystywany przy pracwywaniu wyników badań stanu czystści pwietrza (Carletti i in., 2000) i jnsfery (Blanch i in., 2006). Bbbia i in. (2006) zastswali prcedury krigingwe przy analizie pmiarów w pwietrzu atmsferycznym stężeń benzenu, tluenu i ksylenu (BTX) raz tlenków aztu. Berlin i Wackemagel (2002) mdelwali zmiany znu w Paryżu i miastach skandynawskich. W Czechach wyknuje się pmiary radiaktywnści pwierzchni Ziemi przy u ż yciu snd d pmiaru prmieniwania /3 i y w czasie ltów samltem na niskich pułapach. W parciu te pmiary techniką kk.tigingu sprządza się mapy radiaktywnści pwierzchni raz zawa1tści radinukleidów. Wyknanie takich map jest szczególnie ważne w rejnach, gdzie prwadzna była eksplatacja złóż uranwych. Wskutek dprwadzania wód kpalnianych d rzek nastąpił znaczne zanieczyszczenie dużych bszarów radinukleidami. Mapy te pzwalają także ustalić bszary naturalnej pdwyższnej radiaktywnści. 52

Didat i Ceccarelli (2005) z zastswaniem kkrigingu badali w dystrykcie Benevent (Wichy) wpływ rgrafii na stężenie cezu 137 w glebach. Tymtek (2005) i Namysłwska-Wilczyńska (2006) wykrzystali krigigin blkwy d mdelwania pwierzchniweg brazu zmian bciążeń elektrycznych sieci energetycznej raz jednstkwych ksztów krańcwych przesytu energii elektrycznej na bszarze Plski. Metdy gestatystyczne są wykrzystywane również d kreślania rejnów zagrżnych specyficznymi chrbami dla ludzi, zwierząt i rślin (Clarke i in.; 1996; Getz i in., 2000). Przedstawiny przegląd nie wyczerpuje wszystkich mżliwści zastswań gestatystyki. Pkazuje jednak, że kriging jest uniwersalną metdą, która mżna być stswana przy analizie wielwymiarwych baz danych czasprzestrzennych. Kriging jest nadal rzwijany w zakresie pdstaw teretycznych, jak również dświadczeń praktycznych. Mżna rzec, że histria krigingu, t niekńczący się zbiór artykułów twrzących swistą bazę w czasprzestrzeni. Literatura Arra M, Singh P., Gel N. K., Singh R. D. (2006) Spatial distributin and seasnal variability f rainfall in a muntainus basin in the Himalayan Regin. Water Resurces Management, vl. 20, pp. 489-508. Baxter S.J. Oliver M.A. (2005) The spatial predictin f si[ minera[ N and ptentially available N using elevatin. Gederma, vl. 128, pp. 325-339. Bertin L. Wackernagel H. (2002) Case studies f change-f-supprt prblems. IMPACT Prject Reprt N 20 (Cntract IST-1999-11313). Technical Reprt N-21/02/O ENSMP - ARMINES, Centre de Gestatistique 35 rue Saint Hnre, F-77305 Fntainebleau, France http://cg.ensmp.fr. Blanch J., Walter J., Enge P. (2006) A new inspheric estimatin algrithm fr SBAS cmbining kriging and tmgraphy http://waas.stanfrd.edu/-wwu/papers/gps/pdf/blanchionntm04.pdf 53

Bldgett C., Jakubauskas M., Price K. and Marlink E. (2000) Remte Se11sing-based Gestatistical Mdeling f Frest Canpy Structure. ASPRS 2000 Annual Cnference, Washingtn, D.C., May 22-26, 2000. Bbbia M., Mietlicki F.,.Rth C. Deraisme J. (2006) Cartgraphy fr air quality m11itring the gestatistical apprach. www.gevariances.cm. Brń A., Jachimski J. (1998) Inwentaryzacja Kaplicy Świętkrzyskiej na Wawelu z wykrzystaniem metd ftgrametrii cyfrwej. Archiwum ftgrametrii, kartgrafii i teledetekcji. Vl. 8, str. 16-1 d 16-13. Brysewicz M., Furtek A., Ptempski S. (2004) Kmputerwy system zarządzania sytuacjami kryzyswymi w zakładach niebezpiecznych. Adaptacja mdelu rzprzestrzeniania się skażeń w glebie na ptrzeby systemu zarządzania sytuacją kryzyswą w zakładach niebezpiecznych SZYK. Instytut Energii Atmwej, 05-400 Otwck-Świerk. Burennane H, King D. (2003) Using multiple extemal drifts t estimate a si[ variable. Gederma, vl. 114, pp.l-18. Carletti R., Picci M., Rman D. (2000) Kriging and bili11ear methds fr estimating spatial pattem f atmspheric plluta,zts. Envirnmental Mnitring and Assessment, vl 63, pp. 341-359. Clarke K.C., McLafferty S.L., Tempalski B.J. (1996) On epidemilgy and gegraphic infnnatin systems A review and discussin f future directins. Emerging Infect. Dis., vl. 2 n. 2, pp. 85-92. Cressie N. A. C. (1991) Statisticsfr spatial data, Jhn Wiley and Sns, Inc., New Yrk. Cullinan V.I., Thmas J.M. (1992) A cmparisn f quantitative methds fr examining landscape pattern and scale. Landscape Ec!. vl. 7, pp. 211-227. Dały C., Gibsn W. P., Taylr G. H., Jhnsn G. L., Pasteris, P. (2002) A knwledge based apprach t the statistical mapping f climate. Clim. Res. 22, 99-113. Didat N., Ceccarelli M. (2005) Gegraphical infnnatin systems and gestatistics fr mdelling radiactively cntaminated land areas. Natura! Hazards, vl. 35, pp. 229-242. da Rcha M. M. Yamamt J. K. (2000) Cmparisn between kriging variance and i,zterplatin variance as uncertainty measurements in the Capanema Irn Mine, State f Minas Gerais-Brazil. Natura! Resurces Research, vl. 9, n. 3, pp. 223-235. Deutsch C. V., Jumel A. G. (1998) GSLIB Gestatistical sftware library and user's guide. Secnd Editin. Oxfrd University Press, New Yrk Oxfrd. 54

Dębwska U., Zawadzki J. (2005) Analiza statystyczna i gestatystyczna zróżnicwania przestrzenneg parametrów płżenia warstw w NW części Gór Świętkrzyskich. Przegląd Gelgiczny, vl. 53, nr 4, str. 306-310. Dkumentacja gelgiczna kreślająca warunki hydrgelgiczne d budwy infiltracyjneg ujęcia wdy ze stawów w rejnie Czyżówka dla miasta Bydgszczy - Opracwanie Biura Studiów i Badań Hydrgelgicznych i Gefizycznych HYDROCONSULT Sp. z.. w Warszawie Oddział w Pznaniu pd kierwnictwem S. Dąbrwskieg, Pznań, maj 2001 (maszynpis) Englund E., Sparks A. (1991) Ge-EAS 1.2.1 User's Guide. EPA Reprt 60018-91/008, EPA EMSL, Las Vegas, NV. Fijalkiewicz W. (2001) Mdelwanie migracji siarczanów w wdach pdziemnych na przykładz ie składwiska Żelazny Mst. Akademia Rlnicza we Wrcławiu, Wydział Inżynierii Kształtwania Śrdwiska i Gedezji, Wrcław. Gimen-Garc1 E., V. Andreu V, Rubi J.L. (2004) Spatial pattems f si] temperatures du1ing expe1imental fires. Gederma, vl. 118, pp. 17-38. Getz S.J., Prince S.D., Small J. (2000) Advances in satellite remte sensing f envirnmental variables epidemilgical applicatins. Advances in Parasitlgy, vl. 47, pp. 289-304. Gldsztejn P., Skrzypek G. (2004) Wykrzystanie metd interplacji d numeryczneg kreślenia map pwierzchni gelgicznych na pdstawie nieregulamie rzmieszcznych danych. Przegląd Gelgiczny, vl. 52, nr 3, str. 233-236. Gvaerts P. (1998) Gestatistical tls fr characterizing the spatial variability f micrbilgical and physic-chemical sil prperties. Bil Fertil Sils, vl. 27, pp. 315-334. Gvaerts P. (1999) Gestatistics in sil science state-f-the-art and perspectives. Gederma vl. 89, pp.1-45. Han S, Schneider S. M., Evans R. G. (2003) Evaluating ckriging fr imprving sil nutrient sampling efficiency. Transactins f the ASAE, vl. 46, n. 3, pp. 845-849. Herbsta M., Diekkrligerb B., Vereeckena H. (2006) Gestatistical c-reginalizatin f sil hydraulic prperties in a micr-sca/e catchment using terrain attributes. Gederma, vl. 132, pp. 206-221. Hevesi J.A., Istk J.D., Flint A.L. (1992) Precipitatin estimatin in muntainus terrain using multivariate gestatistics. Part I Structural analysis. Jurnal f Applied Meterlgy, vl. 31, n. 6, pp.661-676. 55

Isaaks E. H., Srivastava R. M. (1989) Applied gestatistics. Oxfrd University Press, New Yrk. K.itanidis P. K. (1997) lntrductin t gestatistics applicatins t hydrgelgy. Cambridge University Press, Cambridge. Kleczkwski A. (red.) Mapa bszarów głównych zbimików wód pdziemnych (GZWP) w Plsce wymagających szczególnej chrny I 500 OOO. Kraków 1990. Kleczkwski A. (red.) Główne zbimiki wód pdzielllnych (GZWPJ w Plsce - własnści hydrgelgiczlle, jakść wód, badallia lllodelwe. Kraków 1998. Kntters M., Brus D.J., Oude Vshaar J.H. (1995) A cmparisn f kriging, c-kriging and kriging cmbined with regressin fr spatial interplatin f hrizn depth with censred bservatin. Gederma, vl. 65, pp. 227-246. Kravchenk A, Zhang R., Tung Y.T. (1996) Estimatin f mean annual precipitatin in Wyming using gestatistical analysis Prceedings f American Gephysical Unin 16th Annual Hydrlgy Days, Aptil 15-18, 1996, Frt Cllins, Clrad, pp. 271-282. Krige D.G. (1951) A statistical apprach t same basie mine valuatin prblems n the Witwaterland. Jurnal Chern. Metali. Min. Sc. Suth Africa, n.. 52, pp. 119-139. Lark R.M., Fergusn R.B. (2004) Mapping risk f si/ nutrient deficiency r excess by disjunctive and indicatr kriging. Gede1ma, vl. 118, pp. 39-53. Łmtwski J., Skwarek J. (2003) Zastswanie metd gestatystycznych d allalizy zmienllści składu wdy w syste/llach wdciągwych. Ochrna Śrdwiska nr 3, str. 45-48. Macuda J., Slecki P. (2005) Zallieczyszczenie śrdwiska gruntw-wdneg wielpierścieniwymi węglwdrami armatycznymi w rejnie rafinerii. Inżynieria Śrdwiska, Tm 10, Zeszyt 1, str. 89-96. Magnuszewski A. (1999) GIS w gegrafii fizycznej. Wydawnictw Naukwe PWN, Warszawa. Mardikis M.G., Kalivas D. P., Kllias V. J. (2005) Cmparisn f interplatin methds fr the predictin f reference evaptranspiratin-an applicatin in Greece. Water Resurces Management, vl. 19, pp. 251-278. Martinem-Cb A. (1996) Multivariate gestatistical analysis f evaptranspiratin and precipitatin in muntainus terrain. Jurnal f Hydrlgy, vl. 174, pp.19-35. Matherna G. (1962-1963) Trafte de gestatistique. Applique, tme I. Memires de Bureau de Reccherches Gelgigques et Minieres, vl. l. Editins Technip, Paris. 56

Michel H.S. (1952) New methds in the statistical evaluatin f mine sampling data. Trans. Inst. Min. Metali. Vl. 61, part 6. Minasny, B., McBratney, A.B., and Whelan, B.M. (2005) VESPER versin 1.62. Australian Centre fr Precisin Agriculture, McMillan Building A05, The University f Sydney, NSW 2006. (http://www.usyd.edu.au/su/agric/acpa). Mucha J. (1991) Wybrane metdy matematyczne w gelgii górniczej. Wydawnictw AGH, Kraków. Namysłwska-Wilczyńska B. (2006) Gestatystyka, teria zastswa11ie. Oficyna Wydawnicza Plitechniki Wrcławskiej, Wrcław. Nielsen D.R., Kutilek M., Wendrth O., Hpmans J.W. (1997) Selected research pprtunities in si/ physics. Sci. Agric. Piraci caba, Vl. 54, pp. 51-77. Olea R.A. (1999) Gestatics fr Engineers and Earth Scientists. Kluwer Academic Publishers. Pannatier Y. (1996) VARIOWIN Sftware fr spatial data analysis in 2D, Spinger-Verlag, Berlin Heidelberg. Pausas J.G. (2006) Simulating Mediterranean landscape pattem and vegetatin dynamics imder differentfire regimes. Plant Eclgy, Vl. 187, N 2, pp. 153-296. Rak A. (2004) Wpływ zagspdarwania przestrzenneg terenu na stan zanieczyszczeń azta11ami wód pdziemnych triasu plskieg. Akademia Rlnicza we Wrcławiu, Wydział Inżynie1ii Kształtwania Śrdwiska i Gedezji, Wrcław. Ratkiewicz M. (2006) Wpływ barier genetycz11ych i śrdwiskwych raz czy1111ików histrycznych na przepływ genów i strukturę ppulacji u zwierząt. KOSMOS, Prblemy nauk bilgicznych, vl. 55, nr 2-3, str. 165-176. Richling A., Sln J. (1994) Eklgia krajbrazu. Wydawnictw Naukwe PWN, Warszawa 1994. Rth C. (1998) Is lgnrmal kriging suitable fr!cal estimatin? Mathematical Gelgy, vl. 30,n. 8,pp.999-1009. Sichel H.S. (1952) New methds in statistical evaluatin f mine sampling data. Trans. Inst. Min. Matali, vl. 61, part 6, Lndyn. Sen Z., Zeyad H. (2000) Spatial precipitatin assesment with elevatin by using pint cumulative semivarigram tech11ique. Water Resurces Management, vl. 14, pp. 311-325. 57

Shgenva A. (2004) Gestatistic mdelling f primary and diagenetic prcesses in the Ordvician sedimentary basin f Estnia. WOGOGOB-2004 Cnference Mate1iale, pp. 90-91. Singh, P., Kumar, N. (1997) Effect f rgraphy n precipitatin in the westem Himalayan regin. Jurnal fhydrlgy, vl. 197, pp. 183-206 Stach A. (2006) Estymacja i symulacja pla prawdpdbieństwa maksymalnych padów dbwych. Mat. Knf. nt. Funkcjnwanie geeksyslemów zlewni rzecznych 4. Prcesy ekstremalne w śrdwisku gegraficzny. Kłbrzeg 20-22 września 2006, str. 25-29. Stach A., Tamulewicz J. (2003) Wstępna cena przyda/ilści wybranych algrytmów przestrzennej estymacji miesięcznych i rcznych sum padów na bszarze Plski. [w ] A. Kstrzewski, J. Szpikwski (red.) 2003 Funkcjnwanie geeksystemów zlewni rzecznych, t. 3, Obieg wdy - uwarunkwania i skutki w śrdwisku przyrdniczym, Instytut Badań Czwartrzędu i Geeklgii UAM, str. 87-111, Bgucki Wydawnictw Naukwe, Pznań. Surfer 8. User's Guide, Glden Sftware, Inc. 2002 Clrad US.A. Szczepanek R. (2003) Czasprzestrzenna struktura padu atmsferyczneg w zlew/li górskiej. Praca dktrska, Wydział Inżynierii Śrdwiska Plitechniki Krakwskiej, Kraków. Tymrek A. (2005) Analiza taryf przesyłwych jak elementu bezpieczneg i efektywneg kierwania prac systemu elektrenergetyczneg. Praca dktrska. Wydział Elektryczny Plitechniki Wrcławskiej, Wrcław. Qian S.S. (1997) Estimating the area affected by phsphrus runff in an Everglades wet/and a cmparis/l f universal kriging alld Bayesiall krigillg. Envirnmental and Eclgical Statistics, vl. 4, pp. 1-29. Uswicz B., Ajns M., Skłwska Z., Józefaciuk G., Bwank G., Ksswski J. (2004) Przestrzell/la zmienllść fizycznych i chemiczllych właściwści gleby w skali pla i gminy. Acta Agrphysica, Rzprawy i Mngrafie nr 103, Lublin. Wackemagel H. (1998) Multivariate gestatistics - An bztrductill with Applicatins. Spinger-Verlag, Berlin Heidelberg. Wagner H.H., Silke Werth R.H., Gugerli F., Hebee S.E., Scheidegger C. (2005) Varigram analysis f the spatial genetic structure f cntinuus ppulatins using multilcus micrsatellite data. Genetics Vl. 169, pp. 1739-1752. 58

Wilk J., Andersn L. (2000) GIS-supprted mdelling f areał rainfa/l in a muntainus river basin with mnsn climate in suthem India. Hydrlgie Sciences, vl. 45, n. 2, pp. 185-201. Yarus J. M., Chambers R. M. (2006) Practical gestatistics-an annchair verview fr petrleum reservir engineers. JPT, n. 11, pp. 78-89. Ying Z. (2000) iks im A fast algrithm fr indicatr kriging and simulatin in the presence f inequality cnstraints, hard and sft data. Cmputers and Gesciences. Vl. 26, pp. 493-507. Zhang R., Mayers D.E., Waniek A.W. (1992). Estimatin f the spatial distributin f si/ chemicals using pseud-crss-varigrams. Si! Sci. Sc. Am. J. 56, 1444-1452. 59