Eugiu Roołowi Podwy rgulcji uomycj Wrocłw 4
Opiiodwcy Oprcowi rdcyj Kor Proj ołdi Słd ompurowy Eugiu ROSOŁOWSKI Wli prw rżo. Żd cęść iijj iążi, rówo w cłości, j i w frgmch, i moż być rproduow w poób lroicy, foogrficy i iy b gody wydwcy i włścicil prw uorich. Copyrigh by Eugiu Roołowi, Wrocłw 4 ISBN Druri
SPIS REŚCI OD AUORA... 7. WPROWADZENIE... 9.. Pojęci podwow... 9.. Zdi ułdów rgulcji i rowi... 4.. Rowój ułdów uomycgo rowi... 7. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU... 9.. Opi dymii ymu... 9.. Modl wymuń..... Rowiąywi rówń różicowych... 6... Rówi liiow o łych wpółcyich... 6... Zoowi do liy ymów....4. Ali ymów opiych rówimi różicowymi....4.. Wprowdi....4.. Odpowidź ułdu wymui hrmoic... 7.4.. Odpowidź rgowo połącoych ułdów... 8 Zdi... 9. ANALIZA SYSEMÓW ZA POMOCĄ MEOD OPERAOROWYCH. 4.. Prłci Fourir... 4.. Prłci Lplc... 5... Wprowdi... 5... rmicj ułdu... 54... rform odwro... 58 Zdi... 69 4. YPOWE ELEMENY SYSEMÓW DYNAMICZNYCH... 7 4.. Wprowdi: lm bircyjy... 7 4.. Elmy I-go rędu... 74 4... Elm ircyjy I-go rędu... 74 4... Idly lm cłujący... 77 4... Idly lm różicujący... 79 4..4. Elm różicujący rcywiy... 8 4.. Elmy II-go rędu... 84 4... Elm cłujący ircją... 85 4... Elm ircyjy II-go rędu... 87 4... Elm ocylcyjy... 9 4.4. Elm opóźijący... 95 4.5. Ułdy łożo... 98 4.5.. Algbr chmów bloowych... 98 4.5.. Elmy wyżych rędów... Zdi...
4 Spi rści 5. SABILNOŚĆ LINIOWYCH SYSEMÓW CIĄGŁYCH... 5 5.. Wprowdi... 5 5.. Kryrium Rouh-Hurwi... 5.. Kryrium Michjłow... 6 5.4. Kryrium Nyqui... 9 5.5. Zp fy i p wmocii... 4 5.6. Kryrium logrymic... 4 5.7. Sbilość ułdów włoą cową... 46 Zdi... 47 6. LINIOWE SYSEMY DYSKRENE... 49 6.. Wprowdi... 49 6.. Prłci Z... 5 6.. Odwro rform Z... 58 6... Rołd rformy w rg poęgowy... 59 6..4. Rołd rformy ułmi pro... 6 6..5. Mod riduów... 6 6.4. rmicj ułdu dyrgo... 64 6.5. Rówi różicow... 7 6.6. Algbr prłci Z... 7 6.7. Erpolcj impulów... 75 6.8. Modlowi cyfrow ymów ciągłych... 79 6.8.. Ewiwl rpolcji... 8 6.8.. Ewiwl cłowi... 8 6.9. Próbowi ygłów ciągłych... 87 Zdi... 9 7. SABILNOŚĆ LINIOWYCH SYSEMÓW DYSKRENYCH... 9 7.. Wprowdi... 9 7.. Kryri bilości ułdów dyrych... 96 7... Kryrium Jury go... 97 7... Kryrium Rouh-Hurwi płcyźi w... 99 7... Kryrium Nyqui... 7.. Zoowi rformcji ułdów... 7.4. Włściwości dymic ymów dyrych... 6 Zdi... 9 8. OPIS LINIOWYCH SYSEMÓW W PRZESRZENI SANU... 8.. Wprowdi... 8.. Opi dymii ymu pomocą rówń u... 8... Sruur rówń miych u... 8... Rowiąywi rówń u... 5 8.. Oprorowy pi rówń miych u... 8... Rówi miych u w poci oprorowj... 8... Zmi rmicji ułdu rówi miych u... 5 8... rmicj ułdów opiych rówimi u... 4 8..4. Srowlość i obrwowlość ułdów dymicych... 4
Spi rści 5 8.4. Sbilość ułdów liiowych ciągłych w prri ów... 46 8.5. Zmi u w ułdch dyrych... 47 8.5.. Opi ułdu dyrgo w prri ów... 47 8.5.. Orśli miych u ułdu o j rmicji... 5 8.6. Sbilość owych ułdów dyrych... 5 Zdi... 5 9. KOREKCJA LINIOWYCH CIĄGŁYCH UKŁADÓW REGULACJI... 55 9.. Jość liiowych ciągłych ułdów rgulcji... 55 9... Włściwości yc ułdów prężim wroym... 55 9... Bdi włściwości dymicych ułdów prężim wroym... 6 9... Wźii jości rgulcji... 6 9.. Zdy orcji ułdów rgulcji... 6 9.. Korcj rgow... 64 9... Koror pryśpijący... 66 9... Koror opóźijący... 69 9... Koror pryśpijąco-opóźijący... 74 9.4. Rgulory PID... 77 9.4.. Rodj rgulorów... 77 9.4.. Dobór rodju rgulor... 8 9.4.. Orśli w rgulor... 8 9.4.4. Nyci rgulor... 9 9.5. Korcj w prężiu wroym... 96 9.6. Korcj ddyyw... 98 9.7. Korcj prdycyj... 9.8. Rgulcj modlm wwęrym... 5 9.9. Uwgi ońcow... Zdi.... KOREKCJA LINIOWYCH UKŁADÓW DYSKRENYCH..... Wprowdi..... Błędy ulo w ułdch dyrych..... Korcj rgow... 5... Projowi oror logowgo.... 6... Projowi oror dyrgo.... 9.4. Cyfrow rgulory PID....4.. Dyr poć rgulor PID....4.. Nwii cyfrowych rgulorów PID... 5.5. Bpośrdi projowi ororów dyrych....5.. Algorym Dhli....5.. Algorym Vogl-Edgr... 8.5.. Korcj ońcoym cm odpowidi... 4 Zdi... 44. NIELINIOWE UKŁADY REGULACJI... 47.. Wprowdi... 47.. Sbilość ułdów iliiowych... 5... Dfiicj bilości... 5
6 Spi rści... Sbilość lol... 55... Bpośrdi mod Lpuow... 68..4. Mod Popov... 7..5. Roro mod Nyqui... 79.. Mod fucji opiującj... 84.4. Mod płcyy fowj w rgulcji prźiowj... 94 Zdi... 99 DODAKI... 4 D.. Alfb grci... 4 D.. Podwow fucj progrmu MALAB w ryc CONROL SYSEM45 LIERAURA... 47 SKOROWIDZ... 4
OD AUORA Kiąż j pomyśl jo wprowdi do gdiń orii rgulcji uomycj, co rdycyji łd ię podwy uomyi. Kur i, pwym różicowim co do opi wowi, j prowdoy iml wyich iruch wiąych umi chicymi. Pirw cęść iążi, órą łdją ię rodiły -8, wir opi rędi mmycych, ór ą oow w odiiiu do lycgo ujęci uomyi. W cęści drugij rodiły 9- wry j mrił wiąy projowim ułdów uomycj rgulcji wr opim podwowych mod orcji ich ułdów. Obi cęści odoą ię do ciągłych i dyrych ułdów liiowych, rprowych pomocą rmicji lub opim w prri ów. W oim rodil prdwio ą ż mody oow w odiiiu do ułdów iliiowych. Wyłd j ilurowy dużą licbą pryłdów rchuowych, w órych, w więości prypdów, oowy j progrm MALAB [8], jo wygod rędi do oblicń i porądi wyrów. Mm diję ż Cyli i będi mił problmów ich roumiim i modilym rowiąim. Będę wdięcy wli uwgi doycąc propoowgo w j iążc mriłu, jgo ułdu i wrych ilurcji w poci pryłdów. Moż j pryłć mój dr -milowy: ugiu.roolowi@pwr.du.pl. N ońci mm pryjmość podięowć moim olgom Zpołu Auomyi i Srowi w Ergyc Kdry Ergolryi Polichii Wrocłwij, óry w dużym opiu łowli wrość go uru rówo w ri wyłdu, j rówiż w odiiiu do ćwicń lbororyjych [57], ż rchuowych [5]. Myślę u w cgólości o profor Adrju Wiiwim, óry róą prrwą prowdił wyłd Podwy Auomyi Wydil Elrycym Polichii Wrocłwij w lch 967 999 pod l. rść j iążi w dużj mir odpowid mriłowi, óry oł oprcowy włśi pr profor A. Wiiwigo. Wrocłw, liopd 4 Auor
. WPROWADZENIE.. Pojęci podwow Auomy, jśli pomiąć populr ci go rmiu, j jcęścij roumi, jo dycypli widy, jmując ię mocyym diłim. o diłi m wycj jiś orśloy cl, óry j oiągy uomyci mocyi. Blii ciowo, iidy wymii oow pojęci, o rowi uomyc, rgulcj, orol g. uomic corol, corol girig. Cłowi od dw był świdomy różych form mocygo diłi, ór podglądł w pryrodi podążi wiów łońcm, pryśpii oddchu pry ucicc lub m worył wymyśl wyi, cy ż pdi. Jd uomy, jo modil didi widy ułowł ię ouowo późo - pocąu XX wiu. Porby był wcśijy rowój iych głęi widy prd wyim mmyi or powi iórych wżych pojęć o uiwrlym chrr, j ygł, ym, cy ż modl mmycy. Wil ych pojęć było ipirowych pr ową didię, jąc ię cm cęścią jęy poocgo, j chociżby prężi wro, wymui, odpowidź i i. Chrryycą cchą uomyi orii rowi j uiwrlość jęy, órym ię poługuj. Opi, óry odoi ię do ymów chicych, moż być b porby jicholwi mi oowy w odiiiu do ymów biologicych, oomicych połcych, ologicych, cy jc iych. Modl ych ymów odwircidli ruury, fucji pocgólych lmów i chodących międy imi rlcji ą w ri uomyi orii ymów rprow pomocą jdoligo jęy. Auomy w ogólym i j ropryw w dwóch ępujących pch: - Opi li bdgo ułdu i uwori jgo modlu. Wymg o orśli chrru ymu, dooowi do igo odpowidich mmycych rędi łużących do opiu jgo włściwości w didii cu i cęoliwości. Diłi ą prdmiom irowi orii ymów. r widy w iążc łd ię rodiły 8 i cęściowo. - Projowi ymów rowi y, ór m clu uyi pożądgo ich chowi ię. Problmy j prdwio w rodiłch 9 w podwowym ri, óry j orśly mim orcji ułdów rgulcji.
. WPROWADZENIE Srowi uomyc j więc mocyym diłim, ór m clu uyi pożądgo prbigu orślogo procu w wruch migo oddiływi węrych łócń. W chic wpomiy proc j uożmiy procm chologicym, óry j wiąy orśloymi prmimi o chrr lrycym, mchicym, chmicym, biologicym lub iym. Soow w ym ości pojęci procu oc prbig oddiływń wyępujących pomiędy wpółlżymi lmmi jigoś ułdu, uworogo bioru ych lmów obiów. Uży u orśli ułd j wycj wymii oow pojęcim ym. Sym j biorm obiów lmów o rśloych gricch wr wyępującymi międy imi lżościmi. J o brdo pojm orśli, ór byw oow w różym ości. Moż więc poć odwołi do ymu poliycgo, prwgo, połcgo, ologicgo, filooficgo i wilu iych. Wpólą cchą go pojęci j god co do wyępowi w ymi oddiływń pomiędy jgo lmmi, ilżi od ich chrru. W dlj cęści będimy ię jmowć ymmi chicymi fiycymi, w órych wjm oddiływi mją chrr miych fiycych. Z puu widi uomyi, ym j orśly pomocą rlcji wjści wyjści. Chociż pojęci o j cęo oow rówi orślim proc, o jd m proc odoi ię wycj do procu chologicgo. Do opiu ymu wygodi j poługiwć ię pim mmycym modlm. N pryłd, pi: y g u,. moż odcyć, jo odpowidź procu ymu orślogo pr fucję prwri g wymui u ry... Ry.. Schm lmrgo ułdu prwri W lżości. wyępują dw fudml dl uomyi pojęci: ygł or modl. Sygł j uogólioym poobm opiu miych wyępujących w roprywym ymi. Jśli pryjmimy, ż uomy jmuj ię rcywiymi ymmi chicymi, o wymui i odpowidi ą orymi wilościmi fiycymi, j prędość, pięci lryc, poiom płyu i i. W lżości. wilości ą rprow pomocą fucji u or y, ór ą ogóli
. Pojęci podwow yw ygłmi. Sygł j m modlm prbigu jijś wilości fiycj w ci. Modl mmycy rowżgo procu j orśloy pomocą fucji g wględm wymui wilości wjściowj u. Wyiim go prwri j wilość wyjściow odpowidź y. Różorodość proców chologicych, ór ą prdmiom uomycgo rowi, w pirwym odruchu rodi pyi: rowi cym? Rgulcj, cgo? Sybo do obi prwę go, ż ilżi od chrru obrwowgo procu, podwow lżości chodąc pomiędy wymuim wilością dą, odpowidią go procu, órą lży pryjąć, jo wilość rgulową, ą uiwrl. Plformą go uogólii j włśi modl mmycy procu odworowujący jgo dymię, cyli lżości cow pomiędy wybrymi miymi procu ygłmi. W poób moż oowć jęy brcyjgo więc pomiięcim fiycgo chrru procu opiu wyępujących oddiływń. worim ich modli or bdim chodących międy imi lżości jmuj ię ori ymów. ori rgulcji uomycj, brdij ogóli ori rowi, j wpomio, jmuj ię worim rguł pwijących clow chowi ię dorowych proców. dw gdii ą włśi yw, odpowidio: lią opim, bdim ymów or yą projowim ymów rgulcji rowi. W ioci, uomy jmuj ię lią or yą ymów ułdów rowi. Jśli w ogricyć rowżi do ymów fiycych, o łwo uwżyć, ż obrwow procy mogą być opiyw w brdo róży poób. Cyość igo opiu j yw modlowim worim modlu. Pr modl lży u roumić pwą rprcję rcywiości procu, w órj chow ą io puu widi clu dooywgo opiu cchy j rcywiości pomiięcim drugorędych włściwości. Podwowym obrm wori modli w uch chicych j fiy. Prw fiyi ą uję w poci mmycych modli rcywiości. Podob modl ą woro w obr biologii, ologii i iych didi. Modl ymu, óry łd ię wil lmów, powii ż odwircidlć powiąi pomiędy ymi lmmi, ór ą rprow pomocą odpowidich ygłów i obowiąujących ich rguł. Sruur modlu or jgo prmry ą orśl w drod, iidy łożoych procdur, órymi jmuj ię głąź modlowi, jo idyficj ymów [49]. Moż uwżyć, ż modl j brdo pojmym orślim, w órym micą ię brdo róż pooby opiu rcywiości. Poiwż clm uomyi j projowi odpowidich ymów rowi, więc woro rguły rowi y bują uworoych modlch ymu, ór powły pi jgo liy. Wyiją ąd wiloopiow podiły ułdów uomyi ymów rowi. Wżym ryrium j u poób rprcji chodących drń i rlcji w i uwględii cyiów loowych. Z go puu widi wprowd ię dwi gori ułdów:
. WPROWADZENIE - ułdy drmiiyc; - ułdy probbiliyc. Modl drmiiycy ułdu j wyrżoy pomocą rówń rlcji, ór mją jdocy chrr, pomiięcim cyiów lub chrryy loowych. Pryłdm mogą u łużyć modl wyco pr rówi fiyi lycj rówi ruchu, obwodu lrycgo, orii pol i i, łożim, ż ich prmry i mją chrru loowgo. W prypdu modli probbiliycych, mi procu mją chrr loowy i ą opi pomocą pojęć rchuu prwdopodobińw p. dyrybu, wrość ociw, mom. Modl dymic mi w ci ich proców ą wyrżo pomocą fucji loowych prypdowych, ór ą yw procmi ochycymi. Proc ochycy dl żdj wybrj wrości cu j mią loową. W fiyc, rchu prwdopodobińw j oowy w jdym dwóch prypdów: - gdy modl drmiiycy jwi j y, jd wględu jgo łożoość, rudość dołdgo uli wruów pocąowych i dużą wrżliwość wyiu ich miy, podjści drmiiyc i prowdi do rowiąi opi oru uli bilrdowj, opi jwi pogodowych ip.; - gdy y j ylo modl probbiliycy gdii fiyi wowj. W iążc i jmujmy ię procmi ochycymi rówo do opiu ymów, j i yy ułdów rowi. W obu powyżych prypdch, modl moż mić chrr liiowy lub iliiowy. W prypdu modlu liiowgo obowiąuj d uprpoycji, co oc, ż odpowidź ułdu umę ilu wymuń j rów umi odpowidi żd ych wymuń, co w prypdu dwóch wymuń moż pić ępującym rówim: f α u β u α f u β f u. b b Zlżość ę płiją, pryłd, ępując rówi: y u y 5u 4, y 5 u Drugi rówi odoi ię do ułdu o dwóch wjścich i dwóch wyjścich. Rcywi ułdy wycj i płiją wruu., włc jśli rowżi doycą roich mi ich prmrów mprury, ybości, pięci lrycgo ip.. Cęo jd drob odchyli od j dy ą pomij i bdy proc ępuj ię modlm liiowym w clu uproci jgo opiu wycj doycy o ylo ogricogo ru mi wrości ygłów. Wówc pomiię odchyli ją ię łócimi procu. Problm j wiąy formułowim mmycgo modlu obiu. Ni powii o być dmiri ompliowy, gdyż urudi o jgo dl wyoryi. Pomiię lub i rlcj wpływjąc wrość ygłu wjściowgo ją ię łócimi ry...
. Pojęci podwow W iórych jd prypdch, wru. wyrźi i j płioy i wówc mmy do cyii ułdm iliiowym. ypowym pryłdm ułdu iliiowgo j prźi lromgycy, w órym wilością wjściową j pięci cwc wywljącj, wyjściową położi yu. Zmi wilości wjściowj ylo w obr wywli powoduj mię wyjściu. Ułdy iliiow będą liow w ońcowj cęści wyłdu. W ułdch iliiowych d uprpoycji i j płio, ich modl ą rprow pomocą fucji iliiowych, pryłd: 5 y u u y u 4, y 5 u Ry.. Schm ułdu uwględiim łóci Koljy podił ymów uwględi poób ich chowi ię w ci. Sym ilży od cu m ę włściwość, ż pruięci w ci ygłu wymui wyprdi lub opóźii powoduj podob pruięci w ci jgo odpowidi: y τ g u τ. Mówi ię wówc, ż ułd j iwriy wględm cu. W iym prypdu mmy do cyii ułdm lżym od cu miym w ci. Niidy w mijc orślń lży/ilży od cu używ ię orślń cjory/icjory. Nlży jd pmięć, ż oi orśli odoą ię do chrryy proców ochycych [8]. Wru. moż ż formułowć ępująco: jśli y j odpowidią ułdu wymui u, o dl wymui: u τ odpowidź powi być orślo pr y τ. N pryłd, łwo prwdić, ż rówi: dy 4y u, d dy i y 5, d prdwiją ułdy, ór ą lż od cu.
4. WPROWADZENIE Iy wży podił ymów j wiąy chrrm wyępujących w ich ygłów jo fucji cu. Jśli ygły ą ciągłymi fucjmi cu, o mmy do cyii ymm ciągłym w ci. W iym prypdu mówimy o ymi dyrym, w órym ygły pryjmują orślo wrości ylo dl ściśl orśloych wrości cu. Wymiio gori ymów mogą ię wjmi prić, dfiiując ściśl orślo ich rodj, pryłd, modl dyry, liiowy, ilży od cu lub modl iliiowy dyry, lży od cu. Wg ych dfiicji wyi ąd, ż do opiu orśloych ułdów i projowi oowych rguł ich rowi, oły wyprcow odpowidi rędi mmyc i dy poługiwi ię imi. Zdic cęść iążi odoi ię do ułdów liiowych, ilżych od cu g. LI Lir im-ivri. Są o ułdy ciągł or dyr. Modl dymii ułdów ciągłych ą rprow pomocą rówń różicowych wycjych o łych wpółcyich w odiiiu do ułdów o prmrch upioych lub cąowych w odiiiu do ułdów o prmrch rołożoych. Dymi ułdów liiowych ilżych od cu j rprow w poci rówń różicowych o łych wpółcyich. Podwowym rędim opiu i projowi ich ułdów j prłci Lplc. W prypdu ułdów lżych od cu, wpółcyii ich rówń miiją ię w ci. Alogici, ułdy dyr ą opiyw pomocą rówń różicowych, do ich liy używ j prłci Z. Soow u pojęci ą bliżj wyjśio w dlych rodiłch iążi. Wżą cchą ymu j jgo bilość. Poiwż puu widi rowi użyc mogą być ylo ymy bil, więc prc w ym ri oły podję już w drugij połowi XIX wiu. Łącą ię o imi wimi, j J.C. Mxwll, E.J. Rouh, cy A.M. Lpuow. Prc door go oigo ł ię podwą wpółcgo podjści do orii bilości [7, 9]. W lch rydiych XX wiu podwow prc w ym ri formułowli H.S. Bod or H. Nyqui [4]... Zdi ułdów rgulcji i rowi Ułd rgulcji uomycj URA j projowy myślą o im uomycym mocyym oddiływiu roprywy proc, by uyć pożąd jgo chowi ię. o ogól di wycj wymg bliżgo orśli w lżości od chrru ymu i cgółowych ociwń, ór ą dfiiow w jęyu uomyi. Nich wprowdim do go jęy będi chm bloowy ry... Prdmiom rowi j proc chologicy, w órym oły wybr dwi wilości mi procu, podlgjąc rgulcji rowiu.
.. Zdi ułdów rgulcji i rowi 5 Ry... Ogóly chm ułdu rgulcji Aby rliowć orśloy lgorym poób rowi, pośród różych miych, dfiiujących modl procu lży wybrć i wilości, órych mi d możliwość wpływi wilości rgulow wilości d. W rowżym pryłdi, ułd rowi powii pwić rlicję ępujących fucji: y y f u, u h r, r f u, u h r, r.4 Zuwżmy, ż w or główym ułdu rgulcji jduj ię rgulor, órgo dim j orśli odpowidich ygłów rujących podwi wrości błędów rgulcji, by rliowć cl rgulcji. Wż j, by pośród, ogół różych fucji wybrć, ór pwiją jlp rowi w i orśloych wźiów jości rgulcji, j: c uyi odpowidi, wrżliwość łóci i i. Rgulor oror moż być umicoy ż w iych cęścich ułdu rowi p. w or prężi wrogo, co umożliwi lycy dobór rgii rowi. Jśli żd wilości rgulowych lży od rgu wilości dych, o mówimy o ułdi wilowjściowym. Jśli żd wilości rgulowych lży ylo od jdj wilości dj, mówimy o wilu lub jdym ułdi jdowjściowym. Z wględu poób opiu, wyróżi ię ułdy o jdym wjściu i jdym wyjściu g.: SISO Sigl Ipu Sigl Oupu or ułdy o wilu wjścich i wilu wyjścich g.: MIMO Muli Ipu Muli Oupu. W dlym ciągu będimy ię jmowć główi ułdmi o jdym wjściu i jdym wyjściu ry..4. Ry.4. Schm ułdu o jdym wjściu i jdym wyjściu
6. WPROWADZENIE Cl rowi moż być oiągięy wil różych poobów. W hiorii rowoju uomyi wyłciły ię dw pooby rlicji di rowi: rowi w ułdi owrym i w ułdi mięym. Schm rowi w ułdi owrym j poy ry..5. Pryłdm ij ruury moż być proy ułd grwi pomici pomocą pic gowgo. Wilością dą u j ociw mprur pomici, rowi odbyw ię pomocą miy położi r woru dopływu gu, omi wilością rgulową y j ul mprur w pomiciu. Ry.5. Schm rowi w ułdi owrym W pryjmowj w im prypdu rgii rowi łd ię, ż ociw mprur pomici j bpośrdio wią prpływm cyi grwcgo, órym w ym prypdu j ply g. Fucj rgulor rowi w jproym wyoiu prowd ię do miy wioj dj mprury położi woru. W im ułdi i wyępuj pomir fów rowi: i j bpośrdio widom, j j ul wrość wilości rgulowj. Jj wrość j bpośrdio ul pr wilość dą. Łwo uwżyć, ż i ułd m proą ruurę, jd dołdość rowi wilością rgulową będi pwością iwil. J o wią obcością łócń, pośród órych jwięy wpływ m mi mprury ooci or ciśii iljącgo gu. cyii i ą orygow w ułdi owrym. Rducj wpływu łócń proc rgulcji iij omi w ymi rowi prężim wroym ry..6. W ym prypdu, dięi pomirowi wilości rgulowj, rgulor orymuj iformcję o wrości odchyłi pomiędy wilością dą i wilością rgulową; u y. Ry.6. Schm rowi prężim wroym
.. Zdi ułdów rgulcji i rowi 7 W pryc wyoryuj ię iformcję i ylo o wrości go błędu rgulcji, l ż o ybości jgo miy. Rgulor m clu miji błędu rgulcji. W poób pwio oj ci dołdij rgulcj, oddiływi łócń moż oć ci rduow. Hiori idi prężi wrogo g. fdbc ięg rożyości. Pirw roi oowi igo rowiąi w chic j łąco wiim Jm W, óry propoowł rowiąi rgulor do bilicji prędości obroowj myy prowj. Mmycy opi go rowiąi podł J.C. Mxwll w 868 r. [4]... Rowój ułdów uomycgo rowi Ułdy uomycgo rowi w dlym ciągu podlgją ybimu rowojowi. J o wyiim cor więych wymgń irowych w odiiiu do wźiów jości rowi, l dużą rolę odgrywją u ż poępy w ri owych d lgorymów rowi i rowój chologii miroprocorowj. W pocąu l 5-ych XX wiu pojwiły ię ułdy ompurow dol do wypłii fucji orolych. Ich oowi w ułdch uomyi ło ię możliw dięi burliwmu rowojowi orii ułdów dyrych []. Doępość łwgo wyoi oprcji mcirowych powodowło ż w ym ci rowój orii miych u mcirowym pim rówń różicowych. N j bi formułow oły ępi dy opymlgo rowi ocpcją opymlgo obrwor w poci filru Klm [8, 4]. Rowój ych mod doprowdił w lch 8-ych do formułowi d w. rowi odporgo, ór powlją orślić rguły rowi pwijąc urymi błędów rgulcji w łożoych gricch, ilżi od ipwości, co do wybrych miych procu [7]. W lch 9-ych oły formułow ocpcj oowi do rowi mod ucj iligcji. Njbrdij obicując poępy uyo w wyiu oowi orii biorów romyych g. fuy logic rowi romy, rgulory romy or Sucych Sici Nuroowych SSN g. ANN - Arificil Nurl Nwor. Oprcow w ym ri mody pwiją odpor rowi b porby rygoryycgo odwri modli dymii procu. W prypdu oowi logii romyj, dy rowi opirją ię huryycych rgułch ypu: jśli błąd rowi j dodi, o mij wrość rującą lub: jśli ujmy błąd rowi r ybo, o wprowdź duży dodi ygł rujący ip. Projowi igo ymu rującgo polg uworiu oowj by rguł poępowi. Zych j il poobów ich dfiiowi [46]. Z puu widi iformyi, uro moż rowć jo pcyficy prwori ygłów. Złożo ruur ucych uroów, ją j SSN, powl wori fywych ułdów obliciowych rowiięymi włściwościmi dpcyjymi []. W prypdu oowi SSN do rowi, odpowidi by
8. WPROWADZENIE rguł lgorymy poępowi ą woro w proci uci ici, óry poprd p rowi. Możliw j ż uci ici biżąco, w rci prcy ułdu rowi. Wymg o poprwgo formułowi clu rowi. Proc uci ici polg dobor wrości wpółcyiów wyępujących w ruur ici [44, 46]. W oim ci pojwił ię ż brdo obicując opcj rowi o mij ruur rowi śligow g. lidig mod corol SMC w myśl órj, lgorym rowi mii ię w lżości od biżącj yucji [6]. Dięi imu podjściu, pry woriu odciowgo lolgo lgorymu, i rb uwględić wyich możliwych ów i wruów prcy ymu rducj rędu ymu. Odpowidi ułd logicy powii omi pwić poprw prjści do igo odci rowi. Symy i ą prd wyim prco do rowi procmi iliiowymi. Niij iąż m clu poi Cyli podwowymi rgułmi i rędimi, oowymi w lii i projowiu lycych ułdów uomyi. Powyży pobiży prgląd hiorii j didiy uświdmi, ż j o obr wid, ór brdo iywi ię rowij, crpiąc obfici porwych głęi ui, j iformy, ori ymów, chologi miroprocorow, ż mmy. Proc liy i projowi ymów rowi buj rówo widy, doycącj odpowidich rędi mmycych i poobów ich oowi, j rówiż doświdciu. J wpomio, iąż powi ipirowć Cyli do pogłębii widy, omi doświdci j rybum iżyir.
. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU.. Opi dymii ymu Rowżmy dw ułdy fiyc, órych chmy ą po ry... Pirwy ich ry.. prdwi rgowy obwód lrycy RLC, óry j ily pięcim u. Rówi pięciow uworogo oc m ępującą poć: di u Ri L i d. d C Po oburoym różicowiu, pry łożiu, ż pięci wymując j ł: u U, orymujmy ępując rówi różicow: d i di L R i. d d C J o jdorod rówi drugigo rędu. Mówimy, ż opiuj oo ułd drugigo rędu. Ry... Pryłdy ułdów dymicych; obwód lrycy; b ułd mchicy Podob lżości orymmy dl ułdu mchicgo ry..b: dv f Dv M K v d. d
. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU gdi: f j iłą wymującą mię położi my M; v j prędością miy położi my M; D j wpółcyiim łumii; K ł prężyy. Porówując lżości. i., łwo uwżyć logi pomiędy wilościmi lrycymi i mchicymi, pryłd: pięci lryc u - ił f, prąd lrycy i ` - prędość v i i. Widć ż, ż róż co do chrru jwi fiycych ymy, mogą mić jdow dymic modl mmyc. o prwi, ż ori ymów j didią uiwrlą, gdyż jj jęy opiuj włściwości dymic ymów o brdo różym chrr fiycym. Wrcjąc do ułdu mchicgo ry..b, pry łożiu, ż ił diłjąc ułd j ł: f F, rówi. prybir ępującą poć: d v dv M D Kv.4 d d Jśli w roprywych ułdch ry.. pomiąć odor w obwodi lrycym i prężyę w ułdi mchicym, o pryjmą o poć, j ry... Ry... Pryłdy ułdów dymicych pirwgo rędu; obwód lrycy; b ułd mchicy W ym prypdu, rówi dymii rduują ię do poci: di L Ri u.5 d dl obwodu lrycgo or: dv M Dv f.6 d dl ułdu mchicgo. Są o rówi różicow wycj pirwgo rędu, ijdorod fucj wymując po prwj roi rówi j róż od r.
.. Opi dymii ymu Zwią imi ułdy ą ż yw ułdmi pirwgo rędu. Wyępując m ygły mją chrr fucji ciągłych w ci ygły ciągł. Dodjmy jc, ż modl odpowid ułdom o łych upioych. Z puu widi uomyi orii rowi wygodi j opiywć ropryw powyżj ułdy pomocą lżości wjści wyjści. N pryłd, jśli w.5 w chrr wjści wymui pryjmimy pięci u, o wyjścim odpowidią będi prąd: y i. Nich fucj prwri opror prwri igo ułdu będi oco jo {g}. Wówc roprywy ułd moż orślić pomocą chmu, j ry... Ry... Schm ułdu jdym wjścim i jdym wyjścim Uży w ym pii wiy węr łużą do ygliowi, ż wyjści i j bpośrdio oblic, jo rul fucji g pry diłiu ygłu u. Spoób użyci go opror prwri będi omówioy w dlj cęści rowżń. W ymch liiowych fucj prwri {gu} j oprorm liiowym, co oc, ż chodi rlcj.. J o rówowż łożiu, ż wpółcyii w rówiu różicowym opiującym dymię ymu i lżą od miych procu or i wyępują w rówiu i iliiow lżości wględm ych miych. Oo pryłdy rówń ymów iliiowych: d u du 4u y, d d d u du 4u y u. d d Liiowość prmrów ymu rprującgo fiycy ułd j w ogrico do jigoś prdiłu mi wilości opiujących proc. Do orśli wrości prmrów opror gu w ułdi ry.., moż połużyć ię prbigim fucji orśljącj lżość pomiędy ygłmi wjściu i wyjściu roprywgo blou ry..4. W clu orśli prybliżoj liiowj lżości pomiędy obom ygłmi w rjoi puu u, moż ię połużyć rowiięcim iliiowj fucji gu w rg ylor w pobliżu go puu: y g u g u dg u du u u u u! d g u du u u u u!....7
. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU dg u du u u Ry..4. Chrryy lmu iliiowgo Liiow prybliżi opror gu prowd ię do ogrici rowiięci.7 do cęści liiowj, wiąj jgo dwom pirwymi wyrmi: y g u g u dg u du u u u u! y m u u.8 y y Δy gdi m. u u Δu W prypdu ymu wilowjściowgo, opror prwri j lży od wilu miych: { g u, u,..., u } y,.9 liiow prybliżi woół puu orślogo pr wpółręd u, u,..., u moż wycyć pr rori rowiięci.7 prypd wilowymirowy: dg y g u, u,..., u g u, u,..., u u u du u u. dg dg u u... u u du du u u u u chię ą moż oowć rówo do łożoych ymów, j rówiż do ich pojdycych lmów. Symy liiow iwri wględm cu g. Lir im-ivri LI, ór płiją wru. owią podwową lę ułdów rowżych w ości ymów rowi. Wyi o ąd, ż więość pryci liowych
.. Opi dymii ymu ymów dużym prybliżim płi wrui liiowości i ilżości od cu, podo, iiją brdo wygod mmyc rędi do liy ich ułdów [, ]. W podwowj cęści iijgo uru będą prowdo rowżi doycąc włśi liiowych ymów ilżych od cu... Modl wymuń Sygły wjściow w roprywych ymch mogą pryjmowć różą formę w lżości od go, cy ą o wią rcywiymi procmi, cy ż ą opi liycymi fucjmi, płijącymi rolę wymuń owych. W clu porówi włściwości różych ymów ułdów, lmów, wygodi j oowć w chrr wymuń pw drdow prbigi. Njbrdij lmrym ygłm owym oowym w orii ymów, j impul δ, wy ż impulm dlą Dirc. Pomył go ygłu wywodi ię fiyi wowj, l moż ż łużyć do odworowi jwi w ułdch dymicych, ór chrryują ię róorwłą, gwłową mią rówi ybim jj uąpiim udri. i impul moż ię odoić do różych wilości fiycych, j ił, pięci lryc ip. Iuicyj podjści do odworowi ich proców powl dfiiowć fucję impulową ry..5: τ dl < τ τ δ lim δ, τ lim dl < <. τ τ τ τ dl > τ τ τ Ry..5. Modl impulu Dirc Pul Adri Muric Dirc 9-984, iżyir lry i fiy, jd wórców mchii wowj grod Nobl fiyi w 9 rou.
4. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU iuicyjy opi impulu Dirc i płi wruu dfiicji fucji jj wrość j row po jdym pum. W mijc go, ouj ię pojęci fucji uogólioj, jo fucjołu, órgo rgumm j odpowidi fucj prób, będąc modlm δ-dirc. go ypu fucj roro ą prdmiom rowżń orii dyrybucji [4]. Fucj prób ow dfiiuj ię, jo fucj głdi iońci wil ry różicowl, o w. wrym ośiu, co oc, ż pryjmują o irow wrości jdyi w ściśl orśloym prdil mij ilżj. W im prypdu, fucję Dirc dyrybucję δ moż rprowć w ępującj poci: δ lim f, h,. h gdi f,h j fucją modlującą, pryłd: dl h / < < h / f, h h, dl h /, h / / h f, h i i. h π Widć, ż iuicyj rprcj impulu Dirc dyrybucji δ ry..5 i płi wruów fucji próbj. Brdij pryc dfiicj fucji impulowj j wią jj oddiływim żdą fucję ciągłą w oociu r: co prowdi do ogólgo wiąu: ϕ ϕ τ δ τ dτ,. ϕ ϕ τ δ τ dτ.4 Zlżość.4 j yw formułą opiowi, co j wią wydobywim próbowim wrości fucji w puci pr jj pomożi pr fucję impulową w ym puci. Słu j ż ępując lżość: τ / δ d δ, τ dτ,.5 τ / ór bpośrdio łący ię fucją jdoową : dl < δ τ dτ.6 dl >
.. Modl wymuń 5 Fucj j yw oim jdoowym lub fucją Hviid. Jj prbig j poy ry..6. Obi prdwio fucj łącą ię pomocą ępującgo wiąu: d, τ δ limδ, τ lim,.7 τ τ d pry cym, pochod j roumi, jo pochod dyrybucyj [4]. Z dfiicji fucji próbj wyi, ż ż impul Dirc δ moż być iońci wil ry różicowy. Ry..6. Modl fucji ou jdoowgo Fucj ou jdoowgo j wygodym rędim do dfiicji iych ypowych wymuń: - o prędości: u - ry..7; - o pryśpii: u - ry..7b. d Zuwżmy, ż: d or:, co rm.7 dj rg fucji ujących, ór pooją w ouu do ibi w lżości różicowj. d d Podo, w chrr ypowych wymuń oow ą ępując fucj: - fucj hrmoic: u co ω, ór m ą poć poloą: jω u co ω ji ω ; - fucj wyłdic: u /... Olivr Hviid 85-95, gili iżyir lry, mmy, fiy; formułowł ą poć rówń lgrfiów. W prłcich jdoroych, gric w.,.7 ą jdoro prworo: τ.
6. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU Ry..7. Prbigi wymuń w poci: ou prędości or b ou pryśpii.. Rowiąywi rówń różicowych... Rówi liiow o łych wpółcyich Roprmy ym liiowy iwriy wględm cu, rędu. Złóżmy podo, ż j o ym jdym wjścim i jdym wyjścim. Jgo dymi j w ogólym prypdu opi ępującym rówim różicowym o łych wpółcyich: y y... y y y f.8 pry cym, w ogólym prypdu: m m '' ' f bm u bm u... bu bu bu, m, y, u - ygły, odpowidio, wyjściu i wjściu ymu ry.., d y y, d, b l ł wpółcyii prmry ymu. Wruim rliowlości ymu orślogo rówim.8 j płii w. wruu prycyowości g. culiy codiio, óry wymg, by ygł wyjściowy pojwił ię, jo rul wyąpii ygłu wjściowgo. J o płio, gdy rąd wymui i j więy od rędu fucji opiującj dy ułd. Rówi.8 j jo rówi ijdorod g. ohomogou, órgo rowiąi moż pić w poci []: y y y,.9 w wym gdi: y w oc odpowidź wobodą, y wym j odpowidią wymuoą. '' '
.. Rowiąywi rówń różicowych 7 Odpowidź wobod prjściow j rowiąim rówi jdorodgo, w órym j row wymui: '' ' y y... y y y. Moż prwdić, ż rowiąi go rówi m ępującą poć [5]: y C y C y... C y,. w gdi: ł C, C,... C lżą od wruów pocąowych lub od wruów gricych, omi fucj y, y,..., y lżą od pirwiów lgbricgo rówi chrryycgo o poci: r r... r r. Rówi. m pirwiów, wśród órych mogą być pojdyc lub wiloro pirwii rcywi, cy ż polo, pry cym, pirwii polo worą pry wilości prężoych. Fucj y, y,..., y ą pryporądow do pirwiów rówi chrryycgo godi ępującą dą: r jśli r j pojdycym pirwiim rcywiym, o: y ; r dl żdgo l-rogo pirwi rcywigo: y r, y, l r..., y l ; dl żdj pojdycj pry pirwiów poloych r, ± jb: y cob, y ib ; dl żdj l-roj pry pirwiów poloych r jb: y cob, y ib, y cob, y ib, l l..., y l cob, y l i b. Poiż pryłdy ilurują poób oowi ych lżości. Pryłd.. Orślić odpowidź wobodą prjściową rówi jdorodgo: dy y, pry: y 5. d J o rówi pirwgo rędu, więc odpowidź wobod m ępującą poć: yw C y. Rówi chrryyc j orślo pr wilomi pirwgo opi: r, órgo pirwi m wrość: r r. Pojdycy pirwi j w rcywiy, więc: r y. Odpowidź wobod powi płić wrui pocąow, m:
8. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU y y w C y 5, gdi: y 5, ąd: C 5. Oci, odpowidź ułdu pry rowym wymuiu i pry dych wruch pocąowych j ępując: y 5. Wyi moż prwdić pr podwii do dgo rówi: d 5 5. d Orym rowiąi j, więc poprw. Pryłd.. Orślić odpowidź wobodą prjściową rówi jdorodgo: d y dy y d d Rówi chrryyc m ępującą poć: r r Moż j prdwić w poci ilocyowj: r r, ąd: r, r, r. Zm, wobod odpowidź ymu prybir ępującą formę podwójy pirwi rcywiy or pirwi pojdycy: yw C C C. W roprywym prypdu br j wymui rówi jdorod, wic odpowidź ułdu j owcją dych wruów pocąowych. Złóżmy, ż ą o ępując: y, y ', y ". Dl ych wruów moż orślić wpółcyii powyżj odpowidi ułdu odpowidi wobodj: C C C y w y y ' w " w C C C C C C C 4C ąd: C /9, C /, C /9. Oci, odpowidź ułdu j ępując: y y j fucji j poy ry..8. w 9. Prbig
.. Rowiąywi rówń różicowych 9 - - - -4-5 -6,,4,6,8,,,4,6,8, Ry..8. Prbig odpowidi wobodj rowżgo ułdu ibilgo Widć, ż upływm cu mpliud odpowidi ybo rośi, o cym dcyduj drugi łdi orymj odpowidi. Zuwżmy, ż dij ię pry bru wymui w rowżym ułdi. J o chrryyc cch ułdu ibilgo. i ułdy i mogą mić prycgo oowi. Wro uwżyć, ż łdi odpowidi, powodujący ibilość, m dodi wyłdi, co j wyiim go, ż odpowidjący mu pirwi fucji chrryycj j dodi. Zgdii o j prdmiom bliżj liy w rod. 5. Poć odpowidi wymuoj y wym w.9 lży od rodju fucji wymującj prw ro rówi ijdorodgo. Moż u wyąpić duż różorodość fucji, co urudi podi włściwgo rowiąi. Dl jbrdij ypowych fucji obowiąują ępując dy: f K : y wym A, jśli i j pirwiim rówi chrryycgo; y A l wym, jśli j l-roym pirwiim rówi chrryycgo; f K coω lub f K iω : y Acoω Biω ; f K, > : y wym wym A wym A A... A - jśli ro i j pirwiim rówi chrryycgo; A Aτ... τ dτ y - jśli ro j pirwiim rówi chrryycgo. Wrości łych wpółcyiów w powyżych fucjch moż orślić pr ich podwii do orygilych rówń ijdorodych.
. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU Pryłd.. Roprmy ułd pryłdu., w órym wjści pod j wymui w poci ou jdoowgo. Zmiio j ż wrość pocąow odpowidi: dy y, pry: y 4. d N podwi pryłdu., orymujmy odpowidź wobodą go ułdu: yw y C. Słdow wymuo odpowidi moż być orślo podwi podj powyżj liy. Fucj wymując f f K,, K, dl órj: y wym A. Po wwiiu j fucji do podgo rówi różicowgo y ywym A, orymmy: A, ąd: A / ywym uwżmy, ż w ym prypdu dy/d. Zgodi.9, cłowi odpowidź ułdu d wymui m poć: y yw ywym C,5 Wpółcyi C moż orślić podwi wruu pocąowgo: C,5 4 y, ąd: C 4,5,5. Odpowidź ułdu j w ym prypdu rów:,5 y, 5. Pryłd.4. Orślić odpowidź wymuoą rowiąi cgółow, rowiąi wobod i rowiąi pł ępującgo rówi: d y dy y, pry wruch pocąowych: y, y. d d Wymui j fucją wilomiową, więc łdmy rowiąi cgółow o poci: y wym A A A A Po wwiiu j fucji do wyjściowgo rówi orymmy: A A A A A A A 4A A Porądując obi roy rówi wględm poęg mij orymmy: A A 6 A A 4A 6A A A A, ąd uyujmy ępując wrui rówości obu ro rówi: A, A 6A, A 4A 6A, A A A. ułd crch rówń m ępując rowiąi: A 6, A 9, A 6, A. A m: y wym 6 9 6. W clu orśli rowiąi wobodgo y w, lży orślić pirwii rówi chrryycgo:
.. Rowiąywi rówń różicowych r r r, więc: r r. Rowiąi wobod m m, ępującą poć: y C C w. Pł rowiąi rówi ijdorodgo wycmy wdług.9: y yw ywym C C 6 9 6. W clu orśli wpółcyiów C, C lży połużyć ię wrumi pocąowymi. Są o orślo dl. Mmy ąd dw rówi: y C C 6 9 6, ' y C C 9. Z pirwgo rówi orymujmy: C 6, ś drugigo: C 7. Odpowidź wobod j ępując: yw 6 7. Oci, orymujmy ępując rowiąi: y 6 7 6 9 6. Jgo poprwość moż prwdić pr podwii odpowidich rlcji do dgo rówi. Prbigi pocgólych fucji łdowych wiąych roprywym rówim ą po ry..9. Ry..9. Prbigi fucji łdowych w rówiu różicowym Obrwując prbigi ry..9 moż uwżyć, ż łdow prjściow y w cm mir do r ułd j bily, pr co pł odpowidź ułdu y bliż ię do odpowidi wymuoj y wym.
. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU... Zoowi do liy ymów N podwi go róigo prglądu gdiń wiąych rowiąywim rówń różicowych, opiujących dymię ymów liiowych iwriych, moż formułowć ępując wioi:. Odpowidź ymu wymui w poci ygłu wjściowgo orślogo pr fucję f j uworo dwóch cęści: łdowj wobodj - órj prbig lży od prmrów ymu i jgo wruów pocąowych or łdowj wymuoj, órj poć lży od prmrów ymu i chrru wymui. r. Odpowidź wobod j uworo łdiów o poci: y y lub y cob wulym cyiim w poci mij rprującj c w odpowidij poęd, pry cym, ł r or jo łdii rcywi poloych licb: jb ą odpowidimi pirwimi rówi chrryycgo. Moż uwżyć, ż jśli pirwii rcywi go rówi ą ujm lub w prypdu pirwiów poloych mją ujm cęści rcywi, o powyż łdii odpowidi cm iją do r. Dlgo ż, odpowidź wobod j ż yw prjściową lub ijącą. Jśli wru i j płioy, o w pry bru wymui odpowidź cm r iogrici. i ym j ibily. W prypdu rowych pirwiów rcywiych lub poloych rową cęścią rcywią mmy do cyii yucją gricą gric bilości.. W prypdu bilgo ymu, prjściowy odpowidź wobod cm i i cłowi odpowidź lży wówc ylo od prmrów ymu i chrru wymui. Sym oiąg uloy..4. Ali ymów opiych rówimi różicowymi.4.. Wprowdi W lii ymów, órych dymi j opi pomocą rówń różicowych, wżą rolę odgryw oowi wymui w poci impulu Dirc. W ogólym prypdu: '' y y... y y y δ. Rowiąi go rówi odpowidź j yw fucją wgi g y: g g... g g g δ.4 Fucj wgi, j m odpowidią impulową ułdu. '' ' '
.4. Ali ymów opiych rówimi różicowymi Rówi.4 wymg orożj liy wyępujących m fucji. Prd wyim, wruu prycyowości or liiowości ułdu wyi, ż fucj wgi g j ciągł w ci dl wyich ułdów opiych rówimi różicowymi rędu więgo iż pirwy. Sąd wyi, ż: g g g,.5 gdyż g dl <, gdi g, g ocją odpowidio, gricę lworoą i prworoą od roy ujmych lub dodich wrości mij. Cłując oburoi.4 w prdil różj od r wrości fucji δ, orymmy []: τ / g τ / d τ / g τ / d... τ / ' τ / g d τ / τ / g d τ / τ / δ d,.6 gdi τ. Wy prdił cłowi τ j udioy ciągłością g or ym, ż impul δ wyjąim. Z prwj roy rówi orymuj ię wrość, omi wyi łdii lwj roy ą rów ro wyjąim pirwgo ich: τ / g τ / d d d g / / g g g,.7 gdyż g. Moż o udić, roprując ułd drugigo rędu. Wru ciągłości i moż doycyć pirwj pochodj w puci, gdyż wówc: τ / τ / τ / '' ' '' ' g g g d g d τ / τ / Zlżość ę moż prdwić ępująco: g δ d τ / / '' ' ' ' g g τ / g τ / g τ / g τ / τ τ / g d, τ, ' co prowdi do ępującj rlcji: g. Powyżą lię moż roryć dowol rówi różicow rędu >. Oci, rul cłowi.6 wr.5 dją ępując wrui pocąow dl rówi.4 []: g, g, L, g.8
4. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU Zlżości.5 or.8 powlją orślić odpowidź impulową fucję wgi ułdu podwi jgo rówi różicowgo. Wro uwżyć, ż odpowidź j oblic podwi rówi jdorodgo powyżymi wrumi, gdyż fucj wymując f δ m rową wrość wyjąim puu. Pryłd.5. Orślić fucję wgi ułdu poprdigo pryłdu. Rówi jdorod m ępującą poć: y. d y dy d d Mijcmi rowymi fucji chrryycj ą dwi jdow licby: r r. S prjściowy j m orśloy pr ępującą fucję: yw C C, órą j pouiw fucj wgi: g y w. Wpółcyii go rówi moż wycyć podwi podych powyżj lżości: ' g C C, C C g. A więc: C, C, co dj: g. W prypdu rówi różicowgo pirwgo rędu, fucj wgi g i j już fucją ciągłą dl, omi prybir o wrość : g. Sąd ż: g g.9 or: r g C, m: C. Pod powyżj dy oblici fucji wgi ułdu liiowgo podwi jgo rówi różicowgo ą, gruci orii dyrybucji, uję w poci ępującgo wirdi [54]. Rowiąi dyrybucyj rówi. j orślo worm: y. gdi j rowiąim rówi jdorodgo: '' '... pry ępujących wruch pocąowych:., L. Widć ąd, ż fucj wgi g y, odpowidjąc rówiu.4, j odpowidią prjściową, oblicoą pry powyżych wruch pocąowych.
.4. Ali ymów opiych rówimi różicowymi 5 Pryłd.6. Orślić fucję wgi ułdu, órgo rówi różicow jdorod dy m ępującą poć: y. d Fucj chrryyc: r / m rowiąi: r /. Rowiąi rówi jdorodgo m, m ępującą poć: r / yw C C. N podwi powyżych rowżń C, więc odpowidź impulow j ępując: / g y w. Wro uwżyć, ż fucj ou jdoowgo w powyżym wyrżiu m clu rowi odpowidi impulowj fucji wgi dl cu. Podumowując, moż podć ępując dy oblici odpowidi impulowj fucji wgi ułdu LI podwi jgo rówi różicowgo: - rowiąi m ylo łdową prjściową o poci.; - w clu jgo wyci ropruj ię rówi jdorod, w órym wpółcyii C i, i,,. ą oblic podwi wruów pocąowych.. Zjomość fucji wgi powl orślić rowiąi rówi różicowgo roprywgo ymu dl dowolgo wymui u, pry rowych wruch pocąowych: y u τ g τ dτ u g. Powyży wią j ywy plom dwóch fucji ygłów: u or g. Splo j oprcją prmią, więc: u g u τ g τ d τ g τ u τ dτ g u.4 Powyż oprcj łumcy rówiż chrr wiąu, óry oł w poób ogóly użyy ry... W prypdu rowżych u ułdów liiowych, ilżych od cu, wiąim ym j oprcj plou ygłu wjściowgo i fucji wgi. Brdij pryc oprcj plou chodi dl prypdu, gdy płio ą wrui: dl <, u or dl τ <, g τ. Wówc: y u τ g τ dτ.5 / Pryłd.7. Orślić odpowidź ułdu o fucji wgi: g pr pryłd.6 o jdoowy: u. Podwijąc pocgól fucj do.5, orymmy:
6. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU d d y τ τ τ τ τ Pryłd.8. W pryłdi.5 orymliśmy ępującą fucję wgi: g liowgo ułdu. Orślić odpowidź go ułdu o jdoowy. Odpowidź o jdoowy j orślo pomocą cłi: d d d y τ τ τ τ τ τ τ τ τ. Soując cłowi pr cęści w odiiiu do drugij cłi, po uprociu orymmy: y. Prbigi fucji wgi: g or odpowidi o jdoowy: y dl rowżgo ymu ą po ry... Ry... Prbigi fucji wgi: g or odpowidi o jdoowy: y Odpowidź dowol wymui u moż ż wycyć, jąc odpowidź ułdu o jdoowy y. Wyc o w. rówi Duhml 4 : d u y y u y ' τ τ τ.6 4 J-Mri-Co Duhml 797-87, mmy i fiy frcui; prc m rówń różicowych cąowych i rporu cipł.
.4. Ali ymów opiych rówimi różicowymi 7 J o brdo użycy wią, gdyż puu widi fucjoowi ułdu i fiylj ocy jgo włściwości dymicych, jbrdij mirodją j odpowidź o jdoowy y..4.. Odpowidź ułdu wymui hrmoic Zuwżmy, ż odpowidź ymu wymui w poci fucji impulowj lub ou jdoowgo cm i. ę włściwość mją bil ułdy liiow. Domyślmy ię, ż j o wyiim iu mi wymui. Irując j m bdi odpowidi ymu pry wymuiu hrmoicym iuoidli miym. Wyjśi o ępujący pryłd. Pryłd.9. Orślić odpowidź ułdu rowżgo w pryłdi.6 ygł o Ai ω ϕ. poci: u Prypomijmy, ż w pryłdi.6 rowży j ułd, órgo jdorod rówi różicow m ępującą poć: y. dy d / W pryłdi.6 orymliśmy ępującą fucję wgi: g go ułdu. Pooj m oblici cłi.5 dl dgo wymui hrmoicgo pry rowych wruch pocąowych: y u g τ dτ τ Ai ω τ ϕ τ dτ Poiwż ω ϕ i ω coϕ co ω iϕ i, więc: / A i ω τ ϕ τ / dτ. / τ / τ / y A coϕ i ωτ dτ iϕ co ωτ dτ. Do oblici powyżych cł moż oryć mody cłowi pr cęści, co dj: i τ / / co ωτ dτ ω iω coω ω / τ / / ωτ dτ iω ω coω ω ω / Po wyoiu ibędych prłcń orymmy ocą odpowidź: A / y i ω ϕ δ i ϕ δ, ω / gdi: δ rcg ω //. Widć, ż odpowidź bdgo ymu wymui iuoidl łd ię dwóch cęści, órych pirw prdwi fucję hrmoicą o pulcji rówj pulcji fucji,.
8. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU wymującj, drug prdwi fucję ijącą wyłdico do r y w. Myml pocąow mpliud łdowj ijącj wyępuj dl φ δ ± π/. N ry.. ą po prbigi ygłu wymującgo u, ż odpowidi y i odpowidi prjściowj y w dl ępujących prmrów ułdu: A,,5, ω π, ϕ π/4. Prbigi odpowidi ą powięo o ry. Moż uwżyć, ż w prypdu ułdów liiowych iwriych, odpowidź ulo łdow wymuo odpowidi, po iu łdowj prjściowj pry wymuiu hrmoicym, j rówiż prbigim hrmoicym o j mj cęoliwości. Możliw j omi mi fy or mpliudy ygłu wyjściowgo. Sopiń miy mpliudy wmocii lub łumii or fy ygłu wyjściowgo lży od dj cęoliwości ygłu wjściowgo. Ob prmry: wmocii or pruięci fy wyco dl pwgo ru mi cęoliwości worą, odpowidio, chrryyę mpliudową or chrryyę fową bdgo ułdu. Dorcją o wżych iformcji o włściwościch ułdu i będą prdmiom liy w dlych rowżich. Ry... Prbigi: wymui hrmoicgo or odpowidi ułdu.4.. Odpowidź rgowo połącoych ułdów N podwi., odpowidź ułdu o fucji impulowj g wymui u j ępując:
.4. Ali ymów opiych rówimi różicowymi 9 u g u g y τ τ τ d.7 Jśli wymui u j ygłm wyjściowym igo ułdu o fucji impulowj g i wymuiu u, o moż pić: u g u g u τ τ τ d.8 Podwijąc.8 do.7, orymmy: d d u g g u g g y τ τ τ τ τ τ.9 Powrjąc ę procdurę dl odwroj oljości ułdów łwo poć, ż: u g g g u g u g g.4 Widć ąd, ż dl rgowo połącoych ułdów o fucjch impulowych, odpowidio, g or g, obowiąuj lżość ry..: g g g.4 gdi g j fucją impulową wiwlgo ułdu. g g g Ry... Ewiwl rgowo połącoych bloów Zdi.. Poć, ż rówi: 4 u y y y d d d d i płi wruu liiowości... Orślić rowiąi podgo rówi różicowgo: d d d d d d x x y y y, gdi: y, x... Orślić ygł wjściowy u ułdu opigo rówim:
4. OPIS SYSEMÓW LINIOWYCH W DZIEDZINIE CZASU d y dy y u d d dl żdgo ępujących ygłów wyjściowych y: y, b y jω, gdi ω m łą wrość, c y jω..4. Dl jij wrości pulcji ω w diu.b, fucj wymując u?.5. Złóżmy, ż w ułdi mchicym poym ry..b łumii j iwili i moż pryjąć D. Wówc, pry iuoidlym wymuiu rówi.4 pryjmi ępującą poć: d v M Kv Ai ω d Orślić rowiąi go rówi pry rowych wruch pocąowych: v, v..6. Odpowidź liiowgo iwrigo ymu wymui: u Kω coω 6K m ępującą poć: y K co ω K, gdi K, K ł. J będi odpowidź ułdu wymui: u coω, b u, c j wygląd rówi dymii ymu? α.7. Fucj impulow liiowgo ułdu iwrigo j ępując: g, gdi α j łym wpółcyiim. Orślić odpowidź ułdu ępując wymui: u δ, b u, jω c u, ω co..8. Oblicyć odpowidź impulową ułdu, orślogo ępującym rówim różicowym oowć procdurę.: dy dy y u, b y u, d d c d y u d, d d y dy 9 y u. d d.9. Fucj impulow odpowidź impul Dirc liiowgo ułdu iwrigo j ępując: g iω α, ω, α - ł prmry. Orślić odpowidź ułdu ępując wymui: u δ, >, b u co ω.
. ANALIZA SYSEMÓW ZA POMOCĄ MEOD OPERAOROWYCH.. Prłci Fourir W lycym podjściu, prłci Fourir 5 wyprowd ię rgów Fourir, ór odoą ię do prbigów orowych. Orow fucj f w ogólym prypdu fucj polo ciągłj ilżj mij wycj j o c, chociż moż rowżć ż ią wilość orm moż być prdwio w poci ępującgo rgu, wgo rgim Fourir: f j ω dl / /. gdi: ω π/, omi polo wpółcyii ą orślo ępującym wiąim: / / f jω d. Rówość. j chow, jśli fucj f płi wrui Dirichl 6 []: fucj f j jdowrościow w roprywym prdil / / ; f moż mić ylo ońcoą licbę mimów i miimów w dowolym ońcoym prdil cu; f moż mić ylo ońcoą licbę iciągłości w prdil / / ; / płio j irówość: f d <. / Wrui płi więość prycych ygłów wyępujących w ułdch rgulcji. W puch iciągłości fucji f, jj wrość lży pryjąć, jo śrdią lwj i prwj gricy w puci iciągłości. 5 J Bpi Joph Fourir 768-8, mmy frcui. Prc ru orii fucji, rchuu cłowgo, rówń różicowych i fiyi mmycj. 6 Joh Pr Guv Lju Dirichl 85-859, imici mmy frcuigo pochodi. Był wyłdowcą uiwryów w Wrocłwiu, Brlii i Gyd.
4. ANALIZA SYSEMÓW ZA POMOCĄ MEOD OPERAOROWYCH Wpółcyii moż irprowć jo poloą mpliudę ygłu f dl cęoliwości ω -j hrmoicj pry pulcji podwowj ω : R{ } jim{ }. Łwo więc orślić mpliudę i fę pocgólych wpółcyiów rołdu., ór w poób worą mpliudow i fow widmo orowgo ygłu f. W prypdu, gdy f j rcywiym ygłm orowym, rprcj. rduuj ię do poci: pry cym: / f b f d, dl > : b / c i ω b co ω,.4 / / f co / ω d, c f / i ω d. Moż uwżyć, ż widmo ygłu orowgo więc biór wpółcyiów j dyr wględm pulcji. Or dyrycji j rówy pulcji podwowj ω. Cłow prłci Fourir, ór odoi ię rówiż do prbigów iorowych, moż uyć pr wydłużi oru ygłu w lżościch. i. w gricy do iońcoości, co ż oc, ż roość prdiłu pulcji podwowj ω mir do r:, ω. Sumowi w. oj wówc ąpio oprcją cłowi. Prowdi o do ępującj pry prłcń cłowych [4]: jω d Fjω f.5 j ω ω f Fj dω.6 π ych, jo pro.5 i odwro.6 prłci Fourir. Są o cęo piyw w ępującj rócoj formi: Fjω F f F - { f } { Fjω } rform Fjω j fucją wględm pulcji ω, ł j j iidy opuc, jd w ym pii podrślo j polo poć rformy Fourir, podo, chowy oj jj wią omwią dlj rformą Lplc.
.. Prłci Fourir 4 Wyrcjącym wruim iii rformy Fourir Fjω dl dj fucji f j płii pr ę fucję oigo podych wruów Dirichl dl []. wru już i j łwo płić i dlgo iij pw l fucji, dl órych rform Fourir i iij. Prłci Fourir odgryw brdo wżą rolę w ri prwri ygłów ciągłych i dyrych, projowi filrów, ż, jo wydj rędi do rowiąywi rówń różicowych i liy ymów [, 4]. W prycych oowich jcęścij ory ię różych włściwości prłci or ych pr prłcń Fjω f ypowych fucji, ór oły orślo podwi lżości.5 i.6. Pryłd.. Orślić rformę Fourir impulu Dirc. Zgodi.5 możmy pić: jω jω jω jωβ F { δ } δ d, l { δ β } δ β d F, co wpro wyi.4. W prypdu liy ymów rowi, fucj wględm cu j ogrico do prdiłu <, pryjmując rową wrość po im. Wobc go, w.5 gricę cłowi moż ż ogricyć do go prdiłu: F jω j F j f I ω d ω.7 gdi id I wuj prłci jdoro. Mówimy wówc o jdoroym prłciu Fourir, ór m oowi w lii ymów dymicych. Wpomi ogrici i objmują didiy cęoliwości pulcji, więc prłci odwro.6 pooj b mi. Ogrici prdiłu cłowi w.7 j rówowż pomożiu fucji cu pr o jdoowy. Moż o pić ępująco: { f } F { f } F I.8 Pryłd.. Orślić jdoroą rformę Fourir pochodj fucji. Koryjąc.8 or oując cłowi pr cęści, orymmy: -jω -jω -jω { f ' } F { f ' } f ' d f jω f d jωf jω f FI Procdurę ę moż roryć wyż pochod: F I { f } jω F jω f jωf L jω f ' jω I I f..
44. ANALIZA SYSEMÓW ZA POMOCĄ MEOD OPERAOROWYCH A więc, różicowi fucji prowdi do pomożi jj rformy pr cyi jω uwględiim wruów pocąowych. W płym prłciu dwuroym wrui pocąow i wyępują. Podwow włściwości prłci Fourir ą br w bli., omi w bli. pod ą rformy Fourir podwowych fucji wględm cu. liiowość: bl.. Podwow włściwości prłci Fourir - - - { α p βq } αf { p } βf { q }, F { αpjω βqjω } αf { Pjω } βf { Qjω } F pruięci w didii cu: jωτ { f τ } F jω F pruięci w didii cęoliwości modulcj: lowi: F jω { f } F j ω ω ω { } f F j F różicowi po ci row wrui pocąow: ' d f F { f } jωf jω, ogóli: F jω F jω d cłowi fucji: F f τ dτ F jω ; cł f τ dτ mui dążyć do r dl ± jω różicowi po cęoliwości row wrui pocąow: d F F, ogóli: { } jω F f j df { } jω f j dω dω plo: F { f g } F f τ g τ dτ F jω G jω możi: F { f g } Fjξ Gj ω ξ dξ F jω G jω Y rmicj: { } jω G jω F g U ymri prłci ymri dul: - jżli: F jω F { f }, o wówc: F πf { f jω }
.. Prłci Fourir 45 bl.. rformy Fourir wybrych fucji f Fjω δ πδ ω jω jβ πδ ω, α > jβ jω coα f F j ω α F j ω α iα f F j ω α F j ω α j j β πδ ω β i α jπ δ ω α δ ω α co α π δ ω α δ ω α rform Fourir fucji wględm cu ygłu: Fjω f j obrm widm j fucji. W ogólym prypdu j o fucj polo: jϕ ω F jω A ω jb ω Fjω.9 gdi Fjω prdwi mpliudę widm chrryyę mpliudową, omi ϕω j fucją rprującą fę go widm chrryyą fową. Poługując ię w.5 lżością: ω j coω jiω moż orślić rcywią i urojoą cęść rformy Fjω rcywij fucji f.5: A ω R B ω Im Fjω Fjω f coωd f iωd.
46. ANALIZA SYSEMÓW ZA POMOCĄ MEOD OPERAOROWYCH Widć ąd, ż cęść rcywi rformy Fjω j fucją pryą: A ω Aω, omi jj cęść urojo fucją ipryą: B ω Bω. Podobi j rprcją wyłdicą fucji Fjω: widmo mpliudow Fjω j fucją pryą, chrryy fow ϕω fucją ipryą. Wż włściwość prłci Fourir doycy rformy plou dwóch fucji. Jżli.: y u τ g τ d τ u g, o rformę j oprcji moż orślić ępująco: jω jω Y jω F [ y ] u τ g τ dτ d u τ g τ ddτ A poiwż: jω g τ d G jω jωτ, co wyi rformy fucji pruięj w ci, o: jωτ Y jω G jω u τ dτ G jω U jω,. co j brdo wżym prycym wyiim rformy plou dwóch fucji. / Pryłd.. Prdwić grfici mpliudę i fę widm fucji u,. Poługując ię blą. moż wycyć rformę podj fucji: / U jω F { }. / jω Ampliud i f rformy ą m ępując: U j ω, ϕ ω rcg ω. / ω Prbigi fucji wiąych ym pryłdm dl podj wrości, ą po ry... Pryjryjmy ię rulom orymym w powyżym pryłdi. Aliow fucj prdwi wyłdico ijący ygł, óry m rową wrość dl > ry... Jj chrryy cęoliwościow m prbig j ry..b. Dl pulcji ω wrość mpliudy j rów łdowj łj, cyli wrości śrdij liowgo ygłu.
.. Prłci Fourir 47 Ry... Sygł or jgo chrryy widmow mpliudy b i fy c Łwo prwdić podwi.5, ż F f d. Jśli liow fucj j fucją wgi g jigoś ułdu, o jj rform Fourir j yw rmicją widmową widmową fucją prjści ułdu: jω g d { g } G jω F. Zci rmicji widmowj wyi bpośrdio rformy Fourir plou dwóch fucji bl.: ąd: { u g } U jω G jω Y jω F.4 jω jω Y G jω.5 U
48. ANALIZA SYSEMÓW ZA POMOCĄ MEOD OPERAOROWYCH Ilurcj oprcji.4 j po ry... Njwżiją prycą owcją prjści opiu ymu w didii cu do podobgo opiu pomocą prłci Fourir j ąpii oprcji plou fucji wymui i wgi pr możi ich rform. Podo, podwi.5, rmicję ułdu moż wycyć podwi rform ygłów: wyjściowgo i wjściowgo. Odpowidź cow moż być orślo pr odwro prłci Fourir go włśi ilocyu rform: { } { } ω ω ω j j j Y G U y - - F F.6 g u y d τ τ τ Ry... Opi ułdu w didii cu i cęoliwości rmicję ymu moż ż bpośrdio orślić podwi rówi różicowgo opiującgo jgo dymię. Roprmy ogól rówi różicow ymu o poci, j w.9:...... ' '' ' '' u b b u u b u b u b y y y y y m m m m.7 pry cym, m. Rówi o moż oburoi poddć prłciu Fourir. Poługując ię włściwością rformy pochodj fucji pry rowych wruch pocąowych bl., orymmy:...... ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j j j j j j j j j j j j j j b U U b U b U b Y Y Y Y m m m m.8 Po uporądowiu powyżgo rówi, orymmy ępującą rlcję:...... ω ω ω ω ω ω ω ω ω j j j j j j j j j G b b b b U Y m m m m.9
.. Prłci Fourir 49 Widć m, ż rmicj ułdu, órgo dymi j opi rówim różicowym, j fucją wymirą 7. N podwi wruów piu dymii ymu.8 widć, ż rąd wilomiu w miowiu rmicji.9 i moż być mijy od rędu wilomiu w liciu j fucji. J o wią łdą prycyowością roprywych ymów. Pryłd.4. Orślić rmicję widmową ułdu opigo ępującym rówim różicowym: y y y b u b u '' ' '. Oblicjąc rformę Fourir obu ro rówi różicowgo orymmy.8: Y jω jω jω U jω b jω b. Sąd, dl,75,, b, b, orymmy: b j j j bω ω Y ω U jω U jω Gjω U j ω jω ω,75 jω ω. A m, pouiw rmicj j ępując: jω jω G jω g d. ω,75 jω N podwi powyżj rlcji moż orślić fucję wgi, jo odwroą rformę rmicji. Po prłciu rmicji p..., orymmy: jω g F { Gjω } F F ω,75 jω j ω /,5 j ω /,5,5 co. Pryłd.5. Poługując ię rformą Fourir orślić odpowidź ułdu opigo rówim różicowym: d y dy y d d. Niy, j łwo prwdić, fucj lżąc po prwj roi powyżgo rówi wymui i płi wruu iii rformy Fourir, gdyż wyi oblici cłi: d pwością i j ogricoy. Zm, pod rówi różicow i moż być prwr pomocą prłci Fourir. Wio płyący pryłdu.5 wuj duż ogrici oowi prłci Fourir do liy ymów. 7 Fucj wymir j ilorm dwóch wilomiów.
5. ANALIZA SYSEMÓW ZA POMOCĄ MEOD OPERAOROWYCH.. Prłci Lplc... Wprowdi Nwiąując do pryłdu.5 moż uwżyć, ż fucj będąc wymuim w roprywym rówiu różicowym: u, płi wru prłci Fourir, jśli pomożyć ją pr fucję wyłdicą σ, o cgólych wrościch licby rcywij σ. Złóżmy, ż chcmy orślić jdoroą rformę Fourir dl ogricoj fucji: σ { u } σ jω F I d. Podwijąc: σ jω orymmy: U σ jω U d dl R σ >.. Powyży wią orśl rformę Lplc 8 fucji u. Formli rform Lplc j dfiiow pomocą pry ępujących prłcń: { f } L f d,. F σ j - f L { F } F d,. jπ σ j gdi σ jω. Podobi j w prypdu cłi Fourir, wią. j ywy proym prłcim Lplc jdoroym,. prłcim odwroym. Brdij ogól prłci dwuro Lplc różi ię gricą cłowi: F f II L II d. { f } W prypdu liy ymów, idy f dl <, powchi ouj ię prłci jdoro. 8 Pirr Simo d Lplc 749-87, mmy i fiy frcui, jd wórców orii prwdopodobińw.