AUTOMATYKA 2011 Tom 15 Zeszyt 3 Maciej Nowak*, Grzegorz Nowak* Wyznaczanie charakterystyki widmowej kolorów z wykorzystaniem zapisu liczb o dowolnej precyzji 1. Wprowadzenie 1.1. Kolory Zmys³ wzroku stanowi jedn¹ z g³ównych metod postrzegania i poznawania œwiata. Widz¹c, uczymy siê i rozpoznajemy otaczaj¹ce nas przedmioty i zjawiska. Widzenie cz³owieka opiera siê miêdzy innymi na rozró nianiu kolorów. Kolory przedmiotów ogl¹da siê w œwietle przechodz¹cym przez nie lub odbitym od ich powierzchni. Barwa nie jest jednak wielkoœci¹ fizyczn¹, ale raczej zjawiskiem psychofizjologicznym, zale nym od zindywidualizowanej, subiektywnej percepcji. Wra enie koloru zale y od oœwietlenia, czu³oœci ludzkiego oka, a nawet osobistej wra liwoœci. Ponadto, kolory mog¹ mieæ wp³yw na nasz¹ psychikê, poczucie piêkna czy nastrój. St¹d i obiektywna ocena barwy jest doœæ trudna, gdy brak jest praktycznych mo liwoœci skwantyfikowanego charakteryzowania wra eñ barwnych powstaj¹cych w mózgu cz³owieka. 1.2. Widmowy pomiar kolorów Aby obiektywnie mierzyæ kolory, pomiar musi byæ niezale ny od Ÿród³a oœwietlenia i percepcji cz³owieka. W praktyce pomiary barw polegaj¹ na iloœciowym i jednoznacznym okreœleniu cech promieniowania elektromagnetycznego, wpadaj¹cego do oka i wywo³uj¹cego wra enie barwne, w ca³ym zakresie widma widzialnego. Do okreœlenia wra enia koloru postrzeganego przez cz³owieka niezbêdne s¹ trzy nastêpuj¹ce elementy: widmowa charakterystyka rozk³adu mocy Ÿród³a œwiat³a (iluminantu); widmowa charakterystyka interakcji œwiat³a z mierzonym obiektem w formie zmierzonej krzywej transmisji lub reemisji; oraz widmowe charakterystyki czu³oœci ludzkiego oka (receptorów œwiat³a na siatkówce oka). * Politechnika ódzka, Katedra Informatyki Stosowanej, ódÿ, Polska 413
414 Maciej Nowak, Grzegorz Nowak Pierwszy element Ÿród³a œwiat³a, u ywane przy okreœlaniu barwy, zosta³y szczegó³owo okreœlone i znormalizowane [1]. Cech¹ charakteryzuj¹c¹ ka dy iluminant normalny jest sta³y widmowy rozk³ad mocy promieniowania przypadaj¹cego na ró ne d³ugoœci fali. Pomiary drugiego elementu krzywej transmisji lub reemisji wykonuje siê za pomoc¹ spektrofotometru, który mierzy widmo œwiat³a przepuszczonego przez próbkê lub odbitego od próbki, a dziêki znanej charakterystyce Ÿród³a oœwietlaj¹cego próbkê i znanych rozk³adach widmowych czu³oœci ludzkiego oka pozwala oceniaæ i porównywaæ barwy. Trzeci element model ludzkiej percepcji barw zosta³ okreœlony w postaci charakterystyk wzglêdnej skutecznoœci widmowej receptorów barwy, zwanych trójchromatycznymi sk³adowymi widmowymi lub funkcjami doboru barw [1]. Tak wiêc, kluczowym elementem w pomiarze koloru jest otrzymanie rozk³adu widmowego interakcji œwiat³a z mierzonym obiektem. Pozwala to na identyfikacjê barwy przy ca³kowitym uniezale nieniu siê od zewnêtrznych warunków oœwietlenia oraz subiektywnego obserwatora. Ka dej krzywej transmisji (lub odbicia) barwnych obiektów oœwietlonych okreœlonym iluminantem odpowiada dok³adnie jedna barwa [2]. Na rysunku 1 przedstawiono przyk³adow¹ charakterystykê koloru niebieskiego. Rys. 1. Charakterystyka widmowa (reflektancja wzglêdna w funkcji d³ugoœci fali) i odpowiadaj¹cy jej kolor (niebieski) 1.3. Dok³adnoœæ pomiaru charakterystyki widmowej barwy Czynnikami wp³ywaj¹cymi na dok³adnoœæ pomiaru krzywej transmisji lub reemisji s¹ parametry wykorzystywanego spektrofotometru, miêdzy innymi czu³oœæ, rozdzielczoœæ i powtarzalnoœæ pomiaru. Ma to szczególne znaczenie przy pomiarze kolorów ciemnych, np. barwników o du ym stê eniu. Bezpoœredni pomiar tego typu barwników jest praktycznie niemo liwy, gdy mierzona spektrofotometrem charakterystyka widmowa jest bliska zeru dla niemal ca³ego pasma widzialnego. Dlatego w praktyce dokonuje siê pomiaru roztworów, zwykle kolejno dla kilku ró nych stê eñ danego barwnika [3]. Stê one barwniki wydaj¹ siê czarne, natomiast ich rzeczywisty kolor uwidacznia siê w postaci nieliniowoœci charakterystyki widmowej dopiero przy du ym rozcieñczeniu (rys. 2).
Wyznaczanie charakterystyki widmowej kolorów... 415 Rys. 2. Charakterystyki widmowe barwnika stê onego A, roztworu (mierzalnego w ca³ej d³ugoœci pasma widzialnego) B i rozpuszczalnika C Z tego wzglêdu, do okreœlania koloru powsta³ego z pomieszania kilku barwników nie mo emy pos³ugiwaæ siê nie daj¹c¹ siê pomierzyæ charakterystyk¹ oryginalnego, stê onego barwnika, ale charakterystykami jego rozcieñczeñ, mierzalnych w wiêkszym stopniu ni stê ony barwnik. 2. Teoretyczne wyznaczenie charakterystyki widmowej koloru stê onego 2.1. Problem zapisu liczb o bardzo ma³ej wartoœci dodatniej Brak praktycznej mo liwoœci pomiaru sk³oni³ nas do próby teoretycznego wyznaczenia charakterystyki widmowej transmisji lub reemisji dowolnego stê onego barwnika na podstawie znajomoœci prawa rz¹dz¹cego mieszaniem barw oraz charakterystyk widmowych rozpuszczalnika i jednego rozcieñczenia koloru stê onego oraz proporcji mieszania obu sk³adników. Konieczne jest w tym celu dysponowanie niezerow¹ charakterystyk¹ rozcieñczenia w ca³ej d³ugoœci widma widzialnego (charakterystyka rozpuszczalnika przezroczystego lub bardzo jasnego zwykle spe³nia ten warunek). Przy próbie rekonstrukcji niemierzalnej czêœci charakterystyki kolorów barwników stê onych napotkaliœmy problem zapisu liczb dodatnich o bardzo ma³ej wartoœci (rz¹d wielkoœci 10E 324 ). Charakterystyka widmowa barwników w pewnych zakresach czêstotliwoœci wbrew wskazaniom spektrofotometru w rzeczywistoœci nie jest zerowa (by³aby taka dla cia³a doskonale czarnego). Wartoœci charakterystyki dla poszczególnych d³ugoœci fal s¹ jednak tak ma³e, e ich pomiar za pomoc¹ spektrofotometru jest niemo liwy. Istotne jest natomiast prawid³owe okreœlenie tych wartoœci, by móc wykorzystaæ oryginaln¹
416 Maciej Nowak, Grzegorz Nowak charakterystykê barwnika stê onego np. do recepturowania kolorów. Teoretyczne wyznaczenie tych wartoœci ze wzoru napotyka na inn¹ trudnoœæ: ze wzglêdu na wyk³adnicze zale - noœci miêdzy wartoœciami charakterystyk kolorów mieszanych i koloru wynikowego, wartoœci uzyskiwane z obliczeñ s¹ dla pewnych d³ugoœci fal tak ma³e, e standardowa komputerowa precyzja zapisu liczb w trybie double jest niewystarczaj¹ca. Typ double dla.net przechowuje wartoœci z zakresu ±5,0 10 324 do ±1,7 10 308. Dodatnie przekroczenie wartoœci wyk³adnika powoduje zaokr¹glenie do ±inf oraz do 0 przy ujemnym przekroczeniu tego zakresu. Zjawisko to powoduje b³êdy przy odtwarzaniu charakterystyk jasnych kolorów. Aby prawid³owo wyliczyæ teoretyczn¹ charakterystykê koloru stê onego, niezbêdne okaza³o siê wykorzystanie metody zapisu liczb o dowolnej precyzji i mo liwoœæ wykonywania operacji matematycznych z dowoln¹ dok³adnoœci¹. 2.2. Wykorzystanie biblioteki Extreme Nale a³o zatem wybraæ taki typ danych, który reprezentowa³by wyk³adnik liczby na wiêkszej iloœci bitów. Platforma.NET wprowadza 128-bitowy typ numeryczny decimal, jednak by³ on projektowany z myœl¹ o zastosowaniach finansowych. Ma on zakres ±1,0 10 28 do ±7,9 10 28 przy 28 29 cyfrach znacz¹cych i z uwagi na zawê enie wyk³adnika nie spe³nia stawianych wymagañ. Konieczne okaza³o siê u ycie biblioteki matematycznej, która spe³nia nastêpuj¹ce warunki: jest zgodna z platform¹.net; zawiera zmiennoprzecinkowy typ numeryczny o nieograniczonej precyzji; pozwala na operacjê x y, gdzie x, y to liczby zmiennoprzecinkowe o nieograniczonej precyzji. Istniej¹ trzy popularne biblioteki matematyczne dostêpne na platformê.net: Mathdotnet; IMSL C# Numerical Library for Microsoft.NET Applications; Extreme Optimization Mathematics Library for.net. Wszystkie pakiety umo liwiaj¹ analizê statystyczn¹ oraz zaawansowane metody numeryczne. Jednak spoœród nich zaledwie biblioteka Extreme wprowadza nowy typ numeryczny o nieograniczonej precyzji (BigFloat), st¹d wybór by³ ograniczony tylko do niej. Typ BigFloat mo e mieæ precyzjê okreœlon¹ za pomoc¹ 2 36 bitów, przy wyk³adniku zapisywanym za pomoc¹ 32-bitowej wartoœci integer. Ponadto biblioteka implementuje wszystkie podstawowe operacje matematyczne, w tym podnoszenie do potêgi, co by³o jednym z podstawowych wymagañ. 2.3. Otrzymane wyniki Problem numeryczny, z jakim siê spotkano, zosta³ przedstawiony na rysunku 3a. Doœwiadczenie polega³o na teoretycznym mieszaniu koloru stê onego i rozpuszczalnika. Charakterystyka koloru stê onego zosta³a wyznaczona teoretycznie ze standardow¹ do-
Wyznaczanie charakterystyki widmowej kolorów... 417 k³adnoœci¹ double (10 E 324 ). Przy próbie wyznaczenia charakterystyki koloru rozcieñczonego, w otoczeniu d³ugoœci fali 630 nm wartoœci transmitancji koloru pozostaj¹ równe zeru. Przyczyn¹ tej sytuacji jest maszynowe zaokr¹glenie liczb o wartoœciach mniejszych od precyzji double do zera. a) b) Rys. 3. Charakterystyka zawieraj¹ca b³êdy powsta³e w wyniku zaokr¹glenia wartoœci do zera (a); charakterystyka wygenerowana na podstawie pigmentu odtworzonego za pomoc¹ biblioteki Extreme (b) Zastosowanie biblioteki Extreme pozwoli³o na dok³adny zapis nawet najmniejszych wartoœci charakterystyki w ca³ej d³ugoœci badanego widma widzialnego. W efekcie wyniki by³y zgodne z oczekiwaniami, co prezentuje rysunek 3b. Zastosowanie zwiêkszonej precyzji zapisu liczb wp³ynê³o równie na dok³adnoœæ wyznaczenia teoretycznej charakterystyki koloru stê onego, dlatego jego charakterystyka na rysunku 3b ró ni siê od tej przedstawionej na rysunku 3a.
418 Maciej Nowak, Grzegorz Nowak 3. Wnioski 3.2. Zastosowanie praktyczne Zaproponowana w artykule rekonstrukcja charakterystyki widmowej barwników kolorów stê onych bêdzie mia³a praktyczne zastosowanie w zakresie recepturowania kolorów. Metoda ta pozwoli na wyznaczenie i pos³ugiwanie siê charakterystykami oryginalnych barwników zamiast ich roztworów. Precyzyjne przygotowanie i dok³adny pomiar roztworów s¹ bowiem trudne do wykonania w praktyce (zw³aszcza w ma³ych objêtoœciach); stanowi¹ zwykle Ÿród³o dodatkowych b³êdów, wp³ywaj¹cych na jakoœæ koloru dobieranego [3]. 3.1. Dalsze prace Wspomniana na pocz¹tku artyku³u dok³adnoœæ pomiaru jest istotna nie tylko w niemierzalnych (zerowych) czêœciach charakterystyki widmowych, ale równie tam, gdzie wartoœci charakterystyki kolorów o ró nym stê eniu nie ró ni¹ siê od siebie. Z teorii wiadomo, e charakterystyka barwy roztworu powinna byæ zawarta pomiêdzy charakterystykami koloru stê onego i rozpuszczalnika [4]. Natomiast ze wzglêdu na dok³adnoœæ pomiaru spektrofotometrem i precyzjê zapisu liczb warunek ten nie zawsze jest spe³niony, czego nastêpstwem jest nieprawid³owe wyznaczenie charakterystyki koloru stê onego w tym obszarze widma, gdzie charakterystyka roztworu i rozpuszczalnika s¹ bardzo bliskie. W konsekwencji, aby prawid³owo wyznaczyæ charakterystykê koloru stê onego, konieczne jest z³o enie charakterystyki teoretycznej (dla niemierzalnej tj. zerowej czêœci widma) oraz charakterystyki uzyskanej z pomiaru spektrofotometrem (dla czêœci gdzie pomiar spektrofotometrem jest mo liwy). Wyznaczenie granicy z³¹czenia i zapewnienie g³adkoœci charakterystyki wyjœciowej s¹ aktualnie przedmiotem bie ¹cych badañ. Literatura [1] CIE Publ. No.15.2, Colorimetry, 2nd ed. 1986. [2] Ratajczyk F., Kolorymetria praktyczna. Instytut Fizyki Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 2008. [3] Mielicki J., Zarys wiadomoœci o barwie. Fundacja Rozwoju Polskiej Kolorystyki, ódÿ 1997. [4] Felhorski W., Stanioch W., Kolorymetria trójchromatyczna. WNT, Warszawa 1973.