Stanisław Jemił, Marcin Gajewsi Instytut Mechanii Knstrucji Inżyniersich SYMULACJA MES OBRÓBKI CIEPLNEJ WYROBÓW STALOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM ZJAWISK TERMO-METALURGICZNYCH Część 1. Nieustalny przepływ ciepła i przejścia fazwe Rępis dstarczn 12.07.2004 r. Praca słada się z dwóch części. Część 1 dtyczy zagadnień związanych z pisem nieustalneg przepływu ciepła występująceg w tracie prcesów bróbi cieplnej raz łączenia metali technicznych i stpów metali. W pdstawwych równaniach nieustalneg przepływu ciepła, sfrmułwanych w ramach termdynamii śrdów ciągłych, uwzględnin przejścia fazwe stsując terię mieszanin. Przedysutwan dwa pdejścia, tóre wyniają z dpwiednich równań bilansu dla energii wewnętrznej alb entalpii. Mieszanina słada się z ilu iztrpwych faz materiału różnych udziałach bjętściwych, a właściwści termiczne ażdej fazy pisane są nieliniwym związiem Furiera. Wyróżnin przejścia fazwe związane ze zmianą stanu supienia metalu raz zmianą jeg mirstrutury. Przejścia typu pierwszeg uwzględnia się przez dpwiednie zdefiniwanie ciepła właściweg wraz z utajnym ciepłem przemiany (alb funcji entalpii) w równaniach bilansu, zaś przejścia typu drugieg charaterze dyfuzyjnym i bezdyfuzyjnym pisują relacje inetyczne. W pracy dysutwane są relacje inetyczne wyniające z różnych stswanych w literaturze metalurgicznych mdeli przemian fazwych. Relacje te definiują między innymi ieruni przemian fazwych raz ich inematyę. Równania inetyczne twrzą uład równań różniczwych, tórych współczynnii zależne są między innymi d temperatury i jej prędści raz czasu przemiany. Wbec teg prcesy rzpatrywane w pracy nie są w gólnści ani iztermiczne ani nie dbywają się przy stałej prędści zmian temperatury. Pminięt sprzężenie termiczn-dyfuzyjne, c znacza, że nie uwzględnin ptencjałów chemicznych, czyli sład chemiczny metali jest dany i nie ulega zmianie. Występuje jedna pełne sprzężenie efetów cieplnych i przemian fazwych, c prwadzi d złżnej prcedury przygtwywania danych termiczn-metalurgicznych. Przedstawine pdejście fenmenlgiczne mże być stswane między innymi w zagadnieniach bróbi cieplnej metali technicznych i stpów metali struturze plirystalicznej. Omawiane zagadnienia szer ilustruje cytwana literatura w zastswaniu d różnych metali i stpów metali, niemniej jedna w tej pracy rzpatrzn tyl stal, a dla pewnych wybranych jej gatunów zaprezentwan spsób przygtwania dpwiednich danych termiczn-metalurgicznych. Dane te są stswane w Części 2 pracy, gdzie zamieszczne są przyłady rzwiązań numerycznych zadań brzegw-pczątwych. W Części 2 zastswan metdę elementów sńcznych i prgram SYSWELD. Druga, apliacyjna część pracy jest puntem wyjścia d analizy sprzężnych efetów termiczn-metalurgicznych z plami mechanicznymi w wyrbach stalwych.
1. WSTĘP Uwzględnienie przejść fazwych w metalach, w tracie nieustalneg przepływu ciepła, jest isttnym zagadnieniem między innymi w pisie frmwania wyrbów metalwych przez dlewanie, ich bróbi cieplnej, w szczególnści np. rzepnięcia, hartwania, dpuszczania, itp. raz w pisie prcesu spawania, pr. np. [1,2,20-24,32,35,37,44,46]. Własnści termiczn-mechaniczne pszczególnych faz metalu w wyrbie są w wielu przypadach isttnie różne i decydują jeg właściwściach użytwych, pr. [1,2,32,44]. Pmim, iż żelaz i jeg stpy z węglem raz innymi pierwiastami są jednymi z najstarszych znanych i prduwanych metali, t mżna pwiedzieć, że wiedzę przemianach fazwych jaie zachdzą w stalach raz mirstruturach, jaie w ich wyniu pwstają, zaczęt wyrzystywać dpier w XIX wieu, gdy prducja stali siągnęła salę przemysłwą. Próby teretyczneg pisu inetyi przemian fazwych w metalach pdjęt w latach czterdziestych ubiegłeg wieu, pr. [3-5] i pracę przeglądwą na ten temat Faleirsa i in. z 2000 r. [18]. W inżynierii materiałwej i metalurgii d płwy XX wieu standardwą prcedurą ceny właściwści stpów metali jest analiza tzw. wyresów równwagi faz raz rzywych chłdzenia/nagrzewania wynanych przy różnych prędściach zmian temperatury [2]. Znajmść tych danych i dpwiednie sterwanie sładem chemicznym i technlgią bróbi cieplnej i mechanicznej, pzwala na prjetwanie stpu metali pżądanych cechach, patrz np. [11,12,30,37,46]. Celem wielu prac teretycznych przemianach fazwych jest dtwrzenie z tzw. równań inetycznych (pt.3 pracy) rzywych chłdzenia/ nagrzewania (diagramów IT raz CCT, pr. pt.4-6 pracy). Z prównania jednych z najnwszych prac przeglądwych na ten temat Zha i Ntisa z 1995 r. [53] raz Grnga i Shercliffa z 2002 r. [20] wynia, że nieczne jest uwzględnienie w teg typu analizach zjawisa nieustalneg przepływu ciepła, czyli prcesów nierównwagwych z puntu widzenia lasycznej termdynamii [14,15]. Pierwsze prace teretyczne, w tórych pdjęt próby sprzężneg pisu nieliniwych zagadnień term-metalurgicznych, pwstały w latach siemdziesiątych ubiegłeg wieu, zaś sutecznych apliacji numerycznych dnan w statnim dziesięcileciu, pr. np. [48-50] i literaturę tam cytwaną raz Część 2 teg artyułu ([28]). Celem tej pracy jest sfrmułwanie sprzężneg zagadnienia brzegw-pczątweg nieustalneg przepływu ciepła z uwzględnieniem przejść fazwych i zastswanie metdy elementów sńcznych (MES) w zagadnieniach chłdzenia/grzewania i spawania elementów wyrbów stalwych. Praca pdzielna jest na dwie części. W pt.2 Części 1 wyprwadzamy pdstawwe równania nieustalneg przewdnictwa cieplneg z uwzględnieniem przejść fazwych w niejednrdnych materiałach iztrpwych. Rzpatrujemy dwa pisy, tóre wyniają z dpwiednich równań bilansu energii wewnętrznej alb funcji entalpii. Stsujemy m.in. terię mieszanin. Iztrpia materiału znacza tu, że ażda cząsta materiału raz ażda jeg faza ma iztrpwe własnści ze względu na przewdnictw cieplne. W pisie uwzględniamy tzw. nieliniwe praw Furiera. Wszystie równania wyprwadzamy w tzw. ntacji abslutnej, pr. np. [25,26] i literaturę tam cytwaną. W ten spsób trzymujemy związi prawdziwe w dwlnych uładach współrzędnych, c znamicie ułatwia ich apliację w zagadnieniach szczegółwych. Nawet w najprstszych przypadach sfrmułwane zagadnienie jest nieliniwe i wymaga zastswania metd numerycznych, patrz Część 2 pracy. Precyzując pstać równań inetycznych stsujemy mdele przejść fazwych w metalach i ich stpach, tórych pdstawy dświadczalne i uzasadnienia teretyczne pisane są m.in. w pracach [3-5,18,30,33,41]. Apliacyjna Część 2 pracy dtyczy zjawis term-metalurgicznych zachdzących w różnych rdzajach stali i jest puntem wyjścia d analizy sprzężnych efetów termiczn-metalurgicznych z plami mechanicznymi w wyrbach stalwych, pr. 2
[27,34]. Przedstawine w pt.2 i 3 teretyczne sfrmułwanie zagadnienia jest pisem fenmenlgicznym i wbec teg w celu wyznaczenia parametrów i funcji materiałwych, występujących w dpwiednich równaniach bilansu raz relacjach inetycznych, nieczne jest uwzględnienie danych dświadczalnych. Prste przyłady i interpretacje równań inetycznych pisujących zmiany fazwe w tracie nagrzewania i chłdzenia stali zamieszczamy w pt.4. Spsób przygtwania niezbędnych danych d analizy MES pdajemy w pt.5, na przyładzie stali 16MnCr5. Dane te stsujemy w pt.6 raz Części 2, gdzie zamieszczamy przyłady rzwiązań numerycznych zadania chłdzenia elementów stalwych raz symulacji spawania z zastswaniem prgramu SYSWELD [49,50]. W pt.6 pracy zamieszczamy dysusję dtyczącą interpretacji wyniów numerycznych tzw. próby Jminy eg, tóra jest standardwą, dświadczalną próbą ceny mirstrutury i hartwnści stali pdczas jej ntrlwaneg chłdzenia, pr. [2]. Celem teg testu jest między innymi weryfiacja danych materiałwych zamieszcznych w pt.5. Z puntu widzenia lasycznej termdynamii [14,15], inżynierii materiałwej [1,2], metalurgii, technlgii prducji raz łączenia wyrbów stalwych [7,19,32], dysutwane w tej pracy zagadnienia są jaściw dbrze pznane. Jeżeli jedna w ich pisie uwzględni się prcesy nierównwagwe, t nawet w przypadu interpretacji prstych testów dświadczalnych, stswanych w inżynierii materiałwej d ceny pewnych cech wyrbów stalwych, prwadzi t d bardz złżnej analizy. Klasycznym teg przyładem jest cena hartwnści stali i próba Jminy eg, pr. mngrafię [2] z pracami [24,35] i wyniami zamieszcznymi w pt.6. Zaprezentwany w pt.2 pis teretyczny wymaga w przypadu próby Jminy eg rzwiązania sprzężnych uładów nieliniwych równań różniczwych zwyczajnych i cząstwych z dpwiednimi warunami brzegwymi i pczątwymi, w tórych uwzględnia się nwecję i prmieniwanie. Test ten zamieszczamy w tej części pracy gdyż w najnwszej wersji prgramu SYSWELD z 2003 ru istnieją ddatwe prcedury umżliwiające stsunw łatwą jeg symulację i weryfiację. Należy pdreślić, że interpretacja teg testu, jeg pis teretyczny i analiza numeryczna jest becnie przedmitem żywinej dysusji nauwej, pr. prace [9,24,25,35] i pt.6. Standardem jest becnie uzupełnianie próby Jminy eg badaniami mirstrutury i twardści metali raz analizą przejść fazwych, pr. np. [8,21,37,43,53]. Opis teretyczny (bez uwzględnienia pól mechanicznych) nie jest mpletny, gdyż w próbie hartwnści cenia się twardść stali HV. Różne zjawisa termiczn-metalurgiczne jaie zachdzą pdczas bróbi cieplnej i spawania stali są pisane w tej pracy jedną, stsunw mał złżną, ale ciągle rzwijaną terią fenmenlgiczną, pr. [33,35,36,41,45,49,50]. Szczegółwe jej zastswania wyniają z przyjęcia dpwiednich danych termiczn-metalurgicznych raz sprecyzwania warunów brzegw-pczątwych w nieliniwym zadaniu nieustalneg przepływu ciepła. Świadmie uprszczny jest pis mirstrutury stali raz mechanizm przejść fazwych. Jednym z luczwych prblemów jest prawidłwy pis przejść fazwych pdczas chłdzenia wyrbów stalwych pniżej temperatury austenizacji, c jest isttne przy hartwaniu ja i spawaniu. W pisie spawania, prócz tpnienia i rzepnięcia stali, muszą być uwzględnine taże wszystie przejścia fazwe stali jaie zachdzą przy różnych prędściach nagrzewania i chłdzenia. W tzw. strefie wpływu ciepła występują bwiem nierównmierne zmiany pla temperatury i pla prędści temperatury. Jednym z pdstawwych czynniów decydujących jaści płączenia spawaneg jest przestrzenny rzład faz stali w strefie wpływu ciepła, p całwitym chłdzeniu łącznych elementów. Przy pwierzchniwym hartwaniu wyrbów stalwych dąży się m.in. d prawidłweg rzładu martenzytu i bainitu w warstwie wierzchniej wyrbu. Znaczne trudnści pjawiają się przy hartwaniu dużych przedmitów, gdyż zbyt szybie hartwanie mże prwadzić d pęania martenzytu. Pdbna sytuacja mże wystąpić pdczas chłdzenia spiny, pr. np. [13,32]. Należy pdreślić, że racjnalna cena wytężenia raz nśnści płączenia spawaneg wyrbów stalwych musi być m.in. 3
pprzedzna pprawną analizą wyniów zadania nieustalneg przepływu ciepła, pr. np. [6,41,45] raz wnisi ńcwe zamieszczne w Części 2 tej pracy. 2. PODSTAWOWE RÓWNANIA NIEUSTALONEGO PRZEPŁYWU CIEPŁA W NIEJEDNORODNYCH MATERIAŁACH IZOTROPOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM PRZEJŚĆ FAZOWYCH Liniwe zagadnienie nieustalneg przepływu ciepła, tóre sprwadza się d analizy parablicznych równań różniczwych, jest lasycznym zagadnieniem fizyi śrdów ciągłych raz terii równań różniczwych cząstwych, pr. [25,26,15,39,51,52] i bszerną literaturę źródłwą tam cytwaną. Pcząti terii sięgają pierwszej płwy XIX wieu. Truesdell, w pdręczniu [51] dtyczącym histrii lasycznej termdynamii, zamieszcza interesującą dysusję liniwej terii przepływu ciepła, tóra zstała sfrmułwana przez Furiera w 1822 ru. Rzumwanie Furiera (pmim, że dprwadził d pprawneg sfrmułwania równania przewdnictwa dla ciał iztrpwych) parte był na błędnej interpretacji prawa Newtna (dtycząceg nagrzewania/stygania dwlnych ciał) raz brau rzróżnienia między równaniami bilansu przepływu ciepła i równaniami nstytutywnymi. Liniwą relację nstytutywną, wiążącą strumień ciepła z gradientem temperatury nazywa się becnie prawem Furiera. Zastswania terii liniwej graniczne są d zagadnień, w tórych dpuszczalne jest m.in. załżenie stałej wartści współczynniów przewdzenia ciepła. Należy jedna zaznaczyć, że wartści liczbwe współczynniów przewdzenia ciepła metali technicznych i stpów metali zmieniają się w szerim zaresie i są zależne d temperatury. Ddatw w wyniu zmian temperatury zachdzą w metalach przejścia fazwe. Knieczne jest wbec teg, w zagadnieniach dysutwanych w tej pracy, uwzględnienie wymieninych pwyżej własnści w dpwiednich równaniach nieustalneg przepływu ciepła. 2.1. Zależnści wyniające z równań bilansu energii wewnętrznej i terii mieszanin Zgdnie z gólnymi zasadami terii śrdów ciągłych [26,39,47,52] równanie bilansu przepływu ciepła ma następującą pstać: d dt UdV QdV q q nds, (2.1) gdzie ~ x jest gęstścią ciała, U znacza energię wewnętrzną ciała, zaś Q jest ciepłem wytwarzanym wewnątrz bszaru w jednstce czasu (źródłem ciepła wydajnści Q ). Energia wewnętrzna jest funcją temperatury abslutnej T. Załadamy, że równanie bilansu (2.1) jest prawdziwe dla dwlnej części ciała, a pszuiwane jest ple temperatury T Tx,t. Wetr x reśla płżenie cząsti ciała zajmująceg bszar, t zaś znacza czas. Obszar zajmwany przez ciał nie zmienia się w czasie. Brzeg ciała znaczamy ja. Na części brzegu q zadany jest strumień ciepła q. W równaniu bilansu (2.1) pdstawiliśmy strumień ciepła ze znaiem ujemnym. Oznacza t, że ddatni przyrst temperatury w bszarze ciała pwstaje wtedy gdy strumień ciepła q wpływa d bszaru ciała pprzez jeg pwierzchnię graniczającą i sierwany jest przeciwnie d wersra n, tóry jest wetrem nrmalnym d pwierzchni. Krpą w (2.1) znaczamy ilczyn salarny wetrów. Stsując twierdzenie Greena-Ostrgradzieg, równanie (2.1) zapisujemy w pstaci 4
d dt q. (2.2) U div Q dv 0 W (2.2) symbl div znacza dywergencję, tóra jest liniwą peracją różniczwą (wyniiem tej peracji jest salar). Załadamy, że równanie (2.2) jest prawdziwe dla dwlnej części ciała, z czeg wynia, że wyrażenie pdcałwe w (2.2) jest tżsamściw równe zeru. Wbec teg równanie lalne ma następującą pstać: U divq Q, (2.3) gdzie rpą nad symblem znaczn pchdną p czasie. Należy pamiętać, że U U T ctt, (2.4) T gdzie c znacza ciepł właściwe. Pnieważ bszar zajmwany przez ciał nie ulega zmianie i nie rzpatrujemy defrmacji ciała, t w (2.4) nie rzróżnia się ciepła właściweg w stałej bjętści d ciepła właściweg przy stałym ciśnieniu. Ciepł właściwe zależy nie tyl d rdzaju substancji i temperatury, ale taże d jej fazy. W przedstawinym pdejściu, wyraźna zmiana wartści ciepła właściweg w małym zaresie temperatur mże być interpretwana ja zmiana fazy materiału. Frmalnie, w zależnści d lasy różniczwalnści, całwalnści, czyli regularnści funcji energii wewnętrznej mżna wprwadzić lasyfiację zmian fazwych. Ze względu na cel pracy wprwadzenie tej lasyfiacji nie jest isttne. Z drugieg prawa termdynamii, w nsewencji nierównści Clausiusa-Duhema, pr. np. [29,47], trzymamy następujący warune, w tórym temperatura jest w sali Kelvina: 1 q gradt 0. (2.5) T W (2.5) symbl grad znacza gradient, tóry jest liniwą peracją różniczwą (jej wyniiem jest wetr). Częst w literaturze (pr. prace cytwane w [29]) nierównść (2.5) wprwadza się ja ddatwy pstulat (bez dwływania się drugieg prawa termdynamii) i nazywa się nierównścią Kelvina. Z równania (2.3) wynia, że nieczne jest zapstulwanie relacji nstytutywnej, zgdnej z wymaganiem (2.5), pmiędzy strumieniem ciepła a gradientem temperatury i ewentualnie temperaturą. Mżliwa jest taże inna interpretacja niecznści wprwadzenia relacji nstytutywnej, tóra wynia z zasady 1 Onsagera, gdzie wielść gradt interpretuje się ja siłę wywłującą przepływ ciepła, T pr. [39] i literaturę tam cytwaną. Najprstszą relacją nstytutywną spełniającą wymaganie (2.5) jest tzw. iztrpwe praw Furiera pstaci: q TgradT, (2.6) gdzie T jest ddatnim współczynniiem przewdzenia ciepła, funcyjnie zależnym d temperatury. W prawie Furiera współczynni przewdzenia ciepła musi być ddatni, c wynia wprst z drugieg prawa termdynamii. Wystarczy w tym celu pdstawić (2.6) w (2.5). Dysusję ugólninych praw Furiera zawiera praca [25] pierwszeg autra artyułu, 5
gdzie rzpatruje się relacje nstytutywne materiałów iztrpwych i aniztrpwych, tóre są związami nieliniwymi nie tyl d temperatury ale taże d niezmienniów wetra gradientu temperatury i tensrów parametrycznych. Tensry parametryczne pisują struturę materiału, czyli taże ich aniztrpię. Ze względu na apliacyjny cel teg artyułu nie będziemy dysutwali przedstawinych w [25] relacji nstytutywnych. Oczywiście w przypadu materiałów aniztrpwych w prawie Furiera (2.6) występuje ddatni reślny tensr drugieg rzędu (funcyjnie zależny d temperatury) zamiast współczynnia T, pr. [26,39]. W apliacjach, dtyczących przepływu ciepła, zamiast temperatury abslutnej stsuje się inne sale temperatur. Jest t związane z fatem, że a priri przyjmuje się pewien stan ciała, z temperaturą prównawczą i zerwą wartścią energii wewnętrznej ciała, ja stan naturalny. Ddatw należy pdreślić, że związe Furiera pstaci (2.6), ja uprszczna relacja nstytutywna, nie bwiązuje w gólnści w całym zaresie mżliwych zmian temperatur. Wbec teg będziemy stswali salę temperatur Celsjusza, tzn. x,t raz du c. Z (2.3) i (2.4) raz (2.6) wynia następujące lalne równanie nieustalneg d przepływu ciepła: c div grad Q. (2.7) 0 W celu pisu fatu, że materiał słada się z różnych faz i mgą wystąpić tzw. przejścia (transfrmacje) fazwe stsujemy terię mieszanin. W gólnści mamy N faz materiału udziałach bjętściwych p, tzn. załadamy, że c N p, p c,,, 1 Załadamy ddatw, że N p p 1 N p, p, p 1. (2.8) 1 c 0, 0, 0, 0,1 N 1 p. (2.9) Pnieważ rzpatrujemy terię fenmenlgiczną, nie dwłującą się d cząsteczwej i atmwej strutury ciała, musimy zapstulwać ddatwe równania pisujące przejścia fazwe w materiale. Przejścia fazwe mgą między innymi zależeć d temperatury, jej prędści raz parametrów zależnych d mirstrutury ciała, pr. pt.3-5 artyułu raz np. [1-5,11,12,18,20,21,30-36,42-45,53]. Są t w gólnści relacje p pn, definiujące prces przejścia fazy p w inną fazę (lub fazy) p n. W wymieninej literaturze wyróżnia się cztery mżliwści reślenia braujących relacji p pn : a) pstuluje się funcje typu p g~,, p a, gdzie a jest ddatnim parametrem salarnym (mże t być taże zbiór n, ddatnich parametrów salarnych), b) dla ażdeg szuaneg pla równania inetyczne następującej gólnej pstaci:,, p, a, n 1,,, N p frmułwane są tzw. dp ~ p f n dt,, (2.10) c) pstulwane są relacje całwe, d) część relacji reśla się funcyjnie alb całw, a pzstałą część definiuje się równaniami różniczwymi pierwszeg rzędu. Z reguły 6
wyróżnia się dwa zasadnicz różne typy równań w uładzie (2.10), tóre dpwiadają przemianm dyfuzyjnym i bezdyfuzyjnym, pr. pt.3. W równaniach (2.10) występują parametry salarne, tóre interpretwane ja funcje salarne pzwalają na uwzględnienie ddatwych infrmacji przemianie fazwej. Na przyład w prgramie SYSWELD [49,50] mżliwe jest dłączenie d uładu (2.10) równania typu a, c pzwala pisać wzrst ziarna pdczas przemiany bainitycznej. Knsewentnie stsując terię mieszanin w równaniach (2.7)-(2.8) należy zapstulwać równania inetyczne (2.10) aby zdefiniwać relację p pn, pnieważ w przypadu nieustalneg przepływu ciepła mamy w gólnści x,t raz x,t. Z zależnści (2.9)4 wynia wprst, że równania (2.10) nie mgą być zupełnie dwlne, pnieważ: N 1 p 0. (2.11) Ddatw należy pamiętać pczyninych załżeniach, tóre prwadzą d równania różniczweg cząstweg (2.7). Knsewentną terię trzymamy wtedy gdy, mamy prócz relacji d (2.7) d (2.11), taże ddatw warune na sumaryczną gęstść mieszaniny, tzn. 0. (2.12) Oczywiście (2.12) jest zgdne z załżeniem, że ~ x. Należy zaznaczyć, że w przypadu cieczy i gazów nieczne jest inne sfrmułwanie, niż przedstawine pwyżej, c pazujemy w dalszej części teg puntu pracy. Z badań dświadczalnych nie mżna wyznaczyć bezpśredni pstaci uładu równań ~ różniczwych (2.10), czyli funcji f. Weryfiacji dświadczalnej pdlegają rzwiązania tych równań, c pażemy w dalszej części pracy. W apliacjach stsuje się szczególne przypadi równań typu (2.10), tórych dysusję przedstawiamy w pt.3. W celu pprawneg pstawienia zagadnienia nieustalneg przepływu ciepła musimy zadać waruni brzegwe i pczątwe raz uwzględnić tzw. waruni zgdnści, pr. [26,39]. W tym artyule (w jeg drugiej części) stsujemy między innymi waruni brzegwe z zadaną temperaturą na pwierzchni graniczającej ciał, p x,t, gdy x (2.13) raz waruni brzegwe z gradientem temperatury na pwierzchni, grad. n q( x,, t), gdy x q, (2.14) gdzie q jest zadaną sładwą strumienia ciepła prstpadłą d brzegu że q q. Przypminamy, q. (2.15) Kresa nad symblem w (2.15) znacza dmnięcie zbiru. Stsujemy taże nwecyjny warune brzegwy z prawem Newtna, wstawiając p prawej strnie równania (2.14) następującą zależnść: 7
gdzie x,t, t ( ) q, (2.16) 0 dla x q, zaś znacza współczynni przejmwania ciepła. Wielść 0 interpretujemy ja wartść temperatury śrda taczająceg rzpatrywane ciał. Należy zaznaczyć, że szczególnym przypadiem warunu brzegweg pstaci (2.14) jest warune, w tórym uwzględnia się praw Stefana-Bltzmana prmieniwaniu ciała dsnale czarneg, pr. np. [26,39] i literaturę tam cytwaną. 2.2. Sfrmułwanie z zastswaniem funcji entalpii W równaniach nieustalneg przepływu ciepła, wyniających z bilansu energii wewnętrznej, nie uwzględniliśmy ciepła utajneg przemian fazwych, c jest racjnalnym uprszczeniem, np. w zagadnieniach hartwania i dpuszczania stali. Ze względu na pczynine załżenia, zamiast równania (2.7) stsuje się w przypadu ciał zmieniających stan supienia sfrmułwanie z zastswaniem funcji entalpii H, pr. [49,50]: grad Q 0 H div, (2.17) gdzie załadamy H N p p H, (2.18) 1 raz (2.8)2 (2.8)4. Obecnie w (2.17) występuje pchdna materialna. Prces zmiany fazy materiału, z przedstawineg pwyżej fenmenlgiczneg puntu widzenia, jest związany z regularnścią funcji entalpii raz ddatwymi interpretacjami wewnętrznych źródeł ciepła. W pdejściu z ciepłem właściwym utrudnina jest interpretacja funcji c, pr. rys.2.1. Bez ddatwych załżeń alb ddatwych infrmacji w sfrmułwaniu równań bilansu nie mżna rzróżnić energii wewnętrznej d ciepła wywłująceg przemianę fazwą. Rys. 2.1. Idealizacja wyresów ciepła właściweg (przy stałym ciśnieniu) i entalpii w funcji temperatury ( s -temperatura slidusa, l - temperatura liwidusa). Suteczne apliacje równań (2.17) w zagadnieniach metalurgicznych dtyczą głównie prblemów szczegółwych, gdzie rzpatruje się np. pewne wyróżnine zjawisa ja np. hartwanie alb rzepnięcie metali, itp. Przyłady zadań z tym związanych (raz dnśnii 8
d literatury) zamieścimy w drugiej części artyułu. Wbec teg wygdne jest zapisanie równań (2.10) w niec innej pstaci, w tórej wyróżniamy ierune i rdzaj przemiany, tzn. niech gdzie ji p A,, p, p, a, i, j 1,, N, (2.19) i ij i j A ij reprezentuje ilść i-tej fazy, tóra zamieniła się na fazę j-tą w jednstce czasu. Wprwadzamy funcje L ij, tóre mają interpretację ciepła utajneg w tracie przejścia fazweg i j, pr. rys.2.2. Ciepł utajne jest bliczane na pdstawie znajmści funcji entalpii fazy i-tej raz j-tej, ij H H L. (2.20) j i Rys.2.2. Idealizacja wyresów współczynnia przewdzenia ciepła i entalpii w funcji temperatury w tracie przejścia fazweg i j. Zauważmy, że równanie bilansu (2.7) alb (2.17), p uwzględnieniu (2.19) i (2.20) raz nieściśliwści cieczy (2.12), mżemy zapisać w następującej pstaci: gdzie bwiązują zależnści (2.8) i (2.9) raz grad L A Q 0 c div, (2.21) ji ij ij dh c i i, (2.22) d jest ciepłem właściwym i-tej fazy przy stałym ciśnieniu. Pnieważ funcja entalpii mże nie być funcją różniczwalną w całym zaresie rzpatrywanych temperatur, napisane pwyżej równania lalne bwiązują w wyróżninych przedziałach temperatur. W zależnści d regularnści funcji entalpii mżna wyróżnić np. przejścia fazwe I i II rdzaju. Klasyfiacja teg typu jest isttna d interpretacji badań dświadczalnych. Pnieważ w analizie numerycznej będziemy psługiwali się tzw. sfrmułwaniem słabym równań lalnych, t wymagamy m.in. aby wszystie funcje występujące w pwyższym zagadnieniu term-metalurgicznym były całwalne. Na 9
przyład w prgramie SYSWELD [49,50] stsuje się aprsymację funcji entalpii w pstaci slejnych przedziałami funcji wadratwych względem temperatury. Mżliwa jest taże interpretacja ciepła utajneg występująceg w równaniu (2.21) ja siły wywłującej przemianę fazwą. Wyraźnie należy pdreślić, że nie rzpatrujemy w tym artyule zagadnień związanych z defrmacją ciała (alb ruchem cieczy), ani zagadnień dyfuzji z prawem Fica. W literaturze dtyczącej termdynamii prcesów nierównwagwych [47,39,52] zagadnienia związane z nieustalnym przepływem ciepła i lasyczną termdynamią (łącznie z zasadą Onsagera, pr. [15,40]) są, p rytyce Truesdella [51], przedmitem wielu prac charaterze badań pdstawwych. Ugólnienia dtyczą zarówn pdstawwych pjęć termdynamii raz prpzycji taich związów nstytutywnych aby trzymać równania falwe przewdnictwa ciepła. Czytelnia zaintereswaneg tymi zagadnieniami dsyłamy d pdręczniów [39,47,52] raz bszernej literatury źródłwej tam cytwanej. 3. DYSKUSJA STOSOWANYCH RÓWNAŃ KINETYCZNYCH Z przedstawinych w pt.2 zależnści wynia, że jednym z głównych czynniów decydujących adewatnści term-metalurgiczneg mdelu nieustalneg przepływu ciepła jest trafnść dbru równań (2.10) alb (2.19). Zanim przystąpimy d dysusji stswanych w literaturze mdeli, należy przeanalizwać sytuację gdy nie rzpatrujemy zagadnienia przepływu ciepła i znamy rzwiązanie uładu równań inetycznych (2.10) z daną funcją t. Zauważmy, że wtedy, przy dpwiednim dbrze parametrów w (2.10) i warunów pczątwych, rzwiązaniami uładu równań różniczwych (2.10) z pdanymi w pt.2 graniczeniami, są funcje gólnej pstaci:, p, a, t, n 1,,, N p g n,, (3.1) tóre muszą spełniać warune (2.8)4. W literaturze pświęcnej inematyce przejść fazwych z reguły rzpatruje się pstać funcji (3.1) w derwaniu d zagadnień przepływu ciepła alb dyfuzji. W tym nteście, równania (3.1) częst nazywa się równaniami empirycznymi alb nawet prawami, pr. np. [32,41,45,49,50,53]. Uzasadnienie pstaci funcji (3.1) wynia taże z mdeli, w tórych stsuje się elementy fizyi statystycznej, lasycznej termdynamii z ptencjałem chemicznym alb funcją Gibbsa i regułą faz Gibbsa, pr. np. [2,14,15] raz pdstawwych wyniów terii rystalizacji metali i stpów [7,19]. Klasyczne w tej dziedzinie są prace Avramieg [3-5] i innych, pr. prace przeglądwe [18,21,53] i literaturę tam cytwaną. W tym artyule będziemy stswali pewne szczególne funcje typu (3.1). Na przyład, w przypadu stali wyróżnia się funcje (3.1) dwóch zasadnicz różnych pstaciach: n t p, t p 1 exp, (3.2) p1 exp ( ) p m m, m. (3.3) W (3.2) i (3.3) wprwadziliśmy uprszczne znaczenia, gdzie p znacza udział bjętściwy wybranej fazy materiału. Funcja (3.2) stswana jest w przypadu przemian austenitycznych, ferrytyczn-perlitycznych i bainitycznych, tóre dpwiadają różnym typm tzw. przemian dyfuzyjnych realizwanych w warunach iztermicznych. Natmiast funcja 10
(3.3) stswana jest d pisu przemiany martenzytycznej. Funcję (3.2) nazywa się prawem Jhnsna-Mehla-Avrami eg, gdzie p reprezentuje udział bjętściwy danej fazy trzymanej w temperaturze p niesńcznym upływie czasu, jest tzw. czasem późnienia, a wyładni n steruje prędścią przemiany. Z lei funcję (3.3), tóra jest niezależna d czasu nazywa się prawem Kistinena-Marburgera. W (3.3) m interpretuje się ja temperaturę pczątu przemiany austenitu w martenzyt w tracie chłdzenia, p jest granicznym udziałem bjętściwym martenzytu, m jest parametrem. Częst w literaturze pświęcnej metalurgii, ze względu na prsttę sfrmułwania, pstuluje się uład równań różniczwych dla pewnej liczby faz materiału w płączeniu z równaniami algebraicznymi dla faz pzstałych. Nawet jeśli znamy rzwiązania pewnych szczególnych równań z uładów (2.10) przy zadanych warunach pczątwych, t należy pamiętać, że celem jest rzwiązanie bardziej złżneg zagadnienia brzegw-pczątweg, w tórym występuje sprzężenie własnści metalurgicznych i przepływu ciepła. Równania inetyczne (2.10) (alb (2.19)) są sfrmułwane dla ażdej cząsti ciała, czyli zagadnienie przepływu ciepła jest sfrmułwane dla materiału niejednrdneg, tóreg własnści sumaryczne w ażdym puncie bszaru nie są a priri znane. W nsewencji, ~ jednznaczne zdefiniwanie mdelu wymaga zaprpnwanie pstaci funcji f (alb A ij ) i warunów pczątwych dla uładu równań (2.10) (alb (2.19)). Przyładem uprszcznych równań (2.10) mgą być zależnści stswane d pisu przejść fazwych w prgramie SYSWELD [49,50]: gdzie funcja p, p p, (3.4), m p pisuje udział bjętściwy danej fazy w stanie ustalnym, funcja m zaś jest dpwiedniiem czasu późnienia. Oznacza t, że musimy znać ierune prcesu transfrmacji danej fazy m w fazę. W tzw. mdelu metalurgicznym Leblnda i innych [33,49], stsuje się szczególną pstać równań (3.4), tzn. eq p p p fm, (3.5) eq gdzie p jest udziałem danej fazy w stanie równwagi. Wyróżnia się taże mdele, tóre są ugólnieniem równań (3.5), tzn. w prawej strnie (3.5) wprwadza się mdyfiację ze złżeniem funcji ptęgwej i funcji lgarytmicznej zależnej d stsunu p d różnicy p p. Są taże mdele, w tórych nie uwzględnia się czasu późnienia. Mżemy więc eq prpnwać dwlną pstać funcji (3.5), pamiętając tyl, że celem tych mdyfiacji jest dtwrzenie dpwiednich diagramów przejść fazwych. Dysusja równań inetycznych (w derwaniu d zagadnienia nieustalneg przepływu ciepła) jest przedmitem wielu prac, pr. jedną z najnwszych prac w tej dziedzinie z 2002 ru [21], gdzie rzważania na ten temat zajmują pnad 100 strn. Z puntu widzenia metd numerycznych złżnść regularnych funcji występujących w równaniach inetycznych nie jest isttna. Zgdnść dysutwanych tu mdeli z wyniami badań dświadczalnych mżna uzysać stsując rzwiązania stsunw prstych uładów równań, tóre są zdefiniwane przedziałami. Wymaga się wtedy tyl ciągłści funcji względem i. Na przyład w prgramie SYSWELD [49,50] prpnuje się szczególną m eq 11
pstać równań (2.19) w sytuacji gdy w materiale mże zajść jedncześnie ila przemian fazwych. Oznacza t, że równanie inetyczne (2.19) dla danej fazy zależy taże d udziału bjętściweg innych faz, p, (3.6) gdzie załada się, że wyrażenie na indesem i i j, tzn.: A i A ij ji A ij nie zależy d udziałów fazwych innych niż znaczne ij K p ) ( K' p ). (3.7) ( i j i i j j W relacji (3.7) funcje Ki j i K' i j charateryzują reację i j i mgą być zależne d temperatury i prędści zmiany temperatury. Wprwadźmy ddatw K j K F, K' ' ' i j K F i. (3.8) Należy załżyć, że funcje występujące w (3.8) są funcjami ciągłymi. W najprstszej sytuacji mgą t być funcje dcinw liniwe, pr. pt.4. 4. PROSTE PRZYKŁADY IDENTYFIKACJI DANYCH METALURGICZNYCH I RÓWNAŃ KINETYCZNYCH Mdel nieustalneg przepływu ciepła z uwzględnieniem przejść fazwych pisany w pt.2 i 3 wymaga zdefiniwania właściwści termicznych i metalurgicznych rzpatrywaneg metalu. Należy pdreślić, że jest t zagadnienie złżne i wymaga uważnej analizy danych dświadczalnych. O ile dświadczalne ustalenie taich własnści ja ciepł właściwe, współczynni przewdzenia czy gęstść materiału nie przysparza więszych trudnści, t wyznaczenie parametrów prpnwanych równań inetycznych na udział bjętściwy danej fazy, nie tyl w funcji temperatury ale taże prędści temperatury, jest łptliwe. Ddatw parametry i funcje materiałwe mdelu w spsób isttny są zależne d rdzaju rzpatrywanych metali i ich stpów, częst nawet śladwe ilści ddatweg sładnia stpweg zmieniają drastycznie jeg własnści, [2,11,12,16,21,30,37,43,46,53], pr. taże pt.5. Celem teg puntu jest: pazanie interpretacji funcji występujących w najprstszej wersji mdelu pisaneg uładem równań różniczwych (3.5) (3.8), wyniów jaie mżna uzysać z teg mdelu i spsbu przygtwania danych d prgramu SYSWELD [49]. Rzpatrujemy dwa typy prcesów tzn. nagrzewanie i chłdzenie. 4.1. Przyład 1. Nagrzewanie Załóżmy, że stal mże sładać się z trzech następujących faz tzn.: 1-ferrytu, 2-bainitu i 3- austenitu. Pdczas grzewania mżliwe są następujące przemiany fazwe, nazywane austenityzacją, tzn.: a) przemiana ferrytu w austenit (1 3), b) przemiana bainitu w austenit (2 3). Z lei pdczas chłdzenia mżliwe są przemiany: c) austenitu w ferryt (3 1), d) austenitu w bainit (3 2). nazywane przemianą ferrytyczną (c) i bainityczną (d). W prcesie austenityzacji nie rzróżniamy fazy 1 d 2, czyli z (3.6) i (3.7) trzymamy, 12
p K p ) ( K' ), (4.1) 3 ( 1,23 1,23 p3 gdzie p p 1 p2 raz pamiętamy, że p p 1, 3 p p 0 3 (4.2) Uwzględniając (4.2)1 w (4.1) trzymamy gdzie p ( p, (4.3) 3 K1,2 3 K1,2 3 K' 1,23 ) 1,2 K F, ' ' ' 1,2 3 K F K 3 3 K. (4.4) Stsujemy d (4.4) następujące pdstawienie eq p K, K 1 eq p F. (4.5) ', F' 1 Otrzymamy w ten spsób mdel równań inetycznych zgdnych z (3.6)-(3.7) raz (3.5), gdzie f 1. Równanie (4.3) ma wtedy następującą pstać: 1,23 θ 1 p3 θ θ eq p p 3. (4.6) Niech przemiana austenityczna w przypadu a i b będzie pisana funcjami p eq () i (), p i eq pdanymi na rys. 4.1. W przyjętych funcjach θ θ mżemy wyróżnić pewne charaterystyczne punty, tj. θ ac1, θ ac3, θ i, tóre reślają przedziały w jaich należy pszuiwać rzwiązania równania (4.6). Temperatury θ ac1 i θ ac3 są charaterystycznymi wielściami dla ażdej stali i znaczają dpwiedni temperaturę pczątu przemiany eutetidalnej przy nagrzewaniu raz temperaturę równwagi udziałów bjętściwych między ferrytem a austenitem przy nagrzewaniu. Należy zaznaczyć, że w prcesie nieustalneg przepływu ciepła mamy dla ażdej cząsti ciała t. Rys. 4.1. Funcje definiujące równanie przemiany austenitycznej wg (4.7). 13
W przypadu prcesów iztermicznych rzwiązanie analityczne równania inetyczneg pisująceg zmianę w czasie udziału bjętściweg austenitu (4.6) z waruniem pczątwym p 0, ma następującą pstać: 3 t p p 3 t p eq θ t p t 1 exp. (4.7) θ p i eq Charaterystyczne punty w przyjętych funcjach θ θ wg rys. 4.1, reślają przedziały, w tórych mżemy pdać szczegółwą pstać funcji (4.7). Jeżeli: 0,, t p eq θ 0 raz θ 1 i w nsewencji p 3 t 0, i) ac1 ii), ac 1 ac3, t w (4.7) pdstawiamy ac1 p eq θ i θ ac3 ac 1 iii), ac, t peq θ 1 i 1 ac1 θ, 3 iv),, t p eq θ 1 i θ. Wyresy pwyższych funcji dla następujących danych: θ 850 C i 0.1s zamieszczn na rys. 4.2. ac1 1 ac1, ac1 θ 700 ac 1 C, θ 800 3 C ac, Rys. 4.2. Wyresy udziału bjętściweg fazy austenitu w funcji czasu w tracie prcesów iztermicznych: 1) θ 710 C, 2) θ 740 C, 3) θ 800 C, 4) θ 810 C, 5) θ 830 C, 6) θ 850 C. p i eq Ze względu na pstać funcji θ θ bez trudu mżna znaleźć rzwiązania analityczne równania (4.6) w funcji temperatury i w wymieninych pwyżej charaterystycznych przedziałach, przy załżeniu, że dana jest stała wartści prędści temperatury, pnieważ dp3 p θ 3. Rzwiązań tych równań nie pdajemy, gdyż są ne szczegółw dθ przedysutwane w pdręczniu prgramu SYSWELD [50]. Standardw w prgramie SYSWELD dstępne są prcedury weryfiujące rzwiązania równań inetycznych raz mduł graficzny służący d wyreślenia ich rzwiązań w pstaci dpwiednich diagramów, c pazujemy w Przyładzie 2, dtyczącym chłdzenia raz w pt.5. Wymienine prcedury są pmcne d wstępnej weryfiacji danych metalurgicznych. Dane d prgramu SYSWELD przygtwujemy ta ja w tablicy. 4.1, gdzie przyjęt: θ 700 ac 1 C, 14
θ 800 ac 3 C, θ 850 C i 0.1s. Oczywiście funcje (4.4) są identyczne dla fazy 1 i 2. Przyład ten uzasadnia stswanie mdeli term-metalurgicznych nieustalneg przepływu ciepła, w tórych zamiast równań różniczwych stsuje się równania algebraiczne, pr. pt.2. Tablica 4.1. Strutura danych w przypadu przemiany austenitycznej (identyczna dla fazy 1 i 2). C <700 700 750 800 850 900 950 1000 K 0 0 0.39 0.95 1.82 2.5 4 10 K ' 0 1 0.78 0.48 0 0 0 0 4.2. Przyład 2. Chłdzenie W przypadu chłdzenia, z reguły sytuacja jest bardziej złżna. Przemiany c i d są eq pisane funcjami p ( ) i ( ), tórych pstać pdana jest na rys. 4.3 i 4.4. W przemianach tych ważne jest prócz teg, nawet w najprstszym mdelu, uwzględnienie wpływu zmian prędści temperatury, pr. rys. 4.4. W prgramie SYSWELD wszystie wymienine pwyżej funcje mżna aprsymwać dcinw-liniw. Stwarza t mżliwść jednawej algrytmizacji bliczeń numerycznych równań inetycznych raz w przypadu najprstszych równań w tym uładzie zastswania ich rzwiązań analitycznych, pr. przyład z nagrzewaniem, pt.2 raz pdręczni prgramu SYSWELD [49]. W przyładzie tym nie rzwiązujemy analitycznie tych równań, tyl stsujemy preprcesr prgramu SYSWELD. Wyrzystujemy taże ddatwe prcedury teg prgramu umżliwiające prezentację rzwiązań równań inetycznych w pstaci diagramów CCT i IT. Należy zaznaczyć, że celem wielu prac dtyczących przemian fazwych jest tyl dtwrzenie tych diagramów na pdstawie inetycznych mdeli metalurgicznych, pr. np. [21, 53]. Rys. 4.3. Funcje definiujące równanie inetyczne przemiany ferrytycznej. 15
Rys. 4.4. Funcje definiujące równanie inetyczne przemiany bainitycznej. Przemiany c) i d) mają różne równania inetyczne, c wynia z elementarnych bserwacji metalurgicznych. Mamy teraz następujące relacje: gdzie p K p ) ( K' ), p K p ) ( K' ), (4.8) 1 ( 31 3 31 p1 K, ' 31 K1 2 ( 32 3 32 p2 K ' 3 1 K1, K K F 3 2 2, ' ' ' 3 2 K2 F Przyjmujemy w (3.8) dla przemiany bainitycznej, że F f D (4.9) pdstawiamy eq pi K i, Ki i K. (4.9) F ', zgdnie z rys.4.4. eq i 1 p ', i 1, 2, (4.10) trzymując równanie inetyczne zgdne z (3.5). Dane d prgramu SYSWELD przygtwujemy ta ja w tablicy 4.2 i 4.3. Tablica 4.2. Strutura danych w przypadu przemiany ferrytycznej. C 575 600 650 700 750 800 >800 K 0.0001 0.01 0.0075 0.005 0.0025 0 0 K ' 0 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0 Tablica 4.3. Strutura danych w przypadu przemiany bainitycznej. C 425 450 480 510 530 550 >550 K 0.2 0.18 0.16 0.1 0.05 0 0 K ' 0 0.02 0.04 0.1 0.15 0.2 0 W celu scałwania uładów równań inetycznych (4.8) d (4.10) zastswan prcedurę prgramu SYSWELD [49]. W wyniu trzyman standardwe diagramy CCT (przejścia fazwe w tracie chłdzenia przy różnych, stałych prędściach zmian temperatury) i IT (przejścia fazwe w różnych ustalnych temperaturach) raz wyresy udziałów bjętściwych pszczególnych faz w funcji czasu dla ustalnych prędści zmian temperatury pdczas chłdzenia: a) ferrytu, b) bainitu i c) austenitu. Diagramy i wyresy służą d weryfiacji dświadczalnej zaprpnwanych mdeli raz częst są wyrzystywane w planwaniu technlgii bróbi cieplnej metali, np. hartwania i dpuszczania. Przyładw na rys. 4.5 zamieszczn diagram CCT. Jeżeli bserwuje się niezgdnść teretycznych diagramów z danymi z dświadczeń t mżliwe są dwie drgi i 16
ich mdyfiacji z zastswaniem prcedur prgramu SYSWELD. Mżemy więc iteracyjnie mdyfiwać aprsymacje dcinw-liniwe zadanych funcji (wg rys. 4.3 i 4.4) alb zastswać dstępne nieliniwe mdele inetyczne, pr. pt.5 gdzie mawiane zagadnienie ilustrujemy na przyładzie stali 16MnCr5. Rys. 4.5. Diagram CCT dla przemian ferrytycznej i bainitycznej w tracie chłdzenia. 5. PODSTAWOWE DANE TERMICZNO-METALURGICZNE STALI 16MnCr5 W Części 2 pdajemy przyłady rzwiązań numerycznych zagadnień nieustalneg przepływu ciepła dla stali sładzie chemicznym pdanym w tablicy 5.1 (pr. taże znaczenia pdane w tablicy 5.2). Zamieszczamy w tym puncie tyl najważniejsze etapy ustalenia danych dla wymieninej stali, ddatwe szczegółwe infrmacje spsbie ich zastswania w analizie MES zawarte są w pt.4 raz w pdręczniach paietu prgramów SYSTUS [48] i SYSWELD [49,50]. Tablica 5.1. Sład chemiczny stali 16MnCr5 (w %, wagw). C Mn Si P S Cr Ni Cu Cr+Ni+Cu Nb Alall max. max. max. max. max. max. max. max. max. - min. 0,16 1,6 0,55 0,035 0,035 0,3 0.3 0.3 0.7 0.02 d 0.08 0.015 Tablica 5.2. Stswane znaczenia stali sładzie chemicznym zbliżnym d pdaneg w tablicy 5.1. Czechy 11 503 ASTM SA 516 Grade 65-70 Wiela Brytania B.S. 1501-224 Gr. 30 A - 32 A Niemcy DIN 17155 H. IV lub 17 Mn 4 17
5.1. Przygtwanie danych Zauważmy, że zgdnie z równaniami (2.7) i (2.8) (alb 2.21) musimy dyspnwać danymi dświadczalnymi dtyczącymi pszczególnych faz rzpatrywanej stali 16MnCr5. Knieczna jest znajmść ciepła właściweg, ciepła utajneg (alb funcji entalpii pszczególnych faz stali), gęstści i współczynnia przewdzenia ciepła. Dla ażdej fazy materiału są t funcje zależne d temperatury. W stali tej wyróżnia się cztery charaterystyczne fazy: faza 1 (mieszanina ferrytu i perlitu), faza 2 (bainit), faza 3 (martenzyt) i faza 4 (austenit). a) b) 3 Rys. 5.1. Ciepł właściwe J/(g K) (a) raz gęstść g/m (b) pszczególnych faz stali 16MnCr5 w funcji temperatury. Zauważmy, że funcje ciepła właściweg i gęstści są funcjami mntnicznymi i dla faz 1, 2 i 3 są jednawe. Wyróżnina jest tyl faza austenitu. Z wyresów pdanych na rys. 5.1a wynia, że dla temperatury ł 400 C mże zachdzić przemiana fazwa w stali. Z diagramu CCT pdaneg na rys. 5.3 wynia, że jest t przemiana martenzytyczna. Temperatura przemiany martenzytycznej jest charaterystyczną wielścią dla danej stali. Z diagramu CCT wynia taże, że przemiana ta zachdzi przy stsunw dużych prędściach chłdzenia, c jest zgdne z elementarnymi dświadczeniami związanymi z hartwaniem stali, pr. pt.6. Faza martenzytu jest metastabilną fazą stali. Ddatwe infrmacje przemianach fazwych wyniają z wyresów pdanych na rys. 5.2. Zmiennść współczynnia przewdzenia ciepła, patrz rys. 5.2a, infrmuje mżliwych dwóch lejnych przemianach, c wynia taże z interpretacji wyresu funcji entalpii (rys. 5.2b). Pierwsza z nich ma charater dyfuzyjnej przemiany metalurgicznej, druga zaś jest przemianą ciała stałeg w ciecz. Temperatura tpnienia (rzepnięcia) jest taże charaterystyczną cechą danej stali, łatw wyznaczalną w dświadczeniu. Z lei interpretacja przemianach fazwych np. ferrytu i perlitu w bainit wymaga ddatwych badań mirstrutury stali, w płączeniu z dpwiednią interpretacją testów nagrzewania/chłdzenia próbe materiału, tóre w więszści przypadów są prcesami nierównwagwymi, pr. [14,24,25,38]. Jest t pdstawwa trudnść w zaplanwaniu, przeprwadzeniu i interpretacji badań dświadczalnych, gdyż nawet w prstych próbach służących np. d wyznaczenia diagramu CCT mamy zagadnienia brzegw-pczątwe nieustalneg przepływu ciepła, pr. pt.6. 18
a) b) Rys.5.2. Współczynni przewdzenia ciepła K) pszczególnych faz stali 16MnCr5 w funcji temperatury. 4 3 W/(m (a) raz entalpia J/m 10 (b) dla Pdbnie ja w pt.4 należy przygtwać dane metalurgiczne, tj. funcje w relacjach definiujących przejściach fazwe. Wybieramy drgę, w tórej a priri znamy diagram CCT wyreślny na pdstawie badań dświadczalnych. W przypadu rzpatrywanej stali diagram ten pdany jest na rys. 5.3. Rys. 5.3. Diagram CCT dla stali 16MnCr5 (dane dświadczalne). Wstępne przygtwanie danych plega na idealizacji diagramu CCT, tzn. wybrze charaterystycznych puntów na tym diagramie, tóre dpwiadają reślnym prędścim chłdzenia. Wybiera się punty na liniach reślających pcząte i niec danej przemiany. Puntm tym dpwiadają udziały bjętściwe danej fazy stali przy załżeniu stanu równwagweg. Celem jest wyznaczenie funcji, tóre pisaliśmy w pt.4. Pstępwanie musi być iteracyjne, gdyż weryfiacja danych plega na prównaniu teretyczneg diagramu CCT, tóry wynia z rzwiązania numeryczneg równań inetycznych, z diagramem dświadczalnym. Zamieszczamy w pracy tyl ńcwe wynii analizy, w tórej 19
rzpatrywane są dwa mdele pisujące inetyę przejść fazwych, tzn. liniwy i nieliniwy mdel Leblnda, pr. pt.3. Dane d liniweg mdelu Leblnda przygtwan przy załżeniu, że pdczas grzewania (tzw. austenityzacji) mżliwe są następujące przemiany: a) mieszaniny ferrytu i perlitu w austenit (1 4), b) bainitu w austenit (2 4), c) martenzytu w austenit (3 4). Funcje definiujące ten mdel pdane są w tab. 5.3. Występujące tam funcje zdefiniwan w pt.4. Tablica 5.3. Funcje definiujące równania inetyczne w prcesie austenityzacji. C 736 836 1500 K 0 100 1000 C 730 736 836 K ' 0 1 0 K i K ' Uwaga: Oreślenie funcji materiałwych przy grzewaniu wymaga znajmści np. tzw. diagramu TTA (time-temperature-austenitisatin). Pnieważ nie dyspnwan tym diagramem t dane dtyczące przemian fazwych przy grzewaniu przyjęt pdbnie ja w pt.4 i zgdnie z zaleceniami pdanymi w [49]. Z lei pdczas chłdzenia mżliwe są przemiany ferrytyczn-perlityczna, bainityczna i martenzytyczna tj. przemiana: d) austenitu w mieszaninę ferrytu i perlitu (4 1), e) austenitu w bainit (4 2), f) austenitu w martenzyt (4 3). Funcje definiujące te przemiany pdane są w tab. 5.4 i 5.5. Tablica 5.4. Funcje definiujące równania inetyczne przy przejściu fazwym z austenitu w mieszaninę ferrytu i perlitu. C 609 610 685 K 0 0.0036 0 C 610 685 686 K ' 0 0.0036 0 C/s -13.3-4.3 f f ' 1 0.65 ' 20
Tablica 5.5. Funcje definiujące równania inetyczne przy przejściu fazwym z austenitu w bainit. ' C/s C 399 400 610 K 0 0.04 0 C 400 610 611 K ' 0 0.04 0-37.1-9.5-3.5-2.2 f f ' 1 2.5 1.2 0.9 Ja już wspmnian dmienny charater ma przemiana martenzytyczna. Opisuje ją równanie inetyczne analgiczne ja (3.3) z parametrami 400 m C i m 0. 02. W przypadu danych d mdelu nieliniweg nieczne jest taże pstępwanie iteracyjne, w tórym jedncześnie zmieniamy funcje pdane w tab. 5.3-5.5 raz funcję n w przemianach dyfuzyjnych, pr. (3.2). Prcedura ta nie jest zalgrytmizwana w prgramie SYSWELD, gdyż prwadzi na d zagadnienia ptymalizacji nieliniwej. Oznacza t, że mżliwe są równważne zbiry parametrów funcji w równaniach inetycznych, tóre prwadzą d pdbnej aprsymacji diagramu CCT. 5.2. Wstępna weryfiacja danych Na pniższych rysunach zaprezentwan diagramy CCT dtwrzne według mdeli Leblnda w dwóch przypadach: a) dla n 1 (mdel liniwy ), b) dla n (mdel nieliniwy ). Rys.5.4. Diagram CCT uzysany z mdelu Leblnda parametrach zamieszcznych w tab.5.3-5.5 - przy załżeniu, że n 1. 21
Rys.5.5. Diagram CCT uzysany z nieliniweg mdelu Leblnda. Prównując rys.5.4 z rys.5.5 widzimy jaściwe różnice w dtwarzanych diagramach CCT. Dtyczą ne głównie przemiany martenzytycznej i bainitycznej. Z rys.5.4 i 5.5 wynia 3 m.in., że w przedziale czasu d. 10 s, niezależnie d szybści chłdzenia zawsze p ustaleniu się równwagi (czyli p całwitym chłdzeniu) trzymamy martenzyt pdbnie ja na diagramie dświadczalnym, pr. rys.5.3. Tyl przy stsunw małych prędściach 3 chłdzenia w przedziale czasu pwyżej 10 s udział martenzytu jest pmijalnie mały. Prównując diagramy zamieszczne na rys.5.4 i 5.5 mżna zauważyć, że mdel nieliniwy przewiduje jaściw pprawnie przemianę martenzytyczną w przedziale czasu pwyżej 3 10 s. Należy pdreślić, że na diagramach CCT zamieszczne są wynii numeryczne rzwiązań równań różniczwych dla a priri ustalneg zbiru prędści temperatury, c ma wpływ na wizualizację teg diagramu, pr. rys.5.5 z rys.5.6. Oczywiście nie ma t wpływu na rzwiązanie zadań brzegw-pczątwych, gdyż sam diagram nie stanwi danych wejściwych d prgramu, tyl funcje definiujące równania inetyczne. Pdbne wnisi jaściwe z prównania wymieninych diagramów mżna sfrmułwać w przypadu przemiany bainitycznej. Zastswanie nieliniweg mdelu Leblnda prwadzi d lepszej zgdnści przewidywań teretycznych z badaniami dświadczalnymi niż mdel liniwy. Przyład ten ilustruje spsób wstępnej weryfiacji mdelu teretyczneg z wyniami badań dświadczalnych, tóry pwinien pprzedzać etap bliczeń numerycznych zadań brzegw-pczątwych. Ddatw na rys. 5.7 zamieszczn rzwiązania uładu równań inetycznych dla pszczególnych faz materiału przy różnych prędściach chłdzenia. Wyresy te mgą być pmcne d pprawnej interpretacji wyniów numerycznych złżnych zadań brzegwpczątwych nieustalneg przepływu ciepła. Ze względu na zastswaną terię mieszanin w zadaniu nieustalneg przepływu ciepła w sfrmułwaniu MES, w ażdym puncie Gaussa pszczególnych elementów sńcznych, mamy jaściw pdbny charater rzwiązań równań inetycznych, tóre zależne są d histrii zmian pla temperatury i jeg prędści. 22
Rys.5.6. Druga wersja diagramu CCT według nieliniweg mdelu Leblnda. a) b) c) d) Rys. 5.7. Wyresy udziałów bjętściwych pszczególnych faz w funcji czasu dla ustalnych, różnych prędści zmian temperatury pdczas chłdzenia: a) ferrytu i perlitu, b) bainitu, c) martenzytu i d) austenitu. 23
Analizując diagramy CCT dla stali 16MnCr5, zamieszczne np. w [49], różnych udziałach prcentwych węgla, dpwiedni 0.16%, 0.33%, 0.53% i 1.00%, mżna sfrmułwać cztery pdstawwe wnisi: i) ze wzrstem udziału węgla bniża się temperatura przemiany martenzytycznej, z 400 Cdla stali udziale bjętściwym węgla 0.16% d ł 180 C dla stali zawartści węgla 1.00%, ii) charater przemian fazwych jest bardz zbliżny, c sugeruje, że mżna zastswać ten sam mdel pisujący inetyę przejść fazwych, iii) przemiana bainityczna wraz ze wzrstem zawartści węgla zachdzi w węższym zaresie szybści chłdzenia, iv) wzrst zawartści węgla w stali pwduje, że twardść HV trzymanej w tych samych warunach stali (tj. dla taiej samej szybści chłdzenia), rśnie nawet z 423HV (0.16%) d 875HV (1.00%) przy najwięszych szybściach chłdzenia. 6. TEST JOMINY EGO Zanim przystąpimy d jaściwej analizy próby Jminy eg dwłamy się d dświadczeń związanych z hartwaniem stali. Przy chłdzeniu wyrbów stalwych z dpwiednią szybścią stsunw łatw uzysać struturę martenzytyczną na pwierzchni wyrbu [2]. Znaczne trudnści pjawiają się jedna przy hartwaniu dużych przedmitów. Oznacza t, że sztua hartwania stali pwinna być dryta w technlgii prducji wyrbów stalwych dwurtnie, tzn. mamy tu na myśli res, w tórym ze stali wytwarzan tyl małe wyrby (ze względu na cenę teg materiału) i czasy współczesne z prducją stali w sali przemysłwej. Wypalisa archelgiczne wsazują, że pierwsze przedmity i części brni z żelaza wytwarzane były spradycznie już 5000 lat temu, czyli w tzw. epce brązu, pr. [42]. Hetyci już. 1000 lat p.n.e. panwali na tyle umiejętnść prducji brni z żelaza, że przewyższała na walrami użytwymi brń wytwarzaną z brązu, c znacza znajmść sztui jej hartwania. Żelaz pzysiwan z rud raz zdarzały się przypadi wyrzystywania meterytów, w tórych sładzie był żelaz z dmieszami np. nilu [2,42]. W starżytnści znane były prężne śrdi prduujące żelazną brń, zarówn w Eurpie, Azji ja i w Afryce [42]. Otrzymywan w ten spsób tzw. żelaz zgrzewane. W tracie wytapiania rudy wytwarzane były bardz małe ilści żelaza, dlateg pwszechne był łączenie awałów żelaza w wyniu bróbi cieplnej i ucia. Opis tych prcesów znajdziemy m.in. w mngrafii Lancastera pświęcnej metalurgii i spawaniu [32]. Osiągnięcia starżytnych rzemieślniów w tej dziedzinie d dzisiaj budzą zdziwienie i pdziw metalurgów. Na przyład, w jednej z najnwszych prac histrii metalurgii Pense [42] wyazuje, badając m.in. mirstruturę i twardść pszczególnych części wyrbów żelaznych prduwanych w starżytnści, że świadmie (. 500 lat p.n.e) stswan umacnianie stali przez hartwanie i dpuszczanie, zwłaszcza przy prducji mieczy, sztyletów i nży. Świadczy tym m.in. becnść w strzach martenzytu ( twardści. 640 HV) raz prawidłwym uładzie warstw stali struturze perlitycznej ( twardści. 350 HV) i ferrytycznej ( twardści. 250 HV). Kntrlwanie prcesu hartwania i dpuszczania stali, przy maswej prducji wyrbów stalwych, siągnięt dpier p II wjnie światwej. Pmim ta długiej histrii zagadnienie t jest ciągle atualne, pr. [2, 22,23,53]. 24
6.1. Opis próby Jminy eg hartwnści stali Wynii trzymane w próbie Jminy eg stswane są d ceny hartwnści stali. W teście tym, próbę w pstaci walca znrmalizwanych wymiarach, patrz rys.6.1, nagrzewa się d temperatury austenityzacji, przetrzymuje w tej temperaturze, a następnie na jeden z ńców pręta natrysuje się strumień wdy. Wbec teg, wzdłuż si pręta szybść chłdzenia jest różna. P całwitym chłdzeniu mierzy się twardść HV wzdłuż si pręta. Im więsza jest hartwnść stali tym więsza jest jej twardść. Oczywiście w tym dświadczeniu mamy d czynienia z nieustalnym przepływem ciepła przez próbę i przemianami fazwymi w stali. Knieczne jest wbec teg uzupełnianie teg testu badaniami mirstrutury Rys.6.1. Schemat testu Jminy eg. metali raz analizą przejść fazwych, pr. np. [5,8]. Z prównania najnwszych prac dtyczących interpretacji teg typu badania wynia, że nieczne jest uwzględnienie w interpretacji tej próby prcesów nierównwagwych termdynamii. W artyułach [9,24,35] zauważn, że pdstawwą trudnścią rzwiązania zadania nieustalneg przepływu ciepła w próbie Jminy eg jest ustalenie adewatnych warunów brzegwych i pczątwych raz uwzględnienie w bliczeniach przejść fazwych stali. O ile symulacja MES pierwszej części esperymentu jest zadawalająca, na c wsazują wynii pracy [35] z 2002 ru, t symulacja MES zadania ntatweg jaim jest próba twardści HV jest prblemem twartym. 6.2. Symulacja MES testu Jminy eg Test Jminy eg mdelujemy ja zadanie siw-symetryczne, c wynia z ształtu próbi raz warunów brzegw-pczątwych zadania, pr. rys.6.1. Siata MES zawiera 2140 elementów siw-symetrycznych z liniwymi funcjami ształtu 2121 węzłach. Stsujemy algrytm implicit i BFGS, pr. [28,49,50]. Na brzegu dlnym próbi załadamy nwecyjne waruni brzegwe (2.16) mdelujące chłdzenie próbi strumieniem wdy. Współczynni przejmwania ciepła przez wdę w funcji temperatury pdany jest w tablicy 6.1. Należy zauważyć, że współczynni ten nie jest funcją mntniczną temperatury i przyjmuje estremalną wartść w temperaturze. 130 C. Na pzstałych brzegach próbi załadamy warune uwzględniający nwecję (przejmwanie ciepła przez pwietrze) i prmieniwanie. W warunu brzegwym prmieniwania stsujemy praw Stefana- Bltzmana prmieniwaniu ciała dsnale czarneg, q 4 0 4 e( T T ), (6.1) gdzie: T 0 jest temperaturą taczająceg śrda, T jest temperaturą na brzegu (literą rdzeniwą T znaczamy temperaturę w elwinach), zaś e jest współczynniiem prmieniwania. Współczynni prmieniwania e wyraża się wzrem e, gdzie jest 8 stałą Bltzmana ( 5.669x 10 W / m 2 K 4 ), zaś t emisyjnść pwierzchni. Przyjęt: dla pwietrza 20 W/(m 2 K) w (2.16) raz emisyjnść pwierzchni stali 0. 9 w (6.1). W warunach pczątwych załżn w próbce temperaturę 900 C raz 100% udział austenitu. 25