Laboratorium Podstaw Pomiarów

Laboratorium Podstaw Pomiarów Ćwiczenie 5 Pomiary rezystancji Instrukcja Opracował: dr hab. inż. Grzegorz Pankanin, prof. PW Instytut Systemów Elektronicznych Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska Warszawa 2019 v. 5.0 Warszawa 2017

Ćwiczenie 5 Pomiary rezystancji 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami pomiaru rezystancji i występującymi w nich błędami pomiarowymi. 2. Tematyka ćwiczenia pomiary rezystancji metodą techniczną, pomiary rezystancji metodą mostkową (mostek Wheatstone a), pomiary rezystancji za pomocą omomierza, pomiary małych rezystancji w układzie czteroprzewodowym. 3. Umiejętności zdobywane przez studentów umiejętność połączenia układu zgodnie ze schematem, umiejętność poprawnego doboru rezystancji wzorcowej przy pomiarze pośrednim prądu, umiejętność równoważenia mostka pomiarowego, umiejętność zapisywania wyników pomiarów w poprawny sposób (z precyzją zapewnianą przez przyrządy pomiarowe), umiejętność obliczania błędów i niepewności oraz określania precyzji ich zapisu, umiejętność analizy uzyskanych wyników (w tym ich porównywania) oraz opracowywania wniosków. 4. Teoria 4.1. Metoda techniczna Metoda techniczna pomiaru rezystancji jest metodą pośrednią, która polega na pomiarze prądu płynącego przez rezystor i spadku napięcia na tym rezystorze. Za wynik pomiaru w tej metodzie uznajemy iloraz tych dwóch wielkości R = U I (5-1) gdzie U jest wskazaniem woltomierza, a I wskazaniem amperomierza. Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 2

Metoda techniczna jest realizowana w dwóch podstawowych układach: z poprawnie mierzonym prądem (Rys. 5.1a), z poprawnie mierzonym napięciem (Rys. 5.1b). a) b) A I I A E V U E V U Rys. 5.1. Układy do pomiaru rezystancji metodą techniczną: a) z poprawnie mierzonym prądem, b) z poprawnie mierzonym napięciem W układzie z poprawnie mierzonym prądem (Rys. 5.1a) napięcie zmierzone za pomocą woltomierza jest sumą spadków napięć na badanym rezystorze i na amperomierzu. Źródłem błędu metody jest spadek napięcia na amperomierzu. Natomiast w układzie z poprawnie mierzonym napięciem (Rys. 5.1b) błąd metody wynika z faktu, że amperomierz mierzy sumę prądu płynącego przez badany rezystor oraz prądu płynącego przez woltomierz. Łatwo zauważyć, że w układzie z poprawnie mierzonym prądem błąd metody będzie tym mniejszy, im mniejszy będzie stosunek rezystancji wewnętrznej amperomierza do rezystancji mierzonej (tworzy się dzielnik napięciowy). Z kolei w układzie z poprawnie mierzonym napięciem błąd metody będzie tym mniejszy, im większy będzie stosunek rezystancji wewnętrznej woltomierza do rezystancji mierzonej (tworzy się dzielnik prądowy). W praktyce najczęściej bezpośredni pomiar prądu płynącego przez badany rezystor zastępuje się pomiarem pośrednim, wykorzystującym pomiar spadku napięcia na rezystorze wzorcowym o znanej wartości (Rys. 5.2). V 2 V 2 a) b) R wz R wz E V 1 E V 1 Rys. 5.2. Zmodyfikowane układy do pomiaru rezystancji metodą techniczną: a) z poprawnie mierzonym prądem, b) z poprawnie mierzonym napięciem Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 3

Analiza błędu pomiarowego W metodzie technicznej wyróżniamy dwie podstawowe kategorie błędu: błąd systematyczny metody, niepewność pomiarową. Dla układów z Rys. 5.1 niepewność standardowa względna pomiaru gr wyrażona jest wzorem u rel (R) = u 2 rel (U) + u 2 rel (I) = ( δ 2 gu 3 ) + ( δ 2 gi 3 ) (5-2) a dla układów z Rys. 5.2 wzorem u rel (R) = u 2 rel (U 1 ) + u 2 rel (U 2 ) + u 2 rel (R wz ) = = ( δ 2 gu 1 3 ) + ( δ 2 gu 2 3 ) + ( δ 2 gr wz 3 ) (5-3) gdzie gu i gi oznaczają niepewności graniczne względne pomiaru napięcia i prądu, a gu tolerancję opornika wzorcowego. Dla układu z poprawnie mierzonym prądem (z Rys. 5.1a) błąd metody wyraża się zależnością a dla układu z Rys. 5.2a zależnością δ m = R 100% (5-4) δ m = R A 100% = R A 100% (5-5) R R A δ m = R wz 100% = R wz R R wz 100% (5-6) Natomiast dla układu z poprawnie mierzonym napięciem (z Rys. 5.1b i 5.2b) wyrażenie na błąd metody przybiera postać δ m = 100% = R 100% (5-7) R V + R V W powyższych wzorach Rx oznacza wartość rzeczywistą mierzonej rezystancji, natomiast R oznacza surowy wynik pomiaru wyrażony zależnością (5-1). Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 4

Aby błąd metody był jak najmniejszy, w układzie z poprawnie mierzonym prądem rezystancja mierzona Rx powinna być jak największa względem rezystancji amperomierza RA (Rys. 5.1a) lub rezystancji rezystora wzorcowego Rwz (Rys. 5.2a). Natomiast w układzie z poprawnie mierzonym napięciem (Rys. 5.1b lub 5.2b) rezystancja mierzona Rx powinna być jak najmniejsza względem rezystancji woltomierza V lub V1. W układzie z poprawnie mierzonym napięciem wartość rezystancji Rwz wpływa tylko na wartość mierzonego napięcia U2 (nie wpływa na błąd metody). Można więc wybrać wartość Rwz na tyle dużą, aby zminimalizować niepewność pomiaru napięcia U2 (pomiar małych wartości napięcia może prowadzić do wzrostu niepewności względnej). 4.2. Metoda mostkowa mostek Wheatstone a Metoda pomiaru rezystancji w układzie mostka pomiarowego, zwana zwyczajowo mostkową, należy do grupy metod zerowych. Zwykle jest wykorzystywana do precyzyjnych pomiarów rezystancji w sytuacji, gdy znamy jej przybliżoną wartość. Konfiguracja mostka Wheatstone a jest przedstawiona na Rys. 5.3. Ramiona, w których występują rezystancje R3 i R4, nazywane są ramionami stosunkowymi mostka. R 2 E V R 4 R 3 Rys. 5.3. Mostek Wheatstone a Z warunku równowagi mostka wynika zależność na rezystancję mierzoną R 3 = R 2 R 4 (5-8) = R 4 R 3 R 2 (5-9) W układzie mostka Wheatstone a występują następujące składniki niepewności pomiaru, które można wyrazić przez niepewność standardową względną: niepewność standardowa względna wzorców u rel (R i ), niepewność standardowa względna rozdzielczości u rel (R r ), niepewność standardowa względna nieczułości u rel (R n ). Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 5

Niepewność wzorców wynika z faktu, że rezystory R3 i R4 w mostku oraz opornik dekadowy R2 są wykonane z ograniczoną precyzją i dokładnością. Niepewność standardowa względna wzorców wyraża się zależnością u rel (R i ) = u 2 rel (R 2 ) + u 2 rel (R 3 ) + u 2 rel (R 4 ) = = ( δ 2 gr 2 3 ) + ( δ 2 gr 3 3 ) + ( δ 2 (5-10) gr 4 3 ) gdzie δ g R 2, δ g R 3, δ g R 4 oznaczają względne niepewności graniczne rezystorów R2, R3, R4. Niepewność rozdzielczości wynika z faktu, że regulacja opornika dekadowego odbywa się w sposób skokowy (dla oporników dekadowych w minimalny skok wynosi 0,1 ). Niepewność standardowa względna rozdzielczości jest wyrażona wzorem u rel (R r ) = minr 2 R 2 3 100% (5-11) gdzie minr2 oznacza zdolność rozdzielczą opornika dekadowego kwant wartości R2. Niepewność nieczułości wynika z faktu, że wskaźnik równowagi ma ograniczoną wrażliwość na zmiany rezystancji mierzonej. Graniczna niepewność względna nieczułości oznacza względną zmianę rezystancji mierzonej powodującą najmniejszą zauważalną zmianę wskazania wskaźnika równowagi i wyraża się wzorem δ n = 100% (5-12) min gdzie symbol min oznacza minimalną zauważalną zmianę wskazania wskaźnika równowagi. W przypadku woltomierza cyfrowego oznacza zmianę wskazania o 1 na najmniej znaczącym miejscu. Ze sposobu działania mostka Wheatstone a wynika, że względna zmiana rezystancji Rx powoduje taką samą zmianę sygnału niezrównoważenia jak względna zmiana rezystancji R2. Ponieważ nie można zmieniać wartości rezystancji badanej Rx, dlatego w praktyce względną zmianę tej rezystancji we wzorze (5-12) zastępuje się względną zmianą rezystancji opornika dekadowego R2. Precyzyjne ustawienie wartości zmiany wskazania = min (wzór 5-12) jest praktycznie niemożliwe. Dlatego dokonuje się zmiany wartości tego wskazania (napięcia wskaźnika równowagi) o n jednostek (10 lub 100, ale może być także np. 254), a otrzymany wynik dzieli przez n, zgodnie ze wzorem δ n = R 2 100% (5-13) n R 2 n min Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 6

Niepewność standardowa względna nieczułości jest wyrażona wzorem u rel (R n ) = δ n 3 (5-14) Wyrażenie na całkowitą niepewność standardową względną pomiaru rezystancji za pomocą mostka Wheatstone a przyjmuje postać u rel ( ) = u 2 rel (R i ) + u 2 rel (R r ) + u 2 rel (R n ) (5-15) Całkowitą niepewność standardową można obliczyć ze wzoru u( ) = u rel( ) 100% (5-16) Wartości rezystancji R3 i R4 w ramionach stosunkowych mostka wpływają na niepewność rozdzielczości. Aby zminimalizować tę niepewność należy wykorzystać wszystkie dekady opornika dekadowego. Wartości rezystancji w ramionach mostka wpływają również na niepewność nieczułości. Największą czułość mostek uzyskuje, gdy we wszystkich gałęziach mostka występują jednakowe wartości rezystancji. Stąd zalecany sposób postępowania przy wyborze rezystancji w ramionach stosunkowych mostka Wheatstone a w układzie przedstawionym na Rys. 5.3 jest następujący: znając przybliżoną wartość rezystancji mierzonej ustawić w ramionach mostka wartości najbardziej do niej zbliżone, skorygować wybrane wartości w ramionach stosunkowych mostka (zaczynając od opornika R3) w ten sposób, aby wykorzystać wszystkie dekady opornika dekadowego. Niepewność standardowa nieczułości jest odwrotnie proporcjonalna do wartości E napięcia zasilania mostka. Trzeba jednak pamiętać, że zbyt duża wartość tego napięcia może powodować nagrzewanie rezystorów i w konsekwencji zmianę ich rezystancji lub nawet uszkodzenie (w raczej nie ma takiego niebezpieczeństwa). 4.3. Pomiary małych rezystancji w układzie czteroprzewodowym Omomierz cyfrowy mierzy wartość rezystancji dołączonej do jego zacisków. W praktyce jest to suma rezystancji badanego elementu i przewodów połączeniowych. Jeśli badany element charakteryzuje się małą rezystancją (np. rzędu pojedynczych omów), to błąd pomiaru spowodowany wpływem przewodów może być znaczący. Aby zredukować wpływ przewodów stosuje się czteroprzewodowy układ połączeń. Bardziej zaawansowane technicznie omomierze (np. multimetr 34450A) mają dodatkowe zaciski oznaczone Sense, służące po wybraniu opcji 4W do pomiaru Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 7

napięcia na badanym elemencie przy użyciu dodatkowej pary przewodów. Przez przewody dołączone do zacisków Sense praktycznie nie płynie prąd, dzięki czemu nie pojawia się na nich spadek napięcia i ich rezystancja przestaje mieć wpływ na wynik pomiaru. 5. Opis modułów pomiarowych 5.1. Moduł R01 Moduł R01 jest przeznaczony do przeprowadzania pomiarów rezystancji metodą techniczną. Pomiar prądu realizuje się metodą pośrednią poprzez pomiar spadku napięcia na dołączonym rezystorze wzorcowym o tolerancji 0,1%. W dostępnym zestawie znajdują się rezystory wzorcowe o wartościach: 10, 100, 1 k i 100 k. Płyta czołowa modułu R01 jest przedstawiona na Rys. 5.4. Rys. 5.4. Moduł R01 Moduł R01 umożliwia realizację metody technicznej zarówno w układzie z poprawnie mierzonym prądem, jak i z poprawnie mierzonym napięciem. Maksymalne napięcie zasilające moduł nie powinno przekraczać 20 V. 5.2. Moduł R02 Moduł R02 jest przeznaczony do wykonania pomiarów rezystancji metodą mostkową za pomocą mostka Wheatstone a. Płyta czołowa modułu R02 jest przedstawiona na Rys. 5.5. Przełączniki obrotowe pozwalają na wybór rezystancji w ramionach stosunkowych mostka o wartościach: 10, 100, 1 k, 10 k i 100 k. Tolerancja wykonania tych rezystorów wynosi 0,1%. Maksymalne napięcie zasilające mostek nie powinno przekraczać 20 V. Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 8

Rys. 5.5. Moduł R02 6. Badania i pomiary Obiektem badań są rezystory umieszczone na podstawkach i oznaczone symbolami: Rx1, Rx2, Rx3, Rx4. Dostępne są również rezystory wzorcowe oznaczone symbolami: Rwz1, Rwz2, Rwz3, Rwz4 o wartościach: 10, 100, 1 k 100 k i tolerancji 0,1%, które mogą być wykorzystane przy pomiarze pośrednim prądu w metodzie technicznej. Rezystancja wewnętrzna woltomierza 34450A i U1252B wynosi 10 MΩ. Uwaga: Przed rozpoczęciem pomiarów należy ustawić na wyjściu 1 zasilacza E3646A wartości napięcia i ograniczenia prądowego podane przez Prowadzącego. Zadanie 1. Pomiar rezystancji metodą techniczną.! Zmierzyć rezystancję rezystorów Rx1, Rx2, Rx3, Rx4 metodą techniczną w układzie z poprawnie mierzonym prądem (Rys. 5.2a) i w układzie z poprawnie mierzonym napięciem (Rys. 5.2b). Przy każdym pomiarze dobrać wartość rezystora wzorcowego Rwz i uzasadnić wybór. Wyznaczyć błąd metody. W tabeli zamieścić wyniki surowe, wartości względnego błędu metody oraz wyniki skorygowane. Porównać uzyskane wyniki. Dla każdego badanego rezystora wskazać bardziej korzystny układ pomiarowy i ocenić, czy jest to zgodne z teorią. Wyjaśnić, dlaczego uznajemy dany układ pomiarowy za bardziej korzystny. Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 9

Zadanie 2. Pomiar rezystancji mostkiem Wheatstone a. Zmierzyć metodą mostkową (za pomocą mostka Wheatstone a) rezystancję tych samych rezystorów, co w zadaniu 1. Przy każdym pomiarze dobrać rezystancje w ramionach stosunkowych mostka i opisać sposób ich doboru. Wyniki zamieścić w tabeli. Zadanie 3. Pomiar rezystancji omomierzem cyfrowym.! Zmierzyć za pomocą omomierza cyfrowego rezystancję tych samych rezystorów, co w zadaniu 1. Wyznaczyć niepewność standardową względną pomiarów. Wyniki zamieścić w tabeli. Dla każdego badanego rezystora porównać wyniki uzyskane w zadaniach 1, 2 i 3.! Zadanie 4. Pomiar małych rezystancji w układzie czteroprzewodowym. Zmierzyć za pomocą multimetru cyfrowego 34450A rezystancję opornika dekadowego ustawionego na wartość podaną przez Prowadzącego, wybierając opcję 2W (dwuprzewodowy układ połączeń). Następnie dodatkową parą przewodów połączyć mierzony opornik z gniazdami Sense 4W multimetru (czteroprzewodowy układ połączeń), wybrać opcję 4W i ponownie wykonać pomiar. Wyniki zamieścić w tabeli. Skomentować uzyskane wyniki. Który wynik jest bardziej zbliżony do wartości nominalnej? Powtórzyć pomiary przy innej wartości rezystancji.? Pytania kontrolne 1. Na czym polega metoda techniczna pomiaru rezystancji? Narysuj układy do jej realizacji. 2. Sklasyfikuj błędy pomiarowe występujące w metodzie technicznej pomiaru rezystancji. 3. Omów zagadnienie błędu metody w układzie z poprawnie mierzonym napięciem. 4. Omów zagadnienie błędu metody w układzie z poprawnie mierzonym prądem. Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 10

5. W jaki sposób można zminimalizować błąd metody przy pomiarze rezystancji metodą techniczną? 6. Dla jakich wartości rezystancji mierzonych korzystniejszy jest układ z poprawnie mierzonym prądem, a dla jakich układ z poprawnie mierzonym napięciem? 7. Wyprowadź wzór na błąd metody w układzie z poprawnie mierzonym prądem. 8. Wyprowadź wzór na błąd metody w układzie z poprawnie mierzonym napięciem. 9. Jaką rolę w mostku Wheatstone a spełnia woltomierz? 10. Co nazywamy stanem równowagi mostka i w jaki sposób w praktyce osiągamy ten stan? 11. Narysuj schemat ideowy mostka Wheatstone a i wyprowadź równanie równowagi. 12. Sklasyfikuj niepewności występujące przy pomiarze rezystancji za pomocą mostka Wheatstone a. 13. Co to jest niepewność nieczułości przy pomiarze rezystancji metodą mostkową? 14. W jaki sposób praktycznie można wyznaczyć niepewność nieczułości przy pomiarze rezystancji za pomocą mostka Wheatstone a? 15. Opisz procedurę doboru rezystancji w ramionach stosunkowych mostka Wheatstone a, gdy znana jest zgrubnie wartość mierzonej rezystancji. Możesz założyć przykładowe dane liczbowe. 16. W jaki sposób wartość napięcia zasilającego mostek Wheatstone a wpływa na niepewność pomiaru rezystancji? Rozważ poszczególne składniki niepewności. 17. Do czego służy opcja 4W w multimetrze 34450A? 18. Do czego służy dodatkowa para przewodów przy pomiarze rezystancji w układzie czteroprzewodowym? 19. Zmierzono rezystancję metodą techniczną w układzie z poprawnie mierzonym prądem. Woltomierz wskazał wartość U = 10,000 V na zakresie Uz = 10 V, a amperomierz wartość I = 20,00 ma na zakresie Iz = 100 ma. Podaj wynik pomiaru rezystancji, niepewność standardową względną i błąd metody, jeżeli wyrażenia na graniczną niepewność względną woltomierza i amperomierza wyrażają się odpowiednio wzorami: δ g U = 0,05% + 0,01% U z δ U g I = 0,10% + 0,05% I z I Rezystancja amperomierza wynosi RA = 10, a rezystancja woltomierza RV = 10 M. Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 11

20. Zmierzono rezystancję metodą techniczną w układzie z poprawnie mierzonym napięciem. Woltomierz wskazał wartość U = 10,000 V na zakresie Uz = 10 V, a amperomierz wartość I = 20,00 ma na zakresie Iz = 100 ma. Podaj wynik pomiaru rezystancji, niepewność standardową względną i błąd metody, jeżeli wyrażenia na graniczną niepewność względną woltomierza i amperomierza wyrażają się odpowiednio wzorami: δ g U = 0,05% + 0,01% U z δ U g I = 0,10% + 0,05% I z I Rezystancja amperomierza wynosi RA = 10, a rezystancja woltomierza RV = 10 M. 21. Oblicz, dla jakiej wartości rezystancji błędy metody w metodzie technicznej będą równe co do wartości bezwzględnej dla obu układów (z poprawnie mierzonym prądem i z poprawnie mierzonym napięciem), jeśli rezystancja amperomierza wynosi RA = 10, a rezystancja woltomierza RV = 10 M. 22. Oblicz, dla jakiej wartości rezystancji woltomierza przy pomiarze rezystancji Rx = 10 k błędy metody w metodzie technicznej będą równe co do wartości bezwzględnej dla obu układów (z poprawnie mierzonym prądem i z poprawnie mierzonym napięciem), jeśli rezystancja amperomierza wynosi RA = 20. 23. Oblicz, dla jakiej wartości rezystancji amperomierza przy pomiarze rezystancji Rx = 10 k błędy metody w metodzie technicznej będą równe co do wartości bezwzględnej dla obu układów (z poprawnie mierzonym prądem i z poprawnie mierzonym napięciem), jeśli rezystancja woltomierza wynosi RV = 1 M. 24. Mamy zmierzyć rezystancję opornika o wartości ok. 1 k metodą techniczną, wykorzystując woltomierz o rezystancji wewnętrznej 1 M i amperomierz o rezystancji wewnętrznej 10. W którym układzie (z poprawnie mierzonym prądem czy z poprawnie mierzonym napięciem) błąd metody będzie mniejszy co do wartości bezwzględnej? Odpowiedź uzasadnij. 25. Mamy zmierzyć rezystancję opornika o wartości ok. 100 za pomocą mostka Wheatstone a. Jakie wartości rezystancji w ramionach stosunkowych mostka należy wybrać, aby niepewność nieczułości była najmniejsza (mamy do dyspozycji wartości rezystancji: 10, 100, 1 k, 10 k i 100 k)? Odpowiedź uzasadnij. 26. Mamy zmierzyć rezystancję opornika o wartości ok. 1 M za pomocą mostka Wheatstone a. Jakie wartości rezystancji w ramionach stosunkowych mostka należy wybrać, aby niepewność nieczułości była najmniejsza (mamy do dyspozycji wartości rezystancji: 10, 100, 1 k, 10 k i 100 k)? Odpowiedź uzasadnij. Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 12

27. Mostek Wheatstone a jest wyposażony w rezystory wzorcowe o tolerancji 0,1% w ramionach stosunkowych (R3 i R4). Opornik dekadowy ma klasę 0,05 i rozdzielczość 0,1 Przy jakiej ustawionej na oporniku dekadowym rezystancji niepewność standardowa rozdzielczości będzie przynajmniej 10 razy mniejsza od niepewności standardowej wzorców? Odpowiedź uzasadnij. 28. Mostek Wheatstone a jest wyposażony w rezystory wzorcowe o tolerancji 0,1% w ramionach stosunkowych (R3 i R4). Opornik dekadowy ma klasę 0,05 i rozdzielczość 0,1 Ile dekad musi posiadać opornik dekadowy, aby niepewność standardowa rozdzielczości była przynajmniej 100 razy mniejsza od niepewności standardowej wzorców? Odpowiedź uzasadnij. 29. Zmierzono rezystancję opornika omomierzem cyfrowym. Uzyskano wynik R = 158,15 na zakresie Rz = 1 k. Oblicz wartość niepewności standardowej i niepewności standardowej względnej pomiaru rezystancji, jeśli producent omomierza podaje zależność na niepewność graniczną względną w postaci δ g R = 0,1% + 0,2% R z R 30. W jakim celu przy pomiarze rezystancji stosuje się czteroprzewodowy układ połączeń? 31. Zmierzono rezystancję opornika za pomocą multimetru cyfrowego, stosując dwuprzewodowy i czteroprzewodowy układ połączeń. Który wynik będzie większy? Odpowiedź uzasadnij. Ćw.5. Pomiary rezystancji Strona 13