BADANIE EFEKTU HALLA

Ćwiczenie 57 BADANIE EFEKTU HALLA Cel ćwiczenia: wyznaczenie charakterystyk statycznych i stałej hallotronu oraz określenie typu przewodnictwa i koncentracji swobodnych nośników ładunku. Zagadnienia: zjawisko Halla, oddziaływanie pola magnetycznego i elektrycznego na nośniki ładunków, siła Lorentza, wektory: indukcji magnetycznej i natężenia pola elektrycznego, gęstości prądu; koncentracja nośników ładunku, czułość i zastosowanie hallotronów. 57.1. Wprowadzenie 1a. Teoria efektu Halla. Efekt Halla jest to zjawisko powstawania różnicy potencjałów (zwanej napięciem Halla, U H ) w płytce przewodzącej, przez którą przepływa prąd elektryczny, jeśli jest ona umieszczona w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B. Napięcie to wytworzy się pomiędzy przeciwległymi ściankami płytki w kierunku prostopadłym zarówno do kierunku przepływu prądu I, jak i do kierunku wektora zewnętrznego pola magnetycznego B. Nazwa tego efektu, odkrytego w 1879 roku, pochodzi od nazwiska jego odkrywcy, fizyka amerykańskiego E. H. Halla (1855 1938). Przyczyną zjawiska jest oddziaływanie pola magnetycznego pod postacią siły Lorentza, działającej na cząstki naładowane elektrycznie, poruszające się w polu magnetycznym. Siła ta powoduje m.in. zakrzywianie toru cząstek elektrycznych. Również nośniki ładunku q, tworzące prąd elektryczny I w przewodzących płytkach (metalowych, półprzewodnikowych), doznają w polu magnetycznym B działania siły Lorenza, powodującej odchylenie toru ruchu od linii prostej. Siła Lorentza F L określona jest równaniem: F L = q (v x B) (57.1) gdzie: q ładunek elektryczny nośnika, v wektor średniej prędkości nośników, zwanej także prędkością dryfu albo prędkością unoszenia nośników prądu, B wektor indukcji pola magnetycznego, x znak iloczynu wektorowego, w którym pogrubioną czcionką oznaczono wielkości wektorowe. Kierunek i wartość siły Lorentza wynika z własności iloczynu wektorowego: siła działa w kierunku prostopadłym do wektorów v i B (tj. w kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory v i B), a jej wartość obliczamy na podstawie zależności F L = q v B sin(v, B). Widać, że gdy sin(v, B) = 1, tzn. gdy kąt pomiędzy wektorami v i B jest równy 90 (wektory v i B są wzajemnie prostopadłe), to siła F L jest maksymalna i osiąga wartość F Lmax = q v B. Przy takiej konfiguracji wektorów uzyskuje się więc najsilniejsze odchylanie nośników ładunku w płytce przewodzącej. Jeżeli nośnikami większościowymi w płytce są elektrony (q = e = 1,602x10-19 C), to zwrot wektora prędkości v jest przeciwny do kierunku przepływu prądu (v < 0), a siła Lorentza F L = e ( v x B) e (v x B) (57.2) Zatem, pod działaniem siły F L, przy ustalonym kierunku B i kierunku przepływu prądu I, ładunki dodatnie (tzw. dziury w półprzewodniku akceptorowym, typu positive) i ładunki ujemne (elektrony w metalu i w półprzewodniku donorowym, typu negative) odchylają się ku tej samej ściance płytki. Tym samym, na ściance przeciwległej występuje niedomiar odpowiednich nośników ładunku. Powstały w ten sposób nierównomierny rozkład gęstości ładunku wytwarza w płytce dodatkowe, poprzeczne pole elektryczne o natężeniu E H. Kierunek 1

tego pola jest prostopadły do kierunku działania pola B oraz do kierunku przepływu prądu I (rys. 57.1). F L F L + - - - - - - - - + + + + + + + + I - - E H - E H I B B Rys.57. 1. Odchylenie nośników ładunku pod wpływem pola magnetycznego w płytce z przewodnictwem dziurowym (po lewej) i elektronowym (po prawej). Pole elektryczne E H działa na ładunki q siłą F E = q E H (57.3) Dla ładunków ujemnych siła F E = e E H, więc jej zwrot jest przeciwny niż dla dodatnich. Siła F E przeciwdziała gromadzeniu się ładunków w obrębie ścianki (górnej ścianki na rys. 57.1). Proces dalszego przepływu ładunków ustanie, gdy przeciwnie skierowane siły (siła dodatkowego pola elektrycznego F E i siła pola magnetycznego F L ) zrównoważą się co do wartości. Dla warunku równowagi sił ( F E = F L ), wykorzystując wzory (57.1) i (57.3) oraz biorąc F L = F Lmax, otrzymujemy zależność: v B = E H (57.4) Jeśli przyjmiemy, że pole elektryczne w płytce o szerokości b jest jednorodne, to związek między natężeniem pola E H a napięciem Halla U H jest następujący: (57.5) Uwzględniając równanie (57.4) i (57.5) możemy wyrazić wartość napięcia Halla w postaci: U H = b v B (57.6) Występującą we wzorze średnią wartość prędkości v nośników, tworzących prąd elektryczny w płytce, można powiązać z wartością wektora gęstości prądu j j lub z natężeniem prądu I. Wartość wektora gęstości prądu dana jest wzorem: a natężenie prądu: j = q n v, (57.7) I = j S = q v n b d (57.8) gdzie: n liczba nośników ładunku w jednostce objętości płytki (koncentracja ładunków), S pole przekroju poprzecznego płytki, b szerokość płytki mierzona wzdłuż kierunku pola E H, d grubość płytki mierzona wzdłuż kierunku pola B, I natężenie prądu, zwanego też prądem sterującym I S. Ze wzoru (57.8) wyznaczamy prędkość v i wstawiamy do równania (57.6). Otrzymamy wówczas tzw. równanie Halla: 2

= B I (57.9) Współczynnik proporcjonalności = 1/(n q d) zależy od parametrów płytki przewodzącej oraz od rodzaju i technologii wytwarzania materiału, z którego ją wykonano. Znając jego wartość oraz mierząc natężenie prądu I I S płynącego przez płytkę i napięcie Halla U H można, korzystając z zależności (57.9), wyznaczyć indukcję magnetyczną B. Element elektroniczny wykorzystujący efekt Halla nazywa się hallotronem lub czujnikiem Halla. Współczynnik, tzw. stała hallotronu, jest indywidualną cechą hallotronu, świadczącą o jego jakości. 1b. Hallotrony i ich zastosowanie. Hallotron to prostopadłościenna płytka półprzewodnika lub metalu, na krawędziach której umieszczone są cztery elektrody: dwie zasilające i dwie pomiarowe. Elektrody zasilające, zwane też prądowymi, są odpowiedzialne za przepływ kontrolowanego prądu I I S, zwanego prądem sterującym. Elektrody pomiarowe to elektrody napięciowe, które umieszczane są zwykle na dłuższych krawędziach płytki (patrz rys.57.2). z x y I S B v d - - U H Rys. 57.2. Zilustrowanie zjawiska Halla w hallotronie z przewodnictwem elektronowym. Hallotrony wytwarza się z materiałów przewodzących litych (mono- i polikrystalicznych) albo naparowanych na podłoże izolacyjne i tworzących cienką warstwę. Grubość litych płytek hallotronowych jest rzędu 100 300 μm, grubość naparowanych jest o rząd wartości mniejsza ( ~10 μm). Miarą jakości hallotronu jest jego stała =1/(e n d), wyrażana też jako R H /d. Współczynnik R H = 1/(n q) oznacza stałą Halla (stałą materiałową), wielkość głównie zależną od jakości i technologii wytwarzania materiału przewodzącego. Znak stałej Halla jest taki sam, jak znak nośników ładunku q: dla elektronów stała R H jest ujemna, również ujemne jest napięcie Halla U H. Stała R H pozwala określić koncentrację nośników w próbce oraz ich znak. Ze wzoru =1/(e n d) wynika, że dla uzyskania dużej wartości stałej hallotronu wymagany jest materiał o małej koncentracji n nośników ładunku (ładunków przewodnictwa). Z kolei mała koncentracja nośników zapewnia dużą ich ruchliwość (tj. średnią prędkość w stałym polu elektrycznym do natężenia tego pola) i prędkość unoszenia (tj. prędkość nośników w kierunku pola elektrycznego). W metalach gęstość nośników jest zwykle stała i równa koncentracji atomów w krysztale (rzędu 10 28 10 29 m -3 ). W półprzewodnikach koncentracja nośników jest o wiele rzędów wartości mniejsza od koncentracji atomów. Koncentracja ładunków przewodnictwa w półprzewodnikach jest rzędu 10 13 10 22 m -3, a w silnie domieszkowanych półprzewodnikach ~10 26 m -3. Oznacza to, że stała Halla R H = 1/(e n) jest rzędu 10 10 10 11 m 3 C -1 w metalach i rzędu 10 5 10-4 m 3 C -1 w półprzewodnikach (a w półprzewodnikach silnie domieszkowanych rzędu 10-8 m 3 C -1 ). Drugim istotnym czynnikiem decydującym o stałej hallotronu jest grubość d płytki. Reasumując, dla uzyskania dużej wartości stałej wykonuje się hallotrony z płasko-równoległych płytek półprzewodnikowych o przewodnictwie typu, cienkich (rzędu ułamków mm) oraz wąskich (rzędu kilku mm). Najczęściej stosowane materiały półprzewodnikowe to Ge, Si, GaAs, InSb, InAs, HgSe, HgTe. Dla przykładu, czujniki Halla wykonane z GaAs o grubości d = 100 300 μm mają stałą = 190 260 V/A T. Zapewnia to, już przy niewielkim prądzie sterującym I S 7 ma, relatywnie wysokie, a więc łatwo mierzalne, wartości napięcia U H rzędu 100 mv. Należy podkreślić, że hallotrony wykonane nawet z tego samego materiału nie zawsze cechują identyczne parametry. Wpływ na to mają takie czynniki, jak technologia uzyskania materiału, sposób przygotowania płytki i jej grubość, jakość i miejsce naniesienia kontaktów elektrycznych na płytkę, symetryczność kontaktów. 3

Dlatego każdy hallotron ma swoje indywidualne parametry oraz charakterystyki [U H = f(b), U H = f(i S ), U H = f( )], określające jego właściwości i praktyczną przydatność. Ważną rolę w zastosowaniach czujników Halla pełni ich czułość S. Parametr ten wyraża zdolność hallotronu do reagowania (tj. wykazywania zmian wartości U H, przyrostów napięcia U H ) na zmiany wartości wielkości wejściowych [tj. przyrosty wartości I S, B lub, gdy B = f( )], sterujących jego pracą. W związku z tym definiuje się czułość prądową S I = dla B = const, czułość polową S B = dla I S = const oraz czułość kątową S = dla I S = const i B 0 =const (wyjaśnienia w p. 57.2 układ pomiarowy B). Czułość jest tym większa im większy przyrost wartości napięcia U H odpowiada jednostkowej zmianie wartości wielkości wejściowej. Jeśli jednostkowej zmianie wielkości wejściowej odpowiada zawsze taka sama zmiana U H to czułość S = const. Przykładem niepoprawności wykonania kontaktów elektrycznych (elektrod hallowskich) jest występowanie dodatkowego spadku napięcia, tzw. napięcia asymetrii pierwotnej U A. Gdy elektrody hallowskie nie leżą dokładnie naprzeciwko siebie (tzn. nie leżą na tej samej linii ekwipotencjalnej), a przez hallotron płynie prąd I S, to nawet przy braku pola magnetycznego (B = 0) wytwarza się między elektrodami hallowskimi różnica potencjałów U A. Jest to efekt niepożądany, a poprawny pomiar napięcia Halla uzyskamy po skompensowaniu napięcia asymetrii. Służy do tego specjalny układ kompensacyjny. Przy jego pomocy eliminujemy napięcie U A tak, aby woltomierz służący do pomiaru napięcia Halla wskazał na najniższym zakresie pracy wartość U H = 0, gdy B = 0 i I S 0. Inną istotną przyczyną zaburzenia poprawności pomiaru napięcia U H może być nierównomierne nagrzewanie się hallotronu podczas przepływu prądu I S. Wówczas charakterystyki U H = f(b) i U H = f(i S ) wykazywać będą odstępstwo od liniowości w obszarze wysokich wartości B i I S. Z tych względów pomiary należy wykonywać dość szybko i nie przekraczać dopuszczalnych wartości natężenia prądu. Hallotrony znajdują szerokie zastosowanie w technice, np. do pomiaru natężenia pola magnetycznego, pomiaru wielkości elektrycznych (natężenia prądu stałego lub przemiennego nawet bardzo dużych wartości rzędu kilkudziesięciu ka, napięcia, oporu i mocy wydzielanej np. w urządzeniach). Wykorzystywane są również w elementach liczących i logicznych. Przykłady niektórych zastosowań: napęd CD ROM, stabilizatory prędkości w video odtwarzaczach, programatory pralek, sygnalizatory pozycji, wyłączniki bezkontaktowe, wykrywacze metali, wskaźniki i mierniki prędkości obrotowej, wskaźniki ilości gazu w instalacjach LPG, czujniki przechyłu np. statku lub urządzeń dźwigowych, czujniki bardzo słabych pól magnetycznych, tzw. kompasy elektryczne, i wiele, wiele innych. Tak szerokie zastosowanie hallotronów czyni dziedzinę badania efektu Halla w różnych materiałach dziedziną bardzo interesującą. Efekt Halla spełnia również istotną rolę poznawczą w badaniach struktury półprzewodników (np. wyznaczanie koncentracji i ruchliwości nośników ładunku). 57.2. Układ pomiarowy Klasyczny układ pomiarowy (układ A) tworzą dwa niezależne, niepołączone ze sobą obwody: obwód zasilania elektromagnesu oraz obwód zasilania hallotronu(rys. 57.3). Prąd I m w obwodzie zasilania elektromagnes (rys 57.3 a), przepływając przez zwoje elektromagnesu, wytwarza - ma + V-530 UH I s P - + Zasilacz hallotronu a) b) Rys.57.3. Schemat połączeń do badania efektu Halla: a) zasilanie elektromagnesu, b) układ pomiarowy hallotronu. między nabiegunnikami pole magnetyczne o indukcji B. Wartość indukcji pola magnetycznego należy obliczyć lub odczytać z wykresu wzorcowego B = f(i m ). Odpowiednie wzory oraz wykres 4

dołączono do instrukcji roboczej ćwiczenia. W obwodzie zasilania hallotronu (rys. 57.3 b) mierzymy napięcie Halla U H woltomierzem o dużej rezystancji wewnętrznej. Woltomierz podłączony jest równolegle do elektrod napięciowych hallotronu. Natężenie prądu sterującego I S mierzymy miliamperomierzem, który podłączony jest szeregowo do zasilacza hallotronu. Układ do skompensowania napięcia asymetrii U A znajduje się w przystawce hallotronu, zaopatrzonej w potencjometr P. W celu przeprowadzenia kompensacji należy hallotron, przez który płynie prąd I S o ustalonej wartości, usunąć z obszaru pola magnetycznego (B = 0). Następnie, obracając powoli pokrętło P potencjometru (np. w lewo), doprowadzamy wskazanie woltomierza mierzącego napięcie U H do zerowej wartości. Kompensację należy przeprowadzić na możliwie najniższym zakresie pracy woltomierza. Jeżeli hallotron ponownie wprowadzimy w obszar pola magnetycznego, to woltomierz wskaże poprawną, pozbawioną U A, wartość napięcia Halla U H. Opisany układ pomiarowy pozwala wyznaczyć dwie charakterystyki statyczne hallotronu: prądową U H = f(i S ) oraz polową U H = f(b). W innej wersji układu (układ B) do badania efektu Halla wykorzystuje się dwa magnesy neodymowe (rys.57.4), wytwarzające stałe, stabilne do 70 C i jednorodne pole magnetyczne o indukcji B. Pole magnetyczne magnesów neodymowych jest bardzo silne np. płytka o rozmiarach 40x18x10 mm i masie 54 g może utrzymać masę 70,2 kg, czyli ciężar 1300 razy większy od własnego. Te cechy są istotne tam, gdzie potrzebne jest silne pole magnetyczne i ważna jest miniaturyzacja urządzeń. Wartość indukcji magnetycznej B 0 w obszarze między magnesami w układzie B wynosi 0,5 T. Magnesy zamocowano tak, aby można nimi obracać wokół nieruchomego hallotronu. Kąt obrotu odczytuje się z podziałki kątowej. Zmiana kąta położenia magnesów względem hallotronu powoduje zmianę wartości składowych indukcji magnetycznej B 0, tj. składowej B s równoległej do powierzchni hallotronu i składowej B n prostopadłej do powierzchni hallotronu. Dla wystąpienia efektu Halla istotna jest tylko składowa prostopadła B n. Jeśli ustawienie zasila cz hallot ronu ma U H V magnesów jest takie, że hallotron leży wzdłuż linii pola magnetycznego to B s = B 0 oraz B n = 0, a tym samym U H = 0. Tej sytuacji odpowiada kąt 0. Zmieniając orientację pola B 0, uzyskamy zmianę wartości składowej B n. Rys. 57.4. Schemat układu pomiarowego (zestaw z ruchomymi magnesami trwałymi) do badania efektu Halla. Wartość B n dla kolejnych położeń kątowych magnesów, tj. dla i, można obliczyć ze wzoru B n = B 0 sin( i 0 ). W skład obwodu zasilania hallotronu wchodzi zasilacz, warunkujący przepływ prądu sterującego I S przez hallotron, oraz miliamperomierz do pomiaru natężenia prądu I S. Wskaźnikiem napięcia Halla U H jest woltomierz. Ten układ pomiarowy pozwala wyznaczyć trzy charakterystyki statyczne hallotronu: prądową U H = f(i S ), polową U H = f(b), kątową U H = f( ). 57.3. Zadania do wykonania Układ A 1. Zestawić układ elektryczny do pomiarów napięcia Halla. Skompensować napięcie asymetrii pierwotnej U A. 5

2. Wyznaczyć zależność napięcia Halla od indukcji magnetycznej dla ustalonej wartości (jednej lub kilku) natężenia prądu sterującego, tj. U H = f(b), gdy I S = const. Zmiany wartości B uzyskujemy poprzez zmiany wartości prądu magnesującego I m, tj. B = f(i m ). Narysować wykres punktowy (wykresy bez linii) zmierzonych zależności U H = f(b). 3. Wyznaczyć zależność napięcia Halla od natężenia prądu sterującego przy ustalonej wartości (jednej lub kilku) indukcji magnetycznej, tj. U H = f(i S ), gdy B = const. Narysować wykres punktowy (wykresy) zmierzonych zależności U H = f(i S ). 4. Korzystając z programu komputerowego, wyznaczyć metodą regresji liniowej równanie prostej (prostych), będącej najlepszym przybliżeniem zmierzonych zależności. Następnie nanieść tak otrzymane linie proste na wykresy punktowe U H = f(b) i U H = f(i S ). 5. Na podstawie wartości współczynników kierunkowych a tych prostych, wyznaczonych metodą regresji liniowej, obliczyć wartości: stałej hallotronu B przy I S = const, stałej I przy B = const, koncentracji nośników ładunku n oraz niepewności tych wielkości. 6. Z równania Halla (wzór 57.8), dla wybranych wartości B oraz I S, obliczyć przykładową wartość stałej hallotronu B i I oraz koncentrację nośników ładunku n. Oszacować niepewności tych wielkości. Układ B 1. Połączyć układ pomiarowy według schematu zamieszczonego w instrukcji wykonawczej. 2. Wyznaczyć zależność napięcia Halla od indukcji magnetycznej przy ustalonej wartości (jednej lub kilku) natężenia prądu sterującego, tj. U H = f(b), gdy I S = const. Zmiany wartości B n uzyskujemy poprzez zmiany kąta i, tj. B n = f( i ). Narysować wykres punktowy (wykresy bez linii) zmierzonych zależności U H = f(b) oraz U H = f( ). 3. Wykorzystując wykres zależności U H = f( ) wyznaczyć maksymalną czułość kątową hallotronu S =, stałą hallotronu = S /I S B 0 oraz koncentrację n nośników ładunku. 4. Wyznaczyć zależność napięcia Halla od natężenia prądu sterującego przy ustalonej wartości (jednej lub kilku) indukcji magnetycznej, tj. U H = f(i S ), gdy B = const. Narysować wykres punktowy (wykresy bez linii) zależności U H = f(i S ). 5. Korzystając z programu komputerowego (metoda regresji liniowej), wyznaczyć równanie prostej (prostych), będącej najlepszym przybliżeniem zmierzonych zależności. Następnie nanieść te proste na wykresy punktowe U H = f(b) i U H = f(i S ). 6. Na podstawie wartości współczynników kierunkowych a tych prostych (odpowiednio a B dla prostych U H (B) i a I dla prostych U H (I S )), wyznaczonych metodą regresji liniowej, obliczyć wartości: czułości polowej S B = a B i stałej hallotronu B = S B /I S przy I S = const, czułości prądowej S I = a I i stałej I = S I /B n przy B n = const, koncentracji n nośników ładunku oraz niepewności tych wielkości. 7. Z równania Halla (wzór 57.8), dla wybranych wartości B oraz I S, obliczyć przykładową wartość stałej hallotronu B i I oraz koncentrację nośników ładunku n. Oszacować niepewności tych wielkości. 57.4. Pytania 1. Jak pole magnetyczne i elektryczne działa na dodatnie i ujemne nośniki ładunku? 2. Wyjaśnić, na czym polega zjawisko Halla. 3. Jak zależy wartość i znak napięcie Halla od rodzaju materiału przewodzącego, z którego wykonano hallotron? 4. Zdefiniować stałą hallotronu, koncentrację nośników swobodnych i podać ich jednostki. 5. Omówić sposoby wyznaczania stałej hallotronu i koncentracji nośników swobodnych. 6. Co to jest czułość kątowa hallotronu, o czym świadczy i jak ją wyznaczamy? 7. Co to jest napięcie asymetrii pierwotnej? 8. Czym charakteryzuje się dobry hallotron? 9. Jakie znasz zastosowania hallotronów? 10.Podaj definicje: natężenia prądu, wektora gęstości prądu elektrycznego, wektorów indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego. Jakie są jednostki miar tych wielkości? 11.Za pomocą jakich metod będzie przeprowadzana analiza niepewności pomiarowych zmierzonych wielkości fizycznych? dr Nella Mirowska 6