MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania podstawowe (P) zawierają wymagania z poziomu (K) wzbogacone o typowe problemy o niewielkim stopniu trudności. Wymagania rozszerzające (R), zawierające wymagania z poziomów (K) i (P), dotyczą zagadnień bardziej złożonych i nieco trudniejszych. Wymagania dopełniające (D), zawierające wymagania z poziomów (K), (P) i (R), dotyczą zagadnień problemowych, trudniejszych, wymagających umiejętności przetwarzania przyswojonych informacji. Wymagania wykraczające (W) dotyczą zagadnień trudnych, oryginalnych, wykraczających poza obowiązkowy program nauczania. 1
I. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE zna takie pojęcia, jak: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiory zbioru wymienić elementy danego zbioru i jego podzbiory podać przykłady zbiorów ( w tym przykłady zbiorów skończonych i nieskończonych) podać określone podzbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych potrafi rozróżniać liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne zna definicję liczby całkowitej parzystej oraz nieparzystej zna i potrafi zastosować cechy podzielności liczb naturalnych wskazać liczby pierwsze i liczby złożone rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze wyznaczyć najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik przedstawić przedział na osi liczbowej rozumie pojęcie przedziału, rozpoznaje przedziały ograniczone i nieograniczone rozstrzygnąć, czy dana liczba należy do danego przedziału liczbowego zapisać za pomocą przedziałów zbiory opisane nierównościami sprawnie wykonywać działania na ułamkach zwykłych i na ułamkach dziesiętnych zna i stosuje w obliczeniach kolejność działań i prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych porównywać liczby rzeczywiste zamienić ułamek zwykły na dziesiętny i dziesiętny na zwykły wykonywać działania na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym zna prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i stosuje je w obliczeniach sprawnie sprowadza wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci i oblicza ich wartości dla podanych wartości zmiennych wyłączać wspólny czynnik z różnych wyrażeń sprawnie posługiwać się wzorami skróconego mnożenia i sprawnie wykonuje działania na wyrażeniach je zawierających ( a b) a ab b ( a b) a ab b a b ( a b) ( a b) usuwać niewymierność z mianownika ułamka zna pojęcie pierwiastka arytmetycznego z liczby nieujemnej i potrafi stosować prawa działań na pierwiastkach w obliczeniach obliczać pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych włączyć czynnik pod znak pierwiastka i wyłączyć czynnik spod tego znaku dowodzić proste twierdzenia zna definicję logarytmu i potrafi obliczać logarytmy bezpośrednio z definicji stosować w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi
stosować w obliczeniach wzór na zamianę podstaw logarytmu obliczyć procent danej liczby, a także wyznaczyć liczbę, gdy dany jest jej procent obliczyć, jakim procentem liczby jest druga liczba określić, o ile procent dana wielkość jest większa (mniejsza) od innej wielkości posługiwać się procentem w prostych zadaniach tekstowych (w tym wzrosty i spadki cen, podatki, kredyty i lokaty) rozumie pojęcie punktu procentowego i potrafi się nim posługiwać wskazać przykłady zastosowania procentów w życiu codziennym zna definicję wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i jej interpretację geometryczną wyznaczyć przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z żądaną dokładnością wyznaczyć błąd względny, bezwzględny i procentowy przybliżenia Poziom (R) lub (D) potrafi wyłączać wspólną potęgę poza nawias sprawnie wykonywać działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym sprawnie zamieniać pierwiastki arytmetyczne na potęgi o wykładniku wymiernym i odwrotnie sprawnie przekształcać wyrażenia algebraiczne zawierające potęgi i pierwiastki sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi i pierwiastki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia podać zapis symboliczny wybranych liczb, np. liczby parzystej, liczby nieparzystej, liczby podzielnej przez daną liczbę całkowitą, wielokrotności danej liczby potrafi wykazać podzielność licz całkowitych zapisanych symbolicznie zna wzory skróconego mnożenia: sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów, różnica sześcianów sprawnie przekształcać wyrażenia zawierające powyższe wzory skróconego mnożenia usunąć niewymierność z mianownika ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów lub różnicę sześcianów dowodzić twierdzenia z zakresu liczb rzeczywistych i wyrażeń algebraicznych zastosować do rozwiązania nietypowego problemu wiadomości i umiejętności z podstawy programowej 3
II.RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI zna pojęcie dziedziny równania oraz potrafi ją określić sprawdzić czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności wie, jakie równanie nazywamy równaniem sprzecznym, a jakie równaniem tożsamościowym zna pojęcie równania (nierówności) z jedną niewiadomą zna twierdzenia pozwalające przekształcać w sposób równoważny równania i nierówności rozwiązywać równania z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych rozwiązywać nierówności z jedną niewiadomą metodą nierówności równoważnych zaznaczyć na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności rozwiązać proste zadanie tekstowe prowadzące do rozwiązania równania lub nierówności liniowej zna pojęcie układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi rozwiązywać algebraicznie (metodą przez podstawienie oraz metodą przeciwnych współczynników) układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi rozpoznać układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych zna pojęcie równania kwadratowego potrafi algebraicznie rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe rozwiązywać nierówności kwadratowe z jedna niewiadomą rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności z parametrem potrafi rozwiązywać proste równania i liniowe z wartością bezwzględną stosować do rozwiązywaniu równań i nierówności interpretację geometryczną wartości bezwzględnej rozwiązywać układy równań prowadzące do równań kwadratowych stosować wzory Viete a do rozwiązywania zadań dotyczących równań kwadratowych z parametrem Poziom (R) lub (D) wyznaczyć dziedzinę równania/nierówności z jedną niewiadomą, w przypadku koniunkcji warunków rozwiązać zadanie tekstowe o złożonych zależnościach prowadzące do rozwiązania równania, nierówności liniowej, równania kwadratowego oraz układów równań rozwiązać równanie i nierówność z wartością bezwzględną o podwyższonym stopniu trudności rozwiązać równanie i nierówność z parametrem o podwyższonym stopniu trudności 4
rozwiązać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności) prowadzące do równań, nierówności liniowych, równań kwadratowych oraz układów równań rozwiązać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności) prowadzące do rozwiązania równań, nierówności liniowej, równania kwadratowego oraz układów równań z parametrem III. TRYGONOMETRIA wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 180 podać określenie funkcji trygonometrycznej kąta ostrego w trójkącie prostokątnym korzystać z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora) podać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów : 30, 45, 60 obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla danego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, w którym dane są długości dwóch boków wyznaczyć długości boku w trójkącie prostokątnym, mając daną długość innego boku i miarę kąta ostrego obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta (90 - ) znając wartość kąta podać podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta skonstruować kąt ostry, mając daną funkcję trygonometryczną tego kąta wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając daną wartość jednej z funkcji trygonometrycznych potrafi obliczać wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne kątów 30, 45, 60 przekształcić wyrażenia trygonometryczne z uwzględnieniem związków między funkcjami trygonometrycznymi sprawdzić proste tożsamości trygonometryczne wyznaczyć kąta nachylenia prostej określonej wzorem do osi OX stosować funkcje trygonometryczne w prostych zadaniach z planimetrii 5
Poziom (R) lub (D) obliczyć wartość trudniejszych wyrażeń, w których występują funkcje trygonometryczne stosować związki między funkcjami trygonometrycznymi do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych obliczyć wartość wyrażenia zbudowanego z funkcji trygonometrycznych, gdy znana jest wartość danej funkcji trygonometrycznej kąta α uzasadnić związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ( sin cos 1, tg ctg 1 ) stosować funkcje trygonometryczne w zadaniach z planimetrii zastosować wiadomości o funkcji trygonometrycznej w zadaniach o treściach praktycznych oraz w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności IV.FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI zdefiniować funkcję oraz rozstrzygnąć, czy dane przyporządkowanie zadane grafem, wykresem, tabelą jest funkcją określać funkcję za pomocą: grafu, tabeli, wzoru, wykresu, opisu słownego wskazać zależność funkcyjną w różnych sytuacjach np. fizyczną, geometryczną wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej prostym wzorem obliczyć wartość funkcji liczbowej danej wzorem dla danego argumentu obliczyć argument funkcji, gdy dana jest jej wartość odczytać wartość funkcji dla danego argumentu oraz argument funkcji dla danej wartości na podstawie jej wykresu lub tabeli odczytać z wykresu własności funkcji (dziedzina, zbiór wartości, miejsce zerowe, monotoniczność, znak funkcji) odczytać z wykresu największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale obliczyć miejsca zerowe funkcji w prostych przypadkach na podstawie wykresu funkcji y f (x) przekształcać wykresy funkcji sporządzić wykresy funkcji: y f ( x), y f x, y f x, y f x a b wykonać wykres funkcji liczbowej przedziałami liniowej przekształcić wykres funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych, osi OX oraz OY zapisać wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię osiową względem osi OX, symetrię osiową względem osi OY, symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, przesunięcie równoległe o dany wektor 6
Poziom (R) lub (D) narysować wykres funkcji, której zbiór argumentów jest dany przedziałami liczbowymi określić dziedzinę funkcji liczbowej danej wzorem w przypadku, gdy jej wyznaczenie wymaga rozwiązania koniunkcji warunków, dotyczących mianowników lub pierwiastków stopnia drugiego, występujących we wzorze funkcji obliczyć miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem w trudniejszych przypadkach opisać zależności z życia codziennego za pomocą funkcji potrafi rozwiązywać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności), dotyczące przekształceń wykresów funkcji oraz własności funkcji V.FUNKCJA LINIOWA zna pojęcie proporcjonalności prostej potrafi wskazać współczynnik proporcjonalności rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem proporcjonalności prostej zdefiniować funkcję liniową wykonać wykres funkcji liniowej odczytać własności funkcji liniowej na podstawie wykresu (dziedzina, zbiór wartości, miejsce zerowe, monotoniczność, znak funkcji) obliczyć miejsca zerowe funkcji liniowej obliczyć współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych obliczyć argument funkcji liniowej, gdy dana jest wartość funkcji podać warunek równoległości i prostopadłości prostych potrafi napisać wzór funkcji liniowej równoległej (prostopadłej) do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt odczytać współczynnik kierunkowy prostej i obliczyć go stosując wzór sprawdzić czy dany punkt należy do prostej rozpoznać proste równoległe/prostopadłe na podstawie ich równań kierunkowych znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostych, rozwiązując układ równań zamienić postać kierunkową prostej na ogólną i odwrotnie obliczyć odległość dwóch punktów na płaszczyźnie obliczyć odległość punktu od prostej podać interpretację geometryczna układu dwóch równań liniowych przeprowadzić analizę typów układów równań bez ich rozwiązywania obliczyć współrzędne środka odcinka 7
obliczyć współrzędne końca odcinka, mając dany jego środek oraz jeden z końców odcinka zaznaczyć półpłaszczyznę określoną nierównościami liniowymi sprawdzić, czy dany punkt należy do półpłaszczyzny określonej nierównością podać interpretację geometryczną układu nierówności rozwiązać graficznie układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi znać warunek równoległości i prostopadłości prostych w postaci ogólnej zna równanie okręgu o danym środku i promieniu zamienić równanie okręgu z postaci ogólnej na kanoniczną i odwrotnie określić wzajemne położenie dwóch okręgów oraz okręgu i prostej Poziom (R) lub (D) wyznaczyć równania środkowych i wysokości trójkąta obliczyć odległość dwóch prostych równoległych określić, czy trójkąt jest prostokątny, mając dane współrzędne jego wierzchołków wyprowadzić równanie okręgu znaleźć równanie okręgu, gdy dane są współrzędne trzech punktów należących do okręgu znaleźć równanie stycznej do okręgu obliczyć współrzędne punktów, w których przecinają się dany okrąg i dana prosta lub dwa dane okręgi interpretować treść zadania tekstowego, sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z jego warunkami przedstawić za pomocą układu równań lub nierówności część płaszczyzny układu współrzędnych zaproponować rozwiązanie zadania tekstowego o nietypowym problemie opisywać figury geometryczne za pomocą równań, nierówności z uwzględnieniem wartości bezwzględnej lub parametru rozwiązywać nietypowe zadania o podwyższonym stopniu trudności V.FUNKCJA KWADRATOWA przekształcać funkcję kwadratową z jednej postaci w druga w zakresie postaci kanonicznej, iloczynowej oraz ogólnej określić współrzędne wierzchołka paraboli naszkicować wykres funkcji kwadratowej i opisać jej własności napisać wzór funkcji kwadratowej o zadanych własnościach obliczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale zastosować własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania prostych zadań optymalizacyjnych 8
ustalić liczbę pierwiastków równania kwadratowego rozwiązać algebraicznie i graficznie proste nierówności kwadratowe przekształcać wykresy funkcji kwadratowej zastosować wzory Viete`a do wyznaczania wartości wyrażeń z zastosowaniem sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego określić znak pierwiastków na podstawie wzorów Viete`a Poziom (R) lub (D) wyznaczyć najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej w prostych zadaniach optymalizacyjnych rozwiązywać bardziej złożone równania i nierówności kwadratowe rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności kwadratowych ustalić liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od parametru rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną rozwiązać równanie i nierówność kwadratową z wartością bezwzględną zbadać dla jakich wartości parametru funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe, które spełniają określone warunki zastosować wzory Viete`a w równaniach kwadratowych z parametrem rozwiązać równanie dwukwadratowe zbadać liczbę rozwiązań równania i nierówności z parametrem o podwyższonym stopniu trudności (koniunkcja kilku warunków) rozwiązać różne problemy dotyczące funkcji kwadratowej, które wymagają niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów 9