6. Transmisja i generacja sygnałów okresowych

24 6. Transmisja i generacja sygnałów okresowych Cele ćwiczenia Zapoznanie ze środowiskiem programistycznym Code Composer Studio. Zapoznanie z urządzeniem TMX320C5515 ezdsp. Zapoznanie z podstawami programowania urządzenia TMX320C5515 ezdsp w języku C. Obserwacja zjawisk wynikających z twierdzenia o próbkowaniu, aliasingu i niejednoznaczność reprezentacji sygnału przez ciąg próbek. Zapoznanie z metodami programowej generacji sygnałów okresowych. Transmisja sygnałów przez urządzenie TMX320C5515 ezdsp Z analogowych zacisków zewnętrznych zestaw TMX320C5515 ezdsp jest widziany, jako urządzenie analogowe przetwarzające analogowy sygnał wejściowy x(t) w analogowy sygnał wyjściowy y(t). Wewnątrz urządzenia sygnał analogowy x(t) jest zamieniany w sygnał cyfrowy x[n], następnie przetwarzany cyfrowo w sygnał cyfrowy y[n], który jest zamieniany w sygnał analogowy y(t) dostępny na wyjściu urządzenia, rysunek 5.1.

25 TMX320C5515 ezdsp x(t) Kodek TLV320AIC3204 A/C x[n] Procesor TMX320C5515 left_input right_input y(t) C/A y[n] left_output right_outpu Algorytm CPS f p Rys. 5.1. Schemat przetwarzania sygnału analogowego przez zestaw TMX320C5515 ezdsp We wszystkich uruchamianych programach dla próbek wejściowych i wyjściowych przyjęto nazwy left_input wejściowa próbka kanału lewego, right_input wejściowa próbka kanału prawego, left_output wyjściowa próbka kanału lewego, right_output wyjściowa próbka kanału prawego. Do komunikacji procesora z kodekiem wykorzystywane są dwie funkcje aic3204_codec_read(*int, *int) i aic3204_codec_write(*int, *int), z których pierwsza pobiera próbki wejściowe, a druga wysyła próbki na wyjście. Na listingu 5.1 przedstawiony jest kod procedury transmisji próbek z wejścia na wyjście. Listing 5.1. Kod procedury transmisji próbek z wejścia na wyjście aic3204_codec_read(&left_input, &right_input); // czytanie próbek. left_output = left_input; // transmisja z wejścia na wyjście right_output = right_input; // można zamienić na własny kod aic3204_codec_write(left_output, right_output); // wysłanie próbek

26 Program przesyłający próbki z wejścia na wyjście nie przetwarza sygnału, ale może być punktem wyjścia dla programu cyfrowego przetwarzania sygnału, wystarczy umieścić odpowiedni kod przetwarzania sygnału między instrukcją pobrania próbek z wejścia, a instrukcją wysłania próbek na wyjście. Laboratoryjne badania programu transmisji sygnału z wejścia na wyjście (nazywanego po angielsku Talkthru lub Audio Loopback) pozwalają na zbadanie właściwości przetwarzania analogowo-cyfrowego i działania układu rekonstrukcji sygnału analogowego. Doświadczenie 5.1. Badanie transmisji sygnału przez urządzenie TMX320C5515 ezdsp program TT. 1. Uruchomić program TT przyciskami zmienia się szybkość próbkowania, dostępne wartości to 8, 16, 24 i 48 khz. 2. Uruchomić programy przyrządów pomiarowych Generator i Oscylograf. 3. Ustawić poziom sygnału generatora tak, aby nie wystąpił efekt jego nasycenia, f p = 8 khz. 4. Zbadać transmisję przez urządzenie sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach (2,4 khz; 5,6 khz) i (3,5 khz; 3,8 khz) pomierzyć przebiegi czasowe (oscylogramy) i widma sygnałów wyjściowych przy wszystkich szybkościach próbkowania. 5. Zbadać transmisję przez urządzenie sygnałów prostokątnych o częstotliwościach (320 Hz, 880 Hz) i (2,4 khz; 5,6 khz) pomierzyć przebiegi czasowe i widma sygnałów wyjściowych przy wszystkich szybkościach próbkowania. W sprawozdaniu: 1. Wyjaśnić, co się stało z sygnałami o częstotliwości 5,6 khz, gdy f p = 8 khz? 2. Wyjaśnić, dlaczego niektóre zrekonstruowane sinusoidy mają zmienną amplitudę?

27 3. Wyjaśnić, dlaczego podając na wejście sygnał prostokątny o częstotliwości 2,4 khz dla f p = 8 khz na wyjściu otrzymuje się sinusoidę? 4. Analizę wyników zilustrować wybranymi wykresami. Błędy rekonstrukcji sygnału analogowego W zrekonstruowanym sygnale sinusoidalnym o częstotliwości bliskiej częstotliwości Nyguista równej 0,5f p pojawiają się widoczne zniekształcenia, które można zobaczyć na rysunku 5.2, przedstawiającym wynik rekonstrukcji sygnału sinusoidalnego o częstotliwości 3900 Hz pomierzony na wyjściu urządzenia TMX320C5515 ezdsp; f p = 8 khz. Rys. 5.2. Wynik rekonstrukcji sygnału sinusoidalnego o częstotliwości = 3900 Hz, f p = 8 khz Przyczynę zmian amplitudy zrekonstruowanej sinusoidy można zidentyfikować obserwując jej widmo amplitudowe przedstawione na rysunku 5.3.

28 Rys. 5.3. Pomierzone widmo amplitudowe zrekonstruowanego sygnału sinusoidalnego o częstotliwości = 3900 Hz, f p = 8 khz W widmie tym występuje stłumiony pożądany prążek rekonstruowanej sinusoidy o częstotliwości równej 3900 Hz i dodatkowo niepożądany prążek o częstotliwości równej 4100 Hz, który powinien zostać usunięty przez dolnoprzepustowy filtr układu rekonstrukcji sygnału analogowego. W idealnym układzie filtr rekonstrukcyjny powinien usuwać wszystkie składowe sygnału analogowego o częstotliwościach większych od częstotliwości Nyquista = 4 khz. Ponadto filtr nie powinien tłumić składowych o częstotliwościach poniżej częstotliwość Nyquista. W rzeczywistych układach rekonstrukcji sygnału analogowego filtry dolnoprzepustowe mają charakterystyki znacząco odbiegające od ideału i dlatego, aby zadawalająco zrekonstruować sygnał analogowy, należy spełnić warunek wynikający z twierdzenia o próbkowaniu z odpowiednim zapasem. Ów zapas zależy od jakości filtru i wymaganej jakości zrekonstruowanego sygnału. Na rysunku 5.4 przedstawiono pomierzoną charakterystykę amplitudową toru sygnału z analogowego wejścia na analogowe wyjście urządzenia TMX320C5515 ezdsp przy f p = 8 khz.

29 Rys. 5.4. Pomierzona charakterystyka amplitudowa toru sygnału z analogowego wejścia na analogowe wyjście urządzenia TMX320C5515 ezdsp, f p = 8 khz Charakterystyka toru sygnału z analogowego wejścia na analogowe wyjście obejmuje transmitancje dolnoprzepustowego wejściowego filtru antyaliazingowego i dolnoprzepustowego wyjściowego filtru rekonstrukcyjnego. Rysunek 5.4 pozwala oszacować stromość zboczy filtru antyaliazingowego i rekonstrukcyjnego platformy TMX320C5515 ezdsp. Na odcinku od 3,5 khz do 4,5 khz tłumienie toru sygnału rośnie o ponad 70 db, co daje stromość zbocza = 70/log(4,5/3,5) = 641 db/dekadę. Dzieląc obliczoną stromość zbocza na dwa filtry, wychodzi, że każdy z nich powinien mieć zbocze o stromości ponad 300 db/dekadę, co jest niezwykle trudne do uzyskania w filtrze analogowym. Wymagania stawiane analogowym filtrom antyaliazingowym i rekonstrukcyjnym można zmniejszyć zwiększając szybkość próbkowania przy tym samym paśmie użytecznym. Dzięki nadpróbkowaniu i decymacji wymagania stawiane filtrowi antyaliazingowemu można podzielić na dwa filtry jeden analogowy drugi cyfrowy. Podobnie stosując interpolację można postąpić z filtrem rekonstrukcyjnym.

30 Nadpróbkowanie, decymacja i interpolacja sygnału cyfrowego Filtr antyaliazingowy powinien zablokować zawijanie się do pasma użytecznego składowych niepochodzących z tego pasma. Przyjmując f p = 48 khz i pasmo użyteczne = 20 khz, pasmo zaporowe antyaliazingowego filtru dolnoprzepustowego powinno zaczynać się na częstotliwości 28 khz. Przyjmując minimalne tłumienie w paśmie zaporowym = 60 db, wymagana stromość zbocza wyniesie 60/log(28/20) = 410 db/dekadę. Przyjmując f p = 96 khz pasmo zaporowe filtru dolnopasmowego powinno zaczynać się na częstotliwości 96 20 = 76 khz i wymagana stromość zbocza wyniesie 60/log(76/20) 100 db/dekadę. Dla f p = 192 khz wymagana stromość zbocza wyniesie 60 db/dekadę. Zwiększenie szybkości próbkowania nazywane nadpróbkowaniem pozwala na zmniejszenie stromości zbocza filtru analogowego i dokonanie dalszej filtracji antyaliazingowej przez łatwiejszy w realizacji filtr cyfrowy. Po filtracji cyfrowej można zmniejszyć częstotliwość próbkowania do wymaganej poprzez decymację. Filtr rekonstrukcyjny ma podobne parametry jak filtr antyaliazingowy i przy jego realizacji można postąpić podobnie. Przed filtracją analogową można zwiększyć szybkość próbkowania i odsunąć dalej repliki widma od pasma użytecznego. Robi się to w dwóch etapach: najpierw pomiędzy istniejące próbki wstawia się próbki zerowe następnie filtruje sygnał dolnoprzepustowym filtrem interpolacyjnym. Filtr interpolacyjny powinien usunąć składowe widma powyżej pasma użytecznego. Kolejne doświadczenie pozwala prześledzić właściwości przetwarzania analogowo-cyfrowego, zaobserwować aliazing i niejednoznaczność reprezentacji sygnału przez ciąg próbek. Pełny tor sygnału, w programie Decymator, przedstawiony na rysunku 5.5 A/C LPF 6:1 LPF C/A Rys 5.5. Pełny tor sygnału w programie Decymator

31 składa się z 1. przetwornika C/A pracującego z częstotliwością 48 khz, 2. filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej = 4 khz pełniącego rolę filtru antyaliazingowego, 3. decymatora 6:1 pełniącego rolę układu próbkującego, 4. filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej = 4 khz pełniącego rolę filtru rekonstrukcyjnego, 5. przetwornika A/C pracującego z częstotliwością 48 khz. W programie Decymator przyciskami zmienia się tor sygnału w kanałach lewym i prawym (włącza i wyłącza filtry), aktualne składniki toru sygnału są wypisane na konsoli i na wyświetlaczu. Pomijając filtr antyalizingowy można obserwować aliazing i niejednoznaczność reprezentacji sygnału przez ciąg próbek. Pomijając filtr rekonstrukcyjny można obserwować okresowe widmo spróbkowanego sygnału, tylko do częstotliwości 24 khz. Doświadczenie 5.2. Badanie transmisji sygnału przez urządzenie TMX320C5515 ezdsp program Decymator. 1. Uruchomić program Decymator. 2. Dobierając odpowiednie częstotliwości sygnału wejściowego i tor sygnału bez filtru antyaliazingowego zaobserwować aliazing i niejednoznaczność reprezentacji sygnału przez ciąg próbek. 3. Zaobserwować widmo próbek sygnału wyjściowego, gdy pominięty jest filtr rekonstrukcyjny. W sprawozdaniu: 1. Umieścić przykładowe wykresy przedstawiające badane zjawiska. Na rysunkach 5.6 i 5.7 przedstawiono przykładowe wykresy uzyskane w doświadczeniu 5.2.

32 Rys. 5.6. Ciąg impulsów próbkujących o częstotliwości = 4 khz na wyjściu analogowym urządzenia TMX320C5515 ezdsp, f p = 48 khz Rys. 5.7. Widmo częstotliwościowe próbek prostokąta o częstotliwości = 700 Hz, fp = 8 khz uzyskanych z pominięciem filtru antyaliazingowego (u góry), widmo zrekonstruowanego prostokąta z widocznym aliasingiem (u dołu) Generacja sygnałów okresowych Najprostszym sposobem wygenerowania sygnału okresowego jest zapisanie w pamięci procesora obliczonych zewnętrznym programem próbek jednego okresu tego sygnału i okresowe wysyłanie ich na wyjście. Metoda ta jest prosta i nie obciąża procesora, ale nie pozwala dowolnie zmieniać częstotliwości generowanego sygnału. Inną metodą jest obliczanie najpierw bieżącej unormowanej fazy sygnału a następnie wartości sygnału dla tej fazy. Analogowy przebieg sinusoidalny dany jest wzorem

33 x t) Asin( t ) Asin(2 ft ), (5.1) ( 0 0 gdzie A amplituda, ω pulsacja, f częstotliwość, φ 0 faza początkowa. Ciąg próbek sygnału danego wzorem (5.1) ma postać x n] Asin( nt ) Asin(2 fnt ) (5.2) [ 0 0 gdzie T jest okresem próbkowania. Wzór ten można przedstawić także w postaci gdzie x n] Asin( nt ) Asin( Fn ) (5.3) [ 0 0 T 2f / (5.4) f p jest pulsacją cyfrową, a F / 2 f / (5.5) f p jest unormowaną cyfrową częstotliwością. Przyjmując, że częstotliwość f spełnia warunek f f f wynikający z twierdzenia o próbkowaniu, to 1 1 F i unormowaną cyfrową częstotliwość można zapisać jako liczbę w formacie Q15 z wykorzystaniem całego zakresu tych liczb, czyli możliwie najdokładniej. Wyrażony w radianach argument sinusa (kąt fazowy) [ t ] 2ft 0 jest liniową funkcją czasu i może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste. W obliczeniach numerycznych liniowo rosnący kąt fazowy może przekroczyć zakres liczb danego typu i wystąpi przepełnienie, dlatego wykorzystując okresowość sinusa należy kąt fazowy sprowadzić do przedziału [0, 2π) albo [ π, π). Wykorzystując okresowość sinusa wzór (5.3) można zapisać w postaci p p

34 x[ n] Asin( Fn0) Asin( (( Fn0 / )mod2)) Asin( [ n]), (5.6) gdzie [ n ] ( Fn0 / )mod2 jest unormowaną fazą należąca so przedziału [0, 2). Unormowaną fazę sygnału można obliczać rekurencyjnie [ 0] 0 /, [ n1] ( [ n] F)mod2. (5.7) Jeśli obliczenia dane wzorem (5.7) są wykonywane w arytmetyce modularnej na liczbach całkowitych Q15, to modyfikacja fazy wymaga wykonania tylko instrukcji dodawania modulo 2 jest wykonywane automatycznie, gdy wystąpi przepełnienie. Jeśli wynik jest zadeklarowany jako zmienna bez znaku to należy do przedziału [0, 2), a jeśli wynik jest zadeklarowany jako zmienna ze znakiem, to należy do przedziału [ 1, 1). W uruchamiany w laboratorium programach zmienna przechowująca wynik jest zmienną ze znakiem. Unormowaną częstotliwość formacie Q15 F Q15, dla f p = 48 khz, można obliczyć na podstawie wzoru F 2 f 2 16 30 15 15 14 14 Q15 2 F 2 f 2 f 22370f / 2 f p 48000 48000 2, (5.8) instrukcją int F = ( (long)f * 22370 ) >> 14; Dla f p = 8 khz unormowana częstotliwość F Q a instrukcja, która 11 15 16777f / 2 ją oblicza, ma postać int F = ( (long)f * 16777 ) >> 11;

35 Do obliczenia wartości sinusa można wykorzystać funkcję sine() z biblioteki TMS320C55x DSPLIB, która oblicza wartość sinusa dla unormowanej fazy. Nagłówek funkcji na postać ushort sine(data *x, DATA *r, ushort nx); gdzie x[] jest wektorem danych unormowanych faz x[n], jest wektorem obliczonych wartości funkcji sinus, nx jest wymiarem wektorów x[] i r[], n = 0, 1,, nx l. Wartości próbek sinusoidy można obliczać na podstawie rozwinięcia funkcji sin(x) w szereg potęgowy 3 5 7 9 x x x x sin( x ) x..., x, (5.9) 3! 5! 7! 9! lub na podstawie wielomianu aproksymującego. Funkcja sine() wykorzystuje wielomian 5. stopnia aproksymujący funkcję sin(πx) dla x [0,1/2] [?]. sin( x) a x a x 3,140625 x 0.02026367x 1 2 2 2 a x 3 3 5,325196 x a 3 4 x 4 a x 5 5 0,5446778 x 4 1,800293 x 5, (5.10) Wartość funkcji sine() dla argumentów z poza przedziału [ 0,1/ 2] można obliczyć wykorzystując okresowość sinusa oraz wzory redukcyjne sin( x) sin( x) i sin( x) sin( x). Doświadczenie 5.3. Pomiary generatora przebiegów sinusoidalnych program Generator. 1. Uruchomić program Generator przyciskami zmienia się typ generowanego przebiegu, ostatnia pozycja pozwala na wprowadzenie z konsoli częstotliwości generowanych sygnałów i wybór szybkości próbkowania.

36 2. Wygenerować analogowe przebiegi sinusoidalne o częstotliwościach 100 Hz, 1 khz, 3 khz, 3333 Hz, 3,8 khz, 3,95 khz, przy szybkości próbkowania f p = 8 khz. 3. Zaobserwować generowane przebiegi. 4. Pomierzyć widmo amplitudowe generowanych przebiegów. W sprawozdaniu: 1. Umieścić przebieg czasowy i wykres widma amplitudowego sygnału o częstotliwości 3,95 khz na wykresie widma amplitudowego ręcznie opisać składowe i zaznaczyć częstotliwość Nyquista. 2. Umieścić 2 wybrane przez autorów przebiegi czasowe i odpowiadające im 2 wykresy widma amplitudowego badanych przebiegów. 3. Wyjaśnić kształt generowanych przebiegów oraz kształt ich widma amplitudowego. Generator przebiegów piłokształtnych, trójkątnych i prostokątnych Przy analizie widna generowanych przebiegów przydatne będą ich rozwinięcia w szereg Fouriera. Na rysunku 5.7 przedstawiono przebieg piłokształtny, którego próbki oblicza program Generator (wartość szczytowa a = 1). y a T 0 T 2T 3T x a

37 Rys. 5.7. Przebieg piłokształtny Rozwinięcie w szereg Fouriera przebiegu piłokształtnego z rysunku 5.7, dla a = π, T 2, dane jest następującym wzorem [4] sin x sin 2x sin3x y 2.... (5.11) 1 2 3 Rozwinięcie w szereg Fouriera przebiegu trójkątnego przedstawionego rysunku 5.8, y a T 0 T 2T 3T x Rys. 5.8. Przebieg trójkątny dla a, 2 T, dane jest wzorem [4] 4 cosx cos3x cos5x y.... 2 2 (5.12) 2 1 3 5 Rozwinięcie w szereg Fouriera sygnału prostokątnego o wartości szczytowej równej a, okresie równym 2π, zerowej składowej stałej i współczynniku wypełnienia równym 50% ma postać [4] 4 a sin3x sin5 y sin x x.... (5.13) 3 5 Z powyższego wzoru wynika, że fala prostokątna jest przebiegiem szerokopasmowy, zawierającym nieskończenie wiele nieparzystych harmonicznych. Przyjmując, że składowa podstawowa fali prostokątnej ma

38 amplitudę równą 1, amplituda n-tej harmonicznej wyniesie 1/n, gdzie n = 3, 5, 7,... (amplitudy parzystych harmonicznych są równe 0). Amplitudy kolejnych nieparzystych harmonicznych fali prostokątnej maleją powoli, co utrudnia dyskretyzację przebiegów prostokątnych. Aby, w miarę poprawnie, zrekonstruować przebieg prostokątny, musi on zawierać sporą liczbę harmonicznych, co wymusza dużą szybkość próbkowania kilkadziesiąt razy większą od częstotliwości fali prostokątnej. We wzorach (5.11), (5.12) i (5.13) widać mniejszą zawartość harmonicznych w przebiegu trójkątnym niż piłokształtnym i prostokątnym, co ma istotny wpływ na kształt generowanych sygnałów analogowych. Na rysunku 5.9 przedstawiono przebieg czasowy (oscylogram) zrekonstruowanej fali prostokątnej o częstotliwości 320 Hz wygenerowanej przez program Generator szybkość próbkowania równa 8 khz. Rys. 5.9. Przebieg czasowy generowanej fali prostokątnej o częstotliwości = 320 Hz, f p = 8 khz Próbki obliczane przez program, na podstawie których zrekonstruowano sygnał, są próbkami przebiegu prostokątnego zawierającego wszystkie harmoniczne, nie zastosowano tu żadnego filtru antyaliasingowego. W generowanym sygnale harmoniczne o częstotliwościach większych od częstotliwości Nyquista są podczas

39 rekonstrukcji sygnału analogowego tłumione przez filtr dolnoprzepustowy i nie ma ich w pomierzonym widmie sygnału przedstawionym na rysunku 5.10. Rys. 5.10. Widmo amplitudowe generowanej fali prostokątnej o częstotliwości = 320 Hz, f p = 8 khz W wyniku przeplatania się widm, w paśmie podstawowym pojawiają się natomiast dodatkowe prążki widma, widoczne na rysunku 5.10, pochodzące od nieusuniętych przez filtr antyaliasingowy składowych widma o częstotliwościach większych od częstotliwości Nyquista. Istotny wpływ na kształt generowanych przebiegów prostokątnych, oprócz zjawiska aliasingu, mają obwody wyjściowe zestawu TMX320C5515 ezdsp, w których występują kondensatory sprzęgające odcinające napięcia stałe i tłumiące składowe widma o małych częstotliwościach. Kondensatory sprzęgające powodują, że jeśli kolejne próbki mają stałą wartość, to wyjściowe napięcie analogowe eksponencjalnie maleje do zera. Doświadczenie 5.4. Pomiary generatora przebiegów piłokształtnych, trójkątnych i prostokątnych program Generator.

40 1. Wygenerować analogowe przebiegi piłokształtne, trójkątne i prostokątne o częstotliwościach 200 Hz, 310 Hz i 700 Hz; szybkość próbkowania f p = 8 khz. 2. Zaobserwować generowane przebiegi. 3. Pomierzyć widmo amplitudowe generowanych przebiegów. W sprawozdaniu: 1. Umieścić wykresy przebiegów czasowych sygnałów o częstotliwości 310 Hz i wykresy ich widma amplitudowego. 2. Wyjaśnić kształt generowanych sygnałów oraz kształt ich widma amplitudowego. 3. Na wykresach widma amplitudowego ręcznie ponumerować harmoniczne.