ELEKTRYKA 014 Zeszyt 1 (9) Rok LX Krzysztof SZTYMELSKI, Marian PASKO Politechnika Śląska w Gliwicach MATEMATYCZNY MODEL PĘTLI ISTEREZY MAGNETYCZNEJ Streszczenie. W artykule został zaprezentowany matematyczny model pętli histerezy magnetycznej. Zostały wyprowadzone równania matematyczne opisujące pętlę, wykorzystujące funkcje parametryczne oraz funkcje B = f(). Uzyskane wyniki zilustrowano przykładami, w tym również aproksymacją charakterystyki magnesowania badanej próbki rzeczywistej. Słowa kluczowe: histereza magnetyczna, magnetyzacja, badania materiałów ferromagnetycznych B- LOOP MATEMATICAL MODEL Summary. In this article the mathematical model of B- loop has been presented. The formulae describing the B- loop using the parametric functions and functions B = f() have been carried out. Obtained results have been illustrated by an examples including the approximation of B- loop of real material sample. Keywords: B- loop, magnetization, ferromagnetic materials examination 1. WSTĘP Analiza histerezy materiału ferromagnetycznego B = f() jest zadaniem nurtującym inżynierów, nie tylko związanych z elektrotechniką, ale ostatnio także z materiałoznawstwem [] (np. badania wytrzymałości i zużycia stali). Badania histerezy magnetycznej polegają najczęściej na pomiarze wielu próbek za pomocą specjalnych przetworników pomiarowych. Autorzy proponują, jak uzyskane próbki opisać wzorami matematycznymi, pozwalającymi na dokładną aproksymację. Uzyskane wzory można poddawać dalszej obróbce, np. celem uzyskania wzoru na magnetyzację M [1], [], [3], [4].
8 K. Sztymelski, M. Pasko. MODELOWANIE PĘTLI ISTEREZY MAGNETYCZNEJ.1. Wyjściowe wzory parametryczne istereza magnetyczna nie jest funkcją matematyczną. Dlatego do jednoznacznego opisu najlepiej wykorzystać wzór parametryczny. t, (1) sin Br B atan Asint cost tan B B () przy czym B r jest to wartość indukcji dla = 0 (indukcja szczątkowa). Natomiast dla zadanych wartości B i pulsacja we wzorach (1) i () staje się nieistotna. Współczynnik A można nazwać współczynnikiem kształtu histerezy i jest on zależny od rodzaju materiału ferromagnetycznego (rodzaj ferromagnetyka, np. miękki lub twardy) - rys. 1. Rys. 1. Wpływ współczynnika A na kształt pętli histerezy magnetycznej Fig. 1. Coeffiecent A influence on the B- loop waveform
Matematyczny model pętli 83.. Rozłożenie funkcji parametrycznej na dwie funkcje B = f() Obecnie większość programów matematycznych (takich jak Origin, Grapher itp.) pozwala na aproksymację wykresu z punktów pomiarowych za pomocą funkcji parametrycznych, jednakże dla dalszej obróbki funkcji bardziej korzystne jest uzyskanie wzorów B = f(). Podstawiając wzór (1) do zależności (), otrzymano równania (3) oraz (4). A Br B atan 1 tan B B1, (3) B A Br B atan 1 tan B. (4) Na rys. przedstawiono złożenie dwóch funkcji B = f(). Jest to m.in. sprawdzenie poprawności wyprowadzenia wzorów (3) i (4). Rys.. Pętla histerezy magnetycznej jako złożenie dwóch funkcji B = f() Fig.. B- loop as a connection of two functions B = f()
84 K. Sztymelski, M. Pasko 3. MAGNETYZACJA Zaproponowane modele matematyczne pozwalają na swobodne obliczanie magnetyzacji M jako pochodnej z indukcji magnetycznej po natężeniu pola. B A Br tan B B 1 1 A Br 1 1 tan B, (5) B A Br tan B B 1 A Br 1 1 tan B. (6) Na rys. 3 przedstawiono charakterystyki magnetyzacji M, uzyskane ze wzorów (5) i (6). Magnetyzacja, a szczególnie jej maksimum, jest jednym z najbardziej interesujących parametrów, który można obserwować przy badaniach materiałów ferromagnetycznych. Ponieważ często pętla histerezy magnetycznej jest modelowana wieloodcinkowo, z wykorzystaniem bardzo różnych funkcji, z uzyskiwanych wzorów nie można obliczyć magnetyzacji. Maksimum magnetyzacji poszukiwane jest często z wykorzystaniem rzeczywistych układów różniczkujących, np. obwodów RC ze wzmacniaczami operacyjnymi OPA. Rozwiązania takie wprowadzają do pomiarów szereg błędów, których można unikać analizując same tylko próbki pomiarowe, pobrane sondą o sprawdzalnej dokładności.
Matematyczny model pętli 85 Rys. 3. Magnetyzacja M Fig. 3. Magnetization M 4. APROKSYMACJA RZECZYWISTYC PRÓBEK POMIAROWYC Dokonano analizy 400 rzeczywistych próbek pomiarowych. Badana była hartowana stal niemająca zastosowania w elektrotechnice, w szczególności w stanach ciągłego przemagnesowywania (jak ma to miejsce np. w blachach transformatorowych). Wartości B oraz podano w postaci względnej (bezwymiarowo). Można więc uznać, że jest to próbka dowolnego materiału ferromagnetycznego. Dane odczytane z wykresu (rys. 4) i z próbek:,75 B 3, B r 1,3
86 K. Sztymelski, M. Pasko Rys. 4. Próbki pomiarowe indukcji Fig. 4. Measurement samples of induction Parametr A można dobrać numerycznie jako uśrednienie obliczonych A dla x oraz Bx, gdzie x jest numerem próbki. A B x x B atan 1 tan r B, B1x Bx A x 1 x tan Br B atan B, (7) (8) Nie istnieje wzór analityczny uzależniający parametr A z x oraz Bx. Jeżeli dokładność aproksymowanej charakterystyki nie musi być duża, parametr A można dobrać porównując charakterystykę matematyczną (aproksymowaną) dla różnych A z naniesionymi próbkami. Na podstawie wzorów (3) i (4), dobierając numerycznie wartość A, uzyskano następującą aproksymację: (9) (10) B1, 757 atan 0,836 0,510 1 0,13, B, 757 atan 0,836 0,510 1 0,13.
Matematyczny model pętli 87 Rys. 5. Aproksymacja próbek pomiarowych Fig. 5. Approximation of the measurement samples Magnetyzacja badanej próbki została przedstawiona na rys. 6. Charakterystyki opisane są wzorami (11) i (1). B1 0, 067, 757 0,836 1 0,13 1 0,836 0,510 1 0,13 B 0, 067, 757 0,836 1 0,13 1 0,836 0,510 1 0,13, (11). (1)
88 K. Sztymelski, M. Pasko Rys. 6. Magnetyzacja badanego materiału ferromagnetycznego Fig. 6. Magnetization of the examined ferromagnetic material BIBLIOGRAFIA 1. Wac-Włodarczyk A.: Materiały magnetyczne, modelowanie i zastosowania. Wydawnictwo Pol. Lubelskiej. Lublin 01 (monografia).. Żurek Z.: Wprowadzenie do elektromagnetycznej diagnostyki degradacji stali. Wydawnictwo Pol. Śląskiej, Gliwice 01 (monografia). 3. Chwastek K.: Makroskopowe modele magnesowania oparte na koncepcji pola efektywnego. Wyd. Polit. Częstochowskiej, Częstochowa 01 (monografia). 4. Szczygłowski J.: Nowoczesne materiały magnetycznie miękkie. Wybrane właściwości. Wyd. Polit. Częstochowskiej, Częstochowa 013 (monografia). Dr inż. Krzysztof Sztymelski, Prof. dr hab. inż. Marian Pasko Politechnika Śląska Wydział Elektryczny, Instytut Elektrotechniki i Informatyki ul. Akademicka 10 44-100 Gliwice e-mail: Krzysztof.Sztymelski@polsl.pl Marian.Pasko@polsl.pl