Arytmetyka komputerów

Transkrypt

1 Arytmety Arytmety omputerów rytmety lyc rytmety roereń eońcoych dopuemy bruące poyce rytmety omputerow rytmety ogrcoego reu wy po reem dmr overflow podtwowe dł rytmetyce dodwe odemowe moŝee ewec dodwń delee ewec odemowń lowe moŝee pre cłowtą potęgę by oblce perwt wdrtowego modyfowe delee ytemy dwóowe dwot terpretc cyfry wrtość rytmetyc lub logc lgorytmy odworowe w potc ec logce Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 AR I Dołdość oblceń w ytemch turlych Arytmety omputerów Dodwe, odemowe, moŝee eśl rgumety ą dołde, to wy tŝe et dołdy eśl y et błąd pryblŝe rgumetów, to moŝ łtwo otrolowć dołdość wyu Delee, moŝee eśl rgumety ą dołde, to wy et wyle edołdy lor et wycy dołdoścą rówą touow wrtośc prelowe otte rety do wrtośc del błąd pryblŝe locyu et umulowy wet eśl y et błąd pryblŝe rgumetów, to brdo trudo otrolowć dołdość wyu Woe Jeśl moŝlw et m oleośc dłń, leŝy perw wyoć dł dołde Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 AR II

2 Cyfry lcby Cyfry, lcby, welomy Cyfr ymbol pr Lcb wrtość pryp cągow cyfr tŝe ede cyfre Cyfry rbe pochodące Per A B C D E F Cyfry w pe w ęyu rbm pochodące Id ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ۴ ۵ ۶ Umow ep o pe cyfr o wrtoścch węych od dewęcu A B C D E F Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL I Lcby epoloe Cyfry, lcby, welomy Lcb epolo pr lcb,b, tóre prypo wrtość epoloą,b b, Dodwe odemowe [b]±[b][±c][b±d] MoŜee [b] [cd][cbd][dbc] Delee [b]/[cd][b] [cd]/[cd] [cd] {[cbd][dbc]}/[c d ] Potć wyłdc e co Wór de Movre -Lplce e co co e Wór Lplce e π Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL II

3 Cyfry, lcby, welomy Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL III Welomy W... Q del welomu R Q W W Woe : W P W Woe : Jeśl ą perwtm welomu W, to... P W gde P ego delem erołdlym cy lowe. Jeśl perwt ą epoloe to P Woe 3: Cłowte perwt welomu o wpółcych cłowtych ą podelm wyru wolego. Cyfry, lcby, welomy Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL IV Welom welom podtwy Welom polyoml W {,,, }... W me, prmetry W Welom podtwy rd polyoml repreetc tłobow Z{,,, }... Z prmetr mee Z Z

4 Cyfry, lcby, welomy Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL V Algebr welomów lgebr lcb Algebr welomów b b W W b Algebr lcb welomów podtwy repreetc tłobow y Y Z,, < c c y c y c c y c y Cyfry, lcby, welomy Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL VI Oblce chemt Horer ]}... [ { 3 W łoŝoość oblceow um locyów pre potęg mee o dodwń, moŝeń, oblceń potęg, pmęć potęg um locyów pre potęg mee o dodwń or moŝeń, będ pmęć UŜytece pretłce W... Woe: Perwt wymere welomu o wpółcych cłowtych ą podelm wyru wyŝego.

5 Sybe oblce wrtośc lcby chemt Horer lcby cłowte Z oblce reurecye Cyfry, lcby, welomy {,...,, }... Z ]... } {[ lcby ułmowe,..., m, m} m Z {... oblce reurecye wrtość w potc ułm wymerego Z m {[... m ] m m m } m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL VII Repreetce ytemtyce Cyfry, lcby, welomy Repreetce tłoprecowe tłobowe uupełeowe utloe połoŝee prec poycyego 3745,3,,3459 Repreetce meoprecowe łoŝee pól lcby g, c gfcd cęść ułmow frcto, mty mt, wyłd epoet potęg by rd podtwy o podtw b domem tł dl ytemu. 3,7453 5, 3,459 Repreetce retowe redue umber ytem, RNS repreetc lcby wetor ret wględem tłych by RNS tylo lcby cłowte 56 {, 3, 5, 7} {56mod,56mod3,56mod5,56mod7}{,,,} Repreetce logrytmce logrytm wrtośc bewględe Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL VIII

6 Sytemy wgowe Sytemy lcbowe Sytemy wgowe weghted bór pr wg, moŝ br er, dowolość repreetc ytem pomru cu dob4h, h6m, m6 bryty ytem mr ch cl 5,3995 mm gr ro gr 64,7989 mg foot top ft drm dr,7785 g yrd rd yd 3 ft ouce uc o 6 d r 437 / gr fthom fthom yd poud fut lb 8 o rod pręt rod 5 / yd toe meń t 4 lb ch ch 4 rod qurter q t furlog furlog ch hudredweght cwt q mle ml m 8 furlog to to t cwt legue lg 3 m cetrl t Ib Sytemy poycye potol, plce-vlue wg uporądowe Ŝdą poycą wgą oro cyfr moŝ ebęde ero Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL Sytemy poycye Sytemy lcbowe Sytemy e tłą podtwą fed-rd tłobowe rd-bed wg poyc potęg podtwy rd egbowe egtve rd uem podtw b uupełeowe rd-complemet uem wg poyc wyŝe cyfrą ową ged dgt, SD cyfry ueme Sytemy meym podtwm med-rd wg locy potęg b o ytem rym w otc ytem wgowy be er w poobe lce ytem podtwm meym I 5 edość C 5 et V 5 pąt D 5 3 pęćet 5 deąt M tyąc L 5 pęćdeąt Sytemy retowe redue umber ytem, RNS repreetc lcby wetor ret wględem tłych by RNS Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL

7 Sytemy tłobowe Sytem poycyy dl Ŝde poyc oreśloe: reguł twore wg W w,..., w, w,..., w } { m { d p,..., d, d bór dowoloych cyfr D } {,...,,,..., } W W m Sytemy lcbowe Sytem tłobowy,λ,d fed-rd podtw/b rd lcb cłowt, m wg w λ W { λ,..., λ,..., λ }, m { λ,..., λ, λ,..., λm : λ ± moŝ wg: Λ } bór cyfr D D,..., d, d } wer ero { d p W {,...,,,..., m} λ, D m o tdrdowy bór cyfr: D {,...,, } ytem tdrdowy dołdość bewględ wg me cące poyc ulp m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3 Dodwe odemowe w ytemch tłobowych Sytemy lcbowe Y {,...,,,..., m}, { y,..., y, y,..., ym} m λ, Y λ y,, y D, m D λ ± Y,...,,,..., } {,...,,,..., ± ± { m m} Y Reurecy reguł wyc cyfr umy lub róŝcy tee tylo wtedy, gdy tee ogóle rowąe rów: λ ± λ y ± λ c ± λ c λ, po uproceu: ± y ± c ± λ λ c Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 4

8 Dodwe odemowe w ytemch tłobowych Sytemy lcbowe Jeśl λ λ, to: tdrdowy bór cyfr D{,,,} wtedy rowąem et ± y ± c gdy ± y ± c m gdy ± y ± c ± c ± y ± y ± c ± c < wtedy wtedy c c etdrdowy bór cyfr D{,d,d,,d, ; d mod} e moŝ podć ogólego rową um lcb edocyfrowych moŝe tu być welocyfrow Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 4 Dodwe odemowe w ytemch tłobowych b Sytemy lcbowe eśl λ λ ytemy uemą podtwą egbowe bór cyfr et tdrdowy, to: ± y ± c ± c PoewŜ wg oleych poyc m precwe, węc rowąem et preeee podwóe c c ] [ co prowd do orety formuły dodw/odemow Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 4b

9 Włścwośc ytemów tłobowych Utow repreetc er {,...,,} ytemy turle λ w Sytemy lcbowe ytemy egbowe bą uemą λ w Zre lcb N {,,,, m } {p,,,p o,, p m } P, p λ m ropętość Z P N ymetr QPN {,...,, } Z P Q, N Q Z Sytemy cyfrm owym SD moŝlw dmrow repreetc D d,..., d, d }, p, d tdrdowe { p < p, p λ P m N tdrdowe eredudte D { α, α,...,,,..., α} Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 5 Jedocość repreetc tłobowe Sytemy lcbowe TWIERDZENIE. Repreetc lcby w yteme tłobowym et utow. D o w ó d. Nech,...,,,...,,,..., }. Jo, Ŝe, węc { m m m m < P N Z. Z ole, wrtość dowole lcby moŝ oblcyć o PoewŜ λ, tem < ropętość reu lcb Wy tąd dle, Ŝe lbo Gdy ś < λ. < λ!!. Soro ed e prerc, tem., bo wówc lbo {,,..., m} {,,..., m} gdy > {,,..., m} {,,..., m} gdy < :, to, co dowod tey. Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 6

10 Sytemy lcbowe Dodwe odemowe w ytemch turlych W tdrdowym yteme turlym λ rówem dodw et ± y ± c ± c pry tym, y, {,,..., } c {,} c {, } or c {, ± y ± c}, } {, ± y ± c m } gdy ± y ± c ± y ± c m { gdy m3 m m m ± y y y m3 y m y m y m c m m c m m c m3 m c c c m3 Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 7 Dodwe welorgumetowe w ytemch turlych y r v u, y,...,, u, v, r {,,..., pry tym } eśl lcb łdów et, um et dwucyfrow Sytemy lcbowe v, u} {, y... } gdy y... < { dodwe moŝ wyoć dwuetpowo: eleŝe oblcyć umę Ŝde poyc dodć otryme lcby dwucyfrowe m3 m m m y y y m3 y m y m y m ± m3 m m m u u u m3 u m u m u m v v v v m3 v m v m m3 m m m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 8

11 Sewecyy lgorytm moŝe w yteme turlym MoŜ multplcd A {,..., p, p}, MoŜ multpler {,...,, }, m m Sytemy lcbowe A A m m A lgorytm pemy umulc lowych locyów cęścowych m, m,...,, S S S A, S A lgorytm dod-preuń dd-d-hft lowe um cęścowych P P S Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 9 P A m P P m A { } A m Tblc moŝe w ytemch turlych Sytemy lcbowe MoŜee pre węą cyfrę w yteme tdrdowym << um cyfr locyu tł rów Kotruc tblce moŝe locy et premey Kowec oc cyfr pry > olee ltery lfbetu łcńego: A, B, C, 3 D, 4 E, 5 F, 6 G, Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL

12 Delee ewecye Sytemy lcbowe del dvded, D del dvor Q DR, R < D Q lor quotet, R ret remder dele pre D Rówe dele moŝe meć rową pełące wrue R < D R R D, <R,R < D R Q D delee owe ged dvo rety et t dele delee modulre modulu dvo rety et we dodt W turlym yteme poycyym R eśl or {,...,,,..., m D d,..., d, d,..., d }, to dołdoścą p moŝ oblcyć { l Q { q l l q l q q p,,...,,... } q p } Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL PryblŜe loru Perwym pryblŝeem loru et Dołdee pryblŝee to q q Sytemy lcbowe Q {,,...,}, te, Ŝe q D < q D, R q D < D { q, q,...,} Q, Q, q te, Ŝe D R Q D < q D,, R R q D < Koleym pryblŝem loru ą tem q Q D R Q D < q Q D q q,, te, Ŝe,, R R q D < co po lowu r prowd do erówośc prmetryce R r r q D < D D D Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL

13 Sytemy turle poycye rowęce lcby Sytemy lcbowe Jedocą repreetcą lcby w yteme turlym o podtwe et rowąe rów { m,...,,,..., }, gde {,,..., } m Dl cęśc cłowte I or ułmowe F lcby otrymmy odpowedo F I { [... ]} { [... m m m...]} ąd wy, Ŝe w yteme o podtwe oleym cyfrm rowęc cęśc cłowte I lcby ą: I mod I t I, I t I, I oleym cyfrm rowęc cęśc ułmowe F lcby ą t F, F F, F F I Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3 Kower cęśc cłowte lcby Sytemy lcbowe Procedur podtwe rowęc Horer. Podel lcbę pre podtwę ytemu docelowego. Otrym ret et oleą cyfrą rowęc poycyego 3. Otrymy lor poowe podd procedure 4. Powtr dopó e uy loru rówego Algorytm wyc repreetc cęśc cłowte A turle. A ; podtw wrtośc pocątowe. t / ; lor cłowty. ; ret 3. ; wę 4. f goto ; powtr dopó lor Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 4

14 Kower cęśc ułmowe lcby Sytemy lcbowe Procedur podtwe rowęc reurecyego. PomóŜ ułme pre podtwę ytemu docelowego. Cęść cłowt locyu oleą cyfrą rowęc poycyego 3. Cęść ułmową locyu poowe podd procedure 4. Powtr t długo Ŝ: uy wymgą dołdość m odpowedą lcbę cyfr b otrym locy rówy c wyrye oreowość pow ę poowe t m ułme Repreetc cęśc ułmowe A< dołdoścą m. A, ; podtw wrtośc pocątowe. t ; cęść cłowt locyu. ; cęść ułmow locyu 3. ; wę 4. f m goto ; powtr dopó mł dołdość Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 5 Kower by podtwy w ytemch turlych Sytemy lcbowe {,,, m } dł w yteme o podtwe moŝee lub delee pre ω {b p,,b,b } wy {,,, r } ω w yteme o podtwe ω log ω WŁAŚCIWOŚĆ ower ułm Jeśl Ŝdy del podtwy źródłowe et delem podtwy docelowe ω, to wyem ower ułm ońcoego et ułme ońcoy F m & p P : p, p : p, ω p r < : F Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 6 r ω D o w ó d. Jeśl F et ułmem ońcoym m-poycyym w be, to F m m m m m A, A, A N. m F m ońcoe rowęce tŝe w be ω, eŝel tee B N r< te, r r Ŝe F Bω, B ω. ZłóŜmy, Ŝe p,ω. Ale wówc byłoby A B p p p p A p r m m m ω &, ω &,,, węc rowęce F byłoby eońcoe, chyb Ŝe Ap m.

15 Kower ułmów oreowych w ytemch turlych Sytemy lcbowe Wyem ower ułm oreowego et ułme ońcoy lub oreowy Reguł: Wrtość ułm pomóŝ pre podtwę ytemu docelowego cęść cłowt wyu to ole cyfr rowęc, cęść ułmow podleg dle procedure Zm ułm oreowego ułme wymery c c, c c c {,, }, c {,, m } lcb poyc cęśc eoreowe ułm, c lcb poyc oreu Uwg Ułme ońcoy w be de moŝe być oreowy w be docelowe ω Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 7 Kower by oroe w ytemch turlych Kower lub Sytemy lcbowe Jeśl r r... r r,,...,,,...,, to m / r m / r r tem {,...,,,..., m} {,...,,,..., r} ; Kower : ω< mt ower ω wygode relowć ω Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 8

16 Sytemy lcbowe Kower by podtwy w ytemch turlych pryłdy 57,386 8 Z or 57,386 9 Z I mod 3 3 F I mod 3 3 F ,386 35, ,... 57,386 84,34 9, ,35 8 or 35, Z 3 dł w yteme óemowym I mod 8 8 F I mod 8 3 F , , , , Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 9 Sytemy lcbowe Kower by ułmów oreowych w ytemch turlych bepośredo moŝee orecą dowoly ułme detyfc cyl tylo,y... 53, ,537 8, F 7 F Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL

17 Stłoprecowe repreetce lcb uemych Repreetc -moduł } {,...,,,..., { m} Sytemy lcbowe, {,,..., }, m dwe repreetce er :. re lcb ymetrycy {,} Sytem egbowy bą uemą w, {,,...,,,..., } m, {,,..., } m c ymetr dodt eśl epryte, uem gdy pryte m Q [ ] lcby oreśl de brde cące poyc eerowe m u wyol tylo dl ooło / lcb Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL Dopełee odwrotość ddytyw lcby Sytemy lcbowe Dopełee lcby Jeśl et wyole dłe,...,,,..., } dgt-complemet { m {,...,,,..., Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL : } m {,..., } Q Q Y, to mmy Y Q Y Q Y Y Odwrotość ddytyw lcby {,...,,,..., m} lcb precw {,...,,,..., } m W yteme, w tórym tee lcb Q : Q Q Q Y Y Q

18 Sytemy lcbowe Sytemy uupełeowe dopełeowe Odwrotość ddytywą repreetue uupełee dopełee do by R R Uupełee eśl wyole et dłem odwrclym R R R, R R Sytemy omplemetre Q {,...,, }, ulp{,...,,} do podtwy rd-complemet, uupełeowe pełe Q R Q ulp o e tee repreetc RQulp o utow repreetc er: R e m repreetc do cyfry dgt-complemet, dopełeowe, epełe dmhed r.-c. Q R Q, R Q o RQ dwe repreetce er: or Q Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3 Uupełee repreetc lcby precwe { m Sytemy lcbowe,...,,,..., : } Q dopełee lcby odwrotość ddytywą lcbę precwą eśl tee repreetue R R Q w yteme uupełeowym pełym RQulp, węc R ulp w yteme dopełeowym epełym RQ, węc R W yteme uupełeowym lcb Q we tee, ergo Ŝde odemowe moŝ tąpć dodwem Y Y Y R Q Y Q Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 4

19 Włścwośc ytemów uupełeowych Sytemy lcbowe Repreetc lcb dodtch w reuącym yteme turlym! Q e et mrą ymetr w yteme uupełeowym. JeŜel podtw ytemu et lcbą eprytą, to w ytemch dopełeowych mu wytąpć ewel ymetr w ytemch uupełeowych re lcb moŝe być ymetrycy trude wyryce u ebęde tetowe wytch poyc Jeśl podtw ytemu et lcbą prytą, to w ytemch dopełeowych re lcb moŝe być ymetrycy w ytemch uupełeowych mu wytąpć ewel ymetr moŝlwe łtwe wyryce u gdy <, gdy, w ytemch pełych uem ymetr. podtw ytemu omplemetrego et wyle lcbą prytą uupełeowy do podtwy U/ complemet, U/ compl. dopełeowy do cyfr U/ complemet/ D Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 5 Dodwe odemowe w ytemch uupełeowych Sytemy lcbowe W ytemch turlych repreetcą lcby węe mee o edotę ulp m o repreetc {,,,} od de et wy poycyego dod odęc ulp do od te lcby. preeee poyc wyŝe śwdcy o ewyolośc dł Br rgumetów precw toowu reguły w ytemch uupełeowych repreetcą lcby precwe et } dodwe odemowe edot moŝ wyoć gode regułą ± y ± c ± c, dode edot m do lcby węe ueme {,...,, } o wrtośc m, gode regułą de w wyu poprwe odęce edot m od, gode regułą de {,...,, } problem wyolośc dł o edopoycye roeree reu pew poprwość wyu Ŝdego dodw lub odemow wyoego gode regułą Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 6

20 Sytemy lcbowe Repreetc uupełeow w yteme pełym epełym podtw pryt U D/U / m /... / m / m /... / m m... m... m... m... m / m /... / m / /... / m R R m U U, m U < U R m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 7 Wrtość lcby w yteme omplemetrym U [ ϕ R], m g Sytemy lcbowe gde ϕ fuc u lcby, R δ m δ w yteme uupełeowym lub w dopełeowym, ąd U [ ϕ ] δ ϕ m Roeree eońcoe rytmetyce?,...,,,..., } {,...,,,...,,,...,,.,.., } { m m m p tuce 35 U 35 35, U 35 U , U9 675 U , U 674 U ,99 U9 Jeśl węc ϕ, to ytem uupełeowy: e {..., e,,..., m, m,,...}, ytem uupełeowy: e {..., e,,..., m, m, e,...} e m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 8

21 Sytemy lcbowe Dwóowe ytemy uupełeowe {, } ϕ bt u! Sytem uupełeowy do complemet U U {,...,,,..., m} U m Roeree eońcoe lcby w ode U e {...,,,,..., m, m,,,...} U. Sytem dopełeowy do complemet D/U m U {,...,,,..., m} U m Roeree eońcoe lcby w ode U {..., U. e,,,..., m, m,,,...} Kower U U: U U ulp m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 9 Sytemy lcbowe Kod uupełeowy do U dopełeowy do epeły, D U D/U m... m m... m m... m m... m R m R m {,...,,,..., m} R m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3

22 Repreetc polryow lcb cłowtych Sytemy lcbowe prype repreetc turle wrtośc pomeoe o N obcąŝee {,...,, } N N, < N < {,,..., } repreetc obcąŝeem N bed N, ece N lety: re lcb dodtch uemych et eymetrycy utow repreetc er godość uporądow lcb ch repreetc odów wdy: oecość orec wyów dłń rytmetycych problemtyce uŝyce w moŝeu lub deleu repreetc polryow quymetryc Q N ymetrą uemą N Q ymetrą dodtą N Q Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3 Sytemy lcbowe Repreetc polryow lcb cłowtych w yteme dwóowym N m N m m... m m... m m... m m... m porąde lcb gody porądem odów dodwe odemowe wymg orec łtw ower od U odwrote { m, m,...,, } U { m, m,...,, } m { m, m,...,, } U { m, m,...,, } m- Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3

23 Dwóow repreetc polryow uupełeow Gdy N et N, Sytemy lcbowe {,,..., } U {,,..., } Gdy N, to poewŝ, węc otrymmy N {,,..., m} U {,,..., m} Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 33 Repreetce deęte odowe dwóowo Sytemy lcbowe do brego odow ede cyfr potreb log btów Kod BCD Bry Coded Decml Kod BCD3 ego dopełee mo-dopełe egc btów cyfry dopełee wrtośc cyfry Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 34

24 Sytemy lcbowe Repreetc dmrow ytem e ową cyfrą SD Sytem tłobowy poycyy,,d bór cyfr D {,...,,,,...,, },, SD SD : m d d, {,...,,,,...,, }, {,,..., m} SD {,,..., m} SD {,,..., m {,,..., m,, } m } m,,,,,, gdy gdy gdy gdy <,,, <. wyole w yteme SD, w yteme uupełeowym Kower odwrot moŝe być eedoc wele repreetc lcby. Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 35 Repreetc mml w dwóowym yteme SD Sytemy lcbowe repreetc mml Z,..,, } werąc węce er { m m [ ] [ < < m ] DOWÓD dl dwóowego ytemu SD: cąg werący olową cyfrę lub e de ę mmlowć olowy cąg lub...,,,...,,,... et rówowŝy...,,,...,,,... {...,, b, b,,...} {...,,, b,,...}, b, e d ę preodowć cągu cyfr lub wyŝych poycch. repreetc oc mml wyluceem ąduących e-er Jet repreetc lcby or repreetc lcby {,,,, }{,,,,} {,,,,} lcb repreetowych et, róŝych repreetc et 3 Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 36

25 Sytemy lcbowe Kod uupełeowy do U dopełeowy do 9 epeły, D9/U9 U D9/U R R {,...,,,..., } ϕ R m m Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3 Sytemy lcbowe Kod uupełeowy do 8 U8 dopełeowy do 7 epeły, D7/U7 U9 D7/U R 8 R 8 {,...,,,..., } ϕ R m m R ε ulp Ju Bert, Sytemy lcbowe'4, 4 ltopd 4 SL 3b