Matematyka kompendium szóstoklasisty

Transkrypt

1 Matematyka kompendium szóstoklasisty Spis treści Systemy liczbowe: dziesiątkowy, rzymski Liczby naturalne Oś liczbowa Porównywanie liczb Zadania tekstowe Ułamki zwykłe rozszerzanie ułamków, skracanie ułamków, NWD Porównywanie ułamków Działania na ułamkach zwykłych Ułamki dziesiętne Działania na ułamkach dziesiętnych Procenty Działania na liczbach wymiernych Podstawowe figury geometryczne Kąty Symetralna odcinka Okrąg opisany na trójkącie Dwusieczna kąta Trójkąty Czworokąty Obwody i pola figur płaskich Osie symetrii Wielościany Systemy liczbowe Dziesiątkowy dziesiętny system pozycyjny cyfry arabskie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, jednostek rzędu niższego daje jednostkę rzędu bezpośrednio wyższego: 10 jedności 1 dziesiątka, 10 dziesiątek setka 10 setek tysiąc 10 tysięcy 1 dziesiątka tysięcy 10 dziesiątek tysięcy 1 setka tysięcy 10 setek tysięcy milion Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny (skrót dec), system arabski) pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne wielokrotności liczby 10; do zapisu liczb potrzebne jest w nim 10 cyfr, którymi są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisuje się jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, niekiedy grupowanych po trzy (Okcydent) lub cztery (część Orientu). Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny przecinek dziesiętny lub kropka dziesiętna (często w programach komputerowych oraz w krajach anglosaskich). Przykładowo zapis 645,7 z separatorem dziesiętnym w postaci przecinka oznacza Kompendium matematyka 1

2 Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne. W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski. W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabskiego. Grupa milionów Grupa tysięcy Grupa jedności setki dziesiątki jedności setki dziesiątki jedności setki dziesiątki jedności Liczba Potęgi = 7*10^-1 + 5*10^0 + 4*10^1 + 6*10^2 + 8*10^3 + 7*10^4 + 1*10^5 + 4*10^6 + 3*10^7 + 2*10^8 Dwójkowy system liczbowy, system binarny, bin pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1. Rzymski system zapisywania liczb zwany też łacińskim addytywny system liczbowy, w podstawowej wersji używa 7 znaków. W systemie rzymskim używamy znaków: I, V, X, L, C, D, M Oznaczenia: I 1, V 5, X 10, L 50, C 100, D 500, M Za pomocą tych znaków można zapisać liczby od 1 d Jest to system addytywny, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 400 i 900, gdzie stosuje się odejmowanie. Zasadą jest by używać jak najmniejszej ilości znaków. Obok siebie mogą stać najwyżej 3 znaki I, 3 znaki X, 3 znaki C lub 3 znaki M. Obok siebie nie mogą stać znaki: V, L, D. Przykłady: zapis miesięcy: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII 4 = 5-1 = IV 6 = 5+1 = VI 9 = 10-1 = IX 11 = = XI 12 = = XII Inne przykłady: 40 = = XL 90 = = XC 400 = = CD 900 = = CM 1815 = MDCCCXV 1944 = MCMXLIV 1969 = MCMLXIX 1950 = MCML Kompendium matematyka 2

3 Liczby naturalne Liczby naturalne N: 0, 1, 2, 3, 4, Działania na liczbach naturalnych Dodawanie a + b = c składnik + składnik = suma = 15 Dodawanie może zawierać dowolną liczbę składników. Można zmieniać kolejność składników przemienność, np. a + b = b + a Łączność: (a + b) + c = a + (b + c) Zero w dodawaniu: a + 0 = a Odejmowanie a b = c odjemna odjemnik = różnica Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania a b = a + (-b) = -b + a Mnożenie a * b = c czynnik * czynnik = iloczyn Przemienność mnożenia: a * b = b * c 3 * 8 = 8 * 3 Mnożenie może zawierać dowolną liczbę czynników Łączność mnożenia: (a * b) * c = a * (b * c) 1*a = a a*1 = a a*0 = 0 Prawo rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania (a + b)*c = a * c + b*c (a - b)*c = a * c - b*c Dzielenie a : b = c dzielna : dzielnik = iloraz 24:3=8 Dzielenie przez 0 nie istnieje Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia a:b = c a/b = c c * b = a Jeżeli dzielna i dzielnik są liczbami zakończone zerami to możemy przed wykonaniem dzielenia skreślić w każdej z tych liczb tyle samo zer. Np :700 = 35+7 = 5 Własności dzielenia: Rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania (a + b) : c = a:b + c: b (a - b) : c = a:b - c: b np. (10+6):2 = 10:2 + 6:2 = 8 0:a = 0 a 0 a:a = 1 a 0 Dzielenie z resztą, np. 24:9 = 2 r. 6 bo 2*9 + 6 = 24 Potęgowanie a*a*a * a = a n n- wykładnik potęgi ( liczba czynników mnożenia), a podstawa potęgi a 0 = 1 dla a 0 Przykłady: 2*2*2 = 2 3 = 8; 12 0 = 1 Kompendium matematyka 3

4 Kolejność wykonywania działań: 1. Działania w nawiasach 2. Potęgowanie i pierwiastkowanie 3. Mnożenie i dzielenie 4. Dodawanie i odejmowanie Jeżeli w wyrażeniu występuje dzielenie i mnożenie to wykonujemy działania w kolejności od lewej do prawej. Analogicznie, jeśli obok siebie występuje dodawanie i odejmowanie. Oś liczbowa Oś liczbowa część prostej podzielonej na równe części, zwane jednostkami, zakończonej strzałką, (oznaczającą zwrot), z zaznaczonym punktem początkowym (zerowym) O Porównywanie liczb Z 2 liczb naturalnych większa jest, która ma więcej cyfr. Porównywanie różnicowe określamy o ile większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej. Porównywanie ilorazowe określamy ile razy większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej. Zadania tekstowe schemat rozwiązania: 1. Wypisujemy dane 2. Wypisujemy szukane 3. Zapisujemy rozwiązanie obliczenia 4. Formułujemy odpowiedź. 5. Sprawdzamy, czy zadanie rozwiązane poprawnie. Ułamki zwykłe - licznik, kreska ułamkowa, mianownik, np. Ułamek właściwy licznik mniejszy od mianownika Ułamek niewłaściwy licznik jest liczbą większą lub taką samą jak mianownik. Kompendium matematyka 4

5 Liczba mieszana złożona z całości i ułamka właściwego. Rozszerzanie ułamków mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. Ułamek nie zmienia wartości po rozszerzeniu. Skracanie ułamków dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Ułamek nie zmienia wartości. Ułamki, których nie da się już skrócić (uprościć), takie ułamki nazywamy nieskracalnymi. Ułamki są nieskracalne, wtedy gdy licznik i mianownik nie mają takich samych dzielników większych od liczby 1. O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1, mówimy, że są względnie pierwsze. Ułamkiem nieskracalnym nazywamy taki ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi Największy wspólny dzielnik : NWD Do skracania ułamków wykorzystuje się pojęcie największego wspólnego dzielnika NWD. NWD wykorzystuje się podczas redukcji ułamków do postaci nieskracalnej (tzn. takiej, w której licznik i mianownik są względnie pierwsze). Przykładowo największym wspólnym dzielnikiem liczb 20 i 30 jest 10, a 45 i 60 jest 15. NWD (20, 30) = 10, bo 10 jest największą liczbą, przez którą można podzielić liczby 20 i 30. NWD (45, 60) = 15 45/60 = 45:15 / 60/15 = ¾ Pierwsza metoda wyznaczenia NWD 20/30 = 20:10 / 30:10 = 2/ *5 = 10 Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i zaznaczamy wspólne dzielniki. Mnożymy wspólne dzielniki i uzyskujemy największy wspólny dzielnik Kompendium matematyka 5

6 Druga metoda obliczenia NWD NWD(20, 30) Rozkładamy obie liczby na czynniki, dopóki są one wspólne i mnożymy wspólne dzielniki 20, , , 3 nie ma teraz wspólnego dzielnika koniec obliczeń 2*5=10 NWD(20, 30) = 10 NWD(280, 150) 280, , , 15 NWD(280, 150) = 2*5 =10 NWD (525, 2310) 525, , , , 22 - nie ma już dalej wspólnego dzielnika NWD (525, 2310) = 3*5*7 = 105 Trzecia metoda obliczenia NWD algorytm Euklidesa Algorytm Euklidesa jest szybkim sposobem obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb całkowitych. Algorytm Dzielimy z resztą liczbę a przez liczbę b o jeżeli reszta = 0, to NWD(a, b) = b o jeżeli reszta 0, to przypisujemy liczbie a wartość liczby b, liczbie b wartość otrzymanej różnicy, a następnie wykonujemy ponownie punkt 1. Przykład NWD (282, 78) Rozwiązanie: Zaczynamy od podzielenia liczby 282 przez liczbę 78 z resztą: 282 : 78 = 3, reszty 48 Otrzymaliśmy resztę różną od zera, zatem teraz podzielimy liczbę b przez różnicę. Ten schemat będziemy powtarzać do momentu otrzymania reszty równej : 48 = 1, reszty : 30 = 1, reszty : 18 = 1, reszty : 12 = 1, reszty 6 12 : 6 = 2, reszty 0 Otrzymaliśmy resztę równą zero, zatem szukany NWD będzie równy ostatniej niezerowej reszcie: NWD (282, 78) = 6 Kompendium matematyka 6

7 NWD (20,30) 30:20 =1 r :10 = 2, r. 0 NWD (30, 20) = 10 - największa niezerowa reszta Porównywanie ułamków: - jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik - takie same liczniki, to większy jest o mniejszym mianowniku - jeśli nie mają równych liczników ani mianowników to należy je doprowadzić do wspólnego mianownika lub licznika za pomocą rozszerzania Skracanie ułamków podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę Np. Rozszerzanie ułamków pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera Np. Ułamki po skróceniu i rozszerzeniu są równe (mają tę samą wartość). Działania na ułamkach zwykłych Dodawanie i odejmowanie Jeśli mają jednakowe mianowniki to dodajemy lub odejmujemy liczniki, mianownik bez zmian. Jeśli dodajemy ułamki mieszane to dodajemy całości do całości a ułamki do ułamków. Jeśli ułamki maja różne mianowniki, to najpierw należy je sprowadzić do wspólnego mianownika, a potem dodać liczniki, mianowniki bez zmian. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność Metody obliczenia NWW: 1) Wypisujemy kolejne wielokrotności i wybieramy najmniejszą wspólną. Np. NWW(12, 15) - wielokrotności 12: 12, 24, 36, 48, 60 - wielokrotności 15: 15, 30, 45, 60 NWW(12, 15) = 60 2) Druga metoda razem rozkładamy na czynniki, aż do uzyskania 2 jedynek: 12, 15 :3 najpierw wspólne czynniki 4, 5 : 4 potem czynniki kolejno z każdej liczby aż do uzyskania jedynek 1, 5 : 5 1, 1 3 * 4 * 5 = 60 3) Metoda oddzielnie rozkładamy na czynniki wystąpiło w liczbie I, więc nie uwzględniamy do NWW Wybieramy wszystkie czynniki z I liczby oraz te z drugiej, które nie występowały w I liczbie. 2*2*3*5 = 60 Mnożenie ułamków Ułamki zwykłe - mnożymy licznik przez licznik a mianownik przez mianownik Liczby mieszane należy zmarnieć na ułamki niewłaściwe Mnożenie liczby mieszanej przez liczbę całkowitą Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy Kompendium matematyka 7

8 1½ * 5 = 3/2 * 5 = 3*5 /2 = 15/2 = 7 ½ lub mnożymy część całkowitą ułamka i część ułamkową liczby mieszanej przez liczbę całkowitą i dodajemy wyniki 1½ * 5 = 1 * 5 + ½ * 5 = 5 + 5/2 = ½ = 7 ½ Dzielenie ułamków Pierwszy ułamek pozostawiamy bez zmian, znak dzielenia zamieniamy na znak mnożenia, a drugi ułamek odwracamy 2/3 : 5/8 = 2/3 * 8/5 = 2*8 / 3*5 = 16 / 15 = 1 1/15 Liczby mieszane zamieniamy najpierw na ułamki niewłaściwe. Ułamki dziesiętne Ułamek dziesiętny to ułamek, w którym zamiast kreski ułamkowej jest przecinek dziesiętny, oddzielający część całkowitą od części ułamkowej. Ułamki dziesiętne to zapisane za pomocą przecinka ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 itp. Przykłady: 1/10 = 0,1 3/10 = 0,3 1/100 = 0,01 1/1000 = 0,001 27/10 = 2,7 W ułamku dziesiętnym jest tyle miejsc po przecinku, ile jest zer w mianowniku ułamka zwykłego. Budowa ułamka dziesiętnego 61,2345 Całości 61 Części dziesiętne - 2, części setne - 3, części tysięczne 4, części 10-tysięczne 5 Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne 1) Jeśli to możliwe rozszerzamy ułamek zwykły tak, aby mianownik był równy 10 lub 100, 1000 itp. ½ = 1*5 / 2*5 = 5/10 = 0,5; 3/25 = 12/100 = 0,12; 2/5 = 4/10 = 0,4 7/8 = 875/1000 = 0,875 2) Jeśli rozszerzenie nie jest możliwe (gdy np. mianownik to 3, 7, 11,13 itp.) to kreskę ułamkową zastępujemy znakiem dzielenia. Wykonujemy dzielenie sposobem pisemnym. Działania na ułamkach dziesiętnych Dodawanie i odejmowanie sposobem pisemnym podpisujemy przecinek pod przecinkiem Na końcu zawsze można dopisać dowolną liczbę zer i skreślić zera w części końcowej. Odejmowanie można zawsze sprawdzić za pomocą dodawania. Mnożenie ułamków przez 10, 100, 1000 itd. przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest zer. Np. mnożenie przez 100 przesuwamy o 2 miejsca w prawo. Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000 itp. przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc ile jest zer w dzielniku. Np. dzielenie przez 1000 przesuwamy przecinek o 3 miejsca w lewo. Mnożenie ułamków sposobem pisemnym. Podpisujemy ułamki tak, by ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnia cyfra drugiego ułamka. Po wykonaniu mnożenia dodajemy liczbę miejsc po przecinku i tyle będzie miejsc po przecinku w wyniku. Zera końcowe można pominąć przy mnożeniu, jeśli są po przecinku. Jeśli są w części całkowitej, jako ostatnie cyfry, można je pominąć przy mnożeniu a dopisać w wyniku. Dzielenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym Najpierw należy przekształcić dzielnik w liczbę naturalną. W tym celu należy pomnożyć dzielną i dzielnik przez 10, 100, 1000 itp., by dzielnik nie był ułamkiem. Nie musimy się tu godzić na dzielenie z resztą, bo stawiając w wyniku przecinek, można dopisywać zera do reszty i kontynuować działania do uzyskania wymaganej dokładności wyniku. Kompendium matematyka 8

9 Procenty Procent = 1/100 całości 1% = 1/100 = 0,01 Zamiana procentu na ułamek dzielimy procent przez 100 Np. 35% = 35/100 = 7/20 Zamiana ułamka na procent dzielimy przez 100 Np. 35% = 35:100 = 0,35 12,5% = 12,5:100 = 0,125 Obliczanie procentu z danej liczby pomnożenie liczby przez procent zapisany w postaci ułamka Np. 30% ze 120: 30%*120 = 30/100 * 120 = 30*120 / 100 = 36 lub 0,30*120 = 36 Obliczanie liczby z danego jej procentu Np. 5%a = 10 Czyli 0,05a = 10 a=10/5% a = 10/0,05 = 1000/5 = 200 Jakim procentem danej liczby jest druga liczba dzielimy liczby i mnożymy prze 100% Promil 1/1000 Liczby naturalne: 0, 1, 2, 3 Liczby całkowite liczby naturalne i liczby do nich przeciwne liczby dodatnie i ujemne Liczby wymierne W które można zapisać w postaci ułamka zwykłego Wartość bezwzględna odległość liczby od zera na osi liczbowej zawsze dodatnia 5 = 5, -5 = 5 0 = 0 Działania na liczbach wymiernych Liczba wymierna liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego: w = Każda liczba całkowita jest równocześnie liczbą wymierną Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych Kompendium matematyka 9

10 Dług 5 zł i dług 3 zł to razem dług 8 zł Dług 8 zł i przychód 3 zł to razem dług 5 zł. Gdy znaki liczb jednakowe to liczby bez znaków (wartości bezwzględne) dodajemy i stawiamy znak liczb (-3) = -(5+3) = -8 lub -5 + (-3) = -5-3 = = 8 Gdy znak liczb różne to odejmujemy wartości bezwzględne liczb (bez znaków) I przed różnicą dajemy znak o wartości bezwzględnej większej = -(8-3) = (-8) = -(8-3) = = -5 Dodawanie liczb całkowitych jest przemienne i łączne Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Suma liczb: dodatniej i ujemnej może być dodatnia lub ujemna. Znak sumy jest taki jak znak liczby, której wartość bezwzględna jest większa. Przykłady: = (-16) = -(9+16) = -25 lub = = -(57-13) = (-9) = + (62-9) = 53 lub 62-9 = (-50) = = 128 Kompendium matematyka 10

11 Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych: (+)*(+) = (+); (-)*(+)=(+) (-)*(-)=(+) 7*5=35 7 * (-5) = -35 (-7)*5 = -35 (-7)*(-5) = 35 Pierwiastek n - tego stopnia =b, wtedy i tylko wtedy, gdy b n =a =16 Wyrażenia algebraiczne liczby i litery połączone znakami działań matematycznych i nawiasami Jednomian liczba, litera, iloczyn liczb i liter, np. x, 1/2x 13abc, Suma algebraiczna składa się z jednomianów, np. 2x+5 Redukcja wyrazów podobnych dodanie lub odjęcie wyrazów różniących się tylko współczynnikiem, np. 2x 3x = -x +3 Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę, np. 2*(3x-5) = 6x -10 Równość 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, np. 2x +5 = 10 Nierówność 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem nierówności (>, <, >=, <=) Równania i nierówności rozwiązywanie, przenoszenie wyrażeń na druga stronę Układ współrzędnych xy, współrzędne punktu odcięta x, rzędna y. Ćwiartki: I, II, III, IV. Funkcja przyporządkowanie każdemu elementowi z I zbioru dokładnie jednego elementu z II zbioru. Podstawowe figury geometryczne Punkt, prosta, półprosta, odcinek. Dodawanie i odejmowanie odcinków. Kąty Kąt część płaszczyzny wyznaczone przez 2 półproste. Kompendium matematyka 11

12 Kąty wypukłe < Kąty wklęsłe > i < Kąty pełne Kąty półpełne Kąty rozwarte > 90 0 i < Katy proste = 90 0 Kąty ostre < 90 0 Kąty przyległe Kąty wierzchołkowe Kompendium matematyka 12

13 Kąty odpowiadające Kąty naprzemianległe Kąty naprzemianległe wewnętrznie i zewnętrznie, jednostronne wewnętrznie, zewnętrznie Kompendium matematyka 13

14 Symetralna odcinka Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez środek odcinka. Wniosek Każdy punkt symetralnej odcinka jest równo oddalony od końców odcinka. Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka. Konstrukcja symetralnej odcinka oraz wyznaczenie środka odcinka AB Kompendium matematyka 14

15 Aby skonstruować cyrklem i linijką symetralną danego odcinka AB należy: 1. Zakreślić cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach A oraz B o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka AB. Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach. 2. Poprowadzić prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów. Wyznaczona prosta jest szukaną symetralną. Powyższa konstrukcja jest również stosowana do wyznaczenia środka odcinka ponieważ punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem jest właśnie tym środkiem. W każdym trójkącie symetralne wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Okrąg opisany na trójkącie Środek okręgu opisanego na trójkącie, znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta (symetralna to prosta dzieląca odcinek na pół i przecinająca go pod kątem prostym). Kompendium matematyka 15

16 Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Dwusieczna kąta Dwusieczna kąta półprosta, o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty przystające. Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii. Kompendium matematyka 16

17 Konstrukcja dwusiecznej kąta AOB Aby narysować dwusieczną, należy: 1. Z wierzchołka O danego kąta dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach A, B 2. Z punktów A i B o tym samym co poprzednio promieniu (lub innym jednakowym) zakreślić łuki, które przetną się w punkcie C 3. Półprosta OC jest dwusieczną Definicja dwusiecznej: Zbiór punktów płaszczyzny/przestrzeni leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego / ścian kąta dwuściennego. Własności: Kompendium matematyka 17

18 Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca przez wierzchołek kąta (dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy). Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta. W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie - w środku okręgu wpisanego w trójkąt. Twierdzenie o dwusiecznej - dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. Kompendium matematyka 18

19 Dowód. Stosunek pól trójkątów o równej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw, na które tę wysokość opuszczono. P2/P1 = c2*h/ c1*h = c2*h * h/c1 = c2/c1 = b/a Trójkąty: Różnoboczne - różne boki Równoramienne obliczanie kąta miedzy ramionami lub kątów przy podstawie Równoboczne równe boki i kąty Ostrokątne kąty mniejsze od 90 stopni rozwartokątne jeden kąt rozwarty prostokątne jeden kąt prosty A, B, C wierzchołki a, b, c boki α, β, γ kąty Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów. Podział trójkątów ze względu na boki: trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości; trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; i równe kąty Kompendium matematyka 19

20 Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem geometrycznym (barycentrum, lub błędnie środkiem masy lub środkiem ciężkości) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku. Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Kompendium matematyka 20

21 Trójkąt różnoboczny Trójkąt, którego każdy bok jest innej długości, to trójkąt różnoboczny. Suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku. AB < AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC. Trójkąt równoramienny Kompendium matematyka 21

22 Trójkąt, którego dwa boki są równej długości nazywamy trójkątem równoramiennym. AC = CB α = β. Boki równe nazywamy ramionami, trzeci bok nazywamy podstawą. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę. α = β. Trójkąt równoramienny posiada co najmniej jedną oś symetrii przecinającą podstawę w połowie długości oraz przechodzącą przez wierzchołek kąta łączącego ramiona. W trójkącie równoramiennym dwie wysokości są równe. Trzecia wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części, a półprosta, w której leży ta wysokość, dzieli kąt między ramionami trójkąta na dwa kąty o równych miarach. Trójkąt równoboczny Trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości nazywamy trójkątem równobocznym. Trójkąt równoboczny to szczególny trójkąt, który posiada takie oto własności: - wszystkie kąty są równe i mają miarę 60, - wysokość trójkąta równobocznego h=a3 2 - wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, - wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta, - wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1:2, - punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie, - promień okręgu wpisanego w trójkąt r=1/3 *h lub r= a* 3 / 6 - promień okręgu opisanego na trójkącie R=2/3 h lub R=a3 3, - pole trójkąta P=1/2 a*h lub P=a 2 * 4. Kompendium matematyka 22

23 Podstawowe wzory dotyczące trójkąta: Obwód: Pole: Obw = a + b + c P = ½ a*h Kompendium matematyka 23

24 Czworokąty: różnoboczne, trapezy, równoległoboki, prostokąty, romby, kwadraty, deltoidy Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych. Czworokąt to płaszczyzna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z czterech odcinków. Kompendium matematyka 24

25 punkty A, B, C, D, to wierzchołki czworokąta, odcinki AB, BC, CD, DA to boki czworokąta, kąty α, β, γ, δ to kąty wewnętrzne czworokąta. Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa 360. α + β + γ + δ = 360. Czworokąt jest figurą wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są kątami wypukłymi. Czworokąt jest figurą wklęsłą wówczas, gdy jeden z jego kątów wewnętrznych jest kątem wklęsłym. Prostokąt Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste. Ob = 2a + 2b - obwód P = a b - pole - przekątna Własności prostokąta - przeciwległe boki są równe i równoległe, - sąsiednie boki są prostopadłe, - każdy z kątów jest kątem prostym, - przekątne są równe i dzielą się na połowy, - punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie, - przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Kwadrat Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe. Kompendium matematyka 25

26 Własności kwadratu - wszystkie boki są równe, - przeciwległe boki są równoległe, - wszystkie kąty są proste, - przekątne są równej długości, - przekątne dzielą się na połowę pod kątem prostym, - przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów kwadratu, - przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne, - punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu, - punkt przecięcia przekątnych wyznacza środek okręgu wpisanego i opisanego na kwadracie. Okrąg wpisany w kwadrat Kompendium matematyka 26

27 Równoległobok Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe. Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu równoramiennego - o dwóch parach boków równoległych. Ob = 2a + 2b P = a h = a b sinα P= ½ * d 1 * d 2 sinγ Własności równoległoboku: - przeciwległe boki są równoległe, - przeciwległe boki są tej samej długości, - przekątne dzielą się na połowy, - przeciwległe kąty są równe, - suma dwóch sąsiednich kątów równa jest 180, - przekątne dzielą się na połowy i wyznaczają punkt, będący środkiem ciężkości równoległoboku - przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty - na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie możne opisać okręgu i nie można też w niego wpisać okrąg. Romb Kompendium matematyka 27

28 Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe. Jest to szczególny przypadek równoległoboku. Ob = 4a P = a h = a 2 sinα P= ½ * d 1 * d 2 Własności rombu - wszystkie boki są równe, - przeciwległe boki są równoległe, - suma miar dwóch kątów sąsiednich wynosi 180, - przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów, - przekątne rombu dzielą się na połowy pod kątem prostym, - punkt przecięcia przekątnych rombu wyznacza środek okręgu wpisanego w romb, - przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne, - punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii rombu. Trapez Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. a - podstawa dolna trapezu b - podstawa górna trapezu c, d - ramiona trapezu, h - wysokość trapezu Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180. α + δ = 180, β + γ = 180. Kompendium matematyka 28

29 Obwód trapezu: Ob = a + b + c + d Pole trapezu: P = ½ * (a+b) *h Trapez równoramienny ma równe ramiona Kąty przy tej samej podstawie trapezu równoramiennego mają równe miary. α + β = 180⁰ Przekątne p w trapezie równoramiennym mają równe długości. Trapez równoramienny posiada oś symetrii będącą symetralną jednej z podstaw. Trapez, którego jedno ramię tworzy kąty proste z podstawami, nazywa się trapezem prostokątnym. W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe d jest wysokością trapezu h. Deltoid Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe. Ob = 2a + 2b P= ½ * d1 d2 P = a b sinα Kompendium matematyka 29

30 Własności deltoidu - kolejne boki są równe, - kąty między różnymi bokami są równe, - przekątne są prostopadłe, - przekątna d 2 dzieli deltoid na dwa trójkąty równoramienne Sześciokąt foremny Okrąg opisany na czworokącie i okrąg wpisany Kompendium matematyka 30

31 Obwody i pola figur płaskich Figura Oznaczenia Obwód L Pole Trójkąt a, b, c boki h a, h b, h c wysokości z boków a, b, c α, β, γ kąty naprzeciw a, b, c α+ β+ γ = L = a+b+c Jeśli trójkąt równoramienny to L = a + 2b W trójkącie równobocznym L = 3a P = ½ *a* h a, P = ½ *b*h b P = ½*c*h c P = ½*a*b*sin γ P = ½*b*c*sin α P = ½*a*c*sin β P = p(p-1)*(p-b)*(p-c), gdzie p =1/2*(a+b+c) P = abc/(4r) = rp P=2*R 2 *sinα*sin β sin γ R = R = abc/( 4P) Kwadrat a - bok L = 4a P = a 2 R = ½ *a * 2 R = ½ * a Prostokat a, b - boki L = 2a + 2b L = 2*(a+b) P = a*b D = R = d/2 Równoległobok Romb a, b boki h a, - wysokość opuszczona na a h b wysokość opuszczona na b a bok e, f przekątne rombu L = 2a + 2b L = 2*(a+b) L = 4a P = a*h a P=b*h b P = a*h P = ½ * e*f Kompendium matematyka 31 r = r = R = r nieokreślone okręgu nie można wpisać r = ½ * h r = ½ a * sin α R nieokreślone

32 Trapez Deltoid przekątne prostopadłe a, b podstawy c, d - ramiona a, b boki e, f - przekątne L = a+b+ c+d L = 2a + 2b P = ½ * (a+b)*h h wysokość trapezu P = ½ * e * f Koło Wycinek kołowy r promień d - średnica r promień koła α kąt środkowy, na którym oparty jest łuk L = 2π*r L = π*d L = * 2π*r L = L = * π*r * π*d P = π*r 2 P = π*d 2 /4 P w = L = * 2π*r 2 Wielokąty foremne: trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny Wielokąt foremny Wielokąt foremny wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty równe. Kąt środkowy (pomiędzy promieniami okręgu opisaneg0) wielokąta foremnego α s = /n, gdzie n ilość boków (kątów) wielokata. Kąt wewnętrzny ( kąt między sąsiednimi bokami) α w = α s = *(n-2) / n Suma kątów wewnętrznych wielokąta zamkniętego: S α w = (n-1)* Ilość przekątnych dowolnego n - kąta: n*(n-3)/2 Figura Rysunek Promień okręgu Trójkąt równoboczny opisanego R h = R = 2/3 * h a =a 3/3 Promień okręgu wpisanego r r = 1/3 * h a = a R + r = h Pole S P = a 2 P = Kąt wewnętrzny 60 0 Kąt środkowy = 360/n = Kwadrat R = ½ *d r = ½ a P = a a = a Sześciokąt foremny R = a P = r = Kompendium matematyka 32

33 Osie symetrii Symetria osiowa Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym każdemu punktowi A przyporządkowany jest punkt A', leżący na prostej prostopadłej do tej prostej k przechodzącej przez punkt A w tej samej odległości od k co punkt A, ale po drugiej stronie prostej k. Prostą k nazywamy osią symetrii. Symetrię osiową względem prostej k nazywamy również odbiciem symetrycznym względem prostej k lub symetrią względem prostej k. Każdy punkt prostej k jest punktem stałym symetrii Symetria środkowa Symetrią środkową względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym punkt O jest stały, a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka AA'. Symetrię środkową o środku O nazywamy również odbiciem symetrycznym względem punktu O lub Kompendium matematyka 33

34 symetrią względem punktu O. Punkt O jest punktem stałym symetrii środkowej. Figura f ma środek symetrii S, jeżeli punkty symetryczne względem S do punktów figury f też należą do f. Punkt S nazywamy środkiem symetrii figury f. Oś symetrii figury Oś symetrii figury jest prostą, względem której figura ta jest do siebie symetryczna osiowo. Oś symetrii dzieli figurę na 2 części przystające. Figura f ma oś symetrii k, jeżeli punkty symetryczne względem k do punktów figury f też należą do f. Prostą k nazywamy osią symetrii figury f. Figurę, która posiada co najmniej jedną oś symetrii nazywamy osiowosymetryczną. Figury z jedną osią symetrii Figury z 2 osiami symetrii Kompendium matematyka 34

35 Figury z 3 osiami symetrii Osie symetrii wśród wielokątów: trójkąt równoramienny - 1 oś symetrii, trójkąt równoboczny - 3 osie symetrii, kwadrat - 4 osie symetrii, prostokąt - 2 osie symetrii, romb - 2 osie symetrii, równoległobok - nie posiada osi symetrii trapez równoramienny - 1 oś symetrii, deltoid - 1 oś symetrii. Figury z nieskończoną ilością osi symetrii: okrąg, koło. Kompendium matematyka 35

36 Wielościany Wielościanem wypukłym nazywamy każdą bryłę wypukłą, której brzeg jest sumą mnogościową skończonej liczby wielokątów. Ścianą wielościanu wypukłego nazywamy taki wielokąt, który jest częścią wspólną płaszczyzny i brzegu wielościanu. Krawędzią wielościanu nazywamy bok jego ściany. Wierzchołkiem wielościanu nazywamy wierzchołek jego ściany. Twierdzenie Eulera Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to w - k + s = 2 Pole powierzchni wielościanu równe jest sumie pól wszystkich jego ścian. Wielościany foremne Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe. Wielościany foremne: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan Czworościan (tetraedr) Ma 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi. Sześcian (heksaedr) Ma 6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi. Kompendium matematyka 36

37 Graniastosłupy Graniastosłup to wielościan, którego dwie ściany (zwane podstawami) są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany są równoległobokami. Ściany zawarte w płaszczyznach podstaw nazywamy podstawami graniastosłupa. Pozostałe ściany są równoległobokami i nazywamy je ścianami bocznymi graniastosłupa. Graniastosłup, którego podstawą jest n-kąt, nazywamy graniastosłupem n-kątnym. Wysokość graniastosłupa to odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego podstaw, którego końcami są punkty wspólne tej prostej z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa. Przekątną graniastosłupa nazywamy każdy odcinek, którego końcami są wierzchołki obu podstaw graniastosłupa i który nie zawiera się w żadnej ze ścian graniastosłupa. Wśród graniastosłupów wyróżniamy graniastosłupy proste i pochyłe Graniastosłup prosty to figura przestrzenna, której podstawy są przystającymi wielokątami, a wszystkie ściany boczne są prostokątami. Kompendium matematyka 37

38 Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. Graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi nazywamy graniastosłupem prawidłowym. W graniastosłupie prawidłowym ściany boczne są figurami przystającymi. Jeżeli graniastosłup ma w podstawie wielokąt o n-kątach to: - liczba ścian s = n+2 - liczba wierzchołków w = 2n - liczba krawędzi k= 3n Kompendium matematyka 38

39 Prostopadłościan graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami H = c wysokość P = 2Pp + Pb P = 2ab + 2bc + 2bH V = a*b*h W podstawie: prostokąt o wymiarach a * b Liczba ścian 6 Liczba wierzchołków 8 Liczba krawędzi 12 Sześcian graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami Szczególny przypadek prostopadłościanu. Kompendium matematyka 39

40 Siatka sześcianu W podstawie: kwadrat a x a Liczba ścian: 6 Liczba wierzchołków: 8 Liczba krawędzi: 12 Graniastosłup trójkątny Kompendium matematyka 40

41 Graniastosłup prawidłowy trójkątny w podstawie ma trójkąt równoboczny Siatka Kompendium matematyka 41

42 Ostrosłup Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa, są trójkątami o wspólnym wierzchołku Wspólny wierzchołek ścian bocznych ostrosłupa nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy nazywamy spodkiem wysokości ostrosłupa. Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze spodkiem wysokości ostrosłupa. Ostrosłup, którego podstawa jest n-kątem nazywamy ostrosłupem n-kątnym. Sumę wszystkich ścian bocznych ostrosłupa nazywamy powierzchnią boczną graniastosłupa. Kompendium matematyka 42

43 Sumę powierzchni bocznej i podstawy ostrosłupa nazywamy powierzchnią całkowitą ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o polu podstawy P p i polu powierzchni bocznej P b jest równe: P c = P p + P b Objętość ostrosłupa o polu podstawy P p i wysokości h jest równa V= 1/3 * P p * H Kompendium matematyka 43