Ułamki Egipskie. Autor: Anna Sosnowska

Transkrypt

1 Ułamki Egipskie Autor: Anna Sosnowska

2 Historia Informacje o poziomie matematyki w staroŝytnym Egipcie sąs bardzo ubogie. O stanie wiedzy z tamtego okresu świadczą głównie zabytki architektury egipskiej. Najdawniejsze matematyczne teksty pisane zachowały y się mniej więcej z początku drugiego tysiąclecia p.n.e. To, Ŝe e zachowało o się tak niewiele egipskich tekstów matematycznych związane zane jest prawdopodobnie ze sposobem ich zapisywania. Teksty matematyczne pisane były y na kruchym papirusie, czasem na skórze. Do naszych czasów w przetrwały y tylko teksty złoŝone z one w piramidach. Babilońskie teksty były y pisane na glinianych tabliczkach. Dzięki temu zachowało o się wiele matematycznych tekstów w babilońskich pisanych pismem klinowym. Matematyka pozwalała a na dokonywanie obliczeń potrzebnych do prac budowlanych, do poboru podatków, mierzenia pól p l i objęto tości tam i zbiorników w zboŝa, zamiany miar wagi i objęto tości na inne jednostki. Uwaga uczonych była skoncentrowana nie na metodach, lecz na obliczeniach. Po licznych obserwacjach zauwaŝono, Ŝe cyfrom i liczbom przyporządkowano znaki lub symbole graficzne jak pałeczka czy zwinięty liść palmy. Przy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczające ce jedności, dziesiątki, setki itd. pisano tyle razy, ile było o w danej liczbie jedności w odpowiednich rzędach, przy czym rzędy pisano w porządku odwrotnym do naszego (staroŝytni Egipcjanie pisali od prawej do lewej ).

3 Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, nie potrafimy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie kiedy odkryto ułamki. u Dorysowanie owalu nad hieroglifem, było o chyba jednak początkiem ułamku amków w. Z całą pewności cią wiadomo, Ŝe e najwcześniej niej poznanymi spośród d wszystkich ułamku amków w sąs połowa owa i ćwierć. Egipcjanie do zapisywania tych ułamku amków w stosowali znaki indywidualne : Sposób b zapisywania pozostałych ułamku amków w egipskich był bardzo prosty. Jedynkę w liczniku zapisywano za pomocą owalu, a liczbę w mianowniku przedstawiano sposobem podobnym do rzymskiego systemu zapisu liczb. Analizując c poniŝsze przykłady bardzo łatwo zauwaŝyć zasady ich tworzenia.

4 W papirusie Rhinda zapisano wartość liczby w postaci: π = 3 + 1/13 + 1/17 + 1/173 W dokumencie tym znalazły się takŝe rozkłady takich ułamków jak : 4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10 1/3 = 1/6 + 1/6 1/2 = 1/6 + 1/6 + 1/6 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 2/3 = 1/2 + 1/6 3/4=1/2+1/4 6/7=1/2+1/3+1/42 Oprócz ułamków z jedynką w liczniku, Egipcjanie uŝywali ułamka 2/3, który był wyjątkiem ułamka egipskiego. KAśDĄ LICZBĘ WYMIERNĄ MOśNA PRZEDSTAWIĆ JAKO SUMĄ RÓśNYCH UŁAMKÓW EGIPSKICH.

5 W połowie zeszłego stulecia w ruinach staroŝytnych Teb znaleziono drogocenny papirus zwany PAPIRUSEM RHINDA, który zawierał 84 zadania. Jedną z najbardziej interesujących części dokumentu była część zawierająca informacje o ułamkach. Egipcjanie, ze względu na łatwość zapisywania, uŝywali ułamków prostych. Kiedy w swych obliczeniach posługiwali się ułamkami, zawsze zakładali, Ŝe licznik jest równy jedności, natomiast mianownik ulega zmianie (tzw. ułamki alikwotne ). W ten sposób dysponowali faktycznie wszystkimi liczbami wymiernymi. NaleŜy jednak zaznaczyć, Ŝe najwaŝniejszym zagadnieniem, do którego sprowadza się prawie cała arytmetyka egipska, było dąŝenie do rozkładu ułamków na sumę róŝnych ułamków alikwotnych o licznikach równych jedności czyli tzw. ułamków egipskich. A zaczęło się od podzielenia chleba Metoda zalecana do dzielenia chleba między kilka osób zapisana w papirusie np. 5 bochenków między 6 osób to przedstawienie 5/6 jako 1/2 +1/3. Innymi słowy, 5 = 6(1/2 + 1/3) = 6(1/2) + 6(1/3). W myśl tej metody naleŝy kaŝdy z 6(1/2) = 3 bochenków podzielić na dwie równe części i kaŝdy z 6(1/3) = 2 bochenków na trzy równe części. W rezultacie mamy 6 połówek i 6 trzecich bochenka. KaŜda z sześciu osób otrzyma 1/2 i 1/3 bochenka. Jeśli dzielimy 5 bochenków w między 6 osób, to kaŝdy otrzyma 5/6 bochenka. Do podzielenia kaŝdego z nich na 6 równych r częś ęści potrzeba = 5 cięć ęć,, zatem w sumie 25 cięć ęć. Za pomocą ułamków w egipskich musimy podzielić trzy bochenki na dwie równe r częś ęści (1 cięcie cie kaŝdy) i dwa bochenki na trzy równe r częś ęści (2 cięcia cia kaŝdy).ostatecznie otrzymujemy = 7 cięć ęć.

6 Jaka jest najmniejsza liczba elementów w sumy??

7 Zilustrujmy ten algorytm na przykładzie ułamka p/q=4/5. Tutaj q nie jest podzielne przez p, więc 4/5 nie jest ułamkiem jednostkowym i 4/5 > 1. Sprawdźmy, czy teŝ 4/5 < 2. Według powyŝszego algorytmu, wartość q1 musi spełniać nierówność 5/4 q1 2 *5/4, tj. 1,25 q1 2,5. Znajduje się tu tylko jedna liczba całkowita spełniająca obie nierówności q1=2. Musimy zastosować algorytm A1 w celu sprawdzenia czy teŝ róŝnica p/q -1/q1=4/5-1/2=3/10 ma r 1.Ta róŝnica nie jest ułamkiem jednostkowym, więc p/q-1/q1 > 1, stąd p/q > 2. Teraz sprawdźmy, czy teŝ 4/5 < 3. Według powyŝszego algorytmu wartość q1 musi spełniać nierówność 5/4 q1 3 5/4,tj. 1,25 q1 3,75. Znajdują się tu dwie liczby całkowite spełniające obie nierówności, q1=2 i q1=3. NaleŜy zastosować algorytm A2 dla róŝnicy p/q-1/q1. Dla q1=2 róŝnica równa się 4/5 1/2 = 3/10. Według algorytmu A2, musimy wybrać liczbę całkowita q 1, dla której 10/3 q /3, musimy równieŝ rozwaŝyć q 1=4, q 1 =5 i q 1=6. JuŜ dla q 1 =4, róŝnica 3/10 1/4 = 1/20 jest ułamkiem jednostkowym, więc 3/10 = 2, gdzie 3/10 = 1/4 + 1/20. PoniewaŜ 3/10=4/5-1/2, wnioskujemy, Ŝe 4/5 =3, gdzie 4/5=1/2+1/4+1/20. UWAGA: To nie jest jedyna moŝliwa reprezentacja ułamka 4/5 jako suma trzech ułamków: dla q 1=5 otrzymujemy równieŝ 4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10. Egipcjanie nie dopuszczają identycznych części ułamków w ich reprezentacji. Jako wynik np. zamiast 2/13 = 1/13+1/13, oni uŝywali reprezentacji 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104. Z punktu widzenia najmniejszej liczby cięć, ta reprezentacja nie ma sensu, zatem ułamki Egipskie nie zawsze dawały optymalną reprezentację daną w Papirusie Rhinda.

8 Leonardo Pisano Fibonacci w roku 1202 znalazł sposób na znajdowanie liczby wymiernej w postaci sumy ułamków Egipskich. Nie był to jednak algorytm uŝyty przez w papirusie. Ten rozszyfrowano dopiero w roku 1999r. (po 4000 lat!). Formalny dowód na to, Ŝe kaŝdy ułamek da się tak przedstawić znaleziony został dopiero w roku 1880r. Algorytm Fibonacciego zawsze daje rozwiązanie, lecz nie zawsze jest to rozwiązanie najprostsze. Próbowano tym sposobem przedstawić prosty ułamek 3/179. Wymaga to znalezienia 19 ułamków egipskich, z których ostatni ma mianownik będący liczbą o prawie cyfrach dziesiętnych. Jest to najprawdopodobniej największy ułamek egipski, jaki kiedykolwiek był przez człowieka oglądany. Okazuje się, Ŝe 3/179 = 1/63+1/1611+1/3759 = 1/63+1/1253+1/11277 = = 1/171+1/209+1/285+1/895+1/1611+1/1969+1/2685 Istnieje teŝ wiele problemów dotyczących ułamków egipskich, a nierozwiązanych do tej pory. Na przykład nie udało się rozstrzygnąć, czy kaŝdy ułamek postaci 4/n moŝna przedstawić jako sumę trzech ułamków egipskich. Problem ten jest zupełnie powaŝny i nosi nawet swoją nazwę: problem Erdosa-Straussa. Pokazano dotąd, Ŝe jest to prawda dla liczb 14 naturalnych mniejszych od 10.

9 Podsumowanie 1. Ułamki U Egipskie ułatwiau atwiały y wbrew pozorom dzielenie. Powiedzmy, Ŝe e chcemy 5 ciasteczkami obdzielić 8 osób. Dziś zapewne podzielilibyśmy kaŝde ciastko na 8 częś ęści i kaŝdemu dali o 5 takich małych kawałków. w. Ile by przy tym było o okruszków! Taki sposób b podziału u jest logiczną konsekwencją zapisu 5/8. StaroŜytny Egipcjanin ułamek u ten zapisałby (zgodnie z papirusem) jako 1/2 +1/8, a zatem podzieliłby on 4 ciasteczka na połowy owy a jedno tylko na 8 kawałków w i kaŝdemu dałby oczywiście cie jedną połówk wkę i jeszcze jedną ósmą część ęść.. Proste, efektywne i okruszków w mniej. 2. Ułamki U Egipskie ułatwiau atwiały y porównywanie ułamku amków. Co jest większe 3/4, czy 4/5? My sprowadzilibyśmy oba ułamki u do wspólnego mianownika i porównali liczniki. Dla Egipcjan 3/4 to półp i ćwierć,, a 4/5 to pół, p ćwierć i jeszcze 1/5. Oczywiste jest to który ułamek u jest większy i od razu wiadomo o ile.

10 Literatura /~wibig/hieronim Notatka Olga Kosheleva and Vladik Kreinovich Dziękuję za uwagę

11 Najmniejsza liczba elementów w sumy OZNACZENIE Dla kaŝdej dodatniej liczby wymiernej r = p/q oznaczmy przez r najmniejszą moŝliwą sumę p pk spośród wszystkich reprezentacji typu (l). Przy tym oznaczeniu najmniejsza moŝliwa liczba cięć na osobę jest równa r - r. TWIERDZENIE 1. Dla kaŝdej dodatniej liczby wymiernej, r r. 2. Dla kaŝdego n naturalnego, n = n. 3. Dla kaŝdej dodatniej liczby wymiernej r i kaŝdej naturalnej liczby n r/n r. 4. Dla kaŝdych dodatnich liczb wymiernych r i r r + r r + r oraz r r r r. DOWÓD ad. 1 PoniewaŜ r - r jest średnią liczbą cięć tj. nieujemną liczbą, mamy r r. ad. 2 Dla całkowitych n nie potrzebujemy Ŝadnych cięć, więc n - n = 0 oraz n = n.

12 ad. 3 Niech r = p1/ q pk/ qk będzie reprezentacją odpowiadającą r, tj. reprezentacją dla której r = p pk. Wtedy: r/n = p1/(n q1) pk/(n qk). Dla tej reprezentacji r/n suma liczników jest równa r. Zatem najmniejsza moŝliwa suma liczników r/n w reprezentacji r/n nie moŝe przekroczyć r. ad. 4 Jeśli r = p1/q pk/qk oraz r' = p'1/q' p'k /q'k są reprezentacjami odpowiednio r i r, tj. reprezentacjami dla których r = p pk oraz r = p p k, zatem dla sumy tych reprezentacji mamy r + r = p1/q pk/qk + p 1/q p k/q k, gdzie p pk + p p'k = r + r. Zatem najmniejsza moŝliwa suma r+r liczników w reprezentacji r + r nie moŝe przekroczyć r + r. Podobnie dla iloczynu: r r = (p1/q pk/qk) (p 1/q p k/q k) = suma jest równa: i, j ( pi pj') = pi * pj ' = r * r, więc r*r r * r. i j