USE OF VIBROACOUSTIC DIAGNOSTICS IN TECHNICAL STATE ASSESSMENT: A BAYESIAN APPROACH

Transkrypt

1 Journal of KONES Powertrain and Transport, Vol.4, No. 4 7 USE OF VIBROACOUSTIC DIAGNOSTICS IN TECHNICAL STATE ASSESSMENT: A BAYESIAN APPROACH Stanisaw Radkowski, Robert Gumiski Warsaw University of Technology Institute of Machine Design Fundamentals Narbutta 84, -54 Warszawa, Poland tel.: , fax: ras@simr.pw.edu.pl Abstract The goal of the paper is to develop a new method of system operation assessment required for maintaining high level of reliability of complex systems, where the basis of such strategy is procedure relying on the results of comparative research performed with the use of diagnostic models considering the state of developing degradation of their critical elements. To this aim was adopted and presented in this paper a Bayesian probabilistic framework for technical state assessment. The idea is to search for most informational diagnostic signal, by comparing the relative probabilities and utility function for any kind of failure and proper chosen diagnostic experiment. The Bayesian approach is shown. to take into account:. the decision analysis with given information prior analysis;. the decision analysis with new information posterior analysis; 3. the decision analysis with unknown information pre- posterior analysis. Es example is considered the procedure of updating in material strength testing. The method of solving the problem described in the paper enables foreseeing the subsequent stages of defect development, thus enabling operational decisions to be made in a manner similar to the procedures applied for use of systems designed according to the damage tolerant principle. Keywords: reliability, Bayesian methods, vibroacoustic diagnosis, prior models, posterior models, bispectrum WYKORZYSTANIE DIAGNOSTYKI WIBROAKUSTYCZNEJ W OCENIE STANU TECHNICZNEGO METOD BAYESA Streszczenie Celem opracowania jest prezentacja nowej metody oceny funkcjonowania systemu dla zachowania wysokiego poziomu niezawodnoci zoonego ukadu. Baz systemu stanowi rezultaty bada porównawczych z wykorzystaniem modeli diagnostycznych uwzgldniajcych rozwój procesów degradacji krytycznych elementów systemu. W tym celu zostaa adaptowana i przedstawiona w referacie propozycja wykorzystania metody Bayesa w ocenie stanu technicznego. Myl przewodni jest poszukiwanie najbardziej informacyjnego sygnau diagnostycznego przez porównanie prawdopodobiestw warunkowych i funkcji uytecznoci dla rónych uszkodze i odpowiednio wybranych eksperymentów diagnostycznych. Ujcie bayesowskie jest ukazane w przypadku uwzgldnienia:. w analizie decyzyjnej informacji apriorycznej;. w analizie decyzyjnej dostpu do informacji aposteriorycznej; 3. w analizie decyzyjnej w wariancie dysponowania nieznan informacj analiza preposterioryczna. Jako przykad jest rozwaana procedura bayesowskiego uaktualniania za pomoc testowania wytrzymaociowych waciwoci materiau. Metoda rozwizania opisana w pracy pozwala przewidzie kolejne etapy rozwoju uszkodzenia, co umoliwia podejmowanie decyzji eksploatacyjnych w sposób podobny do procedur zastosowanych w systemach projektowania wedug zasad damage tolerant. Sowa kluczowe: niezawodno, metody bayesowskie, diagnostyka wibroakustyczna, modele aprioryczne, modele aposterioryczne, bispektrum

2 S. Radkowski, R.. Gumiski. Wprowadzenie W rodowisku naukowo-technicznym coraz szersze zainteresowanie towarzyszy próbom wykorzystania metod diagnostyki wibroakustycznej w analizach procesów degradacji i niezawodnoci krytycznych elementów ukadów technicznych. Najczciej podstaw przyjmowanego sposobu postpowania stanowi metodologia bayesowska, w której w odrónieniu do klasycznej teorii estymacji zakadajcej zdeterminowany charakter parametrów, przyjmuje si pewn, rónie rozumian losowo. Oznacza to konieczno przyjcia zaoenia o istnieniu apriorycznej nieokrelonoci, opisanej apriorycznymi rozkadami prawdopodobiestwa. Takie rozumowanie jest pochodn zaoenia przyjtego midzy innymi przez Bernouliego i Laplace a, e prawdopodobiestwo jest miar stopnia niepewnoci [6]. Rozwiniciem tego sposobu rozumienia prawdopodobiestwa byy prace Bayes a umoliwiajce estymacj prawdopodobiestwa warunkowego na podstawie prawdopodobiestw niewarunkowych. Mimo ogromnego rozwoju tych metod podstawowym problemem pozostaje brak uzasadnionych regu wyboru rozkadów apriorycznych. W klasycznym bayesowskim ujciu, zgodnie z zasad Laplace a, w przypadku braku informacji apriorycznej przyjmuje si jako aprioryczny rozkad równomierny. W poowie XX wieku Jeffreys opracowa teori ustalania rozkadów apriorycznych na podstawie danych eksperymentalnych. Ogromn zalet tego sposobu postpowania jest stworzenie moliwoci ustalenia rozkadu apriorycznego nawet na podstawie niewielkiego zbioru zdarze. Dodatkowo moliwa jest w ten sposób kwalifikacja miary subiektywnego, ludzkiego dowiadczenia, czy wrcz indywidualny stosunek do uzyskanych rezultatów bada i eksperymentów. Ostatnio coraz czciej podejmowane s próby wykorzystania tego podejcia w aplikacji rezultatów diagnostyki. Przykad wykorzystania tego podejcia jest propozycj oceny prawdopodobiestwa uszkodzenia struktury przedstawiona na rysunku. Modelowanie niepewnoci Równanie stanu granicznego Konsekwencje Zmiany w projekcie Wprowadzenie nowych informacji Zmiana sposobu uytkowania Dziaanie Rys.. Bayesowska ocena prawdopodobiestwa uszkodze struktury [3] Fig.. Bayesian probabilistic assessment of failure of structures[3] 374

3 Use of Vibroacoustic Diagnostics in Technical State Assessment: a Bayesian Approach Rozwój metod i rodków diagnostyki technicznej spowodowa, e coraz czciej wyniki postpowania diagnostycznego uwzgldniane s w ocenie podatnoci eksploatacyjnej i staj si podstaw zapewnienia wyszej jakoci oferowanych przez firm wyrobów, zachowania odpowiedniej gotowoci linii produkcyjnych a tym samym osignicia lepszych wyników finansowych caego przedsibiorstwa. Wspóczesne techniki i metody cyfrowej obróbki i analizy danych umoliwiaj zastosowanie procedur diagnostycznych zarówno do diagnozowania stanu prostych maszyn i urzdze, jak równie do nadzoru oraz diagnozowania realizacji procesów technologicznych i ewolucji stanów technicznych zachodzcych w skomplikowanych systemach technicznych. Wymaga to z jednej strony uzupenienia wiedzy o mechanizmach decydujcych o przebiegu analizowanych zjawisk, z drugiej selekcji i opracowania metod oraz rodków warunkujcych wydobycie i rozpoznanie informacji diagnostycznej. Jednym z istotnych etapów procesu diagnostycznego jest wnioskowanie diagnostyczne i zwizane z tym zagadnienie oceny przydatnoci informacji diagnostycznej w procesie podejmowania decyzji. Na przykad, przechodzc do eksploatacji wedug rzeczywistego stanu technicznego z wykorzystaniem rozbudowanych ukadów diagnostycznych, naley oprócz doboru i adaptacji metod diagnozowania, rozwiza wiele dodatkowych zagadnie natury organizacyjnej i ekonomicznej. Zwrómy uwag, e rozstrzygajcym kryterium w procesie oceny potrzeby zastosowania ukadu s efekty ekonomiczne.. Metody eksploatacji zorientowane na bezpieczestwo Wspóczesne propozycje rozwiza techniczno-organizacyjne [9] dodatkowo uwzgldniaj rozwój i aplikacj technologii samoutrzymania przy zachowaniu wysokiej efektywnoci produkcji i moliwie niskich kosztach eksploatacji. Std analiza ryzyka i zmniejszenie niepewnoci oszacowa niezawodnoci stay si krytycznymi metodami w procesie podejmowania decyzji strategicznych, których celem jest zapewnienie bezpieczestwa technicznego i minimalizacja kosztów. Zarówno w Europie jak i w Ameryce za najbardziej efektywne metody uznano RBI (Risk Based Inspection) nadzór wsparty analiz ryzyka oraz RBM (Risk Based Maintenance) eksploatacja zorientowana na bezpieczestwo. W metodach RBI i RBM odwoujcych si do identycznych poj i sposobów opisu systemu, podsystemów, podobnej klasyfikacji, funkcjonalnych uszkodze i rodzajów uszkodze jak w metodzie RCM (niezawodnociowo zorientowanej eksploatacji) podejmowane s próby obliczenia ryzyka, w odrónieniu od metody RCM, w której celem jest okrelenie stopnia (klasy) krytycznoci analizowanego obiektu lub elementu. Zainteresowanie metodami RBT i RBM wynika równie std, e w metodzie RCM dymy jedynie do zakwalifikowania rodzaju uszkodzenia do okrelonej klasy i przypisania wszystkim rodzajom uszkodze danej klasy znaczenia i rozlegoci konsekwencji. Taki sposób postpowania mona przyj za satysfakcjonujcy jedynie wówczas, gdy warto strat jest maa i w analizie ryzyka wystarczy jedynie uwzgldni prawdopodobiestwo wystpienia zdarzenia niepodanego. Uwzgldniajc rozrzut ocen czasu do wystpienia awarii, gównym celem metod predykcji wspartych analiz ryzyka jest zmniejszenie niepewnoci prognozy. Jednym z istotnych sposobów rozwizania tego problemu jest modelowanie oraz diagnozowanie przebiegu procesów degradacyjnych i zmczeniowych, tym samym zmniejszenie wariancji ocen residualnego ycia obiektu. Realizacja tego celu wymaga oceny strukturalnej niezawodnoci systemu z uwzgldnieniem detekcji i analizy procesów degradacji wszystkich skadowych w uprzednim i aktualnym okresie uytkowania. Na tej podstawie moliwe jest zmniejszenie niepewnoci odnonie oceny okresu czasu do awarii oraz prognozy wystpienia i rozwoju innych typów uszkodze. 375

4 S. Radkowski, R.. Gumiski Takie ujcie wymaga dostpu do odpowiedniej bazy danych o moliwych uszkodzeniach skadowych systemu oraz wiedzy zgromadzonej na podstawie dowiadcze zdobytych przez odpowiednio przygotowanych pracowników. Ogólnie w omawianej metodzie wyrónia si nastpujce etapy:. Dekomponowanie analizowanego systemu na podukady i elementy a nastpnie oszacowanie i ich krytyczno w najbardziej niekorzystnych scenariuszach zdarze,. Okrelenie czasu i zakresu kolejnej inspekcji, 3. Oszacowanie poziomu ryzyka kadego podukadu i elementu, 4. Wyznaczenie priorytetów utrzymania elementów zgodnie z ustalonym rankingiem poziomu ryzyka technicznego. Ogólnie, analiza ryzyka powinna uwzgldnia kady rodzaj uszkodzenia, którego wystpienia mona oczekiwa, odnonie poszczególnych elementów i podzespoów oraz obejmowa zarówno oszacowanie prawdopodobiestwa wystpienia uszkodzenia jak równie rozlegoci i wysokoci strat (konsekwencji). Procedury estymacji prawdopodobiestwa wystpienia zdarzenia niepodanego powinny uwzgldnia rzeczywisty stan rozwoju uszkodzenia, waniejsze uszkodzenia, rezultaty inspekcji i moliwe przysze uszkodzenia. Dekompozycja ukadu Rezultaty inspekcji Okrelenie krytycznoci Informacje o zadaniach funkcjonalnych elementu Identyfikacja elementu Warunki obcienia Dopuszczalne naprenia Rodzaje uszkodze Prawdopodobiestwo zdarzenia niepodanego Obliczenie napre Oszacowanie ryzyka Obserwacje faz uszkodze Oszacowanie skutków ekonomicznych Analiza drga Oszacowanie fazy uszkodze Wyniki pomiarów i analiz drga Diagnoza Ustalenie priorytetów i programu zabiegów obsugowo-naprawczych Koniec Rys.. Schemat procedury RBI wspartej diagnostyka wibroakustyczn [] Fig.. Block diagram of RBI procedure based on vibroacoustic diagnostics [] 376

5 Use of Vibroacoustic Diagnostics in Technical State Assessment: a Bayesian Approach Podobnie oszacowania powinny uwzgldnia zarówno aspekty bezpieczestwa jak i zagadnienia strat ekonomicznych spowodowanych uszkodzeniami wtórnymi, w tym koszty napraw, straty spowodowane przerw w produkcji i wypat rekompensat za utracone zdrowie lub ycie. Otrzymane rezultaty oszacowa ryzyka powinny by zestawione w postaci macierzy ryzyka, która w naturalny sposób pozwala okreli kategorie scenariuszy i ustali priorytety. Schemat przedstawiajcy moliwo zastosowania metody RBI wspartej diagnostyk wibroakustyczn zaprezentowano na rysunku.. Wykorzystanie metod bayesowskich Zauwamy, e takie ujecie wymaga opracowania miar umoliwiajcych prowadzenie analiz porównawczych. Najczciej tworzone s odpowiednie miary uytecznoci, uwzgldniajce koszty zwizane z kad alternatywn decyzj, w tym z decyzj, która moe spowodowa awari. Jeli uwzgldnimy w naszym postpowaniu wszystkie etapy ycia maszyny ocena uytecznoci bdzie stowarzyszona z wystpowaniem uszkodze, obsug i napraw oraz inspekcji diagnostycznych. Na przykad miara uytecznoci moe by wyraona w postaci [6]: E[ CR ] PF CF PE CE PD CD E[ CF } E[ CE} E[ CD}, () E[C F ], E[C E ], E[C D ] wartoci oczekiwane kosztów wystpienia uszkodzenia, przeprowadzenia obsug i napraw oraz kosztów inspekcji diagnostycznej (monitoringu). Zauwamy, e przytoczona miara uytecznoci moe by wczona do funkcji uytecznoci jako dodatkowy skadnik. Zatem majc okrelon funkcj uytecznoci i prawdopodobiestwa poszczególnych stanów oraz korespondujce z tym konsekwencje moliwe jest okrelenie kosztów towarzyszcych rónym alternatywnym akcjom. Odpowiednio w przypadku wykorzystania jedynie informacji apriorycznej odnonie czasu T i informacji o zuyciu eksploatacyjnym w czasie T warto oczekiwana funkcji przyjmuje posta: E'[ u] min P'( / T ) CK P'( / T ) ( CK C C), () P'( / T ) ( CK C E) P'( / T ) ( CK C EC C) P ( /T ) prawdopodobiestwo tego, e obcialno jest wiksza od obcienia dla czasu t=t, P ( /T ) prawdopodobiestwo tego, e obcienie jest wiksza od obcialnoci dla czasu t=t, P ( /T ) prawdopodobiestwo tego, e obcialno jest wiksza od obcienia dla czasu t=t, P ( /T ) prawdopodobiestwo tego, e obcienie jest wiksza od obcialnoci dla czasu t=t, C K koszty kontroli stanu, C C konsekwencje hipotetycznych strat w przypadku wystpienia awarii, Koszty zabiegów eksploatacyjnych. C E W przypadku moliwoci uzyskania dodatkowej informacji np. w efekcie zastosowania procedur diagnostycznych (rysunek 3) przedstawiony model decyzyjny moe by uaktualniony moliwa jest analiza na podstawie modelu aposteriorycznego: E"[ u] min P"( / T P"( / T, fˆ ) ( C u K, fˆ ) C C u E K P"( / T, fˆ ) ( C ) P"( / T, fˆ ) ( C u u K K C E C C C C ), (3) ) 377

6 S. Radkowski, R.. Gumiski P ( /T,f u ) prawdopodobiestwo a posteriori tego, e obcialno jest wiksza od obcienia dla czasu t=t, P ( /T,f u ) prawdopodobiestwo a posteriori tego, e obcienie jest wiksza od obcialnoci dla czasu t=t, P ( /T,f u ) prawdopodobiestwo a posteriori tego e obcialno jest wiksza od obcienia dla czasu t=t, P ( /T,f u ) prawdopodobiestwo a posteriori tego, e obcienie jest wiksza od obcialnoci dla czasu t=t. S linia graniczna R-S= - indeks niezawodnoci dla T=T R - indeks niezawodnoci dla T=T Rys. 3. Ilustracja wpywu zuycia eksploatacyjnego na wielko indeksu niezawodnoci [8] Fig. 3. The illustration of wear impact on the reliability index [8] Zauwamy, e bayesowskie uaktualnianie moe dotyczy rónych rodzajów informacji w tym, licznoci obiektów w dobrym stanie technicznym, gotowoci, charakterystyk materiaowych, imperfekcji geometrycznych i materiaowych, procesów degradacji i zmczenia, zdolnoci przenoszenia obcie, statycznych i dynamicznych waciwoci obiektu w rónych warunkach obcie i rónych warunkach rodowiskowych. Uwzgldniajc w procedurach oceny stanu technicznego tego typu now informacje mamy moliwo przeksztacenia uproszczonych modeli w probabilistyczne modele aposterioryczne. Zadanie to zwykle jest sprowadzone do analizy obiektu obcie i wpywu rodowiska, natomiast wybór zakresu, rodzaju i szczegóowoci procedur diagnostycznych zwykle nie wchodzi w zakres analiz bayesowskich. Tymczasem decyzja czy wystarczy jedynie uaktualnianie parametrów zmiennych losowych dotyczcych obcie i obcialnoci czy te naley dodatkowo podj zagadnienie uaktualnienia prawdopodobiestwa zdarze (wystpienia uszkodzenia) ma duy wpyw nie tylko na efektywno usuwania niepewnoci, ale równie na wysoko ponoszonych kosztów. Dla wyjanienia tych problemów prowadzi si czsto tzw. preposterioryczn analiz, której celem jest okrelenie potrzeby i zakresu eksperymentu diagnostycznego, z uwzgldnieniem towarzyszcych temu kosztów. Dodatkowo, jeli jest moliwe przeprowadzenie kilku eksperymentów rónego typu konieczne jest utworzenie kolejnej miary uytecznoci, która bdzie moga by wykorzystana w procesie podejmowania decyzji. Rozwamy sytuacj, gdy eksperyment diagnostyczny jest zaplanowany, a wyniki tego eksperymentu s cigle nieznane, wówczas zaleno opisujca miar uytecznoci przyjmuje posta: n i n E[ u] P' ( z ) E"[ u z ] P' ( z ) min E"[ u( T ) z ], (4) i i i i i, m j i 378

7 Use of Vibroacoustic Diagnostics in Technical State Assessment: a Bayesian Approach P' ( zi ) P( zi ) P( ) P( zi ) P( ), (5) przy czym: i liczba moliwych do przeprowadzenia eksperymentów, j liczba alternatywnych decyzji o rónych konsekwencjach. Tak skonstruowana miara umoliwia wybór sekwencji lub rodzaju eksperymentu zgodnie z kryterium minimalizacji kosztów. 4. Selekcja cech sygnau wibroakustycznego Do najczciej i powszechnie wykorzystywanych cech sygnau wibroakustycznego w zadaniu detekcji uszkodze nale czstotliwoci rezonansowe i wektory ksztatu postaci wasnych. Uzyskuje si je zarówno z przebiegów czasowych, przewanie przyspiesze bezwzgldnych, jak i widm tych przebiegów. Czsto widma s normalizowane przez widmo wej dla otrzymanej czstotliwociowej charakterystyki nadzorowanego obiektu. O ograniczonym zastosowaniu tych miar decyduj problemy zwizane z pomiarem i wynikajc std duej niepewnoci statystyczn (wskazane jest analizowanie wyszych skadowych czstotliwoci oraz pochodnych funkcji ksztatu postaci drga). Inn klas metod majcych na celu identyfikacj uszkodze stanowi parametry diagnostyczne odnoszce si do zmian w macierzach mas, sztywnoci i tumienia. Porównujc odpowiednie wskaniki macierzy po wystpieniu uszkodzenia z podobnymi miarami przed uszkodzeniem mona oszacowa miejsce i rozmiar uszkodzenia. Zauwamy, e dotychczas wspomniane metody odwoyway si albo do moliwoci pomiaru wej (wymusze) lub do danych uzyskanych przed wystpieniem uszkodzenia. Tymczasem du grup stanowi parametry diagnostyczne tworzone bezporednio z przebiegów czasowych oraz odpowiadajcym im widm. Najwaniejsz zalet tego sposobu tworzenia parametrów jest ich selektywna wraliwo na rodzaj i faz rozwoju uszkodzenia, moliwoci tworzenia symptomowych modeli, oraz relacji diagnostycznych wspartych zjawiskowo zorientowanymi modelami generacji sygnaów wibroakustycznych. Kategori bezporednio tworzonych parametrów mona podzieli na grupy parametrów diagnostycznych utworzonych w dziedzinie czasu, w dziedzinie czstotliwoci, oraz w dziedzinach zjawiskowo transformowanych (np. cepstrum). Dodatkowo due znaczenie maj metody reprezentacji czasowo-czstotliwociowej, pozwalajce lokalizowa zmiany czstotliwoci w czasie oraz metody analizy widm wyszego rzdu, z których najwiksze znaczenie maj miary utworzone na podstawie bispektrum. Stanowi one baz do analizy relacji pomidzy powstaniem uszkodzenia a rozwojem i zmianami efektów nieliniowych (rysunki 4 i 5). f f, f, 3f, f, f, f f -f, f +f,... f r, f r, 3f r, 3f, f, f, 3f, f, f, f f -f, f +f,... f, 3f, Rys. 4. Rozkad odpowiednich skadowych kwadratowych i szeciennych na paszczynie Bispektrum [7] Fig. 4. Distribution square and cubic nonlinear component of vibroacoustic signal on bispectrum plane [7] 379

8 S. Radkowski, R.. Gumiski Rys. 5. Bispektrum sygnau z modulacj wzajemn i nieliniowym wyrazem kwadratowym [7] Fig. 5. Bispectrum of a signal with mutual modulation and squared non-linearity [7] 5. Przykad wykorzystania metody Bayesa Dobr ilustracj omawianego sposobu wykorzystania wzoru Bayesa w ocenie zmian parametrów rozkadu na podstawie informacji diagnostycznej jest praca Cruse a [], w której twierdzenie Bayesa wykorzystano do ustalenia wartoci parametrów opisujcych przyrost zmczeniowego uszkodzenia z uwzgldnieniem obserwacji rozwoju pknicia. Istota tego podejcia polega na uaktualnieniu estymowanych parametrów probabilistycznego modelu dla osignicia wikszej zgodnoci rezultatów modelowania i obserwacji. Zgodnie z przedstawionymi wyej zaoeniami przyjmuje si, e nieznane lub niepewne parametry rozkadu s zmiennymi losowymi. Niepewno estymacji parametrów moe by kojarzona ze zmiennoci zmiennych losowych za pomoc twierdzenia Bayesa. Nastpnie zakadajc, e bdziemy estymowa parametry apriorycznego rozkadu parametru a funkcji gstoci prawdopodobiestwa f(a) oraz e D jest zbiorem obserwacji pozwalajcym zmniejszy niepewno aprioryczn pod warunkiem uwzgldnienia wyników obserwacji, to estymacj parametrów rozkadu a posteriori bdziemy mogli prowadzi za pomoc formuy: f ( D / a) f ( a) f ( a / D), (6) f ( D) f D) f ( D / a) f ( a) da (, co oznacza, e dodatkowo mona przyj, e mianownik opisany cak funkcji gstoci prawdopodobiestwa aposteriorycznego jest stay i równy jednoci oraz e f(d/a) jest prawdopodobiestwem obserwacji, które moe by wyraone przez funkcj wiarygodnoci. Wówczas równanie (6) mona zapisa w postaci: f ( a / D) K B L[ D / a] f ( a), (7) K B staa normujca, L [ D / a] funkcja wiarygodnoci. 38

9 Use of Vibroacoustic Diagnostics in Technical State Assessment: a Bayesian Approach W wypadku, gdy obserwacje umoliwiaj zarówno wykrycie wystpowania uszkodzenia lub jego braku, funkcja wiarygodnoci dla probabilistycznego modelu zmczeniowego pkania przedstawia prawdopodobiestwo uszkodzenia dla okrelonej liczby cykli P(N j N). Uwzgldniajc, e rozkad wartoci pknicia ma rozkad ekspotencjalny, a uzyskana liczba cykli do wystpienia uszkodzenia zaley od funkcji intensywnoci uszkodze, funkcj wiarygodnoci zapisuje si w tym przypadku w postaci: L n m B a p( N f / a) P( N s / a) i /, (8) i j n oznacza zbiór wykrytych uszkodze, m oznacza zbiór zdarze okrelajcych brak uszkodzenia. Std, korzystajc ze wzoru (7) aposterioryczna intensywno uszkodze bdzie wyraona zalenoci: f ( a / D) K B L[ D / a] f ( a). (9) Jak wskazano w cytowanej pracy takie podejcie pozwala zmniejszy niepewno ocen, prowadzonych na podstawie niewielkiej iloci wyników uzyskanych w porównywalnych warunkach. Zauwamy, e wzór Bayesa (7) mona zapisa jako proporcjonalno rozkadu a posteriori i a piori: f ( D / a) f ( a) f ( a / D) f ( D / a) f ( a). () f ( D) Dodatkowo zauwamy, e zgodnie z prawem Jeffreysa [5] aprioryczna gsto prawdopodobiestwa jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego wyznacznika macierzy informacji Fishera: f ( a) a j (det ( )), () ln f D / a ( a ) E jest obliczona jako macierz urednionych drugich pochodnych a z logarytmu funkcji wiarygodnoci okrelonej na podstawie wyników eksperymentu. Std ostatecznie wzór (3) zapisujemy w postaci: 6. Podsumowanie f ( / D) L( D / )(det ( )). () Przestawiony w opracowaniu sposób wykorzystania metody analizy ryzyka wspartej diagnostyk wibroakustyczn w podejmowaniu decyzji eksploatacyjnych nawizuje z jednej strony do definicji ryzyka i zwizanego z tym oszacowania prawdopodobiestwa wystpienia zdarzenia niepodanego oraz estymacji rozlegoci i wartoci strat, jakie temu zdarzeniu mog towarzyszy, z drugiej do moliwoci wykorzystania rezultatów eksperymentu diagnostycznego w zadaniu zmniejszania niepewnoci odnonie estymacji parametrów aposteriorycznego rozkadu intensywnoci uszkodze. Wykorzystanie modeli bayesowskich umoliwia bezporedni aplikacj wyników obserwacji diagnostycznej w bayesowskiej estymacji aposteriorycznego rozkadu oraz podjcie problemu doboru apriorycznego rozkadu. Jak wykazano w przykadzie takie 38

10 S. Radkowski, R.. Gumiski zastosowanie informacji diagnostycznej umoliwia rozwizanie zagadnienia wyznaczania warunkowego rozkadu prawdopodobiestwa parametrów intensywnoci uszkodze na podstawie rezultatów uzyskanych w eksperymencie diagnostycznym. Praca naukowa finansowana ze rodków Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyszego Literatura [] Cruse, T. A., Reliability Based Mechanical Design, Marcel Dekker, Inc. New York, 997. [] Dybaa, J., Mczak, J., Radkowski, S., Wykorzystanie sygnau wibroakustycznego w analizie ryzyka technicznego, ITE Radom, 6. [3] Faber, M. H., Risk and Safety in Civil Engineering,. [4] [5] Jaynes, E. T., Information Theory and Statistical Mechanics, Physical Reviews, Vol., 6, pp. 6-63, 957. [6] Jeffreys, H., Theory of probability, Data, Oxford University Press, Oxford, 96. [7] Nozer, D. Singpurwalla, N. D., Reliability and Risk A Bayesian Perspective, John Wiley & Sons Ltd Chichester England, 6. [8] Radkowski, S., Nonlinearity And Intermodulation Phenomena Tracking As A Method For Detecting Early Stages Of Gear Failures, WCEAM 7, 7. [9] Radkowski, S., Podstawy bezpiecznej techniki, OWPW, 3. [] Yatomi, M. et al., Application of Risk-Based Maintenance on Materials Handling Systems, IHI Enginnering Review, vol. 37, No, pp. 5-58, 4. 38