KWADRATUROWY OSCYLATOR HARMONICZNY RZĘDU TRZECIEGO STABILIZOWANY ELEMENTEM NIELINIOWYM

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 5 Zeszyt () Rok LXI Lesław TOPÓRKAMIŃSKI, Aleksander KUMOR, Janusz GUZIK, Adam PILŚNIAK, Piotr HOLAJN Politechnika Śląska w Gliwicach KWADRATUROWY OSCYLATOR HARMONICZNY RZĘDU TRZECIEGO STABILIZOWANY ELEMENTEM NIELINIOWYM Streszczenie. W pracy opisana jest struktura realizacji oscylatora rzędu trzeciego w postaci układu połączonych w zamkniętą pętlę: wzmacniacza elektronicznego, dolnoprzepustowego układu selektywnego w postaci układu aktywnego, integratora oraz ogranicznika napięcia jako układu nieliniowego. Jako elementy aktywne zaproponowano zastosowanie klasycznych napięciowych wzmacniaczy operacyjnych. Przeprowadzono analizę pracy tego oscylatora metodą funkcji opisującej. Podano zależności określające pulsację i amplitudę wytwarzanych w układzie oscylacji. Opisano praktyczne jego realizacje z filtrem dolnoprzepustowym RLC i RC plus pojemność rzędu drugiego D. Przeprowadzono symulacje komputerowe oscylatora z układu RLD dla idealnych i rzeczywistych zastosowanych wzmacniaczy operacyjnych. Słowa kluczowe: oscylator, transmitancja, kwadraturowy, nieliniowość THIRDORDER QUADRATURE OSCILLATOR OF THE NONLINEAR ELEMENT STABILIZED Summary. In this paper a structure of the third order oscillator built with an operational amplifier, a low pass filter, an integrator and a nonlinear circuit as a voltage limiter is presented. All is connected in a closed loop circuit. Properties of the oscillator are tested through simulations, in which the describing function method is used. The equations defining the amplitude and the pulsation of oscillation are given. Also implementation of the oscillator containing the low pass filter RLC and RC and the second order capacity D is shown. Finally the computer simulations of the oscillator RLD for ideal and real operational amplifiers are presented. Keywords: oscillator, transmittance, quadrature, nonlinearity. WPROWADZENIE Oscylatory wytwarzające sygnał sinusoidalny mają szerokie zastosowanie w wielu układach elektronicznych używanych w telekomunikacji, przetwarzaniu sygnałów i aparaturze pomiarowo kontrolnej. Ważną ich podgrupę stanowią oscylatory kwadraturowe.

2 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak Używane są one tam jako urządzenia dostarczające dwa sygnały sinusoidalne o dziewięćdziesięciostopniowej różnicy fazy. Mają one zastosowania w telekomunikacji, np. do budowy mikserów kwadraturowych i modulatorów z pojedynczą wstęgą boczną albo dla celów metrologicznych w generatorach wektora lub woltomierzach selektywnych. Oscylatory te powinny mieć takie cechy jak: prostą konstrukcję z minimalną ilością elementów aktywnych w postaci wzmacniaczy oraz biernych impedancji, najlepiej uziemionych. W wielu przypadkach potrzebna jest także możliwość niezależnej regulacji częstotliwości wytwarzanego sygnału i ustawiania warunków ich wzbudzenia. Wymaga się też, aby sygnały te cechowały się możliwie dobrą stabilnością amplitudy, częstotliwości oraz jak najmniejszym współczynnikiem zniekształceń. W ogólnym przypadku warunki te zależą od współczynników równania charakterystycznego, opisującego układ autonomiczny, jakim jest oscylator. Powszechnie stosowane są układy rzędu drugiego. Podstawową strukturą realizacji oscylatora jest na ogół znany układ w postaci połączonego w zamkniętą pętlę wzmacniacza elektronicznego i układu selektywnego, którym może być także mniej lub bardziej złożony układ aktywny [9, ]. Istnieją także zalgorytmizowane metody syntezy oscylatorów prowadzące do uzyskania układów o większej liczbie pętli sprzężenia zwrotnego oraz większej liczbie elementów aktywnych w postaci różnorodnych wzmacniaczy elektronicznych [9]. Przykładowe z nich. to takie jak: metoda zmiennych stanu [,, ], metoda macierzy admitancyjnej [4], metoda sieci wielo pojemnościowej [5, 6], metoda macierzy impedancyjnej [7] oraz metoda oscylatorów dwójnikowych [8], są opisywane w literaturze. W praktycznych układach oscylacyjnych amplituda wytwarzanych drgań narasta aż do pewnej wartości określonej przez nieliniowości pasożytnicze, występujące zawsze w układach elektronicznych. Aby uzyskać wpływ na jej wartość, należy celowo wprowadzić do obwodu oscylatora element nieliniowy o określonej zadanej charakterystyce nieliniowości [9,, 9]. Polepszenie właściwości oscylatorów harmonicznych można uzyskać zwiększając rząd opisującego je równania charakterystycznego. W ostatnich kilku latach pojawiły się opracowania układów oscylatorów rzędu trzeciego [,,, 4, 5, 6, 7, 8], z zastosowaniem różnorodnych wielozaciskowych wzmacniaczy elektronicznych, pełniących w praktyce funkcje wzmacniaczy operacyjnych. W układach tych, ze względów analitycznych, zależności opisujące warunek wzbudzenia oscylacji oraz wartość pulsacji są wzajemnie silniej powiązane niż w układach rzędu drugiego. Z tego względu, na ogół trudniej jest uzyskać możliwości układowe ich niezależnej regulacji. W niniejszej pracy opisana jest struktura realizacji oscylatora rzędu trzeciego w postaci układów połączonych w zamkniętą pętlę: wzmacniacza elektronicznego, dolnoprzepustowego układu selektywnego w postaci układu aktywnego, integratora oraz ogranicznika napięcia

3 Kwadraturowy oscylator harmoniczny jako układu nieliniowego. Jako elementy aktywne zaproponowano zastosowanie klasycznych napięciowych wzmacniaczy operacyjnych.. OGÓLNA KONCEPCJA OSCYLATORÓW RZĘDU TRZECIEGO STABILIZOWANYCH ELEMENTEM NIELINIOWYM Najprostszym przykładem oscylatora harmonicznego rzędu trzeciego jest połączenie integratora odwracającego znak T oraz filtra dolnoprzepustowego rzędu drugiego T, o transmitancjach: U T ( s) U ( s) a ( s) s () U T ( s) U ( s) ( s) s a b s b W układzie tym czwórnikowym elementem nieliniowym często jest wzmacniacz o charakterystyce wzmocnienia z nasyceniem. Może on być przedstawiony jako dwa oddzielne bloki: idealny wzmacniacz o wzmocnieniu K oraz blok nieliniowy o charakterystyce f(u ). Oscylator ma wtedy konfigurację pokazaną na rys.. () T (s) u γ T (s) u β u K u α f(u ) Rys.. Model oscylatora rzędu trzeciego ze wzmacniaczem o nieliniowej charakterystyce wzmocnienia Fig.. Third order oscillator model with nonlinear characteristic amplifier Oscylator opisuje wtedy nieliniowe różniczkowe równanie charakterystyczne o postaci: d u dt b d u dt b du dt a a Kf ( u ) ()

4 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak Układ ten jest oscylatorem kwadraturowym, gdyż oscylacje napięciowe u β i u γ, na zaciskach zawartego w nim integratora są przebiegami harmonicznymi przesuniętymi względem siebie o jedną czwartą okresu... Analiza pracy oscylatora rzędu trzeciego z elementem nieliniowym metodą funkcji opisującej Nieliniowe równania różniczkowe opisujące oscylatory można w przybliżeniu rozwiązać metodą funkcji opisującej (ang. describing function), przekształcając je do postaci operatorowej [6, 9, ]. Jest to metoda linearyzacji ograniczająca analizę elementu nieliniowego do pierwszej składowej harmonicznej jego odkształconego sygnału wyjściowego, w stosunku do sinusoidalnego sygnału wejściowego u (t) = A sin ωt. Zatem, dla bloku o nieparzystej funkcji nieliniowej f(u ) odpowiadająca mu funkcja opisująca zdefiniowana jest wyrażeniem: T U( A) N( A) f [ Asin t]sin t dt A A Funkcja opisująca pełni rolę linearyzowanej harmonicznie transmitancji częstotliwościowej układu nieliniowego wyznaczonej dla pierwsze, harmonicznej. Układ oscylatora ze wzmacniaczem nieliniowym można wtedy w ogólnym przypadku opisać operatorowym równaniem charakterystycznym o postaci: s b s b s a a KN( A) (5) Po podstawieniu s=jω oraz rozwiązaniu równania (5) dla części rzeczywistej i urojonej otrzymuje się: b (4) (6) aa KN ( A) (7) b Aby taki oscylator wytwarzał stabilne oscylacje o amplitudzie A i pulsacji ω powinna być spełniona zależność: b b a a KN( A ) (8) Można z niej wyliczyć wartość amplitudy tych oscylacji jako: b b A N (9) aa K Funkcje opisujące N na ogół nawet dla prostych przetworników nieliniowych o charakterystykach odcinkami liniowych mają dość złożony charakter, utrudniający analityczne

5 Kwadraturowy oscylator harmoniczny wyliczenie jej postaci odwrotnej N. Najprostsza charakterystyka nieliniowa wzmacniacza jednostkowego z nasyceniem może być aproksymowana kształtem trzyodcinkowym pokazanym na rys. a. Odpowiadająca mu funkcja opisująca (rys. b) wyrażona jest relacją: dla A E ( A) E E E arcsin A A A N f () dla A E a) b) u α = f(u ) N f (A) E E u N f (A ) E A A Rys.. Charakterystyka wzmacniacza jednostkowego z nasyceniem (a) oraz odpowiadająca jej funkcja opisująca (b) Fig.. Characteristics of an amplifier with saturation (a) and the corresponding describing function (b) Wynika z niej, że dla sygnałów wejściowych o amplitudzie A mniejszej od wartości granicznej E, układ zachowuje się jak liniowy. Zainicjowane w nim oscylacje, przy spełnionym warunku na wartość wzmocnienia wzmacniacza K > ( b b /a a ), będą narastać aż układ wejdzie w obszar pracy nieliniowej. Wtedy amplituda ich osiągnie stabilną wartość określoną zależnością (9).. PRZYKŁADY OSCYLATORÓW RZĘDU TRZECIEGO STABILIZOWANYCH ELEMENTEM NIELINIOWYM Przykładem oscylatora rzędu trzeciego z ogranicznikiem napięcia i wzmacniaczem K jest układ z integratorem i obwodem RLC pokazany na rys.. Ogranicznik napięcia jest zamodelowany w przybliżeniu za pomocą dwóch diod Zenera o napięciu progowym E=U Z. Oscylator ten dla funkcji opisującej wzmacniacz z nasyceniem ma operatorowe równanie charakterystyczne o postaci: R KN ( A) s s s () L L C L C R C Dla wzmacniacza o wzmocnieniu K amplituda oscylacji o pulsacji: () L C

6 4 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak będzie narastać, aż układ wejdzie w obszar pracy nieliniowej, i ustali się na wartości amplitudy A wyznaczonej przez zależność: R RC A N () KL u γ R R L C u u β C u α R 4 R 5 R 5 R K DZ f(u ) Rys.. Oscylator rzędu trzeciego z integratorem, obwodem RLC, wzmacniaczem oraz z nieliniowym ogranicznikiem napięcia Fig.. Thirdorder oscillator built with an operational amplifier, a low pass filter, an integrator and a nonlinear circuit as a voltage limiter W układzie tym pulsację oscylacji ω można przestrajać bez wpływu na ich amplitudę jedynie przez zmianę wartości pojemności C. Natomiast amplitudę można przestrajać zmianami wartości wzmocnienia K lub elementów R, R oraz C. Przedstawioną koncepcję oscylatora rzędu trzeciego można znacznie uprościć przez zastosowanie integratora z ogranicznikiem. Wtedy liczbę zastosowanych wzmacniaczy operacyjnych można zmniejszyć do, tak jak to pokazano na rys. 4. Rys. 4. Uproszczony model oscylatora rzędu trzeciego z obwodem RLC oraz zastosowaniem integratora z ogranicznikiem Fig. 4. A simplified model of a third order oscillator with RLC filter and integrator with limiter Oscylator ten ma wtedy operatorowe równanie charakterystyczne o postaci: R N( A) s s s (4) L L C L C R C

7 Kwadraturowy oscylator harmoniczny 5 Amplituda jego oscylacji o pulsacji takiej jak w układzie pierwotnym określona zależnością () będzie narastać, aż układ wejdzie w obszar pracy nieliniowej, i ustali się na wartości A wyznaczonej przez zależność: R RC A N (5) L Wadą przedstawionych układów oscylatorów w praktycznej ich realizacji jest potrzeba zastosowania modelu nieuziemionej indukcyjności aktywnej oraz trudności w przestrajaniu pulsacji za pomocą zmiennej pojemności. Niedogodności te można pominąć przez zastosowanie filtra dolnoprzepustowego z uziemioną pojemnością rzędu drugiego D. Pojemność ta zwana też konduktancją ujemną zależną od częstotliwości (FDNC frequency dependent negative conductance) jest dwójnikiem aktywnym oznaczanym literą D i opisanym zależnością admitancyjną: Y D s D (6) Filtr ten ma postać układu szeregowego RCD o transmitancji: RD T ( s) (7) s s R C R D R R C D u u β C u γ u α R 4 R 5 R 5 R K DZ f(u ) Rys. 5. Oscylator rzędu trzeciego z integratorem, obwodem RCD, wzmacniaczem oraz z nieliniowym ogranicznikiem napięcia Fig. 5. Third order oscillator containing integrator, RDC, amplifier and nonlinear voltage limiter Zaproponowany na jego bazie oscylator ze wzmacniaczem K i układem nieliniowym pokazany jest na rys. 5. KN( A) s s s (8) R C R D R D R C

8 6 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak Dla wzmacniacza o wzmocnieniu K amplituda oscylacji o pulsacji: (9) R D będzie narastać, aż układ wejdzie w obszar pracy nieliniowej, i ustali się na wartości amplitudy A wyznaczonej przez zależności: KN ( A) C C R D () R C A N () K RC W układzie tym pulsację oscylacji ω można przestrajać bez wpływu na ich amplitudę jedynie przez zmianę wartości pojemności D. Natomiast amplitudę można przestrajać zmianami wartości wzmocnienia K lub rezystancji R. Dwójnik D można przykładowo zrealizować z zastosowaniem wzmacniaczy operacyjnych w układzie ogólnym pokazanym na rys. 6. Jego admitancję wejściową Y D (s) opisuje zależność: Y D I D ( s) YDYD ( s) YF () U ( s) Y Y D D D4 Rys. 6. Ogólna koncepcja realizacji admitancji aktywnej Fig. 6. The general concept of an active admittance Po wstawieniu pojemności i rezystancji, tak jak pokazano to na rys. 7, otrzymuje się układ modelujący pojemność rzędu drugiego opisaną relacją: C C R R ( () D D D D4 YD s) s RF

9 Kwadraturowy oscylator harmoniczny 7 Rys. 7. Realizacja admitancji aktywnej rzędu drugiego na wzmacniaczach operacyjnych Fig. 7. The implementation of the second order active admittance built on operational amplifiers 5. SYMULACJE KOMPUTEROWE W programie PSPICE przebadano symulacyjnie oscylator z rys. 5. Modele wzmacniaczy operacyjnych utworzono wykorzystując bloki wzmocnienia GAIN oraz źródła napięcia sterowanego napięciem E, co pokazano na rys. 8. Następnie idealne wzmacniacze zastąpiono makromodelami rzeczywistych wzmacniaczy operacyjnych LM4 (rys. 9). Przeprowadzono symulacje dotyczące warunków wzbudzania układu oraz wpływu niektórych elementów, takich jak wzmocnienie K, rezystancja w integratorze i w filtrze RCD, rezystancja uziemiona w modelu pojemności rzędu drugiego na wartość czasu wzbudzenia, częstotliwości oraz amplitudy wytwarzanych oscylacji w stanie ustalonym. C R n R C IC= m k e99 k n C R7 E E C4 R8 R9 n k n k k E E Rys. 8. Schemat symulowanego układu model idealny Fig. 8. Schematic of the simulated circuit ideal amplifiers models

10 8 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak C R6 k n VCC 4 V V UA VCC LM4 OUT R k C n IC= m VCC LM4 OUT UA VCC 4 V V VCC 4 V V OUT U5A LM4 V OUT UA LM4 R k VCC 4 V V VCC R k BZX84CVL BZX84CVL D D OUT U4A LM4 R4 k VCC 4 V V VCC R5 k C n VCC U6A LM4 OUT R7 k 4 V V VCC VCC C4 n R8 k R9 k Rys. 9. Schemat symulowanego układu oscylatora zawierający makromodele rzeczywistych wzmacniaczy operacyjnych LM4 Fig. 9. Schematic of the simulated oscillator circuit containing macromodels real operational amplifiers LM4 Rys.. Przebieg wzbudzania się oscylatora Fig.. The appearance of oscillations

11 Kwadraturowy oscylator harmoniczny 9 Rys.. Widmo częstotliwościowe oscylacji powstałych w układzie Fig.. Frequency spectrum of oscillations generated in the circuit Rys.. Czas wzbudzania układu w funkcji zmian pojemności rzędu drugiego D Fig.. Startup time as a function of changes the second order capacity D

12 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak Rys.. Częstotliwość drgań w funkcji zmian pojemności rzędu drugiego D Fig.. Frequency of oscillations as a function of capacitance D Rys. 4. Amplituda oscylacji w zależności od wartości pojemności rzędu drugiego D Fig. 4. Amplitude of oscillations as a function of the capacitance D

13 Kwadraturowy oscylator harmoniczny Rys. 5. Czas wzbudzania układu w funkcji zmian wzmocnienia K Fig. 5. Startup time as a function of gain K Rys. 6. Amplituda oscylacji w funkcji zmian wzmocnienia K Fig. 6. Amplitude of oscillations as a function of gain K

14 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak Rys. 7. Częstotliwość oscylacji w funkcji zmian wzmocnienia K Fig. 7. Frequency of oscillations as a function of gain K Rys. 8. Czas wzbudzania układu w funkcji zmian rezystancji R Fig. 8. Startup time as a function of resistance R

15 Kwadraturowy oscylator harmoniczny Rys. 9. Amplituda oscylacji w funkcji zmian rezystancji R Fig. 9. Amplitude of oscillations as a function of resistance R Rys.. Częstotliwość oscylacji w funkcji zmian rezystancji R Fig.. Frequency of oscillations as a function of resistance R

16 4 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak Rys.. Czas wzbudzania układu w funkcji zmian rezystancji R Fig.. Startup time as a function of resistance R Rys.. Amplituda oscylacji w funkcji zmian rezystancji R Fig.. Amplitude of oscillations as a function of resistance R

17 Kwadraturowy oscylator harmoniczny 5 Rys.. Częstotliwość oscylacji w funkcji zmian rezystancji R Fig.. Frequency of oscillations as a function of resistance R 5. WNIOSKI KOŃCOWE Wykonane badania symulacyjne potwierdzają, iż układ oscylatora rzędu trzeciego z integratorem, obwodem RCD, wzmacniaczem oraz z nieliniowym ogranicznikiem napięcia (rys. 8) umożliwia sterowanie wartością częstotliwości oraz amplitudy powstałych w układzie oscylacji. Sterowanie to może odbywać się w sposób niezależny. Wartość częstotliwości przestraja się, zmieniając pojemność rzędu drugiego D bez wpływania na poziom amplitudy, zgodnie z zależnością (9). Natomiast na wartość amplitudy można wpływać poprzez zmianę wzmocnienia wzmacniacza K lub poprzez zmianę rezystancji R bez ingerencji w wartość częstotliwości, zgodnie z zależnością (). Rezystancja R ma wpływ na jednoczesną zmianę wartości częstotliwości i amplitudy. Czas wzbudzania układu zależy od wartości elementów i w przypadku zwiększania pojemności rzędu drugiego D czas ten ulegał zmniejszeniu. W układzie oscylatora z makromodelami rzeczywistych wzmacniaczy LM4 (rys. 9) w wykonanych badaniach symulacyjnych uwidacznia się wpływ rezystancji i pojemności pasożytniczych wzmacniaczy operacyjnych na sposób wzbudzania się układu oraz na wartość amplitudy i częstotliwości powstałych oscylacji. Można zauważyć, że niezależność sterowania tymi dwoma parametrami zostaje zaburzona zmiana wartości częstotliwości pociąga za sobą niewielką, ale jednak zauważalną zmianę amplitudy i odwrotnie. Aby

18 6 L. TopórKamiński, A. Kumor, J. Guzik, A. Pilśniak dokładnie poznać te mechanizmy, należałoby we wzorach (9) oraz () uwzględnić dodatkowe rezystancje i pojemności pasożytnicze układu. BIBLIOGRAFIA. Maheshwari S, Khan I.A.: Current controlled third order quadrature oscillator. IEE Proc.Circuits Devices Syst. 5, Vol. 5, No. 6.. Tsukatani T., Sumi Y., Fukui Y.: Electronically controlled currentmode oscillators (thirdorder) using MOOTAs and grounded capacitors. Frequenz. Journal of RF/Microwave Engineering, Photonics and Communications. De Gruyter 6, Vol. 6, No... Minhaj N.: MOCCIIBased function generator (thirdorder) with grounded passive components. XXXII National Systems Conference, Aligarh Muslim University, India Lamanwisut S., Siripruchyanum M.: High outputimpedance currentmode thirdorder quadrature oscillator based on CCCCTAs. Thonburi University, Bangkok, Thailand. TENCON Horng JW.: Currentmode thirdorder quadrature oscillator using CDTAs. Hindawi Publishing Corporation. Active and Passive Electronic Components Maheshwari S.: Currentmode thirdorder quadrature oscillator. IET Circuits devices Syst., Vol Horng JW., Lee H., Wu JY.: Electronically tunable thirdorder quadrature oscillator using CDTAs. Radioengineering, Vol. 9. No.. 8. Das B. P., Watson N., Liu Y.H.: Bipolar OTA based voltage controlled sinusoidal oscillator (thirdorder). Proceedings of the International Conference on Circuits, Systems, Signals.. 9. TopórKamiński L.: Wielozaciskowe wzmacniacze operacyjne w układach oscylacyjnych. Wydawnictwo Pomiary Automatyka Kontrola. Opracowanie monograficzne. (stron 5), Warszawa 8.. TopórKamiński L.: Wzmacniacze elektroniczne w układach aktywnych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice.. Gunes E.O., Toker A.: On the realization of oscillators using state equations. Internatioal Journal of Electronics and Communications. Urban & Ficher Verlag. Vol. 56, No. 5, p Gupta S.S., Senani R.: State variable synthesis of single resistance controlled grounded capacitor oscillators using only two CFOAs. IEE Pros.CDS 998, Vol. 45. No., p. 58.

19 Kwadraturowy oscylator harmoniczny 7. Gupta S.S., Senani R.: State variable synthesis of singleresistancecontrolled grounded capacitor oscillators using only two CFOAs: additional new realisations. IEE Pros.CDS, Vol. 45. No. 6, December 998, pp Senani R., Kumar B. A.: Systematic generation of OTAC sinusoidal oscillators. Electronics Letters 99, Vol. 6, No. 8, p LinaresBarranco B., RodriguezVazquez A., SanchezSinencio E., Huertas J.: CMOS OTAC highfrequency sinusoidal oscillators. IEEE Journal of SolidState Circuits 99, Vol. 6, No., p LinaresBarranco B., RodriguezVazquez A., SanchezSinencio E., Huertas J.: Generation, design and tuning of OTAC highfrequency sinusoidal oscillators. IEE Proc.G 99, Vol. 9, No. 5, p TopórKamiński L.: Synteza oscylatorów harmonicznych na bazie równań impedancyjnych. Pomiary Automatyka Kontrola 8. vol. 54, Nr, s Nandi R.: Precise insensitive tunable RCoscillator realization using current conveyors. IEE Proseedings 986. Vol., Pt. G., No., p TopórKamiński L.: Wpływ dwójników pasożytniczych na parametry oscylatorów stabilizowanych elementem nieliniowym. Przegląd Elektrotechniczny 9, nr, s Bergen A.R., Chua L.O., Mees A.I., Szeto E. W.: Error bounds general describing function problems. IEEE Trans. CAS 98. Vol. CAS9, p Prof. dr hab. inż. Lesław TopórKamiński Mgr inż. Aleksander Kumor, Dr inż. Janusz Guzik, doc. Pol. Śl. Dr inż. Adam Pilśniak Politechnika Śląska Wydział Elektryczny, Instytut Metrologii, Elektroniki i Automatyki Akademicka 44 Gliwice Tel. () 75; leslaw.toporkaminski@polsl.pl Tel. () 768; aleksander.kumor@polsl.pl Tel. () 799; janusz.guzik@polsl.pl Tel. () 7654; adam.pilsniak@polsl.pl Tel. () 79; piotr.holajn@polsl.pl