ZARYS ŚLIMAKA TORUSOPOCHODNEGO KSZTAŁTOWANEGO NARZĘDZIEM TRZPIENIOWYM

Transkrypt

1 KOMISJA BUDOWY MASZY PA ODDZIAŁ W POZAIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 8 LESZEK SKOCZYLAS ZARYS ŚLIMAKA TORUSOPOCHODEGO KSZTAŁTOWAEGO ARZĘDZIEM TRZPIEIOWYM W artykule przedstawiono matematyczny opis śrubowej powierzchni bocznej torusopochodnego ślimaka kształtowanego narzędziem trzpieniowym. W modelu opisującym powierzchnię śrubową uwzględniono możliwość ustawienia narzędzia trzpieniowego w dowolnym przekroju podłużnym ślimaka. Przedstawiono kilka przykładów zarysu zęba obliczonych dla wybranych parametrów ślimaka i narzędzia. Słowa kluczowe: przekładnie ślimakowe, ślimak torusopochodny 1. WSTĘP Duża różnorodność zarysów zwoju ślimaka w przekładniach ślimakowych stwarza możliwości poszukiwań kształtu zarysu, przy którym przekładnia miałaby jak najlepsze parametry eksploatacyjne. Jak pokazują badania [3], przekładnie ślimakowe ze ślimakiem o kołowo-wklęsłym zarysie zwoju charakteryzują się większą sprawnością i nośnością w porównaniu z zarysami prostoliniowymi i wypukłymi ślimaka. W praktyce jednakże głównie wytwarzane są przekładnie z łatwym do wykonania wypukłym zarysem ślimaka (ewolwentowym oraz stożkopochodnym kształtowanym narzędziem krążkowym). Ślimaki ewolwentowe nie tylko są łatwe do wykonania, ale są również proste w opisie matematycznym. Sytuacja wygląda odmiennie w przypadku ślimaków stożkopochodnych, których matematyczny opis charakteryzują skomplikowane zależności. Współczesny rozwój techniki komputerowej pozwala na przełamanie bariery obliczeniowej i analizę nieliniowego zarysu ślimaka, a także na analizę geometrii jego zazębienia ze ślimacznicą [ 8]. Przeglądając literaturę, można zauważyć ograniczoną liczbę modeli opisujących geometrię ślimaka, którego powierzchnia boczna zwoju definiowana jest za pomocą znamionowego zarysu narzędzia użytego do ich wykonania. Opracowania dotyczą głównie ślimaków stożkopochodnych kształtowanych narzędziem krążkowym [1,, 4, 5, 9]. arzędzia z nieli- Dr inż. Katedra Technologii Maszyn i Organizacji Produkcji Politechniki Rzeszowskiej.

2 13 L. Skoczylas niowym zarysem praktycznie nie są rozważane. Jednym z takich zarysów jest zarys kołowo-łukowy pozwalający na uzyskanie nieliniowego wklęsłego zarysu ślimaka (torusopochodnego). iniejsze opracowanie stanowi kontynuację zagadnień dotyczących opisu powierzchni bocznej zwoju ślimaka. Przedstawiono w nim zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym.. MATEMATYCZY OPIS POWIERZCHI ZWOJU ŚLIMAKA Śrubowa powierzchnia boczna zwoju ślimaka torusopochodnego definiowana jest za pomocą znamionowego kołowego zarysu narzędzia użytego do jego ukształtowania. Powstaje ona w wyniku względnego ruchu obrotowego i postępowego narzędzia względem ślimaka. Dlatego punktem wyjścia do określenia zarysu ślimaka jest znajomość geometrii narzędzia. Parametry opisujące geometrię narzędzia przedstawiono na rys. 1. Podstawowymi parametrami narzędzia (rys. 1) są średnica podziałowa narzędzia d, znamionowy kąt zarysu narzędzia α określany na średnicy podziałowej oraz promień krzywizny zarysu narzędzia R. Przy takich założeniach znamionowy kąt zarysu narzędzia narzuca położenie punktu zaczepienia promienia krzywizny R, którego odległość od średnicy znamionowej Rys. 1. Parametry narzędzia Fig. 1. Tool parameters x = R sinα. (1) Korzystając z rys. 1, parametryczne równanie powierzchni narzędzia można zapisać następująco: y z x = R d = + R d = + R ( sinα sinυ), ( cosυ cosα ) cosξ, ( cosυ cosα ) sinξ. W równaniu ξ i υ oznaczają parametry powierzchni narzędzia. Kinematykę kształtowania ślimaka przedstawiono na rys.. ()

3 Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym 131 Rys.. Układ kinematyczny kształtowania zarysu zwoju ślimaka Fig.. Kinematic system of worm tooth profile shaping Przygotowując matematyczny model zarysu ślimaka, założono, że narzędzie odsunięte jest od osi ślimaka o wartość a (rys. ) odpowiadającą promieniowi podziałowemu ślimaka i na tym promieniu określana jest średnica i kąt znamionowy narzędzia. Dodatkowo założono, że narzędzie ma możliwość wychylenia o kąt ϕ wokół osi z układu narzędzia. Takie wychylenie odpowiada ustawieniu narzędzia w dowolnym przekroju ślimaka poza przekrojem osiowym. Przedstawiono to na rys. 3. W trakcie kształtowania ślimaka pomiędzy nim a narzędziem występuje liniowy styk, który zarazem określa jedną z tworzących śrubowej powierzchni ślimaka. Drugą tworzącą jest linia śrubowa ślimaka. Aby opisać powierzchnię zwoju ślimaka, należy określić równanie opisujące linię styku pomiędzy narzędziem a ślimakiem. Spełnia ona podstawowy warunek zazębienia: n t n t + n t =, (3) x x + y y z z Rys. 3. Wychylenie narzędzia względem ślimaka Fig. 3. Tilt of tool relative to worm

4 13 L. Skoczylas gdzie n x, n y, n z przedstawiają składowe wektora normalnego do powierzchni, a t x, t y, t z składowe wektora stycznego. Składowe wektora normalnego obliczane są na podstawie znanej powierzchnię, którą w tym przypadku jest powierzchnia narzędzia. Wykorzystując twierdzenie o normalnych do powierzchni, końcowe zależności opisujące składowe wektora normalnego przedstawia się następująco: n n n x y z = R = R = R cosυ sinυ, cos υ cosξ, cos υ sinξ. Wektorem stycznym może być prędkość względna narzędzia i ślimaka wynikająca z kinematyki kształtowania. Jej składowe wyliczone na podstawie rys. i 3 mają następującą postać: pz Vx = ω a + sinγ, π pz Vy = ω a + sinγ, π pz Vz = ω a sin γ +. π Składowe prędkości zależą od prędkości kątowej ślimaka ω, skoku p z oraz kąta wzniosu linii śrubowej zęba ślimaka γ i odległości układów współrzędnych a. Obliczając iloczyn skalarny wektorów normalnego i stycznego (3), po przekształceniach uzyskuje się następującą zależność: pz a sin γ π cos υ sinξ cosυ cosξ + sinυ =. (6) pz a + sin γ π Otrzymana zależność (6) pozwala na wyliczenie parametru ξ powierzchni narzędzia. Po podstawieniu wyliczonego parametru do równania () otrzymuje się współrzędne linii styku narzędzia z kształtowanym ślimakiem. Celem uzyskania powierzchni śrubowej ślimaka należy obrócić obliczoną uprzednio linię styku oraz przesunąć wzdłuż linii śrubowej ślimaka. ależy również zauważyć, że wyliczona linia styku jest określona w układzie x y z, wobec czego należy uwzględnić powiązanie układów narzędzia i ślimaka. Jako układ pośredniczący przyjęto układ stały x y z. Układ narzędzia x y z jest skręcony w stosunku do układu stałego x y z o kąt pochylenia narzędzia ϕ. Wobec tego macierz przejścia jest następująca: (4) (5)

5 Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym 133. (7) 1 Dodatkowo układ narzędzia jest skręcony o kąt γ oraz odsunięty o wartość a od układu stałego, co można zapisać za pomocą następującej macierzy: a sinγ +. (8) sinγ 1 Z kolei układ ślimaka x y z jest skręcony o kąt ψ oraz przesunięty w stosunku do układu stałego x y z o wartość (p z ψ/(π)). Opisuje to macierz: cosψ sinψ sinψ cosψ + 1. (9) p z ψ π Uwzględniając macierze przejścia, końcową zależność opisującą współrzędne torusopochodnej powierzchni śrubowej ślimaka można zapisać: x = b y = b ( cosψ + sinψ )( x Rsinυ) + ( sinψ cosψ ) b Rcosα + Rcosυ cosξ + ( sinψ ) Rcosα Rcosυ sinξ sinγ + a ( cosψ sinψ )( x Rsinυ) + ( sinψ + cosψ ) o o b Rcosα + Rcosυ cosξ + ( cosψ ) Rcosα + Rcosυ sinξ sinγ a b z = sinγ sinψ ( xo Rsinυ) + sinγ cosψ Rcosα + Rcosυ cosξ + b pzψ + Rcosα + Rcosυ sinξ. π cosψ ψ sin (1) Osiowy zarys ślimaka otrzymuje się dla współrzędnej y =. Pozwala to na wyliczenie parametru ψ, którego równanie przedstawia się następująco:

6 134 L. Skoczylas tgψ = a ( x Rsinυ) + ( cosξ sinγ sinξ ) o + b b Rcosα + Rcosυ ( x Rsinυ) cosξ Rcosα + Rcosυ o (11) Mając wyliczony parametr ψ, z zależności (1) można obliczyć współrzędne x i z osiowego zarysu ślimaka. 3. KSZTAŁT ZARYSU ZWOJU ŚLIMAKA TORUSOPOCHODEGO Celem zobrazowania wpływu parametrów konstrukcyjnych ślimaka i narzędzia na kształt zarysu zwoju ślimaka opracowano kilka przykładów obliczeniowych. Przyjęte parametry do obliczeń przedstawiono w tablicy 1. Parametry ślimaka i narzędzia Worm and tool parameters Tablica 1 azwa parametru Wartość Moduł osiowy ślimaka 5 mm Wskaźnik średnicowy 1 Współczynnik grubości zęba ślimaka,5 Kąt zarysu narzędzia o Promień krzywizny narzędzia 5 mm Oprócz parametrów przedstawionych w tablicy na zarys ślimaka ma również wpływ liczba zwojów, od której zależy kąt wzniosu linii śrubowej oraz ustawienie narzędzia kształtującego ślimak. Założono, że parametry te są zmienne i względem nich przygotowano charakterystyki osiowego zarysu zwoju ślimaka torusopochodnego. Liczba zwojów, dla której obliczono zarysy zębów, wynosiła 1,, 4, 6. Ustawienie narzędzia określano przez kąt obrotu narzędzia względem osi z (rys. 3). Z uwagi na duży wpływ wychylenia narzędzia na zarys ślimaka przy dużym kącie wzniosu jego linii śrubowej przyjęto różne wartości kąta wychylenia. Dla jedno- i dwuzwojnego ślimaka przyjęte wartości kąta to: 4 o, o, o, o, 4 o. W pozostałych przypadkach kąt wychylenia wynosił: o, 1 o, o, 1 o, o. W każdym przypadku wartość promienia krzywizny zarysu narzędzia wynosiła 5 mm. Wyniki obliczeń zarysu ślimaka przedstawiono na rys. 4. Jak pokazuje rysunek, dla różnych parametrów ślimaka oraz ustawienia narzędzia uzyskuje się szeroki zakres zmian zarysu zwoju. Ponieważ w każdym przypadku promień krzywizny narzędzia jest taki sam, można zauważyć zmiany krzywizny zwoju ślimaka spowodowane różną liczbą zwojów ślimaka, a tym

7 Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym 135 samym różnym kątem wzniosu linii śrubowej, oraz odpowiednim wychyleniem narzędzia. W każdym przypadku obserwowana jest taka prawidłowość, że wraz ze wzrostem kąta wychylenia narzędzia maleje kąt zarysu ślimaka na średnicy podziałowej. Zwiększa się również promień krzywizny zwoju i przyjmuje różne wartości w różnych punktach na zarysie. Tylko w jednym przypadku występuje odstępstwo od widocznej prawidłowości (rys. 4a). Zjawisko to zaobserwowano przy dużym wychyleniu narzędzia, po przekroczeniu określonej dodatniej wartości kąta wychylenia. a) b) c) d) Rys. 4. Kształt zarysu zwoju ślimaka torusopochodnego Fig. 4. Torusoidal worm teeth profile Oprócz wychylenia narzędzia duże zmiany w kształtowaniu zarysu ślimaka powoduje również promień krzywizny narzędzia. Celem wskazania wielkości tego wpływu dla skrajnych przypadków analizowanych parametrów opracowano zarys zwoju ślimaka ukształtowanego narzędziem o prostoliniowym zarysie (ślimak stożkopochodny). Wyniki przedstawiono na rys. 5. W przypadku prostoliniowego zarysu znamionowego narzędzia występuje również omawiana wcześniej prawidłowość dotycząca kąta zarysu i promienia krzywizny zwoju ślimaka. Ponadto dla liniowego zarysu narzędzia uzyskuje się dodatkowo wypukłe zarysy ślimaka.

8 136 L. Skoczylas a) b) Rys. 5. Kształt zarysu zwoju ślimaka stożkopochodnego Fig. 5. K-worm teeth profile 4. PODSUMOWAIE Przedstawiony w niniejszym artykule matematyczny opis zarysu zwoju ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym pozwala na szczegółową analizę kształtu tego zwoju. Przedstawione obliczenia pokazują zarazem dużą zależność kształtu zarysu ślimaka nie tylko od geometrii narzędzia, ale również od jego ustawienia. Stwarza to możliwość poszukiwań kształtu zarysu ślimaka zapewniającego lepszą pracę przekładni przy jednoczesnym łatwym do zaprofilowania zarysie narzędzia, bez potrzeby posiadania skomplikowanego oprzyrządowania. Ocena tej grupy ślimaków wymaga jednakże badań eksperymentalnych, jak również analizy zazębienia tak ukształtowanego ślimaka ze ślimacznicą. LITERATURA [1] Kornberger Z., Przekładnie ślimakowe, Warszawa, WT [] Litvin F.L., Gonzalez-Perez I., Yukishima K., Fuentes A, Hayasaka K., Design, simulation of meshing, and contact stresses for an improved worm gear drive, Mechanism and Machine Theory, 7, vol. 4. [3] Marciniak T., Obciążalność zazębienia przekładni ślimakowych, Zeszyty aukowe Politechniki Łódzkiej, 4, nr 934. [4] Marciniak T., Przekładnie ślimakowe walcowe, Warszawa, PW 1. [5] Seol H. I., The design, generation, and simulation of meshing of worm-gear drive with longitudinally localized contacts, ASME Journal of Mechanical Design,, vol. 1. [6] Skoczylas L., Geometria zazębienia przekładni ślimakowej przy zmodyfikowanym zarysie ślimaka Archimedesa, Mechanik, 7, nr. [7] Skoczylas L., Linia styku zębów przekładni ślimakowej o stożkopochodnym zarysie ślimaka, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 6, vol. 6, nr, s [8] Skoczylas L., Geometria zazębienia przekładni ślimakowej ze stożkopochodnym ślimakiem kształtowanym narzędziem trzpieniowym, Zagadnienia Eksploatacji Maszyn, 7, vol. 4, z. 4 (15).

9 Zarys ślimaka torusopochodnego kształtowanego narzędziem trzpieniowym 137 [9] Su X., Houser D. R., Alternative equation of meshing for worm-gear drives and its aplication to determining undercutting and reverse engineering, ASME Journal of Mechanical Design,, vol. 1. Praca wpłynęła do Redakcji Recenzent: dr hab. inż. Tadeusz Marciniak PROFILE OF TORUSOIDAL WORM SHAPED BY SHAK TOOL S u m m a r y The paper presents mathematical description of helical side surface of torusoidal worm shaped by shank tool. The model describing helical surface takes into consideration the possibility of shank tool setting in arbitrary worm longitudinal section. A few examples of teeth profiles calculated for selected parameters of worm and tool were shown. Key words: worm gears, torusoidal worm