DYSKRETNA NUMERYCZNA METODA α-bufora OKREŚLANIA GEOMETRYCZNEGO ŚLADU STYKU W PRZEKŁADNI ZĘBATEJ

Transkrypt

1 KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 27 nr 2 Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 2007 MARIUSZ SOBOLAK * DYSKRETNA NUMERYCZNA METODA α-bufora OKREŚLANIA GEOMETRYCZNEGO ŚLADU STYKU W PRZEKŁADNI ZĘBATEJ W artykule przedstawiono dyskretną numeryczną metodę wyznaczania geometrycznego śladu styku między powierzchniami zębów kół. Współpracujące powierzchnie zębów zadane są w postaci dyskretnych regularnych siatek punktów. Słowa kluczowe: koła zębate, ślad styku 1. WPROWADZENIE Podczas projektowania nowych zarysów uzębienia oraz projektowania technologii ich obróbki ewentualne sprawdzenie poprawności pracy kół w przekładni jeszcze przed wykonaniem prototypu przeznaczonego do badań pozwoliłoby na ograniczenie kosztów wdrażania przekładni i narzędzi służących do jej obróbki [1, 2, 3]. Ślad styku i ślad współpracy należą do ważnych czynników pozwalających wnioskować co do poprawności pracy przekładni. W zależności od rodzaju przekładni, dokładności jej wykonania, montażu oraz zużycia ślad styku może przybierać różne kształty [1, 2]. Za pomocą geometrycznego modelu przekładni można by sprawdzić wstępnie poprawność jej współpracy. W artykule przedstawiono opracowaną przez autora numeryczną metodę analizy współpracy przekładni, użyteczną zwłaszcza gdy topografia powierzchni zęba zadana jest w postaci dyskretnej. Metoda ta pozwala na otrzymywanie śladu styku między powierzchniami dyskretnymi. W hipotetycznej, absolutnie sztywnej i dokładnej przekładni, pracującej bez obciążenia, ślad styku może być punktem lub linią. W przekładniach rzeczywistych jest to pewne pole powierzchni, wokół hipotetycznego punktu lub linii styku, na którym stykają się współpracujące zęby. W prawidłowo pracującej, * Dr inż. Katedra Konstrukcji Maszyn Politechniki Rzeszowskiej.

2 154 M. Sobolak nieprzeciążonej przekładni zęby odkształcają się sprężyście w miejscu, w którym dochodzi do kontaktu. Z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że obwiednia śladu styku odpowiada pewnej krzywej, będącej warstwicą jednakowych odległości między współpracującymi powierzchniami, przy czym odległość ta jest równa wielkości sprężystego odkształcenia współpracujących zębów. 2. WYZNACZANIE GEOMETRYCZNEGO ŚLADU STYKU Przestrzenną krzywą ograniczającą ślad styku A można wyznaczyć geometrycznie, wgłębiając powierzchnie współpracujących zębów na odległość δ w równą odkształceniu sprężystemu przy zadanej sile międzyzębnej (rys. 1). Odległość δ w może także odpowiadać grubości warstwy tuszu przyjmowanej przy sprawdzaniu przekładni na maszynach kontrolnych. II I ε p III δw A Rys. 1. Powierzchnie zębów ze śladem styku A w wichrowatej przekładni walcowej; I powierzchnia zęba koła, II powierzchnia wrębu międzyzębnego koła współpracującego, ε p płaszczyzna przekroju, δ w wgłębienie Fig. 1. Teeth surfaces with contact ellipse A in a helical cylindrical gear, I, II the surfaces of teeth; ε p section plane, δ w interference 3. BUDOWA POWIERZCHNI NA SIATCE PUNKTÓW DYSKRETNYCH Często w wyniku analizy odwzorowania narzędzia powierzchnia zębów otrzymywana jest w postaci siatki dyskretnych punktów [4]. Siatka dyskretnych punktów może także powstać w wyniku skanowania 3D rzeczywistej powierzchni zęba. W pierwszej kolejności na siatce punktów dyskretnych należy zbudować powierzchnię. Powierzchnia zadana w sposób dyskretny może być przybliżona trój-

3 Dyskretna numeryczna metoda 155 kątnymi płaskimi powierzchniami (rys. 2). Tworzenie takich powierzchni jest ułatwione, gdy punkty znajdują się w pewnej metryce prostokątnej [4]. W takim przypadku punkty można łączyć czwórkami odpowiednio punkty z przyległych pól i dodatkowo przekątna, tak aby powstały dwa trójkąty. Jeżeli czworobok tworzony z pary trójkątów w rzucie na tablicę T m n nie jest wypukły, to istnieje prawdopodobieństwo zawinięcia powierzchni (rys. 3). Aby uniknąć zjawiska zawijania powierzchni, należy czworobok podzielić tak, aby przekątna nie wychodziła w rzucie poza czworobok (rys. 4). Praktycznie można to osiągnąć, wykorzystując iloczyny wektorowe traktując boki trójkątów jako wektory. I P i,j T (m n) T i,j Rys. 2. Budowa powierzchni na siatce punktów uporządkowanych w metryce prostokątnej, I pojedynczy trójkąt, T i,j pole tablicy odniesienia T m n, P i,j jeden z dyskretnych punktów Fig. 2. Generating a surface on rectangular grid of discrete points; I a single triangle, T i,j a single field of table T m n, P i,j one of discrete points a) b) Rys. 3. Zawinięcie powierzchni; a) powierzchnia zawinięta (kolor szary), b) ta sama powierzchnia z czworobokiem podzielonym drugą przekątną Fig. 3. Wrapped surface; a) wrapped surface (grey triangle), b) that same surface with the other diagonal of a quadrilateral

4 156 M. Sobolak P i+1,j+1 P i,j+1 P i,j P i+1,j Rys. 4. Dwie przekątne czworoboku (linie przerywane) Fig. 4. Two diagonals of a quadrilateral (dashed lines) Aby rozpatrzyć wektory w rzucie na płaszczyznę T m n (w celu wyzerowania trzeciej współrzędnej), należy obliczyć dwa iloczyny wektorowe: r T N P P P P = 0 z (1) 1 = i, j i, j+ 1 i, j i+ 1, j+ 1 [ ], 0 1 gdzie: z z = r N = 2 = Pi, j Pi + 1, j+ 1 Pi, j Pi + 1, j T [ 0 z ], 0 2 ( xp x ) ( y y ) ( y y ) ( x x ), 1 i, j+ 1 Pi, j Pi + 1, j+ 1 Pi, j Pi, j+ 1 Pi, j Pi + 1, j+ 1 Pi, j = ( xp x ) ( y y ) ( y y ) ( x x ), 2 i+ 1, j+ 1 Pi, j Pi + 1, j Pi, j Pi + 1, j+ 1 Pi, j Pi + 1, j Pi, j (2) (3) (4) Jeżeli wektory N r 1 i N r 2 są skierowane w przeciwne strony ( z1 z2 < 0 ), to powierzchnia się zawija i należy poprowadzić przekątną P, w przeciwnym wypadku (tzn. z z 0 ) przekątną P i P. 1 2, j i+ 1, j+ 1 P i, j+ 1 i+ 1, j 4. WYZNACZENIE PRZECIĘCIA POWIERZCHNI OPISANYCH ZA POMOCĄ TRÓJKĄTÓW 4.1. Metoda dyskretna Po wyznaczeniu powierzchni reprezentujących powierzchnie współpracujących zębów zestawia się je tak jak w rzeczywistej przekładni, po czym wgłębia się je na ustaloną odległość ruchami wynikającymi z kinematyki przekładni (przez obrót koła). W tak zestawionych powierzchniach wyznacza się prze-

5 Dyskretna numeryczna metoda 157 strzenną krawędź przecięcia ograniczającą ślad styku. Krawędź można wyznaczyć metodą dyskretną, analityczną lub za pomocą systemu CAD. W metodzie dyskretnej przyjmuje się tablicę odniesienia T m n (rys. 5). Umieszcza się ją w przekroju osiowym koła. Tablica składa się z kwadratowych powierzchni jednostkowych P i,j. Ze względów praktycznych (wizualizacja wyników) można przyjmować, że każda powierzchnia jednostkowa odpowiada pikselowi ekranu monitora. Trójkąty T ii reprezentujące powierzchnię I są rzutowane we współrzędnych ' krzywoliniowych na tablicę T m n. Otrzymuje się rzuty trójkątów T ii, które następnie są dyskretyzowane na siatce całkowitoliczbowej tablicy Tm n (rys. 6). ' Dyskretyzowane są odcinki reprezentujące boki zrzutowanych trójkątów T ii (np. z wykorzystaniem algorytmu Bresenhama), po czym trójkąty są wypełniane (np. z wykorzystaniem algorytmu powodziowego ). Dla każdej kwadratowej powierzchni Pi,j zdyskretyzowanego trójkąta wyznaczany jest jej odpowiednik P i,ji, leżący na trójkącie T ii. Dla każdego pola P i,j tablicy T m n zapamiętywany jest kąt α i,ji. A T ii T m n I T ii A II α i,ji α i,jii P i,j Pi,jI P i,jii Rys. 5. Ogólny model przyjęty w metodzie dyskretnej Fig. 5. General model assumed in the discrete method Podobnie postępuje się z trójkątami T iii reprezentującymi powierzchnię II i otrzymuje się dla pól P i,j tablicy T m n kąty α i,jii. Gdy polu P i,j tablicy T m n nie odpowiada w przestrzeni żaden trójkąt T ii (T iii ), kąt α i,ji (α i,jii ) przyjmuje wartość zerową.

6 158 T m n T ii P i,j Rys. 6. Dyskretyzacja trójkąta (szare pola) Fig. 6. Discretization of a triangle (grey fields) M. Sobolak Gdy dla pól P i,j tablicy T m n określone są już kąty α i,ji i α i,jii, wykonuje się sortowanie. Następnie porównuje się kąty przypisane do każdego z pól P i,j, ustalając widoczność. Jeżeli α i,ji <α i,jii, to widoczna jest powierzchnia I, jeżeli α i,ji >α i,jii, to widoczna jest powierzchnia II, jeżeli α i,ji = α i,jii, to powierzchnie się pokrywają. W ten sposób otrzymuje się płaski obraz z ustaloną widocznością przenikających się powierzchni I i II. Algorytm podobny jest do tzw. algorytmu z-bufora, stosowanego w grafice komputerowej, z tym że sortowanie odbywa się we współrzędnych walcowych, stąd można go nazwać algorytmem α-bufora Metoda analityczna W metodzie analitycznej wykorzystuje się rachunek wektorowy do wyznaczenia przecięcia powierzchni. W celu wyznaczenia przestrzennej linii przenikania powierzchni zadanych za pomocą płaskich trójkątnych powierzchni należy: wyznaczyć punkty P i przebicia trójkątów tworzących powierzchnię I krawędziami trójkątów powierzchni II, wyznaczyć punkty P i przebicia trójkątów tworzących powierzchnię II krawędziami trójkątów powierzchni I, stworzyć przestrzenny wielobok, łącząc punkty P i leżące na pojedynczych trójkątach jednej z powierzchni Metody oparte na systemie CAD Niektóre systemy CAD pozwalają na tworzenie powierzchni na siatkach punktów. W przypadku powierzchni dyskretnej możliwe jest wykorzystanie systemu CAD do zbudowania takich powierzchni, a następnie do analizy ich przecięcia, czyli wyznaczenia śladu styku. 5. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY DYSKRETNEJ Na rysunku 7 przedstawiono wyniki przykładowej analizy chwilowego śladu styku w wichrowatej przekładni walcowej utworzonej z dwóch kół walcowych

7 Dyskretna numeryczna metoda 159 o zębach śrubowych (moduł normalny m n = 5 mm, kąt zarysu α 0 = 20, z 1 = 24, β 1 = 15, β 2 = 15, z 2 = 23, szerokość kół b 1 = b 2 = 40 mm, kąt skrzyżowania osi Σ = 30 ). Powierzchnie zębów w postaci dyskretnej wyznaczono z wykorzystaniem dyskretnej numerycznej symulacji odwzorowania narzędzia [4]. Każda z nich była opisana dyskretnych punktów. Na każdej z nich utworzono trójkąty. Przyjęto tablicę T m n o wymiarach Koła ustawiono w pozycji wyjściowej, a następnie obracano jedno z nich o zadany kąt, aby otrzymać założoną odległość między powierzchniami w obszarze przenikania δ w = = 0,01±0,001 mm. Wykorzystano w tym celu algorytm połowienia przedziału, a δ w określano na podstawie maksimum z różnic α i,ji α i,jii. Rys. 7. Chwilowy ślad styku A na powierzchni bocznej zęba II ; I rzut boku współpracującego zęba Fig. 7. The instantaneous contact ellipse A on a tooth flank II, I projection a flank of a mating tooth Chwilowy ślad styku ma kształt eliptyczny. Na chwilowym śladzie styku A jest wyraźnie widoczny aliasing (ząbki), co jest wynikiem dyskretnego charakteru metody (przyjęcia siatki całkowitoliczbowej). 6. WNIOSKI Dyskretna numeryczna metoda α-bufora pozwala na otrzymywanie chwilowego śladu styku między zębami współpracujących kół. Chwilowy ślad styku otrzymywany jest w rzucie na tablicę T m n, leżącą w przekroju osiowym koła. Możliwe jest także określenie łącznego chwilowego śladu styku przy rozpatrywaniu kilku par współpracujących zębów. Dalsze prace będą zmierzały do określenia powierzchni chwilowego śladu styku oraz do wyznaczenia zmian łącznego śladu styku w trakcie obrotu kół przekładni. Każdemu pikselowi tablicy można przypisać pewne pole, zależne od krzywizny zarysu zęba. Wówczas określenie powierzchni śladu styku będzie sprowadzało się do sumowania poszczególnych pól z odpowiednimi wagami.

8 160 M. Sobolak Wyznaczenie zmian łącznego chwilowego śladu styku pozwoli na szacunkową wstępną ocenę poprawności pracy przekładni. Jest to jeden z etapów projektowania nowej przekładni oraz projektowania (sprawdzenia) nowej technologii wykonania uzębienia. Pozwala na odrzucenie błędnych rozwiązań konstrukcyjnych i technologicznych już na etapie konstruowania koła czy planowania technologii, co przyczynia się do obniżenia kosztów wytwarzania, zwłaszcza kół o nietypowych zarysach zębów. LITERATURA [1] Litvin F. L., Chen N. X., Chen J. S., Computerized Determination of Curvature Relations and Contact Ellipse for Conjugate Surfaces, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995, vol. 125, s [2] Litvin F. L., Hsiao C. L., Computerized Simulation of Meshing and Contact of Enveloping Gear Tooth Surfaces, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1993, vol. 102, s [3] Marciniec A., Synteza i analiza zazębień przekładni stożkowych o kołowo-łukowej linii zęba, Rzeszów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej [4] Sobolak M., Analiza i synteza współpracy powierzchni kół zębatych metodami dyskretnymi, Rzeszów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej Praca wpłynęła do Redakcji Recenzent: prof. dr hab. inż. Ryszard Grajdek DISCRETE NUMERICAL METHOD OF TOOTH CONTACT ANALYSIS (TCA) WITH α-bufor USE S u m m a r y The paper contains description of an discrete numerical method of Tooth Contact Analysis (TCA). The surfaces of mating teeth are specified in mesh. The instantaneous contact ellipse is determined using of a α-bufor algoritm. Key words: Tooth Contact Analysis, gears