Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Transkrypt

1 Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska Zakład Geofizyki PRACA DOKTORSKA ANALIZA AKUSTYCZNYCH OBRAZÓW FALOWYCH W ASPEKCIE ZWIĘKSZENIA INFORMACJI O PARAMETRACH SPRĘŻYSTYCH I ZBIORNIKOWYCH SKAŁ mgr inż. Kamila Wawrzyniak promotor: prof. dr hab. inż. Jadwiga Jarzyna Kraków, 27

2 Mojej Mamie ii

3 Streszczenie Streszczenie Analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia informacji o parametrach sprężystych i zbiornikowych skał W pracy przedstawiono zastosowanie analiz czasowo-częstotliwościowych do przetwarzania akustycznych obrazów falowych (AOF). Zaproponowano oryginalne procedury prowadzące do dokładnego określenia fal na AOF, rozdzielenia pola falowego oraz do wskazania stref o zmienionych własnościach sprężystych. Założono, że poprawna identyfikacja fal użytecznych (P, S i Stoneleya) oraz dysponowanie pakietami falowymi wolnymi od interferencji, przyczyni się do dokładniejszego i bardziej wiarygodnego wyznaczenia parametrów sprężystych i zbiornikowych skał. W części kompilacyjnej pracy zawarto podstawy teoretyczne transformat czasowoczęstotliwościowych, omówiono profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym wraz ze szczegółową charakterystyką fal akustycznych oraz krótko opisano wykorzystane w pracy dane. W dalszej części dokładnie zreferowano przeprowadzone na danych syntetycznych i rzeczywistych rejestracjach badania z wykorzystaniem dyskretnej (DWT) i ciągłej transformaty falkowej (CWT) oraz metody pogoń za dopasowaniem (MP). Szczegółowo przedstawiono opracowaną dla każdej analizy metodykę przetwarzania obrazów falowych i przeprowadzono wnikliwą dyskusję wyników. Wykonane badania wykazały, że najlepszą rozdzielczością charakteryzuje się metoda pogoń za dopasowaniem. Pozwala ona na rozdzielenie pola falowego i wykonanie interpretacji ilościowej (określenie czasów interwałowych poszczególnych fal akustycznych oraz częstotliwości). Czasowoczęstotliwościowe reprezentacje AOF wykorzystano również do opracowania procedur wspomagających interpretację jakościową. Na podstawie CWT sporządzono wykresy czasowogłębokościowo-częstotliwościowe, a metody CWT i MP wykorzystano do obliczenia map atrybutów chwilowych obrazujących lokalne zmiany ośrodka geologicznego. Praca ma charakter metodyczny i przedstawia nowatorskie podejście do przetwarzania AOF. Prezentowane procedury są uniwersalne i mogą być wykorzystane do przetwarzania i analizy sygnałów rejestrowanych innymi sondami akustycznymi (np. Full Wave Sonic) oraz danych pochodzących z innych metod geofizycznych, np. sejsmiki otworowej, powierzchniowej płytkiej i głębokiej oraz każdego rodzaju sygnałów wykazujących zróżnicowanie czasowo-częstotliwościowe. iii

4 Abstract Abstract Analysis of acoustic full waveforms in terms of improving information about elastic and reservoir parameters of rocks PhD thesis presents application of time-frequency methods to acoustic full waveforms (AFW) processing. The goals of the research are: precise determination of acoustic waves from AFW, wave field decomposition into separate waves and pointing out zones of different elastic parameters. It is assumed that proper identification of P, S and Stoneley waves and interference-free waves extracted from AFW are necessary conditions of reliable and accurate determination of elastic and reservoir properties of rocks. First part of the thesis includes: theoretical background of time-frequency methods, information on full waveform acoustic logs and brief description of the data. Second part is devoted to detailed description of time-frequency analyses of acoustic full waveforms. Discrete wavelet transform, continuous wavelet transform and matching pursuit algorithm are applied to AFW. Simulations, developed methodology and results of each method are discussed in detail. From proposed methods matching pursuit reveals the best resolution and makes wave extraction possible. Results are used for transit interval time calculation (DTP, DTS and DTSt), which are compared with the counterpart parameters obtained from the original waveforms (i.e. not decomposed with matching pursuit). Additionally, decompositions are used for determination of frequency content of each wave packet. Time-frequency representations of AWF are also used to improving qualitative interpretation. On the basis of continuous wavelet transform time-depth-frequency plots for a given frequency are constructed. What is more, continuous wavelet transform and matching pursuit decomposition are used to calculating instantaneous attributes that indicate local changes of geological formation. Presented research is a kind of methodological work. Developed procedures are innovative and universal. They can be successfully applied to acoustic full waveforms recorded with different sonic tools. Procedures can be adapted also to other type of acoustic measurements, seismic data and any other geophysical signals that are characterized by changeable frequency and time. iv

5 Spis treści Spis treści Streszczenie Analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia informacji o parametrach sprężystych i zbiornikowych skał...iii Abstract Analysis of acoustic full waveforms in terms of improving information about elastic and reservoir parameters of rocks...iv Rozdział 1 Wstęp Wprowadzenie Teza pracy... 3 Rozdział 2 Metody czasowo-częstotliwościowe Wprowadzenie do analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów Sygnał Analiza sygnałów Klasyfikacja sygnałów Analiza częstotliwościowa i czasowo częstotliwościowa sygnałów Zasada nieoznaczoności Przegląd najpopularniejszych metod analizy czasowo-częstotliwościowej Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT Transformata Wignera (Wignera-Ville a) Transformacja falkowa WT Pogoń za dopasowaniem MP Podsumowanie analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów niestacjonarnych Transformata falkowa Ciągła transformata falkowa Dyskretna transformata falkowa Pogoń za dopasowaniem Algorytm pogoni za dopasowaniem Dobór elementów słownika Pogoń za dopasowaniem z dyskretnym słownikiem Gabora Gęstość energii w przestrzeni czas - częstotliwość Rozdział 3 Akustyczne obrazy falowe Profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym Podstawy profilowania akustycznego v

6 Spis treści Budowa sondy LSS Schemat obliczania czasów interwałowych dla sondy LSS Fale akustyczne generowane w otworach wiertniczych Fale objętościowe Fale prowadzone... 4 Fala w płuczce Inne fale Metody interpretacji akustycznych obrazów falowych Rozdział 4 Dane Otwór K Litostratygrafia otworu K Charakterystyka akustycznych obrazów falowych w otworze K Podział akustycznych obrazów falowych na strefy odpowiadające skałom o różnych własnościach sprężystych i zbiornikowych Przygotowanie danych do analiz czasowo-częstotliwościowych Rozdział 5 Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych z zastosowaniem wybranych metod czasowo-częstotliwościowych Parametry sygnałów syntetycznych oraz sygnały testowe Analiza składu częstotliwościowego akustycznych obrazów falowych za pomocą transformaty Fouriera Zastosowanie dyskretnej transformaty falowej Wprowadzenie Badania na danych syntetycznych Badania na danych rzeczywistych Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej Wprowadzenie Skala a częstotliwość w ciągłej transformacie falkowej Badania na danych syntetycznych Badania na danych rzeczywistych Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe akustycznych obrazów falowych dla wybranych, pojedynczych częstotliwości Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem Wprowadzenie Wrażliwość metody pogoń za dopasowaniem na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu (rozdzielczość czasowa) Rozdzielczość częstotliwościowa algorytmu MP Dobór ilości atomów dekompozycji Badania na danych syntetycznych vi

7 Spis treści Parametryzacja atomów Gabora pod kątem wydzielenia fal akustycznych z obrazów falowych... 1 Częstotliwość... 1 Oktawa... 1 Położenie Amplituda Faza Schemat rozdzielenia pola falowego w oparciu o parametryzację atomów Gabora Wyniki dekompozycji akustycznych obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem: analizy czasu interwałowego i częstotliwości wydzielonych fal Analiza czasu interwałowego Analiza częstotliwości Atrybuty chwilowe obliczone w oparciu o mapy czasowo-częstotliwościowe Wprowadzenie Badania parametryczne i na danych syntetycznych dla transformaty falkowej Badania na danych syntetycznych Badania parametryczne Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą transformaty falkowej Badania na danych syntetycznych dla metody pogoń za dopasowaniem Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem Rozdział 6 Podsumowanie Spis rysunków Spis tabel Literatura Podziękowania vii

8 1. Wstęp Rozdział 1 Wstęp 1.1 Wprowadzenie W otworach wiertniczych wykonuje się szereg pomiarów opierających się na rozchodzeniu fal sprężystych w ośrodku skalnym. Profilowania akustyczne ukierunkowane na uzyskanie informacji o czasach interwałowych, tj. prędkościach fal w ośrodku geologicznym, wykonywane są w otworach niezarurowanych za pomocą różnego rodzaju sond. Mogą to być sondy kompensacyjne BHC (ang. Borehole Compensated Tool) (Kokesh et al. 1964), o wydłużonym rozstawie LSS (ang. Long Spaced Sonic) (Williams et al. 1984) oraz sondy wieloodbiornikowe (ang. Array Sonic Tool) (Arditty et al. 1991). Powyższe urządzenia pomiarowe wyposażone są w źródła monopolowe, które generują fale objętościowe (P, S) i prowadzone (leaky modes, pseudo-rayleigha, Stoneleya). W utworach, w których powstanie fali S jest utrudnione lub niemożliwe, stosowane są sondy ze źródłem dipolowym lub kwadrupolowym (Zemanek et al. 1991). Pierwsze generują fale określane w języku angielskim jako flexural waves, drugie wytwarzają fale nazywane screw waves. W otworach zarurowanych wykonywane są pomiary stanu zacementowania otworu CBL (ang. Cement Bond Log) (Broding i Buchanan 1986). Inny rodzaj pomiarów akustycznych to wysokorozdzielcze obrazowanie ścianki otworu telewizorem akustycznym BHVT (ang. Borehole Televiewer) (Zemanek et al. 197). Wymieniając pomiary w otworach wiertnicznych wykorzystujące fale sprężyste, należy wspomnieć o pionowych profilowaniach sejsmicznych PPS (ang. Vertical Seimic Profiling VSP) i profilowaniu prędkości średnich (ang. Check Shot Survey) (Dillon i Collyer 1985). Jednak z uwagi na wykorzystanie w tych pomiarach fal o częstotliwościach rzędu kilkudziesięciu, rzadziej kilkuset Hz, metody te zaliczane są do metod sejsmicznych. Częstotliwości stosowane w otworowych profilowaniach akustycznych są rzędu kilku kilkudziesięciu khz, co pozwala na uzyskanie zasięgu od kilkunastu do kilkudziesięciu cm i rozdzielczości pionowej od kilkudziesięciu mm do kilkudziesięciu cm. Wyjątkiem jest telewizor akustyczny pracujący w zakresie ultradźwiękowym (od kilkuset khz do kilku MHz). 1

9 1. Wstęp Jednym z pomiarów akustycznych wykonywanych w otworach jest profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym. Polega ono na rejestracji wszystkich fal przychodzących do odbiornika w określonym przedziale czasowym. Wykorzystuje prędkość i tłumienie fal sprężystych, które zależą od wielu czynników obejmujących m.in. strukturę i teksturę skały, skład mineralny, gęstość, wielkość i rodzaj nasycenia przestrzeni porowej. W konsekwencji obrazy falowe mogą być wykorzystane do pozyskania szerokiej informacji o ośrodku geologicznym i określenia szeregu parametrów charakteryzujących własności sprężyste oraz zbiornikowe skał. Na podstawie pomiarów akustycznych obrazów falowych in situ można wnioskować o prędkościach fal akustycznych, dynamicznych modułach sprężystości, współczynniku Poissona, własnościach tłumiących ośrodka, porowatości, przepuszczalności, nasyceniu węglowodorami, litologii, strefach szczelin i spękań. Bogactwo informacji zawarte w rejestrowanych sygnałach, z jednej strony czyni akustyczne obrazy falowe niezwykle cennymi w ocenie własności ośrodka geologicznego, z drugiej sprawia trudności interpretacyjne. Podniesienie efektywności wyznaczenia parametrów sprężystych i zbiornikowych skał może być zrealizowane poprzez udoskonalenie metodyki przetwarzania sygnałów akustycznych, ukierunkowanej na dokładne rozpoznanie pola falowego. Metodą na pozyskanie informacji o poszczególnych pakietach falowych rejestrowanych na obrazach falowych jest dekompozycja, czyli rozdzielenie pomierzonych sygnałów. Potraktowanie akustycznych obrazów falowych jako sygnałów niestacjonarnych, których zmiany częstotliwości w czasie są związane z rejestracją fal akustycznych o zróżnicowanym składzie częstotliwościowym i różnej prędkości propagacji (tj. różnym czasie przyjścia do odbiornika sondy), otwiera drogę analizom czasowo-częstotliwościowym. Metody czasowo-częstotliwościowej analizy sygnałów stosunkowo niedawno znalazły zastosowane w geofizyce. Najbardziej popularne są dyskretna i ciągła transformata falkowa (ang. Discrete and Continuous Wavelet Transforms). Coraz częściej stosowana jest również metoda pogoń za dopasowaniem (ang. Matching Pursuit). Metody te są przede wszystkim wykorzystywane w szeroko rozumianym przetwarzaniu danych sejsmicznych (Chakraborty i Okaya 1995, Faqi et al. 1995, Dessing 1997, Castagna i Sun 26, Droujinine 26), poszukiwaniach węglowodorów (Castagna et al. 23, Sinha et al. 25, Zabihi i Siahkoohi 26) oraz interpretacji geologicznej danych sejsmiki 3D (Verhelst 1998). Rzadziej używane są w analizie pól potencjalnych (Cooper 26, Audet i Mareschal 27) oraz geofizyce otworowej (Li 1998). Przedstawiając metody czasowoczęstotliwościowe należy wspomnieć o najnowszych osiągnięciach. Popularna staje się transformata S (Stockwell et al. 1996). W ostatnich latach intensywnie rozwijane są narzędzia przetwarzania sygnałów i obrazów będące uogólnieniem i rozszerzeniem transformaty falkowej. Powstały takie transformaty jak: chirplet, curvelet, seislet, contourlet, ridgelet, które w geofizyce są jak dotąd pioniersko wykorzystywane do obrazowania i analizy danych sejsmicznych. Pojawiły się pierwsze publikacje w czasopismach geofizycznych (Bardainne et al. 26). Większość informacji i materiałów na temat tych metod jest głównie dostępna w Internecie na domowych stronach badaczy: Douma H., Herve C., Herrmann F. J., Fomel S. (w spisie literatury podano odnośniki do stron). 2

10 1. Wstęp Możliwości wykorzystania metod czasowo-częstotliwościowych do przetwarzania i interpretacji danych geofizycznych są bardzo szerokie. W prezentowanej pracy zaproponowano zastosowanie transformaty falkowej i metody pogoń za dopasowaniem w analizie akustycznych obrazów falowych. 1.2 Teza pracy Następujące fakty były podstawą sformułowania tezy pracy: Stosowane w sondach akustycznych nadajniki powodują powstanie fal sprężystych w otworach wiertniczych. Ilość i rodzaj wygenerowanych fal zależy od kilku czynników: typu źródła (źródło monopolowe, dipolowe, kwadrupolowe), charakterystyki częstotliwościowej sygnału źródłowego (częstotliwości środkowej i pasma częstotliwości), warunków panujących w otworze (geometrii otworu, warunków pomiarowych) oraz własności sprężystych ośrodka geologicznego. W przypadku sondy LSS (Halliburton Energy Services), pracującej z wysokoczęstotliwościowym źródłem monopolowym, mogą powstać fale objętościowe (podłużne, poprzeczne), prowadzone (leaky modes, fale pseudo-rayleigha, Stoneleya), fale odbite i wielokrotnie odbite, fala biegnąca w płuczce oraz fala bezpośrednia. Wyżej wymienione fale propagują z różną prędkością i są rejestrowane przez odbiorniki sondy w różnym czasie od emisji sygnału z nadajnika. Oznacza to, że fale akustyczne występują w różnych miejscach (tj. na różnych czasach) na akustycznych obrazach falowych. Na czas rejestracji fal wpływ mają własności sprężyste ośrodka, w którym propagują fale (m.in. prędkość) oraz geometria układu pomiarowego (odległość miedzy nadajnikiem a odbiornikiem, średnica sondy, średnica otworu). Poszczególne fale akustyczne różnią się także pod względem charakterystyki częstotliwościowej. Skład częstotliwościowy zależy od częstotliwości środkowej i pasma sygnału źródłowego oraz własności sprężystych ośrodka, w którym rozchodzą się fale. Akustyczne obrazy falowe można potraktować jako sygnały niestacjonarne, których zmiany częstotliwości w czasie są związane z rejestracją fal akustycznych o zróżnicowanym składzie częstotliwościowym i różnej prędkości propagacji (tj. różnym czasie przyjścia do odbiornika). Naturalną metodą przetwarzania tego typu sygnałów są transformaty czasowoczęstotliwościowe pozwalające wyodrębnić elementy składowe sygnału. Powyższe stwierdzenia uzasadniają postawienie tezy: akustyczne obrazy falowe można rozdzielić na składowe fale akustyczne za pomocą czasowo-częstotliwościowych metod analizy sygnałów niestacjonarnych. Podniesienie dokładności wydzielania pakietów fal użytecznych (P, S i Stoneleya) oraz zwiększenie efektywności przetwarzania akustycznych obrazów falowych przyczyni się do poprawnej oceny parametrów sprężystych i zbiornikowych, wyznaczanych w oparciu znane zjawiska fizyczne. 3

11 2. Metody czasowo - częstotliwościowe Rozdział 2 Metody czasowo-częstotliwościowe 2.1 Wprowadzenie do analizy czasowoczęstotliwościowej sygnałów Sygnał Słowo sygnał w analizie sygnałów rozumiane jest jako dowolna funkcja zależna od jednej lub wielu zmiennych. Najczęściej sygnałem jest pewna wielkość fizyczna zmieniająca się w czasie s(t) lub w przestrzeni s(x, y, z). Sygnałem mogą być także zmiany zachodzące w funkcji temperatury, ciśnienia lub innego dowolnego argumentu. Sygnały generowane wokół nas można traktować jako fizyczną postać informacji. Umożliwiają jej przenoszenie (np. transmisja radiowa), przechowywanie (np. fotografie), ale także służą do zbierania informacji o otaczającym nas świecie. Przykładem niech będzie dowolna metoda geofizyczna, np. sejsmika, w której wysyłane w głąb Ziemi fale sprężyste (sygnały) wykorzystuje się do poszukiwań węglowodorów. Można zadać pytanie, czy każdy sygnał niesie informację? Owszem, ale czasem może być ona niezwykle trudna do odczytania, nieistotna lub wręcz niepożądana, na przykład szum Analiza sygnałów Wydobyciem informacji z sygnału zajmuje się analiza sygnałów. Zwięzły, trafny i kompletny opis sygnału to cel, który próbujemy osiągnąć stosując poszczególne metody analizy sygnałów. Jest wiele metod służących temu celowi: analiza częstotliwości, metody czasowo-częstotliwościowe, metody statystyczne, algorytmy genetyczne, sztuczne sieci neuronowe i wiele innych. Każda z nich charakteryzuje się wrażliwością na inne cechy sygnału, i jest bardziej lub mniej odpowiednia do analizy danego przypadku, a ich duża różnorodność pozwala na wybór optymalnej. 4

12 2. Metody czasowo - częstotliwościowe Analizę sygnałów można ogólnie podzielić na dwie grupy: pierwsza polega na wyodrębnieniu składowych sygnału, druga zajmuje się badaniem cech lub struktur zjawiska oraz zachodzących między nimi związków. W pierwszym przypadku dążyć będziemy do przedstawienia badanego sygnału za pomocą liniowej kombinacji pewnych znanych funkcji (np. sinusów, kosinusów, funkcji Gabora), czyli dążymy do rozłożenia sygnału na elementy składowe: = n s ( t) c n g n (2.1) gdzie { g n } jest zbiorem znanych funkcji, a współczynniki c n określają ich wkład, tzn. intensywność występowania w badanym sygnale danej funkcji. Dokładne odgadnięcie reprezentacji sygnału bez pewnej wiedzy a priori o sygnale jest niemożliwe. Problem pojawia się już przy wyborze funkcji analizującej. Jaki rodzaj, spośród nieskończonej ilości funkcji, będzie najlepiej opisywać sygnał? Dobór parametrów tych funkcji jest kolejnym poważnym problemem. Różnice występujące między rzeczywistym sygnałem a założeniami teoretycznymi opisu matematycznego, niezerowe współczynniki transformat poza analizowanym fragmentem sygnału i wreszcie szum, powodują, że w praktyce musimy zadowolić się reprezentacjami przybliżonymi typu: n s ( t) c n g n (2.2) W drugim przypadku analizy sygnałów będziemy starać się ustalić związek między wartością sygnału w danej chwili t i w chwilach poprzednich, w postaci zależności: s ( t) = c s( t k t) (2.3) n n Uwzględniając element przypadkowy (niedokładność pomiarów, szum) należy dodać do wzorów (2.1) i (2.3) element stochastyczny ε, nie podlegający opisowi w ramach modelu. Na założeniach o liniowości i stacjonarności w czasie opiera się klasyczna analiza sygnałów, do której należą m.in. analiza widmowa i teoria filtrów. Zrezygnowanie z warunku stacjonarności sygnału rozszerza analizę sygnałów o metody czasowo-częstotliwościowe. Natomiast uwzględnienie nieliniowości otwiera drogę takim dziedzinom jak chaos deterministyczny i fraktale Klasyfikacja sygnałów Szczegółową klasyfikację sygnałów wraz z wybranymi metodami analizy można znaleźć w wielu pozycjach, m.in. w: Bendat i Piersol (1976), Zieliński (22), Roberts (24). W tej pracy poruszony zostanie jedynie podział sygnałów mający odniesienie do danych wykorzystanych w przeprowadzonych badaniach. Sygnały generowane m.in. przez układy biologiczne, społeczne i techniczne można najogólniej podzielić na sygnały zdeterminowane, czyli takie, które da się opisać za pomocą ścisłych zależności matematycznych, oraz losowe (stochastyczne), opisywane za pomocą uśrednionych charakterystyk statystycznych (rys. 2.1). Te ostatnie dzielą się na stacjonarne i niestacjonarne. Sygnały stacjonarne 5

13 2. Metody czasowo - częstotliwościowe (niezmienne w czasie) posiadają dla każdej chwili czasowej stałe wartości podstawowych charakterystyk statystycznych (np. średnia, wariancja) w zbiorze ich wielu realizacji, natomiast sygnały niestacjonarne tej własności nie posiadają. Ujmując to inaczej, odpowiedź częstotliwościowa sygnału stacjonarnego nie będzie zmieniać się w czasie, w przeciwieństwie do odpowiedzi częstotliwościowej sygnału niestacjonarnego. Sygnały deterministyczne losowe (stochastyczne) stacjonarne niestacjonarne Rys. 2.1 Klasyfikacja sygnałów podział na sygnały deterministyczne i losowe Inną klasyfikacją sygnałów, istotną z punktu widzenia tej pracy, jest podział na sygnały ciągłe (analogowe) s(t) oraz dyskretne s k (t), s(n) i s[n] (rys. 2.2). Sygnały ciągłe s(t) dyskretne dyskretne czasu ciągłego (kwantowanie amplitudy) s (t) k ciągłe czasu dyskretnego (próbkowanie) s(n) dyskretne czasu dyskretnego (cyfrowe) s[n] Rys. 2.2 Klasyfikacja sygnałów podział na sygnały ciągłe i dyskretne Sygnały analogowe (ciągłe czasu ciągłego) s(t) (rys. 2.3a) są opisane funkcjami czasu, przyjmującymi wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Sygnały dyskretne czasu ciągłego s k (t) (rys. 2.3b) są sygnałami ciągłymi w czasie, przyjmującymi wartości dyskretne. W tym przypadku dyskretyzacja sygnału związana jest z kwantyzacją amplitudy dokonywaną w przetwornikach analogowo-cyfrowych. Wartości amplitudy sygnału wejściowego (analogowego) mogą przyjmować dowolne wartości pomiędzy minimum i maksimum. W procesie kwantyzacji zostają one zamienione na jedną z wartości ze zbioru skończonego, którego liczba elementów zdefiniowana jest przez rozdzielczość przetwornika. Sygnały ciągłe czasu dyskretnego s(n) (rys. 2.3c) powstają w wyniku spróbkowania w czasie sygnałów ciągłych, tzn. z sygnału analogowego wybierane są wartości (próbki) tylko w wybranych 6

14 2. Metody czasowo - częstotliwościowe odstępach czasu. Najczęściej próbkowanie dokonywane jest ze stałym interwałem czasowym (tzw. próbkowanie równomierne). Wtedy odstęp t między próbkami nazywa się okresem lub krokiem próbkowania, a jego odwrotność 1/ t częstotliwością próbkowania f s. Sygnał ciągły może być ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany zgodnie z twierdzeniem Nyquista (Bendat i Piersol 1976, Roberts 24), tzn. z częstotliwością, co najmniej dwa razy większą od granicznej częstotliwości swego widma. Sygnały dyskretne czasu dyskretnego s[n] (rys. 2.3d), czyli sygnały cyfrowe, to sygnały ciągłe, które poddano najpierw procesowi próbkowaniu a następnie kwantyzacji. Sygnały cyfrowe są bardzo rozpowszechnione z powodu szybkiego rozwoju komputeryzacji. a) b) 1 1 amplituda,5 -,5-1,2,4,6,8 1 amplituda,5 -,5-1,2,4,6,8 1 c) d) 1 1 amplituda,5 -,5-1,2,4,6,8 1 amplituda,5 -,5-1,2,4,6,8 1 Rys. 2.3 Ilustracja graficzna sygnału analogowego (a) oraz sygnałów dyskretnych: dyskretnego czasu ciągłego powstałego w wyniku kwantyzacji amplitudy (b), ciągłego czasu dyskretnego powstałego w wyniku próbkowania osi czasu (c) i dyskretnego czasu dyskretnego powstałego w wyniku kwantyzacji i próbkowania sygnału analogowego (d) 7

15 2. Metody czasowo - częstotliwościowe Analiza częstotliwościowa i czasowo częstotliwościowa sygnałów Jedną z najpopularniejszych metod analizy sygnałów w naukach technicznych i przyrodniczych jest transformata pozwalająca przestawić sygnał w domenie częstotliwości i badać jego własności widmowe. Dziedzina ta rozwijana jest od lat i jest szeroko opisywana w literaturze, m.in. w: Bendat i Piersol (1976), Zieliński (22), Roberts (24). Analizy częstotliwościowe, zgodnie ze wzorem 2.1, polegają na rozłożeniu sygnału na pewne funkcje bazowe g n, a następnie minimalizacji niezerowych współczynników c n. Istotny jest zatem wybór odpowiedniego zestawu funkcji bazowych. Im kształt tych funkcji będzie lepiej dopasowany do elementów składowych sygnału, tym mniej będzie ich potrzebnych do jego opisu, a tym samym będzie mniej współczynników c n reprezentujących sygnał. Dla sygnałów stacjonarnych, niezmiennych w czasie, odpowiednie są funkcje bazowe o charakterze stacjonarnym. Przykładem są funkcje sinus i kosinus, doskonale zlokalizowane w dziedzinie częstotliwości, ale za to nieskończone w dziedzinie czasu (tzw. nieskończony nośnik). Analogicznie, dla sygnałów niestacjonarnych lepsze są funkcje o dobrej lokalizacji w czasie, czyli o skończonym (selektywnym) nośniku. Najpopularniejszą i podstawową metodą analizy sygnałów stacjonarnych, zarówno ciągłych jak i dyskretnych, jest transformata Fouriera, w wyniku której otrzymywane jest zespolone widmo Fouriera. Powstaje ono poprzez wymnażanie analizowanego sygnału z funkcjami bazowymi sinus i 2πf t i kosinus postaci: e = cos(2πf t) i sin(2πf t) i całkowanie tego iloczynu. Każda z funkcji bazowych posiada inne częstotliwości f. Tak obliczone widmo Fouriera można interpretować jako miarę podobieństwa sygnału do poszczególnych funkcji bazowych, czyli sprawdzenia ile jest w sygnale danej częstotliwości f. Z uwagi na to, że funkcje bazowe wykorzystywane w transformacie Fouriera, tj. sinus i kosinus, rozciągają się od plus do minus nieskończoności w dziedzinie czasu, nie wiadomo nic o ich lokalizacji w czasie częstotliwości. Ta informacja jest jednak nieistotna dla sygnałów stacjonarnych, ponieważ ich skład częstotliwościowy nie zmienia się czasie. W przypadku sygnałów niestacjonarnych, tj. takich, których częstotliwość elementów składowych sygnału ulega zmianie w czasie, transformata Fouriera nie jest najlepszą metodą analizy. Jeśli interesuje nas, gdzie w sygnale występuje dana częstotliwość, musimy sięgnąć po analizy czasowo-częstotliwościowe (Durka ), które pozwalają na śledzenie zmienności widma chwilowego. Odgrywają one coraz większą rolę z uwagi na powszechne występowanie sygnałów niestacjonarnych. Metody czasowo-częstotliwościowe są narzędziem pozwalającym zlokalizować zjawiska obecne w sygnale, zarówno w domenie czasu jak i częstotliwości oraz dają informację o rozkładzie gęstości energii sygnału w przestrzeni czas częstotliwość. W analizie sygnałów domena czasowo częstotliwościowa jest zdefiniowana jako płaszczyzna z czasem na osi poziomej i częstotliwością na osi pionowej. W przypadku sygnałów skończonych 8

16 2. Metody czasowo - częstotliwościowe i niestacjonarnych, czyli takich, z jakimi mamy najczęściej do czynienia, reprezentacja gęstości energii sygnału na tej płaszczyźnie jest jedynie aproksymacją obarczoną błędami statystycznymi. W przeciwieństwie do analizy sygnałów stacjonarnych, gdzie reprezentacja sygnału jest przybliżana sumą nieskończonych w czasie drgań o różnych częstotliwościach (rys. 2.4a), w analizie czasowo-częstotliwościowej sygnał aproksymowany jest sumą ograniczonych w czasie przebiegów impulsowych, występujących w różnych chwilach czasowych i posiadających różne pasmo częstotliwościowe (rys. 2.4b). Ponieważ każdy z przebiegów impulsowych pokrywa określony przedział czasowy i częstotliwościowy, w wyniku wyznacza się ilość sygnału, przypadającą na określoną komórkę czasowo-częstotliwościową, zwaną atomem, z uwagi na jego niepodzielność. Pola wszystkich atomów nie powinny się pokrywać, a po zsumowaniu dać całą przestrzeń czasowoczęstotliwościową. Podział przestrzeni czas częstotliwość (rys. 2.5) powinien być odpowiednio dobrany w zależności od rodzaju sygnału oraz celu analizy, a pole atomu być jak najmniejsze. a) b) amplituda amplituda amplituda poziom dekompozycji j j = 3 j = 2 j = 1 Rys. 2.4 Przykłady funkcji analizujących w transformacie Fouriera (a) oraz przykład dekompozycji sygnału względem falek Morleta (b). Rozciągające się od plus do minus nieskończoności przebiegi sinusoidalne o określonej częstotliwości dają dokładną informację o częstotliwościach w sygnale, ale nie mówią nic o ich lokalizacji w czasie. W transformacie falkowej funkcje analizujące są zlokalizowane zarówno w domenie czasu i częstotliwości pozwalając na uzyskanie czasowo-częstotliwościowej reprezentacji sygnału 9

17 2. Metody czasowo - częstotliwościowe a) b) częstotliwość częstotliwość duża skala mała skala czas czas Rys. 2.5 Przykłady konfiguracji atomów na płaszczyźnie czas częstotliwość dla krótkoczasowej transformaty Fouriera STFT (a) i transformaty falkowej (b) Zasada nieoznaczoności Podobnie jak w fizyce kwantowej, w analizie sygnałów również obowiązuje zasada nieoznaczoności Heisenberga. W fizyce kwantowej zasada ta stwierdza, że cząstka nie może mieć jednocześnie dobrze określonego położenia i pędu. W analizie czasowo-częstotliwościowej oznacza, że nie jest możliwe jednoczesne dokładne poznanie położenia na osi czasu i częstotliwości elementów składowych sygnału, tzn. nie można ich przedstawić w postaci punktów na płaszczyźnie czas częstotliwość. Ta nieoznaczoność jest własnością sygnału i nie jest spowodowana ograniczeniami przyrządów pomiarowych czy matematyki. Konsekwencje zasady nieoznaczoności w metodach czasowoczęstotliwościowych zostały omówione w bardzo przejrzysty sposób w artykule Hall (26). W analizie czasowo-częstotliwościowej zasada nieoznaczoności mówi, że iloczyn szerokości pasma częstotliwościowego i czasu trwania sygnału nie może być mniejszy od pewnej minimalnej wartości (Zieliński 22, Augustyniak 23): σ = A + B 2 A B (2.4) 2π gdzie: A B 2 2 E = 1 = E 1 = E t f g( t) 2 g( t) 2 G( f ) dt = 2 + dt 2 df G( f ) oznaczają średniokwadratową szerokość czasową (A) i częstotliwościową (B) funkcji g(t) i jej zespolonego widma Fouriera G(f). Dowód tego twierdzenia przedstawiony jest przez Bracewell a (1968). Równość we wzorze (2.4) jest spełniona tylko dla funkcji Gaussa: 2 df (2.5) 1

18 2. Metody czasowo - częstotliwościowe 1 4 απ t 2 g( t) = (2α ) e (2.6) gdzie a jest parametrem funkcji Gaussa. Funkcja Gaussa zapewnia minimalną powierzchnię atomu na płaszczyźnie czas częstotliwość, gdyż charakteryzuje się najmniejszym możliwym iloczynem AB. Jest zatem optymalną funkcją z punktu widzenia precyzji lokalizacji komponentów sygnału Przegląd najpopularniejszych metod analizy czasowo- -częstotliwościowej Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT Krótkoczasowa transformata Fouriera (ang. Short-Time Fourier Transform) polega na wycinaniu kolejnych odcinków sygnału za pomocą funkcji okna g(t) ( g = 1), a następnie obliczaniu ich transformat Fouriera (Zieliński 22). Inaczej można te operacje przedstawić jako iloczyny skalarne sygnału s z oknem g modulowanym częstotliwością f: s i2πf τ STFT ( t, f ) = ( τ ) g ( τ t) e dτ (2.7) Symbol * oznacza funkcję sprzężoną. W STFT zakłada się, że sygnał jest stacjonarny w obrębie każdego z fragmentów. Okno transformaty ma stałą szerokość, zmieniana jest tylko jego częstotliwość (rys. 2.6a). Z tego powodu podział płaszczyzny czas częstotliwość jest równomierny (rys. 2.5a). Podstawową niedogodnością STFT jest jednokrotnie dobierana szerokość okna analizy. Dobór szerokości okna jest nierozerwalnie związany z rozdzielczością czasową i częstotliwościową analizy. Szerokie okno daje dużą rozdzielczość częstotliwościową, ale mniejszą w domenie czasu. Wąskie okno transformaty STFT daje efekt odwrotny. Z powodu obowiązującej tu zasady nieoznaczoności niemożliwe jest jednoczesne uzyskanie dużej rozdzielczości w obu domenach. Dobór szerokości okna w STFT odbywa się metodą prób i błędów. Zastosowanie zbyt wąskiego okna pozbawia możliwości wykrycia niższych częstotliwości obecnych w sygnale, natomiast zbyt szerokie okno analizy powoduje, że wysokie częstotliwości są lokalizowane w czasie z wciąż tą samą precyzją, niższą od optymalnej. STFT jest transformatą, którą można zastosować do sygnałów niestacjonarnych (rys.2.7a, b, c). Daje ona czasowo-częstotliwościową reprezentację sygnału, ponieważ okna transformaty umiejscawiane są na konkretnych czasach i dla każdego czasu obliczana jest transformata Fouriera. Spektrogram (rys. 2.7d), kwadrat modułu krótkoczasowej transformaty Fouriera, jest dwuwymiarowym wykresem widma amplitudowego sygnału i mówi o zawartości energii sygnału w okolicy częstotliwości f i danego czasu τ. Transformata Wignera (Wignera-Ville a) Problem doboru długości okna w STFT zmuszał do kompromisów pomiędzy zbliżeniem precyzji analizy do teoretycznie możliwej wartości a objęciem analizą wszystkich częstotliwości 11

19 2. Metody czasowo - częstotliwościowe występujących w sygnale. Transformata Wignera-Ville a (ang. Wigner-Ville transform) rozwiązuje ten problem, gdyż rolę okna odgrywa tutaj sam sygnał: τ τ i2πf τ Ws ( t, f ) = s t + s t e dτ (2.8) 2 2 gdzie s(t) oznacza sygnał rzeczywisty (definicja Wignera) lub analityczny 1 (definicja Ville a) (Zieliński 22). Chociaż transformata Wignera-Ville a jest metodą dającą najlepszą precyzję reprezentacji sygnału w dziedzinie czas częstotliwość, to jej zastosowanie jest ograniczone przez pasożytnicze interferencje wzajemne. Ich obecność jest związana z wyrazami mieszanymi, powstającymi przy obliczaniu kwadratowej transformaty sygnału, jaką jest transformata Wignera-Ville a. Obliczając taką transformatę sygnału, złożonego z sumy elementów a i b, dostajemy reprezentację występujących w sygnale składników a i b oraz wyraz mieszany 2ab: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab. Na podstawie samego rozkładu energii na płaszczyźnie czas częstotliwość można by podejrzewać, że w analizowanym sygnale pomiędzy strukturami a i b znajduje się jeszcze struktura o pośredniej częstotliwości reprezentowana przez wyraz mieszany 2ab (rys. 2.7e). Interferencje pasożytnicze mają najczęściej charakter oscylacyjny i można zmniejszyć ich wkład poprzez lokalne uśrednianie transformaty po czasie i częstotliwości. Różne realizacje tego uśredniania tworzą bogatą klasę reprezentacji z grupy Cohena (nie omawiane w tej pracy), w których dobra rozdzielczość reprezentacji Wignera jest poświęcana na rzecz jej większej czytelności: im mniejszy wpływ interferencji (większe uśrednianie) tym gorsza rozdzielczość. Przegląd reprezentacji z grupy Cohena wraz z krótkim komentarzem na temat możliwości ich zastosowania do przetwarzania danych geofizycznych można znaleźć w pracy Leśniak (1999). Transformacja falkowa WT Odmiennym podejściem do doboru okna analizy charakteryzuje się transformata falkowa (ang. Wavelet Transform) (Daubechies 1992, Kaiser 1994, Mallat 1998, Białasiewicz 2). W STFT funkcja okna miała stałą szerokość a zmienianą jedynie częstotliwość (rys. 2.6a). Jest to powodem jednakowej rozdzielczości stosowanej dla wszystkich częstotliwości obecnych w sygnale (rys. 2.5a). Transformata falkowa wykorzystuje okna o różnej długości i różnej częstotliwości (rys. 2.6b), stąd charakteryzuje się zmienną rozdzielczością czasowo-częstotliwościową (rys. 2.5b). Funkcja okna w transformacie falowej nazywana jest falką, z uwagi na jej oscylujący charakter oraz zwarty nośnik (tzn. wszędzie poza skończonym odcinkiem jest równa zeru). WT analizuje różne częstotliwości z różną rozdzielczością: wysokie częstotliwości lokalizuje z wysoką precyzją w czasie, natomiast niskie częstotliwości bada z wysoką rozdzielczością w domenie częstotliwości (rys. 2.7f, g). Transformata falkowa zostanie przedstawiona szczegółowo w rozdziale Sygnał analityczny jest sygnałem zespolonym, którego część rzeczywistą stanowi sygnał rzeczywisty s(t), natomiast jego część urojona powstaje w wyniku transformaty Hilberta sygnału s(t). 12

20 2. Metody czasowo - częstotliwościowe a) b) c) Rys. 2.6 Przykłady funkcji analizujących wykorzystywanych w krótkoczasowej transformacie Fouriera STFT (a), transformacie falkowej (b) i pogoni za dopasowaniem (c). W pierwszym przykładzie funkcje okna mają stałą obwiednię, zmieniana jest jedynie częstotliwość modulacji. Falki to rozciągane i przesuwane wzdłuż sygnału wersje falki podstawowej. Elementy słownika w metodzie pogoń za dopasowaniem charakteryzują się zmienną obwiednią i zmienną częstotliwością modulacji (na podstawie Durka , zmienione) Pogoń za dopasowaniem MP Algorytm Matching Pursuit, w języku polskim tłumaczony jako pogoń za dopasowaniem lub technika poszukiwania dopasowań, oferuje inne podejście do dekompozycji sygnału niż wcześniej przedstawione metody (Mallat i Zhang 1993). Omawiając metodę MP często korzysta się z analogii do języka, jakim się posługujemy: jest w nim wiele słów o zbliżonym znaczeniu (mówimy, że jest redundantny). Używając jedynie podstawowych słów jesteśmy wprawdzie w stanie wyrazić niemal dowolnie skomplikowane idee, ale zastępując niedostępne słowa całymi zdaniami będziemy tworzyć niezgrabne konstrukcje. Nasza wypowiedź stanie się mało elegancka i niespójna. Używając słownika wzbogaconego o wyrażenia fachowe czy słowa języka literackiego, wyrazimy się jasno i trafnie. Stosując rozszerzony słownik będziemy musieli wybierać spośród wielu podobnych słów takie, które najlepiej wyrażają daną treść. Korzystając dalej z tej analogii, zbiór znanych funkcji, za pomocą których analizujemy sygnał, możemy nazwać słownikiem. Dekompozycje sygnałów w oparciu o słowniki z małą redundancją (lub też względem baz, będących słownikami bez redundancji), charakteryzują się wygodą obliczeniową i prostotą interpretacji. Wadą jest to, że poszczególne komponenty sygnału reprezentowane są przez kilka, a często znacznie więcej, współczynników o niezerowych wartościach. Współczynniki dekompozycji złożonego sygnału nie będą odzwierciedlać jego cech jasno i wyraźnie, ponieważ informacja zostanie rozmyta w całej bazie. Pominięcie któregoś o niższych energiach może 13

21 2. Metody czasowo - częstotliwościowe pozbawić sygnał istotnych składników. Taka reprezentacja jest podobna do tekstu napisanego za pomocą ubogiego słownictwa. Rozwiązaniem może być zastosowanie słowników nadmiarowych, zawierających dużą liczbę elementów ( słów o podobnym znaczeniu), nazywanych słownikami z redundancją. Korzystanie z takich słowników wiąże się z poszukiwaniem najlepiej dopasowanych elementów do analizowanego sygnału według przyjętego kryterium. Praktyczne rozwiązanie tego problemu zaproponowali w 1993 roku Mallat i Zhang przedstawiając metodę Matching Pursuit. Algorytm MP opiera się na dużym, redundantnym słowniku funkcji analizujących, z którego iteracyjnie wybierane są funkcje (zwane atomami), najlepiej pasujące do składowych sygnału. Przewagą atomów słownika nad funkcjami analizującymi z innych metod jest zmienna długość okna oraz zmienna częstotliwość modulacji (rys. 2.6c). Dzięki temu MP pozwala na adaptacyjną, tzn. dopasowującą się do lokalnych struktur, reprezentację sygnału. Dodatkową zaletą tej metody jest wykres gęstości energii wolny od interferencji występujących w transformacie Wignera (rys. 2.7h). Szczegóły dekompozycji MP przedstawiono w rozdziale Podsumowanie analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów niestacjonarnych Podsumowując analizę czasowo-częstotliwościową można stwierdzić, że sprowadza się ona do dwóch zagadnień. Pierwsze związane jest z odpowiednim dla danego problemu i sygnału wyborem rozmieszczenia komórek (atomów) na płaszczyźnie czas c zęstotliwość. Implikuje to określoną rozdzielczość czasową i częstotliwościową danej metody analizy. W każdej metodzie obowiązuje zasada nieoznaczoności: im z większą dokładnością będziemy lokalizować częstotliwości w czasie, tym z mniejszą precyzją będziemy mieć tą częstotliwość określoną. Drugim aspektem analizy czasowo-częstotliwościowej jest wybór funkcji analizujących. Im ich kształt będzie lepiej odpowiadał naturze sygnału, tym mniej tych funkcji potrzeba do jego aproksymacji. Dodatkowo, stosowanie metod adaptacyjnych, tzn. dopasowujących się do lokalnych cech sygnału, podnosi efektywność dekompozycji sygnału i zmniejsza ilość niezerowych współczynników reprezentacji sygnału. 14

22 2. Metody czasowo - częstotliwościowe a) b) c) d) e) częstotliwość częstotliwość amplituda amplituda amplituda Sygnał LFM1 Sygnał LFM2 Sygnał sumaryczny LFM1 + LFM2 Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT Transformata Wignera f) częstotliwość CWT g) częstotliwość DWT h) częstotliwość Metoda pogoń za dopasowaniem czas Rys. 2.7 Reprezentacje gęstości energii sygnału niestacjonarnego uzyskanych różnymi metodami czasowo częstotliwościowymi. Dwa elementy o liniowo modulowanej częstotliwości LFM1 (a) i LMF2 (b) (ang. Linear Frequency- Modulated signal) tworzą sygnał testowy (c), dla którego policzono transformaty: krótkoczasową Fouriera STFT (d), Wignera (e), falkową ciągłą CWT (ang. Continuous Wavelet Transform) (f) i dyskretną DWT (ang. Discrete Wavelet Transform) (g) oraz metodą pogoń za dopasowaniem (h). Oś częstotliwości skierowana jest górze, długość sygnału wnosi 1 punktów. Większe zaciemnienie oznacza wyższe wartości współczynników uzyskanych w wyniku obliczaniu transformat 15

23 2. Metody czasowo - częstotliwościowe 2.2 Transformata falkowa Transformata falkowa WT jest obecnie jednym z najpopularniejszych i najbardziej dynamicznie rozwijanych narzędzi analizy sygnałów niestacjonarnych. Dzięki zmiennej rozdzielczości czasowoczęstotliwościowej znalazła bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki, m.in. w filtracji, dyskryminacji szumu oraz kompresji sygnału i obrazu. Opis metody od strony matematycznej wraz z przykładami zastosowania można znaleźć w pracach: Daubechies (1992), Kaiser (1994), Mallat (1998), Białasiewicz (2), Augustyniak (23). Doskonałym wprowadzeniem do metody bez szczegółowego ujęcia matematycznego jest pozycja Polikar (1994). Transformata falkowa, podobnie jak analizy częstotliwościowe, przedstawia sygnał jako sumę funkcji bazowych: falek. Wyróżniającą cechą tego zbioru funkcji jest wzajemnie powiązanie, realizowane przez proste operacje skalowania a i translacji b funkcji prototypowej, zwanej falką podstawową (ang. mother wavelet). Własności lokalizacyjne falek (lub ogólnie: funkcji bazowych) zależą od tego, na ile są one rozciągnięte w czasie i częstotliwości. Funkcje szerokie w czasie mają zdolność wykrycia długotrwałych cech sygnału, funkcje wąskie mogą identyfikować krótkotrwałe zachowanie się sygnału. Stopień rozciągnięcia falki jest kontrolowany przez operację skalowania, polegającą na rozciąganiu falki podstawowej, a tym samym zmianę jej pasma częstotliwości. W transformacie falkowej przyjęto, że im wyższy numer skali tym szersza falka i niższe pasmo częstotliwości (rys. 2.4b, rys. 2.8). Z uwagi na proces skalowania, transformata falkowa przedstawia sygnały w reprezentacji czas skala. Dzięki powiązaniu skali z częstotliwością możliwe jest lokalizowanie w czasie występujących w sygnale częstotliwości. Drugim parametrem falki jest translacja b. Oznacza ona przesuwanie falki wzdłuż sygnału w domenie czasu, przy ustalonym poziomie skali. Reprezentacja falkowa sygnału s(t) jest zatem funkcją dwóch zmiennych: stanowi kombinację liniową skalowanej (parametr a) i przesuwalnej (parametr b) falki podstawowej ψ ab (t): = W ( b, a) s ( t) ψ ( t) db da (2.9) a b gdzie: W(b, a) są współczynnikami transformaty falkowej. Falka podstawowa jest określona dla skali a = 1 i przesunięcia b =. Wzór (2.9) można interpretować dwojako. Po pierwsze jako sposób przedstawienia sygnału w postaci superpozycji falek ψ ab (t), przy czym współczynniki tej superpozycji są określone przez transformatę falkową sygnału s(t). Z drugiej strony wzór ten można traktować jako przepis na rekonstrukcję sygnału s(t), gdy znana jest jego transformata falkowa. Transformata falkowa jest również przykładem analizy wielorozdzielczej MRA (ang. MultiResolution Analysis), tzn. analizuje różne częstotliwości sygnału z różną rozdzielczością (Polikar 1994, Augustyniak 23). Dla wysokich częstotliwości WT charakteryzuje się wysoką rozdzielczością w czasie, natomiast niską w domenie częstotliwości. Niskie częstotliwości sygnału są badane z wysoką rozdzielczością w domenie częstotliwości, lecz z niską w domenie czasu. Takie podejście ab 16

24 2. Metody czasowo - częstotliwościowe ma sens dla sygnałów, których komponenty wysokoczęstotliwościowe trwają przez krótki okres, natomiast niskoczęstotliwościowe charakteryzują się długim czasem trwania. Szczęśliwie, większość sygnałów, jakie spotyka się w praktyce, są sygnałami tego typu, tzn. składowe o względnie niskich częstotliwościach przebiegają przez większą część sygnału, natomiast krótkotrwałe incydenty są reprezentowane przez względnie wysokie częstotliwości. Kryterium stawiane przed funkcją kandydującą do roli falki podstawowej określa tzw. warunek dopuszczalności (ang. admissibility condition): Ψ( ω) ω 2 dω = C gdzie: Ψ ( ω ) jest transformatą Fouriera funkcji ( t) Ψ < (2.1) ψ Warunek dopuszczalności wymaga, aby przy ω dążącym do nieskończoności Ψ ( ω ) 2 dążyło do zera szybciej niż 1/ω. Z tego warunku oraz przy założeniu całkowalności z kwadratem wynika, że: co jest równoważne z równością: ψ ( t) dt = (2.11) Ψ ( ) = (2.12) Biorąc pod uwagę, że falka podstawowa jest dobrze skoncentrowana w czasie i w częstotliwości, zarówno (2.11) jak i (2.12) oznaczają, że funkcja ψ ( t) ma przynajmniej kilka oscylacji. Jest to więc krótka fala i stąd pochodzi nazwa falka. Pojęcie falka określa funkcję o skończonej energii i o zwartym nośniku, oscylującą i charakteryzującą się ograniczonym pasmem częstotliwości (rys. 2.8). Te cechy pozwalają na zbadanie częstotliwości sygnału przy jednoczesnym umiejscowieniu ich w czasie. Dzięki temu możliwe jest analizowanie sygnałów niestacjonarnych i przejściowych, których odpowiedź częstotliwościowa zmienia się w trakcie trwania sygnału Ciągła transformata falkowa W ciągłej transformacie falkowej CWT (ang. Continuous Wavelet Transform) zarówno skala a jak i przesunięcie falki wzdłuż sygnału b zmieniane są w sposób ciągły. Rodzina falek tworzona jest z falki podstawowej według następującej relacji: 1 t b ψ ab ( t) = ψ (2.13) a a Ciągła transformata falkowa sygnału s(t) zdefiniowana jest jako iloczyn skalarny sygnału i falki: CWT ψ s t b a * ( b, a) = s( t) ψ ab ( t) dt = s( t) ψ dt 1 a (2.14) 17

25 2. Metody czasowo - częstotliwościowe a) amplituda 1,5 -,5 Falka Morleta 1 skala = 1 skala = 2 amplituda,5 -, czas czas b) Widmo amplitudowe falki Morleta skala = 1 skala = 2 3 (t) Ψ 2 (t) Ψ częstotliwość częstotliwość Rys. 2.8 Przykład falek stosowanych w transformacie falkowej: falka Morleta i jej przeskalowana wersja (a) wraz z ich widmami amplitudowymi (b). Rozciągnięta falka (a = 2) charakteryzuje się niższą częstotliwością i węższym widmem amplitudowym, dzięki czemu ma lepszą rozdzielczość w domenie częstotliwości. Węższa falka (a = 1) zapewnia lepszą lokalizację badanych częstotliwości w czasie Czynnik 1 a zapewnia, że energia falki nie zmienia się ze zmianą skali (służy normalizacji energii) i współczynniki CWT ciągłej transformaty falkowej mogą być wtedy rozpatrywane jako miara korelacji falki z analizowanym sygnałem, przy ustalonym poziomie skali. Wysokie wartości współczynników CWT świadczą o wysokim podobieństwie falki i sygnału pod względem kształtu. Współczynnik skali a oprócz relacji z częstotliwościami badanymi przez daną falkę, mówi o poziomie rozdzielczości analizy falkowej. Wysokie wartości skali (niskie częstotliwości falki) odpowiadają globalnemu spojrzeniu na sygnał. Natomiast niskie wartości a, (wysokie częstotliwości) pozwalają na podanie detalicznej informacji o sygnale, w szczególności na wykrycie krótkotrwałych, wysokoczęstotliwościowych składowych. Schemat realizacji CWT przestawia rysunek

26 2. Metody czasowo - częstotliwościowe 1. ( a, b = ) Sygnał Falka CWT =,12 2. ( a, b+ db) Sygnał Falka CWT =, ( a+ da, b+ db) Sygnał Falka CWT =,325 Rys. 2.9 Schemat realizacji ciągłej transformaty falkowej CWT. Falka jest przesuwana wzdłuż sygnału z krokiem db przy ustalonym poziomie skali a. Następnie zmieniana jest skala o da i przeskalowana falka ponownie jest przesuwana wzdłuż sygnału. Dla każdej skali a i każdego położenia b obliczane są współczynniki CWT wzór (2.14), będące miarą podobieństwa między falką a sygnałem. Im kształt falki lepiej oddaje zmienność sygnału, tym większe wartości będą przyjmować współczynniki CWT (na podstawie Misiti et al ) Dyskretna transformata falkowa s t CWT ( b a reprezentuje funkcję jednej zmiennej za pomocą dwóch zmiennych. Odwzorowanie ( ), ) Dodatkowo obliczenie CWT dla każdej możliwej skali generuje ogromną liczbę danych. W efekcie uzyskujemy nadmiar informacji, która może być korzystna w pewnych sytuacjach, np. przy interpretacji subtelnych cech sygnału. Redundancja prowadzi do wzmocnienia takich cech, a tym samym czyni je lepiej widocznymi. CWT ułatwia interpretację, ale odbywa się to koszem dużej ilości danych. Nie w każdym przypadku konieczne jest obliczanie współczynników CWT, aby uzyskać wystarczająco dokładną reprezentację. Jeśli falka podstawowa spełnia warunek dopuszczalności i sygnał ma skończoną energię, nie jest wymagana znajomość wszystkich wartości dekompozycji, aby możliwa była dokładna rekonstrukcja sygnału. W takiej sytuacji dyskretna transformata jest wystarczająca oraz zapewnia oszczędność czasu obliczeniowego i miejsca. 19

27 2. Metody czasowo - częstotliwościowe Dyskretną formę transformaty otrzymuje się w wyniku spróbkowania parametrów CWT, tzn. czasu b i współczynnika skali a, otrzymując współczynniki szeregu falkowego. Po podstawieniu: a = 2 m b = n 2 m (2.15) uzyskuje się szereg falkowy, który nosi nazwę dyskretnej transformaty falkowej DWT (ang. Discrete Wavelet Transform). Najczęściej stosowana jest zmiana skali z potęgą dwójki, tak jak we wzorze (2.15). W takim przypadku mówimy o skalowaniu diadycznym. Wtedy funkcje bazowe dyskretnej transformaty falkowej mają postać: a współczynniki DWT mn są obliczane ze wzoru: m / 2 m ψ ( t) = 2 ψ (2 t n) (2.16) mn DWT mn s t) mn ( t) = ( ψ dt (2.17) Cechą charakterystyczną dyskretnej transformaty falkowej jest stałość podstawowej komórki czasowo-częstotliwościowej (atomu). Kiedy parametr skali m zwiększa się o 1, (czyli zmieniamy skalę o oktawę), falki stają się dwa razy krótsze a ich widmo częstotliwościowe jest dwa razy szersze (rys. 2.4b, rys. 2.5b), czyli pole atomu pozostaje niezmienne. Ponadto, częstotliwość środkowa (ang. centre frequency) falki f m zmieni się zgodnie z relacją: gdzie f jest częstotliwością środkową falki podstawowej. m m f = f 2 (2.18) W praktycznej realizacji numerycznej diadycznej transformaty falkowej w ogóle nie wykorzystuje się falek, tylko związane z nimi filtry. Zależność między falkami a filtrami jest wzajemnie jednoznaczna. Wyjaśnia ją teoria wielorozdzielczej aproksymacji sygnału związana z transformatą falkową opisana m.in. w pozycjach literaturowych: Kaiser (1994), Mallat (1998), Białasiewicz (2), Zieliński (22), Augustyniak (23). DWT realizowana jest za pomocą filtracji cyfrowej rozwiniętej przez Mallata, wywodzącej się z algorytmu two-channel subband coding (Kaiser 1994, Mallat 1998, Zieliński 22, Augustyniak 23). Algorytm dokonuje analizy częstotliwościowej sygnału przez iterację dwukanałowego (dolno- i górnoprzepustowego) zespołu kwadraturowych filtrów lustrzanych QMF (ang. Quadrature Mirror Filters). Sygnał uzyskany w wyniku filtracji dolnoprzepustowej w poprzednim kroku iteracji poddawany jest ponownej filtracji dolno- i górnoprzepustowej (rys. 2.1). Po każdej filtracji sygnał poddawany jest operacji zmniejszenia częstotliwości próbkowania (ang. downsampling), polegającej na usuwaniu co drugiej próbki. Dzięki temu algorytm nie wprowadza zmian długości analizowanego sygnału, a jednocześnie nie powoduje zniekształceń przenoszonej informacji (umożliwia pełną rekonstrukcję sygnału). W wyniku każdej iteracji j, odpowiadającej jednemu poziomowi dekompozycji, tzn. jednej oktawie, otrzymuje się składową wielkoczęstotliwościową zwaną detalem (D j ), nie poddawaną dalszej filtracji oraz składową małoczęstotliwościową (A j ), zwaną aproksymacją analizowanego sygnału. 2

28 2. Metody czasowo - częstotliwościowe Aproksymacje, będące zgrubnym przybliżeniem sygnału, oraz detale, odpowiadające elementom sygnału o wysokich częstotliwościach, pozwalają na rekonstrukcję sygnału s na dowolnym poziomie dekompozycji: + s = A j D j (2.19) j f = π/2 A1 f = π/4 A2 H (z) 2 f = π/8 A3 H (z) 2 s f = ~ π H (z) H (z) H (z) 1 D1 f = π/2 π 2 H (z) 1 D2 f = π/4 π/2 2 D3 f = π/8 π/4 Rys. 2.1 Schemat obliczania dyskretnej transformaty falkowej DWT. Sygnał s poddawany jest iteracyjnej filtracji dolnoprzepustowej H (z) i górnoprzepustowej H 1 (z), a następnie operacji zmniejszania częstotliwości próbkowania sygnału (ang. downsampling), polegającej na usuwaniu co drugiej próbki sygnału. Operację tą obrazuje symbol: 2. W wyniku dyskretnej transformaty falkowej otrzymuje się aproksymacje sygnału A i detale D. Na rysunku zaznaczono również przedziały częstotliwości f [rad/s] dla każdego poziomu dekompozycji, przy czym częstotliwość próbkowania sygnału wynosi f s = 2π [rad] (na podstawie Polikar 1994) 2.3 Pogoń za dopasowaniem W przypadku skomplikowanych sygnałów, zawierających elementy przejściowe i charakteryzujące się szerokim zakresem kształtów, reprezentacje liniowe względem jednej bazy (np. krótkoczasowa transformata Fouriera czy transformata falkowa) mogą być niedostatecznie elastyczne, aby trafnie wyrazić zmienność badanego sygnału. Analogią jest użycie ubogiego słownika do opisu skomplikowanych idei. Pomocne mogą być słowniki, z których w oparciu o przyjęte kryterium wybiera się te elementy, które najlepiej odpowiadają strukturze sygnału. Optymalną reprezentację sygnału można uzyskać przez wybór takiego podzbioru elementów słownika, którego liniowa kombinacja tłumaczy największy procent energii sygnału wśród wszystkich podzbiorów o tej samej liczebności. 21

29 2. Metody czasowo - częstotliwościowe Algorytm pogoni za dopasowaniem Sposób wyboru sub-optymalnej reprezentacji sygnału (tj. stabilnej ze względu na ilość wybranych do reprezentacji funkcji) zaproponowali Mallat i Zhang (1993). Opracowany przez nich algorytm pogoni za dopasowaniem MP (ang. Matching Pursuit), to iteracyjna, nieliniowa procedura rozkładająca sygnał na liniową sumę znanych funkcji analizujących wybranych z bardzo dużego i redundantnego słownika. Słownik G = {g 1 (t), g 2 (t),, g n (t)} jest zbiorem funkcji nazywanych atomami czasowoczęstotliwościowymi. Ogólną rodzinę atomów tworzy się z pojedynczej funkcji okna g(t) poprzez operacje: skalowania a, translacji b, oraz, w przeciwieństwie do transformaty falkowej, modulacji częstotliwościowej ξ: t b iξ t g I ( t) = 1 g e (2.2) a a Czynnik 1 a służy normalizacji energii, takiej, że g = 1. Indeks I = (a, b, ξ) określa zestaw parametrów danego atomu: skalę, translację (przesunięcie) i modulację częstotliwościową. Zwykle g(t) jest funkcją parzystą, stąd g I (t) jest skoncentrowane wokół odciętej b. Zatem, energia atomu g I (t) jest skupiona w otoczeniu przesunięcia b, którego rozmiar jest proporcjonalny do skali a. Podobnie jest w domenie częstotliwości. Transformata Fouriera G I (ω) atomu g I (t) wynosi: I i ( ( )) ( ω ξ )b ω ξ e G ( ω) = a G a (2.21) i jest scentrowana wokół częstotliwości ω = ξ. Energia atomu jest wtedy skupiona wokół częstotliwości ξ o rozmiarze proporcjonalnym do 1/a. Efektywne użycie słownika G do reprezentacji sygnału s(t) wymaga wybrania takiego podzbioru atomów { g ( t)}, gdzie: I = ( a, b, ξ ), aby funkcja s(t) mogła być przedstawiona w postaci: n n= I n n N s( t) = c g ( t) (2.22) W zależności od wybranych atomów I (t) współczynniki rozwinięcia c n reprezentują różne cechy g n sygnału s(t). Atomy ze słownika wybiera się w sposób adaptacyjny, zależny od lokalnych własności sygnału s(t). Kolejne aproksymacje sygnału s dokonuje się za pomocą rzutów ortogonalnych na atomy czasowo-częstotliwościowe słownika G. W pierwszym kroku dekompozycji MP ze słownika { g ( t) } G = wybierany jest atom I przedstawić jako sumę rzutu ortogonalnego sygnału na residuum pierwszego rzędu): I n g najlepiej dopasowany do sygnału s. Sygnał s możemy I g i pozostałej zawartości sygnału R I 1 s (tzw. s = s, g g + R s (2.23) I I 1 n n n n 22

30 2. Metody czasowo - częstotliwościowe Najlepsze dopasowanie uzyskamy wybierając g tak, by iloczyn skalarny I s, g I był jak największy. Residuum zerowego rzędu tworzy sam sygnał: s = R s. W kolejnej iteracji residuum pierwszego rzędu R 1 s zajmuje miejsce sygnału s i proces poszukiwania elementu g jest powtarzany. I1 W kroku iteracji n dokonywana jest aproksymacja residuum rzędu n poprzez wybranie i dopasowanie atomu g I n i wyznaczane jest residuum rzędu n+1 (R n+1 s): n n n+ 1 I n I n R s = R s, g g + R s (2.24) Atom dobierany ze słownika w każdym kroku iteracji spełnia warunek: I i tzn. wyszukiwany jest taki element słownika g I i n g = arg max R s, g (2.25) g Ii Ii, na który rzut ortogonalny jest maksymalny. Po m-iteracjach algorytmu MP sygnał s można wyrazić jako sumę residuów: s m = 1 n= n n+ 1 m ( R s R s) + R s którą zgodnie z równaniem (2.24) można przestawić w postaci: (2.26) s m = 1 n= n m R s, g g + R s (2.27) I n Wynikiem algorytmu MP jest reprezentacja sygnału s będąca sumą składowych rozwinięcia względem elementów słownika, wybranych z uwzględnieniem najlepszego dopasowania do jego residuów. W miarę dekompozycji poszczególne wzorce są wyczerpywane z sygnału a residua zawierają coraz mniej energii, tzn.: I n lim R m s = m (2.28) więc reprezentacja sygnału jest coraz bliższa sygnałowi oryginalnemu. Jeśli słownik jest kompletny, procedura jest zbieżna do s: n s = R s, g g (2.29) W praktycznych zastosowaniach nie obliczamy nieskończonego rozwinięcia sygnału. Algorytm zatrzymywany jest, gdy reprezentacja sygnału wyjaśnia zdefiniowaną ilość energii sygnału (np. 9%) bądź po ustalonej liczbie iteracji. Pozostałe residuum rzędu m nazywane jest błędem aproksymacji. I n I n Dobór elementów słownika W zależności od zawartości sygnału i funkcji analizujących tworzących słownik, na pewnym etapie dekompozycji poszukiwanie kolejnych wzorców skutkuje niewielkimi współczynnikami dopasowania, a energia residuum kolejnego rzędu jest nieznacznie tylko mniejsza niż w poprzedniej iteracji. Sytuacja taka zachodzi wtedy, gdy wszystkie komponenty sygnału zostały już wyjaśnione, ale 23

31 2. Metody czasowo - częstotliwościowe w sygnale pozostają jeszcze składowe niepodobne do żadnego elementu słownika. Niewłaściwy wybór funkcji słownika może spowodować, że duża porcja sygnału będzie tworzyć błąd aproksymacji. Wybór optymalnego zestawu funkcji analizujących tworzących reprezentację słownika jest obliczeniowo NP-trudny (Durka ). Oznacza to, że złożoność obliczeniowa rośnie szybciej niż dowolny wielomian 2. Pozostaje intuicyjny dobór elementów słownika lub stosowanie słowników Gabora. Nazwę swą zawdzięczają atomom Gabora, tj. funkcjom Gaussa modulowanych sinusem. Upada wprawdzie podstawowa zaleta techniki poszukiwania dopasowań, jaką jest reprezentacja sygnałów o skomplikowanych kształtach za pomocą niewielkiej liczby współczynników, ale słowniki Gabora zapewniają optymalną rozdzielczość czasowo-częstotliwościową, tzn. minimalizują nieoznaczoność wynikającą z zasady Heisenberga Pogoń za dopasowaniem z dyskretnym słownikiem Gabora W większości zastosowań sygnał s jest funkcją rzeczywistą. Dodatkowo, jest to sygnał cyfrowy (dyskretny). Analizę dyskretnych sygnałów o wartościach rzeczywistych, przeprowadza się w oparciu o dyskretny słownik rzeczywistych atomów Gabora g( )( ), gdzie n oznacza dyskretną oś czasu: γ, φ n k g( γ, φ )( n) = K( γ, φ ) g j ( n p) cos 2π n + φ (2.3) N Czynnik K ( γ,φ ), będący amplitudą funkcji okna, jest tak dobrany, aby g ( γ, φ ) = 1. Indeks γ = (j, p, k) jest dyskretnym odpowiednikiem indeksu ciągłego I = (a, b, ξ). Załóżmy, że analizowany sygnał składa się z N = 2 L próbek, gdzie L jest liczbą całkowitą. Wprowadzając diadyczne skalowanie, tj. zmianę skali a z potęgą dwójki a = 2 j mamy nowy parametr oktawę j, j log 2 N, która określa szerokość atomu w czasie; Dla parametrów p i k, p < N i k < N, przyjmujemy ten sam okres próbkowania 2 j. Przy tak wybranej zmienności parametrów mamy bardzo ograniczony słownik, ale w zamian zyskujemy prostotę obliczeniową. Parametr p jest położeniem środka obwiedni atomu; k częstotliwością modulacji atomu. Faza φ, φ [, 2π), występująca tutaj explicite, jest zwykle przedmiotem osobnej optymalizacji dla każdej dopasowywanej funkcji. Struktury sygnału są w pełni opisane zestawem parametrów: amplituda (energia atomu), częstotliwość, położenie, oktawa oraz faza. Ilustrację tych parametrów na przykładzie atomu Gabora przedstawia rysunek Jak pokazali Mallat i Zhang w swej pracy (Mallat i Zhang 1993) przedstawiona dyskretyzacja słownika przy zastosowaniu atomów Gabora pozwala na efektywną implementację numeryczną algorytmu MP. 2 Klasycznym przykładem problemu NP-trudnego (ang. NP-hard) jest problem komiwojażera, polegający na znalezieniu najkrótszej drogi łączącej określoną liczbę miast. 24

32 2. Metody czasowo - częstotliwościowe atom Gabora zmodyfikowana amplituda zmodyfikowana częstotliwość zmodyfikowane położenie (czas) zmodyfikowana oktawa zmodyfikowana faza Rys Parametry atomów Gabora Gęstość energii w przestrzeni czas - częstotliwość Metoda pogoń za dopasowaniem nie oferuje dekompozycji w pełni ortogonalnej. Ortogonalne są tylko kolejne rzuty, dzięki czemu spełniona jest zasada zachowania energii. Ponieważ residuum R n+1 s jest ortogonalne do atomu g I n w każdym kroku zachodzi związek określający zachowanie energii: s m 1 2 = n= n R s, g + R s I n 2 m 2 (2.31) Zestaw parametrów określających cechy wybranych atomów zawiera pełną informację o rozwinięciu sygnału. Wizualizacji elementów strukturalnych sygnału służy rozkład gęstości energii przedstawiony na płaszczyźnie czasowo-częstotliwościowej. Taką mapą dla krótkoczasowej transformaty Fouriera STFT jest spektrogram, dla transformaty falkowej skalogram, a dla metody pogoń za dopasowaniem rozkład energii uzyskany za pomocą dystrybucji Wignera, zwany również mapą Wignera (rys. 2.7). Z definicji transformaty Wignera (wzór (2.8)) oraz rozwinięcia sygnału s uzyskanego metodą MP (wzór (2.29)) można skonstruować estymatę gęstości energii sygnału w przestrzeni czas częstotliwość. Transformata Wignera równania (2.29) daje: W s ( t, f ) = + n= n n= m n R s, g n I n R s, g 2 I n W g In R ( t, f ) + m s, g I m W g I n, g I m ( t, f ) (2.32) Podwójna suma zawiera wyrazy mieszane, będące pasożytniczymi interferencjami w klasycznej dystrybucji Wignera i pochodnych. W celu uzyskania jasnego obrazu rozkładu energii sygnału s(t) w płaszczyźnie czas częstotliwość usuwamy z równania (2.32) wyrazy mieszane, zachowując tylko pierwszą sumę. W ten sposób definiujemy wielkość ( t f ) w płaszczyźnie czasowo-częstotliwościowej: E s,, która jest gęstością energii sygnału s(t) 25

33 2. Metody czasowo - częstotliwościowe n= n 2 E ( t, f ) = R s, g W ( t, f ) (2.33) s Definicja ta ma następujące uzasadnienie. Dystrybucja pojedynczego atomu g I spełnia warunek: gi I n g I n 2 ( t, f ) dt df = g = 1 W (2.34) co w połączeniu z zachowaniem energii rozwinięcia sygnału s(t) metodą MP (równanie (2.31)) daje: Oznacza to, że wielkość ( t f ) płaszczyźnie czas częstotliwość. 2 ( t, f ) dt df = s = 1 I E s (2.35) E s, można interpretować jako gęstość energii sygnału s(t) na 26

34 3. Akustyczne obrazy falowe Rozdział 3 Akustyczne obrazy falowe 3.1 Profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym Podstawy profilowania akustycznego Profilowanie akustyczne (ang. Sonic Log, Acoustic Log) oraz profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym (ang. Fullwave Sonic Log, Full Waveform Acoustic Log, Full Wavetrain Acoustic Log) są metodami, które wykorzystują fale akustyczne generowane w otworach niezarurowanych (Minear i Fletcher 1983, Paillet et al. 1992, Jarzyna et al. 1999, Hearst et al. 2, Serra i Serra 24). Wynikiem pomiaru przy standardowym profilowaniu akustycznym jest czas interwałowy fali podłużnej w funkcji głębokości, będący odwrotnością prędkości. W przypadku profilowania akustycznego z pełnym obrazem falowym określa się również czasy interwałowe fali poprzecznej i fali Stoneleya. W obu wymienionych typach profilowania akustycznego w nadajnikach sond stosowane jest źródło monopolowe. Zachowuje się ono jak źródło punktowe, które emituje sygnał promieniście we wszystkich kierunkach. Fale akustyczne generowane są przez magnetostrykcyjny lub piezoelektryczny nadajnik umieszczony w sondzie. Zmiana pola magnetycznego lub elektrycznego wywołuje drgania w kryształach niektórych minerałów lub materiałów ceramicznych. Drgania te oddziałują na ośrodek skalny poprzez płuczkę, w której rozchodzą się jako koncentryczne fale podłużne w postaci lokalnych zmian ciśnienia. Przy wzbudzeniu źródłem monopolowym można rejestrować również fale poprzeczne, jako tzw. fale przemienne. Propagują one przez płuczkę jako fale P i na ścianie otworu generują drgania cząstek ośrodka charakterystyczne zarówno dla dla fali podłużnej, jak i poprzecznej. Jest to możliwe, gdy prędkość fali poprzecznej w ośrodku skalnym V S jest większa od prędkości fali podłużnej w płuczce V pł. Ośrodki te określane są w literaturze angielskiej jako szybkie, bądź twarde 27

35 3. Akustyczne obrazy falowe (ang. fast formation, hard formation). W takich utworach powstają również fale pseudo-rayleigha. We wszystkich typach utworów tworzą się natomiast fale typu leaky modes oraz fale Stoneleya. Przykładowy obraz falowy przedstawia rysunek 3.1. Szczegółowy opis dotyczący powstawania, rozchodzenia i charakterystyki fal akustycznych przedstawiony zostanie w rozdziale 3.2. fala pseudo - Rayleigha fala Stoneleya fale leaky modes amplituda P S fala w płuczce fale odbite i wielokrotnie odbite czas Rys. 3.1 Akustyczny obraz falowy (na podstawie Minear i Fletcher 1983, zmienione) Odbiorniki sond akustycznych są zbudowane z piezoelektrycznych kryształów (kwarc, turmalin) lub materiałów ceramicznych (tytanian baru BaTiO 2, ceramika PZT, tj. układ związków tytanianu ołowiu i cyrkonianu ołowiu), które przekształcają zmiany ciśnienia płuczki na sygnały elektryczne. Sygnały są wzmacniane, a następnie przesyłane do aparatury. Impulsy emitowane przez nadajniki mają częstotliwości między 5 a 4 khz. Wysyłane są w równych odstępach czasu, co kilkadziesiąt milisekund. Czas trwania impulsu jest krótki, rzędu kilkudziesięciu mikrosekund. W przypadku profilowania akustycznego z pełnym obrazem falowym sygnał przychodzący do odbiornika jest zapisywany w wybranym interwale czasowym, np. 4 µs. Dokładne wartości tych parametrów (tj. częstotliwość sygnału, częstotliwość wysyłania sygnału, czas trwania impulsu, czas rejestracji sygnału) są różne dla różnych sond akustycznych. Sondy do profilowania akustycznego zwykle są centralizowane, ale używa się jedynie gumowych centralizatorów, które nie zawsze są w stanie utrzymać sondę w osi otworu. Obecnie standardowe profilowanie akustyczne przeprowadzane jest za pomocą sondy kompensacyjnej, w której istnieją przynajmniej dwa układy składające się z jednego nadajnika (N) i dwóch odbiorników: bliższego (O1) i dalszego (O2). Ich rozmieszczenie przedstawia rysunek 3.2. Rejestrowany jest jedynie czas pierwszego wstąpienia fali P do odbiorników, odpowiednio T1 i T2. 28

36 3. Akustyczne obrazy falowe Z różnicy czasów prostych, oblicza się czas interwałowy DT (ang. transit interval time, slowness) ze wzoru: T 2 T1 1 DT = = (3.1) l V gdzie: l jest bazą sondy i oznacza odległość między odbiornikami, V jest prędkością fali. Tak obliczony czas interwałowy odpowiada prędkości fali w ośrodku skalnym na odcinku między odbiornikami, natomiast nie zależy od przejścia fali przez płuczkę, gdy średnica otworu naprzeciw elementów sondy jest stała. amplituda T2 Punkt zapisu sondy l O2 O1 T pł T pł T O1O2 Badana formacja T1 czas czas T NO1 N T pł czas T1 = T pł + T NO1 + Tpł T2 = T pł + ( T NO1 + T O1O2) + Tpł l T2 - T1 = T O1O2 = => V T2 - T1 1 = = DT l V Rys. 3.2 Zasada obliczania czasu interwałowego DT w standardowych profilowaniach akustycznych Podczas profilowania akustycznego z pełnym obrazem falowym rejestrowane są wszystkie fale przychodzące do odbiorników w zadanym przedziale czasowym. Falami użytecznymi, dla których określa się czas interwałowy (prędkość) są: fala podłużna (P), fala poprzeczna (S) i fala Stoneleya. Profilowania z pełnym obrazem falowym wykonuje się sondami umożliwiającymi obliczenie czasu interwałowego dla więcej niż jednego rozstawu nadajnik-odbiornik. Zapis czterech par obrazów falowych, tzn. czterech kombinacji N O1 O2 lub N1 N2 O, umożliwiają sondy wyposażone w jeden nadajnik i cztery odbiorniki lub dwa nadajniki i dwa odbiorniki. Przykładem tego typu sond będących na wyposażeniu polskich spółek geofizycznych są urządzenia: LSS (ang. Long Spaced 29

37 3. Akustyczne obrazy falowe Sonic), przedstawione na rysunku 3.3 (Gądek et al. 1997) oraz FWS (ang. Full Wave Sonic) (Baudzis 22). Schemat obliczania czasu interwałowego, nieco inny niż w przypadku standardowych profilowań akustycznych, przedstawiony jest na rysunku 3.4 i omówiony w podrozdziale Budowa sondy LSS Sonda LSS firmy Halliburton Energy Services jest narzędziem służącym do rejestracji akustycznych obrazów falowych w otworach niezarurowanych. Została skonstruowana w celu dokładnego określenia rzeczywistego czasu interwałowego fali podłużnej rozchodzącej się w niezmienionym ośrodku skalnym. Sonda LSS składa się z trzech podstawowych zespołów: górnego zespołu elektroniki, izolatora i dolnego zespołu elektroniki (rys. 3.3). Górny zespół elektroniki zawiera układy służące do sterowania czasem w sondzie oraz do generowania i przesyłania na powierzchnię sygnałów złożonych z pomiarów akustycznych oraz profilowania gamma i średnicy 3. Zespół izolatora (środkowa część sondy) zbudowany jest ze stalowej rury osłonowej, w której wycięto otwory służące wytłumieniu i opóźnieniu fal biegnących od nadajników do odbiorników, bezpośrednio po obudowie. Wewnątrz rury osłonowej znajdują się dwa magnetostrykcyjne nadajniki i dwa piezoelektryczne odbiorniki. Rdzeń każdego nadajnika i odbiornika umieszczony jest w specjalnej osłonie olejowej z kompensacją ciśnienia, która zapewnia dobre sprzężenie akustyczne z płuczką wypełniającą otwór. Nadajniki są tak zaprojektowane, aby energia wysyłanej fali akustycznej była największa pod kątem padania fali na ściankę otworu, około 3. Podobnie, kształt odbiorników został tak zaprojektowany, aby zapewnić jak najlepszy odbiór sygnałów akustycznych padających na nie pod kątem około 3. Dolny zespół elektroniki odpowiada za ładowanie i wyzwalanie nadajników sondy. Nadajniki sondy LSS emitują co 66 ms wąskopasmowe sygnały akustyczne o częstotliwości środkowej 2 khz. Rejestrowany przez odbiorniki sygnał jest próbkowany co 4 µs. Długość zapisywanego sygnału wynosi 11 próbek. Po przejściu przez odbiorniki sygnały są wstępnie wzmacniane, a następnie przepuszczane przez filtr górnoprzepustowy 5 khz i przesyłane dalej na wzmacniacz liniowy regulowany przez operatora (Dokumentacja techniczna sondy LSS 1992). Dokumentacja techniczna sondy nie podaje szerokości pasma emitowanego sygnału ani charakterystyk częstotliwościowych odbiorników. 3 Pomiary sondą LSS wykonuje się w zestawie z innymi sondami. Możliwe są konfiguracje: LSS/DIL/MSFL/GR oraz LSS/XYCAL/GR. W chwili obecnej pomiary sondą LSS wykonuje się tylko w zestawie z korelacyjną sondą gamma (Gądek et al. 1997). 3

38 3. Akustyczne obrazy falowe 12 mm Górny zespół elektroniki Kompensator ciśnienia w odbiornikach Odbiornik O2 2 stopy 8 stóp 2 stopy Odbiornik O1 Izolator akustyczny wf3 wf1, wf2 wf4 Nadajnik N1 Punkt zapisu sondy, DT8, DT1 Nadajnik N2 Położenie punktów zapisu obrazów falowych Kompensator ciśnienia w nadajnikach Dolny zespół elektroniki Rys. 3.3 Schemat sondy Long Spaced Sonic firmy Halliburton Energy Services (na podstawie Gądek et al. 1997) 31

39 3. Akustyczne obrazy falowe Cechą charakterystyczną sondy LSS jest zwiększony rozstaw między nadajnikami i odbiornikami w stosunku do tradycyjnych sond akustycznych. Odległość między nadajnikiem i odbiornikiem wpływa na zasięg radialny sond wyposażonych w źródła monopolowe. W standardowych sondach typu BHC stosowane rozstawy 3 i 5 stóp (,915 m i 1,524 m) zapewniają bardzo płytką głębokość penetracji, rzędu kilku cm. Stąd pomiary tymi sondami niosą najczęściej informację tylko ze strefy najbliższej otworu, zmienionej procesem wiercenia (Baker 1984). Sonda LSS pracuje na rozstawach: 8, 1 i 12 stóp (2,438 m, 3,48 m i 3,658 m). Według dokumentacji technicznej maksymalny zasięg radialny penetracji ośrodka sondą LSS wynosi 27 cali (,686 m). Wydłużone rozstawy uzyskano dzięki odpowiedniemu ułożeniu nadajników i odbiorników w sondzie. W dolnej części izolatora umieszczono dwa nadajniki N1 i N2, odległe od siebie o 2 stopy (,696 m). W odległości 1 i 12 stóp (3,48 m i 3,658 m) od dolnego nadajnika N2 znajdują się odpowiednio odbiorniki: O1 i O2 (rys. 3.3). Dłuższe rozstawy sondy LSS zwiększają jej zasięg radialny, dzięki czemu sonda może sięgać poza strefę filtracji. Wpływa to na jakość uzyskiwanej informacji, gdyż pochodzi ona z większego i mniej zmienionego obszaru wokół otworu. Powyższa konfiguracja nadajników i odbiorników umożliwia rejestrację czterech obrazów falowych: wf1, wf2, wf3 i wf4. Schemat budowy sondy wraz z zaznaczonymi rozstawami i rejestrowanymi obrazami falowymi przedstawiono na rysunku 3.3. Szczegóły dotyczące budowy sondy oraz parametrów technicznych zebrano w tabeli 3.1. Inną przyczyną stosowania długich rozstawów w sondach akustycznych, również w sondzie LSS, jest rozdzielenie wstąpienia fali S od fali P (Snyder i Fleming 1985). Dłuższa droga oznacza dłuższy czas przebiegu fal czołowych (fali P i S). Przy jednoczesnej różnicy w prędkościach tych fal (V S < V P ), pierwsze wstąpienie fali S jest wyraźniej oddzielone na obrazie falowym od fali P niż w standardowych urządzeniach Schemat obliczania czasów interwałowych dla sondy LSS Pomiary sondą LSS, podobnie jak większość profilowań geofizyki otworowej, wykonywane są od spodu otworu ku górze. Interwał (krok) pomiarowy wynosi,5 stopy (,1524 m). W punktach pomiarowych sonda LSS rejestruje cztery obrazy falowe w1 wf4, każdy pochodzący od innej konfiguracji nadajnik odbiornik (tab. 3.2, rys 3.3) oraz automatycznie wylicza czasy interwałowe fali podłużnej: DT8 i DT1. Dla danego położenia sondy obrazy falowe odnoszone są do środka odległości między odpowiednim nadajnikiem i odbiornikiem, natomiast czasy interwałowe odnoszone są do punktu zapisu sondy, który jest zlokalizowany w połowie odległości miedzy nadajnikami (rys. 3.3). Ponieważ punkty zapisu obrazów falowych wf1 wf4 są różne od punktu zapisu sondy, czasy interwałowe DT8 i DT1 obliczane są w oparciu o obrazy falowe wybrane z dwóch położeń głębokościowych sondy. Przesunięcie to wynosi 9,5 stopy i jest uwarunkowane konstrukcją sondy, kątem padania sygnału na ściankę otworu oraz występowaniem strefy zmienionej wokół odwiertu. 32

40 3. Akustyczne obrazy falowe Tabela 3.1 Parametry techniczne sondy LSS (na podstawie: Gądek et al. 1997, Dokumentacja techniczna sondy LSS 1992) Długość sondy Średnica sondy Typ źródła Częstotliwość środkowa źródła Typ odbiorników Częstotliwość wysyłania sygnału Wymiary sondy: Parametry techniczne sondy 7,24 m (23,75 stopy),12 m (4 cale) Dwa nadajniki magnetostrykcyjne, źródło monopolowe 2 khz Dwa odbiorniki piezoelektryczne co 66 ms Krok próbkowania sygnału 4 µs Czas rejestracji sygnału Zakres pomiarowy czasu interwałowego Dokładność pomiaru czasu interwałowego Zasięg penetracji ośrodka N1 N2 O1 O2 N1 O1 (sygnał wf1) N2 O2 (sygnał wf2) N1 O2 (sygnał wf3) N2 O1 (sygnał wf4) Odległości między elementami sondy 44 µs (11 próbek) µs/m (4-2 µs/ft) ± 3,28 µs/m (± 1 µs/ft) 27 cali,698 m (2 stopy),698 m (2 stopy) 2,438 m (8 stóp) 3,658 m (12 stóp) 3,48 m (1 stóp) 3,48 m (1 stóp) DT8 jest czasem interwałowym wyznaczanym dla rozstawów 8 i 1 stóp na podstawie czasów prostych odczytanych z zapisów wf1, wf3 i wf4. Do obliczenia czasu interwałowego DT1, określanego dla rozstawów 1 i 12 stóp, wykorzystuje się czasy proste odczytane z obrazów falowych wf2, wf3 i wf4. Schemat obliczania DT8 i DT1 przedstawia rysunek 3.4. Tabela 3.2 Wykaz obrazów falowych rejestrowanych sondą LSS z odpowiadającymi im parami nadajnik odbiornik oraz długością rozstawu Obraz falowy Konfiguracja: nadajnik odbiornik Długość rozstawu wf1 N1O1 8 stóp (2,44 m) wf2 N2O2 12 stóp (3,66 m) wf3 N1O2 1 stóp (3,5 m) wf4 N2O1 1 stóp (3,5 m) 33

41 3. Akustyczne obrazy falowe Zapisy rejestrowane przez sondę LSS są grupowane w cztery pary obrazów falowych: wf1-wf3, wf1- wf4, wf4-wf2 i wf3-wf2. Dwie pierwsze pary mają krótszy rozstaw (odległość do bliższego odbiornika wynosi 8 stóp), dwie pozostałe dłuższy (1 stóp). Pary obrazów falowych służą do obliczenia czasów interwałowych fali P (DTP), S (DTS) i Stoneleya (DTSt). DTP obliczone na podstawie pary pierwszej i drugiej są odpowiednikami aparaturowego czasu interwałowego DT8, analogicznie, DTP obliczone na podstawie pary trzeciej i czwartej są odpowiednikami DT1. Pary: wf1-wf3 i wf1-wf4 oraz wf4-wf2 i wf3-wf2, choć mają takie same rozstawy, są utworzone przez inną konfigurację nadajników i odbiorników (tab. 3.3). Para wf1-wf3 charakteryzuje się tym, że obrazy falowe pochodzą od tego samego nadajnika N1 i są rejestrowane przez odbiorniki O1 i O2. W przypadku pary wf1-wf4 obrazy falowe pochodzą od różnych nadajników, ale rejestrowane są przez ten sam odbiornik O1. Podobnie jest z parami o dłuższym rozstawie. Para wf4-wf2 ma wspólny nadajnik N2, natomiast para wf3-wf2 wspólny odbiornik O2. Otrzymywane z akustycznych obrazów falowych czasy interwałowe: DT8, DT1 i odpowiadające im DTP obliczane z czterech par obrazów falowych, mogą się różnić między sobą. Przyczyną są następujące czynniki: Sygnały analogowe, rejestrowane przez odbiorniki, w celu przesłania ich na powierzchnię Ziemi składane są w tzw. zespolone sygnały analogowe. Zespolony sygnał składa się z 8 podobnych sekwencji (Gądek et. al. 1997). Cztery pierwsze sekwencje zawierają sygnały akustyczne zarejestrowane w skali logarytmicznej, cztery kolejne zarejestrowane są w skali liniowej. Na podstawie zapisów w skali logarytmicznej obliczane są czasy DT8 i DT1, natomiast z zapisów liniowych po zdekodowaniu wzmocnienia otrzymuje się scyfrowane przebiegi falowe, wykorzystywane do obliczenia m.in. czasu interwałowego DTP. Może być to przyczyną różnic między czasem interwałowym aparaturowym a otrzymanym w wyniku interpretacji par obrazów falowych. Zarejestrowane obrazy falowe są zdominowane przez charakterystyki odbiorników, co objawia się obserwowanym podobieństwem cech kinematycznych i charakterystyk widmowych obrazów falowych zarejestrowanych tym samym odbiornikiem oraz zróżnicowaniem obrazów pochodzących od wspólnego nadajnika (Bała et al. 1997). Jest to przyczyną różnic między czasami interwałowymi DTP obliczonymi dla obu par mających ten sam rozstaw (np. DTP z pary wf1-wf3 i pary wf1-wf4). Głęboko sięgająca strefa zmieniona wokół otworu jest przyczyną różnic między czasami interwałowymi obliczonymi dla rozstawów 8 i 1 stóp (np. między DT8 i DT1 oraz różnic między DTP obliczonym dla obu rozstawów). Jest to spowodowane większą głębokością penetracji ośrodka osiąganą przez dłuższe rozstawy (Serra i Serra 24). 34

42 3. Akustyczne obrazy falowe a) b) Położenie sondy: A Położenie sondy: A O2 O2 O1 O1 Położenie sondy: B Położenie sondy: B O2 O2 O1 N1 N2 Punkt zapisu sondy O1 N1 N2 Badana formacja N1 N1 N2 N2 B B A A DT8 = ( T3 - T1 ) + ( T4 - T1 ) 4 B B A A DT1 = ( T2 - T4 ) + ( T2 - T3 ) 4 Rys. 3.4 Schemat obliczania czasów interwałowych DT8 (a) i DT1 (b) dla sondy LSS (na podstawie: Gądek et al. 1997) 35

43 3. Akustyczne obrazy falowe Para obrazów falowych Tabela 3.3 Charakterystyka par obrazów falowych Rozstaw pary * Konfiguracja nadajników i odbiorników wf1-wf3 8 stóp (2,44 m) wspólny N1 wf1-wf4 8 stóp (2,44 m) wspólny O1 wf4-wf2 1 stóp (3,5 m) wspólny N2 wf3-wf2 1 stóp (3,5 m) wspólny O2 *) odległość od nadajnika do bliższego odbiornika 3.2 Fale akustyczne generowane w otworach wiertniczych Geometria otworu wiertniczego wpływa na powstawanie i rozchodzenie fal akustycznych. Otwór jest modelowany jako cylinder wypełniony cieczą, umieszczony w jednorodnym i izotropowym ciele sprężystym, z sondą w tym cylindrze (otworze) (White i Zechman 1968) albo bez niej (Rosenbaum 1974, Tsang i Rader 1979) lub jako warstwa cieczy umieszczona pomiędzy dwoma sprężystymi jednorodnymi i izotropowymi półprzestrzeniami (Paillet i White 1982, Hearst et al. 2). Warunki graniczne określane dla fal sprężystych w otworze są podobne do tych, jakie stawiane są w sejsmice: składowe radialne wektora (tensora) naprężenia i odkształcenia muszą być ciągłe na ściance otworu, czyli powierzchni oddzielającej ośrodki o zróżnicowanych własnościach sprężystych. W praktyce oznacza to, że naprężenia ścinające zanikają, ponieważ ciecze nie przenoszą tego typu naprężeń 4. Powstały liczne prace teoretyczne, zapoczątkowane przez Biota (Biot 1952, Biot 1956a, Biot 1956b), w których udowodniono, że rozchodzenie się fali w otworze, pomimo podobieństwa warunków granicznych, jest zasadniczo różne od rozchodzenia się fali sejsmicznej w pobliżu granicy rozdziału ośrodków o różnych własnościach sprężystych (Tsang i Rader 1979, Cheng i Toksöz 1981, Paillet i White 1982, Kurkijan 1985, Paillet i Cheng 1986). Otwór wiertniczy zachowuje się jak falowód, będący rezonatorem dla wybranych częstotliwości (Paillet et al. 1992), które są zdeterminowane: średnicą otworu, kątem padania fali na ściankę otworu, długością i prędkością fali w płuczce: 4 Konsekwencją tego jest zerowy moduł ścinania µ w cieczach, co oznacza, że fale poprzeczne S nie rozchodzą się w tego typu ośrodkach. 36

44 3. Akustyczne obrazy falowe a ω = cos θ; λ = (3.2) m λ gdzie: a połowa szerokości falowodu, ω częstotliwość, λ długość fali, θ kąt padania fali na granicę rozdziału, V pł prędkość fali w płuczce, m dowolna liczba naturalna, określająca wzbudzany mod. W odległości kilkunastu długości fal od nadajnika wzdłuż osi otworu (w tzw. polu dalekim) mierzony sygnał jest już całkowicie zdominowany przez preferencyjnie powstałe mody falowe. Fizyczne własności akustycznych obrazów falowych można rozpatrywać jako superpozycję modów wzbudzonych przez nadajnik emitujący sygnał źródłowy o określonym widmie częstotliwościowym w otworze o danej średnicy, dla płuczki i skały o określonych prędkościach fal akustycznych (Paillet 1981, Paillet i White 1982, Paillet 1983, Paillet et al. 1992). Własności modów falowych różnią się od własności sygnału emitowanego przez nadajnik, będącego źródłem wszystkich fal wygenerowanych w otworze. Stąd wniosek, że na charakter rejestrowanych obrazów falowych oprócz własności sygnału źródłowego ogromny wpływ mają również cechy otworu i skał otaczających otwór. Numeryczne modelowania przebiegów falowych pozwoliły na zbadanie wpływu różnych czynników na powstające w otworze mody falowe. Paillet (1981) wykazał, że obecność sondy w otworze jest przyczyną powstawania rezonansów w płuczce. Natomiast Cheng i Toksöz (1981) udowodnili, że obecność sondy w otworze daje odpowiedź równoważną do takiej, jaką otrzyma się modelując otwór bez sondy, ale o mniejszej średnicy. Stąd do obliczania teoretycznych przebiegów falowych (mikrosejsmogramów) istotnym parametrem jest tzw. średnica efektywna, która jest różnicą średnicy otworu i sondy. Proste zjawisko wzbudzania częstotliwości rezonansowych w otworze jest przyczyną skomplikowanego charakteru akustycznych obrazów falowych. Poznanie tego mechanizmu jest pomocne w interpretacji rejestrowanych przebiegów falowych. W świetle teorii powstawania i rozchodzenia modów falowych w otworze przedstawiono poniżej krótki opis cech fal obecnych na obrazach falowych, istotnych z punktu widzenia analizy czasowo-częstotliwościowej. Zwrócono uwagę przede wszystkim na dwa aspekty: 1) Prędkość rozchodzenia się fali, która decyduje o czasie przyjścia fali do odbiornika, a tym samym o miejscu (czasie) pojawienia się danej fali na obrazie falowym. 2) Charakterystykę częstotliwościową. Fale objętościowe (ang. body waves) Jako pierwsza na obrazie falowym pojawia się fala podłużna P (ang. compressional, longitudinal, dilatational, pressure, primary wave). Jest najszybszą falą sprężystą. Prędkość fali P (V P ) jest 37 V pl

45 3. Akustyczne obrazy falowe określona przez moduły sprężystości oraz gęstość skały i medium porowego. Następna, zwykle o większych amplitudach, rejestrowana jest fala poprzeczna S (ang. shear, transverse, rotational, distortional, secondary wave). Jest to fala przemienna i powstaje z fali podłużnej biegnącej w płucze, kiedy ta ulega załamaniu na ściance otworu. Warunkiem zarejestrowania fali S na sejsmogramie jest, by prędkość V S w ośrodku skalnym była większa niż fali w płuczce V pł. Prędkość fali S zależy od własności sprężystych i gęstości skały i jest zawsze mniejsza od prędkości fali P. W skałach twardych, zbitych fala P jest 1,6-1,9 razy szybsza od fali S, w osadach nieskonsolidowanych może być nawet 4-5 razy szybsza. Stosunek prędkości fali podłużnej do poprzecznej 5 zależy tylko od współczynnika Poissona ν: V V P S 2 2ν 2 = 2ν 1 (3.3) N i P i S O1 S P O2 S P P S Fale prowadzone Rys. 3.5 Przebieg promieni w otworze wiertniczym fal: P, S i prowadzonych (na podstawie Minear i Fletcher 1983). i P, i S kąty krytyczne, dla których tworzą się fale czołowe P i S, PP i SS odcinki ośrodka skalnego, dla których określane są odpowiednio prędkości fal P i S Powstanie fal P i S związane jest z krytycznym kątem padania fali na granicę dwóch ośrodków: płuczki w otworze i skały. Sygnał akustyczny wyemitowany przez źródło punktowe rozchodzi się promieniście w płuczce jako fala podłużna. Część energii, która pada na ściankę otworu pod kątem krytycznym, ulega załamaniu pod kątem 9 stopni: nie wnika do ośrodka, lecz ślizga się po granicy rozdziału z prędkościami fal sprężystych w ośrodku skalnym, odpowiednio V P i V S. Fale takie nazywają się falami czołowymi (ang. head waves) i są one rejestrowane jako fale P i S na 5 V P /V S jest istotnym parametrem w geofizyce poszukiwawczej, gdyż jest dobrym wskaźnikiem nasycenia gazem. 38

46 3. Akustyczne obrazy falowe akustycznych obrazach falowych. Kąt krytyczny dla fali P jest inny niż dla fali S, stąd fale te przebiegają przez różne odcinki ośrodka skalnego (rys. 3.5). Pozostała część energii wyemitowana przez nadajnik, niesiona przez fale, dla promieni których kąty padania są mniejsze od kąta krytycznego, wnika do ośrodka (ulega załamaniu) i jest tracona. Dla kątów padania większych od kąta krytycznego zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Energia tych fal uczestniczy w tworzeniu fal prowadzonych (rys. 3.5). 1 częstotliwości odcięcia modów fal prowadzonych widmo amplitudowe 1, S1 P2 S2 P częstotliwość Rys. 3.6 Teoretyczne widmo amplitudowe obrazu falowego zawierającego fale czołowe (na podstawie Hearst et al. 2). Widmo amplitudowe charakteryzuje się pikami występującymi w pobliżu częstotliwości odcięcia modów fal prowadzonych: fal leaky modes dla fali P oraz fali pseudo-rayleigha dla fali S. Ilość modów, a tym samym ilość pików na widmie, zależy od składu częstotliwościowego sygnału źródłowego, emitowanego przez nadajnik. Zaznaczone na rysunku P1 i S1 oraz P2 i S2 to składowe fal P i S związane z modami fal prowadzonych odpowiednio rzędu pierwszego (m = 1) i drugiego (m = 2) Częstotliwości fal P i S związane są z częstotliwościami odcięcia stowarzyszonych z nimi fal prowadzonych, odpowiednio z falami typu leaky modes i pseudo-rayleigha (Paillet 1981, Paillet i White 1982). Teoretyczne widmo częstotliwościowe otrzymane dla fal czołowych wykazuje szereg pików związanych na przemian z falami P i S (rys. 3.6). Piki na widmie amplitudowym występują tuż poniżej częstotliwości odcięcia modów fal prowadzonych rzędu m = 1, 2,, i są skoncentrowane w wąskim przedziale częstotliwości. Ilość modów fal prowadzonych wygenerowanych w otworze, a tym samym ilość pików odpowiadających falom czołowym na widmie, zależy od charakterystyki częstotliwościowej sygnału emitowanego przez nadajnik. Stąd widmo częstotliwościowe fal czołowych zależy również od widma częstotliwościowego sygnału źródłowego. Stowarzyszenie fal czołowych z częstotliwościami związanych z nimi odpowiednich fal prowadzonych wyjaśnia 39

47 3. Akustyczne obrazy falowe nieznacznie zróżnicowany skład częstotliwościowy fal P i S, co eksperymentalnie wykazali i przedstawili w pracy Scarascia et al. (1976). Fale prowadzone (ang. guided waves) Powstanie modów fal prowadzonych w otworze jest wynikiem oddziaływania ośrodka skalnego z całkowicie odbitymi falami w falowodzie (tj. w pierścieniu między sondą a ścianką otworu), wzbudzonymi dla częstotliwości rezonansowych. Fale prowadzone, do których zaliczamy fale pseudo- Rayleigha, fale Stoneleya i fale typu leaky modes, są falami uwięzionymi w otworze, dlatego charakteryzują się wysokimi amplitudami i dominują na obrazach falowych rejestrowanych w pewnej odległości od nadajnika. częstotliwości odcięcia kolejnych modów fali pseudo-rayleigha V S prędkość [km/s] 3, 2, V pł Fala Stoneleya Mod rzędu pierwszego ( m = 1) Mod rzędu drugiego ( m = 2) Mod rzędu trzeciego ( m = 3) 1, częstotliwość Prędkość fazowa modów fali pseudo-rayleigha Prędkość grupowa modów fali pseudo-rayleigha Prędkość grupowa modów fali Stoneleya Rys. 3.7 Krzywe dyspersji fal pseudo-rayleigha i Stoneleya (na podstawie Paillet i White 1982) W tzw. szybkich formacjach, tj. gdy V S > V pł, na akustycznych obrazach falowych obserwowany jest kolejny pakiet falowy: fala pseudo-rayleigha, nazywana poprzecznymi modami normalnymi, lub skrótowo modami normalnymi. W literaturze angielskiej fala ta występuje pod licznymi nazwami: shear normal modes, shear surface wave, multiple-reflected conical, reflected conical. Podobnie jak fala S, fala ta nie jest wzbudzana w wolnych formacjach. Fala pseudo-rayleigha jest silnie dyspersyjna, o dyspersji normalnej, co oznacza, że mody wyższego rzędu, tzn. o niższych częstotliwościach, poruszają się z większą prędkością. Dyspersja oznacza, że prędkość propagacji fali zależy od częstotliwości. Prędkości fazowe modów fali pseudo-rayleigha zawierają się między 4

48 3. Akustyczne obrazy falowe prędkością fali biegnącej w płuczce i prędkością fali poprzecznej w ośrodku: V pł < V ps-r < V S (rys. 3.7). Charakter dyspersji fali pseudo-rayleigha sprawia, że niskoczęstotliwościowe mody rozchodzą się z prędkością zbliżoną do V S i dominują na obrazie falowym w końcowej partii obszaru występowania fali S. widmo amplitudowe sygnału źródłowego częstotliwość t P t pł a) amplituda a) b) c) b) c) µ czas [ s] Rys. 3.8 Charakterystyka fali Stoneleya w zależności od częstotliwości środkowej i szerokości widma sygnału źródłowego (na podstawie Paillet i White 1982, zmienione). Najwyższe amplitudy fala Stoneleya osiąga dla niskich częstotliwości sygnału źródłowego (a). Im wyższe częstotliwości nadajnika, tym amplitudy fali są niższe (b, c). Gdy widmo częstotliwościowe sygnału źródłowego jest szerokie wtedy fala Stoneleya zapisuje się jako impuls na obrazach falowych (c). Wąskie pasmo częstotliwości wzbudza falę oscylującą z częstotliwością nadajnika (a). (Obliczenia fali Stoneleya przeprowadzono dla uproszczonego modelu, w którym za początek emisji impulsu (czas t = ) przyjęto maksimum symetrycznego sygnału źródłowego. Dlatego jako przyjście fali Stoneleya należy przyjąć maksimum amplitudy wymodelowanej fali (zaznaczone strzałkami)) 41

49 3. Akustyczne obrazy falowe Amplitudy fali pseudo-rayleigha są większe od amplitud fali poprzecznej, niosą dużą energię i nie są tłumione w wyniku rozwierania sferycznego, zatem nie maleją ze wzrostem odległości nadajnik odbiornik. Fala pseudo-rayleigha szybko zanika w głąb ośrodka, w płuczce ma charakter oscylacyjny. Nakładanie się modów fali pseudo-rayleigha na pakiet fali S utrudnia jego rozpoznanie. Fala pseudo- Rayleigha posiada częstotliwość odcięcia, która wzrasta wraz z numerem (rzędem) moda. Jeżeli częstotliwość sygnału emitowanego przez nadajnik jest poniżej częstotliwości odcięcia dla moda pierwszego rzędu, to nie zostaną wygenerowane żadne mody fali pseudo-rayleigha. Kształt fali pseudo-rayleigha, jej prędkość fazowa i grupowa oraz liczba modów jest przede wszystkim funkcją częstotliwości sygnału emitowanego przez nadajnik oraz promienia efektywnego otworu. Zależy również w skomplikowany sposób od własności ośrodka i płuczki (Paillet 1981, Paillet i White 1982). Kolejną falą prowadzoną, dla której falowodem jest pierścień między sondą a ścianką otworu, jest fala Stoneleya. Powstaje zarówno w szybkich jak i wolnych formacjach. Fala Stoneleya jest lekko dyspersyjna (rys. 3.7). W wolnych formacjach charakteryzuje się dyspersją normalną, natomiast w szybkich formacjach niewielką dyspersją odwróconą. Nie ma częstotliwości odcięcia, a wszystkie mody rozchodzą się z podobną prędkością, stąd krzywe dyspersji są płaskie. W konsekwencji fala Stoneleya pojawia się jako impuls na obrazach falowych, gdy sygnał źródłowy zawiera szerokie pasmo częstotliwości (rys. 3.8). W przypadku wąskopasmowego sygnału fala Stoneleya będzie oscylowała z częstotliwością źródła (Minear i Fletcher 1983). Prędkość fazowa fali Stoneleya jest zawsze mniejsza od prędkości fali w płuczce: V St < V pł. Gdy V S > V pł, tj. w szybkich formacjach, V St,9 V pł. W rezultacie często fala w płuczce jest mylnie identyfikowana z falą Stoneleya. Gdy prędkość fali poprzecznej spada i zbliża się do prędkości fali w płuczce, to spada również prędkość fali Stoneleya (rys. 3.9) (Minear i Fletcher 1983). Amplitudy fali Stoneleya zależą od kilku czynników: średnicy efektywnej otworu, charakterystyki częstotliwościowej sygnału emitowanego przez nadajnik oraz własności ośrodka skalnego. Zwiększenie średnicy efektywnej, np. wskutek kawern i wymyć, powoduje spadek amplitud fali Stoneleya (Cheng i Toksöz 1981, Paillet i White 1982). Fala Stoneleya jest wzbudzana dla wszystkich częstotliwości (nie ma częstotliwości odcięcia), ale większe amplitudy ma dla niskich częstotliwości (rys. 3.8). Tak więc fala Stoneleya może być silnie wzbudzona tylko wtedy, gdy sygnał emitowany przez nadajnik zawiera niskie częstotliwości (rys. 3.1). Część autorów nazywa wysokoamplitudowe, niskoczęstotliwościowe składowe fali Stoneleya falami rurowymi (ang. tube waves) (Paillet i White 1982, Paillet et al. 1992, Hearst et al. 2). Amplitudy fali Stoneleya zależą również od przepuszczalności. Zjawisko tłumienia fali Stoneleya jest wykorzystywane do identyfikacji stref szczelin i spękań (Paillet 1991). Trzecim rodzajem fal prowadzonych rozchodzących się po ściance otworu są fale zwane leaky modes lub PL, w literaturze angielskiej występujące również pod nazwami: leaky compressional, compressional normal modes, surface compressional waves. Powstają w podobny sposób do fali pseudo-rayleigha, z tą różnicą, że są generowane w wyniku oddziaływania formacji skalnych z całkowicie odbitymi falami podłużnymi w płuczce. Podążają za czołową falą P i tworzą jej 42

50 3. Akustyczne obrazy falowe oscylujący ogon. Amplitudy fal leaky modes zależą od współczynnika Poissona formacji skalnej ν, w taki sposób, że wzrost ν powoduje wzrost amplitud tej fali (Minear i Fletcher 1983). Fala ta jest najwyraźniejsza w bardzo wolnych formacjach, dużych otworach i otworach ze znaczącą strefą zniszczenia. Jest to fala dyspersyjna o dyspersji normalnej. Prędkość fazowa V PL zawiera się między prędkością fali podłużnej w płuczce a prędkością fali P: V pł < V PL < V P. Liczba wzbudzanych modów zależy od częstotliwości nadajnika. Gdy częstotliwość sygnału źródłowego będzie odpowiednio niska nie powstaną żadne mody fal leaky modes. Może być wzbudzana zarówno w szybkich, jak i wolnych formacjach. V V P pł = 362 m/s = 183 m/s t pł t St a) S V S = 228 m/s czas amplituda b) P S V S = 21 m/s czas c) P S V S = 19 m/s czas fala Stoneleya Rys. 3.9 Syntetyczne obrazy falowe w utworach o niskich prędkościach fal sprężystych (łupkach) otrzymane dla różnych prędkości fali S (na podstawie Minear i Fletcher 1983). Gdy V S maleje i zbliża się do V pł, to zanika pakiet fali S oraz obserwowany jest spadek prędkości fali Stoneleya Fala w płuczce (ang. fluid compressional wave, fluid wave, mud wave) Jest to objętościowa fala podłużna generowana przez źródło monopolowe, która przebiega przez płuczkę w otworze, bezpośrednio od nadajnika do odbiorników. Propaguje ze stałą prędkością, ze względnie wysokimi energiami (Crain 24). Prędkość fali w płuczce zależy m.in. od zasolenia 43

51 3. Akustyczne obrazy falowe płuczki (Jarzyna (1989)). Wzrost zasolenia powoduje zwiększenie prędkości propagacji fali w płuczce. a) Częstotliwość nadajnika: 3 khz Obrazy falowe mają skomplikowany charakter. Fala Stoneleya jest niewidoczna, zamaskowana przez składowe o wysokich częstotliwościach. b) Częstotliwość nadajnika: 15 khz Charakter obrazów falowych uległ zmianie. Pojawia się fala Stoneleya o niższych częstotliwościach. c) Częstotliwość nadajnika 7 khz Zanika fala P. Fala Stoneley staje się coraz bardziej wyraźna. Rys. 3.1 (część I) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika (na podstawie 2SAA-1/F Sonic Probe Operator Manual 22) 44

52 3. Akustyczne obrazy falowe d) Częstotliwość nadajnika: 4 khz Fala Stoneleya dominuje na obrazach falowych. Fala P prawie całkowicie zniknęła. e) Częstotliwość nadajnika: 2 khz Fala P zniknęła całkowicie, na obrazach falowych występuje jedynie fala Stoneleya. Rys. 3.1 (część II) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika (na podstawie 2SAA-1/F Sonic Probe Operator Manual 22) Inne fale W końcowej części obrazu falowego występują fale odbite (ang. reflected waves), wielokrotnie odbite (ang. muliple-reflected waves) oraz inne interferencyjne, biegnące po skomplikowanej drodze. W ośrodkach niejednorodnych mogą występować fale dyfrakcyjne. Fala bezpośrednia (ang. direct tool wave) biegnąca po obudowie przychodzi do odbiorników bardzo późno i jest silnie wytłumiona przez wycięcia w obudowie. Dzięki temu nie interferuje z falami użytecznymi i nie zakłóca akustycznych obrazów falowych. Podsumowując, mody normalne poprzeczne (pseudo-rayleigha) i podłużne (leaky modes) mają charakterystyczną dla siebie częstotliwość odcięcia, poniżej której nie mogą być wzbudzane. Mody te są silnie dyspersyjne z prędkością fazową osiągającą prędkość fal czołowych (odpowiednio S i P), gdy ich częstotliwość osiąga częstotliwość odcięcia. Dlatego obserwuje się wysokie amplitudy fal czołowych dla częstotliwości bliskich częstotliwościom odcięcia (2SAA-1/F Sonic Probe Operator Manual 22). Zatem, badania ukierunkowane na rejestrację fal P i S powinny być prowadzone przy 45

53 3. Akustyczne obrazy falowe wykorzystaniu częstotliwości nadajnika tak dobranej, aby obejmowała tylko częstotliwości odcięcia modów prowadzonych rzędu pierwszego m = 1 (wzór (3.2)) (Paillet et al. 1992). W takim przypadku niechciane mody nie są wzbudzane, amplitudy fal czołowych są wysokie, a złożoność obrazów falowych znacznie zredukowana. Gdy częstotliwości sygnału źródłowego są niższe, to fale P i S nie są efektywnie generowane. Stosowanie wyższych częstotliwości wzbudzi również mody wyższego rzędu, przez co przyjście fal P i S będzie trudne do zidentyfikowania (rys. 3.1). W przypadku badań nastawionych na wykorzystanie fali Stoneleya częstotliwość nadajnika powinna być niska. Wtedy rejestrowane obrazy falowe są wolne od efektów interferencji innych modów (rys. 3.1). Amplitudy fali Stoneleya zaczynają maleć dla częstotliwości nadajnika większych od 5 khz (Paillet 1991), jakkolwiek dokładna wartość częstotliwości zależy od średnicy otworu. Dla wyższych częstotliwości stopniowo pojawiają się kolejne mody fali pseudo-rayleigha o amplitudach większych od fali Stoneleya oraz fale czołowe. Skomplikowany charakter obrazów falowych jest wynikiem interferencji modów falowych powstających w otworze (rys. 3.11). Kontrolując częstotliwość oraz szerokość pasma sygnału emitowanego przez nadajnik można bardzo uprościć rejestrowane przebiegi falowe. Okno fali poprzecznej Okno fali Stoneleya Akustyczny obraz falowy amplituda Energia fali P Energia fali S Energia fali pseudo- Rayleigha Energia fali Stoneleya czas Rys Rozkład energii poszczególnych fal na obrazie falowym (na podstawie Paillet 1991). Akustyczny obraz falowy zarejestrowano w niespękanych granitach, natomiast rozkład energii został wymodelowany dla źródła o częstotliwości 35 khz i średnicy otworu 7,5 cm. Otrzymany rozkład energii posłużył do wyznaczenia okien czasowych odpowiadających falom S i Stoneleya 46

54 3. Akustyczne obrazy falowe 3.3 Metody interpretacji akustycznych obrazów falowych Akustyczne obrazy falowe można poddać interpretacji jakościowej oraz ilościowej. Interpretacja jakościowa ma na celu dostarczenie dodatkowych informacji geologicznych oraz stanowi uzupełnienie kompleksowej interpretacji danych geofizyki wiertniczej. Interpretacja ilościowa obrazów falowych polega w pierwszym etapie na zidentyfikowaniu i wydzieleniu różnych typów fal akustycznych, a następnie określeniu ich własności kinematycznych (czasów interwałowych, prędkości) i dynamicznych (wielkości amplitud, tłumienia, energii fal). Na podstawie tych własności możliwe jest ilościowe określenie również innych parametrów ośrodka, takich jak: dynamiczne moduły sprężystości, porowatość, przepuszczalność. Do metod jakościowej interpretacji akustycznych obrazów falowych należą wykresy czasowogłębokościowo-amplitudowe oraz atrybuty chwilowe obliczane dla każdego obrazu falowego (Bała et al. 1994, Bała i Jarzyna 1996). Pierwsza metoda, wzorowana na przekrojach sejsmicznych, polega na przedstawieniu rejestrowanych przebiegów falowych w funkcji głębokości. Charakter rejestrowanych sygnałów zmienia się w zależności od litologii i odzwierciedla zmiany parametrów skał, takich jak: skład mineralny, porowatość, przepuszczalność, wielkość zailenia, rodzaj medium nasycającego przestrzeń porową i innych. Wykresy czasowo-głębokościowo-amplitudowe, zestawione razem z profilowaniem gęstości oraz średnicy, pozwalają na szybkie i jednoznaczne wydzielenie stref o zmienionych własnościach zbiornikowych i sprężystych, w szczególności stref spękanych, rozluźnionych, szczelinowatych i przepuszczalnych. Mogą być również wykorzystywane do identyfikacji litologii. Kolejną metodą interpretacji jakościowej są atrybuty chwilowe, które pierwotnie stosowane były w interpretacji sekcji sejsmicznych. Atrybuty takie jak: amplituda chwilowa, faza chwilowa, częstotliwość chwilowa, zostały z powodzeniem zaadoptowane do interpretacji akustycznych obrazów falowych. (Knize 1989, Bała et al. 1994, Bała i Jarzyna 1996). Charakterystyki chwilowe są zdefiniowane na bazie trasy zespolonej (Taner et al. 1979), której część rzeczywistą tworzy rejestrowany sygnał, natomiast część zespoloną oblicza się z rejestrowanego sygnału za pomocą transformaty Hilberta. Analiza trasy zespolonej pozwala na rozdzielenie informacji niesionej przez amplitudę i fazę sygnału zespolonego. Zmiany atrybutów chwilowych ujawniają lokalne zmiany własności ośrodka skalnego, nie zawsze widoczne na tradycyjnym zapisie. Pozwalają na wyeksponowanie sygnałów o małych amplitudach, podkreślają składowe obrazu, które są efektem niewielkich niejednorodności ośrodka. Identyfikacja fal na akustycznych obrazach falowych jest w znakomitej większości podstawą interpretacji ilościowej. Poprawne wskazanie fal umożliwia podanie czasu przyjścia danej fali do odbiornika oraz wartości amplitud. Na podstawie tych wielkości obliczane są parametry petrofizyczne skał, takie jak: 47

55 3. Akustyczne obrazy falowe czas interwałowy DT, prędkość fali w ośrodku V, stosunek prędkości fali podłużnej do poprzecznej V P /V S, porowatość ogólna φ 6, dynamiczne moduły sprężystości 7 : np. moduł Younga E, moduł Kirchoffa G (nazwany również modułem ścinania µ), moduł sprężystości objętościowej K, współczynnik Poissona ν, parametry tłumiące ośrodka: współczynnik tłumienia α, współczynnik dobroci Q, przepuszczalność i wielkość szczelin. Dużym problemem w interpretacji ilościowej obrazów falowych jest interferencja, która utrudnia precyzyjne wskazanie przyjścia fal. Ma to szczególnie duże znaczenie w przypadku fali S, ponieważ znajomość jej prędkości jest niezbędna w wielu zastosowaniach (określenie V P /V S, współczynnika Poissona, budowanie modelu prędkościowego ośrodka dla sejsmiki trójskładowej, itp.). Opracowano wiele metod automatycznego wyznaczania czasu interwałowego i prędkości fal P i S, opierających się własnościach kinematycznych i dynamicznych fal sprężystych. Podstawowa metoda wyznaczenia fali P i S bazuje na kryterium amplitudowym i polega na ustaleniu progu detekcji powyżej poziomu szumów. Jest ona jednak niedokładna i ma wiele ograniczeń. Najczęstszym błędem jest przeskok fazy (ang. cycle skipping), czyli pominięcie pierwszego cyklu fali. Przyczyną są niższe amplitudy fali od założonego poziomu progu detekcji lub wyższy poziom szumów. Poprawki na wysokoamplitudowe piki szumu w przypadku wyznaczenia fali P wprowadzili Cheng et al. (1981). Zastosowanie progu detekcji do wykrywania fali S jest znacznie trudniejsze i ograniczone warunkiem wyższych amplitud początku fali poprzecznej od podłużnej. Inne metody obliczania prędkości fal wykorzystują własność podobieństwa obrazów falowych oraz ich charakterystykę częstotliwościową. Obliczenia wykonywane w domenie czasu ogólnie opierają się na korelacji wybranych fragmentów obrazów falowych rejestrowanych bliższym i dalszym odbiornikiem (Cheng et al. 1981, Willis i Toksöz 1983). W domenie częstotliwości prędkość fal sprężystych otrzymywana jest na postawie widma wzajemnego (ang. cross spectrum) sygnałów rejestrowanych odbiornikami umieszczonymi w różnej odległości od źródła (Ingram et al. 1985). Powstały również 6 Porowatość ogólną oblicza się w oparciu np. o równanie Wylliego (Wyllie et al. 1956, Wyllie et al. 1958): φ 1 φ = + V V pl V ma 1, lub Raymera-Hunta-Gardnera (Raymer et al. 198): V = ( φ ) 2 V ma + φ V pl 1 gdzie: V jest prędkością fali w formacji skalnej, V pł jest prędkością fali w cieczy wypełniającej przestrzeń porową (filtrat płuczkowy lub woda złożowa), V ma jest prędkością fali w szkielecie skalnym, charakterystycznym dla danego składu mineralnego (litologii). 7 Obliczenie większości dynamicznych modułów sprężystości jest możliwe po dołączeniu informacji o gęstości ośrodka, np. z profilowania gęstościowego RHOB. 48

56 3. Akustyczne obrazy falowe metody wykorzystujące obie domeny: czasową i częstotliwością, które łączą funkcje korelacji i analizę widmową (Bała i Jarzyna 1992, Bała i Jarzyna 1996). Zastosowanie sond wieloodbiornikowych spowodowało rejestrację większej ilości danych, które wymagają innego podejścia interpretacyjnego. Najbardziej popularnym sposobem interpretacji tego typu zapisów jest metoda bazująca na funkcji semblance (Kimball i Marzetta 1984). Jest ona z powodzeniem stosowana również w interpretacji obrazów falowych rejestrowanych dwoma odbiornikami (Jarzyna et al. 21). Funkcja ta obliczana jest w dziedzinie czasu. Wykorzystywana jest jako miara koherencji wielokanałowych zapisów sygnałów akustycznych. Wartość funkcji semblance należy do przedziału [, 1] i wynosi 1, gdy wszystkie obrazy falowe wykorzystane do jej obliczenia są takie same co do kształtu i amplitudy. Maksima funkcji semblance interpretowane są jako czas przyjścia T1 i czas interwałowy DT odpowiednio fali P, S i Stoneleya. Dokładność metody opartej o wyliczenie funkcji semblance zależy od ilości rejestratorów. Jest wyższa dla wielokanałowych rejestracji, natomiast dla rejestracji sondą dwuodbiornikową dokładność musi być niższa. Innym zagadnieniem interpretacyjnym jest uzyskanie informacji o prędkości fali poprzecznej, w sytuacji wykonywania pomiarów ze źródłem monopolowym w wolnych formacjach. W takim przypadku fala S jest nieobecna na rejestrowanych obrazach falowych, ponieważ nie jest generowana. Otrzymanie wartości prędkości fali S jest możliwe w oparciu o znajomość prędkości fali Stoneleya, która w tego typu utworach silnie zależy od prędkości fali poprzecznej w ośrodku (Cheng i Toksöz 1983, Liu 1984). Inne zastosowania akustycznych obrazów falowych opierają się na tłumieniu fal sprężystych. Na podstawie rejestracji odbiornikami umieszczonymi w różnej odległości od nadajnika możliwe jest określenie parametrów tłumiących ośrodka: współczynnika tłumienia α oraz współczynnika dobroci Q (Toksöz et al. 1979a, Toksöz et al. 1979b, Jarzyna 1989). Akustyczne obrazy falowe mogą być również wykorzystane pod kątem oceny przepuszczalności oraz określenia szczelinowatości na podstawie tłumienia fali Stoneleya (Paillet 1991). 49

57 4. Dane Rozdział 4 Dane 4.1 Otwór K Litostratygrafia otworu K6 Akustyczne obrazy falowe wykorzystane w pracy zostały zarejestrowane sondą LSS w otworze Kościan 6 (K6), zlokalizowanym w złożu gazu. Złoże Kościan występuje w utworach rafowych wapienia cechsztyńskiego (Ca1) narosłych na lokalnym paleopodniesieniu w centralnej części wału wolsztyńskiego (basen permski, zachodnio-środkowa Polska (rys. 4.1)) (Karnkowski 1993). Profil litostratygraficzny otworu K6 obejmuje cechsztyńskie utwory ewaporatowe i węglanowe cyklotemów: Z3, Z2 i Z1, częściowo nasycone gazem w poziomie Ca1, oraz zailone piaskowce karbońskie. Szczegółowy podział litostratygraficzny, sporządzony na podstawie Gądek et al. (1997) oraz Jarzyna et al. (21) przedstawiono w tabeli 4.1. Dla metodycznego charakteru badań duże zróżnicowanie litologii jest istotną i korzystną cechą, gdyż umożliwiło analizę czasowo-częstotliwościową sygnałów pochodzących z ośrodków o różnych własnościach sprężystych i zbiornikowych. Dane geologiczne i geofizyczne z otworu K6 zostały udostępnione dla prac naukowo-badawczych przez PGNiG S.A. w Warszawie i Spółkę Geofizyka Kraków. Gdańsk Poznań Kościan Kraków Rys. 4.1 Lokalizacja otworu K6 5

58 4. Dane Tabela 4.1 Tabela litostratygraficzna utworów w otworze K6 wraz z podziałem akustycznych obrazów falowych Okres (piętro) perm grn (cechsztyn) karbon (nierozdzielony) wykonanym na podstawie litostratygrafii (Gądek et al. 1997, Jarzyna et al. 21) Litostratygrafia i charakteru zapisów falowych Podział AOF Głębokość [m] Cyklotem Symbol Nazwa Opis litologiczny Oznaczenie strop spąg Z3 Z2 Z1 Na3 A3d sól młodsza anhydryt główny sole z domieszką iłu i anhydrytu wkładka 1 29,6 213,5 Na3_1 213,5 259, wkładka 2 259, 267, Na3_2 267, 278, anhydryt lekko zailony A3d 278, 2141,5 T3 szary ił solny iłowce z dodatkiem soli T3 2141,5 2143, A2g Na2 A2d Ca2 A1g Ca1 a Ca1 b Ca1 c Ca1 d P-ce anhydryt kryjący sól starsza anhydryt podstawowy dolomit główny anhydryt górny wapień cechsztyński piaskowce karbońskie anhydryt lekko zailony A2g 2143, 2146, sole z domieszką iłu i anhydrytu anhydryt lekko zailony z domieszką wapienia, dolomitu i soli dolomit lekko zailony z domieszką soli, wapienia i anhydrytu anhydryt lekko zailony z domieszką wapienia, dolomitu i soli anhydryt lekko zailony z domieszką wapienia i dolomitu wapień lekko zailony z domieszką anhydrytu i dolomitu; poziom nasycony gazem Na2 2146, 2175,5 A2d 2175,5 2191, Ca2 2191, 2224,5 A1g 2224,5 2262, Ca1_ 2262, 2263,7 Ca1_1 2263,7 2267, Ca1_2 2267, 2268,1 2267,1 2269,3 Ca1_3 2269,3 2276,9 Ca1_4 2276,9 2281,2 Ca1_5 2281,2 2286,6 2286,6 2288,2 Ca1_6 dolomit lekko zailony 2288,2 2294,8 z domieszką wapienia i anhydrytu 2294,8 2296,1 Ca1_7 dolomit lekko zailony 2296,1 2298,2 z domieszką wapienia i anhydrytu; Ca1_8 2298,2 233,4 poziom nasycony gazem Ca1_9 233,4 235,6 zailone piaskowce z domieszką ambitu, węglanów i anhydrytu; piaskowce chlorynowe P-ce 235,5 2377,5 51

59 4. Dane Charakterystyka akustycznych obrazów falowych w otworze K6 Duże zróżnicowanie litologii jest przyczyną bardzo zmiennego charakteru obrazów falowych zarejestrowanych w otworze K6. Obrazy falowe zmieniają się pod względem własności kinematycznych i dynamicznych, tj. czasów przyjścia fal do odbiorników oraz amplitud (rys. 4.2). Czasy przyjścia fal zależą od litologii oraz własności sprężystych. W obrębie jednego bloku litologicznego wykazują w przybliżeniu stałą wartość, za wyjątkiem piaskowców, które są w różnym stopniu zailone. Zailenie obniża prędkość fal sprężystych oraz zwiększa tłumienie, co objawia się zróżnicowanym czasem przyjścia i wielkością amplitud fal w tych skałach. Cechą charakterystyczną obrazów falowych w otworze K6, wspólną dla każdego typu litologii, jest obecność wysokoamplitudowego i krótkotrwałego pakietu falowego, występującego na czasach odpowiadających w przybliżeniu fali w płuczce i fali Stoneleya. Pakiet ten zaznacza się na obrazach falowych charakterystycznym pasem, występującym w stałym przedziale czasu dla całego interwału pomiarowego. W anhydrytach: A3d, A2d, A1g, dolomicie głównym Ca2 i piaskowcach P-ce, trwa on około 16 µs. W poziomach: Ca2, A1g oraz P-ce, tuż za nim często pojawia się drugi, bardzo podobny pakiet o niższych amplitudach. Oba pakiety trwają razem około 3-4 µs. W solach Na3 i Na2 wysokoamplitudowy pakiet trwa również 3-4 µs, ale nie rozdziela się na dwie części. Ma charakter pojedynczego pakietu falowego i dominuje na całym obrazie falowym. W poziomie wapienia cechsztyńskiego Ca1 jest bardzo rozmyty i zaburzony. Obserwowany pakiet wysokoamplitudowy można wiązać z falą w płuczce lub z falą Stoneleya. Za tym, że jest to fala w płucze przemawiają pewne cechy tego pakietu, które nie zgadzają się z opisem fali Stoneleya podawanym w literaturze. Przede wszystkim pakiet ten jest bardzo wyraźny w solach, w których występują ogromne wymycia znacznie powiększające średnicę otworu. Wysokie amplitudy fali Stoneleya mogą być obserwowane w przypadku przeciwnym, tj. wtedy, gdy średnica rzeczywista otworu jest mała, czyli gdy sonda znajduje się blisko ścianki otworu. Dodatkowo, nadajnik sondy LSS emituje sygnały wąskopasmowe i wysokoczęstotliwościowe. Wtedy fala Stoneleya powinna mieć niewielkie amplitudy i oscylacyjny charakter (rys. 3.8). Przyjmując, że jest to fala w płuczce, można obliczyć prędkość na podstawie czasu przyjścia oraz znanej drogi propagacji (odległości nadajnikodbiornik). Wynosi ona około 175 m/s. Prędkość fali w płuczce dla standardowych płuczek wiertniczych to m/s (Serra i Serra 24). W otworze K6 płuczka ma wysokie zasolenie, co mogło spowodować zwiększenie prędkości propagacji fali do wartości 175 m/s. Tak wysoka wartość prędkości jest mało prawdopodobna dla fali Stoneleya. Za drugą opcją, tzn. że jest to fala Stoneleya, świadczyć może lekko zmienny czas przyjścia oraz zmieniająca się z litologią długość trwania pakietu. Fala biegnąca w płuczce nie powinna być wrażliwa na zmiany średnicy w otworze ani litologię. Akustyczne obrazy falowe zarejestrowane w solach wyróżniają się spośród zapisów falowych w całym interwale głębokościowym bardzo niewielkimi amplitudami fal sprężystych, za wyjątkiem 52

60 4. Dane pakietu wysokoamplitudowego. Taki charakter sygnałów ma związek z ogromnym powiększeniem średnicy: w solach młodszych Na3 sięgającym 47 mm, w solach starszych Na2 nawet do 65 mm (średnica nominalna otworu wynosi 216 mm). W utworach: A3d, A2d, Ca2, A1g oraz P-ce, akustyczne obrazy falowe mają podobny charakter. Fala P ma niewielkie amplitudy, a fala S zaznacza się wyraźnym zwiększeniem amplitud. Poziom wapienia cechsztyńskiego charakteryzuje się bardzo skomplikowanymi i zaburzonymi obrazami falowymi. Przyczyną dużych zmian własności sprężystych wpływających na charakter rejestrowanych obrazów falowych jest nasycenie gazem Podział akustycznych obrazów falowych na strefy odpowiadające skałom o różnych własnościach sprężystych i zbiornikowych Akustyczne obrazy falowe w otworze K6 zostały podzielone na strefy odpowiadające różnym typom skał. Podział został wykonany w oparciu o szczegółowe dane litostratygraficzne oraz cechy kinematyczne i dynamiczne obrazów falowych widoczne na wykresach czasowo-głębokościowoamplitudowych. Pozostałe profilowania geofizyki wiertniczej, w szczególności: profilowanie średnicy PŚr, gęstości RHOB i promieniowania gamma PG, wykorzystano jako dodatkową informację pozwalającą na precyzyjne postawienie granic. Granice te wyznaczono na tych samych głębokościach dla obrazów wf1, wf2, wf3 i wf4. Podział otworu na strefy wykonany w oparciu o cechy obrazów falowych pokrywa się z granicami litostratygraficznymi. Dodatkowo, w poziomie Na3 wydzielono dwie warstwy: wkładkę 1 i wkładkę 2, które wyróżniają się większymi amplitudami oraz wcześniejszym przyjściem fal P i S do odbiorników. Ponieważ w tym odcinku otworu nie wykonano kompletu pomiarów geofizyki wiertniczej, trudno jest określić litologię wkładek na podstawie tylko profilowania średnicy i akustycznych obrazów falowych. Poziom wapienia cechsztyńskiego Ca1 został szczegółowo podzielony na 1 stref (Ca1_- Ca1_9) na podstawie zmienności cech kinematycznych i dynamicznych obrazów falowych wywołanej obecnością gazu w przestrzeni porowej. Rysunek 4.2 przedstawia profilowania geofizyki wiertniczej i akustyczne obrazy falowe zestawione razem z rozwiązaniem litologicznym (Gądek et al. 22) wraz z naniesionymi granicami podziału (tab. 4.1). Na rysunku 4.3 przedstawiono wybrane sygnały z różnych litologii. 53

61 4. Dane Rys. 4.2 Wybrane profilowania geofizyki otworowej wykonane w otworze K6 wraz z rozwiązaniem litologicznym i nasyceniem przestrzeni porowej (plik: Rys. 4.2 Profilowania wykonane w K6 z rozw. litologicznym.cdr) 54

62 4. Dane amplituda Na3_1 A3d Na2 A2d Ca2 A1g Ca1_3 Ca1_5 Ca1_8 Ca1_9 P-ce -6,8 1,6 2,4 3,2 4, [ms] Rys. 4.3 Przykładowe akustyczne obrazy falowe z wybranych litologii. Rysunek przedstawia sygnały testowe (rozdz. 5.1) po wstępnym przetwarzaniu przygotowującym obrazy falowe do analiz czasowo-częstotliwościowych (rozdz ) 55

63 4. Dane Przygotowanie danych do analiz czasowo-częstotliwościowych Materiał badawczy z otworu K6 obejmował cztery obrazy falowe wf1-wf4, zarejestrowane na odcinku 368,35 m z krokiem pomiarowym,1524 m (,5 stopy). W sumie dysponowano 9668 pojedynczymi przebiegami falowymi. Akustyczne obrazy falowe (wraz z kilkoma innymi profilowaniami) zapisane były oryginalnie w pliku binarnym *.nti, w standardowym formacie zapisu danych geofizyki wiertniczej LIS (ang. Log Information Standard). W celu przeprowadzenia analiz czasowo-częstotliwościowych dane pomiarowe wymagały wstępnego przetwarzania. Kolejne etapy przygotowania danych obejmowały: Zapisanie akustycznych obrazów falowych w postaci plików ASCII. Wyzerowanie bitów synchronizacji i bitów wzmocnienia. Skrócenie sygnałów do 124 próbek. Standaryzację. Zapisanie akustycznych obrazów falowych do plików ASCII wykonano za pomocą aplikacji FalaWin w systemie Geowin (Jarzyna et al. 21) oraz programu wave2txt.exe (Wawrzyniak i Olesiński 21). Pierwszy program odczytuje z pliku *.nti akustyczne obrazy falowe i przechowuje je w tymczasowych plikach binarnych. Program wave2txt.exe umożliwia zapisanie tych plików w formacie ASCII. Na początku każdego obrazu falowego (rekordu) zapisywana jest informacja o wzmocnieniu oraz dołączane są tzw. bity synchronizacji odnoszące się do czasu emisji sygnału z nadajnika. Te informacje wyzerowano, aby nie były przedmiotem przeprowadzonych analiz czasowoczęstotliwościowych. Akustyczne obrazy falowe rejestrowane sondą LSS mają długość 11 próbek. Sygnały skrócono do 124 próbek, usuwając fragment z końca, nie zawierający już informacji geologicznej. Operacja miała na celu zwiększenie efektywności obliczeń numerycznych analiz czasowoczęstotliwościowych opartych na algorytmach bazujących na potędze dwójki. Ostatnim etapem przygotowania danych była standaryzacja amplitud każdego obrazu falowego według wzoru: gdzie: Amp Amp std amplitudy akustycznego obrazu falowego po standaryzacji, Amp i amplituda obrazu falowego dla i-tej próbki, Amp średnia arytmetyczna amplitud całego obrazu falowego, n 1 i= 1 n ( Amp i Amp) std Ampi Amp = (4.1) δ 1 2 δ = odchylenie standardowe obliczone dla akustycznego obrazu falowego, 56

64 4. Dane n ilość próbek akustycznego obrazu falowego. Sygnały po standaryzacji mają średnią równą zero i wariancję równą jeden. Przykład sygnału surowego i po procesie wstępnego przetwarzania przedstawia rysunek 4.4. a) 2 1 b) amplituda amplituda ,4 2,8 3 1,2 4 1,6 5 6 nr próbki 2, 2,4 [ms] 7 2,8 8 3,2 9 3,6 1 4, 11 4,4-6 1,4 2,8 3 1,2 4 1,6 5 6 nr próbki 2, 2,4 [ms] 7 2,8 8 3,2 9 3,6 1 4, 11 4,4 Rys. 4.4 Sygnał oryginalny (a) i przygotowany do analiz czasowo-częstotliwościowych (b) (obraz falowy wf1, rekord 15, A1g). Przygotowanie polegało na zapisaniu sygnałów w plikach ASCII, wyzerowaniu bitów wzmocnienia i synchronizacji na początku sygnału, skróceniu do 124 próbek oraz standaryzacji 57

65 Rozdział 5 Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych z zastosowaniem wybranych metod czasowo-częstotliwościowych 5.1 Parametry sygnałów syntetycznych oraz sygnały testowe W celu przeprowadzenia testów metod czasowo-częstotliwościowych, oceny ich możliwości i efektywności w analizie obrazów falowych, skonstruowano syntetyczną parę wf1_synt-wf3_synt oraz wybrano kilkanaście sygnałów testowych, zarejestrowanych w różnych typach litologicznych. Oba syntetyczne obrazy falowe zostały zbudowane z trzech składowych symulujących fale P, S i Stoneleya. Przyjęto, że fala P_synt ma największą prędkość, najwyższą częstotliwość oraz najmniejsze amplitudy, fala S_synt mniejszą prędkość, niższą częstotliwość i wyższe amplitudy, fala Stoneleya St_synt ma najniższą prędkość, najniższą częstotliwość oraz najwyższe amplitudy. Obraz falowy wf3_synt, reprezentujący sygnał rejestrowany dalszym odbiornikiem, ma w stosunku do obrazu wf1_synt niższe amplitudy. Szczegółowe parametry sygnałów syntetycznych umieszczono w tabeli 5.1. Na rysunku 5.1 przedstawiono skonstruowane obrazy wf1_synt i wf3_synt. Sygnały testowe zostały wybrane z rzeczywistych danych, po jednym z każdego typu litologicznego w otworze K6, tak aby mieć możliwość oceny działania stosowanych metod czasowoczęstotliwościowych w skałach o różnych własnościach sprężystych i zbiornikowych. Kilka wybranych sygnałów testowych przedstawiono na rysunku 4.3. Na rysunkach obrazujących wyniki danej metody na przykładzie pojedynczego obrazu falowego zawsze wykorzystywano ten sam sygnał: obraz wf1 zarejestrowany w litologii A1g (anhydryt górny) na głębokości 2238,6 m (rekord 15). 58

66 Dzięki temu umożliwiono prześledzenie i porównanie działania każdej z prezentowanych metod na przykładzie tego samego sygnału. Tabela 5.1 Parametry sygnałów syntetycznych: f częstotliwość, V prędkość fali, T czas przyjścia fali do odbiornika, Amp amplituda (w jednostkach umownych). Czas przyjścia fali obliczono w oparciu o założoną prędkość danej fali oraz odległość nadajnik odbiornik, wynoszącą dla wf1_synt 2,438 m (8 stóp) oraz dla wf3_synt 3,48 m (1 stóp) wf1_synt wf3_synt Fala f V [m/s] T [ms] Amp T [ms] Amp P_synt 18 32,87,2,997,15 S_synt ,35,5 1,679,4 St_synt ,823,8 2,274,65 a) b),4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -,4 Pwf1_synt Swf1_ synt Stwf1_synt wf1_synt Pwf3_synt Swf3_ synt Stwf3_synt wf3_synt,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys. 5.1 Para obrazów falowych złożona z syntetycznych sygnałów wf1_synt (a) i wf3_synt (b). Syntetyczne obrazy falowe zostały zbudowane ze składowych symulujących fale P, S i Stoneleya 59

67 5.2 Analiza składu częstotliwościowego akustycznych obrazów falowych za pomocą transformaty Fouriera Analizy czasowo-częstotliwościowe są doskonałą metodą badania sygnałów, pod warunkiem, że ich składowe różnią się pod względem czasu występowania oraz częstotliwości. Fale tworzące akustyczne obrazy falowe są zróżnicowane pod względem czasu rejestracji, ponieważ rozchodzą się z różnymi prędkościami po podobnej drodze. Zróżnicowanie częstotliwościowe nie jest tak oczywiste i wymagało dokładniejszego sprawdzenia. Stosowne obliczenia wykonano w programie Matlab. Na rysunku 5.2a przedstawiono widma amplitudowe pary obrazów falowych zarejestrowanych w anhydrycie górnym A1g. Na widmie widoczne są charakterystyczne piki. Z pomocą aplikacji FalaWin w systemie Geowin (Jarzyna et al. 21) sprawdzono, że nie można ich bezpośrednio powiązać z falami P, S i Stoneleya. Wykorzystanie filtrów (dolnoprzepustowego, trapezowego przepustowego i górnoprzepustowego) oraz odwrotnej transformaty Fouriera pozwoliło stwierdzić, że częstotliwości wokół których skoncentrowane są piki, obecne są na całym obrazie falowym, a nie pochodzą jedynie od poszczególnych pakietów falowych (rys. 5.2b). W celu efektywnego zastosowania analiz czasowo-częstotliwościowych istotne było rozpoznanie składu częstotliwościowego fal obecnych na akustycznych obrazach falowych. Badania miały odpowiedzieć na następujące pytania: Czy fale P i S różnią się między sobą pod względem składu częstotliwościowego? Na ile wyraźne jest zróżnicowanie częstotliwości (jeśli występuje)? Czy skład częstotliwościowy pakietów falowych zmienia się wraz z własnościami sprężystymi i zbiornikowymi skał oraz litologią? Analizę przeprowadzono dla obszarów obrazów falowych, które odpowiadają czasom trwania pakietów fali podłużnej i poprzecznej, pod kątem określenia przedziału częstotliwości dla fali P i S oraz częstotliwości najczęściej występujących w tych pakietach falowych w każdej z wydzielonych stref litologicznych. Częstotliwość tą określono jako częstotliwość charakterystyczną, aby nie mylić jej z inaczej definiowaną częstotliwością dominującą. Kolejne kroki analizy obejmowały: 1) Określenie czasów przyjścia i długości trwania fal P i S, jednakowych w każdej strefie litologicznej, osobno dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4 (rys. 5.3). 2) Wycięcie z akustycznych obrazów falowych pakietów falowych wg warunków określonych w punkcie 1). Tak spreparowane obrazy falowe poddano normalizacji do wartości [-1, 1] (rys. 5.4a). 3) Obliczenie widma mocy P(f) dla znormalizowanych pakietów P i S w każdym punkcie głębokościowym dla obrazów wf1, wf2, wf3 i wf4, a następnie znormalizowanie ich do wartości z zakresu [, 1] (rys. 5.4b) 6

68 a) S? widmo amp. wf1 widmo amp. wf3 filtr górnoprzepustowy (17 khz) St? P? b) wf1 wf3 sygnały po odwrotnej transformacie Fouriera Rys. 5.2 Widma amplitudowe (a) oraz przebiegi falowe (b) akustycznych obrazów falowych zarejestrowanych bliższym (kolor czerwony) i dalszym (kolor niebieski) rejestratorem. Skład częstotliwościowy obrazów falowych zawiera się w przedziale 5-2 khz. Na widmach zaznaczono wartość 2 khz będącą częstotliwością nadajnika w sondzie LSS (kolor oliwkowy). Powyżej tej wartości pojawiają się nieliczne i bardzo niewielkie piki częstotliwościowe. Są one wynikiem tego, że 2 khz jest częstotliwością środkową, a nie maksymalną sygnału emitowanego przez nadajnik. Widma mają charakterystyczne piki, którym próbowano przypisać poszczególne fale. Zakładając różne filtry (kolor zielony, rys. a) i obliczając odwrotną transformatę Fouriera, otrzymano przefiltrowane przebiegi akustycznych obrazów falowych (kolor oliwkowy, rys. b). W przedstawionym przykładzie zastosowany filtr miał sprawdzić, czy fali P odpowiada pik około 17 khz. Wyniki transformaty odwrotnej jasno wskazują, że te częstotliwości występują w całym obrazie falowym, a nie tylko w obszarze pakietu fali P 61

69 4) Wyznaczenie maksimów lokalnych na widmach mocy powyżej założonego progu i określenie częstotliwości, dla jakiej występują. 5) Wykonanie histogramów przedstawiających skład częstotliwościowy pakietów P i S i sporządzenie charakterystycznych rozkładów częstotliwości dla różnych typów skał (rys. 5.5). W obrębie każdej wcześniej wydzielonej strefy litologicznej odpowiadającej różnym rodzajom skał (tab. 4.1, rozdz ), określono obszary obrazów falowych, które odpowiadają czasom trwania pakietów fali podłużnej i poprzecznej. Wyznaczono czasy przyjścia i długość trwania pakietów dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4, przyjmując jednakowe wartości w każdej strefie. Kierowano się cechami dynamicznymi obrazów falowych: wielkością amplitud i tłumieniem. Założono, że pakiet fali S zaczyna się w miejscu, gdzie wyznaczono koniec fali P, natomiast kończy się w miejscu przyjścia pakietu wysokoamplitudowego. Takie założenie było wystarczające dla celów tej analizy, która miała dostarczyć zgrubne rozpoznanie składu częstotliwościowego. Wyznaczone czasy przyjścia i długości trwania pakietów dla wszystkich obrazów falowych przestawia rysunek 5.3. Czasy przyjścia i długość trwania fal zostały wykorzystane do wydzielenia pakietów P i S z każdego pojedynczego obrazu falowego. Następnie każdy pakiet falowy został przeskalowany do wartości z przedziału [-1, 1]. Przykład tak przygotowanych pakietów falowych przedstawia rysunek 5.4a. Kolejnym krokiem było obliczenie widma mocy za pomocą szybkiej transformaty Fouriera. Ponieważ analiza prowadzona była tylko w kierunku rozpoznania składu częstotliwościowego obszarów obrazów falowych odpowiadających pakietom fal P i S, uzasadnione było znormalizowanie każdego widma mocy do wartości [, 1] (rys. 5.4b). W wielu przypadkach widmo mocy było wielomodalne i nie można było określić jednej, najbardziej wyróżniającej się częstotliwości. Dlatego wyznaczono maksima lokalne widma mocy powyżej pewnego progu i określono, dla jakiej częstotliwości się pojawiły. Próg równy,4 zastosowano do określenia szerokości pasma częstotliwości pakietów P i S, natomiast próg,7 wykorzystano do wyznaczenia częstotliwości charakterystycznej. Następnie zliczono maksima lokalne w klasach o szerokości 2 khz. W wyniku otrzymano histogramy rozkładu częstotliwości fal P i S dla różnych typów skał. Rysunek 5.5 przedstawia histogramy wyznaczone dla progu równego,4. Analiza wykazała, że pakiety falowe P i S nieznacznie różnią się między sobą pod względem składu częstotliwościowego. Nie można oczekiwać występowania pojedynczych, charakterystycznych częstotliwości dla tych pakietów falowych. Jednak mimo niewielkiego zróżnicowania częstotliwości w obszarach ich występowania na obrazach falowych, histogramy układają się w charakterystyczne wzory częstotliwości dla każdego typu skał. W większości litologii zakres częstotliwości obu pakietów falowych zawiera się między 1 a 2 khz, ale maksima histogramów wyznaczonych dla fali S występują dla innych częstotliwości niż w przypadku fali P. Obecność gazu w skale skutkuje pojawieniem się niższych częstotliwości: 6-8 khz. Na podstawie histogramów wyznaczono szerokość pasma częstotliwości i częstotliwość charakterystyczną dla każdej z rozważanych litologii. Wyniki przedstawiono w tabeli

70 Rys. 5.3 Akustyczne obrazy falowe wf1, wf2, wf3, wf4 wraz z zaznaczonymi czasami przyjścia fal P (T P ), S (T S ) i pakietu wysokoamplitudowego (T pł/st ) w poszczególnych litologiach (plik: Rys. 5.3 AOF do analizy czestotliwosci.cdr) 63

71 Znormalizowany pakiet fali P Znormalizowany pakiet fali S amplituda amplituda 6 2,4 6 2,4 Znormalizowane widmo mocy fali P Znormalizowane widmo mocy fali S P(f) P(f) Rys. 5.4 Pakiety falowe P i S wydzielone z akustycznych obrazów falowych i znormalizowane do wartości z przedziału [-1, 1] (a). Widma mocy pakietów P i S znormalizowane do wartości z przedziału [, 1]. Na rysunku zaznaczono progi równe,4 i,7, powyżej których zliczane były maksima lokalne widm (b) Tabela 5.2 Zakresy częstotliwości i częstotliwość charakterystyczna (objaśnienie w tekście) fali P i S dla różnych typów litologicznych skał Litologia Sole Anhydryty Dolomity Piaskowce Wapień (Gaz) Wapień (Woda) Fala P S P S P S P S P S P S Zakres częstotliwości Częstotliwość charakter Wyniki analizy składu częstotliwościowego zaprezentowano na międzynarodowej konferencji Near Surface (Wawrzyniak 25b). 64

72 1 5 wkładka Ca1_ Na3_ Ca1_ wkładka Ca1_ Na3_ Ca1_ A3d Ca1_ T Ca1_ A2g Ca1_ Na Ca1_ A2d Ca1_ Ca Ca1_ A1g 1 P-ce fala P fala S Rys. 5.5 Histogramy składu częstotliwościowego pakietów P i S. Skala pionowa przedstawia częstość występowania danej częstotliwości na obrazach falowych. Szerokość klas histogramów wynosi 2 khz 65

73 5.3 Zastosowanie dyskretnej transformaty falowej Wprowadzenie Analizę akustycznych obrazów falowych pod kątem rozdzielenia pola falowego z wykorzystaniem metod czasowo-częstotliwościowych rozpoczęto od dyskretnej transformaty falowej DWT. W założeniach teoretycznych ten rodzaj transformaty falkowej jest efektywnym i wystarczająco dokładnym narzędziem pozwalającym na skuteczną analizę czasowo-częstotliwościową sygnałów, jednocześnie ograniczającym zbyteczną redundancję informacji. Dyskretna transformata falkowa zalecana jest szczególnie wtedy, gdy nie jest konieczna rekonstrukcja całego sygnału (Misiti et al ), tak jak ma to miejsce w tym przypadku. Analizy przeprowadzono z wykorzystaniem pakietu Wavelet Toolbox w programie Matlab. Efektywność dyskretnej transformaty falkowej jest wynikiem diadycznego skalowania, tzn. zmianie skali z potęgą dwójki: a = 2 j, gdzie parametr j jest poziomem dekompozycji (oktawą), pokrywającym ściśle określoną część pasma częstotliwościowego sygnału. Zakres badanych częstotliwości na każdym poziomie dekompozycji jest narzucony przez sposób realizacji dyskretnej transformaty falowej: iteracyjnej filtracji zespołem filtrów dolno- i górnoprzepustowych. Zależny jest on również od częstotliwości próbkowania sygnału (Polikar 1994). Na rysunku 2.1, przedstawiającym schemat realizacji DWT, przy każdym detalu podano odpowiadający mu przedział częstotliwości w [rad/s]. W tabeli 5.3 przeliczono je na uwzględniając krok próbkowania akustycznych obrazów falowych Badania na danych syntetycznych Badania na danych syntetycznych miały na celu zapoznanie się ze specyfiką dyskretnej transformaty falkowej oraz rozpoznaniem możliwości wykorzystania jej do wydzielenia fal użytecznych z obrazów falowych. Projektując sygnały syntetyczne częstotliwości syntetycznych fal składowych (P, S i Stoneleya) dobrano w taki sposób, aby wypadały one w przybliżeniu pośrodku przedziałów częstotliwości na poszczególnych poziomach dekompozycji. Dzięki temu fala P powinna być reprezentowana na detalu trzecim (tj. na trzecim poziomie dekompozycji), fala S na detalu czwartym, a fala Stoneleya na detalu piątym. Badania syntetyczne przeprowadzono na sygnale wf1_synt, który rozdzielono na pięć poziomów dekompozycji za pomocą kilku falek z rodzin: Daubechies, Symlet i Coiflet. W wyniku transformaty DWT otrzymano detale (D 1 -D 5 ) i aproksymację na najwyższym poziomie dekompozycji (A 5 ), które interpretowano pod kątem identyfikacji fal tworzących sygnał syntetyczny. Poszczególne fale składowe zostały odtworzone przez odpowiednie detale. Aproksymacja na poziomie piątym A 5 stanowi różnicę między sygnałem wf1_synt a sumą wszystkich detali (wzór (2.19)) i jest zgrubnym 66

74 przybliżeniem sygnału. Na rysunku 5.6 przedstawiono przykładową dekompozycję sygnału wf1_synt za pomocą falki Coiflet 5. Podobne wyniki otrzymano dla innych przetestowanych falek. Dyskretna transformata falkowa rozdzieliła sygnał syntetyczny na składowe reprezentowane na różnych detalach. Zgodnie z oczekiwaniami fala Stoneleya jest reprezentowana na detalu D 5, na detalu D 4 widoczna jest fala S, natomiast fala P występuje na D 3. Odwzorowanie składowych fal syntetycznych jest jednak niedokładne. Przed rzeczywistym pierwszym wstąpieniem fali występują niezerowe współczynniki DWT, co objawia się odtworzeniem na detalach nieistniejących w sygnale struktur. Na przykład na detalu D 4, przed pakietem fali S, występują współczynniki falkowe odpowiadające fali P. Podobnie jest dla D 5 : przed falą Stoneleya można zaobserwować współczynniki reprezentujące falę S. Natomiast na detalu D 2 reprezentowany jest składnik, który nie występuje w sygnale wf1_synt. Przypomina on kształtem, czasem przyjścia i czasem trwania falę P, lecz ma dużo niższe amplitudy oraz wyraźnie wyższą częstotliwość. Detal D 1 wskazuje miejsca pierwszego wstąpienia poszczególnych pakietów falowych, które zaznaczają się wyraźnym wzrostem współczynników falkowych. Dobrze widoczne jest to na mapie współczynników DWT (rys. 5.6b), której skalowanie i kodowanie kolorem zostało wykonane w obrębie jednej oktawy, a nie globalnie względem współczynników ze wszystkich poziomów dekompozycji. Wyraźne zaznaczenie pierwszych wstąpień na detalu D 1 jest wynikiem nagłej zmiany charakteru sygnału związanej z sumowaniem fal składowych o różnych częstotliwościach. Wrażliwość dyskretnej transformaty falkowej na tak subtelne zmiany w sygnale może być przydatna w wykrywaniu pierwszych wstąpień interferujących ze sobą fal na obrazach falowych. Za pomocą widma mocy otrzymanego z transformaty Fouriera zbadano również skład częstotliwościowy detali (rys. 5.6e). Pozwoliło to ocenić poprawność odtworzenia fal składowych na poszczególnych detalach. Częstotliwości detali D 4 i D 5 odpowiadają częstotliwościom fal S i Stoneleya. Natomiast detal D 3 ma nieoczekiwanie bardziej skomplikowany skład częstotliwościowy: oprócz częstotliwości odpowiadającej fali P (18 khz) na widmie mocy występują również dodatkowe maksima. Detal D 2 w całości przedstawia nieistniejącą strukturę. Przypomina falę P, ma jednak zupełnie inny skład częstotliwościowy: maksymalny pik na widmie odpowiada częstotliwości 42 khz. Reprezentowanie na detalach nieistniejących struktur zostało potwierdzone poprzez analizę bardzo prostego sygnału sinusoidalnego sin_13khz złożonego z pojedynczej częstotliwości 13 khz. Sygnał ten poddano takiej samej dekompozycji dyskretną transformatą falkową, jaką zastosowano do sygnału wf1_synt. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku 5.7. Sygnał sin_13khz, pomimo pojedynczej częstotliwości, jest reprezentowany na dwóch detalach: D 3 i D 2. Transformata Fouriera wykazała, że pojawiła się dodatkowa częstotliwość, która nie występuje w oryginalnym sygnale (rys. 5.7e). Na detalu D 3 dominuje częstotliwość 13 khz, ale pojawia się również nowa częstotliwość 18,3 khz. Detal D 2 składa się w głównej mierze z dodatkowej częstotliwości z niedużym udziałem częstotliwości 13 khz. 67

75 a),4 Pwf1_synt d) 1 P(f) P wf1_synt -,4,4 Swf1_synt P(f) 1 S wf1_synt -,4,4 St wf1_synt P(f) 1 St wf1_synt -,4,4 -,4 b) 5 oktawa wf1_synt współczynniki DWT falka Coiflet 5 skala a = 2, j = 1,..., 5 j P(f) 1 wf1_synt 1 2 khz skala kolorów współczynników DWT min max c),4 A 5 -,4,4 e) 1 D 5 P(f) D 5 -,4,4 1 D 4 P(f) D 4 -,4,4 1 D 3 P(f) D 3 -,4,1 -,1,1 -,1 D 2 P(f) 1 2 khz 1 D 25 5 khz 1,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] D 2 Rys. 5.6 Dekompozycja sygnału syntetycznego dyskretną transformatą falkową DWT. Sygnał syntetyczny wf1_synt (a) poddano transformacie falkowej DWT otrzymując rozkład współczynników falkowych (b) oraz odpowiadające mu detale D 1 -D 5 i aproksymację A 5 (c). Na widmach mocy P(f) przedstawiono skład częstotliwościowy sygnału syntetycznego i jego składowych (d) oraz detali D 2 -D 5 (e). Widma mocy zostały znormalizowane do zakresu [, 1]. Oś częstotliwości jest jednakowa dla wszystkich widm, za wyjątkiem widma dla detalu D 2. Detale D 3 -D 5 reprezentują odpowiednio syntetyczne fale P, S i Stoneleya. Detal D 2, choć przypomina falę P, ma od niej niższe amplitudy i znacznie wyższą częstotliwość (42 khz) 68

76 a) 1 sin_13khz d) 1 P(f) sin_13khz b) oktawa współczynniki DWT falka Coiflet 5 skala a = 2, j = 1,..., 5 j 1 2 khz skala kolorów współczynników DWT min max c) A 5 D D 4 D 3 e) 1 P(f) D 3 13 khz 18,3 khz -1 1 D 2 P(f) 1 D D khz -1,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys. 5.7 Dekompozycja sygnału sinusoidalnego sin_13khz dyskretną transformatą falkową DWT. Sinusoidalny sygnał syntetyczny o częstotliwości 13 khz (a) został poddany dekompozycji falkowej (b, c), identycznej z dekompozycją sygnału wf1_synt przedstawioną na rysunku 5.6. Pojedyncza częstotliwość 13 khz sygnału została sztucznie rozdzielona na dwa detale: D 2 i D 3. Widma mocy P(f) sygnału oryginalnego (d) oraz obu detali (e) ujawniają ich skład częstotliwościowy. Wyraźnie widać, że pojawiła się dodatkowa, nieistniejąca w oryginalnym sygnale częstotliwość 18,3 khz Analiza sygnałów syntetycznych ujawniła negatywny aspekt dyskretnej transformaty falowej w zagadnieniu identyfikacji i wydzielenia fal z akustycznych obrazów falowych. Dyskretna dekompozycja falkowa wprowadza zakłócenia w postaci częstotliwości, które nie występują w analizowanym sygnale. Jest to związane ze stosowaniem filtrów dolno- i górnoprzepustowych, tworzących zespół kwadraturowych filtrów lustrzanych QMF. Wykorzystywane filtry górnoprzepustowe, odpowiadające za tworzenie detali, odbijają częstotliwość danej składowej 69

77 sygnału od granicy przedziału częstotliwości określonego dla danej oktawy, a następnie odzwierciedlają ją na sąsiednim poziomie dekompozycji (informacja na podstawie zainicjowanego przez autorkę wątku na grupie dyskusyjnej Wavelet forum). W znaczący sposób komplikuje to analizę pola falowego za pomocą dyskretnej transformaty falowej. a) b) oktawa c),2 -,2,6 -, ,2 -,2,2 -,2 Para obrazów falowych wf1-wf3 (anhydryt górny A1g) krok próbkowania t = 4 µ s 4 wf1 wf3 En = 1% En = 1% -4 współczynniki DWT falka Coiflet współczynniki DWT falka Coiflet 5 j j skala a = 2, j = 1,..., 5 3 skala a = 2, j = 1,..., A 5 En =,4% D 5 En = 1,18% D 4 En = 65,8% D 3 En = 32,54% D 2 En =,8% D 1 oktawa 4,2 A 5 En = 2,4% -4 -,2 4,6 D 5 En = 1,94% -4 -,6 4 4 D 4 En = 52,19% D 3 En = 43,71% ,2 D 2 En =,12% -4 -,2 4,2 En =,% En =,% -4,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, -,2-4,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] skala kolorów współczynników DWT [ms] D min max Rys. 5.8 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych z krokiem 4 µs. Para obrazów falowych (a) została poddana transformacie DWT. Otrzymano współczynniki falkowe (b) oraz odpowiadające im detale D 1 -D 5 i aproksymację na poziomie piątym A 5 (c). Detale i aproksymacje przedstawiono w skali pionowej dostosowanej do maksymalnych amplitud (na granatowo) oraz w skali identycznej ze skalą sygnałów wf1 i wf3 (na zielono). Na rysunku zaznaczono również ilość energii całkowitej sygnału, jaką reprezentuje dany detal lub aproksymacja. Prawie 1% energii obrazów falowych reprezentowane jest na trzecim i czwartym poziomie dekompozycji. Na detalach nie obserwuje się rozdzielenia fal akustycznych 7

78 5.3.3 Badania na danych rzeczywistych Pomimo mało obiecujących wyników na danych syntetycznych przeprowadzono badania również na danych rzeczywistych. Analizę wykonano na pięciu poziomach dekompozycji za pomocą falek z rodzin: Daubechies (db3-db1), Symlet (sym4-sym7) i Coiflet (coif2-coif5). Do obliczeń wzięto wybrane sygnały testowe, zarejestrowane w różnych litologiach. Wyniki dyskretnej transformaty falkowej (detale i aproksymacje) próbowano interpretować pod kątem identyfikacji i wydzielenia pakietów fal akustycznych. Na detalach i aproksymacjach nie można było wskazać w sposób jednoznaczny czasów przyjścia oraz długości trwania poszczególnych fal. Żadna z przetestowanych falek, pomimo różnych własności (tj. różnej długości nośnika i częstotliwości środkowej) nie umożliwiła rozdzielenia pola falowego na poszczególne fale. Przykładowe wyniki dekompozycji pary obrazów falowych wf1-wf3 zarejestrowanej w anhydrycie górnym A1g przedstawiono na rys Kolejną możliwą przyczyną niepowodzenia (oprócz tej omówionej w poprzednim podrozdziale, tj. odtwarzanie nieistniejących częstotliwości) była niedostateczna rozdzielczość częstotliwościowa analizy. Akustyczne obrazy falowe są próbkowane z krokiem 4 µs, co daje częstotliwość próbkowania f s = 25 khz i częstotliwość Nyquista f max = 125 khz. Oznacza to, że zakres badanych częstotliwości przez DWT wynosi -125 khz. Jest to przedział stanowczo za szeroki, gdyż sygnały rejestrowane sondą LSS mają częstotliwości między 5 a 2 khz. W konsekwencji ten zakres częstotliwości fal sprężystych był reprezentowany na trzecim i czwartym poziomie dekompozycji (rys. 5.8). Natomiast poziomy pierwszy i drugi, charakteryzujące się najlepszą rozdzielczością w lokalizacji wysokich częstotliwości w domenie czasu, były zarezerwowane dla nieobecnych w oryginalnym sygnale częstotliwości rzędu od kilkudziesięciu do 125 khz. Metodą na zawężenie badanego przez DWT pasma częstotliwości było zmniejszenie częstotliwości próbkowania sygnału. Krok próbkowania obrazów falowych zmieniono z 4 µs na 12 µs, uzyskując częstotliwość próbkowania równą f s = 83,3 khz i zawężenie pasma częstotliwości analizowanych przez dyskretną transformatę falkową do f max = 41,65 khz. Dzięki tej operacji zakres częstotliwości akustycznych obrazów falowych został przeniesiony na drugi i trzeci poziom dekompozycji (tab. 5.3). Po zmianie kroku próbkowania sygnału i przeniesieniu informacji o częstotliwościach fal sprężystych do poziomów bardziej rozdzielczych w domenie czasu, podjęto próbę identyfikacji fal sprężystych na detalach i obliczenia czasów interwałowych DTP_DWT i DTS_DWT. Wybrano odpowiednie pary obrazów falowych według schematu umożliwiającego obliczenie czasów interwałowych. Przeprowadzono na nich dyskretną transformatę falkową, stosując te same falki jak dla wcześniejszej analizy ( t = 4 µs). Na otrzymanych detalach D 1 -D 5 próbowano zidentyfikować fale P, S oraz Stoneleya i wyznaczyć ich czasy pierwszego wstąpienia kierując się cechami dynamicznymi fal. Fala P była najlepiej widoczna zwykle na detalu D 2, fala S występowała jednocześnie na detalach D 2 i D 3. Na detalu D 4 można było wyróżnić pakiet falowy o niższych częstotliwościach zaczynający 71

79 się w obszarze pakietu wysokoamplitudowego. Detal D 1 miał inny charakter niż w przypadku danych syntetycznych. Nie można było na nim wskazać czasów przyjścia poszczególnych fal akustycznych. Przebieg D 1 przypomina kształtem sygnał oryginalny, lecz ma dużo niższe amplitudy i wyższe częstotliwości. Dekompozycję DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, tej samej, którą zaprezentowano na rysunku 5.8, lecz ze zmienionym krokiem próbkowania, przedstawiono na rysunku 5.9. Tabela 5.3 Zakres badanych częstotliwości na kolejnych poziomach dekompozycji DWT w [rad/s] (Polikar 1994) oraz w dla sygnałów próbkowanych z krokiem 4 µs oraz 12 µs. f s jest częstotliwością próbkowania, f max oznacza częstotliwość Nyquista (maksymalna częstotliwość wynikającą z częstotliwości próbkowania, która może występować w sygnale) Detal Zakres częstotliwości [rad/s] t = 4 µs f s = 2π rad/s f max = π rad/s f s = 25 khz f max = 125 khz Zakres częstotliwości t = 12 µs f s = 2π rad/s f max = π rad/s f s = 83,3 khz f max = 41,65 khz Zakres częstotliwości D 1 π/2-π 62, D 2 π/4-π/2 31,25-62,5 1,5-24 D 3 π/8-π/4 15,63-31,25 5,25-1,5 D 4 π/16-π/8 7,81-15,63 2,63-5,25 D 5 π/32-π/16 3,9-7,81 1,31-2,63 W oparciu o wyznaczone na detalach czasy proste poszczególnych fal wyliczono czasy interwałowe. Wyniki porównywano z czasami interwałowymi otrzymanymi innymi metodami: z odpowiednim aparaturowym czasem interwałowym DT8 lub DT1, DT_Semb obliczonym w oparciu o funkcję semblance oraz DT_pikow wyznaczonym przez ręczne pikowanie pierwszych wstąpień na oryginalnych rejestracjach (oba obliczenia wykonano w aplikacji FalaWin w systemie Geowin (Jarzyna et al. 21)). Przykłady wyników dla przykładowej pary wf1-wf3 z anhydrytu górnego, przedstawiono w tabeli 5.4. Czasy interwałowe uzyskane w wyniku dekompozycji DWT charakteryzują się dużą zmiennością i różnią się od tych, które uzyskano innymi metodami. Tabela odzwierciedla trudności w rozpoznaniu poszczególnych pakietów falowych i wskazaniu ich jednoznacznie na detalach. Zmiana częstotliwości próbkowania sygnału nie przyniosła oczekiwanego rozdzielenia pola falowego na osobnych detalach. Fale P i S obserwowane były wprawdzie na bardziej rozdzielczych poziomach dekompozycji, tj. na D 2 i D 3, ale w dalszym ciągu były to dwa detale. Niskoczęstotliwościowy pakiet falowy obecny na detalu D 4 w bardzo wielu przypadkach rozpoczynał 72

80 się znacznie wcześniej niż pakiet wysokoamplitudowy i nie można go było jednoznacznie zidentyfikować ani jako fali Stoneleya ani jako fali w płuczce. a) b) oktawa c),1 -,1,5 -,5,5 -, ,1 -,1 Para obrazów falowych wf1-wf3 (anhydryt górny A1g) krok próbkowania t = 12 µ s 4 wf1 wf3 En = 1% En = 1% -4 współczynniki DWT falka Coiflet współczynniki DWT falka Coiflet 5 j j skala a = 2, j = 1,..., 5 3 skala a = 2, j = 1,..., A 5 En =,4% D 5 En =,3% D 4 En = 1,93% D 3 En = 61,85% D 2 En = 36,3% D 1 oktawa 4,1 A 5 En =,33% -4 -,1 4,5 D 5 En =,9% -4 -,5 4,5 D 4 En = 1,93% -4 -,5 4 4 D 3 En = 74,56% D 2 En = 23% ,1 En =,12% En =,9% -4,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, -,1-4,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] skala kolorów współczynników DWT [ms] D min max Rys. 5.9 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych ze zmienionym krokiem równym 12 µs. Para obrazów falowych z anhydrytu górnego A1g po zmianie kroku próbkowania (a) została poddana transformacie DWT. Otrzymano współczynniki falkowe (b) oraz odpowiadające im detale D 1 -D 5 i aproksymację na poziomie piątym A 5 (c). Detale i aproksymacje przedstawiono w skali pionowej dostosowanej do maksymalnych amplitud (na granatowo) oraz w skali identycznej ze skalą sygnałów wf1 i wf3 (na zielono). Na rysunku zaznaczono również ilość energii całkowitej sygnału, jaką reprezentuje dany detal lub aproksymacja. Podobnie jak na rysunku 5.8, prawie 1% energii obrazów falowych reprezentowane jest na dwóch detalach: drugim (En=36.3%) i trzecim (En=61.85%). Pomimo przeniesienia informacji o rzeczywistym zakresie częstotliwości obrazów falowych do bardziej rozdzielczych w domenie czasu poziomów dekompozycji, nie udało się rozdzielić pola falowego na poszczególne fale akustyczne 73

81 Tabela 5.4 Przykłady czasów interwałowych dla fali P i S uzyskane różnymi metodami dla pary wf1-wf3, prezentowanej na rysunku 5.9. Falę P identyfikowano na detalu drugim, falę S identyfikowano na dwóch detalach: drugim i trzecim. Wyniki czasów interwałowych otrzymanych po dekompozycji DWT są bardzo rozbieżne i obrazują trudności jednoznacznego wskazania fal P i S na detalach Metoda DTP [µs/m] DTS [µs/m] DT8 173 Funkcja semblance Ręczne pikowanie pierwszych wstąpień DWT db5 D DWT db8 D DWT sym5 D DWT sym7 D DWT coif3 D DWT coif5 D D 2 D 3 D 2 D 3 D 2 D 3 D 2 D 3 D 2 D 3 D 2 D Przyczyny negatywnych wyników dyskretnej transformaty falkowej leżą w samej naturze tej metody. DWT ma zbyt niską rozdzielczość pod względem rozróżnienia częstotliwości w sygnale, aby można było ją zastosować do rozdzielenia pola falowego akustycznych obrazów falowych. Skład częstotliwościowy fal P i S, zgrubnie określony w rozdziale 5.2, obejmuje głównie częstotliwości z zakresu 1-2 khz. Zakres ten jest badany przez detal trzeci i czwarty dla t = 4 µs oraz drugi i trzeci dla t = 12 µs. Dodatkowo, zwiększenie kroku próbkowania spowodowało nieuniknioną utratę części informacji zawartej w oryginalnych rejestracjach oraz zwiększyło błąd wyznaczenia czasu interwałowego z 6,5 µs/m (dla oryginalnych obrazów falowych) do 19,67 µs/m (dla obrazów ze zmienionym krokiem próbkowania). Opis badań został opublikowany w kwartalniku Geologia (Wawrzyniak 25a) oraz przedstawiony na konfercjach GEOPETROL (Wawrzyniak 24) oraz Near Surface (Wawrzyniak 25c). Publikacje te obejmują również wyniki zastosowania ciągłej transformaty falkowej, przedstawione w rozdziałach

82 5.4 Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej Wprowadzenie Ciągła transformata falkowa CWT oblicza współczynniki falkowe dla każdej wartości skali, w przeciwieństwie do transformaty DWT, gdzie skala zmieniana jest z potęgą dwójki. W teorii zmiana skali następuje od + do - w sposób ciągły (wzór (2.14)). W praktyce, na komputerach obliczana jest dyskretna postać ciągłej transformaty falkowej, w której skala zmieniana jest w określonym przedziale z niewielkim, zadanym przez interpretatora, krokiem (Polikar 1994, Misiti et al ). Ciągła transformata falkowa generuje dużą ilość nadmiarowej informacji, lecz dzięki redundancji daje zwykle łatwiejsze do interpretacji wyniki. Wzmacnia także słabe cechy sygnału, czyniąc je bardziej czytelnymi dla interpretatora. Ciągła transformata falkowa jest zalecana, gdy ilość danych oraz czas obliczeń jest mniej istotny od czytelności wyników i łatwości interpretacji (Misiti et al ). Badania wykonano z wykorzystaniem pakietu Wavelet Toolbox w programie Matlab. Analizowane akustyczne obrazy falowe charakteryzują się zbyt słabym zróżnicowaniem częstotliwościowym, aby dyskretna transformata falkowa potrafiła rozróżnić poszczególne fale. Dlatego zastosowano ciągłą transformatę falkowej, w której skala zmienia się z dowolnym krokiem. W wyniku otrzymano rozkłady współczynników CWT (skalogramy) na płaszczyźnie czas skala, a nie pojedyncze detale i aproksymacje Skala a częstotliwość w ciągłej transformacie falkowej Istotnym zagadnieniem tej części badań było powiązanie skali z częstotliwością. Charakterystyczną cechą transformaty falkowej jest przedstawienie sygnałów w domenie czas skala. Istnieje zależność między skalą a częstotliwością, ale w przypadku falek należy mówić raczej o pseudoczęstotliwości odpowiadającej danej skali. Jest ona dana następującą relacją (Misiti et al ): f a = fc a t (5.1) gdzie: f a pseudoczęstotliwość (częstotliwość środkowa falki dla skali a) [Hz], f c częstotliwość środkowa falki (wyznaczana dla falki podstawowej, tj. a = 1) [Hz], a skala [1/s], t krok próbkowania sygnału w czasie [s]. Częstotliwość środkowa falki odpowiada częstotliwości dominującej falki i odzwierciedla jej główne oscylacje (rys. 5.1). f c wyznaczana jest jako częstotliwość maksimum widma amplitudowego falki podstawowej. Pseudoczęstotliwość należy rozumieć jako częstotliwość sygnału okresowego, o okresie równym 1/f c. Kiedy falka jest skalowana (rozciągana lub ściskana), częstotliwość środkowa zmienia 75

83 się i wynosi f c /a. Dodatkowo uwzględnia się krok próbkowania sygnału t, dzięki czemu uzyskuje się powiązanie skali a z częstotliwością dla konkretnego sygnału Częstotliwość środkowa podstawowej falki Morleta f c =,8125 Hz Rys. 5.1 Podstawowa falka Morleta (na zielono) i sygnał okresowy o częstotliwości równej częstotliwości środkowej falki (na granatowo). Częstotliwość środkowa falki f c odzwierciedla jej główne oscylacje. Jest tożsama z pseudoczęstotliwością falki dla skali a = 1, tj. falki podstawowej. Pseudoczęstotliwość należy rozumieć jako częstotliwość sygnału okresowego o okresie równym 1/f c W prowadzonych badaniach przeliczono skale na pseudoczęstotliwość dla różnych falek: Meyera, Morleta, Gaussa 5 oraz falek z rodzin: Daubechies (db3-db1), Symlet (sym4-sym7) i Coiflet (coifcoif5). Rysunek 5.11 przedstawia relację skala częstotliwość środkowa falki (pseudoczęstotliwość) na przykładzie falki Morleta. Z uwagi na to, że w dziedzinie częstotliwości widma falek nakładają się, wykonano także analizę widm amplitudowych falek (rys. 5.12). Analizując związek częstotliwości ze skalą, szerokość widm amplitudowych falek, ilość współczynników falkowych oraz niewielkie zróżnicowanie częstotliwości między pakietami falowymi, przyjęto dla każdej z falek skalę z przedziału [1, 64] zmieniającą się z krokiem równym jeden. Takie granice obejmują z zapasem interesujące częstotliwości z punktu widzenia analizy fal sprężystych generowanych w otworze sondą LSS i pozwalają na porównanie otrzymanych skalogramów. 76

84 f a skala Rys Zależność między skalą i częstotliwością środkową skalowanej falki Morleta f a (pseudoczęstotliwością), obliczona dla akustycznych obrazów falowych próbkowanych z krokiem 4 µs Ψ( f ) 65 a = 1 6 a = 32 a = 11 a = a = częstotliwość a = 13 a = 14 a = 15 a = 16 a = 17 a = 18 a = 19 a = 2 a = 21 a = 22 a = 23 a = 24 a = 25 a = 26 a = 27 a = 28 a = 29 a = 3 a = 31 a = 32 Rys Widma amplitudowe falek Moleta zastosowanych do analizy akustycznych obrazów falowych próbkowanych z krokiem 4 µs (przedstawiono widma dla skal z zakresu [1, 32]) 77

85 5.4.3 Badania na danych syntetycznych Badania syntetyczne wykonano w celu zapoznania się ze specyfiką metody i oceny możliwości wykorzystania jej w analizie akustycznych obrazów falowych. Analizę CWT przeprowadzono na sygnale wf1_synt za pomocą falki Morleta, dla skal z zakresu [1, 64] i krokiem zmieniany skali równym jeden. Wyniki dekompozycji sygnału wf1_synt przedstawia rysunek Współczynniki ciągłej transformaty falkowej można traktować jako miarę korelacji falki z sygnałem. Tam, gdzie współczynniki mają duże wartości, podobieństwo falki i sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości jest duże. Skalogram, będący rozkładem współczynników CWT na płaszczyźnie czas skala (częstotliwość) ma grzbiety układające się równolegle wzdłuż osi skali (częstotliwości) (rys. 5.13b, c). Jest to wynik falowego charakteru współczynników falkowych (rys. 5.14). Dlatego też skalogramy najlepiej jest przedstawić jako wartości bezwzględne współczynników CWT, dzięki czemu wyraźnie widać, które współczynniki dobrze korelują się z elementami sygnału. Analiza przedstawionej dekompozycji sygnału syntetycznego ciągłą transformatą falkową pozwala dokonać istotnych obserwacji na temat wykorzystania tej metody do analizy obrazów falowych. Na skalogramie można z łatwością wskazać poszczególne fale składowe, lecz informacja ta jest rozmyta. Zmniejszenie rozdzielczości w domenie czasu dla niskich częstotliwości (wysokich wartości skali) ogranicza przede wszystkim prawidłowe wskazanie czasu przyjścia fali Stoneleya: współczynniki falkowe rozszerzają się w formie wachlarza wraz ze wzrostem numeru skali, wskazując na coraz wcześniejszy czas przyjścia fali. Natomiast rozmycie wzdłuż osi skali (częstotliwości) jest większe dla małych wartości skali (wysokich częstotliwości). Z tego powodu najmniej dokładnie określona jest częstotliwość fali P, chociaż na skalogramie wydaje się być bardzo wąsko reprezentowana wzdłuż osi skali. Związek między skalą a częstotliwością określony jest relacją potęgową (rys. 5.11), dlatego rozmycie fali P w domenie skali obejmuje największy zakres częstotliwości. Ponieważ znane są częstotliwości syntetycznych fal składowych, można było określić skale, na których fale te powinny być reprezentowane i sprawdzić czy transformata CWT pozwala na ich rekonstrukcję. Na rysunku 5.14 przedstawiono współczynniki CWT wykreślone dla skal: a = 11, a = 2 oraz a = 41, odpowiadających częstotliwościom: 18 khz (fala Pwf1_synt), 1 khz (fala Swf1_synt) i 5 khz (fala Stwf1_synt). Współczynniki CWT dokładnie oddają charakter poszczególnych fal syntetycznych, zarówno pod względem czasu przyjścia, jak i częstotliwości. Mniej dokładnie odtworzony jest czas przyjścia fali Stoneleya. Wybrane skale przedstawiające częstotliwości syntetycznych fal składowych przebiegają przez maksima lokalne współczynników falkowych reprezentujące na skalogramie poszczególne pakiety falowe. Ta obserwacja może pomóc identyfikować fale akustyczne na skalogramach dla rzeczywistych obrazów falowych. Podobne wyniki, prowadzące do tych samych wniosków, otrzymano dla innych testowanych falek. 78

86 a),4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -,4 Pwf1_synt Swf1_synt Stwf1_synt wf1_synt b) moduł współczynników CWT Stwf1_synt Swf1_synt c) 1 1 skala Pwf1_synt Pwf1_synt [ms] 23,1 2,3 skala kolorów współczynników CWT: Swf1_synt skala 3 6,8 4 Stwf1_synt 5,1 5 6 moduł współczynników CWT falka Morleta skala a = [1, 64] krok zmiany skali = 1 4,1 3,4,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Syntetyczny sygnał wf1_synt (a) i jego dekompozycja CWT falką Morleta przedstawiona w formie wykresu 3D (b) oraz mapy na płaszczyźnie czas skala (częstotliwość) (c) 79

87 a) b),4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -, Pwf1_synt Swf1_synt Stwf1_synt wf1_synt współczynniki CWT skala a = 11 współczynniki CWT skala a = 2 współczynniki CWT skala a = 41,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Współczynniki CWT falki Morleta wykreślone dla skal odpowiadających częstotliwościom syntetycznych fal składowych sygnału wf1_synt Badania na danych rzeczywistych Badania na danych rzeczywistych wykonano dla sygnałów testowych wykorzystując falkę Morleta. Jest to falka często stosowana w geofizyce do analizy różnych danych (Goupillaud et al. 1984, Li 1998, Chakraborty i Okaya 1995, Sinha et al. 25, Castagna i Sun 26, Hongbing et al. 26, Audet i Mareschal 27). Rysunek 5.15 przedstawia dekompozycję obrazu falowego wf1 z anhydrytu górnego. Współczynniki falkowe mają wysokie wartości w wąskim zakresie skal dla a [1, 2], za wyjątkiem pakietu wysokoamplitudowego, który ma podwyższone wartości współczynników CWT również dla wyższych skal (czyli niższych częstotliwości). Charakterystyczne jednak jest to, że maksymalne wartości współczynników falkowych dla tego pakietu wypadają dla niskich wartości skali (wysokich częstotliwości). Pakiety fal P i S mają stosunkowo niskie wartości współczynników falkowych w stosunku do pakietu wysokoamplitudowego i dalszego fragmentu obrazu falowego, dlatego są słabo 8

88 widoczne na skalogramie. Pakiet fali S wyraźnie dzieli się na dwa fragmenty. Drugi fragment ma nieznacznie wyższe częstotliwości, co sugeruje, że mogą to być mody fali pseudo-rayleigha. a) 5 wf1, rekord 15 (A1g) -5 b) moduł współczynników CWT pakiet wysokoamp. c) skala skala P S ps_r moduł współczynników CWT falka Morleta skala a = [1, 64] krok zmiany skali = 1 P S ps_r pakiet wysokoamp. [ms] fale odbite fale odbite a = 12 23,1 2,3 1,2 6,8 5,1 4,1 3,4 skala kolorów współczynników CWT: d) e) skala współ. CWT P S ps_r mapa konturowa modułu współczynników CWT moduł współczynników CWT dla skali a = 12 P S ps_r pakiet wysokoamp. pakiet wysokoamp. a = 12 23,1 2,3,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 1,2 6,8 5,1 4,1 3,4 Rys Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą falkową (b-e) wraz ze zidentyfikowanymi falami akustycznymi (objaśnienia w tekście) 81

89 a) 5 wf1, rekord 15 (A1g) b) -5 moduł współczynników CWT (obwiednia) c) 1 1 skala [ms] a = 12 23,1 2,3 skala kolorów współczynników CWT: ,2 skala moduł współczynników CWT (obwiednia) falka Morleta skala a = [1, 64] krok zmiany skali = 1 6,8 5,1 4,1 3,4 d) e) skala współ. CWT mapa konturowa modułu współczynników CWT wykreślona po obliczeniu obwiedni obwiednia współczynników CWT dla skali a = 12 a = 12 23,1 2,3,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 1,2 6,8 5,1 4,1 3,4 Rys Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą falkową po obliczeniu obwiedni współczynników falkowych (b-e). Na rysunku wyniki przedstawiono w postaci wykresu 3D (b), wykresu 2D (mapy na płaszczyźnie czas skala) (c), mapy konturowej (d) oraz wykresu współczynników falkowych dla skali a = 12 (e) 82

90 Reprezentacja sygnału na płaszczyźnie czas skala (częstotliwość) jest trudna do interpretacji pod kątem precyzyjnej identyfikacji fal z powodu wpływu nieoznaczoności oraz zmiennej rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej transformaty falkowej. Dodatkowym utrudnieniem jest grzbietowy charakter skalogramów, który zobrazowano na rys. 5.15b w postaci przestrzennego rozkładu współczynników CWT (wykres 3D) oraz na rys. 5.15c jako mapę na płaszczyźnie czas skala (wykres 2D). Kolor na tych wykresach określa wartość współczynników falkowych i mówi o stopniu podobieństwa falki z sygnałem. Ponieważ bezpośrednio na skalogramie trudno było precyzyjnie zidentyfikować fale akustyczne i określić ich parametry (tj. częstotliwość oraz czas przyjścia i długość trwania fali), dlatego próbowano posłużyć się mapą konturową współczynników falkowych. Fakt, że współczynniki falkowe tworzą grzbiety na skalogramie jest przyczyną silnie spłaszczonych i wydłużonych izolinii (rys. 5.15d), które nie uprościły opracowania automatycznej selekcji współczynników falowych reprezentujących dany pakiet falowy. Przekrój przez skalogram dla wybranej skali (rozkład współczynników falkowych wzdłuż osi czasu) (rys. 5.15e) doskonale obrazuje problem grzbietów. Aby spróbować ominąć problem grzbietów posłużono się obwiednią, otrzymując powierzchnię oblekającą współczynniki falkowe (rys. 5.16). Wykresy współczynników 2D i 3D przedstawiono na rysunkach 5.16b, c. Na rysunku 5.16d zamieszczono mapę konturową. Kształt obwiedni dla wybranej skali obrazuje rysunek 5.16e. Pomimo różnorodnego podejścia do wyników ciągłej transformaty falkowej, autorce nie udało się opracować efektywnego algorytmu, który pozwoliłby automatycznie wyszukiwać na skalogramach współczynniki falkowe reprezentujące daną falę. W istocie, taka procedura byłaby kolejną dekompozycją, tym razem wykonaną na współczynnikach falkowych, które same reprezentują już zdekomponowany obraz falowy. Skalogramy, czy to w wersji surowej, czy też po obliczeniu obwiedni, nadają się natomiast do wizualnej oceny charakterystyki czasowo-częstotliwościowej pojedynczych obrazów falowych. Nie jest możliwe natomiast ręczne opracowanie w ten sposób wszystkich obrazów falowych dla całego interwału głębokościowego Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe akustycznych obrazów falowych dla wybranych, pojedynczych częstotliwości Obliczone w poprzednim etapie badań obwiednie współczynników falkowych wykorzystano do skonstruowania wykresów czasowo-głębokościowo-częstotliwościowych, wykreślonych dla wybranych skal, czyli pojedynczych częstotliwości. Dysponując mapami obwiedni na płaszczyźnie czas skala (częstotliwość) (rys. 5.16c) zapisywano współczynniki falkowe dla wybranej, pojedynczej skali (tak jak to pokazano na rysunku 5.16e). Taką procedurę wykonano dla każdego rekordu z całego interwału głębokościowego i wszystkich obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4. Następnie współczynniki otrzymane 83

91 z poszczególnych obrazów falowych zestawiono zgodnie z numerem rekordu, otrzymując zmianę współczynników falkowych dla tej samej skali wraz z głębokością. Schemat obliczeń przedstawiono na rysunku Ponieważ skalę można utożsamiać z częstotliwością, otrzymano pewnego rodzaju przekroje głębokościowe akustycznych obrazów falowych dla pojedynczej częstotliwości. Kolorem zakodowano wartość współczynnika falkowego (a dokładniej obwiedni obliczonej dla modułu współczynników falkowych) uwypuklając informację o korelacji współczynników falkowych z sygnałem. głębokość h, h,..., h 1 2 n amp AOF głębokość h, h,..., h 1 2 n czas ciągła transformata falkowa obwiednia współczynników CWT dla skali a skala współczynniki CWT częstotliwość skala głębokość h, h,..., h 1 2 n czas obwiednia współczynników CWT obliczenie obwiedni a(h n)... a(h 2) a(h 1) częstotliwość głębokość h 1 -h n czas czas Rys Schemat otrzymania wykresów czasowo-częstotliwościowo-głębokościowych obliczonych w oparciu o ciągłą transformatę falkową Obliczenia wykonano dla skal o numerach 1, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 2, 22, 25 i 34, co w przypadku falki Morleta pozwoliło otrzymać wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe dla następujących częstotliwości: 2,3 khz, 18,5 khz, 17 khz, 15,5 khz, 14,5 khz, 13,5 khz, 12 khz, 11,3 khz, 1,1 khz, 9,2 khz, 8 khz oraz 6 khz. Wyniki na przykładzie obrazu falowego wf1 przedstawiono na rysunku

92 Na wykresach można badać zmianę współczynników falkowych z głębokością oraz analizować ich wartości w obrębie jednej litologii wraz ze zmianą skali (częstotliwości). W pierwszym przypadku wartości współczynników zmieniają się z głębokością zgodnie ze zmianą litologii. Każdy blok litologiczny ma swój charakterystyczny rozkład współczynników CWT. Natomiast współczynniki falkowe wyraźnie zmieniają się w obrębie analizowanej litologii, gdy zmieniana jest skala (częstotliwość). Współczynniki CWT różnie korelują się z tymi samymi fragmentami obrazu falowego, tj. z tymi samymi pakietami falowymi, dla różnych częstotliwości. Analizując wartość współczynników na wykresach czasowo-głębokościowo-częstotliwościowych można ocenić częstotliwości poszczególnych pakietów falowych. Należy przy tym pamiętać, że skala kolorów obrazująca wartość współczynników CWT obowiązuje dla całego wykresu. Dlatego np. fale P i S będą miały na każdym wykresie dużo niższe wartości współczynników falkowych niż współczynniki pakietu wysokoamplitudowego, który generalnie dominuje w szerokim zakresie częstotliwości (rys. 5.15b, c). Porównując na kolejnych wykresach wartości współczynników falkowych, które odpowiadają danemu pakietowi falowemu w wybranej litologii, można wskazać taką skalę (częstotliwość), dla której pakiet falowy wykazuje największe współczynniki. Przedstawiono to na rysunku 5.19 na przykładzie fali S i pseudo-rayleigha w dolomicie i piaskowcach. Dla skali a = 17, tj. częstotliwości 12 khz, wyraźnie widoczna jest fala S. Przechodząc do skali a = 11, tj. częstotliwości 18,5 khz na wykresie dominuje pakiet modów fali pseudo-rayleigha. Analizując wykresy dla poszczególnych częstotliwości należy zwrócić uwagę na odmienny charakter rozkładu maksymalnych współczynników falkowych w obrębie różnych bloków litologicznych. We wszystkich solach (Na3_1, Na3_2 i Na2) w szerokim zakresie częstotliwości (od 2 do 8 khz) zaznacza się praktycznie tylko pakiet wysokoamplitudowy, pozostałe pakiety falowe są znacznie słabiej reprezentowane. Anhydryty: A3d, A2d, A1g, tworzą bardzo podobny wzór wartości współczynników falkowych na poszczególnych wykresach: cechują się silnymi falami odbitymi o częstotliwościach khz, które w innych litologiach nie zaznaczają się tak wyraźnie. Mniej zróżnicowany na tle pozostałych formacji jest dolomit główny Ca2. W piaskowcach P-ce wraz ze wzrostem skali (zmniejszaniem częstotliwości) obserwuje się coraz wyższe wartości współczynników CWT odpowiadających pakietowi wysokoamplitudowemu i fali S, natomiast coraz słabiej reprezentowana jest fala pseudo-rayleigha. Bardzo charakterystyczną litologią jest wapień cechsztyński Ca1. W strefach nasyconych gazem ma generalnie niskie wartości współczynników CWT, które gwałtownie rosną dla bardzo niskich częstotliwości rzędu 6 khz. Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej do analizy obrazów falowych pozwoliło na szczegółowe zapoznanie się z ich charakterystyką częstotliwościową, dzięki wyższej od dyskretnej transformaty falkowej rozdzielczości częstotliwościowej. Skalogramy CWT doskonale nadają się do studialnej analizy pojedynczych rejestracji, natomiast trudno je wykorzystać do automatycznej analizy całego interwału głębokościowego. Zbiorcze opracowanie wszystkich rejestracji uzyskano dzięki wykresom czasowo-głębokościowo-częstotliwościowym przedstawiającym przekroje głębokościowe obrazów falowych, które zostały wykreślone dla pojedynczych częstotliwości. 85

93 Rys (część I) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie ciągłej transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 1, 11, 12, 13, 14 i 15) (plik: Rys Wykresy cz-gł-częst.cdr; arkusz 1) 86

94 Rys (część II) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie ciągłej transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 17, 18, 2, 22, 25 i 34) (plik: Rys Wykresy cz-gł-częst.cdr; arkusz 2) 87

95 a) skala = 17 b) częstotliwość = 12 khz Głębokość [m] 2191, Głębokość [m] 2191, skala = 11 częstotliwość = 18,5 khz fala P fala P dolomit główny Ca2 fala S dolomit główny Ca2 fala S fala ps-r 2224,5,4,8 1,2 1,6 [ms] c) d) Głębokość [m] 235,5 skala = 17 częstotliwość = 12 khz 2224,5 Głębokość [m] 235,5,4,8 1,2 1,6 [ms] skala = 11 częstotliwość = 18,5 khz skala kolorów współczynników CWT: 7 piaskowce karbońskie P-ce fala P fala S piaskowce karbońskie P-ce fala P fala S fala ps-r 2377,5,4,8 1,2 1,6 [ms] 2377,5,4,8 1,2 1,6 [ms] Rys Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe przedstawiające fragment obrazów falowych (do pakietu wysokoamplitudowego) w dolomicie głównym Ca2 (a, b) oraz piaskowcach karbońskich P-ce (c, d) dla skali a = 17 (12 khz) (a, c) i a = 11 (18,5 khz) (b, d). Dla wyższych częstotliwości uwidacznia się fala pseudo-rayleigha, natomiast zanika fala S 88

96 5.5 Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem Wprowadzenie Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem do identyfikacji fal użytecznych na obrazach falowych oraz rozdzielenia pola falowego wymagało zapoznania się ze specyfiką tej metody oraz jej możliwościami w zakresie postawionych zadań. W tym celu wykonano szereg badań na danych syntetycznych oraz sygnałach testowych. Na ich podstawie poznano zalety i wady metody oraz opracowano metodykę przetwarzania akustycznych obrazów falowych. W pierwszej kolejności zbadano czułość algorytmu MP na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu (rozdzielczość czasową) oraz zdolność rozdzielenia sygnału na składowe różniące się częstotliwością (rozdzielczość częstotliwościową). Następne badania poprowadzone zostały pod kątem ustalenia parametrów przetwarzania: optymalnej ilości atomów dekompozycji oraz sposobu selekcji atomów Gabora reprezentujących fale na akustycznych obrazach falowych. Ostatnim krokiem było opracowanie metodyki analizy obrazów falowych z wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem. Obliczenia dekompozycji obrazów falowych na atomy Gabora wykonano programem Guimauve (Brachere 22), dostępnym w sieci Internet na zasadach darmowej licencji GPL. Program został zmodyfikowany i dostosowany do potrzeb przetwarzania akustycznych obrazów falowych. Najważniejsze zmiany w programie obejmowały możliwość przeprowadzenia dekompozycji obrazów falowych z całego interwału głębokościowego w sposób automatyczny (według omówionej w podrozdziale metodyki) oraz zapisywania map Wignera w postaci bitmap, na postawie których wykonano analizy opisane w rozdziale 5.6. Przy opracowaniu wyników korzystano również z programu Matlab. Program Guimauve umożliwia przeprowadzenie dekompozycji sygnału na określoną z góry ilość atomów Gabora. Oznacza to, że do sygnału zostanie dopasowana dokładnie zadana ilość atomów, bez względu na to, czy jest to ilość odpowiednia dla uzyskania dobrej reprezentacji elementów składowych sygnału. W programie dostępne są opcje: określenia minimalnej i maksymalnej oktawy, włączenia optymalizacji fazy oraz zwiększenia rozdzielczości czasowej i częstotliwościowej. Wynikiem działania programu są mapy Wignera wyświetlane na ekranie. Możliwe jest również zapisanie wartości parametrów dopasowanych atomów Gabora: współczynnika energetycznego odzwierciedlającego udział danego atomu w całkowitej energii sygnału (jest to pośrednia miara amplitudy atomu), oktawy, czasu (położenia na osi czasu środka obwiedni atomu) oraz częstotliwości (częstotliwości modulacji). Atomy są ponumerowane. Atom nr 1 odpowiada atomowi o największym współczynniku energetycznym (jest to najbardziej dominujący atom w całej dekompozycji). Na wyświetlanej mapie Wignera można zaznaczać atomy Gabora i wykonać rekonstrukcję sygnału w dwóch opcjach: na podstawie zaznaczonych atomów, lub na podstawie wszystkich pozostałych (niezaznaczonych). Rekonstrukcja sygnału jest realizowana poprzez 89

97 sumowanie atomów Gabora. Podając krok próbkowania sygnału program przelicza próbki sygnału na czas trwania sygnału, a oś pionową mapy Wignera podaje w jednostkach częstotliwości. Te możliwości programu, rozszerzone i dostosowane do potrzeb przeprowadzonych badań, zostały wykorzystane do analizy akustycznych obrazów falowych Wrażliwość metody pogoń za dopasowaniem na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu (rozdzielczość czasowa) Badania nad rozdzielczością czasową algorytmu MP przeprowadzono w celu oceny wrażliwości tej metody na różnice między dwoma sygnałami, wywołane przesunięciem jednego sygnałów względem drugiego. Castagna i Sun (26) zwrócili uwagę na dwie cechy metody pogoń za dopasowaniem związane z rozdzielczością czasową: 1) Algorytm MP ma trudności w dokładnym określeniu czasu przyjścia interferujących ze sobą fal. 2) Nawet niewielkie zmiany w sygnale mogą spowodować całkowicie inne ułożenie dekompozycji, co może być przyczyną niestabilności analizy. Aby ocenić stopień wrażliwości/niestabilności metody posłużono się syntetyczną falą Stoneleya Stwf1_synt oraz jej zmodyfikowanymi wersjami Stwf1_synt_shift, które powstały w wyniku przesunięcia sygnału o określoną ilość próbek (część okresu fali). Sygnał syntetyczny przesuwano o: 1, 2, 3, 6, 13, 25 i 5 próbek (odpowiednio o: 1/5, 1/25, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 części okresu i 1cały okres). Następnie sygnał pierwotny St_synt oraz jego przesunięte wersje poddano dekompozycji MP na 2 atomów i porównano ich parametry. Analiza parametrów atomów Gabora pozwala na wysunięcie następujących wniosków: Przesunięcie sygnału nawet o 1 próbkę daje inną dekompozycję, tzn. inny zestaw atomów Gabora (o innych parametrach) niż dla sygnału pierwotnego. Określając wrażliwość na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu najważniejszym parametrem jest położenie atomów Gabora p. Wartości tego parametru dla sygnału pierwotnego oraz sygnałów przesuniętych zostały przedstawione w tabeli 5.5. Przesunięcie fali nawet o cały okres nie powoduje przesunięcia najbardziej znaczącego atomu 1 (tzn. wyjaśniającego największą część energii sygnału). Przesunięcie fali jest odtwarzane przez sumę mniej znaczących atomów, które korygują kształt atomu najbardziej znaczącego, tak by suma atomów dawała jak najlepszą rekonstrukcję sygnału. W zależności od stopnia przesunięcia zmienia się ilość atomów korygujących: im mniej przesunięty sygnał tym mniej atomów korygujących, a więcej atomów o niezmienionym położeniu w stosunku do atomów dekompozycji sygnału pierwotnego, które tworzą tzw. rdzeń (tab. 5.5). Rdzeń i czynnik korygujący dla dwóch przykładowych przesunięć przedstawiono na rysunku 5.2. Podsumowując, metoda MP z jednej strony jest bardzo wrażliwa na zmiany w sygnale, gdyż dla drobnych przesunięć daje zupełnie inny zestaw atomów. Z drugiej strony charakteryzuje się sporą bezwładnością pod względem dopasowania położenia najbardziej znaczących atomów do sygnału. Ta 9

98 ostatnia cecha metody pogoń za dopasowaniem może skutkować pewną niewrażliwością na drobne zmiany w położeniu pakietu wysokoamplitudowego, gdyż będzie on zawsze reprezentowany przez atomy o najwyższych współczynnikach energetycznych. Wpływ czynnika korygującego będzie zależał od tego, czy atomy wchodzące w jego skład zostaną wybrane do rekonstrukcji danego pakietu falowego. Tabela 5.5 Położenie p atomów Gabora dla sygnału Stwf1_synt oraz sygnałów przesuniętych Stwf1_synt_shift. Dla sygnałów przesuniętych zaznaczono na zielono atomy tworzące rdzeń, czyli atomy o takim samym położeniu jak atomy sygnału pierwotnego. Pozostałe atomy składają się na czynnik korygujący kształt rdzenia, tak aby suma wszystkich atomów dawała jak najlepszą rekonstrukcję sygnału Przesunięcie [liczba próbek] Położenie p atomów Gabora [nr próbki] nr atomu Rdzeń [nr atomów] Czynnik korygujący [nr atomów] (Stwf1_synt) (Stwf1_synt_shift) Rozdzielczość częstotliwościowa algorytmu MP Rozdzielczość częstotliwościową algorytmu MP zbadano na przykładzie specjalnie skonstruowanego sygnału syntetycznego złożonego z trzech elementów: A, B, C. Każdy z elementów utworzony został z atomu Gabora, o takim samym położeniu, oktawie, amplitudzie i fazie, ale różnej częstotliwości. Suma tych elementów dała sygnał syntetyczny ABC (rys. 5.21a). Sygnał ABC poddano dekompozycji na 2 atomów (rys. 5.21b), a następnie wybrano z niej atomy, które były najlepiej dopasowane do elementów tworzących sygnał. Selekcję atomów przeprowadzono głównie w oparciu o częstotliwość i położenie. Dodatkowym parametrem branym pod uwagę był współczynnik energetyczny (amplituda). Na podstawie wybranych atomów zrekonstruowano elementy A, B i C oraz sygnał ABC, otrzymując odpowiednio A_rekon, B_rekon, C_rekon i ABC_rekon (rys. 5.21c). 91

99 Rekonstrukcja poszczególnych elementów składowych pod względem częstotliwości jest dobra, choć odtworzenie amplitud jest niezadowalające. Pomimo tego zrekonstruowany sygnał ABC_rekon jest bardzo zbliżony do sygnału pierwotnego. Sygnał ABC okazał się zbyt trudnym dla algorytmu MP, dlatego skonstruowano zmodyfikowany sygnał A B C. Elementy składowe sygnału zostały przesunięte względem siebie (rys. 5.22a). Następnie powtórzono całą procedurę przetwarzania i rekonstrukcji. Wyniki obrazują rysunki 5.22b (mapa Wignera sygnału A B C ) oraz 5.22c (zrekonstruowane elementy składowe i sygnał). Dla tego przypadku metoda pogoń za dopasowaniem poradziła sobie znacznie lepiej niż dla przypadku, w którym elementy składowe różniły się jedynie częstotliwością. a) b),3 -,3,3 -,3,3 -,3,3 -,3,3 -,3,3 -,3 Stwf1_synt Stwf1_synt_shift (1 próbka = 1/5 okresu) Rdzeń (atom nr 1 + atom nr 2 + atom nr 3) Czynnik korygujący (suma atomów nr 4-2) Stwf1_synt Stwf1_synt_shift (5 próbek = 1 okres) Rdzeń (atom nr 1) Czynnik korygujący (suma atomów nr 2-2),4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys. 5.2 Rdzeń i czynnik korygujący dla sygnału przesuniętego o 1 próbkę (a) i 5 próbek (b). Sygnał Stwf1_synt przesunięto o określoną liczbę próbek tworząc sygnał Stwf1_synt_shift. Oba sygnały poddano dekompozycji metodą pogoń za dopasowaniem otrzymując dwa zestawy dwudziestu atomów Gabora, które porównano między sobą. Analizując położenie p odpowiadających sobie atomów Gabora w obu dekompozycjach, wyznaczono rdzeń (atomy o takim samym położeniu jak atomy sygnału Stwf1_synt) oraz czynnik korygujący (pozostałe atomy). Sumując wszystkie atomy z dekompozycji otrzymuje się doskonale odtworzony sygnał (tzn. suma rdzenia i czynnika korygującego daje doskonałą rekonstrukcję sygnału) 92

100 a) A B C ABC b) c) Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem) A A_rekon B A C skala kolorów atomów Gabora 1,,5-1 1 B B_rekon -1 1 C C_rekon -1 3 ABC ABC_rekon -3,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Badanie rozdzielczości częstotliwościowej metody pogoń za dopasowaniem: dekompozycja sygnału ABC zbudowanego z trzech elementów różniących się jedynie częstotliwością (szczegółowe objaśnienia w tekście) 93

101 a) A B C A B C b) c) Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem) A A _rekon A B C skala kolorów atomów Gabora 1,,5-1 1 B B _rekon -1 1 C C _rekon -1 2 A B C A B C _rekon -2,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Badanie rozdzielczości częstotliwościowej metody pogoń za dopasowaniem: dekompozycja sygnału A B C zbudowanego z trzech elementów różniących się częstotliwością oraz położeniem (szczegółowe objaśnienia w tekście) 94

102 Odnosząc te wyniki do akustycznych obrazów falowych widać, że poprawne rozdzielenie pola falowego wraz z zachowaniem amplitud poszczególnych fal charakteryzujących się podobnymi prędkościami (występowaniem na osi czasu) będzie trudnym zadaniem dla algorytmu MP. Takim przypadkiem może być fala S interferująca z najwyższymi modami fali pseudo-rayleigha. Jeśli fale będą się różniły pod względem częstotliwości i jednocześnie czasem przyjścia (jak to jest to dla fal P, S i Stoneleya), to algorytm MP może być efektywną metodą identyfikacji i wydzielenia fal z obrazów falowych Dobór ilości atomów dekompozycji Optymalny dobór ilości atomów dekompozycji jest istotny z punktu widzenia dokładności analizy. Na przykładzie sygnałów syntetycznych zbadano wpływ zbyt dużej liczby atomów dopasowywanych do sygnału. Dodając do sygnałów syntetycznych szum, określono jego wpływ na ilość atomów potrzebnych do poprawnego odtworzenia sygnału. Następnie określono optymalną liczbę atomów dekompozycji dla akustycznych obrazów falowych z otworu K6. Miarą dokładności reprezentowania sygnału przez dopasowane atomy jest wykres zaniku energii, pokazujący ile procent energii sygnału pozostało do objaśnienia przez daną liczbę atomów dekompozycji. W połączeniu z mapą Wingera i rekonstrukcją sygnału pozwala to stwierdzić, czy założona ilość atomów jest ilością wystarczającą, za małą czy za dużą. Na rysunkach 5.23a, b pokazano jak zmienia się obraz dekompozycji w zależności od ilości atomów Gabora. Na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt pokazano, że zbyt duża liczba atomów (tutaj: 1 atomów), skutkuje tworzeniem atomów, które nie mają nic wspólnego z elementami składowymi sygnału, a jedynie wprowadzają zakłócenia do dekompozycji. Aby zbadać jak na dekompozycję MP wpływa zaszumienie sygnału, wprowadzono do sygnału wf1_syn szum, taki, że stosunek S/N wynosił -3 db. Wyniki przedstawiono na rysunkach 5.23c, d. Dodanie szumu spowodowało zwiększenie liczby atomów potrzebnych do poprawnego reprezentowania struktur sygnału. Analizując wykresy zaniku energii, mapy Wignera oraz rekonstruując sygnał na podstawie ilości atomów objaśniających zadany procent energii sygnału, ustalono, że optymalna liczba atomów to taka, która objaśnia 9-95% energii sygnału. Taka dekompozycja pozwala na dobrą rekonstrukcję prawdziwych elementów sygnału. Dążenie do objaśnienia 1% energii skutkuje próbą objaśnienia struktur, których nie ma w sygnale (rys. 5.23a), bądź odtworzeniem szumu (rys. 5.23c). Z drugiej strony zbyt mała liczba atomów wchodzących w skład dekompozycji skutkuje odtworzeniem jedynie dominujących struktur sygnału i pominięciem bardziej subtelnych elementów składowych. Przeprowadzając dekompozycję MP na sygnałach testowych (danych rzeczywistych) określono, że objaśnienie 9-95% energii akustycznych obrazów otrzymuje się dla 6 atomów Gabora. 95

103 a),4 wf1_synt b),4 wf1_synt -, , Energia [%] ilość atomów Energia [%] ilość atomów 5 Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem) c),4 wf1_synt_rand d),4 5 Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem),8 1,6 2,4 3,2 4, [ms],8 1,6 2,4 3,2 4, [ms] wf1_synt_rand -, , Energia [%] ilość atomów Energia [%] ilość atomów 3 5 Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem) skala kolorów atomów Gabora 5 Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem),8 1,6 2,4 3,2 4, [ms],8 1,6 2,4 3,2 4, [ms],5 1, Rys Wpływ ilości atomów dekompozycji na dokładność analizy na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt (a, b) i sygnału zaszumionego wf1_synt_rand (c, d). Miarą dokładności analizy jest wykres zaniku energii, obrazujący ile procent energii sygnału pozostało do objaśnienia przez daną liczbę atomów. Na przykładzie sygnału wf1_synt pokazano, że dążenie do objaśnienia 1% energii sygnału (a) skutkuje dopasowaniem atomów do struktur, których nie ma w sygnale. Ilość atomów dekompozycji objaśniająca 9-95% energii (b) jest optymalną liczba pozwalająca na dobrą rekonstrukcję prawdziwych struktur sygnału. W przypadku sygnału zaszumionego wf1_synt_rand za duża liczba atomów dekompozycji (c) powoduje nadmierne odtworzenie szumu (wydłużone atomy Gabora o stosunkowo niewysokich energiach). Zastosowanie reguły 9-95% (d) daje dobrą rekonstrukcję struktur sygnału przy jednoczesnym ograniczeniu szumu 96

104 5.5.5 Badania na danych syntetycznych Badania na syntetycznej parze obrazów falowych wf1_synt-wf3_synt miały za zadanie przetestować możliwości wykorzystania metody pogoń za dopasowaniem do rozdzielenia pola falowego. Rozdzielone pakiety falowe mogą być wykorzystane do lepszego określenia czasów interwałowych (prędkości) użytecznych fal akustycznych. Schemat badań prowadzących do rozdzielenia pola falowego i określenia czasów interwałowych rozdzielonych pakietów falowych przedstawia rysunek Założenie parametrów fal akustycznych V, V,V f, f, f P S St P S St TP1_synt, TS1_synt, TSt_synt TP2_synt, TS2_synt, TSt_synt DTP_synt, DTS_synt, DTSt_synt Porównanie czasów przyjścia i czasów interwałowych TP1_synt_MP_semb, TS1_synt_MP_semb, TSt_synt_MP_semb DTP_synt_MP_semb, DTS_synt_MP_semb, DTSt_synt_MP_semb Pwf1_synt, Pwf3_synt Swf1_synt, Swf3_synt Stwf1_synt, Stwf3_synt wf1_synt, wf3_synt Dekompozycja sygnałów metodą pogoń za dopasowaniem i rekonstrukcja fal na podstawie atomów Gabora Pwf1_synt_MP, Pwf3_synt_MP Swf1_synt _MP, Swf3_synt_MP Stwf1_synt _MP, Stwf3_synt_MP wf1_synt _MP, wf3_synt_mp Rys Schemat rozdzielenia pola falowego metodą pogoń za dopasowaniem i określenia czasów interwałowych pakietów falowych na przykładzie pary syntetycznych obrazów falowych wf1_synt-wf3_synt (szczegółowe omówienie w tekście) Sygnały tworzące syntetyczną parę obrazów falowych zostały skonstruowane w oparciu o założone parametry prędkości i częstotliwości fal P, S oraz Stoneleya (tab. 5.1, rys. 5.25a). Na podstawie prędkości obliczono czasy przyjścia fal do bliższego (O1) i dalszego (O2) odbiornika, odpowiednio: TP1_synt, TS1_synt, TSt1_synt oraz TP2_synt, TS2_synt, TSt2_synt, a także czasy interwałowe: DTP_synt, DTS_synt i DTSt_synt. Parametry te posłużyły do skonstruowania sygnałów syntetycznych wf1_synt i wf3_synt. Sygnały syntetyczne poddano osobnym dekompozycjom MP. Wybierając odpowiednie atomy reprezentujące poszczególne fale (tab. 5.6, rys. 5.25b) zrekonstruowano fale 97

105 składowe: Pwf1_synt_MP, Swf1_synt_MP, Stwf1_synt_MP, Pwf3_synt_MP, Swf3_synt_MP, Stwf3_synt_MP (rys. 5.25c). Selekcja atomów w przypadku sygnałów syntetycznych nie sprawiała problemów, ponieważ znane były parametry sygnałów składowych (czas przyjścia fal i ich częstotliwość), a tym samym określone było położenie i częstotliwość atomów Gabora. Wydzielone metodą MP składowe sygnałów syntetycznych utworzyły pary fal akustycznych, na postawie których obliczono czasy interwałowe poszczególnych fal. Obliczenia wykonano w aplikacji FalaWin systemu Geowin (Jarzyna et al. 21) za pomocą funkcji semblance. W wyniku otrzymano czasy przyjścia fal do odbiornika O1: TP1_synt_MP_semb, TS1_synt_MP_semb, TSt1_synt_MP_semb oraz czasy interwałowe: DTP_synt_MP_semb, DTS_synt_MP_semb i DTSt_synt_MP_semb. Te wielkości porównano z parametrami wejściowymi (TP1_synt, DTP_synt itd.). Tabela 5.6 Parametry atomów Gabora otrzymane w wyniku dekompozycji sygnału syntetycznego wf1_synt. Kolorami przedstawiono wybrane atomy reprezentujące syntetyczne fale P, S i Stoneleya Nr atomu Amplituda funkcji Gabora Oktawa Położenie [ms] Częstotliwość 1 3, ,48 5, 2 1, ,536 9,96 3,39 9 2,56 5, 4, ,28 9,96 5, ,24 18, 6,89 8 1,792 9,77 7,55 7 2,34 5,46 8,48 8 2,48 4,88 9,26 9 1,536 18,1 1,25 8 1,24 9,92 11,23 8 2,816 4,98 12,23 7 1,792 3,25 13,17 7 1,536 1,39 14,11 7 1,28 15,27 15,11 8 2,34 9,93 16,1 7 2,432 5,1 17,8 9 1,536 6,5 18,5 7,768 17,9 19,4 8 2,48 2,28 2,3 6 1,728 14,29 Fala Pwf1_synt = atom nr 5 Fala Swf1_synt = atom nr 2 + atom nr 4 + atom nr 7 Fala Stwf1_synt = atom nr 1 + atom nr 3 + atom nr 6 98

106 a),4 -,4,4 -,4,4 Pwf1_synt Swf1_ synt Stwf1_synt b) c) -,4,4 -,4 3 Mapa Wignera 25 (pogoń za dopasowaniem) Atom Gabora reprezentujący falę P ,4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -,4 wf1_synt Pwf1_synt Pwf1_synt_MP (atom nr 5) Swf1_synt Atomy Gabora reprezentujące falę S Atomy Gabora reprezentujące falę St Swf1_synt_MP (atom nr 2 + atom nr 4 + atom nr 7) Stwf1_synt Stwf1_synt_MP (atom nr 1 + atom nr 3 + atom nr 6) wf1_synt wf1_synt_mp,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] skala kolorów atomów Gabora 1,,5 Rys Schemat rozdzielenia pola falowego i rekonstrukcji fal akustycznych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt. Sygnał syntetyczny wf1_synt skomponowany ze składowych odpowiadających falom P, S i Stoneleya (a) został poddany dekompozycji metodą pogoń za dopasowaniem. Na mapie Wignera znaczono atomy reprezentujące poszczególne fale akustyczne, wybrane w oparciu o parametry atomów odpowiadające własnościom fal (b). Na podstawie wybranych atomów zrekonstruowano składowe sygnału syntetycznego oraz odtworzony na tej podstawie sygnał syntetyczny (c) 99

107 Wyniki funkcji semblance dla odtworzonych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem elementów składowych sygnałów syntetycznych są zgodne z założonymi parametrami wykorzystanymi do ich skonstruowania. Potwierdza to duże możliwości wykorzystania metody pogoń za dopasowaniem do rozdzielenia pola falowego i wykorzystaniu go do lepszego określenia własności sprężystych skał. Powodzenie tej metody opiera się na wyborze odpowiednich atomów Gabora, czyli poprawnym zdefiniowaniu ich parametrów, tak aby określały one parametry poszczególnych fal akustycznych Parametryzacja atomów Gabora pod kątem wydzielenia fal akustycznych z obrazów falowych Identyfikacja i wydzielenie fal akustycznych z obrazów falowych na podstawie dekompozycji metodą pogoń za dopasowaniem wymagała określenia warunków wyboru atomów reprezentujących daną falę. Warunki te nałożone zostały na parametry atomów Gabora, tak by odpowiadały własnościom fal akustycznych. Ponieważ pakiet wysokoamplitudowy nie został jednoznacznie zakwalifikowany jako fala w płuczce lub fala Stoneleya (rozdz ), dlatego przedmiotem identyfikacji były fale: P, S, pakiet wysokoamplitudowy, nazywany tutaj falą w płuczce, oraz fala Stoneleya pakiet falowy, który występowałby za pakietem wysokoamplitudowym, gdyby ten okazał się falą w płuczce. Stwierdzenie, czy pakiet wysokoamplitudowy jest falą w płuczce, czy raczej falą Stoneleya, jest dodatkowym przedmiotem tych badań. Poniżej omówiono parametryzację atomów Gabora, która stanowiła podstawę selekcji atomów jako reprezentantów danej fali akustycznej. Częstotliwość Częstotliwość jest częstotliwością modulacji funkcji Gabora. Zakres częstotliwościowy akustycznych obrazów falowych jest uzależniony od częstotliwości nadajnika (2 khz) oraz filtrację górnoprzepustową w sondzie (5 khz). Częstotliwość nadajnika w rzeczywistości odpowiada za częstotliwość środkową emitowanego sygnału, który charakteryzuje się pewną szerokością pasma. Dla sondy LSS ten parametr jest nieznany, niemniej ośrodek geologiczny działa jak filtr dolnoprzepustowy i najszybciej pozbawia sygnał najwyższych częstotliwości. Dlatego uzasadnione jest analizowanie atomów Gabora o częstotliwościach z zakresu 5-2 khz. Oktawa Oktawa odpowiada za szerokość obwiedni atomu w domenie czasu. Zależy od częstotliwości próbkowania sygnału f s oraz liczby próbek sygnału n. Długość atomów w czasie powinna odzwierciedlać czas trwania fali akustycznej. Na podstawie testów wybrano dla fal P, S i Stoneleya oktawy od 6 do 8 (odpowiednio: od,256 ms do 1,24 ms). Dla fali w płuczce wybrano oktawy 6 i 7 (odpowiednio,256 ms i,512 ms). 1

108 Położenie Położenie to pozycja środka obwiedni atomu w czasie. Z powodu mało wyraźnego zróżnicowania częstotliwości, jest to kluczowy parametr pozwalający zidentyfikować fale akustyczne. Dzięki różnej prędkości propagacji fale dochodzą do odbiorników w różnym czasie. Położenie atomów Gabora zostało określone osobno dla każdej fali akustycznej, litologii i odległości nadajnik-odbiornik. Przedziały czasów przyjścia poszczególnych fal wyznaczono w oparciu o wizualną ocenę kinematycznych i dynamicznych cech akustycznych obrazów falowych. Amplituda Amplituda opisuje amplitudę funkcji okna. Jest to ilość energii sygnału wyjaśniana przez daną funkcję. Amplituda atomu Gabora odpowiadającego tej funkcji może mieć niższe amplitudy w zależności od częstotliwości, fazy i oktawy (Durka 1996). Z amplitudą wiąże się liczba atomów dekompozycji (atomy są ponumerowane według energii, czyli pośrednio według amplitudy). Wcześniejsze badania pozwoliły ustalić, że optymalne wyniki otrzymuje się dla dekompozycji na 6 atomów Gabora. Faza Faza była przedmiotem osobnej optymalizacji według algorytmu zaproponowanego przez Mallata i Zhanga (1993) (opcja programu Guimauve) i nie miała wpływu na wybór atomów reprezentujących fale akustyczne Schemat rozdzielenia pola falowego w oparciu o parametryzację atomów Gabora Rozdzielenie pola falowego polegało na wydzieleniu fal akustycznych z obrazów falowych w oparciu o atomy Gabora reprezentujące daną falę. Z uwagi na obecność charakterystycznego wysokoamplitudowego pakietu falowego, algorytm MP postrzegał falę P, cechującą się niewielkimi amplitudami, jako mało istotną w całym sygnale. Aby zminimalizować ten efekt opracowano dwustopniowy schemat wydzielenia fal z obrazów falowych, który obejmował następujące etapy: 1) Dekompozycję obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem. 2) Wydzielenie pakietu wysokoamplitudowego ( fali w płuczce ) w oparciu o zdefiniowaną parametryzację. 3) Rekonstrukcję fali w płuczce. 4) Rekonstrukcję sygnału bez fali w płuczce. 5) Ponowną dekompozycję sygnału bez pakietu wysokoamplitudowego. 6) Wydzielenie fal P, S i Stoneleya w oparciu o zdefiniowaną parametryzację. 7) Rekonstrukcję fal P, S i Stoneleya. 11

109 Powyższy schemat realizacji rozdzielenia pola falowego na przykładzie pojedynczego sygnału wf1 z litologii A1g przedstawiony został na rysunku Rozdzielone pakiety falowe na przykładzie obrazu falowego wf1 przedstawiono na rysunku Wydzielenie fal w oparciu o zdefiniowaną parametryzację związane było z odpowiednim systemem wyboru atomów odpowiadających danemu pakietowi falowemu. Metodyka wyszukiwania atomów reprezentujących falę w płuczce obejmowała w kolejności: Sortowanie według położenia atomu (tj. czasu przyjścia fali). Sortowanie według oktawy (w grupie atomów wyznaczonych w pierwszym sortowaniu). Sortowane według częstotliwości (w grupie atomów wyznaczonych po drugim sortowaniu). Pierwsze sortowanie wybierało z całej dekompozycji atomy Gabora, które mogły reprezentować pakiet wysokoamplitudowy pod kątem czasu przyjścia. Drugie sortowanie, przeprowadzone w grupie atomów wyznaczonych za pomocą pierwszego sortowania, ograniczało zbiór do atomów o odpowiedniej długości (tj. czasie trwania). Ostatnie sortowanie zawężało wybór do atomów spełniających warunek odpowiedniej częstotliwości. Wybór atomów reprezentujących fale: P, S i Stoneleya przeprowadzono w odmiennej kolejności: Sortowanie według oktawy. Sortowanie według częstotliwości. Sortowanie według położenia. W analizowanym zagadnieniu najbardziej decydującym parametrem rozdzielenia pola falowego było położenie atomów (tj. czas przyjścia fal), ponieważ fale pod względem częstotliwości różniły się znacznie słabiej. Przedstawiona metodyka selekcji atomów Gabora okazała się najbardziej przejrzysta dla przeprowadzającego badania, gdyż rozdzielała pole falowe na zawężonym zbiorze atomów Gabora, czyli po odrzuceniu tych, które nie spełniały pozostałych warunków (tj. czasu trwania i częstotliwości). 12

110 a) 5 b) c) d) wf1, rekord 15 (A1g) Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem) Pakiet wysokoamplitudowy ( fala w płuczce ) atom nr 3 + atom nr 1 + atom nr 17 + atom nr 49 Akustyczny obraz falowy bez fali w płuczce Mapa Wignera (pogoń za dopasowaniem) Atom Gabora reprezentujący falę P Atomy Gabora reprezentujące falę w płuczce Atomy Gabora reprezentujące falę S skala kolorów atomów Gabora 1,,5 1 e) 5,4 -,4,4 -,4,4 P_MP (atom nr 27) S_MP (atom nr 16 + atom nr 46 + atom nr 56 + atom nr 59) St_MP (atom nr 3 + atom nr 6 + atom nr 7) Atomy Gabora reprezentujące falę St -,4,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Schemat dekompozycji akustycznych obrazów falowych na przykładzie sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g. Akustyczny obraz falowy (a) poddawany był dekompozycji algorytmem MP (b), na podstawie której wydzielano z sygnału pakiet wysokoamplitudowy ( falę w płuczce ) i rekonstruowano sygnał pozbawiony tego pakietu (c) Następnie, tak przetworzony obraz falowy dekomponowano raz jeszcze (d) i wydzielano z niego fale P, S i Stoneleya (e) 13

111 Rys Rozdzielone pole falowe akustycznych obrazów falowych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem (plik: Rys Rozdzielone pakiety falowe wf1.cdr) 14

112 5.5.8 Wyniki dekompozycji akustycznych obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem: analizy czasu interwałowego i częstotliwości wydzielonych fal Zaproponowany schemat przetwarzania obrazów falowych doprowadził do rozdzielenia pola falowego na fale: P, S, falę w płuczce i Stoneleya (rys. 5.27). Otrzymano również akustyczne obrazy falowe, z których usunięto pakiet wysokoamplitudowy ( falę w płuczce ). Wyznaczone metodą pogoń za dopasowaniem pakiety falowe posłużyły do dalszych obliczeń: czasu interwałowego poszczególnych fal oraz ich częstotliwości. Schemat badań, który doprowadził do otrzymanych wyników przedstawia rysunek Wyniki obliczeń czasu interwałowego i częstotliwości w funkcji głębokości zostały przedstawione na rysunku Prezentowane na tym rysunku krzywe są średnimi wartościami odpowiednich parametrów uzyskanych z obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4. Wyniki zostały wygładzone 21-punktową średnią krokową. Poniżej szczegółowo omówiono analizy czasu interwałowego i częstotliwości fal. Analiza czasu interwałowego Zrekonstruowane metodą MP pakiety falowe wczytano do systemu Geowin 8 i za pomocą funkcji semblance obliczono czasy interwałowe: fali S (DTS_MP), pakietu wysokoamplitudowego (DTPł_MP) oraz fali Stoneleya (DTSt_MP). Aplikacja FalaWin w module Fala2, który umożliwia automatyczne obliczenie czasów interwałowych dla całego odcinka otworu, nie wykorzystuje funkcji semblance do obliczenia czasu interwałowego fali P. Wyznacza go na podstawie aparaturowych czasów interwałowych DT8 i DT1. Z tego powodu nie otrzymano czasu interwałowego DTP_MP. Czasy interwałowe pakietów falowych wydzielonych z obrazów falowych porównano z odpowiednimi czasami interwałowymi obliczonymi z oryginalnych rejestracji, tj. obrazów falowych przed dekompozycją. Czas interwałowy pakietu wysokoamplitudowego DTPł_MP zestawiono razem z DTSt_oryg i DTSt_MP, aby móc stwierdzić, czy pakiet wysokoamplitudowy jest falą w płuczce czy Stoneleya. Porównanie czasów interwałowych (rys. 5.29) prowadzi do następujących obserwacji i wniosków: Czasy interwałowe fali S: DTS_MP i DTS_oryg, mają taki sam przebieg i bardzo zbliżone wartości. Podobnie jest z krzywymi dla fali Stoneleya: DTSt_MP i DTSt_oryg, za wyjątkiem głębokości obejmujących wapień cechsztyński Ca1. Dowodzi to skuteczności metody pogoń za dopasowaniem w zagadnieniu rozdzielenia pola falowego i wydzielenia fal użytecznych z akustycznych obrazów falowych. 8 Import danych do Geofizycznej Bazy Danych (GBD) systemu Geowin wykonano za pomocą specjalnie powstałej w tym celu aplikacji Asciiconverter autorstwa Krzysztofa Marzenckiego. Aplikacja ta umożliwia import i eksport profilowań skalarnych i wektorowych zapisanych w formacie tekstowym do i z GBD. Aplikacja zostanie włączona do powstającej najnowszej wersji systemu Geowin. 15

113 Rys Schemat blokowy badań prowadzących do otrzymania czasów interwałowych i częstotliwości fal akustycznych wydzielonych z obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem W nasyconym gazem poziomie Ca1 czas interwałowy DTSt_MP ma większe wartości od DTSt_oryg. Jedną z przyczyn rozbieżności może być przyjęta parametryzacja atomów Gabora. Opierając się na cechach dynamicznych obrazów falowych, fala Stoneleya w poziomie Ca1 została wyznaczona później niż w pozostałych litologiach. Falę Stoneleya zdefiniowano jako falę występującą za pakietem wysokoamplitudowym, który w poziomie Ca1 jest bardzo rozciągnięty w czasie. Pośrednio mogło to wpłynąć na zwiększenie czasu interwałowego obliczanego funkcją semblance. Czas interwałowy pakietu wysokoamplitudowego ma znacznie niższe wartości niż DTSt_MP prędkość DTSt_oryg, czyli charakteryzuje się większą prędkością propagacji niż pakiety falowe, na podstawie których obliczono DTSt_MP i DTSt_oryg. Wskazuje to, że pakiet wysokoamplitudowy rzeczywiście odpowiada fali w płuczce. Prędkość pakietu wysokoamlitudowego obliczona z krzywej DTPł_MP wynosi około m/s. Gdyby pakiet wysokoamplitudowy był falą Stoneleya, to wtedy fala biegnąca w płuczce musiałaby mieć prędkość około m/s, co jest wartością za wysoką. Dodatkowym argumentem przemawiającym za tym wnioskiem jest brak zmian czasu interwałowego DTPł_MP w nasyconym gazem wapieniu cechsztyńskim Ca1. Dysponując krzywymi czasu interwałowego fali w płuczce i fali Stoneleya można policzyć, o ile fala Stoneleya jest wolniejsza od fali w płuczce. Na podstawie literatury wiadomo, że w szybkich formacjach V St powinno wynosić około,9 V pł. W przypadku, gdy prędkość fali S spada i zbliża się do prędkości fali w płuczce spada również prędkość fali Stoneleya i jednocześnie zmniejsza się stosunek prędkości V St do V pł (rozdz. 3.2, rys. 3.9). 16

114 Do obliczenia stosunku prędkości fali Stoneleya do prędkości fali w płuczce wykorzystano obie krzywe czasu interwałowego: DTSt_oryg oraz DTSt_MP. W pierwszym przypadku stosunek ten wyniósł około,9-,94 dla całego interwału głębokościowego. W przypadku drugim zaobserwowano w Ca1 znaczący spadek stosunku prędkości do wartości około,84. Jednocześnie w tym poziomie litologicznym obserwuje się obniżenie prędkości fali S (zwiększenie zarówno czasu interwałowego DTS_oryg jak i DTS_MP). Jest to zgodne z informacją o spadku prędkości fali Stoneleya wraz ze zmniejszeniem prędkości fali S i przemawia za poprawnym określeniem czasu interwałowego fali Stoneleya za pomocą dekompozycji MP, a błędnym określeniem DTSt_oryg z nierozdzielonych obrazów falowych w tej litologii. Na tej podstawie można wnioskować, że zwiększenie czasu interwałowego DTSt_MP w poziomie Ca1 jest spowodowane głównie własnością fali Stoneleya, a nie tylko parametryzacją atomów Gabora. Obniżenie prędkości fali S w poziomie Ca1 nie może być wywołane obecnością gazu, ponieważ media wypełniające przestrzeń porową w znikomy stopniu wpływają na prędkość rozchodzenia się fali poprzecznej. Nie jest to również wpływ samej porowatości, ponieważ dolomit główny charakteryzuje się podobną porowatością a nie obserwuje się w nim obniżenia prędkości fali S. Obniżenie prędkości tej fali musi być spowodowane innymi własnościami sprężystymi szkieletu skalnego wapienia cechsztyńskiego, tym bardziej, że jest ono obserwowane w całym interwale Ca1 a nie tylko w poziomach gazonośnych. Analiza częstotliwości Częstotliwość najbardziej znaczącego atomu Gabora w wydzielonym pakiecie falowym została przyjęta jako częstotliwość dominująca danej fali akustycznej. Częstotliwości zostały wyznaczone osobno dla fal wydzielonych z każdego obrazu falowego: wf1, wf2, wf3 i wf4. Nie zaobserwowano żadnej relacji między częstotliwością a odległością nadajnik-odbiornik. Dlatego prezentowane na rysunku 5.29 krzywe: f_p, f_s, f_pł i f_st, są częstotliwościami uśrednionymi, uzyskanymi z obrazów wf1, wf2, wf3 i wf4. Częstotliwości fal P, S, w płuczce i Stoneleya, poza drobnymi wyjątkami, są bardzo zbliżone do siebie i obejmują wartości z zakresu 1-15 khz. Słaba jest także zmienność częstotliwości z litologią. Jednak bardzo uważna analiza wzajemnych relacji między częstotliwościami w obrębie najważniejszych bloków litologicznych pozwala uchwycić pewne zależności: Zmiana częstotliwości z litologią jest mało wyraźna, gdyż przedział zmian częstotliwości jest niewielki (od około 12 khz, sporadycznie od 1 khz, do 15 khz). Można jednak zauważyć znaczące obniżenie częstotliwości w poziomie wapienia cechsztyńskiego Ca1, szczególnie w poziomach gazonośnych, sięgające 8 khz. Dobrze widoczne jest to na krzywych blokowych f_blok przedstawiających średnią wartość częstotliwości obliczoną dla każdej litologii. Sole Na3_1, Na3_2 i Na2 wyróżniają się spośród całego interwału bardzo zbliżonymi do siebie wartościami częstotliwości fal P, fali w płuczce i fali Stoneleya. Krzywe częstotliwości tych 17

115 fal przeplatają się ze sobą. Niższymi częstotliwościami wyróżnia się fala S. Charakterystykę częstotliwościową w solach można opisać relacją: f S < f P f Pł f St. Anhydryty A3d, A2d i A1g oraz stropowa część dolomitu głównego Ca2 charakteryzują się niższymi częstotliwościami fali P w stosunku do częstotliwości fali S. Spągowa część dolomitu głównego Ca2, wapień cechsztyński Ca1 oraz piaskowce P-ce mają odwrotną relację częstotliwości fal P i S, tzn. f S < f P. Częstotliwość fali Stoneleya we wszystkich wyżej wymienionych litologiach zachowuje się w bardzo zmienny sposób przyjmując wartości większe, mniejsze lub zbliżone w stosunku do pozostałych fal. Fala w płuczce ma wyraźną tendencję do przyjmowania najniższych częstotliwości spośród wydzielonych pakietów falowych. Szczegółowo relacje częstotliwości w poszczególnych litologiach przedstawiają się następująco: A3d f Pł < f P < f S f St, A2d f Pł < f P f St < f S, Ca2 (część stropowa) f Pł < f St < f P < f S, Ca2 (część spągowa) f Pł < f St < f S < f P, A1g f Pł f St < f P < f S, Ca1 f Pł < f St < f S < f P, P-ce f Pł f St < f S < f P. Analiza częstotliwości najbardziej znaczących atomów Gabora reprezentujących dany pakiet falowy daje unikatową informację o częstotliwości fal z krokiem próbkowania głębokościowego akustycznych obrazów falowych. Pozwala prześledzić zmiany częstotliwości z głębokością oraz wzajemne relacje częstotliwości pomiędzy poszczególnymi falami. Badania dowiodły, że fale rejestrowane na akustycznych obrazach falowych sondą LSS charakteryzują się małą zmiennością częstotliwości z litologią. Stwierdzono również zmienną relację częstotliwości pomiędzy poszczególnymi pakietami falowymi, z powodu której nie można podać uniwersalnej reguły szeregującej fale według częstotliwości (np. f Pł < f St < f S < f P ). Dlatego informacja o częstotliwości jest niewystarczającym kryterium do rozdzielenia pola falowego. Analiza częstotliwości może natomiast pomóc wskazać strefy nasycone gazem, w których obserwuje się wyraźne obniżenie częstotliwości. Metodyka oraz wyniki badań analizy akustycznych obrazów falowych przy wykorzystaniu metody pogoń za dopasowaniem zostały przedstawione na konferencjach GEOPETROL (Wawrzyniak 26a) i EAGE Conference Exhibition (Wawrzyniak 26b). 18

116 f_st_blok 6 khz 2 Głębokość [m] 22 PG API 15 Śr_nom mm 1 PŚr mm 1 DTP_oryg 1 µs/m 6 DTS_MP DTPł_MP 55 µs/m 75 DTSt_MP DTPł_MP/ DTSt_MP,8 1, 1 µs/m 6 55 µs/m 75 DTPł_MP/ DTS_oryg DTSt_oryg DTSt_oryg 1 µs/m 6 55 µs/m 75,8 1, f_p 6 khz 2 f_s 6 khz 2 f_pł 6 khz 2 f_st 6 khz 2 f_pł_blok 6 khz 2 f_s_blok 6 khz 2 f_p_blok 6 khz 2 wkładka 1 Na3_ wkładka 2 Na3_2 28 A3d T3 A2g Na2 218 A2d 22 Ca2 222 A1g Ca1_ Ca1_1 Ca1_2 Ca1_3 Ca1_4 Ca1_5 Ca1_6 Ca1_7 Ca1_8 Ca1_9 P-ce Rys Czasy interwałowe i częstotliwości fal akustycznych rozdzielonych metodą pogoń za dopasowaniem (PG prof. gamma, PŚr prof. średnicy, Śr_nom krzywa średnicy nominalnej, DT_oryg czasy interwałowe z oryginalnych obrazów falowych, DT_MP czasy interwałowe z obrazów falowych rozdzielonych metodą MP, f częstotliwość fal, f_blok średnia wartość częstotliwości w obrębie danego typu litologicznego) 19

117 5.6 Atrybuty chwilowe obliczone w oparciu o mapy czasowo-częstotliwościowe Wprowadzenie Atrybuty są jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych przy interpretacji jakościowej danych sejsmicznych. Dostarczają informacji o geometrii i fizycznych własnościach ośrodka geologicznego. Od momentu wprowadzenia pierwszych atrybutów opartych o definicję trasy zespolonej (Taner et al. 1979) pojawiło się wiele innych, obliczanych przed lub po składaniu, i związanych z podstawowymi parametrami danych sejsmicznych, takimi jak: czas, amplituda, częstotliwość i tłumienie. Szczegółową klasyfikację atrybutów można znaleźć m.in. w pracach: Taner (1992) i Brown (21). Wśród ogromu zdefiniowanych atrybutów osobną grupę tworzą atrybuty chwilowe. Reprezentują one chwilowe zmiany różnych parametrów i pozwalają na wyeksponowanie niewielkich niejednorodności ośrodka. Ujawniają lokalne własności ośrodka skalnego, nie zawsze widoczne na tradycyjnym zapisie. W interpretacji akustycznych obrazów falowych wykorzystano dotychczas podstawowe atrybuty chwilowe obliczane z trasy zespolonej: amplitudę chwilową, częstotliwość chwilową, fazę chwilową oraz polaryzację pozorną (Knize 1989, Bała et al. 1994, Bała i Jarzyna 1996). Do grupy atrybutów chwilowych zaliczane są również: chwilowa częstotliwość środkowa (ang. instantaneous centre frequency), chwilowa częstotliwość dominująca (ang. instantaneous dominant frequency) i chwilowa szerokość widma (ang. instantaneous spectral bandwidth), które zastosowano w analizie danych sejsmiki refleksyjnej (Barnes 1993, Zabihi i Siahkoohi 26). Wywodzą się one z najczęściej wykorzystywanych charakterystyk widmowych, tj. z częstotliwości środkowej, częstotliwości dominującej i szerokości widma. W przeciwieństwie do atrybutów chwilowych, te ostatnie reprezentują uśrednione miary widma częstotliwościowego. Zostaną pokrótce przedstawione w celu przejrzystego zdefiniowania atrybutów chwilowych. Uśrednione miary widma częstotliwościowego zdefiniowane zostały w oparciu o charakterystyki znane z teorii prawdopodobieństwa i obliczane są na podstawie widma mocy z transformaty Fouriera. Częstotliwość środkowa f c widma mocy P(f) jest średnią widma mocy. Obliczana jest ze wzoru na wartość oczekiwaną (pierwszy moment początkowy): ( f ) f c = (5.2) Wariancja (drugi moment centralny) częstotliwości f b 2 wokół średniej f c dana jest wzorem: fp P ( f ) df df 11

118 2 2 ( f fc ) P( f ) fb = (5.3) P df Wielkość f b jest odchyleniem standardowym wokół średniej (czyli częstotliwości środkowej f c ) i jest miarą szerokości widma (a dokładniej połowy szerokości widma). Inną uśrednioną miarą widma mocy jest drugi moment początkowy, f 2 r, zdefiniowany następująco: 2 f ( f ) ( f ) ( f ) df f r = (5.4) 2 P Wielkość f r określa częstotliwość przechodzenia sygnału przez zero (ang. zero-crossing frequency), która jest dogodną miarą częstotliwości dominującej (Barnes 1993). Z własności teorii prawdopodobieństwa wynika, że: 2 r 2 c P df df 2 b f = f + f (5.5) Na rysunku 5.3 zobrazowano częstotliwość środkową, częstotliwość dominującą i szerokość widma dla sygnału Rickera o częstotliwości 3 Hz. Atrybuty chwilowe są zdefiniowane analogicznie do swoich uśrednionych odpowiedników, przy czym widmo mocy P(f) z transformaty Fouriera we wzorach jest zastąpione chwilowym widmem mocy E(t, f), będącym czasowo-częstotliwościową reprezentacją sygnału. Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t), chwilowa szerokość widma σ f (t) i chwilowa częstotliwość dominująca f d (t) są określone następującymi wzorami: 2 f ( t) ( t) ( t, f ) f i = (5.6) fe E ( t, f ) df df 2 ( f fi ( t) ) E( t, f ) σ = (5.7) 2 ( t) E ( t, f ) df ( t, f ) ( t, f ) df f d = (5.8) Wielkości te są powiązane relacją, będącą odpowiednikiem równania (5.5): f 2 E E df df 111

119 f 2 d 2 2 ( t) f ( t) + σ ( t) = (5.9) i Zdefiniowane w ten sposób atrybuty chwilowe reprezentują chwilowe zmiany sygnału obserwowane w domenie czasu, chociaż są uśredniane po częstotliwości. Chwilowa częstotliwość środkowa i chwilowa szerokość widma są wielkościami niezależnymi, podczas gdy chwilowa częstotliwość dominująca jest funkcją obu tych atrybutów. f 1, Widmo mocy sygnał Rickera - 3 Hz częstotliwość środkowa f c = 31,9 Hz P(f),5 częstotliwość dominująca f r = 33,5 Hz połowa szerokości widma f b = 1,2 Hz, [Hz] 8 Rys. 5.3 Uśrednione miary widma częstotliwościowego na przykładzie sygnału Rickera (częstotliwość środkowa, częstotliwość dominująca i szerokość widma) Barnes (1993) do obliczenia chwilowego widma mocy zastosował krótkoczasową transformatę Fouriera. W swojej pracy wykorzystał omawiane atrybuty chwilowe do analizy sygnałów złożonych z interferujących fal. Zasugerował, że miejsca, w których chwilowa szerokość widma σ f (t) ma większe wartości od chwilowej częstotliwości środkowej f i (t) mogą wskazywać na czas przyjścia nowej fali. Zaproponował również zastosowanie atrybutów chwilowych jako wskaźników cienia niskoczęstotliwościowego poniżej silnie tłumiących stref, takich jak strefy nasycone gazem. W tej pracy przedstawione powyżej atrybuty chwilowe wykorzystano do analizy akustycznych obrazów falowych. Do ich obliczenia zastosowano dwa rodzaje widma chwilowego: 1) Mapy czasowo-częstotliwościowe otrzymane z transformaty falkowej (skalogramy). 2) Mapy czasowo-częstotliwościowe otrzymane z metody pogoń za dopasowaniem (mapy Wignera). Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla obu metod czasowo-częstotliwościowych przedstawiono na rysunku Analizy przeprowadzono w programie Matlab oraz Guimauve. 112

120 a) b) głębokość h, h,..., h 1 2 n głębokość h, h,..., h 1 2 n amp AOF amp AOF czas czas transformata falkowa pogoń za dopasowaniem głębokość h, h,..., h 1 2 n głębokość h, h,..., h 1 2 n E(t, f) E(t, f) skala częstotliwość częstotliwość czas czas głębokość h, h,..., h 1 2 n atrybuty chwilowe głębokość h, h,..., h 1 2 n atrybuty chwilowe f (t) i f (t) i atrybuty chwilowe f (t) d atrybuty chwilowe f (t) d σ f (t) σ f (t) czas czas Rys Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla akustycznych obrazów falowych (AOF) na podstawie transformaty falkowej (a) i metody pogoń za dopasowaniem (b). Dla każdego obrazu falowego obliczana była transformata falkowa oraz dekompozycja metodą pogoń za dopasowaniem. Otrzymane w ten sposób reprezentacje czasowo-częstotliwościowe, odpowiednio: skalogramy i mapy Wignera, wykorzystano jako chwilowe widma mocy do obliczenia atrybutów chwilowych. Obliczenia wykonano osobno dla każdego punktu głębokościowego 113

121 5.6.2 Badania parametryczne i na danych syntetycznych dla transformaty falkowej W celu oceny możliwości wykorzystania atrybutów chwilowych f i (t), f d (t) oraz σ f (t) w analizie akustycznych obrazów falowych oraz ustalenia optymalnych parametrów przetwarzania przeprowadzono badania na syntetycznym sygnale wf1_synt i danych testowych. Badania na danych syntetycznych miały za zadanie sprawdzić: Jak należy odczytywać atrybuty chwilowe i czy można je wykorzystać do identyfikacji fal na obrazach falowych? Jaka falka daje najłatwiejsze do interpretacji wyniki pod kątem identyfikacji fal? Jak na atrybuty chwilowe wpływa ograniczenie mapy czasowo-częstotliwościowej do zakresu częstotliwości 5-2 khz? Badania parametryczne, przeprowadzone na przykładowych kilkunastu rzeczywistych obrazach falowych, wykonane zostały pod kątem ustalenia optymalnych parametrów obliczania atrybutów chwilowych, tj. rodzaju transformaty falowej (dyskretna czy ciągła) oraz zakresu skali, a w przypadku transformaty ciągłej, również kroku zmiany skali. Te badania przeprowadzono z wykorzystaniem falki Morleta. Badania na danych syntetycznych Syntetyczny obraz falowy wf1_synt poddano ciągłej transformacie falkowej wykorzystując następujące falki: Coiflet 5, Daubechies 8, Gauss 5, Meyera, Morleta i Symlet 5. W wyniku otrzymano mapy czasowo-częstotliwościowe będące rozkładem współczynników falowych. Transformatę dla wszystkich falek obliczono przyjmując skalę z przedziału [1, 64] zmieniającą się z krokiem 1. Następnie dla każdej falki przeliczono skale na pseudoczęstotliwości według wzoru (5.1). Na tej podstawie określono przedział skali, odpowiadający częstotliwościom z zakresu 5-2 khz (5 khz powinno być najniższą częstotliwością akustycznych obrazów falowych z uwagi na filtrowanie rejestracji w sondzie LSS filtrem górnoprzepustowym, a 2 khz powinno być najwyższą częstotliwością, gdyż jest to częstotliwość nadajnika). Obliczone mapy czasowo-częstotliwościowe współczynników falkowych wykorzystano do obliczenia atrybutów chwilowych f i (t), f d (t) oraz σ f (t). Obliczenia przeprowadzono najpierw dla całej mapy czasowo-częstotliwościowej, tj. całego zakresu częstotliwości, jaki dana falka pokrywa przy skali zmieniającej się od 1 do 64 i kroku próbkowania sygnału równym 4 µs. Następnie obliczono ponownie atrybuty chwilowe, tym razem biorąc do obliczeń mapę czasowo-częstotliwościową ograniczoną do częstotliwości 5-2 khz. Przeprowadzone obliczenia przedstawione są na rysunkach Analiza wyników badań przeprowadzonych na danych syntetycznych prowadzi do następujących obserwacji: Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t) i chwilowa częstotliwość dominująca f d (t) odzwierciedlają częstotliwości fal składowych wchodzących w skład sygnału. Chwilowa 114

122 szerokość widma σ f (t) ma znacznie niższe częstotliwości i trudno ją wykorzystać do identyfikacji fal składowych. W żadnym miejscu jej wartość nie jest większa od wartości chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej, stąd nie potwierdzone zostało stwierdzenie Barnesa. Schodkowy kształt atrybutów chwilowych, w szczególności f i (t) i f d (t), jest wynikiem konstrukcji sygnału syntetycznego. Poszarpany kształt atrybutów chwilowych ( ząbki ) jest konsekwencją charakteru skalogramów, na których współczynniki falkowe układają się równolegle wzdłuż osi skali tworząc grzbiety. Wartości chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej są bardzo zbliżone do siebie, przy czym chwilowa częstotliwość dominująca ma nieznacznie wyższe wartości. Atrybuty chwilowe obliczone na podstawie całej mapy czasowo-częstotliwościowej oraz mapy ograniczonej do częstotliwości z zakresu 5-2 khz różnią w szczegółach. Można zauważyć, że wykorzystanie całej mapy czasowo-częstotliwościowej do obliczeń daje niższe wartości atrybutów chwilowych w końcowym obszarze fali S i całym obszarze fali Stoneleya niż w przypadku zastosowania mapy ograniczonej. Jest to wynikiem zmiennej rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej transformaty falkowej. Dla niższych częstotliwości spada rozdzielczość w domenie czasu, co przejawia się większym rozmyciem współczynników falkowych wzdłuż osi czasu. W efekcie, dla niskich częstotliwości (wysokich wartości skali) współczynniki falkowe związane z falą Stoneleya pochodzą pod obszar fali S i zaniżają w ten sposób wartości atrybutów chwilowych. Atrybuty chwilowe otrzymane dla różnych falek w różny sposób odzwierciedlają częstotliwości fal składowych sygnału syntetycznego. Najlepsze wyniki pod tym względem uzyskano dla falki Meyera, wykorzystując ograniczoną mapę czasowo-częstotliwościową. f i (t) i f d (t) dla tej falki charakteryzują się dokładnym odtworzeniem częstotliwości fal składowych w całym obszarze ich trwania. Dobre wyniki otrzymano również dla falki Coiflet 5, choć częstotliwości fali Stoneleya są nieznacznie zawyżone. Podsumowując badania na sygnale syntetycznym można stwierdzić, że atrybuty chwilowe można wykorzystać do identyfikacji fal na akustycznych obrazach falowych. Najlepiej do tego zadania nadają się chwilowe częstotliwości: środkowa i dominująca, przy czym z uwagi na ich bardzo zbliżone wartości można wykorzystać tylko jeden z tych parametrów. Do obliczeń atrybutów chwilowych należy stosować mapy czasowo-częstotliwościowe ograniczone do zakresu pożądanych częstotliwości, aby zminimalizować wpływ zmiennej rozdzielczości transformaty falkowej. Na danych syntetycznych najlepsze wyniki dała falka Meyera. 115

123 a),4 Pwf1_synt -,4,4 Swf1_ synt -,4,4 Stwf1_synt -,4,4 wf1_synt b) -,4 1 1 współczynniki CWT falka Coiflet 5 2 khz 172,3 17,3 1,6 1,4 2 1,2 c) skala f (t) i f (t) d σ f (t) 5 khz,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 5,8 4,3 3,5 2, skala kolorów współczynników CWT 1,8,6,4,2 a = 1-64 ( f = 172,3-2,7 khz) a = 8-35 ( f = 2-5 khz) Rys Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5. Sygnał wf1_synt (a) został poddany ciągłej transformacie dostarczając skalogram (b). Na jego podstawie obliczono dwukrotnie atrybuty chwilowe: wykorzystując całą mapę czasowo-częstotliwościową oraz jej fragment obejmujący jedynie częstotliwości z zakresu 5-2 khz (c) 116

124 a),4 Pwf1_synt -,4,4 Swf1_ synt -,4,4 Stwf1_synt -,4,4 wf1_synt b) -,4 1 1 współczynniki CWT falka Daubechies 8 2 khz 166,7 16,7 1,6 1,4 2 1,2 c) skala f (t) i f (t) d σ f (t) 5 khz,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 5,6 4,2 3,3 2, skala kolorów współczynników CWT 1,8,6,4,2 a = 1-64 ( f = 166,7-2,6 khz) a = 8-34 ( f = 2-5 khz) Rys Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Daubechies 8. (Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32) 117

125 a),4 Pwf1_synt -,4,4 Swf1_ synt -,4,4 Stwf1_synt -,4,4 wf1_synt b) -,4 1 1 współczynniki CWT falka Gauss 5 2 khz ,5 1,6 1,4 2 1,2 c) skala f (t) i f (t) d σ f (t) 5 khz,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 4,2 3,3 2,5 2, skala kolorów współczynników CWT 1,8,6,4,2 a = 1-64 ( f = 125-1,95 khz) a = 6-26 ( f = 2-5 khz) Rys Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Gauss 5. (Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32) 118

126 a),4 Pwf1_synt -,4,4 Swf1_ synt -,4,4 Stwf1_synt -,4,4 wf1_synt b) -,4 1 1 współczynniki CWT falka Meyera 2 khz 172,6 17,3 1,6 1,4 2 1,2 c) skala f (t) i f (t) d σ f (t) 5 khz,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 5,8 4,3 3,5 2, skala kolorów współczynników CWT 1,8,6,4,2 a = 1-64 ( f = 172,6-2,7 khz) a = 8-35 ( f = 2-5 khz) Rys Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Meyera. (Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32) 119

127 a),4 Pwf1_synt -,4,4 Swf1_ synt -,4,4 Stwf1_synt -,4,4 wf1_synt b) -,4 1 1 współczynniki CWT falka Morleta 2 khz 23,1 2,3 1,6 1,4 2 1,2 c) skala f (t) i f (t) d σ f (t) 5 khz,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 6,8 5,1 4,1 3, skala kolorów współczynników CWT 1,8,6,4,2 a = 1-64 ( f = 23,1-3,2 khz) a = 1-41 ( f = 2-5 khz) Rys Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Morleta. (Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32) 12

128 a),4 Pwf1_synt -,4,4 Swf1_ synt -,4,4 Stwf1_synt -,4,4 wf1_synt b) -,4 1 1 współczynniki CWT falka Symlet 5 2 khz 166,7 16,7 1,6 1,4 2 1,2 c) skala f (t) i f (t) d σ f (t) 5 khz,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] 5,6 4,2 3,3 2, skala kolorów współczynników CWT 1,8,6,4,2 a = 1-64 ( f = 166,7-2,6 khz) a = 8-34 ( f = 2-5 khz) Rys Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Symlet 5. (Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32) 121

129 Badania parametryczne Badania parametryczne przeprowadzono dla kilkunastu wybranych sygnałów rzeczywistych pochodzących z różnych litologii. Obliczono atrybuty chwilowe na podstawie map czasowoczęstotliwościowych otrzymanych dla falki Coiflet 5, dla sześciu przypadków: 1) Dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzonej dla pięciu poziomów dekompozycji, (a = 2 j, j = 1,, 5; (a = 2, 4, 8, 16, 32)). 2) Dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzonej dla sześciu poziomów dekompozycji (a = 2 j, j = 1,, 6; (a = 2, 4, 8, 16, 32, 64)). 3) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 32] z krokiem zamiany skali równym,5. 4) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 32] z krokiem zamiany skali równym 1. 5) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 64] z krokiem zamiany skali równym,5. 6) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 64] z krokiem zamiany skali równym 1. Na rysunkach przedstawiono atrybuty chwilowe na tle map czasowo-częstotliwościowych obliczonych dla przykładowo wybranych przypadków pierwszego i szóstego. Rysunki przedstawiają odpowiednio chwilową częstotliwość środkową i chwilową szerokość widma, otrzymane dla każdego przypadku (każdej zastosowanej skali). Atrybuty chwilowe na rysunkach otrzymano dla sygnału wf1 zarejestrowanego w A1g. Na rysunkach nie zaprezentowano chwilowej częstotliwości dominującej, ponieważ podobnie jak w badaniach syntetycznych, wartości tego atrybutu są prawie identyczne z chwilową częstotliwością środkową. Analiza wyników badań parametrycznych wykonanych dla kilkunastu sygnałów rzeczywistych pozwoliła na wybór rodzaju transformaty falkowej oraz optymalnej skali. Atrybuty chwilowe z dyskretnej transformaty falkowej mają charakter ostrych pików. Ciągła transformata falkowa daje bardziej gładkie przebiegi atrybutów chwilowych. Biorąc pod uwagę zakres częstotliwości, jaki pokrywają różne falki, zdecydowano zastosować skalę liniowo zmieniającą się od 1 do 64. Skala ograniczona do 32 dla większości falek nie obejmuje dolnej granicy widma częstotliwościowego akustycznych obrazów falowych (tj. 5 khz). Porównanie wyników otrzymanych dla skali liniowej zmieniającej się z krokiem,5 i z krokiem równym 1 wykazała, że atrybuty chwilowe nie różnią się między sobą, natomiast znacząco wydłużył się czas obliczeń. Podsumowując, na podstawie badań parametrycznych i na danych syntetycznych dobrano odpowiednie parametry przetwarzania akustycznych obrazów falowych. Dalsze obliczenia, przeprowadzone dla całego interwału głębokościowego i wszystkich obrazów falowych wykonano za pomocą ciągłej transformaty falkowej ze skalą liniową z zakresu [1, 64] zmieniającą się z krokiem równym 1. Pomimo najlepszych wyników pod kątem identyfikacji fal otrzymanych w badaniach na danych syntetycznych dla falki Meyera, dla danych rzeczywistych zdecydowano się wykonać 122

130 obliczenia również dla pozostałych falek. Najbardziej obiecujące pod kątem identyfikacji fal są: chwilowa częstotliwość środkowa i dominująca, ale ponieważ mają bardzo zbliżony do siebie do przebieg, szczegółowo interpretowana będzie chwilowa częstotliwość środkowa. a) 5 wf1, rekord 15 (A1g) b) c) oktawa współczynniki DWT falka Coiflet 5 skala a = 2, j = 1,..., 5 f (t) i j -3,6 3,6-12,7 12,7-25,4 5,8-11,6 skala kolorów współczynników DWT f (t) d 25 σ f (t),4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Atrybuty chwilowe obliczone na rzeczywistym sygnale wf1 z anhydrytu górnego A1g z wykorzystaniem dyskretnej transformaty falkowej. Akustyczny obraz falowy (a) poddano dyskretnej transformacie falkowej na pięć poziomów dekompozycji za pomocą falki Coiflet 5. Rozkład współczynników falkowych na płaszczyźnie czas-częstotliwość (b) wykorzystano do obliczenia atrybutów chwilowych (c) 123

131 a) 5 wf1, rekord 15 (A1g) b) współczynniki CWT falka Coiflet 5 skala a = [1, 64] krok zmiany skali = 1 23,1 2, ,2 8 skala c) 25 3 f (t) i 6,8 5,1 4,1 3,4 skala kolorów współczynników CWT f (t) d 25 σ f (t),4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Atrybuty chwilowe obliczone na rzeczywistym sygnale wf1 z anhydrytu górnego A1g z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej. Akustyczny obraz falowy (a) poddano ciągłej transformacie falkowej za pomocą falki Coiflet 5, z wykorzystaniem skali z przedziału [1, 64], zmieniającej się z krokiem równym jeden. Na podstawie skalogramu (b) obliczono atrybuty chwilowe (c) 124

132 a) 5 wf1, rekord 15 (A1g) -5 b) 25 c) d) e) f) g) j f i(t); skala a = 2, j = 1,..., 5 j f i(t); skala a = 2, j = 1,..., 6 f (t); i skala liniowa [1, 32] krok:,5 f (t); i skala liniowa [1, 32] krok: 1 f (t); i skala liniowa [1, 64] krok:,5 f (t); i skala liniowa [1, 64] krok: 1,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys. 5.4 Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t) obliczona na podstawie różnych wariantów transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5. Dla akustycznego obrazu falowego wf1 zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g (a) obliczono chwilową częstotliwość środkową na podstawie dyskretnej (b, c) i ciągłej (d-g) transformaty falkowej. Obliczenia dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzono dla skali diadycznej a = 2 j, dla dwóch różnych poziomów dekompozycji (j= 5 i j = 6). Obliczenia ciągłej transformaty falkowej wykonano dla skal liniowych z zakresu [1, 32] i [1, 64], zmieniających się z krokiem równym,5 i 1 125

133 a) 5 wf1, rekord 15 (A1g) -5 b) 25 c) d) e) f) g) j σ f (t); skala a = 2, j = 1,..., 5 j σ f (t); skala a = 2, j = 1,..., 6 σ f (t); skala liniowa [1, 32] krok:,5 σ f (t); skala liniowa [1, 32] krok: 1 σ f (t); skala liniowa [1, 64] krok:,5 σ f (t); skala liniowa [1, 64] krok: 1,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Chwilowa szerokość widma σ f (t) obliczona na podstawie różnych wariantów transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5. Dla akustycznego obrazu falowego wf1 zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g (a) obliczono chwilową szerokość widma na podstawie dyskretnej (b, c) i ciągłej (d-g) transformaty falkowej. Obliczenia dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzono dla skali diadycznej a = 2 j, dla dwóch różnych poziomów dekompozycji (j= 5 i j = 6). Obliczenia ciągłej transformaty falkowej wykonano dla skal liniowych z zakresu [1, 32] i [1, 64], zmieniających się z krokiem równym,5 i Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą transformaty falkowej Obliczenia atrybutów chwilowych na rzeczywistych rejestracjach akustycznych obrazów falowych w otworze K6 wykonano według schematu przedstawionego na rysunku 5.31a oraz dla parametrów przetwarzania określonych na podstawie badań opisanych w poprzednim podrozdziale. Wybór falki, dla której obliczone atrybuty chwilowe najlepiej oddają charakter akustycznych obrazów falowych i odzwierciedlają poszczególne pakiety falowe, został dokonany w oparciu szczegółową analizę poszczególnych map czasowo-częstotliwościowych i odpowiadających im 126

134 atrybutów chwilowych, obliczonych dla kilkudziesięciu wybranych rejestracji z różnych typów litologicznych. Na rysunku 5.42 przedstawiono rozkłady współczynników falkowych dla przykładowego sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym, otrzymane dla każdej z testowanej falki. Odpowiadające im chwilowa częstotliwość środkowa i chwilowa szerokość widma są zaprezentowane odpowiednio na rysunkach 5.43 i Współczynniki falkowe falki Coiflet 5 na skalogramach charakteryzują się najlepszą rozdzielczością czasową i dobrą rozdzielczością częstotliwościową spośród testowanych falek. Maksima współczynników CWT są dobrze zlokalizowane wzdłuż osi czasu (nie rozbiegają się w formie wachlarza, ani nie układają się skośnie). Rozdzielczość w domenie częstotliwości, reprezentowana jako rozciągłość maksimów wzdłuż osi skali (częstotliwości) jest porównywalna z pozostałymi falkami. Lepszą lokalizację w domenie częstotliwości wykazuje jedynie falka Morleta, która charakteryzuje się jednak większym rozmyciem w domenie czasu, obserwowanym szczególnie dla niższych częstotliwości. Falka Gauss 5 wykazuje podobny charakter do rozkładu współczynników CWT falki Coiflet 5. Mapa czasowoczęstotliwościowa dla tej pierwszej falki charakteryzuje się niewiele większym rozmyciem wzdłuż osi czasu, za to trochę lepszą rozdzielczością w domenie częstotliwości. Współczynniki falkowe dla falki Daubechies 8 mają tendencję do skośnego układania się w stronę początku sygnału, co w przypadku analizowanych obrazów falowych skutkuje zaniżeniem częstotliwości, przede wszystkim fali S, na skutek podchodzenia współczynników falkowych od pakietu wysokoamplitudowego pod obszar fali S. Skośnie układają się również współczynniki falki Meyera, ale w stronę końca sygnału. Falka Symlet 5, choć cechuje się bardzo wąskimi maksimami układającymi się równolegle wzdłuż osi skali, wykazuje największe rozmycie wzdłuż tej osi, czyli charakteryzuje się słabą rozdzielczością w domenie częstotliwości. Powyższe obserwacje pozwalają odnieść się krytycznie do atrybutów chwilowych obliczonych na podstawie różnych falek. Najmniejszym zaufaniem należy obdarzyć wyniki otrzymane dla falek: Daubechies 8 oraz Symlet 5. Pozostałe falki nieznacznie różnią się między sobą pod względem rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej, a otrzymane atrybuty chwilowe pod względem wartości. Wyniki obliczeń atrybutów chwilowych (chwilowej częstotliwości środkowej i chwilowej szerokości widma) w sposób zbiorczy dla całego interwału głębokościowego przedstawiają rysunki: dla obrazów wf1, dla obrazów wf2, dla obrazów wf3 oraz rysunki dla obrazów wf4. Chwilowa częstotliwość dominująca została również policzona, ale ponieważ wyniki są bardzo zbliżone do chwilowej częstotliwości środkowej, dlatego ten atrybut nie został zaprezentowany. 127

135 a) współczynniki CWT - falka Coiflet 5 b) współczynniki CWT - falka Daubechies ,4 1,6 2,8 4, [ms] c) współczynniki CWT - falka Gauss 5 d) współczynniki CWT - falka Meyera ,4 1,6 2,8 4, [ms] e) współczynniki CWT - falka Morleta f) współczynniki CWT - falka Symlet skala skala skala skala skala skala 34 5,4 1,6 2,8 4, [ms] 35 5,4 1,6 2,8 4, [ms] 41 5,4 1,6 2,8 4, [ms] skala kolorów współczynników CWT: ,4 1,6 2,8 4, [ms] Rys Skalogramy ciągłej transformaty falkowej obliczone dla różnych falek (a-f) dla sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym. Skalogramy zostały ograniczone do takiego zakresu skali, aby obejmowały tylko częstotliwości z przedziału [5, 2 khz] 128

136 a) 5 wf1, rekord 8 (A3d) b) c) d) e) f) g) f (t); i falka Coiflet 5 f (t); i falka Daubechies 8 f (t); i falka Gauss 5 f i(t); falka Meyera f (t); i falka Morleta f (t); i falka Symlet 5,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map czasowo-częstotliwościowych przedstawionych na rysunku 5.42) Analizując chwilową częstotliwość środkową dla pojedynczych sygnałów na tle oryginalnych obrazów falowych jednocześnie ze zbiorczymi zestawieniami tego atrybutu dla całego interwału głębokości, można zaobserwować pewne prawidłowości: Początek fali P jest bardzo dobrze reprezentowany przez f i (t) i zaznacza się wyraźnym zwiększeniem wartości tego atrybutu. W obrębie pakietu fali P obserwuje się stopniowe zmniejszanie wartości chwilowej częstotliwości środkowej. Można wnioskować, że nie obserwuje się fal typu leaky modes, które charakteryzują się dyspersją normalną i powinny zaznaczyć się zwiększeniem częstotliwości pod koniec pakietu fali P. Pakiet fali S zaczyna się niższymi częstotliwościami niż początek fali P, lecz trochę wyższymi niż koniec fali P. Z tego powodu granica między falą P i S jest mało wyraźna w niektórych interwałach głębokościowych. Z końcem pakietu fali S występuje wyraźny wzrost 129

137 częstotliwości chwilowej. Zjawisko to jest związane z dyspersją normalną fali pseudo- Rayleigha. Pakiet wysokoamplitudowy jest reprezentowany na chwilowej częstotliwości środkowej jako bardzo wyraźne obniżenie częstotliwości. To obniżenie zaczyna się kilkadziesiąt mikrosekund wcześniej niż zaczynają się wysokie amplitudy tego pakietu falowego. Chwilowa częstotliwość środkowa może wskazywać rzeczywisty czas przyjścia pakietu wysokoamplitudowego, którego początek jest zamaskowany przez interferencję z występującymi wcześniej pakietami falowymi (końcem fal pseudo-rayleigha i fali S). Szerokość obniżenia częstotliwości atrybutu f i (t) pozwala oszacować czas trwania tego pakietu falowego sięgający od około 3 µs do 4 µs, w zależności od litologii. Za pakietem fali wysokoamplitudowej pojawiają się fale o bardzo wysokich chwilowych częstotliwościach. Są to fale odbite i wielokrotnie odbite. W obrębie wapienia cechsztyńskiego Ca1 obserwuje się bardzo wyraźne obniżenie chwilowej częstotliwości środkowej, szczególnie w podpoziomach Ca1_3, Ca1_4, Ca1_5 oraz Ca1_8, które odpowiadają poziomom gazonośnym. Interesujące jest to, że największe obniżenie częstotliwości chwilowej występuje dla większych czasów obrazów falowych (obszar fali w płuczce i Stoneleya oraz dla późniejszych czasów). Rozpatrując zmienność chwilowej częstotliwości środkowej wraz z głębokością widać, że atrybuty chwilowe zmieniają się wraz z litologią. Anhydryty: A3d, A2d, A1g, dolomit główny Ca2 i piaskowce P-ce, wyróżniają się w całym otworze się dość podobnym charakterem atrybutów chwilowych. W obrębie piaskowców uwypukliły się zmiany związane najprawdopodobniej z zaileniem. W anhydrycie górnym A1g f i (t) obserwuje się zaskakująco dość skomplikowany charakter i sporą zmienność, co utrudnia interpretację atrybutów chwilowych w obrębie tej litologii. Z tego też powodu wyjątkowo zrezygnowano z prezentowania wyników na przykładzie rekordu 15 pochodzącego z A1g, gdyż atrybuty chwilowe akurat dla tego sygnału nie są reprezentatywne dla całej litologii. W zamian wyniki obliczeń atrybutów chwilowych na podstawie transformaty falkowej dla różnych falek przedstawiono na przykładzie sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym A3d (rekord 8) (rys ). Na podstawie chwilowej szerokości widma trudno wyciągnąć wnioski dotyczące fal na akustycznych obrazach falowych, pomimo tego, można się dopatrzyć pewnej zmienności tego atrybutu zarówno z głębokością (tj. litologią), jak i wzdłuż osi czasu. 13

138 a) 5 wf1, rekord 8 (A3d) -5 b) 25 c) d) e) f) g) σ f (t); falka Coiflet 5 σ f (t); falka Daubechies 8 σ f (t); falka Gauss 5 σ f (t); falka Meyera σ f (t); falka Morleta σ f (t); falka Symlet 5,4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Chwilowa szerokość widma σ f (t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map czasowo-częstotliwościowych przedstawionych na rysunku 5.42) 131

139 Rys Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t) obliczona dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf1 CWT fc fr.cdr; arkusz 1) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 132

140 Rys Chwilowa szerokość widma σ f (t) obliczona dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf1 CWT fc fr.cdr; arkusz 2) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 133

141 Rys Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t) obliczona dla obrazów falowych wf2 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf2 CWT fc fr.cdr; arkusz 1) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 134

142 Rys Chwilowa szerokość widma σ f (t) obliczona dla obrazów falowych wf2 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf2 CWT fc fr.cdr; arkusz 2) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 135

143 Rys Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t) obliczona dla obrazów falowych wf3 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf3 CWT fc fr.cdr; arkusz 1) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 136

144 Rys. 5.5 Chwilowa szerokość widma σ f (t) obliczona dla obrazów falowych wf3 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf3 CWT fc fr.cdr; arkusz 2) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 137

145 Rys Chwilowa częstotliwość środkowa f i (t) obliczona dla obrazów falowych wf4 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf4 CWT fc fr.cdr; arkusz 1) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 138

146 Rys Chwilowa szerokość widma σ f (t) obliczona dla obrazów falowych wf4 z wykorzystaniem ciągłej (plik: Rys wf4 CWT fc fr.cdr; arkusz 2) transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek 139

147 5.6.4 Badania na danych syntetycznych dla metody pogoń za dopasowaniem Podobnie jak dla transformaty falkowej, dla metody pogoń za dopasowaniem przeprowadzono badania na danych syntetycznych. Ich celem było zapoznanie się z charakterem atrybutów chwilowych obliczonych na podstawie map Wignera. W przypadku tej metody nie było potrzeby przeprowadzenia specjalnych badań parametrycznych, gdyż obliczenia atrybutów chwilowych wykonano wprost na dekompozycjach otrzymanych metodą MP. Jako dane syntetyczne wykorzystano sygnał wf1_synt, który następnie poddano dekompozycji na 2 atomów Gabora. Rozkład atomów na płaszczyźnie czas częstotliwość (mapa Wignera) posłużył obliczeniu atrybutów chwilowych. Na rysunku 5.53, na tle sygnału syntetycznego i jego składowych, przedstawiono mapę Wignera oraz obliczone atrybuty chwilowe. Mają one zupełnie inny charakter niż atrybuty otrzymane z transformaty falkowej. Wyróżniają się gładkim przebiegiem oraz zerową wartością w tych miejscach na osi czasu, dla których algorytm MP nie dopasował żadnego atomu Gabora. Podobnie jak dla transformaty falkowej, chwilowa częstotliwość środkowa i dominująca mają zbliżone wartości i odzwierciedlają częstotliwości fal składowych sygnału. Również chwilowa szerokość widma ma niższe wartości od wartości częstotliwości chwilowych. Chwilowa częstotliwość środkowa i dominująca sygnalizują wcześniejsze przyjście fal składowych niż to wynika z rzeczywistego położenia tych fal. Jest to wynikiem rozmycia atomów Gabora, tj. ich czasu trwania, który jest określany za pomocą oktawy j. W efekcie każdy atom Gabora tworzy plamę na płaszczyźnie czas częstotliwość, chociaż środek atomu wyznacza dokładnie jego położenie. Z tego też powodu zdecydowano zastosować mapy Wignera ograniczone do 3 khz, a nie 2 khz, aby atomy położone w pobliżu częstotliwości nadajnika były w całości wykorzystane do obliczeń atrybutów chwilowych Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem Atrybuty chwilowe obliczono według schematu przedstawionego na rysunku 5.31b. Dla wszystkich obrazów falowych zastosowano dekompozycję MP na 6 atomów Gabora. Wszystkie atomy Gabora mieszczące się na mapie Wignera ograniczonej do 3 khz zostały wykorzystane do obliczenia atrybutów chwilowych. Rysunek 5.54 przedstawia atrybuty chwilowe na tle mapy Wignera dla przykładowego sygnału wf1 zarejestrowanego w litologii A1g. Zbiorcze wyniki chwilowej częstotliwości środkowej i chwilowej szerokości widma dla całego interwału głębokościowego dla wszystkich obrazów falowych wf1 wf4 prezentują odpowiednio rysunki Chwilowa częstotliwość dominująca nie jest prezentowana. 14

148 a) b),4 -,4,4 -,4,4 -,4,4 -, Pwf1_synt Swf1_ synt Stwf1_synt wf1_synt Mapa Wignera (metoda pogoń za dopasowaniem) 1, skala kolorów atomów Gabora,5 c) f(t) i f (t) d σ f (t),4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie metody pogoń za dopasowaniem. Syntetyczny obraz falowy (a) został poddany dekompozycji na 2 atomów Gabora. Mapa Wignera, ograniczona do 3 khz (b), posłużyła od obliczenia atrybutów chwilowych (c). Na rysunku przerywanymi liniami zaznaczono czasy przyjścia syntetycznych fal P, S i Stoneleya w celu prześledzenia zmian atrybutów chwilowych pod kątem identyfikacji poszczególnych fal 141

149 a) b) wf1, rekord 15 (A1g) Mapa Wignera (metoda pogoń za dopasowaniem) 1, skala kolorów atomów Gabora,5 c) f (t) i f (t) d σ f (t),4,8 1,2 1,6 2, 2,4 2,8 3,2 3,6 4, [ms] Rys Atrybuty chwilowe obliczone z wykorzystaniem metody pogoń z dopasowaniem dla sygnału wf1 z anhydrytu górnego A1g. Obraz falowy wf1 z A1g (a) został poddany dekompozycji na 6 atomów Gabora. Mapa Wignera, ograniczona do 3 khz (b), została wykorzystana do obliczenia atrybutów chwilowych (c). Na rysunku przerywanymi liniami zaznaczono czasy przyjścia fal P, S i pakietu wysokoamplitudowego w celu prześledzenia zmian atrybutów chwilowych pod kątem identyfikacji fal, wyznaczone w oparciu o zmiany amplitud na akustycznym obrazie falowym Analizując rysunki dla pojedynczych rejestracji oraz zbiorcze zestawienia dla całego interwału głębokościowego można zaobserwować pewne charakterystyczne cechy atrybutów chwilowych otrzymanych na podstawie metody pogoń za dopasowaniem: Fala P jest bardzo niedokładnie reprezentowana przez atomy Gabora. Z uwagi na czas trwania atomów (tj. oktawę atomów Gabora j) czas przyjścia fali P na atrybutach chwilowych zaznacza się wcześniej niż ma miejsce w rzeczywistości. Poszarpany charakter linii znaczącej początek 142