, (b) , (g) a 1 ma = 2 + D 1 C 2 A 1 D 2 + D 1 B 2 C 1 B 1 C 2 B 2 C 1 A 2 + B 1 C 2 C 1 D 2 + B 1 B 2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download ", (b) , (g) a 1 ma = 2 + D 1 C 2 A 1 D 2 + D 1 B 2 C 1 B 1 C 2 B 2 C 1 A 2 + B 1 C 2 C 1 D 2 + B 1 B 2"

Eleonora Sobczyk
7 lat temu
Przeglądów:

1 Zstaw zaań 3: Marz wyznaznk 1 (1) Olzyć lozyny arzy: () 6 4 [ [ ] () () [ ] T [ ] (f) [ ] [ ] T (g) 2 0 T ] () (2) Dla A = B = olzyć: A 2 + 2AB + B 2 (A + B) 2 ; () A 2 2AB + B 2 (A B) 2 ; () A 2 B 2 (A B)(A + B) (A + B)(A B) (3) Pokazać ż la owolnj lzy naturalnj zahozą równoś: [ ] a 0 a = [ 0 1 a 1 a 0 0 () = [ ] [ ] os α sn α os α sn α () = () sn α os α sn α os α () = 1 ( 1) ] [ a 1 0 a ] = [ ] a a 1 0 a [ ] A D (4) Jśl A Kn n B K C Kn D K n to arz nazyway arzą klatkową C B o klatkah A D C B Sprawzć ż [ ] A1 D 1 A2 D 2 A1 A = 2 + D 1 C 2 A 1 D 2 + D 1 B 2 C 1 B 1 C 2 B 2 C 1 A 2 + B 1 C 2 C 1 D 2 + B 1 B 2 (5) Dla A K n B Kn uowonć równość tr(ab) = tr(ba) (6) Dla A K n B Ks uowonć równość (AB) T = B T A T Poać przykła pary arzy C D la któryh równość (CD) T = C T D T n zahoz (7) Znalźć [ wszystk ] [ tak arz ] A [ K2 2 ż] [ ] A = A () A = () A = () A = () A = 0 1 (8) Cntralzator arzy A Kn n nazyway zór Z(A) = {X Kn n : AX = XA} Sprawzć ż Z(A) jst poalgrą algry Kn n (tzn jst poprzstrzną przstrzn Kn n zawra arz jnostkową I oraz jst zaknęty z wzglęu na nożn) 2 1 Poję arzy wprowazl anglsy atatyy: Wlla Rowan Halton ( ) Arthur Cayly ( ) John J Sylvstr ( ) w latah 40-tyh XIX w 1

2 2 () Wyznazyć Z( ) () Wyznazyć Z(A) w zalżnoś o anj owolnj arzy A K 2 2 () Dla jakh A K 2 2 zahoz równość Z(A) = ln(i A)? () Uowonć ż każa arz A K 2 2 spłna warunk A 2 ln(i A) (9) Nh E r oznaza arz kwaratową stopna n którj lnt o wskankah r równy jst 1 a pozostał lnty są równ 0 Olzyć: E r E lk () A E r () E r A () A (I n + ae r ) r () (I n + E r ) A r (f) (I n + ae r )(I n + E r ) r gz A K n n a K Zntrprtować () oraz () w języku opraj lntarnyh wykonanyh na A (10) Wykazać ż la owolngo zoru A K n n la owolnj arzy A K n n A jst prznna z każą arzą z zoru A wty tylko wty gy A jst prznna z każą arzą z zoru ln(a) (11) Marz posta ai n a K nazyway arza skalarny Wykazać ż arz A K n n jst prznna z wszystk arza z zoru K n n wty tylko wty gy A jst arzą skalarną (12) Wykaż ż zór arzy posta [ osα snα snα osα ] α R z załan nożna arzy jst grupą alową (13) Wyznaz wszystk arz stopna 2 tak ż A 2 = I (14) Wyznaz wszystk arz stopna 2 tak ż A 2 = 0 (15) Olz f(a) jśl [ ] 1 1 f(x) = X 2 2X I A = 0 1 () f(x) = X 2 5X 3I A = (16) Olzyć wyznaznk następująyh arzy: () () () (g) () a a a 1 ε ε2 ε 2 1 ε ε ε 2 1 (f) sn α os α 1 sn β os β 1 sn γ os γ 1 gz ε = (h) os α os β r sn α os β r os α sn β sn α os β r os α os β r sn α sn β sn β 0 r os β () gz α β γ są ara kątów trójkąta ε ε 2 1 ε 2 ε 3 gz ε = os 4π 3 + sn 4π 3

3 3 (17) Olzyć następuj wyznaznk (na R): () () () () (f) (g) (h) () (j) (k) (18) Olzyć: na Z 7 () na Z 11 () na Z (19) Olzyć wyznaznk następująyh arzy stopna n : () ()

4 4 a a a a a a 1 1 () a 1 () a a a 1 n n n n a n 2 n n n 0 a 0 0 n n 3 n n 0 0 a 0 0 (f) (g) n n n n 1 n a n n n n n a (20) Nh A = [a j ] a j Z ęz arzą kwaratową stopna n Pokazać ż t A jst lzą akowtą Załóży oatkowo ż a j = ±k gz k jst ustaloną lzą akowtą Pokazać ż 2 n 1 k n zl t A (21) Pokazać ż jśl A jst arzą antysytryzn (tzn A T = A) stopna nparzystgo na R to jst ona osolwa zyl t A = 0 (22) Lzy zlą sę przz 17 Pokazać (z olzana) ż wyznaz nk równż zl sę przz (23) Nh A = [a j ] ęz arzą kwaratową stopna n Jak zn sę wyznaznk arzy A jżl: każy lnt a j ponożyy przz j ( ustalon) () oróy arz A o 90 wokół jj śroka (zgon z ruh wskazówk zgara) () zapszy wrsz (koluny) arzy A w owrotnj koljnoś () o każj koluny (wrsza) pozynają o rugj (ruggo) oay poprzną kolunę (poprzn wrsz) () o każj koluny (wrsza) pozynają o rugj (ruggo) oay poprzną kolunę (poprzn wrsz) a prwszj koluny (o prwszgo wrsza) oay starą ostatną kolunę (stary ostatn wrsz) (f) o każj koluny (wrsza) pozynają o rugj (ruggo) oay wszystk porzn koluny (poprzn wrsz) (24) Znalźć najwększą wartość wyznaznka arzy kwaratowj stopna 3 którj lnty są lza ałkowty równy 0 lu 1 () 1 lu 1 (25) Przanalzować Przykła 67 z stron [ z ksążk] ABałynkgo-Brul (owó wzoru na A 0 wyznaznk arzy klatkowo-trójkątnj t = t A t B przz nukję wzglę D B stopna klatk B) (26) Sprawzć tożsaoś:

5 5 a f g j k = 1 a a f a g a j a k () a f g h j k l n o p = 1 a 2 a f a g a h a j a k a l a n a o a p () Sforułować uowonć ogóln twrzn (27) Sprawzć ż nastpująa równość jst tożsaośą: a f g h j k l n o p = 1 a 2 a f a g a h a f a k a l a n a o a p + (f j) a g h o p (28) Zaać rozwązalność ukłau równań x + y + z = 9 3x y + 2z = 10 2x + 7y 3z = 8 ax y + z = 20 ax + y + z = 44 10ax + 3y z = 26 w zalżnoś o paratrów a (29) Olzyć wyznaznk arzy A = [ ] T [ ] () B = a a a a Wskazówka Olzyć wyznaznk arzy A 2 oraz BB T (30) Nh x 1 x 2 x n ęą wszystk prwastka wloanu f(x) = a 0 X n + a 1 X n a n 1 X + a n Suy k-tyh potęg prwastków s k = x k 1 + x k x k n

6 6 są funkja sytryzny wę wyrażają sę przz współzynnk wloanu (np s 0 = n; z wzorów Vèt 2 wynkają równoś s 1 = a 1 s 2 = s x x j = a2 1 2 a 2 t) a 0 a 2 <j 0 a 0 Olzyć wyznaznk D arzy s 0 s 1 s 2 s n 1 s 1 s 2 s 3 s n s 2 s 3 s 4 s n+1 s n 1 s n s n+1 s 2n 2 (Wskazówka: olzyć najprw V T V gz V = V (x 1 x 2 x n ) jst arzą Vanron a prwastków) Wyrazć wynk przz współzynnk wloanu f(x) gy n = 2 f(x) = ax 2 + X + gy n = 3 a f(x) = X 3 + px + q Wartość = a 2n 2 0 D nazyway wyróżnk wloanu f(x) 3 (31) Sprawzć zy następują arz są owraaln oraz w przypaku pozytywnj opowz olzyć arz owrotną: [ ] 1 2 () () () () (32) Jśl A Kn n B[ K C K] n [ D K n ] t A 0 to I olzyć n 0 A D CA 1 ; [ I ] C B A D () wykazać ż t = t A t(b CA C B 1 D); () pozlć na klatk 2 2 arz z przykłau () z poprzngo zaana; porównać jj wyznaznk z wartośą wyrażna t A t B t C t D (33) Rozwązać następują równana arzow: X = () X = () X = Franços Vèt ( ) - atatyk franusk zwany oj algry Usystatyzował osągnęa algrazn Orozna Wprowazł oznazna ltrow n tylko la nwaoyh al la anyh np współzynnków równań zęk zu pojawły s wzory atatyzn 3 Nazwa wyróżnk ( srnant o łańskgo srnans o srnants - rozzlająy oróżnająy) pohoz o J Sylvstra

7 [ ] () X = (34) Rozwązać ukłay [ równań ] arzowyh: X + Y = [ ] X + Y = [ ] X + Y = () [ ] X + Y = (35) Olzyć (I + ae r ) 1 r (36) Waoo ż arz owraalną ożna sprowazć o arzy jnostkowj za pooą przkształń lntarnyh na wrszah Pokazać ż wykonują t sa przkształna (w tj saj koljnoś!) na arzy jnostkowj otrzyay arz owrotn ą o wyjśowj arzy Stosują tę toę olzyć jszz raz arz owrotn o arzy z poprznh zaań oraz następująyh arzy: () () (37) Pokazać ż jżl A 2 = 0 to arz I n + A jst owraalna (I n + A) 1 = I n A () Pokazać ż jżl A = 0 to arz I n + A jst owraalna znalźć (I n + A) (38) Znalźć koljn potęg arzy 0 wykorzystać j o olzna arzy owrotnj o arzy

8 8 (39) Pokazać ż la A B Kn n jżl arz I n + AB jst owraalna to równż arz I n + BA jst owraalna (lat Vassrstna 4 ) Wskazówka: Olzyć [ (I n ] + [ BA)(I n ] B(I n + AB) 1 A) A D A 0 (40) Olzyć arz owrotn o arzy klatkowyh: Olzyć arz 0 B C B owrotn o następująyh arzy: (41) Koutator [A B] arzy nosolwyh A B GLn(K) nazyway arz [A B] = ABA 1 B 1 Wykazać ż I la j k l [I + ae j I + E kl ] = I + ae l la j = k l I ae kj la j k = l 4 L N Vassrstn współzsny atatyk razk (o lat szsątyh) arykańsk (o lat oszsątyh)

Podobne dokumenty

Zestaw zadań 7: Wyznaczniki. 1., (c), (h) (d), (f) (g), (i)

Zestaw zadań 7: Wyznaczniki. 1., (c), (h) (d), (f) (g), (i) Zstaw zaań 7: Wyznaznk 1 (1) Olzyć wyznaznk następująyh arzy: 1 2 3 5 1 4 () 1 5 4 3 2 0 () 0 2 2 2 0 2 3 2 5 1 3 6 2 2 0 () (g) () a a a 1 ε ε2 ε 2 1 ε ε ε 2 1 () sn α os α 1 sn β os β 1 sn γ os γ 1 gz