mgr inż. Dariusz Borkowski Estymacja częstotliwościowych parametrów systemu elektroenergetycznego z zastosowaniem koherentnego repróbkowania

Transkrypt

1 Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Metrologii mgr inż. Dariusz Borkowski Estymacja częstotliwościowych parametrów systemu elektroenergetycznego z zastosowaniem koherentnego repróbkowania 1 Wstęp Autoreferat rozprawy doktorskiej Promotor: dr hab. inż. Andrzej Bień Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT), a zwłaszcza jego szybka realizacja (FFT), jest przekształceniem najczęściej stosowanym w częstotliwościowej analizie parametrów systemu elektroenergetycznego oraz jakości energii elektrycznej. Wynikiem DFT jest rozkład analizowanego fragmentu sygnału na sinusoidalne składowe, o częstotliwościach wynikających z przyjętych parametrów analizy. Uzyskane wyniki reprezentują dokładnie (pomijając błędy numeryczne) widmo nieskończonego, okresowego sygnału jeżeli sygnał został spróbkowany w sposób koherentny (t.j. synchronicznie z częstotliwością podstawową sygnału) oraz zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu, a długość analizowanego fragmentu sygnału jest całkowitą wielokrotnością okresu podstawowej harmonicznej. Niespełnienie dowolnego z wymienionych warunków skutkuje tzw. rozmyciem widma DFT. Sygnały systemu energetycznego są okresowe jedynie w przybliżeniu. Ich częstotliwość podstawowa f 1 również ulega zmianom w czasie. Zmienia się ona w niewielkim otoczeniu wartości znamionowej f 1N. W takim przypadku przyjęcie stałej częstotliwości próbkowania F Sin, będącej wielokrotnością znamionowej częstotliwości f 1N, powoduje niekoherentne próbkowanie sygnału x(t) oraz błędy wyznaczania składowych częstotliwościowych sygnału za pomocą DFT. Dlatego, zgodnie z normą [10], analiza DFT sygnałów systemu energetycznego wymaga koherentnego próbkowania tych sygnałów. Koherentne próbkowanie to takie, w którym częstotliwość próbkowania F Sin jest całkowitą wielokrotnością okresu podstawowej harmonicznej. Aby zminimalizować rozmycie widma długość analizy DFT powinna być całkowitą wielokrotnością okresu podstawowej harmonicznej. Koherentne próbkowanie wymaga zatem stosowania dodatkowego układu do synchronizacji częstotliwości próbkowania F Sin z częstotliwością podstawową f 1. Zadanie to realizowane jest najczęściej przez pętlę synchronizacji fazowej (PLL). Typowe systemy akwizycji danych nie posiadają układu synchronizacji. Część z nich nie pozwala nawet na podłączenie takiego układu. W takich systemach akwizycji danych sygnały napięcia i prądu są próbkowane w sposób niekoherentny. Niekoherentne próbkowanie sygnałów powoduje rozmycie widma DFT, które może być źródłem błędów pomiarów pośrednich innych

2 wielkości określających stan systemu energetycznego. Autor rozprawy w swoich badaniach rozwija bierną metodę wyznaczania częstotliwościowych parametrów systemu energetycznego, widzianych z punktu pomiaru w stronę zasilania. Stosowany w tej metodzie model systemu pokazano na rysunku 1. Z S (f) PCC I(f) E(f) V(f) LOAD Rysunek 1: Przyjęty model identyfikowanego systemu elektroenergetycznego. Bierna metoda identyfikacji wykorzystuje naturalną zmienność parametrów obciążenia jako pobudzenie. Obecność źródła napięcia E S (f) o nieznanych parametrach w przyjętym modelu powoduje, że do estymacji zastępczej impedancji 1 systemu elektroenergetycznego Z S (f) koniczne jest wykorzystanie przyrostów harmonicznych prądów I(f) i napięć V (f) pomiędzy dwoma stanami systemu elektroenergetycznego różniącymi się parametrami obciążenia zgodnie z zależnością: V (f) Z S (f) = I(f) = V 2(f) V 1 (f) I 1 (f) I 2 (f) (1) Wykorzystanie w (1) zespolonych przyrostów harmonicznych, które podczas eksperymentów biernych są zazwyczaj stosunkowo małe, wydatnie zwiększa wrażliwość badanej metody na błędy wynikające z niekoherentnego próbkowania sygnałów [2, 4]. Niekoherentne próbkowanie może również powodować znaczące błędy wyznaczania częstotliwościowych parametrów sygnałów napięcia i prądu takich jak np. widmo sygnału czy współczynnik THD oraz błędy śledzenia zmian harmonicznych w czasie. Błędy pomiarów wymienionych wyżej parametrów, związane z niekoherentnym próbkowaniem sygnałów, skłoniły autora rozprawy do opracowania metody koherentnego repróbkowania sygnałów napięcia i prądu, będącej alternatywą dla sprzętowego koherentnego próbkowania sygnałów oraz sformułowania następującej tezy: Wykorzystanie proponowanej przez autora metody koherentnego repróbkowania sygnałów umożliwia ograniczenie błędów estymacji częstotliwościowych parametrów systemu elektroenergetycznego. 2 Metoda koherentnego repróbkowania Celem działania metody koherentnego repróbkowania jest ograniczenie rozmycia widma DFT badanego, spróbkowanego niekoherentnie sygnału x(t), a przez to ograniczenie błędów pomiarów wykorzystujących DFT. Dodatkowym celem, który postawił sobie autor 1 Impedancja jest definiowana dla obiektów liniowych, podczas gdy system elektroenergetyczny jest obiektem nieliniowym. Pod pojęciem zastępcza impedancja systemu elektroenergetycznego autor rozumie parametr liniowego modelu Thevenina (rys. 1) opisującego własności systemu elektroenergetycznego zlinearyzowanego w punkcie pracy. 2

3 była implementacja algorytmu repróbkowania na procesorze sygnałowym, przeznaczona do repróbkowania w czasie rzeczywistym sygnałów o nieograniczonej długości. Zadanie koherentnego repróbkowania polega na wyznaczaniu, w określonych chwilach czasu, zwanych chwilami repróbkowania, wartości funkcji y(t) przybliżającej sygnał badany x(t). Położenie chwil repróbkowania jest determinowane przez częstotliwość repróbkowania F Sout, która jest synchronizowana z częstotliwością podstawową. Chęć osiągnięcia postawionych celów wymusiła ewolucję metody repróbkowania, polegającą na rozwiązywaniu kolejnych problemów badawczych. Problemy oraz sposoby ich rozwiązania przedstawiono poniżej. Początkowo zadanie repróbkowanie było realizowane w sposób blokowy, przy założeniu niezmiennej częstotliwości podstawowej analizowanego fragmentu sygnału. Częstotliwość podstawowa sygnału była wyznaczana metodą detekcji przejść badanego sygnału przez zero, a następnie uśredniana za okres analizy. Repróbkowanie realizowano poprzez liniową interpolację próbek sygnału, należących do analizowanego okresu. Wyniki repróbkowania sygnałów tą metodą były obarczone znacznymi błędami interpolacji dla wyższych częstotliwości. Błędy wynikały z liniowego przybliżenia odcinków sygnału. Wprowadzono modyfikację polegającą na interpolacji próbek sygnału funkcją sklejaną trzeciego stopnia. Interpolowano kolejne bloki sygnału poprzez rozwiązanie układu równań liniowych. Ograniczono w ten sposób błędy reprezentacji wyższych harmonicznych (t.j. takie gdzie na okres składowej przypada około 10 próbek) około 10 cio krotnie. Nałożono dodatkowe warunki na wartości pochodnych funkcji interpolującej, pozwalające na zapewnienie ciągłości funkcji interpolującej i jej pochodnych pomiędzy kolejnymi blokami badanego sygnału. Kolejnym źródłem błędów repróbkowania było przyjęcie stałej częstotliwości podstawowej w analizowanym bloku sygnału. Rozwiązaniem tej kwestii była, zaproponowana przez autora rozprawy, idea interpolacji kolejnych długości okresów sygnału za pomocą sklejanego wielomianu oraz odwzorowanie przez ten wielomian równomiernie rozłożonych chwil próbkowania na osi czasu, opisana szczegółowo w [3]. Pozwoliło to na ciągłą, do drugiej pochodnej włącznie, zmianę częstotliwości repróbkowania F Sout. Według wiedzy autora, rozwiązanie takie ani podobne nie były prezentowane wcześniej w literaturze. Wadą przedstawionego repróbkowania bloków sygnału było nierównomierne rozłożeniem w czasie ilości operacji arytmetycznych. W metodach blokowych większość obliczeń jest wykonywana tuż po przyjęciu kolejnego bloku sygnału. Ta cecha mogła być przeszkodą w realizacji algorytmu koherentnego repróbkowania przeznaczonego do pracy w czasie rzeczywistym. Alternatywnym rozwiązaniem, zastosowanym w ostatecznej wersji metody, było repróbkowanie sygnału przez filtrację cyfrową. Repróbkowanie takie realizowane jest za pomocą kaskady filtrów: filtra analizy P (z) wyznaczającego współczynniki w(n) ciągłej reprezentacji B spline badanego sygnału x(n) oraz filtra FIR syntezy B(z), o zmiennych w czasie współczynnikach, którego zadaniem jest wyznaczenie w chwilach repróbkowania wartości y(k) funkcji y(t) przybliżającej sygnał badany. Filtr analizy P (z), nazywany również prefiltrem, realizujący interpolację sygnału jest filtrem odwrotnym do filtra syntezy czyli B(z) 1. Filtry odwrotne do filtrów FIR syntezy B spline są niestabilnymi strukturami IIR. Z tego powodu nie można ich bezpośrednio zastosować do repróbkowania sygnałów o nieskończonej długości [9]. Autor rozprawy zaproponował realizację prefiltra w postaci filtra FIR, którego charakterystyka częstotliwościowa przybliża charakterystykę prefiltra IIR. W projektowaniu prefiltra autor zastoso- 3

4 wał, zaproponowaną przez siebie, funkcję wagową (2) zmniejszającą błąd aproksymacji charakterystyki prefiltra idealnego dla niskich częstotliwości. ( cos(ω) θ(ω) = + 1 ) 9 10 (2) 2 2 Kształt charakterystyki częstotliwościowej prefiltra determinuje kryterium stosowane przy wyznaczaniu funkcji ciągłej y(t) przybliżającej badany sygnał. Gdy prefiltr jest odwrotnością funkcji syntezy, wtedy realizowana jest interpolacja sygnału (minimalizowany jest dyskretny błąd średniokwadratowy dopasowania funkcji do sygnału x(n)), natomiast gdy prefiltr jest filtrem dualnym do funkcji syntezy wtedy realizowana jest aproksymacja LS sygnału (minimalizowany jest ciągły błąd średniokwadratowy dopasowania funkcji do sygnału x(t)) [1]. Dlatego w miejsce uprzedniej interpolacji badanego sygnału autor zastosował aproksymację LS sygnału. Pozwoliło to na dalsze, około 30 to procentowe, ograniczenie błędów reprezentacji badanego sygnału dla wyższych harmonicznych. Filtr syntezy B spline jest filtrem o zmiennych w czasie współczynnikach. Wykorzystuje on własność splotu umożliwiająca wyznaczenie wartości y(k) sygnału wyjściowego w dowolnej chwili między próbkami x(n) sygnału wejściowego poprzez obliczenie splotu dyskretnego przesuniętej w czasie i spróbkowanej odpowiedzi impulsowej β(t) filtra syntezy B(z) z próbkami x(n) sygnału wejściowego [7]. Wartość przesunięcia odpowiedzi impulsowej β(t) jest określona przez czas t del pomiędzy kolejną chwilą repróbkowania a ostatnią chwilą nt Sin próbkowania sygnału wejściowego, T Sin = 1 F Sin jest okresem próbkowania sygnału x(t). Zasadę wyznaczania współczynników filtra syntezy ilustruje rysunek 2. funkcja aproksymująca sygnał badany sygnał badany odpowiedź impulsowa filtra próbki sygnału badanego moment repróbkowania próbki odpowiedzi impulsowej t t del 0 T Sin t Rysunek 2: Wyznaczanie współczynników filtra syntezy B(z) poprzez próbkowanie jego odpowiedzi impulsowej β(t) opóźnionej o czas t del od poprzedzającej próbki sygnału wejściowego. Ze względu na bliską jedności wartość współczynnika zmiany częstotliwości próbkowania λ = F Sout F Sin odpowiedź impulsowa β(t) filtra syntezy nie podlega skalowaniu. Było by to konieczne przy większych zmianach częstotliwości próbkowania. Repróbkowanie realizowane jest zgodnie z zależnością (3). 2 ( y(k) = w(n r)β r t ) del x(nt Sin + t del ) (3) T Sin r= 2 4

5 Zmiana sposobu repróbkowania, z przetwarzania bloków sygnału na przetwarzanie próbek sygnału, pociągnęła za sobą konieczność analogicznej zmiany sposobu estymacji częstotliwości. Poprzednio stosowany estymator częstotliwości zastąpiono rekursywnym estymatorem śledzącym zmiany częstotliwości zrealizowanym w postaci rozszerzonego filtra Kalmana. Estymator ten udostępnia nowe oszacowanie częstotliwości chwilowej po przyjęciu kolejnej próbki sygnału. Przedstawiony sposób realizacji zadania koherentnego repróbkowania pozwolił na równomierne rozłożenie w czasie obliczeń arytmetycznych, a przez to ułatwił implementację algorytmu koherentnego repróbkowania sygnałów w czasie rzeczywistym. Kolejnym problemem związanym z poprawą dokładności estymacji zastępczej impedancji system elektroenergetycznego okazały się być występujące czasami lokalne wahania fazy analizowanych sygnałów prądu i napięcia powodowane zmiennością parametrów pobliskiego odbiornika. Uniezależnienie wyników estymacji impedancji zastępczej wykorzystującej koherentnie repróbkowane sygnały od wahań ich fazy możliwe było dzięki przyjęciu podstawowej częstotliwości systemu elektroenergetycznego f 1S jako podstawy do wyznaczania częstotliwości repróbkowania F Sout. Zgodnie z definicją określoną w [11] częstotliwość podstawowa systemu elektroenergetycznego f 1S jest średnią z częstotliwości chwilowej f 1 za okres 10 sekund. Uśrednianie częstotliwości chwilowej f 1 wymusiło zastosowanie w torze repróbkowania bufora opóźniającego sygnał badany x(n) tak, by faktyczne zmiany częstotliwości były zsynchronizowane w czasie ze zmianami estymat częstotliwości. Przy wysokiej częstotliwości próbkowania ilość obliczeń arytmetycznych związanych z uśrednianiem f 1 za okres 10 sekund może być znaczna. W celu jej ograniczenia zastosowano metodę rekursywnego uśredniania częstotliwości, która ogranicza ilość operacji koniecznych do wyznaczenia pojedynczej estymaty f 1S do dwóch dodawań i jednego mnożenia, kosztem przechowywania w pamięci wartości f 1 za okres uśredniania. Ostateczna postać algorytmu repróbkowania przedstawiona jest na rysunku 3. x(t) sygnał analogowy x(n) sygnał spróbkowany wcześniej Akwizycja danych pomiar A/C HDD wybór źródła sygnału Śledzenie częstotliwości napięcia (filtr Kalmana) Opóźnienie sygnału f 1 x(n) Wyznaczanie częstotliwości podstawowej systemu elektroen. Aproksymacja LS sygnału (filtr analizy) f 1S w(n) Wyznaczanie współczynników filtra syntezy b Repróbkowanie sygnału (filtr syntezy B spline) y(k) Rysunek 3: Schemat blokowy metody koherentnego repróbkowania. Widoczne są dwa równolegle pracujące tory przetwarzania: tor estymacji częstotliwości i tor repróbkowania. 3 Implementacje metody repróbkowania Metodę koherentnego repróbkowania zaimplementowano w języku Matlab na komputer PC oraz w języku C na procesor sygnałowy (DSP). Implementacja w języku Matlab miała na celu rozwijanie kolejnych wersji algorytmu. Wykorzystanie języka wysokiego poziomu pozwoliło na szybkie wprowadzanie modyfikacji oraz badanie algorytmu dla roz- 5

6 maitych sygnałów testowych. Implementacja na DSP miała na celu ocenę możliwości pracy algorytmu repróbkowania w czasie rzeczywistym oraz określenie wymagań sprzętowych. Algorytm zaimplementowany na DSP repróbkuje w czasie rzeczywistym sygnały o nieograniczonej długości [5]. Po optymalizacji kodu, repróbkowanie dwóch sygnałów próbkowanych z częstotliwością F Sin = 8 khz, obciąża procesor sygnałowy TMS320C6713, taktowany z częstotliwością 225 MHz, na poziomie 25%. Niewykorzystana moc obliczeniowa pozwala na realizację dalszego przetwarzania sygnałów, np. pomiaru wybranej wielkości na tym samym procesorze. Umożliwia to ograniczenie ilości elementów systemu pomiarowego. 4 Badania metody koherentnego repróbkowania W celu oceny własności proponowanej metody autor rozprawy przeprowadził szereg badań. Badania te obejmowały ocenę własności estymatora częstotliwości chwilowej, porównanie wyników pomiarów wybranych częstotliwościowych parametrów sygnałów oraz systemu energetycznego uzyskanych bez repróbkowania i po koherentnym repróbkowaniu oraz ocenę wrażliwości metody repróbkowania. Skuteczność przedstawionej metody repróbkowania potwierdzono poprzez badania symulacyjne, eksperymenty laboratoryjne oraz eksperymenty wykorzystujące sygnały rzeczywistego systemu elektroenergetycznego. 4.1 Ocena działania estymatora częstotliwości Dla estymatora częstotliwości chwilowej wyznaczono jego parametry dynamiczne i statyczne takie jak czas odpowiedzi na skokową zmianę estymowanego parametru i błąd w stanie ustalonym w rozmaitych warunkach (kwantowanie, zakłócenia losowe i harmoniczne, precyzja obliczeń). Dokonano także porównania, dla jednakowych warunków, błędów dynamicznych wykorzystanego estymatora częstotliwości oraz błędów w stanie ustalonym z cytowanymi wynikami działania innych metod estymacji częstotliwości [6, 8]. Uzyskane za pomocą filtra Kalmana wyniki są lepsze niż dla porównywanych metod. 4.2 Repróbkowanie w estymacji parametrów sygnałów Ocenę wpływu koherentnego repróbkowania sygnałów na ograniczenie błędów wyznaczania ich częstotliwościowych parametrów dokonano na podstawie wyników: wyznaczania widma DFT i współczynnika THD oraz śledzenia amplitud i faz harmonicznych. Zbadano wpływ dokładności reprezentacji próbek sygnału, wpływ kwantowania oraz wpływ parametrów estymatora częstotliwości na zmniejszenie rozmycia widma sygnału symulowanego o znanych parametrach. Ponadto wyznaczono widma sygnałów, pochodzących z generatora funkcji, repróbkowanych przez algorytm pracujący w DSP. We wszystkich badanych przypadkach była widoczna poprawa wynikająca z przeprowadzenia koherentnego repróbkowania. DFT Dla sygnału testowego sin(2πf 1 t) o częstotliwości f 1 = 49, 97 Hz, próbkowanego niekoherentnie z częstotliwością 8 khz, wyznaczono średnie tłumienie S składowych nieistniejących w widmie sygnału. Bez repróbkowania S utrzymuje się na poziomie około 83 db niezależnie od precyzji reprezentacji sygnału. tłumienie S wzrosło do poziomu 119, 174 lub 223 db w zależności od precyzji reprezentacji próbek sygnału, odpowiednio int16, float32 i double64. 6

7 Przykładowe widmo DFT wyznaczone na podstawie rzeczywistego spróbkowanego niekoherentnie sygnału oraz po jego koherentnym repróbkowaniu pokazano na rysunku 4. Amplituda [db] Częstotliwość [hz] Bez repróbkowania uśredniona chwilowa Czas [s] Rysunek 4: U góry: DFT rzeczywistego sygnału prądu, F Sin = 8 khz, okno prostokątne o długości 8 okresów. U dołu: estymaty częstotliwości podstawowej badanego sygnału. Porównano także wyniki śledzenia czasowych zmian amplitud i faz harmonicznych symulowanego sygnału, wyznaczanych przez krótkoczasowe przekształcenie Fouriera (STFT). Sygnał testowy zawierał 9 pierwszych, nieparzystych harmonicznych, których moduły i fazy zmieniały się w czasie w zadany sposób. Częstotliwość podstawowa sygnału także ulegała niejednostajnym zmianom od 49,89 Hz do 49,86 Hz. Dzięki koherentnemu repróbkowaniu błędy średniokwadratowe estymacji amplitud zostały ograniczone około 6 cio krotnie, a błędy estymacji faz około 8 mio krotnie, w stosunku do wyników uzyskanych bez repróbkowania. Porównano dokładność wyznaczania współczynnika THD opisanego sygnału testowego. THD wyznaczono dla trzech punktów symulowanego sygnału na podstawie trzech różnych fragmentów sygnału o długości 200 ms każdy. W wyniku koherentnego repróbkowania błędy wyznaczania THD zmniejszyły się średnio ponad 5 cio krotnie, w stosunku do wyników bez repróbkowania. 4.3 Repróbkowanie w estymacji parametrów systemu Potrzeba ograniczenia błędów wyznaczania zastępczej impedancji systemu energetycznego była główną przyczyną opracowania przedstawionej metody koherentnego repróbkowania sygnałów. Aby ocenić poprawę wynikającą z koherentnego repróbkowania sygnałów prądu i napięcia porównano wyniki wyznaczania zastępczej, widmowej impedancji systemu elektroenergetycznego widzianego z punktu pomiaru w kierunku źródła (rys. 1). Wyznaczano: 7

8 zastępczą impedancję Z S (f) symulowanego systemu energetycznego o znanych parametrach, impedancję laboratoryjnego modelu systemu energetycznego o znanej impedancji wewnętrznej źródła oraz impedancję rzeczywistego systemu energetycznego o znanym w przybliżeniu module impedancji dla podstawowej harmonicznej. Wyniki estymacji Z S (f) przedstawiono na rysunku 5. Moduł impedancji [Ω] Moduł impedancji [Ω] Moduł impedancji [Ω] Wart. prawdziwe Bez repróbkowania Bez repróbkowania Wart. prawdziwe Bez repróbkiowania Argument impedancji [ o ] Argument impedancji [ o ] Argument impedancji [ o ] Bez repróbkowania Wart. prawdziwe Wart. prawdziwe Bez repróbkowania Bez repróbkowania Rysunek 5: Estymaty impedancji zastępczej Z S systemu energetycznego dla trzech analizowanych przypadków, od góry: wyniki dla model symulacyjnego, wyniki dla modelu laboratoryjnego, wyniki dla rzeczywistego systemu. W symulowanym systemie jako pobudzenie wykorzystano rzeczywiste sygnały prądu i napięcia zarejestrowane w systemie elektroenergetycznym. Dzięki temu zmienność obciążeniu modelu dobrze przybliża naturalną zmienność obciążenia systemu. W wyniku koherentnego repróbkowania znacząco ograniczono błędy estymacji modułów i argumentów impedancji dla częstotliwości do około 750 Hz. Błąd estymacji modułu podstawowej harmonicznej dzięki repróbkowaniu ograniczono do 8,6%, w porównaniu do błędu rzędu 190% uzyskanego bez repróbkowania. W laboratoryjnym modelu systemu elektroenergetycznego wykorzystano źródło napięcia o programowalnej wewnętrznej impedancji (rezystancji i indukcyjności) oraz częstotliwości. Obciążenie składało się z elementów liniowych oraz nieliniowych. Parametry ob- 8

9 ciążenia były zmieniane podczas eksperymentów. W wyniku koherentnego repróbkowania sygnałów błędy estymacji impedancji zostały znacznie ograniczone. Przed repróbkowaniem wyniki dla podstawowej harmonicznej były całkowicie niewiarygodne (błąd względny rzędu 18000%). błąd estymacji modułu impedancji dla podstawowej harmonicznej został zmniejszony do poziomu 50%. Przeprowadzono estymację zastępczej impedancji rzeczywistego system elektroenergetycznego. Rejestrację sygnałów przeprowadzono po stronie 15 kv transformatora 110/30/15 kv. Na podstawie danych znamionowych transformatora oszacowano moduł jego zastępczej impedancji na około 12 Ω dla 50 Hz. Przyjęto także, że impedancja ta dominuje w impedancji widzianej z punktu pomiaru. Założenie to wynika z konieczności przeliczania zastępczej impedancji systemu przed transformatorem na stronę wtórną transformatora przez kwadrat przekładni oraz z istnienia znacznej liczby odbiorników równoległych do zastępczego źródła napięcia systemu, które obniżają wartość zastępczej impedancji. Moduł impedancji systemu dla podstawowej harmonicznej, wyznaczony przed repróbkowaniem, wyniósł około 40 Ω, a po repróbkowaniu sygnałów wyniósł około 10 Ω. 4.4 Ocena wpływu wybranych czynników na repróbkowanie Dokonano oceny wybranych czynników na skuteczność koherentnego repróbkowania. Były to: wartość odchyłki częstotliwości podstawowej systemu od częstotliwości znamionowej systemu; zakłócenia addytywne; precyzja obliczeń; rodzaj i stopień funkcji bazowych wykorzystanych w aproksymacji sygnału; częstotliwość próbkowania. Zysk z koherentnego repróbkowania sygnałów jest tym większy im większa jest odchyłka rzeczywistej częstotliwości podstawowej systemu od znamionowej wartości częstotliwości, która determinuje częstotliwość próbkowania. Operacje przetwarzania sygnałów zastosowane w prezentowanej metodzie repróbkowania w nieunikniony sposób zaburzają badane sygnały. Przeprowadzone badania wykazały, iż w przeważającej większości wypadków odchyłka częstotliwości podstawowej od wartości znamionowej jest na tyle duża (rzędu co najmniej 0,01 Hz), że błędy estymacji widma sygnału, powodowane samą metodą repróbkowania, są znacznie mniejsze niż błędy wynikające z niekoherentnego próbkowania sygnałów. Błędy estymacji częstotliwości chwilowej zależą zarówno od zastosowanej precyzji obliczeń jak również od poziomu zakłóceń. Przy pojedynczej precyzji obliczeń błędy statyczne estymacji częstotliwości są zbliżone do błędów powodowanych zakłóceniem addytywnym o rozkładzie Gaussa, odchyleniu standardowym równym 1% amplitudy sygnału i zerowej wartości oczekiwanej. Są one przy tym około kilkukrotnie mniejsze od typowej ochyłki częstotliwości podstawowej od wartości znamionowej. Odchyłka ta, według obserwacji autora rozprawy, wynosi przeciętnie około 0,03 0,05 Hz. Własności dynamiczne toru repróbkowania ograniczają użyteczne pasmo sygnałów po repróbkowaniu z 0,5 F Sin do około 0,36 F Sin. Fakt ten należy uwzględnić przy ustalaniu częstotliwości próbkowania sygnałów badanych oraz przy doborze parametrów filtrów antyalisingowych. Zbadano wpływ rodzaju wykorzystywanych funkcji bazowych i realizowanej operacji przybliżenia próbek badanego sygnału funkcją ciągłą na błąd skuteczny aproksymacji. Porównano interpolację liniową (czyli funkcją sklejaną pierwszego stopnia), interpolację funkcją sklejaną trzeciego stopnia i aproksymację średniokwadratową funkcją sklejaną trzeciego stopnia. Najmniejszy błąd skuteczny reprezentacji uzyskano dla aproksymacji 9

10 średniokwadratowej. Różnice pomiędzy badanymi metodami rosną przy zmniejszaniu ilości próbek na okres sygnału. Przy 10 próbkach na okres sygnału błąd skuteczny reprezentacji sygnału przy aproksymacji LS jest 10 krotnie mniejszy niż interpolacji liniowej i około 30% mniejszy niż przy interpolacji splineowej. 5 Podsumowanie Celem działania przedstawione metody koherentnego repróbkowania sygnałów energetycznych jest ograniczenie rozmycia ich widma DFT. Dodatkowym celem jest ograniczenie błędów pomiarów pośrednich wybranych parametrów częstotliwościowych zarówno sygnałów jak i systemu energetycznego, wyznaczanych w oparciu o analizę DFT sygnałów. Zaproponowana przez autora metoda koherentnego repróbkowania sygnałów energetycznych wykorzystuje filtr Kalmana do śledzenia częstotliwości badanego sygnału oraz ciągłe repróbkowanie sygnałów zrealizowane w postaci kaskady filtrów FIR: filtra analizy i filtra syntezy. Filtr analizy, będący przybliżeniem filtra IIR dualnego do filtra syntezy, realizuje aproksymację LS badanego sygnału funkcją B spline 3 go stopnia. W projektowaniu filtra analizy wykorzystana została zaproponowana przez autora funkcja wagowa (2) zmniejszająca błąd aproksymacji jego charakterystyki częstotliwościowej w zakresie niskich częstotliwości. Filtr syntezy B spline, o zmiennych w czasie współczynnikach, służy do wyznaczania wartości sygnału badanego w chwilach określonych przez tor estymacji częstotliwości, zgodnie z zależnością (3). Zaproponowana w rozprawie metoda, pracująca w czasie rzeczywistym, pozwala na programową realizację zadania koherentnego próbkowania bez posiadania systemu akwizycji danych wyposażonego w sprzętowy układ synchronizacji częstotliwości próbkowania z częstotliwością podstawową sygnałów. Prezentowana metoda pozwala ponadto na koherentne repróbkowanie off line zarejestrowanych wcześniej, spróbkowanych niekoherentnie sygnałów. W celu weryfikacji pozytywnego wpływu koherentnego repróbkowania na ograniczenie błędów pomiarów częstotliwościowych parametrów sygnałów i systemu energetycznego autor przeprowadził szereg badań symulacyjnych oraz eksperymentów na sygnałach rzeczywistych. Badania te polegały na porównaniu wyników pomiarów pośrednich opartych o DFT sygnałów repróbkowanych koherentnie z wynikami tych samych pomiarów opartych o DFT sygnałów spróbkowanych niekoherentnie (nierepróbkowanych). W przypadku badań symulacyjnych wyniki uzyskane dla sygnałów repróbkowanych i nierepróbkowanych zostały odniesione do znanych wartości prawdziwych. Przeprowadzono analizę skuteczności prezentowanej metody repróbkowania w wyznaczaniu widma DFT pojedynczego sygnału, śledzeniu zmieniających się w czasie amplitud i kątów fazowych harmonicznych, wyznaczaniu współczynnika zniekształceń harmonicznych THD, estymacji zastępczej impedancji systemu energetycznego na podstawie zmienności obciążenia. Autor dokonał także oceny wybranych czynników na skuteczność działania metody koherentnego repróbkowania. Przedstawione w rozprawie wyniki potwierdziły postawioną na wstępie rozprawy tezę, mówiącą iż dzięki zastosowaniu prezentowanej metody koherentnego repróbkowania możliwe jest ogranicznie błędów estymacji częstotliwościowych parametrów systemu elektroenergetycznego. W zależności od wyboru estymowanego parametru oraz od wartości odchyłki częstotliwości podstawowej badanych sygnałów od wartości znamionowej ogra- 10

11 niczenie błędów może być kilkukrotne (np. przy wyznaczaniu DFT i śledzeniu harmonicznych) lub nawet kilkudziesięciokrotne (np. w estymacji zastępczej impedancji systemu dla częstotliwości podstawowej). Przedstawiany algorytm repróbkowania udostępnia dodatkowo istotny parametr, mówiący o bilansie energetycznym systemu, jakim jest estymata częstotliwości podstawowej systemu elektroenergetycznego. Dodatkowym celem, który przyświecał autorowi była możliwość działania algorytmu repróbkowania w czasie rzeczywistym na sygnałach o nieograniczonej długości, t.j. bez określenia z góry długości analizowanego sygnału, np. podczas rejestracji ciągłych. Cel ten osiągnięto, co zostało potwierdzone udaną implementacją algorytmu repróbkowania w DSP, jak również pozytywnymi wynikami repróbkowania długich sygnałów. Przedstawiona w rozprawie metoda repróbkowania jest z powodzeniem wykorzystywana w pracach realizowanych przez zespół badawczy, zajmujący się w Katedrze Metrologii AGH pomiarami energetycznymi, do którego należy również autor rozprawy. Wysoka skuteczność metody koherentnego repróbkowania przekonuje autora o celowości jej opracowania oraz potwierdza postawioną na początku rozprawy tezę. Za oryginalne elementy niniejszej pracy należy uznać: 1. Zastosowanie iteracyjnej procedury śledzenia częstotliwości w postaci rozszerzonego filtra Kalmana z wykładniczym zapominaniem, w miejsce metod opartych na detekcji przejść przez zero. Zastosowana metoda charakteryzuje się lepszymi własnościami niż np. estymatory częstotliwości zaproponowane w [6] i [8]. 2. Repróbkowanie za pomocą kaskady filtrów FIR (prefiltra analizy oraz filtra syntezy o zmiennych w czasie współczynnikach) realizujących aproksymację LS badanego sygnału zamiast najczęściej stosowanej interpolacji bloków sygnału. Umożliwiło równomierne rozłożenie obciążenia procesora w czasie oraz ciągłe repróbkowanie sygnałów. 3. Implementację przedstawianej metody na procesorze sygnałowym pozwalająca na repróbkowanie sygnałów o nieograniczonej długości w czasie rzeczywistym. 4. Zastosowanie zaproponowanej przez autora funkcji wagowej zmniejszającej, w obszarze niskich częstotliwości, błąd dopasowania charakterystyki filtra analizy FIR do idealnej charakterystyki częstotliwościowej prefiltra IIR, dualnego do filtra syntezy. 5. Zastosowanie sygnałów rejestrowanych w rzeczywistym systemie energetycznym jako sygnałów pobudzających w badaniach symulacyjnych systemu energetycznego. Postępowanie takie pozwala na dobre odzwierciedlenie naturalnej zmienności obciążenia, a tym samym na zwiększenie wiarygodności wyników symulacji. 6. Wyniki szeregu badań, zarówno symulacyjnych jak i eksperymentalnych, prezentowanej metody repróbkowania. Przeprowadzone badania pozwoliły ocenić skuteczność działania metody oraz jej wrażliwość na wybrane czynniki, a ich wyniki potwierdziły postawioną w rozprawie tezę. Przeprowadzone badania jak i opracowana metoda są częścią szerszego zagadnienia badawczego jakim jest pomiar widmowej, zastępczej impedancji systemu energetycznego. W opinii autora, wyniki przedstawione w rozprawie są istotnym przyczynkiem do opracowania biernej metody pomiaru zastępczej impedancji systemu energetycznego, wykorzystującej naturalną zmienność obciążenia. 11

12 Literatura [1] Blu, T., Unser, M.: Quantitative Fourier Analysis of Approximation Techniques: Part I Interpolators and Projectors. IEEE Trans. on Signal Processing, 47(10): , October [2] Borkowski, D.: Analiza możliwości wykorzystania naturalnej zmienności prądu obciążenia do estymacji impedancji harmonicznej systemu energetycznego. W Sympozjum Modelowanie i Symulacja Systemów Pomiarowych. Krynica, Poland, September [3] Borkowski, D.: On-line instantenous frequency estimation and voltage/current coherent resapling method. Metrology And Measurement Systems, XII(1), [4] Borkowski, D.: Zastosowanie metody synchronicznego repróbkowania sygnałów energetycznych w pomiarze zastepczej impedancji systemu elektroenergetycznego. Przegląd Elektrotech., (7/8), [5] Borkowski, D.: System z procesorem sygnałowym do koherentnego repróbkowania sygnałów systemu energetycznego w czasie rzeczywistym. (artykuł zaakceptowany po recenzji). W Kongres Metrologii Krynica, Poland, September [6] Kusljevic, M.: A Simple Recursive Algorithm for Frequency Estimation. IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement, 53(2): , April [7] Maalouli, G., Stephens, D. R.: Joint fractional resampler with delay equalization for high synchronization accuracy with a reduced number of samples per sumbol. W Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on Image Processing. Montreal, Canada, May [8] Sidhu, T., Sachdev, M. S.: An Iterative Technique for Fast and Accurate Measurement of Power System Frequency. IEEE Trans. on Power Delivery, 13(1), January [9] Unser, M.: Splines: A perfect fit for signal/image processing. IEEE Signal Processing magazine, 16(6):22 38, November [10] Kompatybilność elektromagnetyczna (EMC). Metody badań i pomiarów. Ogólny przewodnik dotyczący pomiarów harmonicznych i interharmonicznych oraz stosowanych do tego celu przyrządów pomiarowych dla sieci zasilających i przyłączonych do nich urządzeń. Rap. tech. PN-EN , Polski Komitet Normalizacyjny, December Tłumaczenie normy EN :1993. [11] Electromagnetic Compatibility (EMC), Part 4-30: Testing and Measurement Techniques - Power Quality Measurement Methods, Basic EMC publication. Rap. tech. IEC , Internatioal Electrotechnical Commission, December