1 Oscylator tłumiony *

Transkrypt

1 Projekt Fizyka Plus nr POKL /11 współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskieo Funduszu Społeczneo w raach Prorau Operacyjneo Kapitał Ludzki. Kurs Plus - Fizyka ateriały na kurs zaawansowany, uzupełniajacy Przyotowanie: Piotr Nieżurawski, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskieo e-ail: Piotr.Niezurawski@fuw.edu.pl Powinniśy porzucić rozróżnienie poiędzy yśla naukowa a nienaukowa. Właściwe rozróżnienie polea na podziale na yśl loiczna i nieloiczna. Clie Staples Lewis ( ) 1 Oscylator tłuiony * Oblicz prędkość i przyśpieszenie ciężarka, któreo położenie na osi X jest opisane równanie x(t) = A e λt sin(ωt + φ), dzie A, λ, ω, φ są pewnyi stałyi. Wyraź przyśpieszenie jako funkcję prędkości i położenia. 2 Prędkość i przyśpieszenie w ruchu jednostajny * Udowodnij, że wartość prędkości punktu aterialneo jest stała wtedy i tylko wtedy, dy jeo przyśpieszenie jest prostopadłe do prędkości albo wartość przyśpieszenia wynosi 0. Wskazówka: Oblicz szybkość, z jaką zienia się wartość wyrażenia czyli 2. 3 Część i całość * Student otrzyał zadanie obliczenia siły, jaką jedna półkula jednorodnej kuli działa na druą półkulę. Po wielu bezsennych nocach doszedł do wniosku, że usi skorzystać z następująceo twierdzenia: Zbiór Z punktów aterialnych jest sua dwóch rozłacznych zbiorów punktów aterialnych: A oraz B. Jeśli oddziaływania iędzy punktai aterialnyi spełniaja III zasadę dynaiki, to siła, jaka działa zbiór punktów B na zbiór punktów A, jest równa sile, jaka działa zbiór punktów Z na zbiór punktów A. Udowodnij to twierdzenie. 1

2 4 Ciekawy skutek braku asy Udowodnij następujące twierdzenie. Wypadkowa siła działajaca na nieważkie ciało jest zawsze równa 0. Jest ono bardzo przydatne zaadnieniach, w których występują nieważkie liny, pręty, bloczki itd. 5 Wjazd Na równi pochyłej o kącie nachylenia α znajduje się odważnik o asie (Rys. 2), który zawsze dotyka całą powierzchnią swojej podstawy równi. Współczynnik tarcia kinetyczneo iędzy odważnikie a równią wynosi f. Odważnik jest połączony nieważką, nierozciąliwą linką z odważnikie o asie, który wisi poza krawędzią równi. Linka przesuwa się bez tarcia po bloczku. Wiadoo, że fraent linki iędzy odważnikie o asie i bloczkie jest zawsze równoleły do stoku równi, a przedłużenie teo fraentu linki zawsze przechodzi przez środek asy odważnika o asie. Przyśpieszenie zieskie wynosi. a) Jaki warunek usi spełniać współczynnik tarcia statyczneo f S, aby odważniki spoczywały, jeśli nie nadano i prędkości początkowych? b) Oblicz wartość przyśpieszenia odważnika o asie, jeśli wiadoo, że odważniki zaczęły się poruszać i odważnik o asie opada. Zaproponuj wartości liczbowe wielkości występujących w zadaniu i uzyskaj wyniki liczbowe. Rys. 2 f α 6 Zderzenie centralne * Kula o asie 1 i prędkości 1 zderza się z kulą o asie 2 i prędkości 2. Zderzenie jest idealnie sprężyste, a środki eoetryczne kul cały czas znajdują się na tej saej prostej. Kule nie wirują. Oblicz prędkość kuli o asie 1 po zderzeniu. Wynik doprowadź do postaci, w której nie występuje pierwiastek kwadratowy. Sprawdź wynik w przypadku, dy 1 / 2 0, oraz w przypadku, dy 2 / 1 0. Spróbuj rozwiazać układ równań sprytnie, bez standardowej procedury dla trójianu kwadratoweo. 7 Waon i deszcz * Waon o asie 0 zaczął poruszać się bez tarcia po pozioych torach. Jeo prędkość początkowa wynosiła 0. Ze wzlędu na pionowo padający, przyarzający deszcz asa waonu zwiększa się w 2

3 tepie w. Znajdź zależność prędkości waonu od czasu. Po jaki czasie od startu waonu jeo prędkość zniejszy się stokrotnie, jeśli 0 = 10 4 k, w = 0.99 k/s? 8 Trochę inne zadanie -?B Oszacuj ilość paięci, jaką powinien dysponować każdy ieszkaniec planety Zieia, aby ożna było zapisać tyle bajtów, ile jest atoów w próbce zawierającej jedynie 12 C i ważącej Postrzelone wahadło * etalowy ciężarek o asie = 1960 wisi na bardzo lekki sznurku o dłuości l = 50 c. Sznurek zaczepiony jest jedny końce w środku ciężkości ciężarka, a drui w taki sposób, że po nadaniu ciężarkowi prędkości o odpowiednio dużej wartości ciężarek oże poruszać się po okręu leżący w płaszczyźnie pionowej. W pewnej chwili w ciężarek uderza pozioo lecący z prędkością o wartości pocisk o asie = 40. Pocisk zlepia się trwale z ciężarkie. Powstałą bryłę ożna traktować jak punkt aterialny (w rozważaniach ożna poinąć roziary bryły). Jaka powinna być inialna wartość prędkości pocisku, aby utworzona bryła zatoczyła pełny okrą o proieniu l w płaszczyźnie pionowej? Przyjij wartość przyśpieszenia zieskieo = 9,8 /s 2. l 10 Zakręcona ća (wersja deluxe) * Ća leci do źródła światła. Wektor prędkości ćy jest nachylony pod kąte α wzlęde odcinka ća źródło. Tor zawarty jest w płaszczyźnie (tzw. ruch płaski). Owad startuje z odlełości ρ 0 od źródła. Rozważyć przypadki, dy: a) kąt α jest stały, a szybkość ćy zależy od odlełości ća źródło jak (ρ) = 0 (ρ/ρ 0 ) n, dzie 0 i n są stałyi. Znaleźć tor, po jaki porusza się ća oraz jeo dłuość. Podać równanie ruchu owada. Kiedy czas lotu jest skończony? b) szybkość lotu owada jest stała, a kąt α zależy od odlełości ća źródło jak α(ρ) = arctan(aρ ), dzie a i są stałyi. Znaleźć tor, po jaki porusza się ća. 3

4 11 Spacer biedronki po płycie * Płyta raofonowa o proieniu R kręci się z prędkością kątową ω wzlęde układu inercjalneo. Ze środka płyty wyrusza biedronka o asie. Ile powinien wynosić współczynnik tarcia iędzy biedronką a płytą, aby owad ół osiąnąć krawędź płyty, poruszając się cały czas ruche jednostajny prostoliniowy z prędkością wzlęde płyty? Rozwiązać korzystając z wzorów na siły pozorne. Czy zwiększenie asy biedronki pozwoliłoby jej na taki sa spacer po szybciej wirującej płycie? Jednorodne pole rawitacyjne jest prostopadłe do powierzchni płyty. 12 Koralik na pręcie * Koralik o asie porusza się bez tarcia wzdłuż wirująceo pręta. Pręt jest nachylony do poziou pod kąte α, a obraca się ze stałą prędkością kątową ω dookoła pionowej osi. Pręt nie porusza się w pionie, układ znajduje się w jednorodny, stały polu rawitacyjny. Znaleźć prędkość i położenie koralika wzlęde pręta, zakładając, że w chwili początkowej koralik spoczywał w odlełości D od osi obrotu. 13 Zjazd po ruchoej równi * Równia pochyła o kącie nachylenia α oraz o asie oże bez tarcia przesuwać się po stole. Na równię położono ciężarek o asie. Obliczyć przyśpieszenie równi oraz przyśpieszenie ciężarka w inercjalny układzie związany ze stołe, a także przyśpieszenie ciężarka w układzie związany z równią. Rozpatrzyć dwa przypadki: a) ciężarek zsuwa się po równi bez tarcia, b) ciężarek zsuwa się po równi z tarcie, a współczynnik tarcia wynosi µ. Czy ciężarek oże oderwać się od powierzchni równi? Jednorodne pole rawitacyjne jest prostopadłe do powierzchni stołu. 14 Zderzenie z ruchoa równia * Z wysokości h 1 nad pozioy lodowiskie upuszczono kulkę o asie. Na wysokości h 2 kulka odbiła się idealnie sprężyście od równi pochyłej, która początkowo spoczywała. Znajdź wektor prędkości kulki tuż po odbiciu się od równi. Kąt nachylenia równi wynosi α, a jej asa. Równia oże poruszać się po lodowisku bez tarcia. Układ znajduje się w polu rawitacyjny o natężeniu. Proień kulki oraz czas trwania zderzenia są zaniedbywalnie ałe. Uzyskaj również wynik liczbowy w przypadku, dy = 2 k, h 1 = 2.6, h 2 = 0.8, = 4 k, α = 45 oraz = 10 /s 2. h 1 h 2 α 4

5 15 ałpa Odważnik o asie przyocowano do nieważkiej, nierozciąliwej liny, którą przewieszono przez bloczek przyczepiony do sufitu. Za swobodny koniec liny chwyciła ałpa o asie i wspina się. Jaki ruche wzlęde liny przeieszcza się ałpa, skoro jej odlełość od sufitu się nie zienia? Obliczyć paraetry teo ruchu. Bloczek jest nieważki, a układ znajduje się w jednorodny polu rawitacyjny. 16 Bloczek-dźwinia Bloczek składający się z dwóch sztywno połączonych jednorodnych walców oże obracać się dookoła własnej osi syetrii. Na walec o proieniu R 1 i asie 1 nawinięto nierozciąliwy sznurek, do któreo przyocowano ciężarek o asie 1. W przeciwny kierunku nawinięto na walec o proieniu R 2 i asie 2 nierozciąliwy sznurek, do któreo przyocowano ciężarek o asie 2. Układ znajduje się w stały jednorodny polu rawitacyjny. Obliczyć przyśpieszenie ciężarka o asie 1. R 1 1 R Straszliwy wielokrażek * Z jakii przyśpieszeniai będą poruszać się odważniki o asach A oraz B w układzie przedstawiony na rysunku? Wszystkie bloczki są nieważkie, a nieważka, nierozciąliwa lina porusza się bez tarcia. Układ znajduje się w jednorodny polu rawitacyjny. C A B Zadanie to wyyśliłe na kolokwiu z Fizyki IBC na jesieni 2006 r. Spośród 155 piszacych kolokwiu 7 osób przedstawiło poprawne rozwiazanie. Zadanie zostało następnie wykorzystane w Olipiadzie Fizycznej. 5

6 18 oent pędu układu * Układ N punktów aterialnych jest izolowany. Oddziaływania iędzy punktai aterialnyi spełniają III zasadę dynaiki. Udowodnij, że całkowity oent pęd układu jest zachowany, jeśli dla każdych dwóch punktów aterialnych siła, jaką jeden z nich działa na drui, jest równoleła do prostej przechodzącej przez te punkty aterialne. 19 Koeta Halleya * Oblicz największą i najniejszą wartość prędkości koety, jeśli najniejsza i największa odlełość od koety do Słońca równa jest odpowiednio d oraz D. Dane są asa Słońca S oraz stała rawitacji G. Uzyskaj również wyniki liczbowe, jeśli przyjiey d = , D = , S = k oraz G = N 2 k Trójkat rawitacyjny * Jakie warunki uszą być spełnione, aby odlełości iędzy trzea swobodnyi punktai aterialnyi były stałe, jeśli znane są ich asy oraz wiadoo, że punkty nie leżą na prostej? Oblicz prędkość kątową punktów aterialnych w inercjalny układzie, w który środek ich asy spoczywa. Wyprowadź warunki na odlełości poiędzy ciałai. Punkty aterialne oddziałują jednie rawitacyjnie. Układ jest izolowany. 21 Akcelerator, anes i ekran Początkowo spoczywającą cząstkę o dodatni ładunku Q i asie przyśpieszono za poocą akceleratora o dłuości L. W akceleratorze wytwarzane jest jednorodne pole elektryczne E. Tuż za akceleratore cząstka wleciała w obszar jednorodneo pola anetyczneo B. W jakiej odlełości D od końca akceleratora cząstka uderzy w ekran? Kąt iędzy osią akceleratora a płaszczyzną ekranu wynosi α. W wybrany układzie współrzędnych wektory pól są wyrażone następująco: E = E(cos αê x + sin αê y ) i B = Bê z, równanie ekranu a postać y = 0, a cząstka opuszczając akcelerator przelatuje przez początek układu współrzędnych. 22 Pola równolełe * Cząstka o ładunku Q i asie, ając początkową prędkość 0 = 0x ê x + 0y ê y, wlatuje w obszar równolełych, jednorodnych pól: elektryczneo E = Eê y i anetyczneo B = Bê y. Wynikające z druiej zasady dynaiki Newtona równania na współrzędne położenia cząstki x i z rozwiązać po sprowadzeniu do jedneo równania na zienną zespoloną f = ẋ + iż. Podać równanie ruchu cząstki zakładając, że w chwili początkowej przelatywała przez początek układu współrzędnych. Jaki warunek usi być spełniony, aby cząstka dotarła do ekranu, któreo równanie a postać x = L? Jaki obraz utworzą na ekranie cząstki o różnych wartościach 0x, jeśli założyć, że odlełość L jest ała w porównaniu z proienie toru w płaszczyźnie XZ, tzn. L 0x /(QB)? Wskazówka: Obraz ożna znaleźć jako zależność y(z) po zastosowaniu następujących przybliżeń dla x(t) i z(t): jeśli sin α 1, to sin α α oraz cos α 1 α 2 /2. 6

7 23 Pola prostopadłe * Cząstka o ładunku Q i asie znajduje się w obszarze prostopadłych, jednorodnych pól: elektryczneo E = Eê z i anetyczneo B = Bê y. Wynikające z druiej zasady dynaiki Newtona równania na współrzędne położenia cząstki x i z rozwiązać po sprowadzeniu do jedneo równania na zienną zespoloną f = ẋ + iż. Podać równanie ruchu cząstki zakładając, że w chwili początkowej wyruszała ona z początku układu współrzędnych z prędkością początkową 0 = 0x ê x + 0y ê y. Jakie warunki uszą być spełnione, aby tore cząstki była zwykła cykloida? Jakie warunki uszą być spełnione, aby cząstka poruszała się ruche jednostajny prostoliniowy? Jaka będzie wtedy jej prędkość? Fizyka relatywistyczna W poniższych probleach należy uwzlędniać efekty relatywistyczne. 24 Zderzenie dwóch jader Dwa jądra atoowe zbliżają się do siebie. Każde a asę i porusza się z prędkością (kierunki prędkości są równolełe). Po zderzeniu obserwujey dwa jądra o asach 1 = 3 i 4 2 = 1, które 4 kontynuują ruch pierwotnych jąder (tzn. ają tę saą prędkość i kierunek co pierwotne jądra), oraz układ cząstek powstałych w zderzeniu, X. Obliczyć asę niezienniczą układu X, X. Podać również wyrażenie na X w szczeólnych przypadkach: a) 1 = 2 oraz b) 1 = 2 = 1. 2 Uwaa: Zastanowić się, jaki jest kierunek wektora pędu układu X. Poinać efekty zwiazane z budowa jadra. Przed zderzenie Po zderzeniu 2 X 1 25 Awaria rakiety i wyprawa ratunkowa Z Ziei wyrusza rakieta lecąca z prędkością c/2. Po 10 dniach rakieta ulea awarii (10 dni w pokładoweo zeara). Załoa wysyła synał świetlny z prośbą o pooc. Po otrzyaniu wiadoości centru lotów na Ziei natychiast wysyła rakietę ratunkową. Z jaką szybkością powinna się ona poruszać wzlęde Ziei, aby uratować załoę pierwszej z rakiet, w której astronauci oą utrzyać się przy życiu przez 30 dni od awarii? 26 Fotorafia pręta * Równoleły do osi Y pręt porusza się wzdłuż osi X z prędkością. Fotorafujey pręt aparate znajdujący się w punkcie x = y = 0, z = a. Na zdjęciu środek pręta znajduje się w początku układu współrzędnych. Jaki jest kształt pręta na fotorafii? 7