Wstęp do Optyki i Fizyki Materii SkondensowanejI

Transkrypt

1 Wstęp do Optyki i Fizyki Materii SkondensowanejI Optyka 3 Wydział Fizyki UW

2 Absorpcja i emisja światła Piotr Fita

3 Absorpcja i emisja światła Prawo Lamberta-Beera Piotr Fita

4 Absorpcja i emisja światła Prawo Lamberta-Beera Piotr Fita

5 Klasyczny model współczynnika załamania Fala w ośrodku wypełnionym oscylatorami (model Lorentza): Dielektryk E P Polaryzacja ośrodka D = ε 0 E + P Ԧx -q +q Ԧp = q Ԧx Moment dipolowy atomu (cząsteczki)

6 Klasyczny model współczynnika załamania Fala w ośrodku wypełnionym oscylatorami (model Lorentza): Rozważamy przestrzeń wypełnioną oscylatorami o częstotliwości rezonansowej 0 i współczynniku tłumienia ; oscylatory mają masę m, ładunek q są poruszane (wzbudzane) przez oscylujące pole elektryczne E. Ԧx -q +q Ԧp = q Ԧx Moment dipolowy atomu (cząsteczki) polaryzacja P = N Ԧp = N ε 0 αe = ε 0 χe polarisability polaryzowalność dielectric susceptibility podatność dielektryczna

7 Klasyczny model współczynnika załamania Fala w ośrodku wypełnionym oscylatorami (model Lorentza): Rozważamy przestrzeń wypełnioną oscylatorami o częstotliwości rezonansowej 0 i współczynniku tłumienia ; oscylatory mają masę m, ładunek q są poruszane (wzbudzane) przez oscylujące pole elektryczne E. Ԧx -q +q Ԧp = q Ԧx Stąd D = ε 0 E + P = ε χ E = ε 0 εe Szukamy: n 2 = ε = 1 + χ Polaryzacja P t = N Ԧp t = Nq Ԧx t = ε 0 χe t Wystarczy wyznaczyć Ԧx(t) 10/19/2019 7

8 Klasyczny model współczynnika załamania Model Lorentza Rozważamy przestrzeń wypełnioną oscylatorami o częstotliwości rezonansowej 0 i współczynniku tłumienia ; oscylatory mają masę m, ładunek q są poruszane (wzbudzane) przez oscylujące pole elektryczne E. Szukamy: n 2 = ε = 1 + χ Ԧx -q +q Ԧp = q Ԧx d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = q m Eeiωt damping tłumienie the elastic force siła sprężysta driving force siła wymuszająca the steady state solution: stan ustalony: Ԧx t = Ԧx 0 e iωt 10/19/2019 8

9 Klasyczny model współczynnika załamania D = ε 0 E + P = ε χ E = ε 0 εe Polaryzacja P t = N Ԧp t = Nq Ԧx t = ε 0 χe t Wystarczy wyznaczyć Ԧx(t) Szukamy: n 2 = ε = 1 + χ Ԧx -q +q Ԧp = q Ԧx d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = q m Eeiωt damping tłumienie the elastic force siła sprężysta driving force siła wymuszająca the steady state solution: stan ustalony: Ԧx t = Ԧx 0 e iωt 10/19/2019 9

10 Klasyczny model współczynnika załamania D = ε 0 E + P = ε χ E = ε 0 εe Polaryzacja P t = N Ԧp t = Nq Ԧx t = ε 0 χe t Ԧx -q +q Ԧp = q Ԧx Wystarczy wyznaczyć Ԧx(t) d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = q m Eeiωt ω 2 + iγω + ω 0 2 Ԧx 0 = q m Eeiωt Szukamy: n 2 = ε = 1 + χ Ԧx t = Ԧx 0 e iωt 10/19/

11 Klasyczny model współczynnika załamania n 2 = ε = 1 + Nqx ε 0 E = 1 + Nq 2 ε 0 m ω 2 + iγω + ω 0 2 = q m Eeiωt a) n = n + iκ κ = Nq2 2ε 0 m k = nk 0 = n k 0 + iκk 0 γω ω 0 2 ω γ 2 ω 2 b) n = 1 + Nq2 2ε 0 m ω 0 2 ω 2 ω 0 2 ω γ 2 ω 2 dyspersja normalna: n ω dyspersja anomalna: n ω Funkcja Lorentza: L = x 2 10/19/

12 Klasyczny model współczynnika załamania Model oscylatorów Lorentza (ośrodek dyspersyjny) a) b) n jest współczynnikiem załamania (ang. refractive index) i wpływa na prędkość fazową rzeczywisty współczynnik załamania. Pomijając absorpcję n = n. Część urojona κ to współczynnik ekstynkcji (extinction coefficient) i oznacza absorpcję fali przechodzącej przez materiał Wielkość dn dω of the medium) jest nazywana dyspersją ośrodka (dispersion dn dω Poza rezonansem jest ona funkcją dodatnią - dyspersja normalna. Dla częstości bliskich częstości rezonansowej dyspersja ma znak ujemny - dyspersja anomalna. 10/19/

13 Klasyczny model współczynnika załamania Prawo Lamberta-Beera: Fala elektromagnetyczne propagująca się w ośrodku: k = 0,0, k E z, t = E 0 exp i k 0 n z + ik 0 κz ω 0 t = E 0 exp 2π λ κz exp i k 0n z ω 0 t k 0, ω 0 fali w próżni Natężenie I z E z 2 = E 0 2 exp 4π λ κz I z = I 0 e αz Współczynnik absorpcji α = 2κk

14 Klasyczny model współczynnika załamania Prawo Lamberta-Beera: Fala elektromagnetyczne propagująca się w ośrodku: k = 0,0, k E z, t = E 0 exp i k 0 n z + ik 0 κz ω 0 t = E 0 exp 2π λ κz exp i k 0n z ω 0 t k 0, ω 0 fali w próżni Natężenie I z E z 2 = E 0 2 exp 4π λ κz I z = I 0 e αz I( ) 0 Współczynnik absorpcji α = 2κk

15 Klasyczny model współczynnika załamania Model oscylatorów Lorentza (ośrodek dyspersyjny) Several resonances in the medium a). H 2 O b)

16 Klasyczny model współczynnika załamania Model oscylatorów Lorentza (ośrodek dyspersyjny) Several resonances in the medium a). H 2 O b) Dla jednej częstości oscylatora ω 0 ε L = 1 ale dla wielu jest to w przybliżeniu stała suma wkładów od pozostałych

17 Klasyczny model współczynnika załamania The Lorentz Oscillator model Water example:

18 Klasyczny model współczynnika załamania The Lorentz Oscillator model Water example: Roger Waters

19 Odbicie, transmisja, absorpcja Wzory Fresnela p-like (parallel) or TM s-like (from senkrecht, German for perpendicular) or TE

20 Odbicie, transmisja, absorpcja

21 Klasyczny model współczynnika załamania Fala w ośrodku (różnym) d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = q m E 0e iωt d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = 0 d 2 Ԧx dt = q m E 0e iωt Model Lorentza Widmo emisji Fale plazmowe the steady state solution: Ԧx t = Ԧx 0 e iωt 10/19/

22 Klasyczny model współczynnika załamania Fala w ośrodku (różnym) d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = q m E 0e iωt Model Lorentza d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = 0 Widmo emisji d 2 Ԧx dt = q m E 0e iωt Fale plazmowe the steady state solution: Ԧx t = Ԧx 0 e iωt 10/19/

23 Klasyczny model współczynnika załamania Widmo emisji d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = 0 Przejście między dwoma poziomami układu kwantowego może być z dobrym przybliżeniem opisane za pomocą modelu oscylatora harmonicznego. x -q +q Tym razem atomy (cząsteczki) zostały (jakoś) pobudzone do drgań i starają się powrócić do swojej równowagi tracąc energię na emisję promieniowania elektromagnetycznego ( tłumienie ). P t = N Ԧp t = Nq Ԧx t = ε 0 χe t Ԧp = q Ԧx Moment dipolowy atomu (cząsteczki) 10/19/

24 Klasyczny model współczynnika załamania Widmo emisji d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = 0 Analiza tego tłumienia oscylacji daje wgląd w mikroskopowe zjawiska zachodzące podczas (i w okolicach) emisji promieniowania elektromagnetycznego! Charakter zaniku promieniowania w czasie ma wpływ na jego widmo (w domenie częstości). x -q +q Tym razem atomy (cząsteczki) zostały (jakoś) pobudzone do drgań i starają się powrócić do swojej równowagi tracąc energię na emisję promieniowania elektromagnetycznego ( tłumienie ). P t = N Ԧp t = Nq Ԧx t = ε 0 χe t Ԧp = q Ԧx Moment dipolowy atomu (cząsteczki) 10/19/

25 Klasyczny model współczynnika załamania Widmo emisji d 2 Ԧx d Ԧx + γ dt2 dt + ω 0 2 Ԧx = 0 Widmo - transformata Fouriera: Szerokość połówkowa linii: drgania tłumione (naturalna szerokość linii) poszerzenie ciśnieniowe poszerzenie dopplerowskie (profil Voigta) 0 I( ) C( t) t /19/

26 Klasyczny model współczynnika załamania Widmo emisji 10/19/

27 Poszerzenie linii widmowych Widmo emisji Widmo - transformata Fouriera: Szerokość połówkowa linii: FWHM Full Width Half Maximum I ω = I 0 1 ω ω γ /19/

28 Poszerzenie linii widmowych Widmo emisji Widmo - transformata Fouriera: Full Width Half Maximum 10/19/

29 Poszerzenie linii widmowych Widmo emisji Widmo - transformata Fouriera: Full Width Half Maximum 10/19/

30 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie Relatywistyczny efekt Dopplera (dla światła): ν obserw. = ν źródła 1 v/c 1 + v/c ν źródła 1 v/c v > 0 gdy źródło się oddala. ω = 2πν 10/19/

31 Przesunięcie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie Relatywistyczny efekt Dopplera (dla światła): ω obserw. = ω źródła 1 + v/c 1 v/c ω źródła 1 + v/c v > 0 gdy źródło się oddala. 10/19/

32 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie Na skutek efektu Dopplera poruszający się obiekt absorbuje lub promieniuje falę o częstości przesuniętej względem częstości własnej ν 0 (lub ω 0 ) obiektu spoczywającego: ω = ω 0 1 v/c 1 + v/c ω 0 1 v/c v v z ω = ω 0 1 v z /c v z = dv z = v z jest składową prędkości wzdłuż kierunku rozchodzenia się promieniowania W temperaturze T zależność między liczbą cząstek o masie m a prędkością v z jest opisywana przez rozkład Maxwella : 2 n i v z dv z = dv z v p = 2k BT m N i v p π exp v z v p Ten opis jest słuszny dla układu w równowadze termodynamicznej. W przypadku gdy rozkład prędkości nie jest termiczny (np. w wiązkach atomowych) należy zastosować inną funkcję, właściwą dla danego układu. 10/19/

33 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie Na skutek efektu Dopplera poruszający się obiekt absorbuje lub promieniuje falę o częstości przesuniętej względem częstości własnej ν 0 (lub ω 0 ) obiektu spoczywającego: ω = ω 0 1 v/c 1 + v/c ω 0 1 v/c ω = ω 0 1 v z /c v z = dv z = v z jest składową prędkości wzdłuż kierunku rozchodzenia się promieniowania v v z W temperaturze T zależność między liczbą cząstek o masie m a prędkością v z jest opisywana przez rozkład Maxwella : 2 n i v z dv z = dv z v p = 2k BT m N i v p π exp v z v p Ten opis jest słuszny dla układu w równowadze termodynamicznej. W przypadku gdy rozkład prędkości nie jest termiczny (np. w wiązkach atomowych) należy zastosować inną funkcję, właściwą dla danego układu. v z = c ω ω 0 ω 0 dv z = c ω 0 dω 10/19/

34 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie n i v z dv z = N i v p π exp v z v p 2 dv z v p = 2k BT m Po podstawieniu otrzymujemy rozkład liczby cząstek promieniujących z daną częstością : n i ω dω = N ic/ω v p π exp c ω 0 ω dω v p ω 0 Ponieważ natężenie promieniowania jest proporcjonalne do ilości promieniujących cząstek, mamy gaussowski kształt linii spektralnej. Po unormowaniu powyższej funkcji : 2 I ω ~n i ω I ω = I 0 exp c v p ω 0 ω ω 0 2 dω Szerokość linii dopplerowskiej wynosi v p γ D = 2 ln 2 ω 0 c = ω 0 c 8k B T ln 2 m ω 0 10/19/

35 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie Ponieważ natężenie promieniowania jest proporcjonalne do ilości promieniujących cząstek, mamy gaussowski kształt linii spektralnej. Po unormowaniu powyższej funkcji : I ω ~n i ω I ω = I 0 exp c v p ω 0 ω ω 0 Szerokość linii dopplerowskiej wynosi 2 dω v p γ D = 2 ln 2 ω 0 c = ω 0 c 8k B T ln 2 m I ω + Δω 2 = I 0 2 Δω = ω 0 2 ln 2 c v p = ω 0 8 ln 2 k BT mc 2 10/19/

36 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie Szer. naturalna ( Hz) << szer. dopplerowska (10 9 Hz) Kształt linii = splot profilu Dopplera D ω i Lorentza L ω I ω = න D ω L ω ω dω 10/19/

37 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie dopplerowskie W gazach atomowych i molekularnych: naturalne szerokości linii wynoszą od kilku do kilkunastu megaherców, na skutek ruchów cieplnych cząstek linie te ulegają poszerzeniu kilkadziesiąt do kilkuset razy. Kształt lini dopplerowskej jest gaussowski tylko przy założeniu, że naturalna szerokość linii jest bardzo mała (ściślej, że jest detlą Diraca). Jeśli weźmiemy pod uwagę szerokość naturalną linii widmowej (np. w bardzo chłodnych gazach) otrzymamy profil Voigta. I ω = න D ω L ω ω dω 10/19/

38 Poszerzenie linii widmowych Poszerzenie jednorodne i niejednorodne Poszerzenie jednorodne - prawdopodobieństwo oddziaływania ze światłem o danej częstości jest jednakowe dla wszystkich atomów (cząsteczek), np.: poszerzenie naturalne poszerzenie ciśnieniowe Poszerzenie niejednorodne - prawdopodobieństwo oddziaływania jest różne dla różnych grup atomów (cząsteczek): poszerzenie dopplerowskie - prawdopodobieństwo oddziaływania zależy od składowej prędkości w kierunku obserwatora Poszerzenie niejednorodne można zredukować, np. selektywnie wzbudzając cząsteczki o określonej prędkości. 10/19/

39 Poszerzenie linii widmowych Spektroskopia subdopplerowska Poszerzenie niejednorodne można zredukować, np. selektywnie wzbudzając cząsteczki o określonej prędkości. 10/19/

40 Poszerzenie linii widmowych Spektroskopia subdopplerowska 10/19/

41 Poszerzenie linii widmowych Spektroskopia subdopplerowska 10/19/

42 Poszerzenie linii widmowych Spektroskopia subdopplerowska dip Lamba 10/19/

43 Klasyczny model współczynnika załamania Widmo emisji Prawo Lamberta-Beera: I z, ω = I 0 ω e αωz gdzie absorbancja a współczynnik absorpcji (w przypadku kształtu lorencowskiego): κ = Nq2 2ε 0 m γω ω 0 2 ω γ 2 ω 2 Gdy jesteśmy blisko rezonansu, gdy, współczynnik absorpcji upraszcza się do postaci opisywanej kształtem Lorenza. n = 1 + Nq2 2ε 0 m ω 0 2 ω 2 ω 0 2 ω γ 2 ω 2 I( ) /19/